TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 30 juni 20 van 4u00-7u00 Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven met elk 3 onderdelen. Voor elk correct beantwoord onderdeel worden 6 punten toegekend. Het tentamencijfer wordt bepaald door het totaal van de toegekende punten te delen door 9 en daarna af te ronden. Beschouw de constanten ɛ 0, µ 0 en c bij alle opgaven als gegeven. Maak steeds voldoende duidelijk waar een antwoord op gebaseerd is. Beantwoord de vragen waar mogelijk in korte maar lopende zinnen. Het gebruik van het boek, een eigen formuleblad, een grafische rekenmachine of een computer is niet toegestaan. Het standaard formuleblad is te vinden op de laatste twee pagina s van deze set opgaven. De voorlopige cijfers worden bekend gemaakt in de folder van het vak 3NC30 op OASE. Maak per e-mail een afspraak met de docent om het tentamen te bespreken (e.j.d.vredenbregt@tue.nl).. a. Laat zien dat de continuïteitsvergelijking (die het behoud van lading beschrijft) volgt uit de wetten van Maxwell. b. Een oneindig lange cilinder met straal R heeft een ingevroren magnetisatie M = ks ẑ (in cilindercoördinaten) waarin k een constante is. De symmetrieas van de cilinder valt samen met de z-as. Bereken de gebonden ruimtestroomdichtheid en de gebonden oppervlaktestroomdichtheid. c. In een ruimte is de elektrostatische potentiaal gegeven door V (r) = a r e λr (in bolcoördinaten), waarin a en λ constanten zijn. Bereken de ruimteladingsdichtheid.
2. Een condensator bestaat uit twee identieke, geleidende, parallelle cirkelvormige platen met straal R op onderlinge afstand a. Er geldt a R zodat randeffecten steeds verwaarloosd kunnen worden. De condensator wordt opgeladen met een constante stroom ter grootte I die via draden van verwaarloosbare dikte naar en van het centrum van de platen wordt gevoerd zoals getekend in de figuur. De condensator bevindt zich in vacuüm. a. Bereken het elektrische en het magnetische veld tussen de platen als functie van de tijd t als gegeven is dat de condensator op tijdstip t = 0 ongeladen is. Formuleer duidelijk de wetten waar de berekeningen op zijn gebaseerd. b. Bereken de totale energie die in de velden is opgeslagen in de ruimte tussen de platen. c. Bereken de energiestroom die aan de ruimte tussen de platen wordt toegevoerd via het hiernaast aangegeven rode oppervlak dat de platen omsluit. Laat vervolgens zien dat voldaan is aan behoud van energie. 3. In een verder lege ruimte heerst een uniform elektrisch veld gegeven door E(r) = E 0 ẑ waarin E 0 een constante is. In deze ruimte wordt vervolgens een ongeladen bol geplaatst die gemaakt is van een homogeen en lineair diëlektrisch materiaal met elektrische permittiviteit ɛ. De straal van de bol is R en het centrum van de bol valt samen met de oorsprong van het coördinatenstelsel. De resulterende elektrostatische potentiaal V (r) kan zowel binnen als buiten