Topologie in R n 10.1

Topologie in R n 10.1 Lengte x = (x 1,..., x n ) = x 2 1 + x2 2 + + x2 n Bol B(x 0, r) = {x : x x 0 < r} x 0 r p 1 p 3 p 1 p 2 S p 1 heet uitwendig punt p 2 heet inwendig punt p 3 heet randpunt

p 1 p 3 p 1 p 2 S p 1 heet uitwendig punt p 2 heet inwendig punt p 3 heet randpunt S heet open als elk punt in S inwendig is als S geen enkel randpunt bevat S heet gesloten als S alle randpunten bevat S open R n \ S gesloten

Functies van meer variabelen f (x 1,..., x n ) f (x 1,..., x n ) D R n R R Domein D R n Bereik R R

Grafieken 12.1 n = 2 Grafiek van functie f (x, y) is verzameling in R 3 : { (x, y, z) R 3 : z = f (x, y) } n = 3 Grafiek van functie f (x, y, z) is verzameling in R 4 : { (x, y, z, w) R 4 : w = f (x, y, z) }

Niveauverzamelingen n = 2 Niveaulijn van functie f (x, y) is kromme van punten (x, y) met gelijke functiewaarden: { (x, y) R 2 : f (x, y) = c } 1.5 1 0.15 0.5 0.1 0.05 0-0.05-1.5 y 0-1 -0.5 0 x -0.5 0.5 1 1.5-0.1 2-0.15 1-1 -2-1 0 x 1 2-2 -1 0 y -1.5

n = 3 Niveauvlak van functie f (x, y, z) is oppervlak van punten (x, y, z) met gelijke functiewaarden: { (x, y, z) R 3 : f (x, y, z) = c } 2 1.5 1 2 0.5 z 1.5 1 0-0.5 x 0.5-1 0-2 -1 2 1 0 y

Limieten 12.2 lim x y f (x) = L: (conceptueel) x y x = y = f (x) L (definitie) Voor elke ε > 0 bestaat er δ > 0 zodat x = y, x y < δ = f (x) L < ε. B(L, ε) L B(y, δ) y

Limieten en continuiteit Rekenregels: lim( f + g) = lim f + lim g lim f g = (lim f )(lim g) lim f g = lim f lim g mits lim g = 0 Def Een functie f is continu in y als lim x y f (x) = f (y). Vuistregel Een formule is continu op zijn domein

f (x, y) = x2 y x 2 + y 2, continu op R2 mits f (0, 0) = 0 1 0.5 0-0.5-1 -2-1 f (x, y) = x 2 1 0 0 y -1 1-2 2 xy x 2 + y 2, continu op R2 \ {0} -2-1 x 0 1 2-2 -1 0 y 1 2 0.4 0.2 0-0.2-0.4

Partiële afgeleiden 12.3 y vast x vast f 1 (x, y) = lim h 0 f (x + h, y) f (x, y) h f 2 (x, y) = lim k 0 f (x, y + k) f (x, y) k Notatie: f 1 = f x = D 1 f = f x.

z plane y = b ( a, b, f (a, b) ) z = f (x, y) a b y x Figure 12-15

z plane x = a z = f (x, y) ( a, b, f (a, b) ) a b y x Figure 12-16

z plane y = b plane x = a P tangent plane T 1 T 2 n y x Figure 12-17

Kettingregel 12.5 Voorbeelden 1. f (x, y), x = x(t), y = y(t) d dt f ( x(t), y(t) ) = f 1 ( x(t), y(t) ) x (t) + f 2 ( x(t), y(t) ) y (t) d f dt = f x dx dt + f y dy dt. 2. f (u, t), u = u(t) d dt f ( u(t), t ) ( ) = f 1 u(t), t u ( ) (t) + f 2 u(t), t d f dt = f u du dt + f t

Impliciet differentiëren 12.8 Voorbeeld Beschouw de functie y(x) die voldoet aan x 2 + y 2 = 3, y(1) = 2. Wat is y (1)? Uitwerking Diff naar x: 2x + 2y(x)y (x) = 0 Vul in x = 1: 2 + 2 2 y (1) = 0 y (1) = 1 2 2.

