Ileidig Waarom vorme zoebloempitte 2 bochte i de ee richtig e 34 i de adere? E wat heeft ee huisjesslak te make met + 5 2 Zou je deze regelmatighede kue verklare met wiskude? Heeft wiskude cocrete toepassige i de biologie?? Heb je je al ees afgevraagd hoe computerprogrammeurs de virtuele omgevige creëre die gebruikt worde i computerspelletjes? I dit hoofdstuk vid je op deze vrage ee atwoord.. Rije. De rij va Fiboacci Stel dat je ee babykoppel koijtjes bezit. Na éé maad zij ze volwasse e dus vruchtbaar. Na weer éé maad krijgt het volwasse koppel zelf ee babykoppel koijtjes. We veroderstelle dat er gee koijtjes doodgaa e dat elk ieuw koppel a twee maade weer ee ieuw paar voortbregt (zie volgede figuur). oáàéå=j=n
Beschouw i de volgede tabel de voortplatig va de koije. Maad Aatal volwasse pare Aatal babypare Totaal aatal 2 3 2 4 2 3 5 3 2 5 6 5 3 8 7 8 5 3 8 3 8 2 9 2 3 34 34 2 55 Het totaal aatal koijepare vormt de rij va Fiboacci:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, Elke term is de som va de twee voorgaade terme. I symbole: u ( ) = u ( 2) + u ( ). Dit oemt me het recursieve voorschrift va de rij. Bij het berekee va ieuwe elemete, maak je gebruik va de keis va de vorige elemete. Je zou de elemete i de rij ook kue beschouwe als resultate va ee fuctie u : \{}. Je kut aatoe (zie bijlage A) dat voor de rij va Fiboacci het voorschrift gegeve wordt door : + 5 5 2 2 u: \{} : 5 Ga dit a voor u(), u(5) e u(). Ee dergelijk voorschrift oemt me het expliciete voorschrift va de rij. Je maakt u ekel gebruik va het volgummer of idex va het elemet. De op het eerste zicht eigeaardige getalle uit de rij va Fiboacci blijke op heel wat plaatse voor te kome i de atuur. Zoebloeme Het hart va ee zoebloem vertoot spirale die i tegegestelde richtig lope. Het aatal spirale i wijzerzi e i tegewijzerzi zij meestal twee opeevolgede Fiboaccigetalle. Zoebloeme va gemiddelde grootte hebbe meestal 34 e 5 5 spirale. De geoloog T. O Coell e zij vrouw hebbe i 95 ee reuzezoebloem gevode met 44 e 233 spirale. oáàéå=j=o
Aaasse Als je de verschillede spirale bij ee aaas telt, bekom je getalle uit de rij va Fiboacci. 8 3 2 Niet allee i de atuur kome de getalle va Fiboacci verrassed veel voor. Twee voorbeelde : Muziek De zwarte toetse uit de tooladder vorme de 5-toige schaal die later uitgebreid werd met de witte toetse (de 8-toige schaal). Same vorme ze de 3-delige schaal. De vijfdelige schaal is bovedie gegroepeerd i 2 e 3. Poëzie Ee limerick is opgebouwd uit 5 lije met ee totaal aatal va 3 versmate of maatslage, gegroepeerd per 2 of 3 De vrouw va ee deke i Lake Lag s achts diepe zuchte te slake, Zij kreude zacht : O! Het kriebelt mij zo : Wel ee deke i bed, maar gee lake. (Alex va der Heide) 3 mate 3 mate 2 mate 2 mate 3 mate 3 mate.2 Rekekudige e meetkudige rije Voorbeeld Beschouw de rij 5, 8,, 4, 7, 2, 23, Het recursieve e het expliciete voorschrift zij: Recursief: u ( ) = u ( ) + 3 Expliciet: u ( ) = u() + 3( ) Ee rij waarbij elke term met eezelfde getal verschilt va de vorige oemt me ee rekekudige rij. Het verschil, v, tusse twee opeevolgede terme is steeds gelijk. oáàéå=j=p
