1 Modue Uitwerkingen vn de opdrchten Opdrcht 1 nyse Sttisch bepde constructie. Uitwendig evenwicht te bepen met evenwichtsvoorwrden. Drn op de gevrgde ptsen een denkbeedige snede nbrengen en met de evenwichtsvoorwrden de snedekrchten berekenen. De schuine krcht eerst ontbinden in een horizonte en een vertice krcht. Ontbinden F vert. F hor. 8 5,66 kn Evenwicht Voor het invuen vn de evenwichtsvoorwrden moeten de richtingen vn de rectiekrchten worden ngenomen. Intuïtief nemen we de vertice krchten nr boven n en de horizonte krcht nr inks. F H 0 5,66 H 5 0 H 0,66 kn T 0 5,66 10 V 4 0 V,17 kn F V 0 5,66 10,17 V 0 V 13,49 kn e ntwoorden zijn positief, dus de ngenomen richtingen zijn juist. ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
Snedekrchten In figuur.1 stn de figuren behorende bij de berekeningen. 5,66 kn 5,66 kn b 5,66 kn 5,66 kn 1 m C D E C F G 0,66 kn 13,49 kn,17 m m m M V N 10 kn 4 m 5 kn 5,66 kn D M 5,66 kn c 1,999 m V N 5,66 kn E M Figuur.1 5,66 kn d,001 m 13,49 kn N V 0,66 kn Snedekrchten in snede C zie figuur.1b. Snedekrchten worden ngenomen in de positieve richting. F V 0 5,66 V C 0 V C 5,66 kn F H 0 5,66 N C 0 N C 5,66 kn T C 0 5,66 1 M C 0 M C 5,66 knm b Snedekrchten in snede D zie figuur.1c F V 0 5,66 V D 0 V C 5,66 kn F H 0 5,66 N D 0 N C 5,66 kn T D 0 5,66 1,999 M D 0 M D 11,31 knm ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
3 Snedekrchten in snede E zie figuur.1d F V 0 5,66 13,49 V E 0 V E 7,83 kn F H 0 5,66 0,66 N E 0 N C 5,00 kn T C 0 5,66,001 13,49 0,001 M E 0 M E 11,31 knm c Snedekrchten in snede F De mten kunnen fgeezen worden in figuur.1. F V 0 5,66 13,49 V F 0 V F 7,83 kn F H 0 5,66 0,66 N F 0 N F 5,00 kn T F 0 5,66 3,999 13,49 1,999 M F 0 M F 4,34 knm Snedekrchten in snede G F V 0 5,66 13,49 10 V G 0 V G,17 kn F H 0 5,66 0,66 N G 0 N G 5,00 kn T G 0 5,66 4,001 13,49,001 10 0,001 M G 0 M G 4,34 knm ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
Opdrcht nyse De constructie is een uitkrging in punt D. De deen, E en F zijn ek weer uitkrgingen in. De constructie is sttisch bepd. Voor het bentwoorden vn de vrgen is het niet noodzkeijk om de rectiekrchten te berekenen, mr het is een goede gewoonte om te controeren of er uitwendig evenwicht bestt. 5,66 kn 3 kn 0,5 m 0,5 m 3 kn 1 m 1 m C D 4 m 5 kn 7 knm 4 1,5 3 kn 3 kn 5 5 kn 0,5 m 0,5 m 3 kn C L C R 5 kn 5 kn 5 1,5 1,5 d 3 kn 1,5 5 kn 1 m 1 m 1 m Figuur. b 4 m c 4 m Uitwendig evenwicht F H 0 3 3 D H 0 D H 0 F V 0 5 5 D T 0 D T 0 T D 0 5 4 5 3 0,5 3 0,5 D T 0 D T 7 knm. In figuur.. is het rectiemoment in de juiste richting ingetekend. In punt C stt een krcht. Links en rechts vn de krcht is de dwrskrcht verschiend figuur..b. In C L : F V 0 5 V C,L 0 V C,L 5 kn In C R : F V 0 5 5 V C,R 0 V C,R 0 kn De normkrcht wordt niet beïnvoed door de krcht in C. F H 0 3 3 H C 0 H C 0 kn ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
