Financiële Wiskunde. 1

Transcriptie

1 1. BRIGGSE LOGARITMEN... 3 DEFINITIES EN EIGENSCHAPPEN VAN MACHTEN...3 DEFINITIE VAN LOGARITME...5 DE BRIGGSE LOGARITME...6 Omiddellijke eigeschappe...6 Eigeschappe va (Briggse) logaritme...7 DE EXPONENTIËLE VERGELIJKING KAPITAAL EN INTREST...12 SYMBOLIEK...12 VERBAND TUSSEN KAPITAAL EN RENTEVOET ENKELVOUDIGE INTREST...13 DEFINITIE...13 HOOFDFORMULE...13 EINDWAARDE VAN EEN KAPITAAL...16 AFGELEIDE FORMULES...16 ENKELVOUDIGE INTREST MET DE TI83 MET HET PROGRAMMA FINANCE SAMENGESTELDE INTREST...23 DEFINITIE EINDWAARDE VAN EEN KAPITAAL EEN PROGRAMMAATJE SCHRIJVEN VOOR ONZE TI AFGELEIDE FORMULES EENVOUDIGE PROGRAMMAATJES VOOR ONS REKENTOESTEL TI SAMENGESTELDE INTREST MET DE TI83 MET HET PROGRAMMA FINANCE SAMENGESTELDE INTREST MET DE APPLICATIE FINANCE...31 IN HET ROOD GAAN KOMT JE DUUR TE STAAN GELIJKWAARDIGE RENTEVOETEN...40 DEFINITIE VERBAND TUSSEN GELIJKWAARDIGE RENTEVOETEN REËLE EN NOMINALE RENTEVOETEN...41 Fiaciële Wiskude. 1

2 6. DE KASBON...44 SOORTEN KASBONS INTRESTBEREKENING EN JAARLIJKS NETTORENDEMENT ANNUITEITEN...52 DE EINDWAARDE VAN EEN POSTNUMERANDO ANNUÏTEIT DE EINDWAARDE VAN EEN PRENUMERANDO ANNUÏTEIT DE BEGINWAARDE VAN EEN ANNUÏTEIT AFGELEIDE FORMULES Bepalig va de termij Bepalig va de periode Bepale va de retevoet KOPEN OP KREDIET...73 MENSUALITEIT, LASTENPERCENTAGE, JAARLIJKS KOSTENPERCENTAGE KOOP OP AFBETALING HYPOTHECAIRE LENING...77 BEREKENING VAN HET RENTEBESTANDDEEL BEREKENING VAN HET KAPITAALBESTANDDEEL AFLOSSINGSPLAN WE KUNNEN DEZE AFLOSSINGSTABEL OOK GENEREREN MET ONZE TI We zulle de formules zelf igeve...81 We kue gebruik make va de igebouwde fiaciële fucties SCHULDSALDO OP EEN WILLEKEURIG TIJDSTIP Fiaciële Wiskude. 2

3 1. BRIGGSE LOGARITMEN Defiities e eigeschappe va machte Bereke met uw reketoestel oderstaade resultate 1 2 = = 0 5 = ( ) = = 5 ( ) Vul u aa de had va bovestaade resultate oderstaade defiities e eigeschappe aa a R, 0 {} 1 : a = a.a.... a factore 1 a R : a = 0 a R : a = o a, : a R0 = De -de machtswortel (ratioale expoet) Defiitie Ee getal b heet ee -de machtswortel te zij va a b = a 2 is ee 3-de machtswortel va 8 omdat 2 3 = 8 4 is ee 2-de machtwortel (vierkatswortel) va 16 omdat -2 is ee 5-de machtswortel va -32 omdat -16 heeft gee 4-de machtswortel omdat Fiaciële Wiskude. 3

4 Dus geldt: De eve machtswortel bestaat allee voor positieve getalle, maar dat zij er wel twee. De oeve machtswortel ka uit elk getal geome worde e hij heeft het teke va het getal zelf. Notatie De -de machtswortel va ee getal a otere we a of a 1 Zodoede geldt 1 R q q q a, q : a = a = b b =a q 1 q q R q a, q : a = ( a ) = a als de lede zivol zij Ee -de machtswortel berekee met het reketoestel TI83 ka op verschillede maiere Verder ka me ook aatoe dat de vroeger geformuleerde eigeschappe va kracht blijve voor ratioale expoete a, b R, p, q : p = ( a.b ) p q ( a ) = als de lede zivol zij p q a.a = Fiaciële Wiskude. 4

5 Defiitie va logaritme Als bij ee machtsverheffig de macht e de expoet gegeve zij, da berekee we het grodtal met de omgekeerde bewerkig va de machtsverheffig amelijk de Voorbeelde 5 x = 32 x = 5 x = 32 x = 4 x = 20 x = 4 x = 16 x = Om de expoet te berekee als het grodtal e de macht gegeve zij, hebbe we ee geheel adere bewerkig odig Voorbeelde Wat is de expoet die je aa 3 moet geve om 243 te bekome x 3 = 243 x = Wat is de expoet die je aa 5 moet geve om 30 te bekome x 5 = 30 x = Het bovestaade probleem oplosse lijkt iet voor de had ligged. We kue allee vermoede dat de gezochte expoet tusse 2 e 3 ligt omdat 5 2 = 25 e 5 3 = 125. Dat het probleem wel degelijk ee oplossig heeft kue we illustrere met het grafisch reketoestel. Voer de fuctie f: x 5 x i als Y 1 o 55 ^ x Voer de fuctie g : x 30 (rechte X as) i als Y 2 o 530 [ ] [ ] Kies ee tekevester zodat x 1,5 e y 10,40 p Laat beide fucties tekee met s Bepaal de doorsede va beide grafieke CALC (via y r ), 5:itersect, geef als als first curve, druk op ENTER, geef als Secod curve Y e ENTER, voor Y1 2 het uitvoere va Guess? zorge we dat ee x-waarde voor of ee het sijput igegeve wordt (vb 1 ENTER ) Noteer het resultaat e bereke u zelf ees 5 tot de macht deze expoet. Deze expoet zulle we de 5-logaritme va 30 oeme Fiaciële Wiskude. 5

6 DEFINITIE De g-logaritme va het getal a is het getal dat als expoet va het grodtal g gebruikt moet worde om a te bekome + g x g R {} 1, a R : loga= x g = a Voorbeelde log81 = 4 wat 3 = log64 = wat 4 = ( ).. log 4 = wat 2 = 4 2. log100 = wat 10 = De Briggse logaritme Als we als grodtal voor de logaritme 10 eme, da spreke we va Briggse logaritme (aar de Egelse wiskudige Hery Briggs ). Deze logaritme wordt meestal kortweg logaritme geoemd e aageduid met log. + x a R0 : loga= x 10 = a De Briggse logaritme va ee getal is de expoet die je aa 10 moet geve om dat getal te vide als uitkomst va de machtsverheffig. Bereke met het reketoestel 5 - log 10 = 3 - log 10 = log3-10 = Omiddellijke eigeschappe a - log 10 = log a - 10 = Fiaciële Wiskude. 6

7 Eigeschappe va (Briggse) logaritme 1) bereke met het reketoestel log 2 + log 50 = log(2.50)=log 100 = Wat stel je vast? De logaritme va ee product is gelijk aa ( ) a, b : log a.b + R 0 = Bewijs 2) bereke met het reketoestel 4log 25= 4 log( 25 )=log 100 = Wat stel je vast? De logaritme va ee macht is gelijk aa a, b : log a + b R0 = Bewijs Fiaciële Wiskude. 7

8 3) bereke met het reketoestel log 200 log 2 = 200 log = 2 Wat stel je vast? De logaritme va ee quotiët is gelijk aa a a, b : log b + R 0 = Bewijs 4) Bereke met het reketoestel 1 log log125 = log 125 Wat stel je vast? De logaritme va ee -de machtswortel is gelijk aa + R 0 0 a, {} 1 : log a = Bewijs Fiaciële Wiskude. 8

9 De expoetiële vergelijkig Ee vergelijkig va de vorm a x = b waarbij a e b gekede reële getalle zij e de obekede x dus i de expoet staat, oemt me ee expoetiële vergelijkig. Om dergelijke vergelijkige op te losse eemt me va beide lede de logaritme e maakt me gebruik va de eigeschappe om x af te zodere. Voorbeelde x 3, 25 = 25 x log 3,25 = log 25 x.log 3,25 = log 25 log 25 x = = log 3,25 cotroleer uw oplossig door a het uitrekee va log25 log3,25 ANS stel u 3.25 tot de macht dat getal te berekee ( 3, 25 ) met uw reketoe- 5) x , 085 = 56524, ) , 471 x ( ) , 05 1 = 0, 05 Fiaciële Wiskude. 9

10 Oefeige op logaritme 1) Herschrijf met zo weiig mogelijk logaritme door de eigeschappe va machte e logaritme te gebruike a ] log27 log3 b ] 3.(log5 log2) c ] log 8 log 2 d ] 5.log 2 6.log 3 log log 3 e ] log3 7.log5 log2 log6 2) Bereke M = door eerst log M te berekee Fiaciële Wiskude. 10

11 3) Bereke oderstaade uitdrukkige als je weet dat log x = 5 1) log x 3.log x 2) 3 2 log x + log x 2.log x 3) log x log x + log x ) Los oderstaade expoetiële vergelijkige op a ] x 3 = b ] x 7, 56 = 15294, 38 c ] 3x 4, = d ] 3x 5 2, 75 = 5, e ] 5417 = 457 x 3 x 4 Fiaciële Wiskude. 11

12 2. KAPITAAL EN INTREST Symboliek Kapitaal duide we aa met de letter k Itrest, de vergoedig die ee kapitaal opbregt, duide we aa met de letter I De periode (het aatal tijdseehede) stelle we voor met de letter De retevoet waarva de itrest afhagt duide we aa met de letter i De itrest va 100 Euro per tijdseeheid, het percet, otere we met de letter p Het verbad tusse p e i p p = 100.i i = 100 Verbad tusse kapitaal e retevoet Ee kapitaal va uitzette tege 6,25% per jaar beteket: - elke hoderd Euro bregt itrest op - elke Euro bregt itrest op Euro bregt itrest op Fiaciële Wiskude. 12

13 3. ENKELVOUDIGE INTREST Defiitie Ee uitgezet kapitaal bregt ekelvoudige itrest op als Hoofdformule Vermits de itrest recht everedig is met de tijdseeheid geldt: I = k. i.. Bij het gebruik va deze formule moet me er goed op toezie dat de beleggigstijd i dezelfde eeheid uitgedrukt wordt als de retevoet. Idie aders reket me met de verbade: 1jaar = 2 semesters = 4 trimesters = 12 maade = 365(366)dage is de retevoet jaarlijks da stemt 7 maade overee met. va ee jaar is de retevoet jaarlijks da stemt 137 dage overee met. va ee jaar is de retevoet semestrieel da stemt 8 maade overee met.. semesters is de retevoet trimestrieel da stemt 27 dage overee met trimesters Bij ekelvoudige itrest is het heel gemakkelijk om retevoete om te zette Zo is 12% per jaar = % per semester = % per trimester = % per maad Fiaciële Wiskude. 13

