Algebr en meetkunde kunnen tot leven gebrcht worden met de nieuwste versie vn Cbri vi digitle foto s André Heck lt zien hoe wiskundig onderzoek n een ei er dn uit kn zien Met nme de vrg Wt is het volume en de oppervlkte vn een gegeven kippenei? stt centrl Wiskundig broeden op een ei Inleiding Cbri is een computerprogrmm dt met nme geschikt is ls onderzoek- en experimenteergereedschp in de vlkke meetkunde [1] In Euclides [] is l eens gewezen op de mogelijkheden vn de nieuwste versie, CbriPlus [3] genmd, bij onderwerpen uit de nlyse Wt in de toepssingen in beide domeinen wel opvlt is dt het ICTgebruik nog reltief dicht stt bij de problemen en figuren die je in wiskundeboeken tegenkomt De voornmste toevoeging is het dynmische krkter vn het progrmm Meestl gt deze consttering ook nog op in het gevl een relistische situtie mbv een dynmisch meetkundeprogrmm onderzocht wordt Een voorbeeld hiervn is het Duitse project Mthemtik rund ums Ei [4] uit 001, wrin leerlingen o de wiskundige vorm vn een ei onderzoeken en hiermee het volume en de oppervlkte schtten Cinderell, het zusje vn Cbri, wordt lleen gebruikt om eivormige krommen te construeren; een echt ei is snel uit beeld verdwenen Mr dit kn nders nno 004 met de Plus-versie vn Cbri Hierin kn een digitle foto ls chtergrond vn een meetkundige constructie dienen of zelfs dynmisch n meetkundige objecten in een constructie gekoppeld worden Dit biedt diverse mogelijkheden om een sterke bnd tussen wiskunde en werkelijkheid tot stnd te brengen, bijvoorbeeld in de vorm vn een prktische opdrcht In dit rtikel lten we zien hoe wiskundig onderzoek n een echt ei er uit kn zien, wrbij we voorl ingn op de onderzoeksvrg Wt is het volume en de oppervlkte vn een gegeven kippenei? Algebr en meetkunde gn hierin hnd in hnd Wij hopen en verwchten hiermee een inspirerend voorbeeld te geven vn functioneel ICT-gebruik in een prktische opdrcht wrin wiskunde direct gekoppeld wordt n echt experimenteren met een voorwerp uit het dgelijkse leven Meten is geen eitje We doen eerst mr eens enkele metingen n ons ei met stempeling -NL-4031 Het 1ste nummer duidt overigens op het houderijsysteem (=schrrelei) Dn volgt NL (Nederlnd) ls herkomstlnd en het registrtienummer vn de pluimveehouderij wr het ei vndn komt [5] De meetgegevens zullen we lter gebruiken om meetkundige modellen vn de eivorm op wrde te schtten Op een keukenweegschl wegen we het gewicht vn het ei: 74 grm betekent dt het ei tot de XL klsse behoort (XL = vnf 73 grm); er stt ook niet voor niets op de verpkking jumbo schrrelei Met een schuifmt is de lengte en breedte vn het ei nuwkeurig te meten: lengte = 6,1 cm en breedte = 4,6 cm Voor onze doeleinden volstt ook wel het gebruik vn een linil De omtrek op het breedste punt vn het ei hebben we bepld door op deze plek een grendrdje te spnnen en de lengte hiervn met een linil te meten: de omtrek is 14,7 cm, hetgeen overeenstemt met een cirkel met dimeter 4,68 cm Als we een grendrdje om het ei spnnen in de lengterichting dn blijkt dit een lengte vn 17,1 cm te hebben Het volume vn het ei is eenvoudig te beplen door wterverpltsing in een mtbeker met nuwkeurige flezing te meten Mocht je net ls wij geen mtcilinder hebben wrin het ei pst, dn kun je je behelpen met een nietgeijkt bekergls en een geijkte mtcilinder (zie figuur 1) fig 1 Bepling vn het volume vn het ei Wij hebben de volgende meetprocedure gevolgd: vul de mtbeker met wter tot een wterstnd vn 00 ml zodt het ei volledig is ondergedompeld Giet het wter vn het bekergls over in de geijkte mtcilinder en lees het volume f (134 ml) IJk het bekergls door het (zonder ei) met wter te vullen tot n het 00 ml-streepje, hiern de inhoud over te schenken in de mtcilinder en het volume (0 ml) f te lezen Het verschil geeft het volume vn het ei: 68 ml De experimentele bepling vn de oppervlkte vn het ei zonder het te breken is niet zo eenvoudig Je kunt denken n het bedekken vn het ei met stukjes luminiumfolie zodnig dt er zo min mogelijk rimpels ontstn en dn de oppervlkte vn de folie op te meten Een lterntief is om het ei te verven en dn zodnig uit te rollen op ppier dt de oppervlkte vn de verffdruk met de oppervlkte vn het ei correspondeert Mr het blijft lstig en dit is de kern vn ons verhl Experimentele bepling vn eigenschppen ls omtrek, volume en oppervlkte vn een ei is te doen, mr met nme de oppervlktebepling is lstig en vormt een echte uitdging Het bedenken en uitvoeren