Voorbeeld 2 Beschouw de rij 6, 8, 54, 62, 486, 458, Het recursieve e het expliciete voorschrift zij: Recursief: u ( ) = 3 u ( ) Expliciet: u ( ) = u() 3 Ee rij waarbij elke term met eezelfde factor verschilt va de vorige oemt me ee meetkudige rij. De verhoudig, r, va twee opeevolgede terme is dus steeds gelijk. Defiities Ee reële rij u is ee afbeeldig va \{} i. De algemee term va de rij is het beeld u ( ) va door u. We otere u ( ) door Ee rekekudige rij met begiterm u e verschil v is de rij met algemee term u ( ) = u = u + ( ) vmet u e v reële getalle. Ee meetkudige rij met begiterm u e verhoudig q is de rij met algemee term u ( ) = u = uq met u e q reële getalle Merk op dat voor zowel rekekudige als meetkudige rije ook recursieve voorschrifte gegeve kue worde. u. Voorbeeld 3 Beschouw de rij, 3, 7, 5, 3, Het recursieve e expliciete voorschrift zij: Recursief: u = 2 u + Expliciet: u = 2 Het recursieve voorschrift va deze rij ka algemee geformuleerd worde als volgt: > : u = au + b ( a, b, u ) met begiterm u. Dit resulteert i ee meetkudige rij als a e b = e ee rekekudige rij als a = e b. Opmerkige Me spreekt va ee strikt stijgede rij als \{}: u+ > u Me spreekt va ee stijgede rij als \{}: u+ u. Elke strikt stijgede rij is stijged. Me spreekt va ee strikt dalede rij als \{}: u+ < u. Me spreekt va ee dalede rij als \{}: u+ u. Elke strikt dalede rij is daled. Me spreekt va ee strikt mootoe rij als de rij strikt daled of strikt stijged is. oáàéå=j=q
Me spreekt va ee mootoe rij als de rij daled of stijged is. Elke strikt mootoe rij is steeds mootoo. Me spreekt va ee costate rij als: IN \{}: u+ = u. a, \ : u a. Me spreekt va ee aar bove begresde rij als { } I dit geval oemt me de rij gemajoreerd. a, \ : u a. Me spreekt va ee aar oder begresde rij als { } I dit geval oemt me de rij gemioreerd. Me spreekt va ee begresde rij als de rij aar bove EN aar oder begresd is..3 Eigeschappe va rekekudige e meetkudige rije.3. Rekekudige rije Beschouw de rekekudige rij u = 5, 8,, 4, 7, 2, 23, 26,, 3 + 2, Beschouw de oderstaade pare va somme: u2 + u4 = 22 u+ u5 = 22 u3 + u4 = 25 u5 + u2 = 25 u3 + u5 = 28 u2 + u6 = 28 Dit geeft de volgede tabel: u +... + u u + u 5 2 3 3 3 24 6 4 38 9 5 55 22 6 75 25 7 98 28 8 24 3 Verwoord de hierbove gevode relatie i de vorm va ee algemee eigeschap. EIGENSCHAP Voor ee rekekudige rij u geldt: (i) klrs,,, \{}: k+ l= r+ s uk + ul = ur + us (ii) \{} : ui = u+... + u = ( u+ u) 2 i= oáàéå=j=r
BEWIJS Zij u ee rekekudige rij met verschil v e k, l, r, s zoals i het gegeve. Om te bewijze dat uk + ul = ur + us schrijf uk, ul, u r e u s i.f.v. u e v. u u k v k = + ( ). k + l = + + l ( ). u = u + l v u u 2 u ( k l 2). v e u u r v r = + ( ). r + s = + + s ( ). u = u + s v u u 2 u ( r s 2). v Hieruit volgt dat uk + ul = ur + us. Zij \{} e stel S = u+ u2 + u3 +... + u. We bepale de som va volgede maier: S = u + u2 + u3 +... + u S = u + u + u 2 +... + u 2 S = ( u + u ) + ( u + u ) + ( u + u ) +... + ( u + u ) terme Pas op 2 S eigeschap (i) toe om aa te toe dat S = ( u + u). 2 S met zichzelf op de.3.2 Meetkudige rije EIGENSCHAP Voor ee meetkudige rij u met ee positieve verhoudig geldt: (i) klrs,,, \{}: k+ l= r+ s uk ul = ur us \{} : u = u... u = ( u u ) (ii) i= i Het bewijs va eigeschap verloopt aaloog als het bewijs va de gelijkaardige eigeschap voor rekekudige rije. Probeer het bewijs te formulere! Opmerkig Formuleer ee eigeschap voor het product va de eerste terme va ee meetkudige rij met ee egatieve verhoudig. Maak ee oderscheid tusse eve e oeve. oáàéå=j=s
EIGENSCHAP 2 Voor ee meetkudige rij met verhoudig q geldt: (i) u+... + u = u als q = q (ii) u+... + u = u q als q BEWIJS Het eerste geval is overduidelijk daar voor q = alle terme gelijk zij aa u. Veroderstel da dat q. I dit geval geldt : u +... + u = u + u q+ u q + u q +... + u q = u ( + q+ q + q +... + q ). 2 3 2 3 2 3 Uit q = ( q) ( + q+ q + q +... + q ) volgt het te bewijze. Opmerkig Voor < q < wordt q praktisch ul voor voldoede groot. q u u q Hieruit volgt voor u+... + u = u = e voor voldoede groot dat q q q u verwaarloosbaar is t.o.v. q. Voor u voldoede groot geldt: u +... + u. q u q q oáàéå=j=t