14 Het is helemaal iet moeilijk om voor de TI83 ee programma te schrijve dat de itrest bereket bij gegeve waarde voor begikapitaal, retevoet e aatal periodes Druk op PRGM Ga met de pijltoets aar NEW e druk op ENTER (dus 1:CREATE NEW werd gekoze) Geef ee aam i bv INTREST (je mag hier de letters kieze zoder ALPHA of A-LOCK te moete gebruike) We vrage aar de igave va het begikapitaal met Iput K Deze regel bekome we door op PRGM te drukke, met de pijltoets aar I/O te gaa, 1 i te drukke (om 1:Iput te bekome), vervolges op ALPHA ( te drukke (letter K) e teslotte te ENTERe Op aaloge maier vrage we om retevoet R e aatal periodes N i te geve We bereke de itrest als het produkt K*I*N e slaa dit op (toets STO ) i de variabele I Om het resultaat te late zie geve we het commado Disp I i door te drukke om PRGM, te bewege aar I/O e 3 te drukke e vervolges ALPHA I Drukke we u op 2d MODE da kome we i os basisscherm. Om het programma u te gebruike drukke we op PRGM e kieze oder de EXEC het juiste programma door te ENTE- Re. Zoals je hieraast ziet is het programma verre va gebruiksvriedelijk. Fiaciële Wiskude. 14

15 Daarom gaa we er op de gepaste plaatse commetaar aa toevoege door op PRGM te drukke, te kieze voor EDIT e het juiste programma. Sta je op de eerste regel da ka je door 2d INS ENTER ee lege regel toevoege. I die regel zette we u via PRGM I/O 3:Disp het commado Disp dat we late volge door de geweste tekst tusse aahaligsteke (bij de +) (gebruik A-LOCK om vlug de tekst i te tikke) Het programma ka u ook gebruikt worde door ee vreemde Het feit dat we os reketoestel kue voorzie va allerhade programmaatjes mag er os iet va weerhoude de formules va buite te lere. Deze parate keis is immers omisbaar voor ee begrijped izicht i de rest va de formules die og afgeleid diee te worde. Fiaciële Wiskude. 15

16 Eidwaarde va ee kapitaal De eidwaarde (K) va ee kapitaal k is gelijk aa de som va het begikapitaal e de itrest K = k + I = k + k. i. = k.( 1 + i. ) Voorbeelde 1) Wat is de eidwaarde voor ee kapitaal va op ekelvoudige itrest geplaatst va 8 september tot 7 ovember tege 5,25% ekelvoudige itrest? 2) Wat is de eidwaarde voor ee kapitaal va 3,25 miljard op ekelvoudige itrest geplaatst gedurede 2 maade tege 4,25%? Afgeleide formules Uit de hoofdformules ka me ee aatal eveformules afleide. Uit I = k. i. I I k = i= = I i. k. i.k Uit K = k.( 1 + i. ) K K k K k k = i= = 1+ i. k. k.i Fiaciële Wiskude. 16

17 Voorbeelde - Ee kapitaal wordt op ekelvoudige itrest geplaatst va 13 september tot 5 december tege 5,25% e groeit aa tot 450. Bereke de begiwaarde. - Hoelag moet me ee kapitaal va late uitstaa aa ekelvoudige itrest tege 3,75% om het te late aagroeie met 5 000? - Tege welk procet levert ee kapitaal va a 7 maade ekelvoudige itrest ee eidwaarde op va ? Fiaciële Wiskude. 17

18 Dag va de maad Jauari Februari Maart April Mei Jui Juli Oktober Augustus September November December * (60) I ee schrikkeljaar worde de volgummers vaaf 1 maart met éé vermeerderd Fiaciële Wiskude. 18

19 OEFENINGEN ENKELVOUDIGE INTREST 1) Bereke het otbrekede i oderstaade tabel k i I K ,25% 1 jaar maade 276 0, maa maade % ,5 mil- 2,25% 7 maade 4,75% 56 dage m e 3 d 300 1,3% ) Me koopt ee huis voor dat me afschrijft over ee periode va 20 jaar. De jaarlijkse elektriciteits-, water- e oderhoudsrekeige vertegewoordige ee bedrag va Welke huurprijs moet me voor dit huis vrage, opdat het kapitaal 6% per jaar zou opbrege? 3) Hoelag moet ee kapitaal tege 3,75% ekelvoudige itrest uitstaa opdat: a) De itrest gelijk zou zij aa het kapitaal? b) De itrest ee derde zou zij va het kapitaal? Fiaciële Wiskude. 19

20 Ekelvoudige itrest met de TI83 met het programma FINANCE Het programmaatje FINANCE, te vide op iteret, staat iet stadaard op de TI83 maar ka er met de zwarte kabel opgeplaatst worde. Daartoe gaa we als volgt te werk: Het toestel dat het programmaatje moet otvage zette we klaar om te otvage met 2d LINK RECEIVE 1:RECEIVE ENTER Waitig Het toestel dat het programmaatje moet verzede zette we klaar om te verzede met 2d LINK SEND 3:Prgm SELECT >FINANCE ENTER TRANSMIT 1:TRANSMIT ENTER Eemaal het programma op uw toestel aawezig ga je als volgt te werk: Druk op PRGM Kies voor EXEC Druk op ENTER 3:FINANCE Wie liever zelf het programmaatje itikt of het aar eige ideeë wil aapasse vidt het achteraa de cursus i bijlage Fiaciële Wiskude. 20

21 Voor ekelvoudige itrest kieze we dus voor 1:SIMPLE INT. Itrestberekeig Gegeve kapitaal va aa 4,25% gedurede 1 jaar Gevraagd itrest Oplossig kies voor 1:INTEREST, vul i PRIN = RATE= TIME=1 e druk op ENTER Itrestberekeig Gegeve kapitaal gedurede 2maade levert 276 itrest op Gevraagd retevoet Oplossig kies voor 3:RATE, vul i PRIN = INT=276 TIME=2/12 e druk op ENTER Fiaciële Wiskude. 21

22 Kapitaalsberekeig Gegeve kapitaal bregt a 56 dage tege 4,75%, 124 itrest op Gevraagd kapitaal Oplossig kies voor 2:PRINCIPAL, vul i INT = 124 TIME=56/365 e druk op ENTER RATE= Berekeig periode Gegeve bregt 4692 itrest op aa 1,3 % per trim Gevraagd periode Oplossig kies voor 4:TIME, vul i INT = 4692 RATE=0.013*4 e druk op ENTER Fiaciële Wiskude. 22

23 4. SAMENGESTELDE INTREST Defiitie Ee kapitaal bregt samegestelde itrest op, als de itrest a elke beleggigseeheid bij het kapitaal gevoegd wordt om opieuw itrest op te brege (de itrest wordt gekapitaliseerd) Vergelijke we de systeme va ekelvoudige itrest e samegestelde itrest voor ee kapitaal va uitgezet tege 4,75% Ekelvoudige itrest Samegestelde itrest k I K k I K , , , Grafisch zie we het verschil ook duidelijk a verloop va jare Bekijke we eerst ees de evolutie va de eidwaarde voor beide soorte itrestberekeig door volgede stappe te odereme met os reketoestel: Druk op MODE, ga met de pijltoets aar de vierde rij ( Fuc Par Pol Sec ) e activeer de laatste i de rij door er met de pijltoets aar toe te gaa e op ENTER te drukke Druk op Y= e vul i zoals op evestaad scherm Druk op Widow e vul i : Mi=0 ; Max=30 ; Xmi=0 ; Xmax=30 ; Ymi=-5000 ; Ymax=40000 ; Yscl=5000 Druk op GRAPH e teke hieroder het resultaat Fiaciële Wiskude. 23

24 Eidwaarde va ee kapitaal Waeer de retevoet i is, da is de eidwaarde a verloop va éé tijdseeheid = k. ( 1 + i). Stelle we 1+i gelijk aa u de retefactor da is die eidwaarde k.u Stelle we de eidwaarde a éé tijdseeheid voor door k 1 da geldt k1 = k.(1+ i) = k.u Vermits we u werke met het systeem va samegestelde itrest is deze eidwaarde a éé periode het begikapitaal bij aavag va de tweede periode. Late we dit kapitaal opieuw ee periode uitstaa tege de retevoet i, da zal de eidwaarde va dit kapitaal gelijk zij aa k.(1+ i) = k.u 1 1 Vermits het oorsprokelijke kapitaal k u al 2 jaar uitstaat ligt het voor de had dat we deze eidwaarde voorstelle met k (de eidwaarde va kapitaal k a 2 jaar samegestelde itrest) Zodoede geldt k = k.u = k.u.u = k. u.u = k.u ( ) ( ) 2 De eidwaarde a 2 periodes is u het begikapitaal bij aavag va de 3 de periode. Late we dit kapitaal opieuw ee periode uitstaa tege de retevoet i, da zal de eidwaarde va dit kapitaal gelijk zij aa k.(1+ i) = k.u 2 2 Vermits het oorsprokelijke kapitaal k u al 3 jaar uitstaat ligt het voor de had dat we deze eidwaarde voorstelle met k (de eidwaarde va k a 3 jaar samegestelde itrest) 3 Zodoede geldt k ( ) ( ) = k.u = k.u.u = k. u.u = k.u 3 Stelle we u met k de eidwaarde va het kapitaal k voor a periodes samegestelde itrest, da zal deze eid-waarde bereked worde met de formule: k = k.u met retefactor u=1+i waarbij i de retevoet is Deze formule is geldig voor jaarlijkse, semestriële, trimestriële, maadelijkse kapitalisatie. Voorwaarde is wel dat de berekeig va het aatal periodes gebeurt i overeestemmig met de periode vermeld bij de retevoet. Fiaciële Wiskude. 24

25 Voorbeelde gedurede 20 jaar uitgezet tege ee samegestelde itrest 6% per jaar levert als eidwaarde gedurede 20 jaar uitgezet tege ee samegestelde itrest 3% per semester levert als eidwaarde : gedurede 20 jaar uitgezet tege ee samegestelde itrest 1,5% per trimester levert als eidwaarde : Bij samegestelde itrest is 6% per jaar iet hetzelfde als 3% per jaar, 1,5% per trimester of 0,5% per maad. De retevoete hete iet gelijkwaardig te zij. Fiaciële Wiskude. 25