5 Het moment in C: T C 0 5 3 0,5 3 0,5 M C 0 M C 7 knm b In figuur..c zijn de sneden ngegeven nbij punt met de in de stven werkende momenten. Deze kunnen eenvoudig uit het evenwicht vn de betreffende stfdeen worden berekend. c In figuur..d is punt getekend met de momenten zos die op het punt werken. Merk op dt deze tegengested gericht zijn n de momenten die op de nsuitende stven werken. De som vn de momenten is nu, zodt de knoop in evenwicht is. Opdrcht 3 nyse De constructie is sttisch bepd. e rectiekrchten bevinden zich in punt. Deze kunnen berekend worden met behup vn de evenwichtsvoorwrden. Uit de richting vn de ctiekrchten kn direct de richting vn de rectiekrchten worden fgeeid. In figuur.3 zijn de grootte en richting vn de rectiekrchten ingetekend. In figuur.3b is een snede getekend juist boven de inkemming in punt. Om evenwicht te mken dienen de inwendige krchten even groot mr tegengested te zijn n de rectiekrchten. b De snede juist onder punt is getekend in figuur.3c. De richting vn het moment is niet zonder meer f te eiden zonder berekening. Er dienen dus richtingen te worden ngenomen. De ngenomen richtingen zijn in de figuur getekend. F V 0 N,onder 300 0 N,onder 300 kn F H 0 V,onder 70 0 V,onder 70 kn T 0 M,onder 490 70 4 0 M,onder 10 knm Uit de tekens vn de ntwoorden bijkt dt de richting vn de dwrskrcht en het moment verkeerd zijn ngenomen. De dwrskrcht nr rechts op de getekende snede, en het moment met de kok mee. De snede juist boven is getekend in figuur.3d. Nu werken in de horizonte krcht vn 50 kn en op de consoe de vertice krcht vn 00 kn. ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
F V 0 N,boven 300 00 0 N,boven 100 kn F H 0 V,boven 70 50 0 V,boven 0 kn T 0 M,boven 490 70 4 00 0,5 0 M,boven 110 knm c Knoop met e erop werkende krchten is getekend in figuur.3e. Controe eert dt de knoop in evenwicht verkeert. c N d 100 kn 0 kn C M V M V 50 kn N 00 kn 6 0,50 3 m 00 kn 4 m 4 m 50 kn 5 kn 7 m H = 70 kn H = 70 kn T = 490 kn T = 490 kn 4 m T = 300 kn T = 300 kn Figuur.3 H = 70 kn T = 490kN V = 300 kn b N M V 400 300 snedekrchten tegengested 70 50 e 70 300 110 0 100 00 10 100 ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
7 Opdrcht 4 Voor de berekening zie opdrcht 1. De gevrgde grfieken zijn fgebeed in figuur 4. + 7,83 V-ijn 5,66,17 11,31 M-ijn + 1 90 X 4,34 5,66 5,00 Figuur.4 N-ijn Opdrcht 5 Zie opdrcht voor de berekening. De gevrgde grfieken zijn getekend in figuur 5. 5 V-ijnen C D 3 C 3 D 5 7 Figuur.5 M-ijnen C D 1,5 C 1,5 D ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
Opdrcht 6 Zie opdrcht 3 voor de berekening. De gevrgde grfieken zijn getekend in figuur 6. 100 490 10 110 50 50 100 100 8 300 Figuur.6 70 V-ijn M-ijn N-ijn Opdrcht 7 nyse De constructie is sttisch bepd. Er is geen horizonte besting, dus is de horizonte rectiekrcht in ook nu. De constructie is nu symmetrisch, en ook de besting is symmetrisch. eide vertice rectiekrchten zijn dus geijk n de krcht F. In figuur.7 is de igger weergegeven wrbij de opeggingen vervngen zijn door de rectiekrchten. De dwrskrchtenijn kn nu getekend worden door de besting te vogen. zie figuur.7b. De momentenijn bestt uit ineire functies, omdt er een puntsten op de igger stn en geen verdeede besting. De momentenijn vertoont een knik ter ptse vn een puntst. n de einden vn de igger is het moment nu. De verndering vn het moment is geijk n de oppervkte tussen de dwrskrchtenijn en de nuijn over betreffende iggerdee. Tussen het eind vn de igger en de opegging is de oppervkte vn de dwrskrchtenfiguur: F. Het moment ter ptse vn de opeggingen is dus ook: F. ij buiging is de boe ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