.4 Uitgewerkte voorbeelde Rije worde o.a. gebruikt om : dyamische processe te beschrijve (dek bijvoorbeeld aa het radioactief verval va ee stof, de voortplatig va ee bepaalde diersoort, ), getalle te beadere (dakzij het gebruik va rije kue vierkatswortels met ee reketoestel of computer sel bereked worde), bij fucties te oderzoeke wat er gebeurt als x zeer grote of zeer kleie waarde aaeemt. Voorbeeld - Itrest Waeer me bij ee bak ee geldbedrag op ee spaarrekeig plaatst, krijgt me daar ee vergoedig voor i de vorm va itrest. Stel dat we ee kapitaal va op ee spaarrekeig zette gedurede ee aatal jare tege ee itrestvoet va 5%. Bij ekelvoudige itrest krijgt me per jaar ee vergoedig va 5. Het kapitaal groeit da jaarlijks aa volges ee rekekudige rij. Stel u = het kapitaal a jare i het geval va ekelvoudige itrest. I werkelijkheid past me echter samegestelde itrest toe. Dit wil zegge dat me i de loop va ee volged jaar iet allee itrest krijgt op het oorsprokelijk kapitaal maar ook op de itrest die me de vorige jare heeft otvage e die me op de spaarrekeig laat staa. Stel v = het kapitaal a jare i het geval va samegestelde itrest. We make ee tabel met de aagroei va het begikapitaal u = v =. aatal jare u 5.,5 = 5 2 5.,5 =. (,5) 2 3 3 5 58.,5 =. (,5) 3 58 4 2 26.,5 =. (,5) 4 26 + 5 (,5) Bij samegestelde itrest groeit het kapitaal aa volges ee meetkudige rij e dit is voor de spaarder gustiger. De algemee formule voor de jaarlijkse samegestelde itrest is ( ) v K = K. + i = K. q, waarbij K het begikapitaal, K het kapitaal a jare, i de itrestvoet (voor 5% is i =,5) e q= + i=.5 de groeifactor per jaar is. De maadelijkse groeifactor is 365 365 we de formule K = K q = K ( ) + i. 2 q e de dagelijkse groeifactor 365 q. Met het aatal dage bekome Tegewoordig passe de meeste bake ee dagelijkse itrest toe volges de formule K 36 i 36 = K +. oáàéå=j=u
I de volgede tabel zie je de verschillede resultate (afgerod) voor os voorbeeld. aatal jare jaarlijks maadelijks dagelijks 5 5 5 2 3 3 3 3 58 58 58 5 276 276 276 We kue os de vraag stelle a hoeveel jaar het startkapitaal verdubbeld is. We vergelijke de ekelvoudige e samegestelde itrest als volgt: Uit de bovestaade schermafdrukke ka je cocludere dat a 5 jaar het kapitaal zeker verdubbeld is bij samegestelde itrest. We kue dit jaartal ook berekee door gebruik te make va de logaritme. Stel dat het kapitaal verdubbeld is a x jaar. Da geldt: x x x log 2 2v =, 5 v 2 =, 5 log 2 = log(, 5 ) log 2 = x log(, 5) x= 4, 2. log(, 5) Voorbeeld 2 Ee bediede i ee bedrijf krijgt ee begisalaris va 2 per maad e ee jaarlijkse opslag va 2. Zij loo groeit aa volges ee rekekudige rij. Ee tweede bediede krijgt hetzelfde begisalaris maar kiest, tot verbazig va de bedrijfsdirecteur, voor ee halfjaarlijkse opslag va slechts 5. jaar eerste tweede 24 2+25 2 242 2+25 3 244 22+225 Welke loosverhogig verkies jij? Voorbeeld 3 - De driehoek va Sierpiski We starte met ee gelijkzijdige driehoek. We trasformere de driehoek tot ee ieuwe figuur door de middes va elke zijde met elkaar te verbide. Je bekomt i de oorsprokelijke driehoek drie ieuwe driehoeke zoals hieroder aagegeve. Elk va die driehoeke ku je op dezelfde wijze trasformere e zo ga je maar door oáàéå=j=v
