Het Poincrévermoeden in dimensie 2 Erik Visse An het egin vn de eeuw ewees Grigori Perelmn het Poincrévermoeden uit 1904 en loste drmee het eerste milleniumproleem op. Het Poincrévermoeden geeft criteri wrmee men kn controleren of een topologische ruimte homeomorf is n een n-sfeer. Tegenwoordig weten we dt het vermoeden correct is voor lle ntuurlijke getllen n. Perelmns ewijs ws voor n = 3, het op dt moment enige nog openstnde gevl. Hier wordt een ewijs gegeven voor het gevl n = 2. Hiervoor is een klein eetje voorkennis vn topologie hndig, mr ls men ereid is termen zols compct of enkelvoudig smenhngend te negeren, dn is de kern vn het ewijs prim te volgen. Mocht de student deze termen willen egrijpen zonder een college topologie te volgen, dn zijn de docenten ntuurlijk ereid om ze wr nodig toe te lichten. Definitie 1.1. Een oppervlk is een topologische ruimte wrij 1. ieder punt een omgeving homeomorf n de tweedimensionle Euclidische ruimte R 2 heeft, en 2. verschillende punten disjuncte omgevingen heen. Voor wie wt meer voorkennis heeft: een oppervlk is een topologische 2-vriëteit. Vooreeld 1.2. De volgende verzmelingen met hun stndrdtopologieën zijn oppervlkken: () de 2-sfeer S 2 ; () de torus vn genus g, genoteerd met gt 2, de sfeer met g hndvtten ern geplkt; (c) np 2, de sfeer wruit n disjuncte schijven zijn vervngen door een Möiusnd; (d) de fles vn Klein, het specile gevl vn (c) met n = 2. Vn deze oppervlkken is in figuur 1 een representtie gegeven wrij zijden met dezelfde kleur in de ngegeven richting n elkr geplkt moeten worden. () () (c) (d) Figuur 1: Een representtie voor de genoemde oppervlkken. De ngegeven zijden worden geïdentificeerd volgens de quotiënttopologie. Voor () en (c) heen we het gevl met n = 1 weergegeven. Merk op dt in de definitie zit opgenomen dt een oppervlk geen rnd heeft. Voor een oppervlk met rnd vervngt men punt 1 door ieder punt heeft een omgeving homeomorf n R 2 of n het hlfvlk {(x, y) R 2 : x 0}. 1
Stelling 1.3 (Poincrévermoeden voor dimensie 2). Zij S een compct, enkelvoudig smenhngend oppervlk. Dn is S homeomorf n de sfeer S 2. Het ewijs vn deze stelling seren we op de volgende, eind-19 e -eeuwse stelling. Stelling 1.4 (Clssifictiestelling). Zij S een compct en smenhngend oppervlk. Dn zijn er drie mogelijkheden: 1. S is homeomorf n S 2 ; 2. S is homeomorf n nt 2 voor een zekere n Z >0 ; 3. S is homeomorf n np 2 voor een zekere n Z >0. Het ewijs vn Stelling 1.3 is nu heel eenvoudig: Bewijs Stelling 1.3. Dit volgt direct doordt de fundmentlgroepen niet trivil zijn, mr π 1 (nt 2 ) = Z 2n en π 1 (np 2 ) = C 2 Z n 1 [1,p.169]. De enige enkelvoudig smenhngende mogelijkheid is dus S 2. Voor het ewijs vn Stelling 1.4 heen we het egrip tringultie nodig en een tweetl lemm s die hiermee gemoeid zijn. De ewijzen hiervn lten we chterwege. Ze kunnen gevonden worden in [3] ls Stellingen 4.12 en 4.13. Definitie 1.5. Een tringultie vn een oppervlk S is een eindige overdekking met driehoeken vn S zodnig dt twee verschillende driehoeken elkr in 0 of 1 zijde rken. Als ze elkr rken in een zijde, dn vllen deze zijdes geheel smen. Lemm 1.6. Zij S een compct oppervlk. Dn is er een tringultie