vn meetmethoden is geen eitje Tussen twee hkjes, leerlingen kunnen zich bij eigen onderzoek ook buigen over de vrg of het zin heeft de metingen meerdere keren te herhlen en dn de gevonden uitkomsten te middelen Meer indirecte beplingen vn grootheden zijn ook toegestn: door een geschikte wiskundige beschrijving vn de vorm vn het ei kun je een goede schtting vn volume en oppervlkte vn een ei mken op bsis vn simpel te meten grootheden De bruikbrheid vn dergelijke wiskundige modellen is te toetsen n de hnd vn de eerder gevonden experimentele gegevens Het ei ls omwentelingslichm De onderzoeksvrg Wt is het volume en de oppervlkte vn een gegeven kippenei? kun je voor leerlingen misschien beter herformuleren in de volgende deelvrgen: 1 ontwikkel een experimentele methode om het volume en de oppervlkte vn een gegeven ei te beplen; ontwikkel een wiskundig model om het volume en de oppervlkte vn een gegeven ei uit te rekenen; 3 vergelijk de experimententel en wiskundige methoden met elkr Deze formulering doet geen fbreuk n het open krkter vn de opdrcht, mr dwingt wel minstens één wiskundige npk f en nodigt uit tot vergelijking vn diverse methoden Er vn uitgnd dt leerlingen(tems) inderdd verschillende methodes ontwikkelen is een evlutie en discussie hierover in de kls op zijn plts Figuur is een frgment vn een CbriPlus-tekenbld wrin op een chtergrondfoto vn een ei gelegen op ruitjesppier twee ellipsen getekend zijn die elk een deel vn de eirnd beschrijven en die netjes op elkr nsluiten in het breedste deel vn het ei De foto is met een webcm vn dichtbij gemkt Door tellen vn hokjes op het ruitjesppier kom je er snel chter dt er sprke is vn perspectivische vervorming (het ei lijkt wel 5,6 cm breed en 7,5 cm lng) en lensvervorming (het ruitjesppier is geen mooi rechthoekig rooster) Het beste is toch om de foto vn het ei met een digitle cmer te mken met goede inzoomfciliteiten en verwrloosbre lensvervorming Knip ook een gt in het ruitjesppier zodnig dt het ei hierin pst en het ppier op hlve hoogte vn het ei gepositioneerd kn worden (zols in figuur 3) Als lterntief voor de fotocmer kun je ook een scnner nemen Meetkundige npk fig Fouten door vervormingen Figuur 3 is een schermfdruk vn een CbriPus-werkbld met een beter geslgde bendering vn de eirnd met twee netjes nsluitende hlve ellipsen Wij presenteren in dit rtikel het volgende wiskundige model: het ei ls omwentelingslichm met de rotties in de lengterichting De wiskundige functie voor de rnd is nog vrij te kiezen, mr we hebben wel een voorkeur voor functies wrmee de berekeningen zo simpel mogelijk zijn Cirkels, ellipsen en prbolen zijn drom goede kndidten Voor het vinden vn een geschikte rndfunctie gebruiken we een foto vn het ei die we met een digitle cmer gemkt hebben In CbriPlus kun je deze foto ls chtergrond op het tekenbld pltsen (rechtsklik in het tekenbld op een lege plek en selecteer het menuitem fbeelding op chtergrond vi een bestnd) Hiern is een rndfunctie te beplen vi meetkundige constructies, met een lgebrïsche npk of vi regressie We bespreken deze methoden, mr niet voordt we nog gewezen hebben op een mogelijk foutieve strt fig 3 Meetkundige bendering vn de eirnd met ellipsen