26 Ee programmaatje schrijve voor oze TI83 kies PRGM ga met de pijltoets aar NEW e ENTER geef de aam va het programma i Name=EINDW e ENTER Druk op PRGM, kies I/O, druk op 3 (3:Disp) e typ KAPITAAL? e ENTER Druk op PRGM, kies I/O, druk 1 (1:Iput), typ K e ENTER Druk op PRGM, kies I/O, druk op 3 (3:Disp) e typ RENTEVOET? e ENTER Druk op PRGM, kies I/O, druk 1 (1:Iput), typ I e ENTER Druk op PRGM, kies I/O, druk op 3 (3:Disp) e typ PERIODES? e ENTER Druk op PRGM, kies I/O, druk 1 (1:Iput), typ N e ENTER Bereke de eidwaarde e stop die i de veraderlijke W door het volgede te type: K*(1+I)^N STO W Druk op PRGM, kies I/O, druk op 3 (3:Disp) e typ EINDWAARDE= e ENTER Druk op PRGM, kies I/O, druk 1 (1:Iput), typ W e ENTER Als je vaststelt dat het programma iet loopt of het resultaat op het display u iet aastaat da ku je het programma bewerke via PRGM EDIT Probeer het programma uit door u te kieze voor PRGM e voor het cijfer waaroder het programma staat Fiaciële Wiskude. 26

27 Afgeleide formules begiwaarde k k k = = k.u u Welk kapitaal moet me uitzette op samegestelde itrest gedurede 5 jaar tege 4,25% om a verloop va die tijd over te beschikke? retevoet i k k = k k u zodat i = u-1 = 1 Door semestriële kapitalisatie is ee kapitaal va a 15 jaar aagegroeid tot Wat is de gehateerde retevoet ( % per semester)? tijd k log = k log u Na hoeveel tijd zal ee kapitaal va door maadelijkse kapitalisatie ee eidwaarde oplevere va als de maadelijkse retevoet 0,375% bedraagt? Fiaciële Wiskude. 27

28 Eevoudige programmaatjes voor os reketoestel TI83 begiwaarde Disp "EINDKAP " Iput K Disp "RENTEVOET " Iput I Disp "PERIODES " Iput N K*(1+I)^-N B Disp "BEGINKAPITAAL= " Disp B retevoet Disp "BEGINKAPITAAL" Iput B Disp "EINDKAPITAAL " Iput E Disp "PERIODES " Iput N (E/B)^(1/N)-1üI Disp "RENTEVOET " Disp I periodes ga zelf ees aa de slag Fiaciële Wiskude. 28

29 Samegestelde itrest met de TI83 met het programma FINANCE Kies voor COMPOUND INT Berekeig va de eidwaarde Gegeve ee kapitaal va staat gedurede 5 jaar aa 6% SI Gevraagd wat is het eidkapitaal Oplossig Kies voor 1:AMOUNT e geef volgede waarde i RATE=0,06 PER.=5 PRIN=60000 Gegeve ee kapitaal va staat gedurede 2 jaar aa 4,1 % samegestelde itrest uit per semester Gevraagd wat is het eidkapitaal Oplossig Kies voor 1:AMOUNT e geef volgede waarde i PRIN= RATE=0,06 PER.=4 (!!!) Fiaciële Wiskude. 29

30 Berekeig va het begikapitaal Gegeve Ee kapitaal is i ege maade aagegroeid tot e dit tege ee trimestriële retevoet va 1,9 % Gevraagd Het begikapitaal Oplossig Kies voor 2:PRINCIPAL e vul i AMT.=37033 RATE=0,019 PER.=3 Berekeig va de retevoet Gegeve Ee bedrag va groeit i 7 jaar via SI aa tot Gevraagd Wat is de jaarlijkse retevoet? Oplossig WIL JE EEN GOEIE PRECISIE KIES DAN BIJ MODE VOOR 8 CIJFERS Kies voor 3:RATE e vul i zoals hieroder aagegeve Berekeig va het aatal periodes Gegeve ee kapitaal groeit va aa tot tege ee SI va 2% per semester Gevraagd Hoeveel tijd was hiervoor odig Oplossig Kies voor 4:PERIODS e vul i zoals hieroder Fiaciële Wiskude. 30

31 Samegestelde itrest met de applicatie FINANCE Gegeve Kapitaal : 60000, retevoet: 6%, duur:5jaar Gevraagd Eidkapitaal Oplossig Druk op APPS 1:Fiace ENTER Kies oder CALC voor TVM Solver Voer volgede gegeves i N=5 I%=6 PV=60000 P/Y=1 C/Y=1 Ga op FV staa e druk ALPHA ENTER Gegeve 1,9%/trim, 9 maad (=3trim), eidkapitaal Gevraagd begikapitaal Oplossig Druk op APPS 1:Fiace ENTER Kies oder CALC voor TVM Solver Voer volgede gegeves i N=3 I%=1,9 FV=37033 P/Y=1 C/Y=1 Ga op FV staa e druk ALPHA ENTER Fiaciële Wiskude. 31

32 Gegeve kapitaal=275000; 0,7 %/maad, eidkapitaal Gevraagd aatal maade Oplossig Druk op APPS 1:Fiace ENTER Kies oder CALC voor TVM Solver Voer volgede gegeves i PV= I%=0,7 FV= P/Y=1 C/Y=1 Ga op FV staa e druk ALPHA ENTER Gegeve kapitaal=95000; 2,5jaar; eidkapitaal Gevraagd retevoet per maad Oplossig Druk op APPS 1:Fiace ENTER Kies oder CALC voor TVM Solver Voer volgede gegeves i N=30 PV= FV= P/Y=1 C/Y=1 Ga op FV staa e druk ALPHA ENTER Fiaciële Wiskude. 32

33 OEFENINGEN SAMENGESTELDE INTREST 1) Bereke de eidwaarde va ee kapitaal va dat gedurede 20 jaar wordt uitgezet tege samegestelde itrest met : a) i = 0,5625% per maad bij maadelijkse kapitalisatie b) i = 1,6875% per trimester bij trimestriële kapitalisatie c) i = 3,375% per semester bij semestriële kapitalisatie d) i = 6,75% per jaar bij jaarlijkse kapitalisatie 2) De regerig slaagt eri om de looaapassig va zij ambteare, zo eehede sterk, gedurede 4 maade uit te stelle. Als de gemiddelde looaapassig 100 bruto per persoo bedraagt e de regerig de gelde tege ee samegestelde itrest uitzet va 0,6% per maad, wat is da de itrest die de regerig door deze operatie opstrijkt? 3) Hoelag moet ee kapitaal mistes aa ee samegestelde itrest va 6% per jaar uitstaa opdat het kapitaal a) Zou verdubbele? b) Zou verdrievoudige? Fiaciële Wiskude. 33

34 4) Me belegt gedurede 10 jaar aa 7,25% per jaar met jaarlijkse kapitalisatie. Tege welk procet moet me ditzelfde kapitaal gedurede dezelfde periode aa samegestelde itrest uitzette om met trimestriële kapitalisatie dezelfde eidwaarde te bekome als bij de jaarlijkse kapitalisatie aa 7,25%? 5) Vul het otbrekede i Kapitaal retevoet duur eidkapitaal itrest % 5 jaar ,1% p/sem 2 jaar 1,9% p/trim 9 maad ,7% p/m p/m 2,5 jaar % 5 jaar % p/sem 9 jaar jaar ,75% p/m 10 miljoe Fiaciële Wiskude. 34

35 6) Me belegt gedurede 8 jaar aa 5,85% samegestelde itrest per jaar. Welke itrest bregt het kapitaal op a) Tijdes het tweede jaar b) Tijdes het vijfde jaar? c) Tijdes het laatste jaar? Fiaciële Wiskude. 35

36 I het rood gaa komt je duur te staa. Oder ul gaa is iet aa te rade e oder de limiet va uw verbruikerskrediet gaa og mider. Als laatste jaarsstudet be ik beetje bij beetje voor 2151 i het rood kome te staa op mij rekeig. Daarmee be ik zelfs oder de limiet va 1875 gegaa, maar vermits ik u mij eige boterham verdie, zal mij rekeig wel vlug aagezuiverd zij. Daarbij dek ik aa ee maadelijkse stortig va 75. Mij bak gebruikt voor mij kredietkaart ee maadelijkse retevoet 1,05% e reket maadelijks aa voor elke maad dat ik bove het limietbedrag sta. Hoelag zal het dure vooraleer ik oder de 1875 i het rood sta e hoelag zal het dure vooraleer zo mij rekeig aagezuiverd is? 1 ste maier va oplosse Iedere maad otstaat ee schuld (N) die bereked wordt uit de schuld va de vorige maad De situatie a 1 maad: N = , 05% va , = , ( ) N = , = 2151., , 75 = 2129, 8355 De situatie a 2 maad: N = 2129, , 05% va 2129, , N = 2129, , , 75 = 2108, De situatie a 3 maad: N = 2108, , 05% va 2108, , N = 2108, , , 75 =... Hierbij bemerke we dat de maier va berekee telkes weer dezelfde is: Nieuwe schuld = Oude schuld. 1, Fiaciële Wiskude. 36

37 Nu bezit de TI83 voorgeprogrammeerd de mogelijkheid om ee igegeve bewerkig te blijve herhale op het getal dat i ANS zit. Kijk maar ees wat er gebeurt als je volgede zake igeeft: 20 ENTER / 2 ENTER ENTER ENTER ENTER Deze eigeschap kue we hier gebruike om op ee vlugge maier de evolutie va de maadelijkse situatie te bekijke e va zodra we zie dat de schuld oder de 1875 komt gaa we aar ee ieuwe formule moete overschakele omdat dat het bedrag 31,25 iet meer bij mij schuld komt. We zulle evewel iet moge vergete te telle hoeveel maal we op ENTER gedrukt hebbe zodat we het aatal maade kee dat odig is om eerst oder de 1875 e vervolges om oder 0 te kome. vaaf dit momet wordt de schuld bereked als oude schuld. 1, Fiaciële Wiskude. 37

38 2 de maier va oplosse De voorgaade maier va oplosse heeft eerzijds als adeel dat we het aatal kere ENTER moete telle e aderzijds moete we bij ee adere maadelijkse terugbetalig helemaal opieuw begie. Vadaar dat we eve kijke aar ee meer elegate maier va oplosse. We kue hier ee reeks va waarde opbouwe waarva de basis gedaate ieuwe schuld = oude schuld + veraderig is. Vadaar dat we de MODE va os toestel op Seq (sequece) zette De begischuld u(0) =2151. Elke maad wordt ieuwe schuld u() bereked als de oude schuld u(-1) maal de retefactor, vermidert met het maadelijks betaald bedrag e vermeerdert met het bedrag voor de overschrijdig va het limietbedrag. Druk op Y= e voer i zoals hieraast Om u a te gaa waeer de schuld oder de komt, kue we, a het istelle va het WINDOW, aar de grafische voorstellig va de reeks kijke ( GRAPH e TRACE ) Na ee tijdje op de pijltjestoetse drukke vide we dat de schuld oder de 1875 gaat a 13 maade. Je hebt da al 13 kere 75 betaald (=975 ) om dus 293,1574 schuld weg te werke e i de situatie te kome dat je iet lager maadelijks supplemetair moet betale. Fiaciële Wiskude. 38

