Differentilvergelijkingen Vn discreet nr continu We estuderen de evolutie vn de evolking vn een lnd met 5 miljoen inwoners Stel u n het ntl inwoners n n jr, met n een discrete vriele We heen enkel informtie over evolkingsntllen op het einde vn een jr Met een rij, u = 5 u u u3 u n, kunnen we de evolkingsgroei modelleren We stellen de volgende hypothese De jrlijkse ngroei, in jr n, is evenredig met de evolkingsgrootte op het einde vn jr n : un un Wnneer de evolking zich kn ontwikkelen ij voldoende ruimte en wnneer er geen invloeden zijn vn uitenf dn is dit een zinvolle hypothese, keer zoveel volk, twee keer zoveel groei Uit de meting vn u, ngroei in het e jr, lijkt dt de evenredigheidsfctor gelijk is n,3 en we nemen n dt dit de jren ndien zo lijft Verlgemening geeft un =,3 un zodt un un =,3 un wruit volgt dt un =, 3 un Deze recursievergelijking heeft ls lgemene oplossing de rij met expliciet voorschrift un =, 3 n u wrij,3 de jrlijkse groeifctor is Voor elke wrde vn u is er één oplossing De recursievergelijking heeft dus oneindig veel oplossingen Mr de recursievergelijking met eginvoorwrde u = 5 heeft ls unieke oplossing de rij u = 5,3 n, die we een prticuliere oplossing noemen n In wt volgt modelleren we de evolkingsevolutie met een functie y die fhnkelijk is vn een continue vriele t We erekenen eerst de gemiddelde evolkingsngroei over delen vn een jr t = mnd De ngroei kn uitgedrukt worden ls volgt: y = y( t+ ) y( t) De gemiddelde yt ( + ) yt ( ) ngroei per mnd wordt gegeven door =,3 yt ( ) Vergelijk met u = u u = u( n) u( n ) =,3u n n n n t = dg De gemiddelde ngroei wordt: yt ( + ) yt ( ) 36 =,3 yt ( ) 36
Een tijdsintervl vn lengte t yt ( + t) yt ( ) We ekomen =,3 yt ( ) We noteren y = y( t+ t) y( t) zodt t y y =,3 yt ( ) is de gemiddelde ngroei over een periode t t x, de gemiddelde groeisnelheid We lten t zeer klein worden klein worden om zo een goede endering te ekomen vn de ogenlikkelijke groeisnelheid op een tijdstip t y dy De ogenlikkelijke snelheid wordt gedefinieerd ls lim en noteren we met of t t dt y'( t ) De evolkingsevolutie wordt eschreven door de vergelijking y'( t) =, 3 y( t) Merk op dt in deze vergelijking zowel de functie y voorkomt ls ook de fgeleide Zo n vergelijking noemen we een differentilvergelijking De enige functie die evenredig is met zijn fgeleide is de exponentiele functie Vndr,3t dt de differentilvergelijking ls oplossing de functie yt () = 5e heeft Indien we geen eginvoorwrde vooropstellen is iedere functie vn de vorm,3t yt () = Ae een oplossing vn de differentilvergelijking Ook hier heeft een eginvoorwrdeproleem een unieke oplossing,3t yt () = 5e is de unieke oplossing vn y'( t) =,3 y( t), y() = 5,3t yt () = 5e noemen we een prticuliere oplossing vn y'( t) =, 3 y( t) Merk op dt recursievergelijkingen of differentievergelijkingen eschouwd kunnen worden ls de discrete tegenhngers vn differentilvergelijkingen, net zols rijen voor functies Bij itertieve processen is de tijd gemeten in discrete intervllen (dgen, jren, ) en ij differentilvergelijkingen is de tijd een continue vriele We estuderen discrete systemen met ls doel hun resultten toe te pssen in moeilijkere continue gevllen Een oplossing vn een differentilvergelijking is een continue functie, vk met ls onfhnkelijke vriele de tijd Als we de oplossing ekijken op discrete tijdsintervllen, heen we een itertief proces De snelheid wrmee een grootheid verndert, is de fgeleide vn de grootheid nr de onfhnkelijke vrile, ijvooreeld de tijd Soms is het onmogelijk of zeer moeilijk om differentilvergelijkingen expliciet op te lossen en mkt men geruik vn numerieke methoden We zullen dit verderop illustreren met de methode vn Euler y '