Lten we nog stilstn bij de mnier wrop de ellipsen in figuren en 3 getekend zijn Op de eerste plts moet je weten dt in Cbri een kegelsnede geconstrueerd wordt door het gelijknmige item in de knoppenblk te selecteren en vervolgens vijf punten, wrvn er geen vier of meer op één lijn liggen, n te klikken Afhnkelijk vn de gekozen punten krijg je zo een hyperbool, ellips, prbool of een specil gevl zols een cirkel of een snijdend lijnenpr Als je de vijf punten op de eirnd kiest krijg je ls vnzelf een ellips Een goede bendering vn de eirnd met één ellips lukt niet, mr zols je ziet in de figuren en 3 wel met twee hlve ellipsen (not bene, in perspectief wijzigt de benderingswijze niet vn rd: dit gebeurt nog steeds met kegelsnedes) Twee punten zijn gemeenschppelijk gekozen voor de twee ellipsen, nmelijk dr wr de rnd vn het ei, met het blote oog gezien, het breedst is Het ssenstelsel kun je zodnig neerleggen dt deze twee specil gekozen punten op een s liggen en wel op het zicht even ver vn de oorsprong De eenheid op de x-s is overigens zodnig versleept dt deze smenvlt met hokjes op het ruitjesppier, dwz 1 cm voorstelt; de schl op de y-s wijzigt vnzelf mee In CbriPlus kn vn een geconstrueerde kegelsnede de bijpssende vergelijking gevonden worden vi de knop Vergelijking/Coördinten in de werkblk Je kunt nu net zolng schuiven met de rndpunten en het ssenstelsel totdt de vergelijkingen vn beide ellipsen cnoniek zijn In figuur 3 zijn we iets systemtischer te werk gegn: met een verborgen hulpconstructie vn een cirkel met middelpunt op de y-s hebben we eerst twee punten op de x-s geconstrueerd die per definitie even ver vn de oorsprong liggen Door de strl vn de hulpcirkel te vernderen of het middelpunt vn de cirkel te verschuiven over de y-s kun je de twee punten op de x-s dichter nr elkr toe of verder vn elkr fbrengen, terwijl de eigenschp dt ze gelijke fstnd tot de oorsprong hebben behouden blijft Dit zijn het soort hulpconstructies wrvn we hopen dt leerlingen deze ook (gn) toepssen bij hun onderzoek Tevens hebben we het ssenstelsel en het ei dusdnig neergelegd dt op het eerste gezicht de y-s de omwentelingss vn de eifiguur is en de x-s op het breedste deel vn het ei ligt, terwijl de eerder geconstrueerde punten op de x-s met gelijke fstnd tot de oorsprong op de eirnd liggen Hiern hebben we voor de twee ellipsen steeds drie extr punten op de eirnd gekozen, zodnig dt we zo simpel mogelijke vergelijkingen voor de ellipsen krijgen Het is en blijft spnnend priegelwerk, mr cnonieke vergelijkingen voor de ellipsen kunnen wel gereliseerd worden De in figuur 3 gevonden formules zijn voor de grote en kleine ellips respectievelijk x y x y + = 1 en + = 1, 9 3,37,9,7 Rekenen n ellipsen en een ei De voornmste reden dt we zo grg benderingen vn de eirnd willen hebben met hlve ellipsen en cnonieke bijpssende vergelijkingen is uiterrd dt we dn in de gevonden vergelijkingen eenvoudig de lengte en breedte vn de ellipsen kunnen flezen en dt we hiermee bekende formules voor inhoud en oppervlkte vn omwentelingslichmen vn ellipsen kunnen toepssen Voor een ellips met = lengte vn de grote s en b = lengte vn de kleine s gelden de volgende formules voor het volume en de oppervlkte vn het omwentelingslichm verkregen door rottie om de grote s: 4 Volume = π b 3 en rcsin e Oppervlkte = π b 1 + b e met excentriciteit e gegeven door ( b ) e = 1 De lnge omtrek vn een ellips is ook in een formule te vtten: Omtrek = 4 E( e), wrbij E de complete elliptische integrl vn de de soort is met modulus e Deze formules zijn op Internet [6] te vinden of kunnen uitgerekend worden vi integrlen: en π f ξ dξ Volume = ( ), π f ξ f ξ dξ Oppervlkte = ( ) 1 + '( ) f ξ dξ, Omtrek = 1 + '( ) wrbij b f ( ξ ) = ξ Op de volumeberekening n heb je misschien wel een computerlgebrsysteem nodig om de uitdrukkingen te vinden Voor de omtrek vn de ellips bestn overigens diverse benderingen [7] ; de volgende is fkomstig vn Rmnujn [8] : Omtrek π 3( + b) ( + 3b)( 3 + b ) Ook ntrekkelijk is de volgende combintie vn rekenkundig en meetkundig gemiddelde [9] : 3 Omtrek π ( + b) b Pssen we bovenstnde formules toe voor onze bendering vn de eirnd door twee hlve ellipsen met prmeters k =, 7 (kleine ellips), g = 3, 37 (grote ellips) en b =,9 (beide ellipsen), dn vinden we een volume vn 66,9 ml, een oppervlkte vn 80,8 cm, een korte omtrek vn 14,4 cm en een lnge omtrek vn 16,9 cm Berekend volume en omtrek stemmen goed overeen met de gemeten wrden De oppervlkte stemt goed overeen met de schtting vi het volgende mchtsverbnd tussen gewicht (in grm) en oppervlkte vn vogeleieren (in cm ) [10] :
