Wiskundige functies Een (wiskundige) functie voegt aan ieder getal een ander getal toe. Bekijk bijv. de functie f() = 2 1 Aan het getal 2, d.w.z. = 2, wordt het getal 3 toegevoegd, want f(2) = 2 2 1 = 3 Aan het getal 67, d.w.z. = 67, wordt het getal 133 toegevoegd, want f(67) = 2 67 1 = 133 Aan het getal -2, d.w.z. = 2, wordt het getal -5 toegevoegd, want f 2 = 2 2 1 = 5 In het spraakgebruik: f is een functie van f is de functiewaarde ; is het argument of de (onafhankelijke) variabele In de natuurkunde (en in andere vakgebieden) komen functies veel voor: bijv. : - De positie van een deeltje als functie van de tijd: (t) - Het volume V van een ballon als functie van de druk P in de ballon: V(P) - De dekkingsgraad D van een pensioenfonds als functie van de tijd t: D(t) Soms is de functie alleen als grafiek bekend (niet als formule). Soms is de functie alleen bekend voor een beperkte waarden van het argument.
Functies van meer variabelen Fysische grootheden worden vaak beschreven met functies van meer variabelen: Bijv.: De temperatuur op aarde T(θ, φ, h, t) T hangt af van: de breedtegraad θ de lengtegraad φ de hoogte boven het aardoppervlak h de tijd t
Weergave van functies Een functie kan worden weergegeven met behulp van een formule, met behulp van een grafiek, of met behulp van een tabel. bijv. f = 3 3 5 + 4 f() f() -2-10 -1,5 1,375-1 6 0 4 1 2 1,1 2,493 1,2 3,184 2 18 3 70 Voor veel functies is geen formule te geven, maar wel een grafiek of een tabel. Bijv.: de benzineprijs P t is een functie van de tijd t. Voor de functie P t is geen formule te geven, wel een tabel of een grafiek voor die waarden van t die corresponderen met het verleden.
Helling van een rechte lijn (1) y Helling : klein stukje van de y as overeenkomstige stukje van as dy Helling : α = dy α = 1 (dy = ) α = 0 (dy = 0) α = ( = 0) y y y
Helling van een rechte lijn (2) α = 2 (dy = 2) α = 1 (dy = ) y y
Afgeleide f() De afgeleide van een functie f is de helling van de raaklijn aan de grafiek van die functie Die helling is bij verschillende in het algemeen verschillend. De afgeleide van f is dus ook weer een functie van. f () De afgeleide wordt aangeduid met f () of met:
Welke afgeleide? (1) f() Eén van blauwe functies is de afgeleide van f. Welke? (A, B of C) A B C
Welke afgeleide? (2) f() Eén van blauwe functies is de afgeleide van f. Welke? (A, B of C) A B C
Een formule voor de afgeleide f( + ) f() De helling van de rechte zwarte lijn wordt gegeven door: f + f() = We kiezen nu zeer klein ( oneindig klein ). Als oneindig klein is dan is de rechte lijn precies de raaklijn in het punt + De afgeleide van f wordt dus gegeven door: f + = f() waarbij oneindig klein is.
De afgeleide van f = 3 = f + f() = + 3 3 ( + ) 3 = + + 2 = ( + )( 2 + 2 + 2 ) ( + )( 2 + 2) = 3 + 2 2 + 2 + 2() 2 3 + 3 2 = + 3 3 = 3 + 3 2 3 = 32 = 3 2 f = 3 = 32 In het algemeen: f = n = nn 1
De afgeleide van f = 1 We zagen: f = n = nn 1 f = 1 = 1 = 1 2 = 1 2 f = 1 = 1 2
Kettingregel f is een functie van u: u is een functie van : f(u) u() De afgeleide van f naar is: = du du bijv: f = 5 4 f u = 5u u = 4 du = 5 du = 43 = 5 43 = 20 3
Wat is de afgeleide? f = 3 4 De afgeleide van f is: A 12 3 B 4 3 C 3 3
Een formule voor de afgeleide f( + ) De afgeleide van f wordt gegeven door: f + f() = f waarbij oneindig klein is. f() Bij benadering geldt: + f De benadering is hier dus niet zo goed, maar wordt beter naarmate je kleiner kiest.
De afgeleides van een functie van twee variabelen De functie f(, y) heeft twee afgeleides: y dy Dit is de afgeleide van f, y naar de variabele, terwijl we y constant houden Als je y constant houdt, is f, y in feite een functie van een enkele variabele, (nl. ) geworden. Dit is de afgeleide van f, y naar de variabele y, terwijl we constant houden Als je constant houdt, is f, y in feite alleen nog maar een functie van de variabele.
Functies van meer variabelen f, y = y f + y y dy f We schrijven meestal: f = f f + y y De druk P van een afgesloten hoeveelheid gas is een functie van het volume V en de temperatuur T: P = Nk BT V dp dt = Nk B V y dp dv = Nk BT V 2 Wat is de verandering P van de druk als V en T een klein beetje veranderen? P = Nk BT V 2 V + Nk B V T