vn S mogelijk. Lemm 1.7. Is S smenhngend, dn zijn de driehoeken zo te ordenen dt we een lijst (1, 2, 3,..., n) kunnen mken wrij voor lle i {2, 3,..., n} driehoek i een zijde gelijk heeft met driehoek i 1. Merk op dt - omdt onze oppervlkken geen rnd heen - iedere geruikte driehoek in l zijn zijdes n een ndere driehoek grenst. Hiermee heen we voldoende gereedschp om de Clssifictiestelling te ewijzen. Het gegeven ewijs is ook te vinden in [2, sectie 21]. Een vergelijkr ewijs is te vinden in [1, hoofdstuk 7]. Bewijs vn stelling 1.4. Zij S een compct en smenhngend oppervlk. Wegens Lemm 1.6 is er een tringultie mogelijk. Lt dus een tringultie gegeven zijn met de in Lemm 1.7 genoemde ordening. We mken een vlkke representtie vn S ls volgt. Beeld driehoek 1 f op een driehoek in het pltte vlk. Beeld driehoek 2 f op een driehoek in het pltte vlk die n het eeld vn driehoek 1 grenst. Beeld driehoek i f op een driehoek die n het eeld grenst vn driehoek i 1 mr niet n de eelden vn eerdere driehoeken. G zo door tot men lle driehoeken uit de tringultie gehd heeft. We knippen S ls het wre open en vouwen het uit. Vervolgens identificeren we zijdes in de representtie prsgewijs wnneer hun originelen in de tringultie gelijk zijn. Zolng we ijhorende zijdes lijven identificeren mogen we nr hrtelust knippen en plkken in de representtie omdt dit S 2
zelf niet ntst; we heen dus geen lst vn het feit dt knippen en plkken geen continue ewerkingen zijn. Met deze representtie zullen we nu lgoritmisch te werk gn om S te clssificeren. We ekijken in de representtie lleen de zijdes n de uitenknt. Een uitenknt estt omdt we slechts met een eindig ntl driehoeken werken. Voor een geïdentificeerd pr zijdes heen we twee mogelijkheden, welke we nu eide een nm zullen geven. De mogelijkheden ontstn door het feit dt de identifictie een oriënttie met zich meerengt. Definitie 1.8. Een gedrid pr is een pr zijdes in de representtie die, ls we de uitenrnd vn de representtie rondlopen, in dezelfde richting geöriënteerd zijn. Een gekruist pr is een pr zijdes in de representtie die, ls we de uitenrnd vn de representtie rondlopen, in onderling verschillende richting geöriënteerd zijn. Zie figuur 2. () () Figuur 2: () Een gedrid pr en () een gekruist pr. Stp I is het elimineren vn ngrenzende gekruiste pren. Dit doen we door zo n pr ls het wre nr innen te vouwen en het pr zijdes n elkr te plkken, zie figuur 3 voor een visuele presenttie. Deze stp zl in het vervolg n iedere ctie herhld worden. Merk op dt het mogelijk is dt we lleen mr ngrenzende gekruiste pren heen. In dt gevl elimineren we het ltste niet en vinden we de representtie vn S 2. Figuur 3: Deze figuur eeldt stp I uit het lgoritme uit. In stp II geven we lle hoekpunten in de representtie een nm, wrij geïdentificeerde hoekpunten ntuurlijk dezelfde nm krijgen. Merk op dt de twee situties fgeeeld in figuur 4 met A B niet kunnen voorkomen. De eerste niet wegens stp I en de tweede niet omdt dn A = B zou gelden. Vervolgens kiezen we een hoofdhoekpunt R en pssen we ls er nog verschillende hoekpunten zijn de volgende techniek toe die het est weergegeven wordt door figuur 5. We kiezen een pd vn R nr in het innenste vn de representtie en knippen de representtie door lngs dit pd. De losgekomen driehoek plkken 3