oppervlkte 0,66 = 4,835 gewicht Met deze formule en het gemeten gewicht vn het ei zou de uitkomst voor de oppervlkte 83,5 cm zijn Hst te mooi om wr te zijn is het volgende verbnd voor kippeneieren [11] : 0,658 oppervlkte = 4,76 gewicht Dit levert precies onze wrde voor de oppervlkte op! Er bestn overigens ook experimentele verbnden tussen volume en oppervlkte vn een ei, bijvoorbeeld [1] : λ / 3 oppervlkte = 4, 393 + 0394 volume β Als je hierin het door ons gemeten volume invult dn krijg je ls schtting voor de oppervlkte 81,7 cm Smengevt, onze oppervlktebepling en llometrische relties uit de vklitertuur stemmen met elkr overeen De vergelijking voor het volume V vn het ei kn ook geschreven worden ls 1 V = π λ β, 6 wrbij λ = g + k en β = b de lengte en breedte vn het ei voorstellen Deze formule voor het volume kunnen we ook gebruiken om de gemiddelde dikteδ vn de eischl te schtten ls nulpunt vn een derdegrds veelterm We schetsen de methode [13] Het ei bestt voor ons uit twee componenten: de eischl en de inhoud vn het ei De mss m vn het ei is drom de som vn de mss vn de schl, m s en vn de mss vn de inhoud vn het ei, m i Lt V, V s en V i de volumes vn het totle ei, vn de schl lleen en vn de inhoud vn het ei zijn Lt ρ s en ρ i de dichtheden vn de schl en de inhoud vn het ei zijn Dn geldt: m = ρsvs + ρivi en V = Vi + Vs Herschrijven geeft de volgende uitdrukking voor het volume vn de inhoud vn de schl vn het ei: m ρiv Vs = ρs ρi We nemen n dt het totle ei te benderen is met twee hlve ellipsen met cnonieke prmeters k, g en b Dezelfde veronderstelling mken we voor de inhoud vn het ei, mr dn met cnonieke prmeters Ak = k δ, Ag = g δ en B = b δ We negeren dus het bestn vn een luchtkmer in het ei en de vritie in schldikte, die fhngt vn de plek op het ei De formule voor het volume vn de ei-inhoud is: Vi = π ( Ak + Ag ) B 3 Uitwerken geeft: 3 Vi = V π δ ( k + g + 4b) δ + b ( k + g + b) 3, oftewel, herschreven in lengte λ en breedte β vn het ei 1 Vs = π δ ( λ + β ) δ + β ( λ + β ) δ 3 3 Dus moet de schldikte δ voldoen n de volgende derdegrds veeltermvergelijking: 3 1 3( m ρiv ) δ ( λ + β ) δ + β ( λ + β ) δ = 0 π ρ ρ ( ) Uit de vklitertuur [14] hlen we de benodigde dichtheden voor schl en inhoud vn vogeleieren: ρ s =, 3 g/cm 3 en ρ i = 1, 037 g/cm 3 Andere gegevens voor ons ei zijn: m = 74 g, V = 68 cm 3, λ = 6,1 cm en β = 4,6 cm Voor ons ei moet de schldikte δ dn voldoen n: 3 δ 7, 75δ + 19, 681δ 0, 6585 = 0 De enige reële oplossing is δ = 0, 034 cm Dit is,5µm minder dn de dikte die met de volgende llometrische reltie [15] gevonden zou zijn: 3 0,456 δ = 5,16 10 gewicht Algebrïsche npk Tot nu toe hebben we de eirnd benderd vi meetkundige constructies op een chtergrondfoto en vervolgens de lgebrïsche voorstelling vn het meetkundig object gebruikt voor verdere berekeningen Je kunt ook de omgekeerde weg, vn lgebr nr meetkunde, bewndelen bij het wiskundig modelleren vn de eirnd Figuur 4 toont een schermfdruk vn een werkbld wrin drie schuifblken stn om de lengtes in te stellen vn de twee hlve ellipsen die de eirnd beschrijven [16] fig 4 Algebrïsche bendering vn de eirnd met ellipsen s i
De ellipsen worden stuksgewijs opgebouwd uit grfieken vn y ls functie vn x In CbriPlus teken je de grfiek vn een geprmetriseerde functie ls volgt: mk een expressie, bijvoorbeeld *sqrt(1-(x/b)^) Kies de knop Bereken Expressie in de werkblk en selecteer chtereenvolgens de expressie, de wrde voor en b, en de x-s Cbri rekent dn onmiddellijk de meetkundige plts vn punten (x,y) uit en tekent de grfiek Voordeel vn deze methode is dt de vergelijkingen vn de geconstrueerde ellipsen ltijd in cnonieke vorm zijn zodt het priegelwerk in de meetkundige npk om dit goed te krijgen niet meer nodig is Met de in de lgebrïsche npk gevonden prmeters k =, 7 (kleine ellips), = 3,4 (grote ellips) en b =, 3 (beide ellipsen) vinden g we een volume vn 67,6 ml, een oppervlkte vn 81,4 cm, een korte omtrek vn 14,5 cm, een lnge omtrek vn 16,9 cm en een schldikte vn 0,03 cm Dit stemt ook goed overeen met onze experimentele beplingen en met litertuurwrden De eirnd ls regressiekromme Regressie is een derde mnier om een geschikte kromme voor de eirnd te vinden Je kunt coördinten vn rndpunten