Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig product van de vectoren u en v. Opmerking. Het inwendig product van twee vectoren is dus een getal. Voorbeeld. Stel dat u = en, v = u v = ( ) u w = ( ) 4 4 en w = = 4 = = = 0., dan geldt : Uit de definitie volgen nu eenvoudig de volgende rekenregels : Stelling. Als u, v en w vectoren in R n zijn en λ R, dan geldt :. u v = v u. (λu) v = λ(u ( v) = u (λv) ). (u + v) w = u w + v w 4. u u 0 en u u = 0 u = o. De laatste rekenregel maakt de volgende definitie mogelijk : v v Definitie. Als v =. Rn, dan geldt : v n v := v v = heet de lengte (of norm) van de vector v. v + v +... + v n
Opmerking. Er geldt dus : v = v v. Deze definitie ( ) sluit naadloos aan op het intuïtieve begrip lengte in R en R : a Als v = R, dan volgt met de stelling van Pythagoras (zie figuur op pag. 7 van b Lay) dat v = a + b. a Door tweemaal de stelling van Pythagoras toe te passen ziet men dat voor v = b c R : v = a + b + c. Definitie is dus een natuurlijke generalisatie van het meetkundige begrip lengte. In R n met n 4 kan men geen plaatjes meer maken. Daarom wordt in die situatie vaak het begrip norm gebruikt in plaats van lengte. Uit de rekenregels van stelling volgt eenvoudig dat λv = λ v voor alle λ R. Immers : λv = (λv) (λv) = λ (v v) = λ v en neem vervolgens de wortel ( λ = λ ). Een vector met lengte wordt een eenheidsvector genoemd. Merk op dat v een een- v heidsvector is in de richting van de vector v. Voorbeeld. Als v = de eenheidsvector is in de richting van v., dan geldt dat v = + ( ) + = en dus dat v v = We kunnen nu eenvoudig op basis van het begrip lengte (of norm) het begrip afstand definiëren : u u Definitie. Als u =. en v = v. twee vectoren in Rn zijn, dan heet v u n v n dist(u, v) := u v = (u v ) + (u v ) +... + (u n v n ) de afstand van de vectoren u en v.
Ook dit is een natuurlijke generalisatie van het intuïtieve begrip afstand in R en R. De afstand tussen de vectoren u en v is gelijk aan de lengte van de verschilvector u v. Voorbeeld. De afstand tussen de punten A = (,, 7) en B = (,, 4) in R is dus gelijk aan dist(a, b) = a b = ( ) + ( ) + (7 4) = 6 + + 9 = 0 =. Met behulp van het begrip afstand kunnen we nu het begrip orthogonaliteit (loodrechte stand) invoeren. In R en R hebben we weer een intuïtief beeld van het begrip loodrechte stand (zie figuur op pag. 7 van Lay) : Nu geldt : u v dist(u, v) = dist(u, v). [dist(u, v)] = u v = (u v) (u v) = u u u v v u + v v = u (u v) + v en evenzo [dist(u, v)] = u + v = (u + v) (u + v) = u u + u v + v u + v v = u + (u v) + v. Dus : Dit generaliseren we nu tot : u v [dist(u, v)] = [dist(u, v)] u v = 0. Definitie 4. Twee vectoren u en v in R n heten orthogonaal als u v = 0. Notatie : u v. Opmerking. Deze definitie impliceert dat de nulvector loodrecht staat op iedere andere vector en zelfs ook loodrecht staat op zichzelf. We kunnen nu eenvoudig de volgende generalisatie van de stelling van Pythagoras bewijzen : Stelling. Als u en v twee vectoren in R n zijn, dan geldt : u v u + v = u + v. Bewijs. Er geldt : u + v = (u + v) (u + v) = u + (u v) + v en hieruit volgt de stelling onmiddellijk, want : u v u v = 0. Definitie. Stel dat W een deelruimte van R n is, dan geldt : v W v w voor iedere w W en W := {v R n : v W } heet het orthogonale complement van de deelruimte W.
De verzameling W wordt vaak simpelweg W loodrecht genoemd. Het is eenvoudig in te zien dat W ook een deelruimte van R n is. In R en R hebben we dan de volgende mogelijkheden (zie ook figuur 7 op pag. 74 van Lay) : W R R W O lijn door O lijn door O O R W R R W O vlak door O lijn door O lijn door O vlak door O O R Stelling. Als A een (m n)-matrix is, dan geldt : (Row A) = Nul A en (Col A) = Nul A T. Hierbij is Row A de rijruimte van de matrix A. Dit is het opspansel van de rijen van A, waarbij die rijen opgevat worden als vectoren in R n (de matrix A heeft n kolommen). Het bewijs van de stelling volgt dan eenvoudig alsvolgt : Nul A is de verzameling van alle vectoren x R n zodat Ax = o. Dit betekent dat het inwendig product van x met iedere rij van A nul is en dus : x Row A. Dit geldt voor iedere vector x Nul A, dus : (Row A) = Nul A. De andere bewering volgt nu door de matrix A te vervangen door A T en op te merken dat Row A T = Col A. In R en R geldt : u v = u v cos θ, waarbij θ de hoek is tussen de vectoren u en v. We kunnen dit inzien door de cosinusregel toe te passen op de driehoek in figuur 9 op pag. 76 van Lay. Zie ook pag. 797 en 798 van Stewart. Er geldt : Ook geldt : u v = u + v u v cos θ. u v = (u v) (u v) = u (u v) + v. Hieruit volgt dus : u v = u v cos θ. We gebruiken dit resultaat om de hoek tussen twee vectoren in R n te definiëren : Definitie 6. Als u en v twee vectoren in R n zijn, dan geldt : u v = u v cos θ, waarbij θ [0, π] de hoek is tussen de vectoren u en v. Opmerking. Dit is geheel in overeenstemming met definitie 4 want : u v θ = π cos π = 0. en 4