Enkele differentilvergelijkingen We veronderstellen voor de onderstnde differentilvergelijkingen steeds de eginvoorwrde y() = y voor t = (i) y'( t ) = De oplossing voor dit eginvoorwrdenproleem is yt () = y (ii) y'( t) = De fgeleide is constnt ( ) voor een eerstegrdsfunctie In dit gevl is de oplossing yt () = t+ y (iii) y'( t) = t+ ( ) De oplossing is de kwdrtische functie y() t t t y = + + (iv) y'( t) = y( t) ( ) Zols eerder gezegd is de enige functie wrvoor de fgeleide evenredig is met zichzelf de exponentiële functie t Men kn ewijzen dt y'( t) = y( t) y( t) = Ce met C een constnte Rekening houdend met de eginvoorwrde ekomen we ls oplossing voor t y'( t) = y( t) de exponentiële functie yt () = y e Hiervn vertrekkende zien we snel in dt de oplossing vn y'( t) = y( t) de functie t yt () = y e is (v) y'( t) = y( t) + Indien we voor ovenstnde vergelijking enkel de termen eschouwen wr y of y ' in voorkomen, krijgen we de vergelijking y'( t) = y( t) De vergelijking noemen we de homogene vergelijking De lgemene oplossingen hiervn kennen we, nl t yt () = Ce 3
Als we de vergelijking, y'( t) = y( t) +, ndchtig estuderen zien we dt de functie yt () = een oplossing is Deze oplossing noemen we een prticuliere oplossing Wiskundig kn ngetoond worden dt indien we de oplossing kennen vn de homogene vergelijking, y h, en een prticuliere oplossing, y p, de lgemene oplossing y = yh + yp is t In ons gevl geeft dit: yt () = Ce Rekening houdend met de eginvoorwrde, y() = y, vinden we y = y() = C zodt C = y + De oplossing vn het eginvoorwrdenproleem is yt () = ( y + ) e t Deze differentilvergelijking wordt ook vk in de vorm y'( t) = ( y( t)) genoteerd t met ls oplossing yt () = ( y e ) + Enkele mogelijke oplossingen (vi) Als ltste type vn differentilvergelijking ekijken we y'( t) = y( t)( y( t)) De oplossing vn dit eginvoorwrdeproleem is de functie yt () = + e y t Op de feelding hiernst stt de grfiek vn een mogelijke oplossing De grfiek vn deze functie noemen we een S-kromme Vergelijk deze differentilvergelijking met het discreet logistisch groeimodel 4
3 Enkele vooreelden Vooreeld Verspreiding vn een virus ij een popultie vn mensen Stel yt () het ntl mensen dt drger is vn het virus op het tijdstip t en y() = y de eginvoorwrde dy De snelheid wrmee het virus zich uitreidt op het tijdstip t is y'( t) = dt We nemen n dt deze snelheid evenredig is met het ntl drgers op het ogenlik t en met het ntl mensen dt op dt ogenlik nog geen drger is Hoe meer esmette personen hoe sneller het virus zich verspreidt, hoe minder er niet esmet zijn hoe minder snel er nog esmet kunnen worden De differentilvergelijking die dit proces eschrijft is vn de vorm: 7 y'( t) = 5 y( t)( y( t)) Het exct oplossen vn deze differentilvergelijking is niet zo trivil Wel is deze differentilvergelijking vn de vorm zols in prgrf punt (vi) Mr ook dr heen we niet uitgeweid over de oplossingsmethode Wel kunnen we enderend terugwerken nr een recursievergelijking om numeriek voorspellingen te doen Theoretisch geldt dt genoeg te nemen, y '() yh ( ) y() = lim hetgeen we kunnen enderen door h klein h h y(,) y() 7 y '() = 5 y() ( y()) Zodt:, 7 y(,) 5 +, 5 5 ( 5) = 53,75 Ook geldt: 8 8 5 8 y(,) 5 (5) + 5( + 5 ) = 5 (5) + 5 (,5) 8 Noteren we y() = y, ekomen we y = 5 y +,5 y met ls verlgemening 8 de recursievergelijking: yn = 5 yn +,5 yn Vooreeld Bcteriepopultie De toenme vn het ntl cteriën is per tijdseenheid twee keer het ntl cteriën en de fnme is recht evenredig met het kwdrt vn de nwezige cteriën dy Dit logistisch model wordt eschreven met de vergelijkijng y'() t y() t k y() t dt = = Bij nvng zijn er 5 cteriën en er kunnen mximl 4 zijn Bij de mximle wrde 4 is er geen groei zodt = 4 k 4 k =,5 Geruikmkend vn k vinden we dt y '() = 5,5 5 =,5 = 9,875 Zols in vooreeld vinden we voor h gelijk n één dg dt y() y() y '() 5