ls volgt in CbriPlus verzmelen (zie figuur 5): Construeer een punt in het tekenbld en verplts het nr de rnd vn het ei Vind de coördinten vn dit punt vi de knop Vergelijking/Coördinten in de werkblk Zet de coördinten vn het rndpunt nu in een tbel door op de knop Tbel te drukken en drn op de coördinten vn het rndpunt te klikken Verzmel extr dt door steeds het punt te verpltsen nr een ndere positie op de rnd vn het ei en op de Tb-toets te drukken voor registrtie vn de gegevens Je kunt op deze mnier overigens elke numerieke wrde op het tekenvel in een tbel pltsen Om nette kopjes in de tbel te krijgen hebben we dit in figuur 5 gedn vi prte nduidingen voor x- en y- wrden vn het punt P Deze tbel kun je nu simpelweg kopiëren nr een computerprogrmm wrin je een regressiekromme bij de dtset kunt beplen, bijvoorbeeld nr Excel In figuur 6 stt een schermfdruk vn een Excel-rekenbld wrin de best bijpssende prbool vn de bovenste eihelft bepld is vi de menu-optie Grfiek/Trendlijn toevoegen, wrbij de keuze op een tweedegrds veelterm gevllen is Je ziet dt de prbool de bovenste helft vn de eirnd niet zo goed modelleert Met een kleiner deel vn de dtset, en dus met een kleiner stuk vn de eirnd, lukt dit wel fig 6 Prbool ls regressiekromme Overigens kun je het eiprofiel vn de mrmergrutto wel goed modelleren met een prbool en ellips (zie figuur 7) fig 7 Bendering vn een grutto-ei met prbool en ellips fig 5 Coördinten verzmelen vn punten op de eirnd Wie niet op eieren zit kn veel plezier beleven Eieren zijn er in llerlei soorten en mten: ze kunnen fkomstig zijn vn vogels of reptielen en ze kunnen rond zijn of conisch toelopende uiteinden hebben (figuur 8)
Ook n meetkundige constructies vn eivormen is geen gebrek In Pythgors [0,1] is bijvoorbeeld l eens een constructie vn de eirnd mbv vier cirkelbogen beschreven Een fri voorbeeld, dt ook nog goed werkt met ons eigen ei, is het Crtesisch ovl De kromme, bedcht door René Descrtes (in het ltijn: Rentus Crtesius) in 1637, is de meetkundige plts vn de punten wrvoor geldt dt een gewogen som vn de fstnden tot twee vste punten constnt is Deze kromme is in CbriPlus te construeren bovenop de chtergrondfoto vn het ei fig 8 Aller(l)ei vormen [17] Zowel met de lgebrïsche ls meetkundige npk zijn er dn ook tlloze vrinten voor eivormen bedcht [18] Er zijn veel keuzemogelijkheden: een stuksgewijsgedefinieerde rndfunctie kun je op diverse mnieren opbouwen uit een cirkelfunctie, wortelfunctie of welke functie dn ook die je goed vindt pssen bij een stukje vn de eirnd De vorm ziet er meestl wel uit ls een ei, mr bij toepssing op een concreet ei pkt de ene rndfunctie beter uit dn de nder De volgende rndfunctie komt uit een schoolboek en wel uit een opgve over het volume vn een omwentelingslichm [19] : f : x x + x + x + In figuur 9 stt de kromme met = 6,0 getekend fig 9 Minder goed pssende eirnd Minder mooi dn onze eigen benderingen vn de eirnd, mr de keuze vn deze functie in de opgve is wrschijnlijk meer gemotiveerd door de voorwrde dt de benodigde integrl met Mple goed uit te rekenen moet zijn Voor wie het ntwoord wil weten: het volume is 1 3 1 ln ( 5 8) 0 1 ln ( 4) 96 π + +, hetgeen speciliseert tot 73,5 ml voor = 6,0 fig 10 Crtesisch ovl ls bendering vn de eirnd De tekening in figuur 10 is ls volgt gemkt: We construeren de meetkundige plts vn punten P wrvoor geldt dt m d( P, F1 ) + d( P, F ) = c, wrbij m en c constnten zijn, en wrbij d(p,f 1 ) en d(p,f ) de fstnden vn het punt P tot de vste punten F 1 en F voorstellen Als oorsprong vn het ssenstelsel hebben we F 1 gekozen Ondern zijn drie lijnstukken te zien De bovenste is een schuifblk wrmee we de prmeter m instellen Het middelste lijnstuk heeft twee doelen: de totle lengte beplt de constnte c en het is tevens een schuifblk Het lijnstuk links vn de schuif heeft een lengte die met de psserconstructie de cirkel met centrum F oplevert Het onderste lijnstuk in figuur 10 is (vi de knop Mt overbrengen in de werkblk) zó gemkt dt de lengte gelijk is een de lengte vn het lijnstuk rechts vn de schuif gedeeld door m De lengte vn het onderste lijnstuk levert met de