Na ee vijftal stappe veradert het uitzicht va de bekome driehoek og auwelijks. Ee ieuwe trasformatie levert eezelfde beeld op. De figuur die je uiteidelijk bekomt, oemt me de driehoek va Sierpiski. Het is ee typevoorbeeld va fractale, meetkudige objecte die ee sterke zelfgelijkvormigheid vertoe. Het zij limietobjecte va ee iteratieproces. Iedere stap bij de costructie va de driehoek va Sierpiski is te beschouwe als de uie va de beelde va de vorige figuur oder drie affiee trasformaties i het vlak. I dit geval zij de trasformaties telkes ee samestellig va ee verschuivig e ee homothetie met schaalfactor.5. Aatal trasformaties Aatal driehoeke 3 2 3 2 3 3 3 4 3 4 5 3 5 3 Voorbeeld 4 - DIN-papierformate Volges het DIN (Deutsches Istitut für Normug) moete de afmetige voor papierformate voldoe aa de volgede voorwaarde. Het grootste formaat A heeft ee oppervlakte va m². Als ee blad va het formaat A i twee wordt geplooid, bekomt me ee blad va het formaat A +. Alle formate zij gelijkvormig zodat me tijdes het kopiëre ka vergrote of verkleie aar ee ader DIN-formaat. We bepale de afmetige va de formate A tot A 5. We stelle de volgede vier betrekkige op tusse de hoogte e breedte h, b, h, b va de h h h formate A e A : h b =, h = b, b = e 2 b = b. Door i de vierde betrekkig b, h e b te substituere i fuctie va h, krijge we de volgede afmetige volge : 4 h = 2, waaruit A A A 2 A 3 A 4 A 5 hoogte (mm) 89 84 594 42 297 2 breedte (mm) 84 594 42 297 2 48 Op ee kopieertoestel ka me ee tekst va ee A 4-formaat vergrote op ee A 3-formaat door op de zoomtoets 4% te drukke e verkleie op ee A 5-formaat door op de zoomtoets 7% te drukke. Verklaar! oáàéå=j=nm
Voorbeeld 5 - Frequetie va muziekote Iedere geluidsgolf ka grafisch voorgesteld worde door ee siuscurve. De toohoogte va ee muziekoot wordt bepaald door de frequetie, f, va de siuscurve va de geluidsgolf die deze oot voortbregt. Hoe groter de frequetie, hoe hoger de toohoogte. Twee ote die ee octaaf verschille - bijvoorbeeld ee lage do e hoge do - klike heel mooi same. Dit komt omdat de frequetie va ee hoge do precies dubbel zo groot is als de frequetie va ee lage do. Dit geldt ook voor de adere gelijkamige muziekote. Ee volledig octaaf bestaat uit dertie ote, amelijk acht hele ote (de witte toetse op ee piao) e vijf halve ote (de zwarte toetse op ee piao: de kruise e/of de molle). De frequetie va de opeevolgede ote ( witte e zwarte ) va ee otebalk vorme ee meetkudige rij met als eigeschap dat de frequetie over ee hele octaaf verdubbelt. 2 Omdat f = f q = 2 f geldt dat de rede va deze meetkudige rij gelijk is aa 2 2. 3 Dit ku je zie aa de legte va de pijpe va ee kerkorgel. Bij ee klassiek orgel worde de geluidsgolve voortgebracht door de blaaspijpe. Hoe lager de pijp, hoe groter de frequetie e hoe lager de too. Als de pijpe opgesteld zij va lage aar hoge toe, zulle de opeevolgede pijpe /2 steeds korter worde met ee factor 2, zodat om de 2 pijpe de legte wordt gehalveerd. Ook bij ee gitaar ku je deze meetkudige rij vaststelle. Hier wordt de toohoogte bepaald door de legte va de saar. Hoe korter de saar, hoe hoger de too. De legte va de saar wordt bepaald door de vaste houder op de buik va de gitaar e het dwarsstaafje op de hals waarop de viger va de speler geplaatst is. De legte va de saar va twee opeevolgede ote eemt af met ee factor /2 2 e de legte va de sare va twee ote die ee octaaf verschille veradert met ee factor 2. Voorbeeld 6 - De Koch-kromme A. CONSTRUCTIE Figure zoals de Koch-kromme (zie oderstaade figuur) bekom je door ee aaeeschakelig va steeds dezelfde costructie. I het ideale geval zou die aaeeschakelig ooit eidige. I elke tussestap bekom je vaak ee mooie figuur, met ee hele fije structuur afhakelijk va hoever je gevorderd bet i de opeevolgig va stappe. Hieroder verduidelijke we de costructie va de Koch-kromme. We starte met ee lijstuk, dat we de basis oeme. De basis wordt verdeeld i drie gelijke stukke e het middelste gedeelte vervage we door ee gelijkzijdige driehoek zoder basis. Deze figuur oemt me de geerator. I ee volgede stap passe we dezelfde costructie toe op ieder lijstuk va de geerator. Op ieder lijstuk va deze ieuwe figuur passe we weer deze costructie toe,. De limietfiguur die ostaat uit dit iteratieproces oemt me de Koch-kromme, die me ee klassieker mag oeme i de wereld va fractale. oáàéå=j=nn