Hieruit volgt dt y() = y(),5 y() + y() = 4,875 Op een nloge mnier vinden we dt Hetgeen leidt tot de lgemene differentievergelijking y() = y(),5 y() + y() = 43,58 yn ( ) = yn ( ),5 yn ( ) Vooreeld 3 Mengproleem Om een huis te schilderen kn men niet de juiste tint kopen Hiervoor koopt men gele en rode verf, een ton vn 5 liter gele verf en een ton vn liter rode verf Beide tonnen zijn voorzien vn een krn die liter per uur kn lten wegstromen Om een optimle geleidelijke mengeling vn de verf te ekomen lten we de gele verf in de rode vloeien en wordt utomtisch vermengd, dmv een mengmchine, met de rode verf Bij het openen vn eide krntjes loopt dezelfde hoeveelheid rode verf ls instromende gele weg We estuderen de vn de hoeveelheid gele verf in de ton met rode verf Voor een tijdsintervl, vn een tijdsduur t, geldt dt y t y( t) t instroom uitstroom Door t voldoende klein te nemen, kunnen we veronderstellen dt de instroom gele verf constnt is, yt () = yt ( + t) y Zo ekomen we de verhouding yt ( ) hetgeen ons de volgende t y differentilvergelijking y'( t) = lim = y( t) oplevert met ls eginvoorwrde t t y () = De excte oplossing vn dit eginvoorwrdeproleem is de functie yt ( ) = e t + Voor de gewenste tint moet yt () = 5wruit we het tijdstip ls volgt erekenen: t t ' 5 = e e = t = ln =, 693uur = 4 35,3 We enderen deze oplossing numeriek Veronderstel eerst dt we meten in stppen vn 6 minuten,, uur '' Weer geeft y(,) y() y '() dt y(,), += en y = y(,) y() =, 6
Anloog vinden we uit y'(,) = y(,) dt y(,) y(,) y '(,), y(, ),( - y(,)) + y(,) =,( -) + = 9 en tussen 6 en minuten een differentie y = y(,) y(,) = 9 Dit proces verderzettend, krijgen we de volgende resultten: # minuten 6 8 4 3 36 4 48 # liter gele verf 9 7, 34,39 4,95 46,85 5,7 56,95 9 8 7,9 6,56 5,9 5,3 4,78 Tijdsintervllen vn 6 minuten zijn echter te groot om goede enderingen te ekomen Metingen per minuut,,66 uur geven nuwkeurigere resultten Dit vrgt wel heel wt meer rekenwerk # minuten # liter gele verf 3 4 5 6 4,66 3,9 4,89 6,47 8, 9,55 5,3 4 De methode vn Euler We ehndelen de methode vn Euler om een idee te geven wt het numeriek oplossen vn differentilvergelijkingen etekent Deze methode is in reliteit te onnuwkeurig mr illustreert heel mooi het numeriek idee In de prktijk wordt geruik gemkt vn ndere gelijkrdige itertieve processen ls de Rung Kutt-methode y'( t) = f( t, y) We vetrekken vn een lgemeen eginvoorwrdeproleem y ( ) = y de oplossing yt () numeriek enderen op een intervl [, ] en gn de Als concreet vooreeld ehndelen we Voor dit vooreeld is f (, t y) = t y'( t) = t y() = op het intervl [,6] We zoeken een enderende wrde voor yt () voor een ntl punten t, t, t,, t n in het intervl [, ] Meestl worden deze punten equidistnt gekozen zodt: ti = t + ih voor i=,,,, n met h = n In wt volgt noteren we yt ( ) = y i i De methode vn Euler is geseerd op het volgende itertieprincipe y = i y + + i h f( ti, yi) voor i=,,,, n We pssen dit principe toe op ons vooreeld Duidelijk geldt dt yt ( ) = y() = y = 7