psserconstructie de cirkel met centrum F 1 op Het snijpunt P vn de twee getekende cirkels heeft per constructie de eigenschp die het Crtesisch ovl krkteriseert Deze kromme wordt in twee gedeeltes getekend door de knop Meetkundige plts in de werkblk te kiezen en chtereenvolgens op één vn de twee snijpunten en op het punt dt de schuif in de onderste schuifblk voorstelt te klikken Hiern is het een kwestie vn geschikte punten F 1 en F vinden en pssende wrden voor de constnten c en m opsporen zodt de kromme netjes de eirnd volgt Al met l is de hele constructie best wel een tijdrovende bezigheid, mr het resultt vergoedt veel
Het ovl vn Cssini, dt gedefinieerd is ls de meetkundige plts vn de punten wrvoor geldt dt het product vn de fstnden tot twee vste punten constnt is, wordt ook vk gebruikt om eivormen te modelleren Mr deze kromme beschrijft het profiel vn ons kippenei toch niet zo goed Eiertjetik Een gebruik om met Psen op de pswei met eieren te spelen is goeddeels verdwenen in Nederlnd Een vn de onderdelen ws eiertikken: het ntikken vn eieren om te weten te komen wie het ei met de hrdste schl in zijn of hr bezit hd Deze mnier vn meten vn eischlsterkten kom je nog wel tegen in hedendgs oölogisch onderzoek (oölogie is de wetenschppelijke benming voor eierkunde) Onderstnde figuren komen uit recente wetenschppelijk rtikelen [,3] en illustreren de proefopstelling die gebruikt is om sterkte-eigenschppen vn de eischl te onderzoeken vi geluidsmetingen fig 11 Schemtische opstelling voor resonntieproef fig 1 Echte meeteenheid voor resonntieproef [1] electromgnetisch ngedreven hmertje, [] ei-roller en [3] microfoon Wnneer je nmelijk met een hmertje op het midden vn het ei tikt, gt het ei vibreren en met een microfoon kun je de koestische drukgolven die het vibrerende ei genereert opnemen Signlnlyse levert vervolgens de resonntiefrequenties op De lgste resonntiefrequentie f is een mt voor de dynmische stevigheid vn het ei, vstgelegd in een constnte k, vi de reltie π f = k, m wrbij m de mss vn het ei is Deze onderzoeksmethode kunnen leerlingen mbv Coch en een geluidsensor ook wel uitvoeren De universitire onderzoekers hebben deze techniek tevens gebruikt om de sterkte vn ppels en tomten te onderzoeken Leerlingen hoeven zich dus ook niet tot ei-onderzoek te beperken Het gt er hierbij niet om dt leerlingen onderzoek nbootsen, mr wel dt hun eigen onderzoek, of het nu wiskundig modelleren vn eikrommen of mechnisch ei-onderzoek betreft, dicht stt bij wt in echt wetenschppelijk onderzoek gebeurt Leerlingen gebruiken theorie, onderzoeksmethoden en instrumenten die sterk lijken op wt professionele onderzoekers hnteren en krijgen zo een meer relistisch beeld vn onderzoek doen De oppervlkte- en volumebepling en de eerder vermelde llometrische relties worden bijvoorbeeld gebruikt om het oorspronkelijke gewicht vn museumeieren te schtten Wie zijn of hr leerlingen ddwerkelijk wil lten kennismken met biologische beeldverwerking n de hnd vn MRI scns vn kippeneieren in verschillende broedstdi moet mr eens kijken op de website vn het Chickscope project [4] Dt zo n vkoverstijgend werkstuk geen utopie is moge blijken uit het onderzoek nr de stevigheid vn eierschlen door twee scholieren, Ndine Wennersbusch en Mrloes Kleijs, wrvn een smenvtting op de website vn het EXO steunpunt Nijmegen [5] te vinden is Zij hebben zelf een eierpletter geconstrueerd en gebouwd, wrmee de breuksterkte bepld kn worden Met ndere woorden, zij hebben de sttische breuksterkte onderzocht op een mnier die sterk lijkt op de stndrdprocedure in oölogischonderzoek Dynmisch gebruik vn foto s in CbriPlus Keren we nog even terug bij het wiskundig modelleren vn eieren ls omwentelingslichm n de hnd vn digitle foto s Een nog onbesproken, mr veelgebruikte mnier om een eiprofiel met wiskundige krommen te beschrijven is het npssen vn de cnonieke vergelijking vn een ellips x y + = 1 b met een functie f tot x y + f ( x) = 1, b zodnig dt de kromme meer eivormig wordt De functie 1+ cx f ( x) = 1 cx is een voorbeeld vn een functie die dit doet Mr hierbij veronderstellen we wel stiekem dt de lengterichting vn het ei smenvlt met de horizontle s Als je dus de modelkromme wilt vergelijken met het profiel vn een echt ei vi een digitle foto, dn moet dt ei op de foto ook horizontl liggen Mr bij foto s die je niet zelf mkt mr vn Internet plukt hoeft dit heleml niet het gevl te zijn en bovendien is het ei op de foto misschien wel erg klein Met softwre voor fotobewerking kun je de
