In de voorronden dus 8 20 = 160 wedstrijden; in de kwartfinale (laatste 8 teams) 4 2 = 8 wedstrijden;

Transcriptie

1 1a 1b a b G&R havo/vwo D deel 1 C. von Schwartzenberg 1/11 Tellen (van de eindpunten) geeft 6 keuzemogelijkheden. Berekening: 3 6. Voordeel van een wegendiagram: minder werk om te maken. Nadeel van een wegendiagram: de keuzemogelijkheden staan niet apart vermeld. Neem het rooster hiernaast over. Er zijn mogelijkheden om samen minstens 9 te gooien. (zie hiernaast) c 36,, 6,,, 6, 63, 6, 6, 66. 3a 3b 3c 3d 3e a Bij een halve competitie speelt elk team één keer tegen elk ander team. Vijf teams spelen bij een hele competitie 0 wedstrijden. (gebruik het rooster hierboven) In de voorronden dus wedstrijden; in de kwartfinale (laatste 8 teams) 8 wedstrijden; in de halve finale (laatste teams) en in de finale (laatste teams) 1 wedstrijden. Dus totaal wedstrijden. b (in de voorronde) + (in de kwartfinale) + (in de halve finale) + (in de finale) 1. 3 kleuren kleuren kleuren 3 1. (zie het vereenvoudigde wegendiagram hiernaast) (rood, geel of groen) (niet de eerste) (niet de tweede) (of uitschrijven: ro ge gr, ro ge ro, ro gr ge, ro gr ro en zo ook mogelijkheden beginnend met geel en beginnend met groen) 6a BAAA, ABAA, AABA (A winnaar in vier sets A staat na 3 sets al met -1 voor) ; ABBB, BABB, BBAB (B winnaar in vier sets B staat na 3 sets al met -1 voor) 6b AAA (A winnaar in drie sets) ; BBB (B winnaar in drie sets) ; BBAAA, ABBAA, AABBA, BABAA, BAABA, ABABA (A winnaar in vijf sets na sets is het -) ; AABBB, BAABB, BBAAB, ABABB, ABBAB, BABAB (B winnaar in vijf sets sets is het -). Dus totaal (na 3 sets) + 6 (na sets) + 1 (na sets) 0 manieren. 7a 7b Som is 8 kan op manieren. (zie het rooster hiernaast) Som is minder dan 8 kan op 18 manieren. (zie de grijze hokjes hiernaast) 7c Product is 8 kan op 3 manieren. (maak een nieuw rooster of:, en 18) 8a 16 ogen met de series 6, 6, 6, 66, 66 en 66 6 mogelijkheden. 8b 17 ogen met 66, 66 en 66; 18 ogen met 666 meer dan 1 ogen heeft mogelijkheden. 8c 1 ogen met 663, 636, 366, 6, 6, 6, 6, 6, 6 en mogelijkheden. 9a ogen met 113, 131, 311, 1, 1 en 1 6 mogelijkheden. 9b 3 ogen met 111; ogen met 11, 11 en 11; ogen met 113, 131, 311, 1, 1 en 1; 6 ogen met 11, 11, 11, 13, 13, 13, 31, 31, 31 en mogelijkheden. a 1 0 en 1 0 ; 1 0 en ; 3 0 en 1 ; 0 en 3 ; 1 0 en ; 7. b 0 ; en 1 ; en 1 ; en 3 ; 1 0 en ; 0 ; 0 en ; 3 0 en ; 0 en 6 ; 1 0 en 8 ; 11 mogelijkheden leerlingen die aan muziek én aan sport doen. (zie de tabel hiernaast) B L A U W E R 3 O D E 6 v1 v h1 h h3 Liefst een rooster. (maak er zelf ook een) v Er zijn wedstrijden. (de grijze vakjes) v h Aantal wedstrijden: ( n 1) + ( n ) of ( n n) : n n. h - - tel eerst alle hokjes in het rooster n n n ; trek daar de n hokjes van h3 - de diagonaal van linksboven naar rechtsonder vanaf en deel dan nog door n n n n 0 n n 90 0 ( n )( n + 9) 0 n (of n 9 voldoet niet) SOM sp\mu wel niet wel 8 18 niet leerlingen hebben voor beide een voldoende. 13 zonder bekeuring 0% 80,1%. 1 wi\en onvold. vold. onvold. 6 vold alc\techn goed slecht pos neg