39 Vaaf u mag uit de formule de 31,25 geschrapt worde e de begischuld op 1868,75 gezet worde We kijke u et zoals hierbove hoelag het duurt vooraleer de schuld volledig weggewerkt is (evetueel a aapasse WINDOW) Het duurt dus u og ees 29 maade (dus weer 2175 gestort) vooraleer de schuld volledig weggewerkt is. De totale duur komt daarmee op 42 maade (3 jaar e 6 maad) e er werd dus 3150 betaald om ee schuld va 2151 weg te werke Ga u zelf ees a hoelag het duurt als je 100 maadelijks kut misse Fiaciële Wiskude. 39

40 5. GELIJKWAARDIGE RENTEVOETEN Defiitie Twee retevoete hete gelijkwaardig als de eidwaarde va ee kapitaal uitgezet tege deze twee retevoete hetzelfde is a 1 jaar Bij afspraak otere we : de retevoet per 1 jaar of per maad met i 12, k12 de eidwaarde a 1 jaar volges i 12 = 12 =.. de retevoet per 1 4 jaar of per trimester met i, k de eidwaarde a 1 jaar volges i 4 4 = 4 = de retevoet per 1 jaar of per semester met i 2, k2 de eidwaarde a 1 jaar volges i 2 = 2 = de retevoet per jaar met i, k = de eidwaarde a 1 jaar volges i = de retevoet per 1 p jaar met i, k de eidwaarde a 1 jaar volges i p p = p = Verbad tusse gelijkwaardige retevoete Als de retevoete i, i, i, i e i gelijkwaardig zij, da zij per defiitie de eidwaarde k, k, k, k p e k gelijk p k = k = k = k = k p p ( + ) = ( + ) = ( + ) = ( + ) = ( + ) k 1 i k 1 i k 1 i k 1 i k 1 i p p ( 1+ i) = ( 1+ i ) = ( 1+ i ) = ( 1+ i ) = ( 1+ i ) p Fiaciële Wiskude. 40

41 Voorbeelde De semestriële retevoet die gelijkwaardig is met ee jaarlijkse va 6%? ( ) ( ) i= 1+ i 1,06= 1+ i 2 2 Etiee Goemaere De maadelijkse retevoet die gelijkwaardig is met ee semestriële va 3%? ( ) ( ) ( ) i = 1+ i 1+ i = 1,03 (( 1 i12) ) ( 1,03 ) + = De semestriële retevoet die gelijkwaardig is met ee maadelijkse va 0,5%? ( ) ( ) ( ) i = 1+ i 1+ i = 1,005 (( 1 i2 ) ) ( 1,005 ) + = Reële e omiale retevoete De reële of werkelijke retevoet is die jaarlijkse retevoet i die gelijkwaardig is met de gegeve retevoet i p De omiale retevoet is de jaarlijkse retevoet die we bekome door het product p. i p Voorbeeld De reële e omiale retevoete die hore bij ee maadelijkse va 0,75%? Fiaciële Wiskude. 41

42 Berekeig va de werkelijke retevoet met het programmaatje FINANCE Als er sprake is va ee maadelijkse retevoet va 0,5% wat is da de jaarlijkse retevoet die daar mee gelijkwaardig is (m.a.w. wat is de werkelijke retevoet)? Of late we zelf ees ee programmaatje i elkaar kutsele dat bij ee gegeve maadelijkse retevoet de gelijkwaardige e omiale retevoet geeft Fiaciële Wiskude. 42

43 Oefeige op gelijkwaardige retevoete 1. Vul de otbrekede gelijkwaardige retevoete i Jaarlijkse retevoet Semestriële retevoet Trimestriële retevoet Maadelijkse retevoet 4% 2% 1,5% 0,65% 2. Bereke de reële e omiale retevoet overeekomstig met a) 3% per trimester b) 0,55% per maad c) 4,25% per semester 3. Ee kapitaal va staat gedurede 5 jaar uit op samegestelde itrest 0,57% per maad. Bereke de eidwaarde die je zou bekome door gebruik te make va de overeekomstige a) reële retevoet b) omiale retevoet Fiaciële Wiskude. 43

44 6. DE KASBON De kasbo is ee effect aa tooder e dus overdraagbaar aa of verhadelbaar door om het eve wie. Normaal bestaat ee kasbo uit ee matel met aagehechte coupos. De coupo vertegewoordigt ee iitiële waarde va éé jaar ekelvoudige itrest. Heeft ee kasbo ee looptijd va 5 jaar da zij er vier coupos aa de matel aagehecht e vertegewoordigd de matel zelf de waarde va de kasbo e de waarde va éé coupo. Deze itrest ka direct geïd worde bij vormig of opieuw uitgezet worde. De retevoet va de kasbo is meestal merkelijk hoger da die va het gewoe spaarboekje maar de kasbo heeft da weer het adeel dat er roerede voorheffig op de itrest geheve wordt ( het spaarboekje ket allee aaslag voor zoverre de itreste ee vast bedrag ( ) overschrijde). Deze roerede voorheffig op de itrest bedraagt thas 15%. Soorte kasbos Kasbos met jaarlijkse iig va de itrest Kasbos met ee vaste retevoet e ee vaste looptijd Kasbos met ee vaste retevoet e ee veraderlijke looptijd Kasbos met ee progressieve retevoet Kasbos met ee facultatieve iig va de itrest Bij deze kasbos ka me bepaalde coupos late hage e deze ie bij de vervaldag va de kasbo. Meestal worde de coupos die aa de matel blijve hage gekapitaliseerd. Kasbos met eemalige itrestiig (kapitalisatiebos) Deze kasbos hebbe ee ogal lage looptijd e sommige kee tussetijdse vervaldage Fiaciële Wiskude. 44

45 Itrestberekeig e jaarlijks ettoredemet De itrestberekeig bij kasbos met jaarlijkse iig va de coupos, gebeurt volges de methode va de ekelvoudige itrest. De samegestelde itrestberekeig is va toepassig bij groeibos e kapitalisatiebos. Omdat er hier roerede voorheffig geldt spreke we va etto-itrest, geoteerd I. Netto-itrest = bruto-itrest roerede voerheffig I = I 015,. I = 085,. I ' Drukt me de etto-itrest uit i procet per jaar, da spreekt me va het jaarlijks ettoredemet, geoteerd R Ekelvoudige itrest Samegestelde itrest I = k.i. I i = k. stel I = I e i = R I R = k. als i cos ta t is I 0,85 I 0,85 k.i. R = = = = 0,85 i k. k. k. ( ) k = k. 1+ i i= k k 1 stel k = k + I e i= R k+ I = k R 1 Deze formules zij ook geldig voor het berekee va het jaarlijks ettoredemet va adere beleggigsvorme. Fiaciële Wiskude. 45

46 Voorbeelde a) Ee kasbo va heeft ee looptijd va 4 jaar e ee retevoet va 4,25%. De itrest is jaarlijks ibaar of kapitaliseerbaar aa 5% per jaar. Bereke het ettoredemet i beide gevalle. i) Bij jaarlijkse iig va de itrest de jaarlijkse itrest (coupowaarde) bedraagt : de totale bruto-itrest is da : de etto-itrest is da : zodat het redemet R = ii) Bij kapitalisatie va de itrest Elke coupo heeft ee waarde va éé jaar ekelvoudige itrest, dus : De laatste coupo (die same met het bedrag va de kasbo op de matel vermeld is) ka gee bijkomede itrest meer opbrege e behoudt zij waarde : De derde coupo staat gedurede 1 jaar aa samegestelde itrest uit e heeft dus ee eidwaarde va... x 1, 05 De tweede coupo staat gedurede 2 jaar aa samegestelde itrest uit e heeft dus ee 2 eidwaarde va... x 1, 05 De eerste coupo staat gedurede 1 jaar aa samegestelde itrest uit e heeft dus ee 3 eidwaarde va... x 1, 05 I het totaal krijge we dus ee bruto itrest va : Netto blijft hierva over... x 0, 85 Dit levert zodoede ee ettoredemet op va R = 4 1 = Fiaciële Wiskude. 46

47 b) kasbo met progressieve retevoet Ee kasbo va heeft ee looptijd va 5 jaar. De retevoet is progressief: de eerste twee jaar is die 3%, de twee volgede jare bedraagt die 3,5% e het laatste jaar 4%. i. Wat is de waarde va de kasbo als de coupos direct geïd worde e wat is da het ettoredemet? ii. Wat is de waarde va deze kasbo op zij vervaldag als alle coupos eraa blijve e gekapitaliseerd worde aa 4,75%? Bepaal teves het redemet i dit geval. iii. Bepaal de waarde va de coupos op elke tussetijdse vervaldag e vul deze bedrage i op het voorbeeld va de kasbo. OPLOSSING i. Als alle coupos direct geïd worde. * De waarde va coupos 1 e 2 (bij omiddellijke iig): = ,03 = * De waarde va de coupos 3 e 4 ( bij omiddellijke iig) : = ,035 = * De waarde va coupo 5 (bij afgifte matel e dus de iig va de ) = ,04 De totale bruto itrest bedraagt De etto itrest bedraagt : Het redemet bij omiddellijke iig va de coupos is Fiaciële Wiskude. 47

48 ii. als alle coupos aa de matel blijve 4 * de waarde va coupo 1 op de vervaldag va de kasbo : , 0475 = 3 * de waarde va coupo 2 op de vervaldag va de kasbo : , 0475 = 2 * de waarde va coupo 3 op de vervaldag va de kasbo : , 0475 = * de waarde va coupo 4 op de vervaldag va de kasbo : , 0475 = * de waarde va coupo 5 op de vervaldag va de kasbo : 3600 De bruto itrest is: de etto itrest is : Het etto redemet is : iii. We kue u va de coupos ook tussetijdse waarde berekee. Deze waarde hebbe we va doe om bijvoorbeeld de waarde va coupo 1 te kee ee jaar voor de vervaldag va de kasbo (de coupo heeft da 3 jaar samegestelde itrest opgebracht). Fiaciële Wiskude. 48

49 Kasbo va op 5 jaar met progressieve rete Coupo gevormd op 98/10/01 COBAB Kasbo op 5 jaar met progressieve rete e facultatieve retekapitalisatie Betaalbaar op 98/10/01 Betaalbaar op 99/10/01 Betaalbaar op 00/10/01 Betaalbaar op 01/10/01 Betaalbaar op 02/10/01 Kasbo va op 5 jaar met progressieve rete Coupo gevormd op 99/10/01 Kapitaal Uitgiftedatum 97/10/01 Eidvervaldag 02/10/01 Betaalbaar op 99/10/01 Betaalbaar op 00/10/01 Betaalbaar op 01/10/01 Betaalbaar op 02/10/01 Kapitalisatievoet 4,75% Retevoet 1ste e 2de jaar 3% Retevoet 3 de e 4 de jaar 3,5% Retevoet 5 de jaar 4% Kasbo va op 5 jaar met progressieve rete Coupo gevormd op 00/10/01 Vervaldag zoder vervalle met alle coupos Coupos aagehecht Betaalbaar op 00/10/01 Betaalbaar op 01/10/01 Betaalbaar op 02/10/01 98/10/ /10/ /10/ /10/ /10/01.. Kasbo va op 5 jaar met progressieve rete Coupo gevormd op 01/10/01 Betaalbaar op 01/10/01 Betaalbaar op 02/10/01 Voorzitter va het directiecomité Fiaciële Wiskude. 49