grootte en oriënttie vn de foto wel npssen, mr het gebruik vn dit soort softwre is niet echt nodig: je kunt in CbriPlus ook een foto bewerken ls je deze mr niet ls chtergrond gebruikt, doch koppelt n een meetkundig object zols een punt, lijnstuk, of rechthoek Bij een driehoek wordt de foto zodnig vervormd dt het geen rechthoek meer is, mr een bij de gegeven driehoek pssende prllellogrm Bij een vierhoek wordt de foto dusdnig getrnsformeerd dt deze hierin pst Welke trnsformties op de foto dn nog mogelijk zijn hngt f vn de keuze vn het meetkundige object wrn de foto gekoppeld is De lijst vn mogelijkheden is ls volgt: Ook biedt het dynmisch gebruik vn foto s in CbriPlus de mogelijkheid om een trnsprnt GIF-pltje vi een gelijkvormigheidstrnsformtie over een tekening of foto heen leggen ter vergelijking Een voorbeeld hiervn stt in figuur 14, wrin een gezichtsmsker [6] dt de idele gezichtscontouren zou modelleren (op bsis vn gulden snede verhoudingen) ls trnsprnte figuur over een foto vn een studente is heen gelegd Meetkundig # Vrijheids- Trnsformtie object grden punt trnsltie segment, vector 4 gelijkvormigheidstrnsformtie driehoek 6 ffiene fbeelding vierhoek 8 projectieve fbeelding In de eerste twee gevllen kun je wel geen punt meer op het pltje pltsen: Cbri ssocieert het hele pltje met het gekozen punt of lijnstuk Bij gebruik vn een driehoek of vierhoek kun je nog wel punten binnen de foto mken Dit beplt ntuurlijk wel de speelmogelijkheden vn Cbri In ieder gevl is het voldoende om een foto vn een ei in gewenste grootte en oriënttie op een tekenvel te krijgen Dit is precies wt we in figuur 7 gedn hebben fig 13 Bendering vn een ptrijs-ei In figuur 13 hebben we een foto vn een prtrijs-ei zodnig vergroot dt het ei in werkelijkheid twee keer zo klein is (het echte ptrijsei heeft de fmeting 37 7mm) en de eirnd gemodelleerd met de formule x y 1+ 0, 061x + = 1 3,69,73 1 0, 061x Overigens werkt zo n model ook goed voor ons kippenei fig 14 Geltsonderzoek mbv fotos s in CbriPlus Een dergelijk geltsonderzoek is voor leerlingen veel interessnter, leuker en meer eigentijds (denk mr n de vele tv-progrmm s over plstische en cosmetische chirurgie die momenteel uitgezonden worden) dn lleen mr de eivormigheid vn een gezicht modelleren Het hele eieren eten Tot slot besteden we nog een pr woorden n het nut vn werken met digitle foto s in wiskundeonderwijs In het bijzonder stellen we ons de vrg welke voordelen het meten en mnipuleren vn foto s n leerlingen kn bieden bij het uitvoeren vn prktische opdrchten? En dn denken we niet lleen n oölogisch onderzoek, mr meer lgemeen n het wiskundig modelleren vn concrete objecten We noemen hier in willekeurige volgorde: o wiskunde en werkelijkheid zijn direct met elkr gekoppeld en dit vergroot niet lleen de ntrekkelijkheid vn het werk voor leerlingen, mr lt hen ook kennismken met toepssingen vn wiskunde op objecten uit het dgelijkse leven; o leerlingen ervren op speelse mnier dt meetkundige trnsformties niet lleen een hobby zijn vn wiskundigen, mr dt deze fbeeldingen ook echt gebruikt worden in lle softwre wrmee digitle beelden bewerkt worden Alweer een moderne toepssing vn wiskunde in het echte leven; o lgebr en meetkunde gn hnd in hnd bij wiskunde n foto s en leerlingen worden gemotiveerd, zo niet verleid tot het mken vn constructies die netjes nsluiten bij het gefotogrfeerde object of zo simpel mogelijke formules opleveren Het vinden vn for-