2 C. von Schwartzenberg /11 1a mogelijkheden. 1b (00m of 00m) (niet kogel) 1 (volleybal) mogelijkheden. 1a AAA kan op 0 manieren. 1b AAA of BBB of CCC kan op manieren. 1c AAC of ACA of CAA kan op manieren. 1d BBB kan op manieren. (B is een korte schrijfwijze voor: geen B) 1e ge ge ge of gr gr gr of bl bl bl of ro ro ro kan op manieren. 1f gr gr ro of gr ro gr of ro gr gr kan op manieren. 16a E D F kan op manieren. 16b E E kan op 11 (8 + ) 13 manieren. 11 keuzes 11 keuzes 8 + keuzes 8 keuzes keuzes (11 Engelse boeken) (8 Duitse boeken) (11 Engelse boeken) (13 niet Engelse boeken) ( Franse boeken) 17a vlees vlees vlees 0 manieren. 17b fruit fruit fruit 3 1 manieren. 17c vlees vlees vlees of vis vis vis of fruit fruit fruit manieren. 17d vis fruit fruit 3 1 manieren. 17e vis fruit fruit of fruit vis fruit of fruit fruit vis manieren. 18a (bij de jasjes zijn 3 keuzes namelijk: het ene jasje, het andere jasje of geen jasje) 18b Een rok óf broek kan op manieren; blouse of trui OF blouse én trui kan op (6 + ) manieren. Zij kan zich op manieren kleden. 18c (schoenen) (rok) 1 (geen broek) 7 (blouse of geen blouse) (coltrui) (jas of geen jas) 0. 19a b (van elke paragraaf is 1 opgave reeds gebruikt) 19c ( 1,,, ) ( 1, 3,, ) (, 3,, ) 33. 0a eerst een jongen en dan een meisje manieren. 0b eerst iemand van 1 en dan iemand van manieren. 0c eerst een jongen en dan een meisje van manieren. 0d de eerste 16 en de tweede 16 of de eerste 16 en de tweede manieren. 0e eerst iemand van 1 en dan iemand van 1 of eerst iemand van 17 en dan van manieren. 1a Hoeveel tweetallen zijn mogelijk als de eerste een meisje van 1 en tweede een jongen van 16? 1b En hoeveel tweetallen als er een jongen en een meisje gekozen worden van wie de een van 17 en de ander van 1? b de tweede letter een andere letter dan de eerste letter 3 1 codes. de letters mogen gelijk zijn 16 codes. keuzes keuzes (eerste letter) (tweede letter) keuzes 3 keuzes (eerste letter) (tweede letter) 3a b 3c (het eerste cijfer moet een 3, of zijn) (het eerste cijfer een 6 en het tweede cijfer een ; daarna mag elk cijfer) 3d (eerst een 6 en als tweede cijfer minstens een OF beginnend met een 7 of 8) a b c a (ons alfabet telt 6 letters) b (letters beginnen met een D of F; er zijn klinkers: A, E, I, O en U) c (letters beginnen met een D of F en klinkers komen niet voor) d (letters beginnen niet met een A, B, C, D, E, F, I, O of U)

3 C. von Schwartzenberg 3/11 6a b 1 0. ( vragen gokken) 7a c b d (codes beginnen met ) ( of of of of ) 8a c 8b (?mj of?jm) (begin met drank, dan hapjes en tenslotte muziek) 9a (elk van de hokjes kan al dan niet zwart zijn) 9b (velletjes) 33 0,1 33, (mm 33, 6 m) c (elk van de 9 hokjes binnen de rand kan al dan niet zwart zijn) 30a b 30c 30d 30e 30f (kan alleen mjmjmjm zijn) (er is maar één student Frans) (de studenten economie als laatsten) (p?????p of e?????e) (begin met het aanwijzen van de eerste en laatste student en daarna pas de anderen) (jmm???? of mjj????) 31a 31b 6. (elke letter mag maar één keer worden gebruikt) (elke letter mag vaker worden gebruikt) a (begin met een, 3 of ) 3b c Eerste cijfer een en tweede cijfer een 6 of 7 (en bij de laatste twee cijfers geen ) OF eerste cijfer een 6 of 7 en bij de volgende twee geen OF eerste cijfer een 6 of 7 en bij de volgende twee wel een (de vijf) (de vijf) d Bij de laatste twee cijfers geen (bij de eerste drie cijfers al dan niet een ) OF bij de eerste drie cijfers geen en bij de laatste twee cijfers wel (laatste twee cijfers dus of ) a c 33b d 3a 3b 3c 3d Hoeveel vier-lettercodes zijn er als herhalingen zijn toegestaan? Hoeveel drie-lettercodes zijn er met drie verschillende letters? Hoeveel lettercodes zijn er van twee letters met verschillende letters of met drie letters waarbij herhalingen zijn toegestaan? (1 mogelijkheden voor laag, 3 en ) Hoeveel drie-lettercodes zijn er als er geen gelijke letters naast elkaar mogen staan? 3a b Neem GR - practicum A door. (de uitwerkingen vind je op het laatste blad) 36 1nPr nPr a npr!. (een pincode bestaat uit cijfers) 38b 1 3nPr3 1 3! 3! 6.