Linearisatie, 1 e -orde benaderingen Def De linearisatie of 1 e -orde benadering van f (x, y) in (a, b) is L (a,b) (x, y) = f (a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b) Def f heet differentieerbaar in (a, b) als f 1 en f 2 bestaan in (a, b), en lim (x,y) (a,b) f (x, y) L (a,b) (x, y) (x, y) (a, b) = 0 Stelling Laat f, f 1, en f 2 continu zijn in B ( (a, b), r ) (voor zekere r > 0). Dan is f differentieerbaar in (a, b). Gevolg Een formule f is differentieerbaar in elk inwendig punt van D( f ) D( f 1 ) D( f 2 )

Als f (x, y) differentieerbaar is, dan is de vergelijking van het raakvlak aan de grafiek van f in (a, b) (grafiek R 3!) z = L (a,b) (x, y) = f (a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b) of anders gezegd, het raakvlak A is de verzameling A = { } (x, y, z) R 3 : z = f (a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b) Gelijkwaardig: 1. f (x, y) is differentieerbaar in (a, b) 2. het raakvlak in ( a, b, f (a, b) ) is een redelijke benadering van de grafiek van f in (a, b)

Gradiënt en richtingsafgeleide 12.7 Def Gradiënt van f (x, y) f (x, y) = ( f 1 (x, y), f 2 (x, y) ). Def Directionele afgeleide in punt x = (x, y) in richting u = (u, v) D u f (x) = lim h 0 f (x + hu) f (x) h = lim h 0 f (x + hu, y + hv) f (x, y) h Stelling D u f (x) = f (x) u

Let op! D 2u f = 2D u f, want D 2u f = f (2u) = 2( f u) = 2D u f. Meestal neem je aan u = 1. Opmerkingen f niveaulijn (-vlak) van f f is richting van sterkste stijging van f L a (x) = f (a) + f (x a)

Hogere-orde afgeleiden Notatie: f 12 (x, y) = y ( x ) f (x, y) Stelling Gegeven f, f 1, en f 2 continu op B(x 0, r) f 12 en f 21 continu in x 0 Dan is f 12 (x 0 ) = f 21 (x 0 )

2 e -orde benaderingen 12.9 f (x, y) f (a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b) + 1 2 f 11(a, b)(x a) 2 + f 12 (a, b)(x a)(y b) + 1 2 f 22(y b) 2

Voorbeeld Tentamen mei 2000 Gegeven is de functie f (x, y) = x 2 y 2 + y. a. Bepaal de vergelijking van het raakvlak aan de grafiek van f in het punt (2, 1, 5). b. In welke richting stijgt de functie f in het punt (2, 1) het meest? c. Geef de vergelijking van de niveaulijn van f door het punt (2, 1) en bepaal de vergelijking van de raaklijn in het punt (2, 1) aan deze niveaulijn.

Extreme waarden 13.1 Def f heeft een globaal maximum in a D( f ) als f (x) f (a) voor alle x D( f ). f heeft een lokaal maximum in a D( f ) als er een B(a, r) bestaat zodat f (x) f (a) voor alle x B(a, r) D( f ). B(a, r) a D( f ) B(b, r) b

Stelling Als f een lokale extreme waarde heeft in a, dan óf a is inwendig, f is differentieerbaar in a, en f (a) = 0 (stationair punt) óf a is inwendig en f is niet differentieerbaar in a n = 1 : óf a ligt op de rand van D( f ) n = 1 : D( f )

Speciaal geval: inwendig punt, n = 2 Discriminant: = f 12 (a) 2 f 11 (a) f 22 (a) Stelling Gegeven a inwendig punt; f (a) = 0. Dan < 0 = extremum (min of max) = 0 =? > 0 = zadelpunt Als < 0, f 11 (a) > 0 = min < 0 = max

Extrema op begrensde gebieden 13.2 Stelling Als f continu is op een begrensde, gesloten verzameling D, dan heeft f een globaal max en min op D. Voorbeeld Tentamen mei 2003 Bepaal het globale maximum en minimum van de functie f (x, y) = xy y 2 op het gebied D gegeven door x 2 + y 2 1. (Hint: gebruik voor de rand poolcoördinaten).