o o mules dient ook een concreet doel: het uitrekenen vn fgeleide grootheden, die niet zo gemkkelijk experimenteel te beplen zijn; echte metingen n een concrete object kunnen vergeleken worden met modeluitkomsten Dit drgt bij n het ndenken over kwliteit vn een wiskundig model ICT mkt het mogelijk dt leerlingen meerdere modellen opstellen en met elkr vergelijken; meten op foto s is een moderne onderzoekstechniek, die in prktijk veel gebruikt wordt en die leerlingen ook zelf in prktische opdrchten, exo s of profielwerkstuk kunnen inzetten Fotometing kn het leerlingenonderzoek op een hoger niveu brengen Het fciliteert ook onderzoek n objecten wrop nders moeilijk te meten vlt (denk zowel n grote objecten ls bruggen en gebouwen, ls n kleine objecten zols plntencellen, bcteriën, etc, en denk ook n foto s uit ruimtevrt, geneeskunde of geogrfie) De uteur wil de volgende personen dnken voor hun medewerking: colleg Leendert vn Gstel voor zijn hulp bij de metingen n het ei en de discussies over de gebruikte wiskundige methoden; studente Esther Domínguez Sol voor hr deelnme n het geltsonderzoek en Tous Spuijbroek voor zijn suggestie om een scnner te gebruiken ls lterntief voor een digitle fotocmer André Heck, AMSTEL Instituut, Universiteit vn Amsterdm, heck@scienceuvnl [1] Zie bijvoorbeeld: A Goddijn (001) Cbri geeft oude meetkunde tweede jeugd In J vn de Crts (red) Experimentele wiskunde CWI Vkntiecursus 001 CWI Syllbus 49 (pp 61-9) [] D Klingens (003) Integrlkrommen met CbriPlus Euclides, 79 () 66-69 [3] De door ons gebruikte Plus-versie 15 vn Cbri uit 004 verschilt vn de Cbri-versie die bij Nederlndse wiskundemethodes wordt meegeleverd Het gebruik vn digitle foto s is in de oude versie niet mogelijk Voor meer informtie over CbriPlus verwijzen we nr de website vn producent Cbrilog (wwwcbrilogcom) en de Nederlndse distributeur wwweducdbvnl [4] Voor meer informtie verwijzen we nr de website wwwdidktikmthemtikuni-wuerzburgde/mthei/ [5] Kijk voor meer informtie op wwwei-infonl [6] Bijvoorbeeld op de website wwwwisfcnl [7] Zie Finl Answers vn GP Michon op webpgin wwwnumericncom/nswer/ellipsehtm [8] S Rmnujn (1913-1914) Modulr Equtions nd Approximtions to π Qurt J Pure Appl Mth 45, 350-37 [9] IN Bronshtein & KA Semendyyev (1985) Hndbook of Mthemtics 3rd English Edition, Vn Nostrnd Reinhold Co, New York [10] CV Pgnelli, A Olszowsk & A Ar (1974) The vin egg: surfce re, volume nd density The Condor 76 (3) 319-35 http://elibrryunmedu/condor [11] EL Besch, SL Sluk, & AH Smith (1968) Determintion of surfce re using profile recordings Poulty Science 47, 153-158 [1] DF Hoyt (1976) The effect of shpe on the surfcevolume reltionships of birds eggs The Condor 78 (3) 343-349 http://elibrryunmedu/condor [13] Een npssing vn VG Nrushin Mthemticl Methods nd Theories in Agriculturl Reserch with Exmples Relted to Poultry Science Hoofdstuk 1: Mthemtics on Eggs X-PRESS, Zporozhye, Ukrine, 1998 http://nrushinitporgu/mth_bookhtml [14] AL Romnoff & AJ Romnoff (1949) The Avin Egg Wiley & Sons, New York [15] A Ar, CV Pgnelli, RB Reeves, DG Greene & H Rhn (1974) The Condor 76 () 153-158 http://elibrryunmedu/condor [16] Voor het mken vn schuifblken in Cbri verwijzen we nr wwwpndddemonnl/vgv/fq39htm [17] De foto is overgenomen uit de virtuele eiertentoonstelling vn het Provincil Museum of Albert in Cnd, wwwpmedmontonbc/vexhibit/eggs/vexhome/egghomehtm Op deze website stn tlloze foto s vn vogeleieren [18] Zie onderstnde webpge en referenties hierin wwwmthemtische-bsteleiende/eggcurveshtm [19] H Stl, A Grunefeld & P vn de Snden (001) Toegepste Wisunde voor hoger onderwijs met behulp vn Mple een interctieve methode Acdemic Service, Schoonhove Opgve 563 [0] B Ernst (000) Een eitje, zo n eitje Pythgors 40 (1) 16-17 [1] D Klingens (000) Het eirond en het lngrond Pythgors 40 () 4-5 Zie ook de webpgin wwwpndddemonnl/eipythhtm [] P Coucke, E Dewil, E Decuypere & J de Berdemeker (1999) Mesuring the mechnicl stiffness of n eggshell using resonnt frequency nlysis British Poultry Science 40 () 7-3 [3] B De Jetelere, P Couckew & J de Berdemeker (000) Eggshell crck detection bsed on coustic resonnce frequency nlysis Journl of Agriculturl Engineering 76 () 157-163 [4] http://chickscopebeckmnuiucedu [5] wwwexoscikunnl [6] Het msker is ontwikkeld door de plstisch chirurg Dr SR Mrqurd, o voor plnning vn gezichtscorrecties Zie de website wwwbeutynlyscom