A A B B () () Figuur 4: De figuur geeft de hieroven genoemde onmogelijke situties weer. we vervolgens op een hndige mnier weer n de representtie vst. Merk op dt we vi deze weg een hoekpunt R meer heen gekregen ten koste vn een hoekpunt P. Dit terwijl het totl ntl hoekpunten gelijk is geleven. Door itertie kunnen we zo lle hoekpunten vervngen door hoekpunt R. Om te voorkomen dt in een gekozen pd ndere hoekpunten dn R liggen, vtten we dit pd op ls enkele zijde. Hierdoor ontnemen we onszelf de mogelijkheid ergens in het pd te knippen, mr het lijkt dt we hier zonder kunnen. R P R P P R Figuur 5: Met het hier fgeeelde proces kunnen we ervoor zorgen dt we slechts één hoekpunt in de representtie heen. Stp III noemen we normlistie vn gedride pren. Het houdt in dt we, zo die er is, een niet-ngrenzend gedrid pr nemen en die omvormen tot een ngrenzend gedrid pr. De mnier wrop is ngegeven in figuur 6. Mogelijk zijn we n deze stp klr. We heen in dt gevl lleen ngrenzende, gedride pren en drmee de representtie vn np 2 voor n het ntl pren zijdes. Figuur 6: Door weer slim knippen en plkken kunnen we gedride pren normliseren. 4
Voor stp IV, normlistie vn gekruiste pren, heen we een extr inzicht nodig. Lt een willekeurig gekruist pr, zo die er is, gegeven zijn. De ndere zijdes liggen nu in twee tkken. Stel nu dt er geen scheidend gekuist pr is, dt wil zeggen dt er geen gekruist pr is wrvn de één in de ene tk ligt en de nder in de ndere tk. Dn zijn wegens stp I en de nnme eide tkken niet leeg en volgt uit stp III dt iedere tk lleen gehele pren evt. Drmee is er geen recept om de ene tk ergens n de ndere te plkken. Mr dn zijn de hoekpunten in de ene tk verschillend vn de hoekpunten in de ndere tk, hetgeen ongerijmd is met stp II. Er volgt dt er ltijd een scheidend gekruist pr is. In het ijzonder komen gekruiste pren dus in tweetllen voor. Voer nu weer het nodige knip- en plkwerk uit om twee gekruiste pren in de eindvorm vn figuur 7 te rengen. Figuur 7: Met twee keer knippen en plkken vinden we de fgeeelde representtie. Als we n deze stp klr zijn, dn heen we de representtie vn nt 2 gevonden wrij 2n het ntl gekruiste pren is. Als we nog niet klr zijn, dn heen we nog één stp te gn. We heen nu een ntl ngrenzende gedride pren en een even ntl prsgewijs verwikkelde gekruiste pren (i.e. zols n het eind vn stp IV). Stp V estt nu uit vierml knippen en plkken om weer de representtie te vinden vn np 2. Zie figuur 8. We heen hiermee lle mogelijkheden ehndeld en slechts de in de stelling genoemde oppervlkken gevonden. Dit sluit het ewijs. Referenties [1] Armstrong, M.A., Bsic Topology, 1983, Springer Undergrtute Texts in Mthemtics, Springer-Verlg, New York (origineel 1979 McGrw-Hill Book Compny, Midenhed) [2] Henle, M., A Comintionl Introduction to Topology, 1994, Dover Pulictions, Mineol (origineel 1979 W.H. Freemn & Compny, Sn Frnsisco) [3] Kinsey, L.C., Topology of surfces, 1997, 2 e edititie, Springer Undergrtute Texts in Mthemtics, Springer-Verlg, New York 5
c c Figuur 8: Deze ltste stp is nodig om lle gevllen ehndeld te heen. 6