Voorbeeld 4. u = en v = Er geldt : u v = en u = v = 6.. Vraag : Wat is de hoek θ tussen u en v? Dus : u v = u v cos θ = 6 6 cos θ cos θ =. Hieruit volgt : θ = π, want θ [0, π]. Orthogonale verzamelingen Definitie 7. Een verzameling vectoren {u,..., u p } in R n heet een orthogonale verzameling als u i u j voor alle i j oftewel u i u j = 0 voor alle i j. Voorbeeld. De verzameling {u, u, u } in R 4 met u = 0, u = is een orthogonale verzameling, want : 0 en u = u u = 0 + 0 + = 0, u u = + 0 0 = 0 en u u = 0 + + 0 = 0. 0 Stelling 4. Een orthogonale verzameling {u,..., u p } in R n zonder de nulvector is lineair onafhankelijk. Bewijs. Stel c u +... + c p u p = o, dan volgt : 0 = o u i = (c u +... + c p u p ) u i = (c u ) u i +... + (c p u p ) u i = c (u u i ) +... + c p (u p u i ) = c i (u i u i ) voor iedere i =,,..., p, want u i u j = 0 voor iedere i j. Omdat de verzameling de nulvector niet bevat geldt : u i u i 0 voor iedere i =,,..., p. Dus : c i = 0 voor iedere i =,,..., p. Hieruit volgt dat {u,..., u p } lineair onafhankelijk is. Definitie 8. Een basis van een deelruimte W van R n die tevens een orthogonale verzameling is heet een orthogonale basis van W.
Stelling. Als {u,..., u p } een orthogonale basis van een deelruimte W van R n is, dan geldt voor iedere vector y W : y = c u +... + c p u p met c i = y u i u i u i, i =,,..., p. Bewijs. y W = Span{u,..., u p }, dus : y = c u +... + c p u p. Omdat {u,..., u p } orthogonaal is volgt nu y u i = (c u +... + c p u p ) u i = c i (u i u i ), i =,,..., p. Omdat {u,..., u p } de nulvector niet bevat (het is immers een basis en dus lineair onafhankelijk) volgt hieruit dat c i = y u i u i u i, i =,,..., p. Voorbeeld 6. Stel dat y =, u =, u = en u =, dan is {u, u, u } een orthogonale basis van R (ga na!). Verder geldt y u = + 6 = 6, y u = + 4 = en y u = + 4 + 6 = 9. Verder geldt dat Dus : u u = u u = u u = + 4 + 4 = 9. y = y u u u u + y u u u u + y u u u u = 6 9 u + 9 u + 9 9 u = u + u + u. Definitie 9. Als y en u twee vectoren in R n zijn zodat {y, u} lineair onafhankelijk is, dan is ( ) y u de vector u de (orthogonale) projectie van y langs u. u u Dit is weer een natuurlijke generalisatie van de situatie in R en R. Dan geldt namelijk : als λu de (orthogonale) projectie van y langs u is, dan is : y λu u oftewel (y λu) u = 0. Hieruit volgt dat (y u) λ(u u) = 0. Aangezien u o volgt hieruit dat λ = y u u u. ( ) y u De vector y u heet wel de component van y loodrecht op u. Zie figuur op u u pag. 80 van Lay. 6
Voorbeeld 7. De (orthogonale) projectie van y = ( y u u u ) u = ( ) + 4 u = 7 + 9 + 4 4 4 7 langs u = =. is Definitie 0. Een vezameling vectoren {u,..., u p } in R n heet een orthonormale verzameling als het een orthogonale verzameling is bestaande uit eenheidsvectoren (dus : u i = voor alle i =,,..., p). Opmerking. In een orthonormale verzameling staan dus alle vectoren loodrecht op elkaar (orthogonaal) en hebben alle vectoren lengte (norm) (genormeerd). Stelling 6. Een (m n)-matrix U heeft orthonormale kolommen dan en slechts dan als U T U = I. Als U = u... u n, dan geldt dus dat u i u j = 0 voor alle i j en u i u i = voor alle i =,,..., n. Dit leidt tot U T U = I. Stelling 7. Als U een (m n)-matrix is met orthonormale kolommen (dus : U T U = I), dan geldt : Bewijs. We bewijzen eerst. :. Ux = x voor alle x R n. (Ux) (Uy) = x y voor alle x, y R n. Ux Uy x y voor alle x, y R n. (Ux) (Uy) = (Ux) T (Uy) = x T U T Uy = x T Iy = x T y = x y. Nu volgt. eenvoudig door y = x te nemen. Ook. is nu een eenvoudig gevolg van. Stelling 8. Als W een deelruimte van R n is, dan geldt : iedere vector y R n kan op precies één manier geschreven worden in de vorm y = ŷ + z, waarbij ŷ W en z W. Als {u,..., u p } een orthogonale basis is van W, dan geldt : ŷ = proj W y = y u u u u +... + y u p u p u p u p. Dit is de orthogonale projectie van y op W. Let op het verschil met stelling. De vector ŷ is de vector in W die het dichtst bij y ligt. Als y W, dan is ŷ = y (en geldt stelling ). En als y / W, dan geldt : y ŷ < y v voor iedere andere v W. De vector ŷ W heet wel de beste benadering van y door vectoren in W. Hiermee kunnen we eenvoudig de afstand van een punt tot een lijn of een vlak in R berekenen door eerst de (orthogonale) projectie op de lijn of het vlak te bepalen en vervolgens de afstand tot die (orthogonale) projectie. 7