Dubbelintegralen 14.1 z = f (x) f : D R 2 R D D f (x) da = V 1 V 2 V 1 : volume boven xy-vlak V 2 : volume onder xy-vlak

Eigenschappen 1. Als opp(d) = 0 dan is f da = 0 voor elke f D 2. 1 da = opp(d) D 3. ( f + g) da = f da + g da 4. (λ f ) da = λ f da voor elke λ R

Eigenschappen (2) 5. 6. D f da = D 1 f da + f da D 2 D 2 D 1 mits D = D 1 D 2 en D 1 D 2 = f da f da (driehoeksongelijkheid) 7. f (x) g(x) x D = = f da D D g da (monotonie)

Dubbelintegralen als herhaalde integralen 14.2 x = h 1 (y) d y = g 2 (x) D c y = g 1 (x) x = h 2 (y) a b Stelling f is continu op D. Dan D f da = b a g2 (x) g 1 (x) f (x, y) dy dx = d c h2 (y) h 1 (y) f (x, y) dx dy

Poolcoördinaten 14.4 x = r cos θ y = r sin θ r = x 2 + y 2 tan θ = y x dr rdθ y r θ θ + dθ x Oppervlakte-element da = rdrdθ

Voorbeeld Tentamen juli 2001 Het gebied G wordt gegeven door y x 3, y x én x 2 + y 2 9. Bereken de integraal G x da. 1 + (x2 + y 2 ) 3/2

Tripelintegralen 14.5 Voorbeeld van interpretatie: R Ω vol(ω) = V f (x, y, z) is massadichtheid in (x, y, z), i.e. f (x, y, z) V is massa van Ω = R f dv is totale massa van R In rechthoekige coördinaten dv = dxdydz

Herhaald integreren R z = h(x, y) y y = φ 2 (x) D a b x y = φ 1 (x) (x, y) z = g(x, y) y = φ 2 (x) a y = φ 1 (x) x b x D R f dv = D h(x,y) g(x,y) f (x, y, z) dz dxdy = = b a φ2 (x) h(x,y) φ 1 (x) g(x,y) f (x, y, z) dzdydx

Cylindercoördinaten 14.6 x = r cos θ y = r sin θ z = z r = x 2 + y 2 tan θ = y x z = z z P = (x, y, z) = [r,θ,z] d x x O θ y r z y

Integreren in cylindercoördinaten z rdθ dv = rdrdθdz r dr dz x θ dθ y Figure 14-39

Bolcoördinaten 14.6 x = ρ sin φ cos θ y = ρ sin φ sin θ z = ρ cos φ z ρ = x 2 + y 2 + z 2 φ = arccos(z/ρ) tan θ = y x P = (x, y, z) = [ρ,φ,θ] ρ φ x x φ O θ y r z y

Integreren in bolcoördinaten z ρ sin φ dθ dθ dρ θ [ρ,φ,θ] ρ φ dφ ρ dφ dv=ρ 2 sin φ dρ dφ dθ y x Figure 14-44

Vectorfuncties van één variabele 11.1 r(t) = x(t) y(t) z(t) r(a) r(t) r(b) v(t) = r (t) Snelheidsvector x (t) v(t) := r (t) = y (t) z (t) Versnelling a(t) := v (t) = r (t) = (snelheid v(t) = v(t) ) x (t) y (t)

Parametriseringen 11.2 r(a) = r(b) enkelvoudig gesloten (geen zelfdoorsnijding) gesloten (mogelijke zelfdoorsijding) Lengte L = b a v(t) dt = b a v(t) dt Booglengteparametrisering: een parametrisering met v = v = 1; te maken uit parametrisering r(t): s = t a v(t) dt.

Lijnintegralen 15.3 r(b) r(a) C ds Lengte(C) = Lijnintegraal: C C 1 ds f (x) ds = b a f ( r(t) ) r (t) dt NB Integraal is onafhankelijk van keus van parametrisering

Vectorvelden 15.1 F(x) = ( F 1 (x), F 2 (x) ) of F(x) = ( F 1 (x), F 2 (x), F 3 (x) )

Veldlijnen Def Een veldlijn van F is een kromme r(t) waarvoor r (t) F ( r(t) ). Figure 15-3 Veldlijn is een kromme die bij het vectorveld past

Conservatieve velden (R 3 ) 15.2 Def Als F(x) = ϕ(x) in gebied D, dan heet F conservatief F loodrecht op niveauvlakken van ϕ, {ϕ(x) = c} (equipotentiaalvlakken) Test Als F conservatief, dan y F 1 = x F 2 z F 2 = y F 3 ( F = 0) x F 3 = z F 1 NB Alléén = : Test kan uitsluiten dat F conservatief is, maar niet bewijzen!