9 zijde vn de igger nr boven gericht, dus de momentenijn wordt boven de nuijn getekend figuur.7c. b V-ijn F F F F F c F Figuur.7 M-ijn Opdrcht 8 nyse De constructie is symmetrisch. De rectiekrchten zijn geijk, met grootte: 0,5 F figuur.8. De dwrskrchtenijn kn nu getekend worden. Links vn het midden gedt: F V 0 1 F V x 0 V x 1 F T X 0 1 F x M x 0 M x 1 F x Rechts vn het midden gedt: F V 0 1 F F V x 0 V x 1 F T X 0 1 F x F x 1 M x 0 M x F 1 x 1 ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
10 Met x 1 gedt: M 1 F 1 0 M 1 1 4 F Dit is een stndrdformue die gekend moet worden. De momentenijn bestt uit twee ineire functies. n de einden vn de igger is het moment nu. De boe knt vn de igger is nr onderen gericht, dus de momentenijn wordt ook n de onderzijde vn de nuijn getekend. F 0,5 b F F c Figuur.8 F F 4 Opdrcht 9 nyse De constructie is een igger op twee steunpunten. De rectiekrchten kunnen berekend worden m.b.v. de evenwichtsvoorwrden. De richting vn de rectiekrchten kn intuïtief worden ngenomen zie figuur.9. Omdt er een discontinuïteit in de besting nwezig is ter ptse vn punt dienen er twee functievoorschriften te worden opgested. ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
11 1 b x H 1 m 1x x 1 kn M V V N 4 kn 3 m V 1 1 8(x 1) M(x) 6 x 1 V(x) 0,5 x 0,5 1 x 1 x c 8x M(x) 1x V(x) d 6x 4x + x 4 Figuur.9 e ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
1 Uitwendig evenwicht: F H 0 H 0 T 0 1 0,5 4 1,5 V 3V 3 3V 3 0 V 10 kn F V 0 1 4 10 V 0 V 6 kn Een snede inks vn punt geeft de vogende vergeijkingen zie figuur.9b : F V 0 1 x V x 0 V x 1x T X 0 1 x x M x 0 M x 6x De dwrskrchtfunctie is dus een ineire functie met richtingscoëfficiënt: 1 q De momentfunctie is een prboo met de top in x 0. Rechts vn punt is de situtie zos die in figuur.9c is getekend. F V 0 1 6 8 x 1 V x 0 V x 8x T X 0 1 x 0,5 6 x 1 8 x 1 x 1 M x 0 M x 4x x 4 Opdrcht 10 nyse De gevrgde functies kunnen gevonden worden door een snede n te brengen op een wiekeurige pts. De bestingfunctie is continu, dus de dwrskrchtenijn en de momentenijn bestn uit één segment. De rectiekrchten zijn ieder geijk n de heft vn de tote besting: V V q. In figuur.10 zijn de opeggingen vervngen door de rectiekrchten. rengen we een snede n op een wiekeurige fstnd vn, dn ontstt de situtie vn figuur.10b. Uit het evenwicht vn het inkerdee vogt dn: ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
13 q F H 0 N x 0 F V 0 q q q x V x 0 V x qx T X 0 q x q x x M x 0 M x 1 qx 1 qx q M q q x M(x) q x N(x) V(x) x b q V-ijn q c M-ijn Figuur.10 d q 8 ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