50 Oefeige op de kasbo 1) Ee kasbo va heeft ee looptijd va 4 jaar e de retevoet bedraagt 3,85%. De coupos worde gekapitaliseerd. De kapitalisatievoet va de eerste e tweede coupo bedraagt 4% e va de derde coupo 4,15%. Bepaal de etto itrest e het etto redemet als alle coupos aa de matel gehecht blijve. 2) Ee staatsbo va heeft ee looptijd va 7 jaar e ee retevoet va 5,35%. De itrest is jaarlijks ibaar of kapitaliseerbaar. Bereke het jaarlijks etto redemet bij jaarlijkse iig e bij kapitalisatie aa 6%. Fiaciële Wiskude. 50

51 3) Ee kasbo va heeft ee looptijd va 10 jaar. Er wordt ee progressieve retevoet toegepast: de eerste twee jaar 3,5% ; het derde e het vierde jaar 3,65% ; het vijfde, zesde e zevede jaar 4,15 % e de laatste jare 4,6%. Wat is het ettoredemet a) bij directe iig b) als er voor de eerste 4 coupos ee kapitalisatievoet va 5 % geldt, voor de volgede 3 ee kapitalisatievoet va 5,5 % e voor de laatste coupos ee kapitalisatievoet va 6 %. 4) Vergelijk het jaarlijkse ettoredemet va oderstaade spaarboe: a) Spaarbo va 8625 met ee looptijd va 5 jaar, ee retevoet va 4,20% e ee kapitalisatievoet va 3,65%. b) Spaarbo va 7500 met ee looptijd va 3 jaar, ee retevoet va 4% e ee kapitalisatievoet va 3,85%. Fiaciële Wiskude. 51

52 7. ANNUITEITEN Wie ee huis koopt via ee bouwmaatschappij betaalt heel vaak zij huis af door maadelijks ee overaderlijk bedrag te storte. Daarbij wordt de verkoopsom va het huis bereikt op de eidvervaldag e worde de periodieke stortige tege samegestelde itrest uitgezet. Die reeks periodieke stortige oeme we ee auïteit. Staat deze auïteit voor ee vorm va spare (woospare, pesioespare, ) da spreke we va kapitaalsvormig. Als de gestorte bedrage diee om ee leig af te korte da spreke we va schuldaflossig (schulddelgig). Het bedrag va de stortig oeme we de termij. De data waarop de stortige gebeure zij de vervaldage e het tijdsiterval tusse twee vervaldage is de periode. De duur tusse begi e eiddatum va de overeekomst heet de looptijd va de auïteit. Als de termije op het eide va elke periode gestort worde da spreke we va ee postumerado auïteit e als ze i het begi va elke periode gebeure va ee preumerado auïteit. De eidwaarde va ee postumerado auïteit Stel dat je ouders op uw vijftiede verjaardag met ee fiaciële istellig tot ee overeekomst kome om voor u aa voorhuwelijksspare te doe door vaaf uw 16 de levesjaar tot op uw 22 ste verjaardag elk jaar 1000 te storte. Over welk bedrag zou je da beschikke op uw 22 ste verjaardag als de fiaciële istellig ee retevoet va 5,5 % hateert? Fiaciële Wiskude. 52

53 Als we het eidkapitaal op deze maier zoude moete berekee voor ee auïteit die loopt over 10 jaar met maadelijkse stortige da zou het rekewerk ogemee groot worde. Daarom gaa we op zoek aar ee geslote formule. Het kapitaal gevormd door de postumerado auïteit die loopt over 7 jaar, ee termij heeft va 1000 e ee retevoet va 5,5% ket is = , , , , , , ( ) = , , , , , , vermits we met het schema va Horer kue aatoe dat x 1 = x x x x... x 1 kue we het eidkapitaal va de postumerado auïteit met ee looptijd va 7 jaar aa 7 1, ,5% bekome als = , Algemee De eidwaarde va ee auïteit met looptijd, ee termij a e ee retevoet i A A = a. = a. u 1 i u 1 u 1 Voorbeeld 1) Wat is de eidwaarde va ee auïteit gevormd door maadelijks op het eide va de maad 500 te spare e dat gedurede 5 jaar waarbij ee maadelijkse retevoet va 0,375%? 2) Wat is de eidwaarde va ee auïteit gevormd door maadelijks op het eide va de maad 1000 te spare e dat gedurede 21 jaar, als de jaarlijkse (!!!) retevoet 4,75% Fiaciële Wiskude. 53

54 De eidwaarde va ee preumerado auïteit De door mij aageschafte wage betaal ik af door ieder jaar i het begi va het jaar, e dat gedurede zeve jaar, 1250 te storte. Wat zal de auto a die zeve jaar aa de verkoper oplevere als de gestorte gelde op samegestelde itrest geplaatst worde tege 6% per jaar? Figuur: De eidwaarde va de door mij gekochte auto: = , , , , , , , ( ) ( ) = ,06 + 1,06 + 1,06 + 1,06 + 1,06 + 1,06 + 1,06 = ,06 + 1,06 + 1,06 + 1,06 + 1,06 + 1, ,06 7 1, 06 1 = ,06 1, 06 1 Algemee De eidwaarde voor ee preumerado auïteit met ee looptijd va periodes, ee termij a, aa ee retevoet i ' u 1 A = a.. u = A. i u Fiaciële Wiskude. 54

55 Voorbeelde 1. Wat is op de vervaldag voor de bouwmaatschappij STEENGOED het huis waard dat door mij afgelost wordt i ee periode va 25 jaar met maadelijkse stortige i het begi va de maad te bedrage va 520 als de maadelijkse retevoet 0,85% bedraagt? 2. Over welk kapitaal zal ik op mij eeetwitigste verjaardag kue beschikke als mij ouders trouw va bij mij geboorte tot mij eeetwitigste verjaardag, i het begi va elke maad, 50 spare. De jaarlijkse retevoet door de fiaciële istellig verstrekt is 8,75%. Fiaciële Wiskude. 55

56 Met de applicatie Fiace e de TVM Solver va oze TI83 is het berekee va de eidva ee auïteit ee fluitje va ee cet: Wat is op de vervaldag voor de bouwmaatschappij The Wall het huis waard dat door mij afgelost wordt i ee periode va 20 jaar met maadelijkse stortige i het begi va de maad te bedrage va 520 als de maadelijkse retevoet 0,75% bedraagt? Druk op APPS Kies Fiace e ENTER Kies 1 :TVM Solver e ENTER (of druk 1) Vul de gegeves i die je ket o N=20*12 o I%=0,75 o PV=0 o PMT=-520 o FV=0 o P/Y=1 o C/Y=1 o PMT=END BEGIN Ga op FV (Future Value) staa e druk u op SOLVE (= ALPHA ENTER ) Los u maar ees de voorbeelde va de vorige bladzijde op Fiaciële Wiskude. 56

57 De begiwaarde va ee auïteit De begiwaarde of cotate waarde va ee auïteit is het kapitaal dat uit uitgezet tege samegestelde itrest i a periodes dezelfde eidwaarde zou hebbe als ee auïteit met dezelfde retevoet e met termije a. De begiwaarde va ee postumerado auïteit stelle we voor met A e die va ee preumerado met A 0. 0 Voorbeeld De eidwaarde va ee auïteit die door mij afgelost wordt i ee periode va 25 jaar met maadelijkse stortige op het eide va de maad te bedrage va 250 als de maadelijkse retevoet 0,85% bedraagt was ,27 Om ee dergelijk bedrag gespaard te krijge, moet ik over dezelfde periode 27090,36 uitzette tege dezelfde retevoet * ( ) = ,27 = 27090,36 * A = A.u A = A.u o o We kue ee aaloog verbad afleide voor de preumerado auïteit. A = A.u A = A.u o o Fiaciële Wiskude. 57

58 De berekeig va Ao De berekeig va A 0 A.u 0 0 u 1 A0 = a..u i = A = A.u A A A = = = A a (u 1 ) u i a.(u u u ) i a.( 1 u ) i Voorbeelde 1. Ik koop ee huis va de firma STEENGOED door gedurede 25 jaar 250 te storte op het eide va elke maad. De itrestlast bedraagt 0,85% per maad. Wat was het huis waard bij de bouw erva. 2. Voor de aakoop va ee luxewage vraagt ee garage ee voorschot va 1000 e tie jaarlijkse stortige va De retevoet va de autoleig bedraagt 9,5% e de eerste stortig gebeurt i het begi va de maad va aakoop va de wage. Wat was deze wage waard bij aaschaf erva e wat is hij waard eemaal afbetaald. Fiaciële Wiskude. 58

59 Met de applicatie Fiace e de TVM Solver va oze TI83 is het berekee va de begiwaarde va ee auïteit eveees doodsimpel: Als we reeds de eidwaarde kee va de auïteit Hoeveel kostte het huis bij aabouw dat ik uiteidelijk bekome heb via ee postumerado auïteit lopede over 25 jaar aa 0,85% maadelijks met eidwaarde ,83 o Druk op APPS o Kies Fiace e ENTER o Kies 1 :TVM Solver e ENTER (of druk 1) o Vul de gegeves i die je ket N=25*12 I%=0,85 PV=0 PMT=0 FV=370276,83 P/Y=1 C/Y=1 PMT=END BEGIN o Ga op PV (Preset Value) staa e druk u op SOLVE (= ALPHA ENTER ) Als we de termij va de auïteit kee Hoeveel kostte het huis bij aabouw dat ik uiteidelijk bekome heb via ee postumerado auïteit lopede over 25 jaar aa 0,85% maadelijks met termij va 250 o Druk op APPS o Kies Fiace e ENTER o Kies 1 :TVM Solver e ENTER (of druk 1) o Vul de gegeves i die je ket N=25*12 I%=0,85 PV=0 PMT=-250 FV=0 P/Y=1 C/Y=1 PMT=END BEGIN o Ga op PV (Preset Value) staa e druk u op SOLVE (= ALPHA ENTER ) Fiaciële Wiskude. 59

60 Afgeleide formules Bepalig va de termij Vauit de eidwaarde Vauit de begiwaarde Postumerado A = A.i u 1 a(u 1) i = a Preumerado. Voorbeelde 1. Welk bedrag moet ik 30 maal i het begi va elke maad storte om ee auto aa te schaffe die kost als de retelast va de autoleig 0,55% per maad bedraagt? 2. Welk bedrag moet ik op het eide va de maad op zij zette om bie 5 jaar ee stuk bouwgrod te kope dat er da zal waard zij? De jaarlijkse retevoet is 7%. Fiaciële Wiskude. 60

61 Ook hier kue we weer gebruik make va oze TI83 om het evetueel iet kee va de formules e/of om het rekewerk op te vage 1. Welk bedrag moet ik gedurede 30 maade i het begi va elke maad storte om ee auto aa te schaffe die kost als de retelast va de autoleig 0,55% per maad bedraagt? op PMT gaa staa e op ALPHA ENTER drukke levert als resultaat.. 2. Welk bedrag moet ik op het eide va de maad op zij zette om bie 5 jaar ee stuk bouwgrod te kope dat er da zal waard zij? De jaarlijkse retevoet is 7%. (1.07^(1/12)-1)*100 op PMT gaa staa e op ALPHA ENTER drukke levert als resultaat.. Fiaciële Wiskude. 61