4 C. von Schwartzenberg /11 39a ! 70 (volgordes) 6! (sec 1 min). 39b 8! 0 30 (volgordes) 8! 8 6 (sec 179, uur). (het klopt niet) 0a 9 npr 9 9! b npr 7. 0c 9 npr a 1b 1c 1d Hoeveel zes-lettercodes zijn er met zes verschillende letters? (uit de gegeven 6 letters) Hoeveel drie-lettercodes zijn er met drie verschillende letters? (uit de gegeven 6 letters) Hoeveel vier-lettercodes zijn er als herhalingen zijn toegestaan? Hoeveel vier-lettercodes zijn er, waarbij de eerste letter een a of een b is en de andere letters moeten worden gekozen uit c, d, e en f waarbij herhalingen zijn toegestaan? a 8! b Het aantal mogelijke rangschikkingen waarbij het pakketje wiskundeboeken als 1 telt is! Maar binnen dat pakketje wiskundeboeken zijn er! mogelijke rangschikkingen. Het totaal aantal is!! 880. c De twee pakketjes kunnen op manieren gezet worden (eerst de scheikundeboeken en dan de wiskundeboeken of omgekeerd) Binnen het pakketje wiskundeboeken zijn er! mogelijke rangschikkingen en binnen h et pakketje scheikundeboeken zijn er 3! mogelijke volgorden! 3! a 3b Kies eerst een klassiek stuk en dan een hedendaags stuk om mee te eindigen. Aantal 3 (klassiek aan begin) (klassiek aan eind) ! 300. Neem eerst de vier romantische stukken als één pakket (met! rangschikkingen). Aantal 6!! c rrrrrrrrr Aantal !! d [kkk] [rrrr] [hh] als 3 pakketjes kan al op 3! manieren Aantal 3! 3!!! 178. a DOP DPO OPD ODP PDO POD. b POP PPO OPP. c Verander je de D van DOP in een P, dan worden DOP en POD in a beide POP. a b 6! 10. (dubbele eruit delen) c! 11! 9800.!!!!! 00.! 3! 3! d 16! !!!!! 11! 360.!!! 7a 3 npr 1. 7b De helft van 1, dus 6. 8a 8b 8c 8d 8e 9a 9b Neem GR - practicum B door. (de uitwerkingen vind je op het laatste blad) Combinaties. (het gaat om een zestal leerlingen, zonder verdere rangschikking) e e e Permutaties. (het gaat om een drietal prijzen met een rangschikking, namelijk 1, en 3 prijs) Combinaties. (het gaat om een vijftal kaartjes, zonder verdere rangschikking) Combinaties. (het gaat om een vijftal leraren, zonder verdere rangschikking) e e e Permutaties. (het gaat om een drietal nummers met een rangschikking, namelijk 1, en 3 plaats) ncr c 0 0 ncr. 9e ncr d ncr 13. 0a 0b 0. 0d npr e 0 9! (7 Ned. cd's en pakketten) 1!! 6,3. 0c f 7 3.

5 C. von Schwartzenberg /11 1a b , dus het aantal vermindert met a c 8 6. b 8 npr 8 8! d a 3b 3c a a c d Een negenhoek heeft 9 zijden; de hoekpunten hebben 36 verbindingslijnstukjes diagonalen. In een negenhoek zijn 8 driehoeken te maken (aantal drietallen uit 9 hoekpunten). n Het aantal diagonalen in een n-hoek is n b c , 99 (99 miljard) b 1. (een zestal uit 6 jongens) 6. (geen meisje en dus 6 jongens of 1 meisje en jongens) ( jongens en dus 1 meisje of 6 jongens en geen meisje) a 6b c d a 8a 8b 8c b c d e a (mogelijke combinaties). Nee, het scheelt b Uit te keren over een periode van 0 jaar: ($). 3 Winst: (kosten van miljoen formulieren) ($). 0 jaar heeft 0 maanden winst per maand per deelnemer is (0 jaar lang) ,67 ($) a 60b 60c 60d 60e 60f Hoeveel volgordes zijn mogelijk met 7 verschillende dingen? Op hoeveel manieren kun je 3 van de 7 vakjes zwart maken? Op hoeveel manieren kun je één jongen en één meisje kiezen uit een groep van 7 jongens en 3 meisjes? Hoeveel drie-lettercodes zijn er te maken met de letters a, b, c, d, e, f en g waarbij iedere letter meerdere keren mag voorkomen? Op hoeveel manieren kun je 7 drie-keuzevragen beantwoorden? Op hoeveel manieren kun je een voorzitter, een secretaris en een penningmeester kiezen uit 7 mensen? 61a 61b , 17, 17 en c n 0 1, n 1 n, n 1 en n 1. n n n Je kunt op één manier 0 personen kiezen (dus 17 personen niet kiezen) uit een groep van 17, je kunt op 17 manieren 1 persoon kiezen uit een groep van 17, je kunt op 17 manieren 16 personen kiezen (dus 1 persoon niet kiezen) uit een groep van 17 en je kunt op één manier 17 personen kiezen uit een groep van 17.