14 De dwrskrchtenijn is een ineire functie. De momentenijn een prboo, met de top in het midden vn de igger. Ter ptse vn punt M x 1 is het moment: M 1 1 q 1 1 q 1 1 8 q Dit is een stndrdformue die gekend moet worden. Opdrcht 11 nyse De igger is geijk n die vn opgve.10. De besting is nu sechts op de inkerheft nwezig. Er zijn dus twee functievoorschriften voor de dwrskrchtenijn en de momentenijn. In figuur.11 zijn de rectiekrchten ngegeven. Voor een snede inks vn het midden gedt figuur.11b. Vertic evenwicht evert het functievoorschrift voor de dwrskrcht: V x 3 8 q qx, en het momentenevenwicht: M x 3 8 qx 1 qx. Voor een snede rechts vn het midden figuur 11c : V x 1 8 q constnt en M x 1 q x. Om te kijken hoe de 8 functies op ekr nsuiten wordt in e voorschriften voor x de wrde 1 ingevud: Links: V x 3 8 q qx 3 8 q q 1 1 8 q M x 3 8 qx 1 qx 3 8 q 1 1 q 1 1 16 q Rechts: V x 1 8 q M x 1 8 q x 1 8 q 1 1 16 q ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
15 b 3 q 8 3 q 8 x x q x q q M(x) V(x) M q 8 q M(x) 3 q 8 M x V(x) x c 3 q 8 d 3 8 q 8 9 q 18 1 q 16 Figuur.11 e ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
16 Hieruit bijkt dt de dwrskrchtenijn en de momentenijn continue functies zijn. De top vn de prboo momentenijn kn worden gevonden met de,b,c-formue: x top b 3 8 q 1 q 3 8 De functiewrde vn de top is: M top 1 q 3 8 38 38 9 q 18 q Uit de figuur bijkt dt de top vn de momentenijn smenvt met het nupunt vn de dwrskrchtenijn. Opdrcht 1 nyse Tussen de eindpunten vn de igger is er geen besting. De bestingfunctie is derhve: q x 0. Twee keer integreren evert de dwrskrcht- en momentfuncties. Met de rndvoorwrden kunnen vervogens de integrtieconstnten worden uitgerekend. q x 0V x q x dx 0 dx C 1 M x V x dx C 1 dx C 1 x C F Rndvoorwrden: V F C 1 F C 1 F M 0 F C 0 C F x De functies worden nu: V x F M x Fx F F x F F Figuur.1 V-ijn M-ijn De dwrskrchtfunctie is een constnte functie en de momentfunctie een ineire functie. De wrden voor de dwrskrcht en het moment bij worden dn: V V 0 F M M 0 F 0 F In figuur.1 zijn de grfieken getekend. ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
17 Opdrcht 13 De bestingfunctie is ineir constnt. Door twee keer integreren worden de dwrskrcht en momentfuncties bepd. Drn worden m.b.v. de rndvoorwrden de integrtieconstnten berekend. q x x q q x V x q x dx q x dx q x dx q 1 x C 1 M x V x dx q 1 x C 1 dx q 1 6 x3 C 1 x C De igger is n beide zijden vrij opgeegd, dus de rndvoorwrden zijn: M 0 0 en M 0 M 0 0 C 0 M 0 q 1 6 3 C 1 0 0 C 1 1 6 De functies worden nu: V x q 1 x 1 6 q 1 6 x M x q 1 6 x3 1 6 x q x 6 6 x3 Nu kunnen extreme wrden en mrknte punten worden berekend: V 0 1 6 q V q 1 6 1 3 q V x 0 s x 1 6 dus s x 1 3 x 3 0,577 ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
18 Het moment is mxim s de dwrskrcht nu is, dus: M mx q 3 3 3 6 q 6 9 3 De grfieken zijn getekend in figuur.13 x q M q 1 q 6 V-ijn 0,577 1 q 3 M-ijn Figuur.13 q 9 3 Opdrcht 14 nyse s opdrcht 13. De functies voor de dwrskrchten- en momentenijn zijn identiek n opdrcht 13. De rndvoorwrden verschien omdt de igger nders is opgeegd: V 0 0 C 1 0 M 0 0 C 0 ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
19 De functies worden dn: V x qx en M x qx3 6 Voor punt gedt: V V q 1 q M M q 3 6 1 6 q 3 x q(x) =. q x V-ijn 1 q 1 q 6 Figuur.14 M-ijn ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
0 Opdrcht 15 nyse s opgve 13 en 14. Met de hier gedende rndvoorwrden vinden we: V 0 V q 1 C 1 0 C 1 1 M 0 M q 1 6 3 1 C C 1 3 3 De functies worden dn: V x q 1 x 1 V 0 1 q M x q 1 6 x 3 1 x 1 3 3 M 0 1 3 q x q(x) = q q x 1 q V-ijn 1 q 3 Figuur.15 M-ijn ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