Als we de basis va de Koch-kromme vervage door ee gelijkzijdige driehoek e de voorgaade costructie toepasse op iedere zijde geeft dit ee Koch-eilad, ook de Koch-seeuwvlok geoemd. B. DE KOCH-SNEEUWVLOK EN MEETKUNDIGE RIJEN De costructie va de seeuwvlok va Koch otstaat op ee gelijkaardige maier als ee meetkudige rij. I plaats va getalle te beschouwe die steeds met eezelfde factor vermeigvuldigd worde, beschouw je hier driehoeke, die steeds met eezelfde factor verkleid worde. Stap Beschouw ee gelijkzijdige driehoek T met zijde a e oppervlakte A. Stap We verkleie T met ee factor / 3 (/ 3 T ) e plakke drie va deze ieuwe driehoeke op elke zijde va de vorige. De seeuwvlok die zo otstaat heeft 3 4 zijde met elk ee legte va 3 a. Stap 2 We verkleie / 3 T opieuw met ee factor / 3 (/ 9 T ) e plakke 3 4 va deze og kleiere driehoeke op elke zijde. De bekome seeuwvlok heeft u 2 a 3 4 4 = 3 4 zijde met elk ee legte va. 9 oáàéå=j=no
Stap 3 C. DE OPPERVLAKTE VAN DE KOCH-SNEEUWVLOK Bij elke stap k voege we kleie driehoeke met zijde k s k toe. Voor deze rije geldt: stap aatal toegevoegde driehoeke legte zijde toegevoegde driehoeke 3 a /3 2 3 4 a /9 3 3 4 4 a /27 k 34 k = s = a (/ 3) k k k 3 2 Voor de driehoek T geldt A = a. Beschouw de rij A met 4 de e costructiestap va de Koch-seeuwvlok. Da geldt : A de oppervlakte va de figuur uit 3 3 3 4 A A s A a A a 4 4 3 2 9 k 2 k 2 2 k+ = k + k k = k + 34 =. 2k k + k 2 k 3 4 4 4 Ak + = A + + + +... + a 2 k 2 9 9 9 De uitdrukkig tusse hake ku je opvatte als de som va elemete va ee meetkudige rij met begiterm e verhoudig 4. Uit eigeschap 2 va meetkudige rije volgt dat deze som ogeveer 9 2 gelijk is aa 9 = 4 5 9 voor k voldoede groot. De oppervlakte va de Koch-seeuwvlok is gelijk aa: 3 9 3 3 9 2 8 A= A + a = a + a = 3 a = A 2 5 4 2 5 5 5 2 2 2 2 Ee oeidig proces resulteert blijkbaar i ee ieuwe figuur met eidige oppervlakte. oáàéå=j=np
Het aatal zijde va de figuur i de k e costructiestap is gelijk aa 3 4 k. De omtrek va de seeuwvlok is a k costructiestappe gelijk is aa k 4 3a 3. Hoe meer costructiestappe je zet, hoe groter de omtrek. Het is zelfs zo dat de omtrek obegresd groter wordt. Het feit dat de omtrek va de Koch-seeuwvlok oeidig is, maakt het resultaat va ee eidige oppervlakte og verrasseder. Me zou kue zegge dat de Koch-seeuwvlok ee voorstellig geeft va de som va de elemete va ee oeidige meetkudige rij. D. ITERATIE De Koch-seeuwvlok is ee typevoorbeeld va ee iteratieproces dat aa de basis ligt va het creëre va virtuele omgevige. I plaats va figure te toe aa de had va bitmaps die veel bestadsruimte ieme, traag ilaadbaar e iet dyamisch, kue computerspecialiste dergelijke iteratieprocesse gebruike om allerlei vorme te beschrijve. Met ee relatief eevoudig computeralgoritme kue dergelijke vorme sel zichtbaar gemaakt worde (zie bijlage C). Voorbeeld 7 - Grote e kleie wijzers Beschouw ee aaloog uurwerk met wijzers die met ee cotiue selheid roddraaie. Hoe dikwijls zal de grote wijzer de kleie wijzer ihale tusse. uur ( s achts) e 3. uur ( s middags)? Dit gebeurt elf maal, amelijk eemaal tijdes ieder gas uur (bijvoorbeeld tusse. e 2. uur), behalve tusse. uur e 3. uur. I de loop va deze twee uur gebeurt dit maar éémaal, amelijk om 2. uur. Dit is logisch wat waeer de grote wijzer twaalf maal is rodgedraaid, is