62 Bepalig va de periode Bij ee postumerado auïteit Bij ee preumerado auïteit Vauit de eidwaarde Vauit de eidwaarde A a ( u 1 ) = i A.i = u 1 a A.i a + 1 = u A.i log + 1 a =.logu A.i log + 1 a = logu Vauit de begiwaarde Vauit de begiwaarde A = 1 0 A.i 1 i a.( u ).u 0 = = a.u u 1 ( u ) Fiaciële Wiskude. 62

63 Voorbeelde (Gebruik de TVM Solver u maar direct) 1. Hoelag duurt het vooraleer iemad miljoair door elke maad 100 te spare als hij zij stortige doet op het eide va de maad e als de maadelijkse retevoet 0,65% bedraagt? 2. Ee paar wil spare voor de aakoop va ee stuk bouwgrod dat er u waard is. Daartoe storte ze i het begi va elke maad ee bedrag va 187,5. Na hoeveel termije is het beoogde bedrag mistes bijee gespaard als de jaarlijkse retevoet 6,25% bedraagt? berekee we eerst i 12 e slaa we dit op 1 7 i 12 = 1,065 1 A ( ( ) ) ( bepale we u als l og * A/ 187,5 * 1+ A /log 1+ A (let hier heel goed op bij het gebruik va het juiste aatal haakjes) ) WAAROM levert de TI83 hier de foutmeldig ERR:DOMAIN 1:QUIT 2:Goto? Fiaciële Wiskude. 63

64 Bepale va de retevoet i berekee vauit de eidwaarde Neme we het geval va de postumerado auïteit da geldt a(u 1) a(( 1+ i) 1 ) A = = vb i i ( ) i = i Deze vergelijkig herschrijve aar de obekede i is techisch iet mogelijk. Ee eerste maier om de zake op te losse is gebruik te make va de grafische mogelijkhede va het reketoestel. voer twee fucties i Kies ee geschikt vester om deze fucties te tekee Laat de grafieke tekee e zoek via 2d TRACE (= CALC), vervolges 5:itersect e door driemaal a elkaar te etere de doorsede va beide krommes De x-coördiaat va deze doorsede levert os de gevraagde retevoet. Wil je deze op het basisscherm hebbe da volstaat het a 2d MODE ( = QUIT) 2d (-) (=ANS) i te drukke e te etere Fiaciële Wiskude. 64

65 Ee adere maier om het resultaat te vide is gebruik te make va de TVM-solver die i de applicatie FINANCE voorhade is We geve (N), a (PMT) e A Daarbij moet PMT egatief zij (FV) i. Ga op I% staa e druk op ALPHA ENTER (= SOLVE) Wat aa de basis va dit resultaat ligt is ee redelijk techische kwestie die we toch eve va dichtbij gaa bekijke. We oze toevlucht eme tot ee regula falsi, dit is ee methode die vertrekkede va twee foute waarde ee beaderede waarde va de oplossig bereked. Daartoe defiiëre we de fuctie f met f(i) = a( ( 1+ i) 1) i Deze fuctie i i is stijged : als de retevoet groter wordt, wordt ook de eidwaarde groter Dit kode we reeds zie met oze grafische beaderig waar uitgezet werd i fuctie va i A TI83 door i Y= bijvoorbeeld als voorschrift i te geve Y 1 =500*((1+X)^20-1)/X e te kieze voor ee WINDOW waar x [ 0; 0,30] e y [ 1000,20000]. Fiaciële Wiskude. 65

66 Bekijke we ees hoe deze regula falsi werkt Om de eidwaarde A te berekee horede bij ee retevoet i berekee we f( i ). a Om de eidwaarde A te berekee horede bij ee retevoet i berekee we f( i ). b a b a b We zorge ervoor dat we ee iterval [ Aa, A b ] bekome die de gegeve eidwaarde bevat (we hebbe dus ee retevoet i a waarvoor de eidwaarde kleier is da de opgegeve A e ee retevoet i waarvoor de eidwaarde A groter is ). b Zo kue we de waarde va i vervage door ee waarde i b Om de waarde i te berekee gaa we gebruik make va gelijkvormige driehoeke Als u i e i iet al te ver va elkaar ligge zulle i e i ook dicht bij elkaar ligge a e ageoeg gelijk zij. b Zodoede kue we stelle dat Fiaciële Wiskude. 66

67 Voorbeeld Ee kapitaal va wordt gevormd door 20 jaarlijkse termije va 500. Wat is de jaarlijkse retevoet als de laatste stortig op de eiddatum gebeurt? Voor i = 003, is de eidwaarde (, ) A = 500. = < , Deze eidwaarde is ogal ver verwijderd va de beoogde zodat we de volgede retevoet iees 1% meer eme Voor i = 004, is de eidwaarde (, ) A = 500. = < , Deze eidwaarde is og altijd kleier da de beoogde maar iet zodaig veel meer zodat we de retevoet u iet te sel meer zulle late toeeme Voor i = 0, 041 is de eidwaarde 20 (, ) A = 500. = >15000= 0, 041 De twee laatste resultate kue we u gebruike i oze beaderigsformule voor i i a =, i b =, (, ) A a = , (, ) A b = , 041 A A a i = i a+.(ib i Ab A a a ) = Neme het geval va ee preumerado auïteit da veradert er weiig aa de gevolgde redeerig Fiaciële Wiskude. 67

68 De retevoet ka me ook berekee vauit ee gegeve begiwaarde. Etiee Goemaere A 0 / A 0 Bij het opstelle va de formules va de regula falsi diet me er da wel rekeig te houde dat de fuctie die ( )laat berekee a. ( 1 ( 1+ i) ) a. ( 1 ( 1 i ) ).(1 i) + + f(i) = i i daled zal zij. Maar i het geval we i moete berekee zulle we os omwille va de moeilijkheidsgraad i het vervolg volledig beroepe op de TVM-solver va os reketoestel Fiaciële Wiskude. 68

69 Formularium auïteite POSTNUMERANDO PRENUMERANDO u 1 A = a. A = A 0. u i ' u 1 A = a..u A = A 0. u i 1 u A0 = a. A0 = A.u i 1 u A 0 = a..u A 0 = A.u i a A.i A.i 0 = a = u 1 1 u a A.i A 0.i = a = (u 1).u (1 u ).u = = A.i log 1 + a logu A.i 0 log 1 a 1 logu = = A.i log 1+ a.u logu A 0.i log 1 a.u 1 logu!!! Het feit dat we over ee grafisch reketoestel beschikke eemt iet weg dat we oze formules moete kee.!!! Fiaciële Wiskude. 69

70 Oefeige op auïteite 1) Vul i oderstaade tabel de otbrekede gegeves i A 0 A a i ,85% , * 8% ** 0,0625 3,5 miljard *** *** * rod af aar het lager geheel getal e bereke de supplemetaire stortig ** rod af aar ee lager geheel getal e pas de termij aa *** geef i met 6 cijfers a de komma (het % dus met 4 cijfers a de komma) 2) Vul i oderstaade tabel de otbrekede gegeves i A 0 A a i ,5% , * 7% ** 0,0625 2,5 miljard *** *** * rod af aar het lager geheel getal e bereke de supplemetaire stortig ** rod af aar ee hoger geheel getal e pas de termij aa *** geef i met 6 cijfers a de komma (het % dus met 4 cijfers a de komma) Fiaciële Wiskude. 70

71 3) Als ik bie 20 jaar over 3 miljoe wes te beschikke a) Welk bedrag moet ik jaarlijks postumerado storte bij ee retevoet va 9% b) Welk bedrag moet ik maadelijks postumerado storte bij de retevoet die gelijkwaardig is met die va 9% per jaar (werk met de waarde va i die je opslaat i het geheuge va uw reketoestel) 12 4) Het huis dat ik wes te bouwe kost Hoeveel maadelijkse preumerado stortige va 760 moet ik doe als de maadelijkse retevoet 0,5% bedraagt? 5) Door maadelijks 1000 te storte ka je miljoair worde. Hoelag duurt het als de jaarlijkse retevoet 6% is? Hoeveel zou je maadelijks moete storte als je dat doel wil bereike i 20 jaar? Fiaciële Wiskude. 71

72 6) Voor het huisje va mij overlede ouders zij er vier kadidaat kopers: Koper a: iees Koper b: cotat e 10 jaarlijkse preumerado stortige va 5000 Koper c: cotat e 6 jaarlijkse postumerado stortige va Koper d: gedurede 20 jaar maadelijkse preumerado stortige te bedrage va 750 per maad Aa welke koper moet ik de voorkeur geve als ik het geld ka belege tege ee retevoet va 6,75%? 7. Voor de aakoop va ee luxewage vraagt ee garage ee voorschot va 6250 e 10 jaarlijkse stortige va De eerste stortig gebeurt bij het betale va het voorschot e de retevoet die de garagist va zij bak krijgt voor de gestorte gelde bedraagt 6,75%. Wat was de luxewage waard bij het aaschaffe erva? Fiaciële Wiskude. 72

73 8. KOPEN OP KREDIET NV HARLEY TRAPSON Hit the road Jack Prachtige moto slechts of maal 519 Probleemloos de wereld rod voor of x 347,58 Als ik mij ee hadig vervoersmiddel wes aa te schaffe maar iet direct de hele som ka ophoeste, da ka ee afbetalig i termije wel ee oplossig zij voor mij. Maar wat te doe als ik voor idetiek hetzelfde de keuze moet make uit bovestaade betaligsmogelijkhede. Laat ik mij sture door de grote va de maadelijkse afbetalig of door het voorschot of door het totaalbedrag va de betalig of door Mesualiteit, lastepercetage, jaarlijks kostepercetage De terugbetalig va ee leig op afbetalig gebeurt maadelijks e mag over meerdere jare gespreid worde. De maadelijkse aflossig, mesualiteit geoemd, bestaat uit ee vast gedeelte va het otleede kapitaal K e maadelijkse itrestlaste ( K.L waarbij L het lastepercetage uitgedrukt i% per maad). De jaarlijkse itrestkoste worde aageduid met het jaarlijks kostepercetage (JKP). Mesualiteitberekeig M K = + K. L M : Mesualiteit K : otleede kapitaal : duur va de leig i maade L : lastepercetage Voorbeeld Om mij bureau i te richte ga ik ee leig aa va De fiaciële istellig die de leig toestaat, vraagt ee lastepercetage va 0,55% per maad. De duur va de leig bedraagt 24 maade. Wat is de mesualiteit? Fiaciële Wiskude. 73