1 Opdrcht 16 Sttisch bepde constructie, dus de rectiekrchten berekenen met de evenwichtsvoorwrden. De dwrskrchtenijn tekenen door de besting te vogen. Vervogens de momenten bepen op ptsen wr de besting discontinu is en wr de dwrskrcht nu is. Dit kn door gebruik te mken vn de oppervkte vn het momentenvk, of door sneden n te brengen en vervogens de inwendige krchten te bepen uit het evenwicht vn één dee. ij de opeggingen zijn de momenten nu. Tussen en I is de oppervkte vn de dwrskrchtenfiguur: 3,5 knm. De verndering vn het moment tussen en I is dus ook 3,5 knm. M 1 is dus 3,5 knm. De oppervkte vn de dwrskrchtenfiguur tussen tussen I en II is 1,01 knm. De dwrskrchten figuur igt hier onder de nuijn. De oppervkte dient dus negtief te worden genomen. Het moment in punt II wordt dus: M II M I 1,01 3,50 1,01 31,49 knm. Met de snedemethode: M II 5,5 3 10 3 3 0 M II 31,49 knm De overige berekeningen worden n de gebruiker overgeten. De uitkomsten stn in figuur.16 bijgeschreven. 5,5 kn/m 10 kn/m 6 kn/m 4 kn/m 4 kn/m 3 m 3 m m 6,5 kn/m 8 m Oppervk = 3,50 kn/m V-ijn,55 I 6,5 II 1,5 III IV 1,65 6,5,5 M-ijn 5,0 5,8 Figuur.16 3,5 31,49 ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
Opdrcht 17 nyse Sttisch bepde igger zonder horizonte krchten. De rectiekrchten berekenen m.b.v. de evenwichtsvoorwrden. Vervogens de dwrskrchtenijn tekenen door de besting te vogen. Drn kunnen de momenten berekend worden door op mrknte punten sneden n te brengen. De uitkomsten zijn in figuur.17 bijgeschreven. 59 kn 8 kn q = 1 kn/m 70 kn 196,5 kn m 3 m 3 m 1 m 1 m 10 m 50,6 91 70 6,5 1,5 IV 8,40 0,309 56,5 84,5 105,5 80,5 5,6 14,5 Figuur.17 89,5 90,5 ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
3 Opdrcht 18 nyse De rectiekrchten berekenen met de evenwichtsvoorwrden. Drn een functie opsteen voor de dwrskrcht, wrmee het dwrskrchtnupunt kn worden berekend. Vervogens de momenten berekenen in het dwrskrchtnupunt en ter ptse vn het steunpunt.hiermee kunnen de gevrgde grfieken worden getekend. De dwrskrchtfunctie kn worden berekend m.b.v. figuur.18b: q x 10 5x V x q x dx 10 5x dx 10x 5 x C V 0 0 C 4 V x 5 x 10x 4 Het dwrskrchtnupunt: V x 0 5 x 10x 4 0 x,56 m De dwrskrcht bij het steunpunt: V 5 5 5 105 4 70,5 kn De momentfunctie kn worden bepd door de dwrskrchtfunctie te integreren: M x V x dx 5 x 10x 4 dx 5 6 x 3 10 x 4x C M 0 0 C 0 M x 5 6 x 3 5x 4x M,56 5 6,563 5,56 4,56 60,77 knm M 5 5 6 53 5 5 4 5 19,17 knm ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
4 Hiermee kunnen de grfieken worden getekend. Let erop dt de dwrskrchtfunctie een prboo is en de momentfunctie een derdegrdskromme. q 1 = 10 kn/m 4 kn 108 kn 5 m 1 m 6 m q (x) = 5x kn/m q mx = 30 kn/m q 1 = 10 kn/m 4 kn x b 4 37,5,56 m 70,5 c 19,17 Figuur.18 d 60,77 ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