Lijnintegralen van vectorvelden 15.4 r(a) θ r(b) F Arbeid W = F (r(b) r(a) ) = F r(b) r(a) cos θ

Langs stukje C: F ˆT ds C ˆT is eenheidsraakvector langs C; ˆT = 1 (bv T(t) = r (t), ˆT = T/ T ) Afgelegde weg: ˆT ds Arbeid over stukje ds: Arbeid over C: C F ˆT ds F ˆT ds

Berekening C F ˆT ds = b a F ( r(t) ) r (t) r (t) r (t) dt = b a F ( r(t) ) r (t) dt Vergelijk: Scalaire functie f : Vectorfunctie F: C C f ds = F ˆT ds = b a b a f ( r(t) ) r (t) dt F ( r(t) ) r (t) dt

Opmerkingen 1. Notatie: C F ˆT ds = C F dr. 2. Oriëntatie: andersom doorlopen integraal verandert van teken (alléén bij integralen van vectorfuncties!) 3. Gesloten kromme: A C C 2 B C 1 C F dr = C 1 F dr C 2 F dr

Integralen van conservatieve vectorvelden 1. Als F conservatief (F = φ) dan C F dr = φ ( r(b) ) φ ( r(a) ) Integraal hangt alleen af van begin- en eindpunt! 2. Als C gesloten is, dan is C F dr = 0.

Stelling Gebied D is samenhangend. Equivalent: 1. F is conservatief 2. 3. C C F dr = 0 voor elke gesloten C in D F dr hangt alleen af van begin- en eindpunt van C

Oppervlakte-integralen 15.5 z v d R (u,v) S r(u,v) c a b u x y Figure 15-16

r v dv r(u 0,v) r 0 r u du ds r(u 0 + du,v) r(u,v 0 ) r(u,v 0 + dv) Figure 15-20 ds = r u du r v dv = r u r v dudv f ds = S D f ( r(u, v) ) r u r v dudv

Speciaal geval S is grafiek {z = f (x, y)} r(x, y) = ( x, y, f (x, y) ) voor (x, y) D r x = (1, 0, f x ) en r y = (0, 1, f y ) r x r y = ( f x, f y, 1) ds = 1 + f 2 x + f 2 y dxdy g(x, y, z) ds = g ( x, y, f (x, y) ) 1 + f 2 x + f 2 y dxdy S D

Oppervlakte-integralen van vectorvelden 15.6 Flux door oppervlak: v ˆN ds z ˆN v dt θ ds P S x y Figure 15-29

Def Oppervlak S heet oriënteerbaar als er een continu eenheidsnormaalvectorveld ˆN bestaat op S z ˆN ˆN P ˆN y x Figure 15-27 Figure 15-28 ± r u r v r u r v goede kandidaat voor ˆN

Berekening Notatie: I = S = ± = ± S D D F ˆN ds F ˆN ds = F ( r(u, v) ) r u r v r u r v r u r v dudv F ( r(u, v) ) r u r v dudv S F ds.

n = 2 scalaire f vector F 1d: C f ds = f (r) r dt F dr = F(r) r dt 2d: D f dv div F dv n = 3 scalaire f vector F 1d: C f ds = f (r) r dt F dr = F(r) r dt 2d: S f ds = f (r) r u r v dudv F ds = ±F(r) r u r v dudv 3d: D f dv div F dv

Grad-div-rot 16.1 Gradient f = grad f = ( f x, f y, f z ) Interpretatie: richting van sterkste stijging van f Divergentie div F = x F 1 + y F 2 + z F 3 Interpretatie: verandering van grootte van een meegevoerd volume z F 2 y F 3 Rotatie rot F = curl F = x F 3 z F 1 y F 1 x F 2 Interpretatie: moment uitgeoefend door krachtenveld