Meetkundige constructies

Transcriptie

1 Hoofdstuk 2 Meetkundige constructies 2.1 Ineiding: ouwstenen vn de meetkunde EENMEETKUNIGEONSTRUTIE iseentekeningwrinereifigurenzos driehoeken, vierhoeken, ijnen en cirkes een ro speen en wrij precies eschreven stt hoe die tekening ontstt. Lter zuen we zien dt ij een constructie ook tijd een ewijs hoort: wrom ereik je met een constructie dtgene wt je wou ereiken met die constructie. onstructies zijn vn oudsher tijd engrijk geweest voor het ontwerpen en voor het ouwen vn geouwen. s Egyptenren ijvooreed een pirmide ouwden moesten ze eginnen met het uitzetten vn een groot vierknt grondvk. Hoe deden ze dt, hoe konden ze het doen? e Grieken werden meesters in het edenken vn goede constructies en zgen voor het eerst ook de noodzk (en het pezier!) vn het ewijzen vn de juistheid vn die constructies. Hiermee egden ze de sis voor de moderne wiskunde. e Grieken stonden ij constructies een het geruik vn psser en ini toe. rij mocht de ini uitsuitend geruikt worden om ijnen door twee gegeven (of eerder geconstrueerde) punten te trekken. Er stond dus geen schverdeing op de ini vn de Grieken! Met de psser kon je cirkes tekenen met een gegeven middepunt die door een gegeven punt gingen. Een vndegrotevoordeenvndezemniervnconstruerenisdtjezeopiedere sch goed kon uitvoeren. Een psser zowe s een ini kn je nmeijk hee goed vervngen door een simpe touwtje. Zo kn je ij ijvooreed het neggenvneentuinofhetouwenvneengeouweenconstructieinhetgroot uitvoerendiejeeerstopppierinhetkeinhetgedn. Tegenwoordig geruiken we ook ndere hupmiddeen, zos de geodriehoek. Opppiergtdtvkwezosneenmkkeijker. Indithoofdstukg 63

2 64 Meetkundige constructies je weiswr eren hoe je een geodriehoek moet geruiken mr de echte constructies mg je uitsuitend met psser en ini doen.zos de Grieken dt deden. enodigdheden: ) potood, ) psser, c) geodriehoek, d) gum, e) 2keurpotoden, f) nco schrift(dus géén ijntjes en géén ruitjes). e ouwstenen vn constructies Wegnervnuitdteenpuntoneindigkein is, mr we tekenen een punt meest s een vette stip. nders kn je hem niet zien. Puntenknjeeennmgeven. rvoorworden tijd hoofdetters geruikt:,, etc. Een (rechte) ijn is in principe oneindig ng (en heeft geen dikte!), mr we tekenen tijd mr een stukje ervn. Een ijn wordt tijd ngegevenmeteenkeineetter:k,,m,netc. k Een ijnstuk is het stukje ijn dt tussen twee gegeven punten zit en wordt ngeven door hetegin-eneindpunt:,st etc. Een ijnstuk wordt soms ook ngegeven met één keine etter, zie hiernst: ijnstuk is hetzefde s ijnstuk c, enz. c

3 Ineiding: ouwstenen vn de meetkunde 65 Een hve ijn egint ij een punt, ijvooreed, mr oopt vervogens oneindig ng door. Voor hve ijnen geruik je ook keine etters, ijvooreed. Een cirke estt uit em punten die even ver vnf een vst punt iggen (het middepunt). ie fstnd wordt de str genoemd. Een cirke geef je n met het symoo (..,..)wrijjeopdestipjeseersthet middepunt vn de cirke en drn de str opschrijft. ie str is vk een ijnstuk en dnschrijfjedenmvnhetijnstukop.ijv. (,r)of (,).eetterrkomtvnhet Ltijnse woord rdius voor str. r Een driehoek onstt s je drie punten die niet op één ijn iggen met ijnstukken verindt. epuntenhetendehoekpuntenende ijnstukken de zijden vn de driehoek. c Eendriehoekgeefjenmethetsymoo,gevogddoordehoekpunten. edriehoekindefiguurheet. Eendriehoekofeenvierhoekgeefjendoor de nmen vn de hoekpunten chter ekr op te schrijven. Let drij op de vogorde. In hetvooreedisgoedmrniet goed s nottie voor de vierhoek. of zou ook kunnen, mr de fsprk is: in fetische vogorde tegen de wijzers vn dekokin. Twee ijnen zijn evenwijdig s ze in één vk iggenenekrnietsnijden. Jeschrijfthetin hetkortzoop:.

4 66 Meetkundige constructies Een hoek wordt gevormd door twee hve ijnen die in een punt, het hoekpunt eginnen. etweehveijnenwordendeenenvndie hoekgenoemd.eenhoekknjengevenmet het teken gevogd door de nm vn het hoekpunt of de nmen vn twee punten op de enen met in het midden het hoekpunt. ijv.. In het ptje hiervoor met vierhoek ziejeijvooreed = en =. Let op: tekeningen moeten tijd met potood worden gemkt! Opgve 1 eze opgve gt steeds over het onderstnde figuur: n F m E ) eijn gtdoor en,deijn m door E en endeijn n door F en. Geefhetsnijpuntvn enm,vn ennenhetsnijpuntvnmenn. ) Het ijnstuk is we getekend mr is niet getekend. Geef vn de vogende ijnstukken n of ze we of niet getekend zijn:, E, E, F,F,. c) is we getekend mr F niet. Schrijf e driehoeken op die we getekend zijn. d) Geef tenminste vier notties voor vierhoek E die niet correct zijn. e) Inhetfiguuris E eenhoekdiegetekendismr E isnietgetekend. Geef vn de vogende hoeken n of ze getekend zijn of niet:,,,,, F, E f) Geef een ndere nottie voor E. Wrom is E hier geen goede nottie?

5 Ineiding: ouwstenen vn de meetkunde 67 Opgve2 Tekendriepunten,en,dienietopéénijniggenenteken vervogens de cirkes (, ), (, ), (, ).