Wiskundige Methoden in de Fysica examen met modeopossing januari 7 Voor dit examen krijg je u tijd en mag je de cursus en de oefeningenopgaven gebruiken. Niet toegeaten zijn opgeoste oefeningen, handboeken, rekenmachines en communicatiemiddeen. Gebruik een apart antwoordbad voor eke vraag. Schrijf je naam op ek bad! Vee succes!. pt Bewijs onderstaande operator-identiteiten, waarbij ˆ L = i r de kwantummechanische draaimomentoperator is: a = e r ˆ L r i r r b ˆ L ˆ L = iˆ L Hint: Laat beide eden inwerken op een scaair ved f.. 6pt Toon aan dat n x π3 dx = + x 8, met behup van compexe contourintegratie. Vertrek hiervoor van de vogende compexe contour integraa, LN 3 z dz. + z en eg de vertakkingsijn angs de positieve reëe as. Hint: De binomiaaformue a + b 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 en de integraa arctan x + C kunnen van pas komen. a a 3. pt Bereken yt voor t > die vodoet aan dx = x +a y t + y t + 5yt = exp t 3 met y = en y = via de Lapacetransformatie.
. 6pt We beschouwen een afgesoten rechthoekig gebied x, y b waarin een stof met concentratie cx, y, t zich za verspreiden met diffusiecoëfficiënt D. De initiëe concentratie is c x en er wordt stof toegevoegd aan een tempo Ix, t. a Formueer het probeem in een partiëe differentiaavergeijking, incusief de rand- en beginvoorwaarden. b Weke voorwaarden zijn aanwezig die je toeaten om dit probeem op te ossen zonder y-afhankeijkheid? We ossen nu 3 verwante probemen op met toenemende moeiijkheidsgraad: c Probeem : Geef de agemene opossing c x, t van de homogene vergeijking d.w.z. met bronterm Ix, t =, via de methode van scheiden der veranderijken. Hierin komen onbekende coëfficiënten a n voor. d Probeem : Beschouw het diffusieprobeem met beginvoorwaarde cx, = en een bronterm Ix, t = IδtHa x met H de Heaviside stapfunctie. D.w.z. dat er stof wordt geïnjecteerd in het gebied x < a op t =. i. Integreer de diffusievergeijking met deze bronterm tussen t = ɛ en t = +ɛ met ɛ, en gebruik dat c ɛ =. Waarom gedt dat +ɛ ɛ xcdt =? ii. Substitueer de agemene opossing die je vond voor probeem en bepaa zo de coëfficiënten a n voor het huidige geva. Toon aan dat deze opossing de vorm heeft van c x, t = ai L Ht + I L voor zekere k n. n= sin k n a k n Ht exp k ndt cosk n x e Probeem 3: Er vindt een constante injectie van stof paats over het tijdsinterva [, T ], aan een sneheid I. Door ineaire superpositie kan men inzien dat de opossing van dit probeem gegeven wordt door c 3 x, t = T dt c x, t t. 5 i. Bereken c 3 x, t uit het resutaat van probeem. Maak hierbij onderscheid tussen t < T en t > T. ii. Wat za de concentratieverdeing zijn voor t +? Vind je dezefde waarde door enke de injectiesneheid, duur en grootte van het gebied te beschouwen?