de kleie wijzer eemaal rod geweest. Hoe laat (= hoeveel miute a het passere va het gase uur) zal de grote wijzer telkes de kleie voorbij steke? Bijvoorbeeld tusse 7. e 8. uur gebeurt dit later (= meer miute a het gase uur) da tusse 4. e 5. uur omdat de kleie wijzer meer voorsprog heeft op de grote wijzer die dus telkes va bove vertrekt. Welke soort rij vorme deze tijdstippe? Als voorbeeld berekee we exact het tijdstip waarop de grote wijzer de kleie wijzer ihaalt tusse 7. e 8. uur. Voor de twee wijzers moete we eezelfde eeheid gebruike. Als eeheid gebruike we de miuut. Voor de grote wijzer is dit logisch. Maar als de kleie wijzer op 7 staat, heeft hij de waarde 35. Om 7. uur precies staat de grote wijzer op e de kleie wijzer op 35. Als de grote wijzer zich verplaatst heeft aar 35, heeft de kleie wijzer zich ook ee stukje verder verplaatst. Waeer de grote wijzer dit stukje overbrugd heeft, is de kleie wijzer weer ee og kleier stukje verder bewoge e moet de grote wijzer ook dit stukje weer overbrugge. Maar da gaat de kleie wijzer weer ee beetje verder,. Volges de paradox va Zeo zal de grote wijzer de kleie wijzer ooit kue ihale, maar het is duidelijk dat dit wel zal gebeure (de tijd staat iet stil!). Maar waeer juist? De selheid va de kleie wijzer is twaalf keer kleier da die va de grote wijzer. Waeer de grote wijzer de eerste 35 miute heeft overbrugd, heeft de kleie wijzer 35 2 miute afgelegd. Als de grote wijzer deze afstad heeft igehaald, heeft de kleie wijzer weer 35 44 miute afgelegd. oáàéå=j=nq
Deze stukjes vorme dus ee meetkudige rij met 35 ( t ) als eerste term e ( q ) als verhoudig. 2 Vermits de verhoudig kleier is da, kue we stelle dat de som va deze (oeidig vele) stukjes eidig is e ogeveer gelijk aa: t 35 35.2 42 38,88... q = = = = 2. Het juiste tijdstip is dus 7 uur e 38,88 miute of 7:38:,99 uur. De adere tijdstippe vid je i de volgede tabel: tusse t e uur. 2. 5 2. 3. 3. 4. 5 4. 5. 2 5. 6. 25 6. 7. 3 7. 8. 35 8. 9. 4 9.. 45.. 5 som ( q = ) 2 6 2 8 24 3 36 42 48 54 6 66 6. 3. 55 = tijdstip exact uur e 5,4545 mi :5:27,2727 2 uur e,99 mi 2::54,5454 3 uur e 6,3636 mi 3:6:2,88 4 uur e 2,88 mi 4:2:49,99 5 uur e 27,2727 mi 5:27:6,3636 6 uur e 32,7272 mi 6:32:43,6363 7 uur e 38,88 mi 7:38:,99 8 uur e 43,6363 mi 8:43:38,88 9 uur e 49,99 mi 9:49:5,4545 uur e 54,5454 mi :54:32,7272 uur e 6 mi 2:: Deze tijdstippe vorme ee rekekudige rij met als verschil uur e 6 Dit is atuurlijk het elfde deel va de verlope 2 uur. miute, of 72 miute. oáàéå=j=nr
Voorbeeld 8 - Ee botsede bal Laat ee balletje valle va op ee hoogte va éé meter e meet hoe hoog het balletje weer opbotst. Doe dit verschillede kere e maak ee zo auwkeurig mogelijk gemiddelde. Deze (gemiddelde) hoogte drukke we uit i ee percetage ( p % ) e oeme dit de veerkracht va het balletje (Als het balletje 7 cm opbotst, is de veerkracht 7%). We gaa u berekee a hoeveel secode het balletje doodvalt. Dit is waeer het balletje iet meer botst, maar begit te rolle. Dit ka met ee eevoudige chroometer gecotroleerd worde. We gaa eerst a welke afstad het balletje heeft afgelegd. Het valt eerst m aar beede. Daara botst het weer op e valt weer over de hoogte die p % is va de vorige hoogte. Deze opeevolgede hoogtes vorme ee meetkudige rij met als eerste term e verhoudig p %. De totale afgelegde weg is: p 2 3 p p p + p + 2 ( + + +...) = + 2 =. p p Idie bijvoorbeeld de veerkracht 7% is, is de totale afgelegde weg 7 3 meter. 