de bol in bolcoördinaten worden geschreven met behulp van de algemene oplossing V (r) = l=0 ( A l r l + B l /r l+) P l (cos θ) waarin P l (x) = ( ) d l 2 l (x 2 ) l met P l (x)p m (x) dx = δ lm /(l + l! dx 2 ). a. Leid uit de Maxwell-vergelijkingen af dat de loodrechte component van de diëlektrische verplaatsing D continu is op het oppervlak van de bol. Vertaal dit in een randvoorwaarde voor de elektrostatische potentiaal. b. Schrijf genoeg andere voorwaarden op waar de elektrostatische potentiaal aan moet voldoen om de potentiaal eenduidig vast te leggen. c. Bereken de coëfficiënten A l en B l van de potentiaal binnen de bol voor l = 0 en l =. 2
4. In het xy-vlak bevindt zich een ronde schijf met straal R en verwaarloosbare dikte waarvan de symmetrie-as samenvalt met de z-as. Een elektrische lading ter grootte Q is uniform verdeeld over het oppervlak van de schijf. De schijf roteert met constante hoeksnelheid ω om de z-as. a. Geef een uitdrukking voor de oppervlaktestroomdichtheid K van de schijf. Bereken vervolgens het magnetische dipoolmoment van de schijf. b. Geef een uitdrukking in bolcoördinaten voor de leidende term in de multipoolbenadering van de vectorpotentiaal A(r) op grote afstand van de schijf. Gebruik deze om een benadering van het magnetische veld B voor punten op de z-as te vinden. (Verzin hierbij eventueel een redelijk magnetisch dipoolmoment als u onderdeel (a) niet heeft opgelost.) c. Stel m.b.v. de wet van Biot en Savart een exacte uitdrukking op voor het magnetische veld B voor punten op de z-as; eventuele elementaire integralen hoeven hierbij niet expliciet uitgewerkt te worden. 5. In vacuüm loopt een elektromagnetische golf in de z-richting tussen twee ideaal geleidende, niet-magnetische, oneindig uitgestrekte vlakken die zich op y = 0 en y = a bevinden. De golf is transversaal-magnetisch (TM); het magnetisch veld is gegeven door B(r) = R{ B x (y) e i(kz ωt) } ˆx waarin R{ } het reële deel voorstelt en B x (y) een nader te bepalen complexe functie is die alléén van de y-coördinaat afhangt; k en ω zijn constanten. (NB: B(r) heeft dus alléén een x-component.) a. Laat zien dat B x (y) volgens de wetten van Maxwell moet voldoen aan de differentiaalvergelijking c 2 d2 B x dy 2 + (ω2 k 2 c 2 ) B x = 0 met randvoorwaarden db x /dy = 0 voor y = 0 en y = a. b. Bepaal de oplossing van de differentiaalvergelijking voor B x (y) en bereken de laagste frequentie waarvoor de golf kan propageren. c. Bereken het reële elektrische veld en de tijdgemiddelde impulsdichtheid van de golf. EINDE 3
Deze pagina is verder blanco. 4