n = 3 Voor n = 3 is h = en t =, t =, t = 4, t 3 = 6 Volgens de methode vn Euler is: y = y + f( t, y ) = + =, y = y + f( t, y ) = + = 6 en y = y + f( t, y ) = 6+ 4= 4 3 n = 6 Voor n = 3 is h = en t =, t =, t =,, t 6 = 6 Volgens de methode vn Euler is: y = y + f( t, y ) = + =, y = y + f( t, y ) = + = 3, y = y + f( t, y ) = 3+ = 5 3 y = y + f( t, y ) = 5+ 3= 8 4 3 3 3 y = y + f( t, y ) = 8+ 4= 5 4 4 4 y = y + f( t, y ) = + 5= 7 6 5 5 5 Het steeds vermeerderen vn tussenpunten verhoogd de nuwkeurigheid vn de endering Echter indien de functie zeer snel stijgt in het intervl, is de endering met de methode vn Euler niet zo erg nuwkeurig ver uit de uurt vn de eginvoorwrde, vndr ook het geruik vn ndere meer nuwkeurig methodes wrover we hier niet uitweiden Om te eindigen nog een meetkundige interprettie vn de methode vn Euler 8
In de omgeving vn t wordt de oplossing enderd door de rklijn in t wrij y'( t ) epld wordt door f( t, y) = f( t, y()) hetgeen gekend is Hieruit erekenen we y, y y nl y = y + h f( t, y) = y + hy'( t) ( y'( t) = ) h Vnuit y gn we y erekenen in de richting vn f ( t, y ), nl y = y+ h f( t, y) y y ( f( t, y) = ) En dit zetten we zo verder tot we f n erekend heen h 5 Enkele exponentiële toepssingen We vermeldden reeds dt een functie wrij de grd vn verndering evenredig is met de functie ltijd een exponentiele functie is Zo n exponentieel vervl of exponentiële groei komt in de ntuur geregeld voor Vooreeld Rdioctiefvervl Het rdioctief vervl op een ogenlik t, de snelheid wrmee de rdioctiviteit fneemt, is evenredig met de nwezige hoeveelheid rdioctiviteit op dt ogenlik: dr kr dt = Als er keer meer deeltjes zijn, zullen ze ook keer sneller verdwijnen k is negtief en voor elke rdioctieve stof nders dr Bijvooreeld voor Xenon is k = 4 en wordt de differentilvergelijking,4r dt =,4t met ls oplossing Rt () = Ce Stel voor t = dt R = mg Hieruit volgt dt C = wrdoor we de unieke oplossing,4t Rt () = e ekomen Hiermee kunnen we ls volgt de hlveringstijd erekenen:,4t,4t ln 5= e e =,4t = ln t = 5 ( dgen),4 Vooreeld Afkoelingswet vn Newton De snelheid wrmee de tempertuur T vn een wrm voorwerp fneemt, is evenredig met het verschil tussen de tempertuur en de omgevingstempertuur dt dt dt ( T ) = kt ( T) = kt ( T) dt kt kt T T = Ce T = T + Ce T = T + Ce kt Experimenteel eplen we dt op minuten de tempertuur vn een ord soep dlt vn 9 C tot 8 C in een omgevingstempertuur vn C 9
Dit etekent voor t = dt 9 = + Ce C = 7 en dt k k 6 6 8 = + 7e e = k = ln k, 77 7 7 We ekomen voor het eginvoorwdenproleem de unieke oplossing,77t e T = + 7 Men kn zo de tempertuur erekenen n een gegeven tijd of ook de tijd eplen wnneer de soep een eplde tempertuur zl heen Soep moet wrm gedronken worden hetgeen vk 5 C etekent Vooreeld Wnneer werd de moord gepleegd? Er werd een moord gepleegd en om 4 uur ( t = ) werd een lichmstempertuur gemeten vn 9,4 C Twee uur lter ws de tempertuur 7,3 C De kmertempertuur ws C en we nemen n dt de lichmstempertuur op het ogenlik vn de moord 37 C ws Wt is het vermoedelijke tijdstip vn de moord? Als de snelheid wrmee de tempertuur vn het lichm fkoelt evenredig is met het tempertuurverschil vn het lichm en de omgevingstempertuur, kunnen we stellen dt: dt AT ( ( t) ) dt = met ls lgemene oplossing () At Tt = + Ce Uit de gegegevens kunnen we A en C erekenen T() = 9,4 = + Ce C = 8,4 A 6,3 Twee uur lter geldt dt T() = 7,3 = + 8, 4e A= ln =,438 8,4 Dit geeft de unieke oplossing Tt () 8,4,438t = + e Om het vermoedelijk tijdstip vn de moord te ontdekken, stellen we ons de vrg wnneer de lichmstempertuur gelijk ws n 37 C? 438t Invullen in de oplossing geeft: 37 = + 8, 4e zodt t = 4, 48 Hetgeen ongeveer overeenkomt met -4 uren en 9 minuten, mw de moord geeurde vermoedelijk om 9:3 uur