2 g t Uit de formule voor de vrije val h = volgt dat t 2 2 = h. g Op dezelfde maier berekee we de totale tijd. 2 3 p 2 p 2 p 2 p 2 2 t = + 2 + + +... = + 2 g g p Voor p = 7 wordt dit da bijvoorbeeld 5,77s. Voorbeeld 9 - Spare e lee Jaarlijks spare va ee vast bedrag Stel dat je vaaf ee leeftijd va 4 jaar ieder jaar 5 spaart. Als je dit doet tot je 3 jaar bet, hoeveel heb je da op je spaarboekje staa i de veroderstellig dat gedurede deze hele periode de itrestvoet 8% is? Je eerste betalig va 5 heeft op het eide 6 jaar itrest opgebracht e heeft da ee waarde va 5 (,8) 6. Zo heeft je tweede betalig op het eide de waarde va 5 (,8) 5. De laatste betalig va 5 doe je als je 29 bet e heeft ee jaar later ee waarde va 5,8. 6 2 3 5 6) 5 (, 8) + (, 8) + (, 8) +... + (, 8) + (, 8) = 5 (, 8) t t= Het totale kapitaal is :. Deze som ka bereked worde als de som va de terme va de meetkudige rij met u = q=, 8 e = 6. 6 (,8) Deze som is gelijk aa 5,8 = 5 32,752 = 637,5 euro. (,8) oáàéå=j=ns
Het gespaarde bedrag va 8 (6 maal 5) is meer da verdubbeld. De algemee formule voor ee jaarlijks kapitaal k dat gedurede jare wordt gespaard tege ee t ( + i) itrestvoet va i (=.i %) is het eidkapitaal K = k ( + i) = k ( + i). i Lee va ee bedrag Lee is het omgekeerde va spare. Je betaalt eveees jaarlijks (of maadelijks) ee vast bedrag. Bij spare heb je het geld odig op het eide va ee bepaalde periode e bij ee leig heb je het geld odig i het begi va ee bepaalde periode. Eerst berekee we het bedrag dat we zoude gespaard hebbe met de jaarlijks gestorte afbetalige. Daara beschouwe we dit bedrag als ee eidkapitaal waarva we u het begikapitaal wille hebbe. Stel dat je ee voorlopig obeked bedrag B wil lee. Om dit geleed bedrag terug te betale, stort je vaaf volged jaar - e dit gedurede 6 jaar - 5. Idie we dit geld zoude gespaard hebbe, kue we a 6 jaar beschikke over ee kapitaal va 5 5 (, 8) t = 56, 2 euro. Let op de adere begi- e eidwaarde voor t te opzichte va de t= formule bij het spare. Dit komt omdat alle stortige u éé jaar later gebeure. De algemee formule voor dit bedrag wordt met dezelfde otaties als hierbove is: ( + i) K = k + i = k i t ( ). t= Dit is het gespaarde eidbedrag K 6 over 6 jaar. Het overeekomstige begibedrag K = B is het bedrag waarover we u wille beschikke. Volges de formule K K ( i) 6 = K waaruit volgt B K 442,57 56, 2.(, 8) De algemee formule is B t= = = euro. = + geldt t k ( + i) t= k ( + i) k = = = B het geleed bedrag is, k het bedrag is va de jaarlijkse afbetalige, i de itrestvoet is (.i %), het aatal jare is waarover de leig loopt. ( ) waarbij ( + i) i ( + i) i ( + i) oáàéå=j=nt
.5 Opdrachte Opdracht - Wereldbevolkig Als er 5 miljard mese zij op aarde e de groei bedraagt jaarlijks,6%. Ka je da de bevolkigstoeame voorspelle? Teke het verloop va deze rij met je grafische rekemachie. Bepaal grafisch a hoeveel tijd de wereldbevolkig groter is da 6 miljard. Opdracht 2 - Visbak Veroderstel dat je ee visbak hebt met l kraatjeswater. Het water is iet heel zuiver. Me stelt de pollutie q =, (cocetratie i kg/l). Wekelijks verdampt 2 l zuiver water. Daardoor eemt de cocetratie va de verotreiigig toe. Om dat tege te gaa eemt me vijf liter water uit het aquarium e voegt me weer 7 l kraatjeswater toe zodat de bak weer volledig vol is. Beschrijf de evolutie va de hoeveelheid verotreiigig i de visbak aa de had va rije. Ku je m.a.w. zegge hoeveel verotreiigde stof er og aawezig is i het water a weke. Opdracht 3 - Beheer va ee woud I ee bos zij de bome geklasseerd i drie groepe: A mider da jaar oud - [,[ B tusse de e de 3 jaar - [,3] C ouder da 3 jaar - ]3, + [ We eme aa dat allee oude bome kapot gaa. I 2 jaar gaa 2% va de bome va A aar B, % va B aar C e 5% va C gaat kapot. Ee boom va A bregt gemiddeld 5,2 ieuwe bome voort, ee boom va B gemiddeld 5 e ee boom