FORMULEBLAD 3NC30: E&M3 Vectoridentiteiten A (B C) = B (C A) = C (A B) A (B C) = B(A C) C(A B) (fg) = f( g) + g( f) (A B) = A ( B) + B ( A) + (A )B + (B )A (fa) = f( A) + A ( f) (A B) = B ( A) A ( B) (fa) = f( A) + ( f) A (A B) = (B )A (A )B + A( B) B( A) ( A) = 0 ( f) = 0 ( A) = ( A) 2 A Coördinatenstelsels Cilindercoördinaten: x = s cos φ y = s sin φ z = z s = x 2 + y 2 φ = arctan(y/x) z = z ˆx = cos φ ŝ sin φ ˆφˆφˆφ ŷ = sin φ ŝ + cos φ ˆφˆφˆφ ẑ = ẑ ŝ = cos φ ˆx + sin φ ŷ ˆφˆφˆφ = sin φ ˆx + cos φ ŷ ẑ = ẑ Bolcoördinaten: x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ r = x 2 + y 2 + z 2 θ = arctan ( x 2 + y 2 /z) φ = arctan (y/x) ˆx = sin θ cos φ ˆr + cos θ cos φ ˆθˆθˆθ sin φ ˆφˆφˆφ ŷ = sin θ sin φ ˆr + cos θ sin φ ˆθˆθˆθ + cos φ ˆφˆφˆφ ẑ = cos θ ˆr sin θ ˆθˆθˆθ ˆr = sin θ cos φ ˆx + sin θ sin φ ŷ + cos θ ẑ ˆθˆθˆθ = cos θ cos φ ˆx + cos θ sin φ ŷ sin θ ẑ ˆφˆφˆφ = sin φ ˆx + cos φ ŷ 5
Gradiënt, divergentie, rotatie, Laplaciaan in Cartesische coördinaten: dl = dx ˆx + dy ŷ + dz ẑ, dτ = dx dy dz f = f x ˆx + f y ŷ + f z ẑ v = v x x + v y y + v z z v = [ vz y v ] [ y vx ˆx + z z v ] [ z vy ŷ + x x v ] x ẑ y 2 f = 2 f x 2 + 2 f y 2 + 2 f z 2 in cilindercoördinaten: dl = ds ŝ + s dφ ˆφˆφˆφ + dz ẑ, dτ = s ds dφ dz f = f s ŝ + f s φ ˆφˆφˆφ f + z ẑ v = s v = 2 f = s s (sv s) + v φ s φ + v z z [ v z s φ v ] [ φ vs ŝ + z z v ] [ z ˆφˆφˆφ + s s ( s f ) + 2 f s s s 2 φ 2 + 2 f z 2 s (sv φ) s in bolcoördinaten: dl = dr ˆr + r dθ ˆθˆθˆθ + r sin θ dφ ˆφˆφˆφ, dτ = r 2 sin θ dr dθ dφ f = f r ˆr + f r θ ˆθˆθˆθ f + r sin θ φ ˆφˆφˆφ v = r 2 r (r2 v r ) + r sin θ θ (v θ sin θ) + v φ r sin θ φ v = [ r sin θ [ + r sin θ θ (v φ sin θ) r sin θ v r φ r 2 f = ( r 2 r 2 f ) + r r ] v θ ˆr φ ] [ r (rv φ) ˆθˆθˆθ + r r 2 sin θ r (rv θ) r ( sin θ f ) + θ θ ] v r ˆφˆφˆφ θ 2 f r 2 sin 2 θ φ 2 ] v s ẑ φ 6
E. a. Neem de divergentie van Ampere: 0 = µ 0 ( J+ɛ 0 t ) en gebruik Gauss: E = ρ/ɛ 0. Dan blijkt ρ t + J = 0. b. Zie opgave 6.2a uit het boek. c. Zie opgave 2.46 uit het boek. 2. In de hiernavolgende oplossingen is α = I/πR 2. a. Uit Gauss volgt E(r, t) = (α/ɛ 0 ) t ẑ, uit Ampere B(r, t) = µ 0 α (s/2) ˆφˆφˆφ. b. U = (µ 0 /2) α 2 (πar 2 ) {(ct) 2 + R 2 /8}. c. Energie-behoud U/t + S da = 0. Poynting vector S = α 2 (t/2ɛ 0 ) s, energiestroom S S da = (α 2 /2ɛ 0 ) t R(2πaR) = U/t QED. S 3. a. Zie boek blz. 75 en 87 b. Zie boek blz. 87 c. Zie boek blz. 88 4. In de hiernavolgende oplossingen is k = Qω/πR 2. a. K = ks ˆφˆφˆφ, m = m0 ẑ met m 0 = kπr 4 /4. b. A(r) (µ 0 m 0 /4π) (sin θ/r 2 ) ˆφˆφˆφ, B(z ẑ) (µ0 kr 4 /8) (/z 3 ) ẑ, c. Uit Biot-Savart volgt B(z ẑ) = (µ 0 k/2) ẑ R 0 (µ 0 k/2) (ẑ/z 3 ) R 0 s3 ds en dat klopt met de eerdere uitdrukking. s 3 ds (s 2 +z 2 ) 3/2. Voor z R volgt B(z ẑ) 5. a. Uit Ampere volgt ikb x = ( iωc 2 )E y en B x /y = ( iω/c 2 )E z ; uit Faraday E z /y ike y = iωb x. Combineren hiervan leidt tot de gegeven differentiaalvergelijking. Omdat de geleider ideaal is moet E z = 0 voor y = 0 en y = a waaruit de gegeven randvoorwaarden volgen. b. B x (y) = B 0 cos(k n y) met k n = nπ/a en n > 0, dus ω > πc/a. c. Complex elektrisch veld Ẽ(r, t) = i(c2 ω) B, reëel veld E = (c 2 k n /ω)b 0 cos(k n y) cos(kz ωt)ŷ+ (c 2 k/ω)b 0 sin(k n y) sin(kz ωt)ẑ < p em >=< ɛ 0 E B >= (k/2ω)b 2 0 cos2 (nπy/a) ẑ