. vectoranayse a pt ˆ L = i r = e r r i r ˆ L r = e r r i r i r r = e r r r r r = e r r r r r r r = r r + e r r r = b pt ˆ L = i e x e y e z x y z x y z L x = iz y y z L y = iz x x z L z = ix y y x ˆ L ˆ Lz = il z ˆ L ˆ Lz = L x L y L y L x L x L y f = z y y z z x x z f = z xyf xz yzf yz xzf y x f + xy zf L y L x f = z x x z z y y z f = z xyf xz yzf yz xzf x y f + xy zf L x L y L y L x = y x x y = iix y y x = il z 3
. Compexe contourintegratie Toon aan dat n x π3 dx = + x 8, 6 met behup van compexe contourintegratie. Vertrek hiervoor van de vogende compexe contour integraa, LN 3 z dz. 7 + z en eg de vertakkingsijn angs de positieve reëe as. Opossing: Zoas gegeven, gaan we voor het berekenen van Eq. 6 uit van de compexe functie fz = LN3 z + z, 8 die een vertakkingspunt heeft in z = en poen in + z = z = ±i. We eggen de vertakkingsijn angs de positieve reëe as omwie van de integratiegrenzen we zuen de gevraagde integraa haen uit een faseverschi angs de positieve reëe as. Met deze informatie kiezen we een contour C = C R C I C ε C I die de positieve reëe as tweemaa bevat en dus de integraa I zie Fig. en gesoten wordt op oneindig. We berekenen dus de reëe integraa I, die we niet zomaar kunnen opossen, as dee van de compexe contourintegraa die we we kunnen opossen! C fz dz = C LN 3 z dz, 9 + z Aangezien de poen z = ±i binnen de contour C iggen, zegt de residusteing dat fz dz = πi Res z=i [fz] + Res z= i [fz]. C Maar we hebben ook dat fz dz = C fz dz + C R fz dz + C I fz dz + C ε fz dz. C I Voor de eerste term maken we gebruik van de grote imietsteing voor een cirkeboog met middepunt z =, straa R en middepuntshoek π. Hiervoor gaan we na dat im z LN3 z z + z = im n R + iθ3 n 3 R Reiθ = im R + R e iθ R R H = im R R n R =.
Imz C R z = i C ε C I Rez z = i C I Figuur : Contour voor de compexe contourintegraa Eq. 9. waarbij we L Hôpita gebruikt hebben bij het berekenen van de imiet en enke rekening hebben gehouden met de dominante termen voor R. Er vogt dat im fz dz =, 3 R C R zodat de bijdrage van C R wegvat voor R. Voor de derde term maken we gebruik van de keine imietsteing voor een cirkeboog met middepunt z =, straa ε en middepuntshoek π gemeten in tegenwijzerzin. Hiervoor gaan we, gewapend met de gegeven binomiaaformue, na dat im z LN3 z z + z = im ε εeiθ n ε + iθ3 + ε e iθ = im n 3 ε + 3i n εθ 3 n εθ iθ 3 ε. Na herhaadeijk toepassen van L Hôpita kunnen ae termen hereid worden tot termen van de vorm im ε ε nε =. Er vogt dat im fz dz =, 5 ε C ε zodat de bijdrage van C ε wegvat voor ε. Voor R en ε, wordt het stuk C I boven de vertakkingsijn met de parametrizatie z = x geijk aan n 3 x fz dz = dx, 6 C I + x 5 ε
terwij voor het stuk C I onder de vertakkingsijn gedt dat n x + πi 3 fz dz = dx. 7 C I + x We vinden dus dat, voor R en ε, n 3 x fz dz = + x dx n x + πi 3 dx 8 + x C = 6πi = 6πi n x + x dx + π n x dx + π + x n x + x dx + 8π3 i dx 9 + x n x + x dx + π i, waar we de hints gebruikt hebben binomiaaformue en arctan-integraa. De uitdrukking moet geijk zijn aan de som van de vogende residus, z iln 3 z LN 3 z Res z=i [fz] = im = im z i + z z i z + i z + iln 3 z LN 3 z Res z=i [fz] = im = im z i + z z i z i = n i + iπ/3 i = n i + i3π/3 i = iπ/3, i = i3π/3. i Merk op dat de hoek in tegenwijzerzin oopt van tot π door de keuze van onze vertakkingsijn angs de positieve reëe as. We krijgen dat n x n x iπ/ 3 6πi dx + π + x + x dx + π i = πi + i3π/3 3 i i = π iπ 3 /8 + i7π 3 /8 = 3π i. 5 Hieruit eren we dat het reëe dee geijk moet zijn aan, wat impiceert dat en dat voor het imaginaire dee moet geden dat wat betekent dat 6πi n x + x dx = 6πi n x dx =, 6 + x n x + x dx + π i = 3π i, 7 3iπ 6π i = 6πi 3iπ = π3 8. 8 6