va C gemiddeld 2. Stel A, B, C de populaties va A, B e C e A+, B+, C+ de populaties va 2 jaar adie. Neem als begipopulaties A =, B = 2 e C = 2. Beschrijf de evolutie va de populatie i dit bos. Maak gebruik va rije va matrices. Opdracht 4 Ee vlieg legt ee afstad va m af i verschillede stappe. I éé stap legt ze telkes de halve weg af va wat og overblijft. Noem u de afgelegde weg a stappe. Ku je ee voorschrift vide voor u? Legt de vlieg ooit de volledige weg af. Opdracht 5 Beschouw ee woud met 4 bome. Va die bome worde er jaarlijks 2% gekapt e verkocht. I de plaats daarva worde er telkes ieuwe geplat. Hoeveel bome staa er i het bos a jaar? Opdracht 6 Ee blad papier met ee dikte va, mm plooit me i twee. De dikte wordt da,2 mm. Na og ee keer dubbel plooie wordt de dikte,4 mm, Wat wordt de dikte a 3 maal plooie? E a 5 maal? Hoe dikwijls moet me het blad papier plooie om de afstad va de aarde tot de maa (385. km) te overbrugge? Probeer ee blad papier met A4-formaat ee aatal keer plooie? Hoeveel maal lukt dit? Stel dat ee blad papier met ee dikte va, mm ee voldoede aatal keer ka geplooid worde. Wat moet da de oppervlakte va het blad zij opdat de oppervlakte a dertig keer plooie cm² is? Cotroleer of het volume va het ogeplooide blad papier e het volume va de stapel a 3 keer plooie gelijk zij. oáàéå=j=nu
Opdracht 7 - Met alle Chieze.. Toe ee rijke Chiese pris tege het valle va de avod vaststelde dat hij, ver va zij kasteel, de terugweg iet meer vod, geraakte hij paiek. Gelukkig kwam hij twee arme ladmae tege, die lags de rad va de weg zate te schake e die hem de juiste terugweg kode uitlegge. Als beloig mochte zij aa de pris ee rijkelijke vergoedig vrage. Tot grote verbazig va de pris, zeide de twee mae dat zij al gelukkig zoude zij met ekele graakorrels. Zij vroege éé graakorrel op het eerste vakje va hu schaakbord, twee korrels op het tweede vakje, vier op het volgede, da acht, ezoverder tot het laatste, vierezestigste vakje. De pris maakte zich de bedekig dat deze twee arme kerels wel met heel weiig tevrede ware e odigde he da ook uit om s aderedaags met paard e kar aar het paleis te kome om hu beloig af te hale. E s avods liet de pris de hoeveelheid graa door zij graameester berekee. Hoeveel graakorrels ligge er op het vierezestigste vakje? Hoeveel graakorrels ligge er op het hele schaakbord? Als éé korrel ee massa va,5 g heeft, wat is da de totale massa? Opdracht 8 - De Tores va Haoi Ee tore va Haoi bestaat uit ee aatal schijve met verschillede diameter, die over ee verticale staaf (A) geschove worde, zodat de diameters va de schijve aar bove toe afeme. Met behulp va ee middestaaf (B) moete de schijve over ee derde staaf (C) geschove worde, zodaig dat bij elke beurt juist éé schijf mag verplaatst worde e er ooit ee grotere schijf op ee kleiere schijf mag ligge. A B C Hoeveel verplaatsigsbeurte zij er odig als de tore 3, 4, 5, 6 schijve bevat? Geef ee recursief e ee expliciet voorschrift voor deze rij. Volges de legede bevidt zich i ee tempel va Haoi ee tore met 64 schijve. Moike zij bezig met het verplaatse va deze schijve. Iedere miuut, dag e acht, wordt er éé schijf verplaatst. Als de tore volledig verplaatst is, zal de wereld vergaa. Waeer zal dat zij als ze op 28 oktober 47 gestart zij met deze opdracht? oáàéå=j=nv
Opdracht 9 - Spare e lee Als we stelle dat de itrestvoet 6% is kue we os de volgede vrage stelle. Welk bedrag kue we lee als we gedurede 2 jaar jaarlijks 5 terugbetale? Welk bedrag moete we gedurede jaar jaarlijks betale om ee bedrag va te lee? We wille 5 lee e hiervoor jaarlijks 3 betale. Hoeveel jare zal deze leig lope? oáàéå=j=om