74 Formule voor lastepercetage L = M K K Voorbeeld Het lastepercetage va ee leig va terugbetaalbaar i 84 termije va elk 1645 bedraagt : Formule voor het jaarlijks kostepercetage Volges de wettelijke voorschrifte moete fiaciële istellige de werkelijke retevoet va de leig ook het jaarlijks kostepercetage vermelde. Dit jaarlijks kostepercetage moet alle koste va de leig bevatte; er moge bijvoorbeeld gee aparte dossierkoste aagereked worde. We kue oze afbetalig beschouwe als ee postumerado auïteit waarva de begiwaarde geked is (95000 ) de termij die maadelijks betaald wordt ( 1645 ) e het aatal termije. (84). Hiermee kue we ee maadelijkse retevoeti gaa berekee met de TI83 12 levert voor I % e uit deze maadelijkse kue we de werkelijke retevoet berekee ( ) 12 i= 1 + i 1 ( /100)^12-1 = We kue dit resultaat met oze TI83 ook iees krijge Fiaciële Wiskude. 74

75 Idie we hadmatig tewerk moete gaa is ee eerste beaderig va i te berekee met 12 i a = G 12 + L I ee advertetie troffe we volgede reclameboodschappe aa. Welk maadelijks lastepercetage wordt bij de leigsvorme gehateerd? Wat is het overeekomstig jaarlijks kostepercetage? Krap bij kas BELLEKREDI Kredietmakelaar Helpt u Driged geld odig??? Op lage termij e gemakkelijk betale GRATIS ADVIES JKP va 8,6 tot 19, = 48 x = 84 x = 60 x = 120 x = 84 x 1281, = 120 x 2250 Tweekerkestraat Westkerke 059/ elke dag tot 23 uur Fiaciële Wiskude. 75

76 Koop op afbetalig Bij ee koop op afbetalig wordt het krediet iet verstrekt door ee fiaciële istellig maar door ee verkoper. I deze gevalle schrijft de wet ee miimum voorschot voor va 15% Het alstepercetage e het jaarlijks kostepercetage worde bereked zoals i het voorgaade put. Voorbeelde 1. NV HARLEY TRAPSON Prachtige moto slechts of maal 519 Het voorschot va 1500 voldoet aa de eis va 15% Het lastepercetage L = Het jaarlijks kostepercetage JKP = 2. HIT THE ROAD JACK Het voorschot va 2500 voldoet aa de eis va 15% of maal 347,58 Het lastepercetage L = Het jaarlijks kostepercetage JKP = 3. WAAOUUW 824,95 of maal 27,63 Het voorschot va 125 voldoet aa de eis va 15% Het lastepercetage L = Het jaarlijks kostepercetage JKP = Fiaciële Wiskude. 76

77 9. HYPOTHECAIRE LENING Om ee huis te (ver-)bouwe wordt meestal ee grote som geld geleed bij ee fiaciële istellig die i ruil voor de leig ee oroered goed als waarborg eist (meestal het huis i kwestie). Dergelijke leige oemt me ee hypothecaire leig. De schuldaflossig gebeurt meestal door middel va ee costate auïteit waarbij de betalige gebeure op het eide va de periode. Vermits me i dergelijke gevalle vertrekt va de huidige kostprijs dus A 0. De meest gebruikte formules zij da ook: 1 u A0 = a. i a A.i 0 = 1 u Voorbeeld Voor de bouw va hu huis leet het echtpaar Decadt-Videvogel tege ee jaarlijkse retevoet va 6,75%. De leig heeft ee looptijd va 15 jaar. Wat is de jaarlijkse termij? Wat is de maadelijkse termij? Bij ee hypothecaire leig bestaat elke termij uit twee dele: ee kapitaalbestaddeel e ee retebestaddeel. Het kapitaalbestaddeel is de terugbetalig va ee gedeelte va het otleede bedrag e wordt aflossig geoemd. Het retebestaddeel is ee gedeelte va de verschuldigde retevergoedig e wordt kortweg rete, itrest of itrestlast geoemd. r m = m + m km a k r retebes ta ddeel kapitaalbes ta ddeel Fiaciële Wiskude. 77

78 Berekeig va het retebestaddeel Ee retebestaddeel is de itrest gedurede 1 periode op de og uitstaade schuld Bij het afsluite va de leig is de schuld A gelijk aa A. 0 i, het eerste retebestaddeel r is da ook 0 1 Bij het begi va de tweede periode is de og uitstaade schuld A k e het tweede retebestaddeel is da gelijk aa (A k ).i r Bij het begi va de derde periode is de og uitstaade schuld A k k e het tweede retebestaddeel is da gelijk aa (A k k ).i r de Bij het begi va de m periode is de og uitstaade schuld A 0 k1 k 2... k m 1 e het de m retebestaddeel is da gelijk aa ( A0 k1 k 2... k m 1 ).i Berekeig va het kapitaalbestaddeel Berekeig va het eerste kapitaalbestaddeel k = a r 1 1 = a A.i 0 = a. i =... k 1 of ook = = = a.u 1. u het eerste retebestaddeel bekome we zo met ee va de formules k k = = A.i u 1 of a.u Fiaciële Wiskude. 78

79 Berekeig va het tweede retebestaddeel k = a r 2 2 = a (A k ). i 0 1 = a A 0.i+ k 1.i = a r1 + k 1.i = k + k.i 1 1 = k.( 1+ i) 1 = k.u 1 Op aaloge maier bereket me k,k... k 3 4 m k = k.u = k.u.u = k.u k = k.u =... = k.u k = m 1 k.u m 1 Voorbeeld I 1997 heb ik ee bedrag geleed va 2,5 miljoe tege ee jaarlijkse retevoet va 8,75%. Dit kapitaal moet ik aflosse met 20 jaarlijkse termije. De jaarlijks te betale termij is Het eerste kapitaalbestaddeel is Het tweede kapitaalbestaddeel is Het tiede kapitaalbestaddeel is Het tiede retebestaddeel is Fiaciële Wiskude. 79

80 Aflossigspla Va ee hypothecaire leig kue we het kapitaalbestaddeel e retebestaddeel va elke termij berekee e same met de vervaldage e het og verschuldigde bedrag schematisch i ee tabel oderbrege : de aflossigstabel of schuldelgigstabel. Werkwijze: Bereke de jaarlijkse termij Bereke het eerste kapitaalbestaddeel Bereke de volgede kapitaalbestaddele door telkes te vermeigvuldige met u Maak de kolom met de retebestaddele Maak de kolom met de schuldsaldi Bedrag va de leig Looptijd va de leig : 20 jaar Retevoet : 7% Vervaldagu mmer Jaarlijkse termij Cobab Kapitaalbestaddeel Retebestaddeel schuldsaldo Fiaciële Wiskude. 80

81 We kue deze aflossigstabel ook geerere met oze TI83 We zulle de formules zelf igeve We zorge dat os toetsel gee oude lijste bevat: 2d 0 (dus CATALOG), druk C e beweeg met de pijltoets aar beede tot ClrAllLists, ENTER e ogmaals ENTER. We drukke ook op STAT e kieze voor 5:SetUpEditor e ENTER om de stadaardlijste L te bekome 1,...,L 6 We make ee lijst aa met de volgummers 1 tot 20 2d 0 (dus CATALOG), druk op S e beweeg met de eerwaartse pijltoets tot seq( (let op iet Seq ) e ENTER, typ u X,X,1,20) 2d 1 (dus L ) e ENTER 1 Op het scherm verschijt Druk ju u op STAT e kies je voor 1:Edit da zie je deze lijst 1 i ee eerwaartse tabel A.i 0 We berekee de termij a = e slaa die op als A 1 u Wese we dat de termij opgeslage wordt afgerod aar bove op bv 2 cijfers a de komma da ka dat door het volgede te doe: 2d 0 (dus CATALOG), druk R e beweeg met eerwaartse pijltoets tot de fuctie roud(, druk op ENTER e typ u 50000*0.07/(1-1.07^-20),2) A e ENTER Opmerkig: we kue de fuctie roud ook bekome via MATH scroll aar NUM e kies 2:roud Fiaciële Wiskude. 81

82 We make ee tweede lijst aa waar 20 keer dezelfde costate termij istaat druk CATALOG, druk S, scroll aar seq( e ENTER, typ u A ( ALPHA MATH), X, 1, 20) L dit laatste via 2d 2 e ENTER 2 het resultaat: I het basisscherm I de lijsteeditor ( STAT 1:Edit) We bereke het eerste kapitaalsbestaddeel k = a e slaa het op i K A*1.07^-20 K L 3 1.u We bouwe ee lijst ( ) op met de opeevolgede kapitaalsbestaddele seq(k*1.07^(x-1),x,1,20) L 3 Ook hier ku je zorge voor ee precisie op 2 cijfers a de komma door i te tikke seq(roud(k*1.07^(x-1),2),x,1,20) L 3 Als je de pijltjestoets gebruikt ku je doorhee de rij scrolle. Je ka uiteraard ook terug gaa kijke aar het resultaat i de lijsteeditor. Fiaciële Wiskude. 82

83 De lijst met de retebestaddele kue we het best aamake i de lijsteeditor Waar we ook staa we scrolle tot heel boveaa tot we i de rij staa waar de lijstame staa. We gaa met de zijwaartse pijltoets aar L e drukke op ENTER. Hierdoor kome we oderaa i het scherm terecht waar we voor L de volgede formule ivulle: L L 2 3 e terug op ENTER drukke. Het Resultaat: 4 4 Om teslotte de kolom va de schuldsaldi er te krijge moete we eve gebruik make de va de formule voor het schuldsaldo op het m momet die hiera afgeleid wordt: m u u Lm = A 0. u 1 seq(roud(50000*(1.07^ ^x) (1.07^20-1),2),X,1,20) L 4 Fiaciële Wiskude. 83

84 We kue gebruik make va de igebouwde fiaciële fucties Termijberekeig Druk op APPS e kies voor de applicatie FINANCE e ga met de eerwaartse pijltoets aar 2:tvm_Pmt. Bij deze fuctie ziet de volgorde va de (al da iet oodzakelijk) i te vulle argumete er als volgt uit tvm_pmt(n,i%,pv,fv,p/y,c/y) Hier zorge we voor de lij tvm_pmt(20,7,50000) A Dit geeft als resultaat: Let op dat i uw TVM Solver de juiste gegeves staa va de auïteit aders ku je hier wel ees voor verrassige kome te staa Bemerk dat de uitkomst egatief is. Dit is evewel te veratwoorde door het feit dat het hier om ee te betale bedrag gaat We make ee lijst aa waar 20 keer dezelfde costate termij istaat druk CATALOG, druk S, scroll aar seq( e ENTER, typ u A ( ALPHA MATH), X, 1, 20) L dit laatste via 2d 2 e ENTER 2 Berekeig va de kapitaalsbestaddele Druk op APPS e kies voor de applicatie FINANCE e ga met de eerwaartse pijltoets aar 0:SPr( Bij deze fuctie ziet de volgorde va de (al da iet oodzakelijk) i te vulle argumete er als volgt uit SPr( pmt1,pmt2[roudvalue]). Deze fuctie bereket het afgeloste kapitaal tusse twee opgegeve termijbetalige (pmt). Vulle we hier twee keer hetzelfde i da bereket deze fuctie de kapitaalsaflossig va die termij. Reke je liever met positieve kapitaalsbestadele da tik je uiteraard -SPr i Fiaciële Wiskude. 84