5 5 kn 5 kn 5 kn Opdrcht 19 nyse De constructie is sttisch bepd. De pendestven bij en E fungeren s roschrnieren. De vertice ro bij houdt de constructie overeind. Uit het horizonte evenwicht bijkt dt de horizonte rectiekrcht nu is. De constructie en de besting zijn symmetrisch. De vertice rectiekrchten zijn drdoor geijk. Drmee zijn de V-, en N-ijn voor de constructie te tekenen. Vervogens de momenten berekenen ter ptse vn de puntsten en de knopen, wrmee de M-ijn te tekenen is. 5 kn 5 kn 5,5 47,5 7,5,5,5 10 kn C D 10 kn m 5 kn/m 1,5 m 5 kn 70 kn E 70 kn D 10 m m m m 1,5 m V-ijn 17,5 b 0,63 M-ijn N-ijn 0,63 c 70 70 d 0,63 54,38 5kN 5 kn 5 kn M C M M 10 kn M 10 kn m 10 kn m 10 kn m 5 kn/m 5 kn/m 70 kn 5 kn/m 70 kn 5 kn/m 70 kn 1,5 m 1,5 m 1,5 m m 1,5 m m m e f g h Figuur.19 ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
6 Rectiekrchten: V E V 10 1,5 5 4 10,5 5 70 kn In figuur.19 zijn de opeggingen vervngen door de rectiekrchten. De V-, en N-ijn zijn te tekenen door de besting te vogen. In figuur.19b is de V-ijn getekend en in figuur.19c de N-ijn. De figuren.19e t/m h zijn de situties wrmee chtereenvogens de bengrijke momenten kunnen worden uitgerekend. De uitkomsten zijn verwerkt in de momentenijn figuur.19d Opdrcht 0 Een sttisch bepd port. In e geven kunnen de opegrecties worden berekend met behup vn de evenwichtsvoorwrden, wrn de V-, en N-ijnen kunnen worden getekend. De momentenijnen kunnen worden getekend ndt in de knopen en ter ptse vn de dwrskrchtnupunten de momenten zijn berekend. sneeuw 10 kn/m 5kN/m wind vn inks 5 kn/m wind vn rechts 5 kn/m 5 kn 5kN/m 5 kn 10 10 75 75 35 40 40 35 10 75 75 35 75 75 10 5 40 35 5 40 35 40 7m 40 10 8m 35 37,5 37,5 50 1,5 81,3 5 160 110 Figuur.0 ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
7 In figuur.0 worden de uitkomsten vn de berekeningen getoond. eschouw hierbij de grote invoed vn de horizonte krchten op het momentenveroop. Opdrcht 1 nyse Drie sttisch bepde iggers, wrvn de horizont gemeten engte geijk is. ij figuur b en c is de werkeijke engte groter. Het roschrnier bij is in figuur c gedrid t.o.v. figuur b. Figuur is het bsisgev wrvoor e formues bekend zijn. De besting is bij b en c over een grotere iggerengte verdeed: 1 cos. De besting per meter bk is: q 1 q cos. Deze besting moet ontbonden worden in een verdeede besting oodrecht op de bk q V en een verdeede besting evenwijdig n de bk q N. q N q 1 sin q cos sin q V q 1 cos q cos De rectiekrchten zijn te berekenen met behup vn de evenwichtsvoorwrden. Deze rectiekrchten kunnen ontbonden worden in krchten oodrecht op en evenwijdig n de stfs. In beide geven zijn de rectiekrchten oodrecht op de iggers: oodr. oodr. 1 q cos Met behup vn de oppervkte vn het dwrskrchtenfiguur kn het mxime moment berekend worden: M mx oodr. 1 1 1 q cos cos 1 8 q De dwrskrchtenijn is in de geven b en c geijk. een de normkrchtenijn is verschiend zie figuur.1. ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
8 1 q N-ijn 1 q q 1 q C q 1 = q cos (α) α 1 q 1 q sin (α) q 1 q D 1 q sin (α) q tn (α) q 1 = q cos (α) E q α 1 cos (α) sin (α) q sin (α) q q F q tn (α) 1 cos (α) q sin (α) V-ijn 1 q 1 q cos (α) 1 q cos (α) 1 q cos () 1 q cos (α) M-ijn 1 q 8 1 q 8 1 q 8 Figuur.1 b c Opdrcht nyse Sttisch bepde constructie. Zorg voor uitwendig evenwicht. Teken vervogens de N-, V- en M-ijnen met behup vn e prktische hupmiddeen. Voor het berekenen vn de norm- en dwrskrcht in het schuine dee dient de besting op het schuine dee over de iggerengte te worden verdeed en vervogens te worden ontbonden in een besting evenwijdig met de stfs en een besting oodrecht op de stfs. Ook de rectiekrchten in moeten worden ontbonden. De dwrskrchten worden bepd door de krchten oodrecht op de verschiende stven te vogen, en de normkrchten door de evenwijdige krchten te vogen. De momentenijn kn worden getekend door de momenten in de mrknte punten te berekenen. Omdt er een verdeede besting op stt, wordt de momentenijn gevormd door prboosegmenten. De uitkomsten zijn in figuur. bij de grfieken vermed. ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