3. Integraatransformatie We starten met uitvoeren van de apace transformatie en vuen de gegeven beginvoorwaarden in en herschrijven tot we een uitdrukking bekomen voor Ys Y s = y + y + 5y = exp t y = y = s + s + 5Y s + s + = s + Y s = s+ s + s + s + 5 s + s + s + + s + + Vervogens dienen we te spitsen in partiee breuken : s + s + + = A s + + B s + + + Cs s + + = As + As + 5A + Bs + B + Cs + Cs A = C A = B 5A + B = A =, B =, C = Y s = s + s + + s s + + Gebruik maken van inverse apace transformatie en vogende eigenschappen : resuteert in yt : L { } = exp t s + L { s + } = sint L { } = exp kt s k L s { s + } = cost Y s = s + s + + s + s + + L {Y s} = exp t sint exp t exp tcost sint = yt 7
. Opossing: a t D xc = Ix, t, 9 De beginvoorwaarde is cx, y, = c x, y en as randvoorwaarden hebben we homogene Neumannrandvoorwaarden, dus x c, y, t = x c, y, t = y cx,, t = y cx, b, t =. b Rand- en beginvoorwaarden en de vergeijking zef zijn invariant onder transaties in y, dus opossing za onafhankeijk zijn van y. c d dus c x, t = +ɛ ɛ n= t cdt = D cɛ = D a n exp Dt cos +ɛ ɛ +ɛ ɛ xcdt + IHa x +ɛ ɛ. 3 δtdt 3 xcdt + IHa x 3 im cɛ = IHa x 33 ɛ im c ɛ, t = a n cos = IHa x. 3 ɛ n= Doordat xc continu is voor t < en t > vinden we dat de oppervakte onder een functie naar nu gaat as het domein waarover we integreren naar nu gaat. Geen punten op zetten Door te projecteren op cos mπx vinden we { Ia, m = a m = I sin mπa mπ, m 35 We moeten er ook nog voor zorgen dat c = voor t < en dit kan eenvoudig door de gevonden opossing te vermenigvudigen met de Heaviside stapfunctie. Zo vinden we dus c x, t = Ia I Ht + n= sin nπa Ht exp nπ 8 nπ Dt cos. 36
e We werken de vogende integraa uit voor n : T Ht t exp Dt t dt = 37 t nπ HT t exp Dt exp Dt dt + 38 T nπ Ht T exp Dt exp Dt dt = 39 exp nπ Dt HT t exp Dt + D Ht T exp en geijkaardig voor n = : Dus voor t <= T: T nπ exp nπ DT Dt. D nπ Ht t dt = HT tt + Ht T T. c 3 x, t T = IaT We krijgen dus: c 3 x, t > T = IaT I sin nπa HT tt + D nπ 3 n= nπ HT t exp Dt exp I sin nπa Ht T T + D nπ 3 n= nπ Ht T exp DT nπ Dt cos exp nπ Dt cos 3 5 6 f im t + cx, t = IaT. Aternatieve opossing: a t D xc = f, 7 met fx, t = IHa xht t H is de Heaviside stapfunctie. De beginvoorwaarde is cx, = c en as randvoorwaarden hebben we homogene Neumannrandvoorwaarden, dus x c, t = x c, t =. 9
b As basisfuncties nemen we de opossingen van het Sturm-Liouvie probeem c D xφ n = λ n φ n, 8 met homogene Neumannrandvoorwaarden in x = en x =. Dus φ n x = cos. ċ n t + D waarvan de opossing is: c n t = c n exp Dt + d De opossing is dus: cx, t = = + n= n= n= = c + nπ cn t = f n t, 9 t exp Dt t f n t dt. 5 c n tφ n x 5 c n exp t n= exp t exp nπ Dt cos nπ Dt t f n t dt cos nπ Dt t f n t dt cos Om dit verder uit te werken moeten we dus eerst nog f n berekenen: Dus: f n x, t = δ n IHa xht t cos = δ a n nπx IHT t cos { IHT t a =, n = nπa sin IHT t, n nπ cx, t = c + n= 5 53. 5 dx 55 dx 56 57 d n t cos. 58
met IaT HT tt + Ht T T, n = I sin nπa [ nπ d n t = HT t exp Dt D nπ 3 nπ ], n +Ht T exp DT 59 e im t + cx, t = c + IaT.