85 Om u de volledige lijst met kapitaalsbestaddele i L te krijge, gaa we als volgt te werk: 2d STAT ( dus LIST), beweeg aar OPS e kies 5:seq, plaats het teke (iet de bewer- kig!), druk op we FINANCE, e kieze voor 0:SPr( e drukke op ENTER, u type we X,X,2),X,1,20) L 3 3 Berekeig va de retebestaddele Ofwel kies je hier voor L L L, ofwel maak je ook hier gebruik va de igebouwde fuctie Sit(pmt1,pmt2,[roudvalue]) die de betaalde itreste betaald tusse twee opgegeve termijbetalige (pmt) e die dus eveees het retebestaddeel va ee termij zal geve als we twee keer hetzelfde ivulle Voor de rij va de retebestaddele hebbe we odig: seq(-sit(x,x,2),x,1,20) L 4 Berekeig va de schuldsaldi De igebouwde fuctie die hiervoor ka gebruikt worde is bal(pmt[,roudvalue]) Voor de rij met schuldsaldi afgerod op 2 cijfers a de komma seq(bal(x,2),x,1,20) L 5 Fiaciële Wiskude. 85

86 Als we u teslotte aar de lijsteditor gaa via STAT 1:Edit kue we de volledige schuldaflossigstabel overlope Voor ee grafische illustratie va de gevode resultate zorge we eerst dat oder Y= iets meer igegeve staat va fucties e da kieze we voor2d Y= (dus STAT PLOT). We kieze daar u bijvoorbeeld 1:Plot1 e drukke op ENTER, wie kieze voor O, voor het type " e zet bij Xlist:L 1 e bij Ylist:L 2, druw op WINDOW e zet het zo dat x [ 121, ] e y [ , 0]. Hiermee hebbe we ee voorstellig va de costate termij. Als we ee voorstellig wese va kapitaalsbestaddele e retebestaddele da voere we bij 2:Plot2 Ylist voor L e bij 3:Plot3 voor L. Dit geeft oderstaade 3 4 beelde bij ee druk op TRACE e door bewege met de pijltjestoetse Wes je de schuldsaldi voorstelle da kies je eerst adere vesteristellige x 121,, e y [ 10000, 65000] zet je de Plots2 e 3 af e geef je bij Ylist de 5 de lijst i [ ] Fiaciële Wiskude. 86

87 Ee adere mogelijkheid tot het geerere va deze schuldaflossigstabel is door te gaa werke i de sequece MODE va het toestel Druk op MODE e selecteer Seq Het adeel va deze MODE is evewel dat we maar toegag hebbe tot 3 tabelle. We late hier da ook de lijst met volgummers e met de costate termij valle. Druk u op Y= e vul oderstaade zake i Mi=1 u()= -SPr(,,2) u(mi)= -SPr(1,1,2) v()= -SIt(,,2) v(mi)= -SIt(1,1,2) w()=bal(,2) w(mi)= bal(1,2) Druk op 2d WINDOW (= TBL SET) e zet TblStart = 1 e Tbl = 1, de rest op Auto Druk u op 2d GRAPH (=TABLE) Bemerk dat het bewege i deze tabel iet zo vlot gaat. Via WINDOW e GRAPH kue we de zake late tekee Fiaciële Wiskude. 87

88 Schuldsaldo op ee willekeurig tijdstip Wie ee hypothecaire leig voor het eide va de looptijd west terug te betale, doet ee vervroegde aflossig. Bemerk dat dergelijke operaties iet aa te rade zij. I het begi va de leig gaat het grootste deel va de termij immers aar itrestlaste. Wie halverwege zij hypothecaire leig afkoopt zal tot de otuchterede vaststellig kome dat zeker og iet de helft va de schuld is afgelost Wie toch overgaat aar zo vervroegde aflossig zal iet allee de termij e het verschuldigde saldo moete betale maar ook ee wederbeleggigsitrest. Vadaar dat i praktijk dergelijke operatie allee voorkomt bij het herschikke va verschillede leige tot ee leig. Het og af te losse kapitaal ka me afleze op het aflossigspla va de leig maar ka me ook berekee met ee formule die we hieroder gaa afleide: Stelle we het schuldsaldo va de leig a de de m termij voor met Lm L = A k k... k m = A ( k + k k ) = A ( k + k.u + k.u k.u ) 2 m = m 1 A0 k 1. ( 1 u u... u ) u 1 m u 1 = A0 k 1. m u 1 = A0 k 1. m A. 0 i u 1 0 = A. u 1 i m u 1 = Ao A 0. u 1 m u 1 = A. 0 1 u 1 m i m u 1 (u 1) = A. 0 u 1 u u = A. 0 u 1 m m A 0. i k1 = u 1 Het schuldsaldo a de m de m L = A termij m. u 1 0 u 1 Voorbeeld Het schuldsaldo va ee leig va 2 miljoe terug te betale over 20 jaar tege ee retevoet va 7% per jaar is Fiaciële Wiskude. 88

89 Oefeige op schuldaflossig 1) Ee hypothecaire leig va loopt over 25 jaar tege 0,55% per maad. a) Bepaal de maadelijks te betale termij b) Bereke de schuldsaldi a 5 jaar, 10 jaar e 15 jaar 2) Ik wes ee leig terug te betale met 15 jaarlijkse stortige va De retevoet is 7,25%. Welk bedrag ka ik lee? 3) Ee fiaciële istellig ka de maadelijkse termij va ee hypothecaire leig bereke met de gelijkwaardige retevoet of met de jaarlijkse gedeeld door 12. Welke va deze retevoete heeft de istellig aagewed als de leig va afbetaald wordt over 10 jaar met per maad als de jaarlijkse retevoet 7,5% is? Fiaciële Wiskude. 89

90 4) Stel het aflossigspla op voor ee leig va terugbetaalbaar i 10 jaarlijkse termije als de retevoet 8,75% is. Kapitaal : Retevoet: 8,75% Duur : 10 jaar Terugbetalig met costate termij Jaarlijkse termij Verval- dag- aflossigsbestaddeel retebestaddeel schuldsaldo 5) De bak staat mij ee leig toe va tege ee retevoet va 6,85%. Het kapitaal moet ik terugbetale door 20 jaarlijkse termije. a) Bereke de jaarlijkse termij b) Na 5 jaar verhoogt de retevoet tot 7%. Hierdoor mag ik de leig zoder bijkomede koste vervroegd terug betale. Met welk bedrag ka ik dit? Als ik iet vervroegd wes terug te betale e het aatal termije wes te behoude wat zal da de aagepaste termij worde voor de resterede 15 jaar? Fiaciële Wiskude. 90

91 PROGRAMMAATJE FINANCE INTIKT OF HET NAAR EIGEN IDEEËN WIL AANPASSEN HIER HEB JE HET: Lbl 0 Meu("FINANCE","SIMPLE INT",1,"COMPOUND INT",2,"FUTURE VALUE",3,"PRESENT VALUE",4,"QUIT",5) Lbl 1 Meu("SIMPLE INT","INTEREST",A,"PRINCIPAL",B,"RATE",C,"TIME",D,"QUIT",0) Lbl 2 Meu("COMPOUND INT","AMOUNT",G,"PRINCIPAL",H,"PER. RATE",I,"PERIODS",J,"EFF. RATE",K,"QUIT",0) Lbl 3 Meu("FUTURE VALUE","FUTURE VALUE",N,"PAYMENT",O,"PERIODS",P,"RATE",Q,"QUIT",0) Lbl 4 Meu("PRESENT VALUE","PRESENT VALUE",T,"PAYMENT",U,"PERIODS",V,"RATE",W,"QUIT",0) Lbl 5 Stop Lbl A Iput "PRIN=",P Iput "RATE=",R Iput "TIME=",T roud(p*r*t,2)üi Disp "INT =" Pause I Goto 1 Lbl B Iput "INT =",I Iput "RATE=",R Iput "TIME=",T roud(i/(r*t),2)üp Disp "PRIN=" Pause P Goto 1 Lbl C Iput "PRIN=",P Iput "INT =",I Iput "TIME=",T I/(P*T)üR Disp "RATE=" Pause R Goto 1 Lbl D Iput "PRIN=",P Iput "INT =",I Iput "RATE=",R roud(i/(p*r),2)üt Disp "TIME=" Pause T Goto 1 Lbl G Iput "PRIN=",P Iput "RATE=",I Iput "PER.=",N roud(p*(1+i)^n,2)üa Disp "AMOUNT =" Pause A Goto 2 Lbl H Iput "AMT.=",A Iput "RATE=",I Iput "PER.=",N roud(a/(1+i)^n,2)üp Disp "PRINCIPAL=" Pause P Goto 2 Lbl I Iput "PRIN=",P Iput "AMT.=",A Iput "PER.=",N NÍð(A/P)-1üI Disp "PER. RATE=" Pause I Goto 2 Lbl J Iput "PRIN=",P Iput "AMT.=",A Iput "RATE=",I roud(l(a/p)/l(1+i),2)ün Disp "PERIODS =" Pause N Goto 2 Lbl K Iput "RATE=",I Fiaciële Wiskude. 91

92 Iput "P/YR=",M (1+I)^M-1üR Disp "EFF. RATE=" Pause R Goto 2 Lbl N Iput "PMT.=",A Iput "RATE=",I Iput "PER.=",N roud(a*((1+i)^n-1)/i,2)üf Disp "F.V.=" Pause F Goto 3 Lbl O Iput "F.V.=",F Iput "RATE=",I Iput "PER.=",N roud(f*i/((1+i)^n-1),2)üa Disp "PMT=" Pause A Goto 3 Lbl P Iput "PMT.=",A Iput "F.V.=",F Iput "RATE=",I roud(l(1+f*i/a)/l(1+i),2)ün Disp "PER.=" Pause N Goto 3 Lbl Q Iput "PMT.=",A Iput "F.V.=",F Iput "PER.=",N solve(((1+i)^n-1)/i-f/a,i,níð(f/a)-1)üi Disp "RATE=" Pause I Goto 3 Lbl T Iput "PMT.=",A Iput "RATE=",I Iput "PER.=",N roud(a*(1-(1+i)^ún)/i,2)üp Disp "P.V.=" Pause P Goto 4 Lbl U Iput "P.V.=",P Iput "RATE=",I Iput "PER.=",N roud(p*i/(1-(1+i)^ún),2)üa Disp "PMT=" Pause A Goto 4 Lbl V Iput "P.V.=",P Iput "PMT.=",A Iput "RATE=",I roud(úl(1-p*i/a)/l(1+i),2)ün Disp "PER.=" Pause N Goto 4 Lbl W Iput "P.V.=",P Iput "PMT.=",A Iput "PER.=",N solve((1-(1+i)^(ún))/i-p/a,i,a*n/p-1)üi Disp "RATE=" Pause I Goto 4 Fiaciële Wiskude. 92