3,49 9 0 kn V-ijn q = 10 kn/m 0 q 1 = 10 kn/m 43,33 kn 3m N-ijn m m 4 m C 0 kn 36,67 kn 3,33 3,33 14,66 0,71m M-ijn 0 14 38 6,67 17,34 Figuur. Opdrcht 3 De gegeven igger is getekend in figuur.3. De momentenijn stt in figuur.3b. De verdeing vn ved- en steunpuntsmoment wordt bepd door de pts vn de schrnieren. Ptsen we het schrnier dicht bij de opegging, dn wordt het vedmoment kein en het steunpuntsmoment groot, en omgekeerd. In figuur.3c is een wiekeurige prboo getekend met de top in de oorsprong. Met het bijgeschreven functievoorschrift gedt: p b M p c M p c p b c b Uit c b vogt nu: b b 1 b zie figuur.3c Voor een middenved gedt b 1 1 b b b 1 c b 1 1 1 1 0,146 Voor een vedengte vn 6 meter is dit: 0,146 6 0,88 m ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
30 b Voor een eindved gedt: b 1 b b 1 b 1 b 1 b 1 1 0,17 Voor een vedengte vn 6 meter is dit: 0,17 6 1,03m M 6 m 6 m q M 6 m e m m b M eindved M middenved M M (x) = p x M b c Figuur.3 c Opdrcht 4 nyse Sttisch bepde schrnierigger. De igger bestt uit deen die ek fzonderijk sttisch bepd zijn, wrbij het ene dee rust op het ndere dee. In dit gev rust dee SCD op dee S. De krcht die SCD op S uitoefent kn worden bepd uit het evenwicht vn SCD. De rectiekrchten in S en C zijn in figuur 4 weer- ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
31 gegeven. De rectiekrcht op SCD vormt in tegengestede richting een ctiekrcht in S op S. Deze ctiekrcht is ook in de figuur weergegeven op igger S. Vn de twee fzonderijke iggers kn op de gebruikeijke wijze een V- enm-ijn getekend worden zie figuur 4. q = 15 kn/m q = 8 kn/m C D S m 0 kn 7 m 8 m 0 kn q = 8 kn/m 3 m 30 kn 30 kn S C D 3 kn 99 kn 6 m 3 m q = 15 kn/m 3 kn S 43,6 kn 100,36 kn 7 m m 43,6 100,36 3 3 54 30,91 61,1 0,38 45 16 6 0,56 Figuur.4 63,5 ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
3 Opdrcht 5 6 m q = 10 kn/m 0 kn q 1 =15 kn/m S1 S C D 18 m 18 m 8 m 8m 0 kn S1 S 44,9 kn 56,1 kn 44,9 kn 56,1 kn 86,9 kn 185,1 kn 158,7 kn 44,4 kn 86,9 71,9 44,9 75,7 18,1 38,1 56,1 113,1 3,47 m 3,0 m 83,1 44,4,96m 105, 15, 67,3 56, 65,6 Figuur.5 150,9 nyse Sttisch bepde schrnierigger op vier steunpunten. De werkwijze is s bij opgve.4. Nu igt igger S1-S op de einden vn de twee eindiggers. De rectiekrchten vn igger S1-S vormen krchten op ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
33 de einden vn S1 enscd. In figuur.5 zijn de iggers fzonderijk getekend met de ctie- en rectiekrchten. De V-, en M-ijn zijn ook in de figuur getekend. Opdrcht 6 nyse Sttisch bepd drieschrnierspnt. De constructie en besting is symmetrisch, dus de opegrecties ook. Vnwege de symmetrie werkt er in het schrnier een een horizonte krcht. De rectiekrchten kunnen worden berekend m.b.v. de drie evenwichtsvoorwrden, en het gegeven dt het moment in het schrnier geijk is n nu. In figuur.6b is de hve constructie getekend met de rectiekrchten. De besting op het schuine dee is in deze figuur verdeed over de schuine engte. Vervogens moet deze besting worden ontbonden in een besting oodrecht op de igger en een besting evenwijdig n de igger. Ook de rectiekrchten dienen in deze richtingen te worden ontbonden. Met de dn gevonden wrden kunnen de N-, V- en M-ijn worden getekend figuur.6c, d, e. q = 15 kn/m 13,4 m q =13,4kN/m 10 kn 9 m 9 m 3 m 10 kn 3 m b 4 m 180 kn 107,3 187,8 107, 53,7 360 10,1 360 c d e 180 N-ijn V-ijn 10 M-ijn Figuur.6 ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
34 Opdrcht 7 nyse Sttisch bepd drieschrnierspnt. De constructie is niet symmetrisch. Er wordt gevrgd om twee bestinggeven door te rekenen. Voor de rectiekrchten kn gebruik worden gemkt vn de drie evenwichtsvoorwrden en het gegeven dt het moment in S nu moet zijn. Voor het tekenen vn de grfieken dienen de bestingen en recties te worden ontbonden in richtingen evenwijdig met en oodrecht op de stfs. estinggev 1 Uit de berekening vogt dt de rectiekrchten inks en rechts we geijk zijn. In het schrnier z behve een horizonte krcht ook een vertice krcht werken. In figuur.7b is het inker dee getekend met de drop werkende recties. N ontbinding vn de krchten en bestingen kunnen de N-, V- en M-ijn getekend worden. q g = 10 kn/m q g = 10 kn/m 15,8 kn S b S 17 kn 8 m D 8 m C 15,8 kn,8 m 5,4 m 15,8 kn C 15,8 kn,8 m 53 kn 53 kn 53 kn 7 m 7 m 3,6 m,7 3,58 m 4,54,75 43,8 3,3 85,1 44,3 33,1 5,61 44, 46,8 53 N-ijn 53 15,8 V-ijn 15,8 M-ijn Figuur.7 ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
35 b estinggev Hier zijn de bestingen oodrecht op de schuine stven gegeven. Voor de berekening vn de rectiekrchten is dit stig. n de hnd vn figuur.8c wordt een ndere werkwijze fgeeid. De besting q wordt ontbonden in een vertice en een horizonte besting verdeed over de schuine engte: q v q cos q h q sin Wordt de vertice besting verdeed over de horizont gemeten engte, dn gedt: q cos besting q, cos en voor de horizonte besting gedt: q sin besting q. sin De schuine besting q op de schuine stf kn dus worden ontbonden in een horizonte besting q over de vertic gemeten fstnd en een vertice besting q over de horizonte fstnd. De berekening wordt dn: T 0 3 5, 5,4 3 3 3,5 3 3,6 8,8 3,6 6,7 V 10,6 0 V 10,8 kn F V 0 V 3 7 3 3,6 10,8 0 V 0,6 kn T S,inks 0 3 5,,6 3 7 3,5 0,6 7 H 8 0 H 14,8 kn F H 0 14,8 15,6 7,8 H 0 H 8,6 kn Voor de berekening vn de schrnierkrchten kn het evenwicht vn het inker of rechter dee worden beschouwd. Met de dn gevonden krchten kunnen de N-, V- en M-ijn worden getekend. Hierbij kn nr keuze gebruik worden gemkt vn de oorspronkeijke besting of vn de ontbonden besting. Per berekening kn de hndigste besting worden gekozen. ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00
36 C q w = 3 kn/m S,8 m 8 m 5,4 m q w = 3 kn/m D C 8,9 kn 14,8 kn q w = 3 kn/m 0,6 kn 10,8 kn 0,6 kn 7 m 3,6 m 7m,8kN S 1,6 kn,8 m 8 m b c v = sin() q q q = sin() h = cos() q = cos() 17,0 17,8 46,4 1,3 13, 8,3 3,7 41,4 5,9 N-ijn V-ijn 0,6 10,8 14,8 8,6 d e f Figuur.8 41,4 M-ijn ThiemeMeuenhoff, Utrecht/Zutphen, 00