6 C. von Schwartzenberg 6/11 6a 6b 0 1 1,. 6c , a 6b 66a 66b Noem de groepen A, B en C. Dan een woord van 1 letters, waarvan 3 A's, B's en C's aantal 1!. 3!!! Combinaties, de volgorde waarin de groene vierkantjes gekozen worden is niet van belang c. 8 66d e a 67b c Minstens 80% van de 0 vragen, dus minstens 16 vragen Dus 6196 mogelijkheden Dat is in % 0,6% van alle mogelijkheden a 68b 69a 69b 70a 70b 70c 71a 71b 71c c d (de andere 16 aan of uit) c a Bijvoorbeeld: NNNNOOOO en NNNONOOO. 7c Totaal 8 letters waarvan de letter N. 7b NOONNNOO wel, maar NNOONNONO ( letters N) niet. 7d a b c a b

7 C. von Schwartzenberg 7/11 7a 76a Alleen rechtstreeks van P naar Q. 7b Aantal routes van A naar B Aantal routes van A naar B aantal routes via de linkerkant b tegen 77a Zie het rooster hiernaast. 77c 77b 0. (na rust is de score -3) d a Om van T in A te komen moet je 6 wegen doorlopen waarvan twee wegen naar rechts gaan. T 1 78b Om in het punt linksonder te komen, moet je 0 keer naar rechts, dus 0 routes naar dit punt Zo zijn er 1 routes naar het punt ernaast, routes naar A, enz Op de zesde rij staan dus de getallen , 1,,,, en De som van deze getallen is c Zie de figuur hiernaast. 78d De getallen op de zevende rij: 1; ; ; ; ; ; en 1. Op de achtste rij: 1; ; ; ; ; ; ; en 1. 78e voor rij 0 rij 1 rij rij 3 rij rij rij 6 rij 7 79a 79d. 3 79b. 9 79c 1 0. Van S naar Y zijn er en van naar het strand zijn er 3. Y Dus er zijn 3 30 routes van S via Y naar het strand. B 80a 80b 81a 81b 81c Vervang de kwartbogen door rechte lijnstukjes. Je loopt dan in het rooster hiernaast. 6 6 Het aantal kortste routes van A naar B is Het aantal kortste routes van A via C naar B is Het aantal kortste routes van A naar B niet via C is dus 0 (zie 80a) 9(zie hierboven) Elke kortste route van W naar D is goed Elke kortste route van G via een middelste E's naar de laatste E is goed 700. Denk een punt (P) achter de zin, daar kun je alleen komen vanaf een van de twee laatste S-en. 3 Elke kortste route van V via E en via een T naar de P is goed 0. C A 8a 8b ( a + b) ( a + b)( a + b) ( a + b)( a + 3a b + 3 ab + b ) a + 3a b + 3a b + ab + a b + 3a b + 3ab + b a + a b + 6a b + ab + b. 1 ( a + b) 1a + 1b ( a + b) 1a + ab + 1b ( a + b) 1a + 3a b + 3ab + 1b 3 3 ( a + b) 1a + a b + 6a b + ab + 1b 3 3 ( a + b) 1a + a b + a b + ab + ab + 1b

8 C. von Schwartzenberg 8/11 83a 83b 83c 83d 3 3 ( a + 1) a a 1 a 1 a 1 a a + a + a + a + a ( a ) a a ( ) a ( ) a ( ) ( ) a 8a + a 3a (a + 3) ( a) ( a) 3 ( a) 3 ( a) 3 ( a) a + 0a + 70a + 80a + 8a (3a 1) 0 (3 a) + (3 ) ( 1) (3 ) ( 1) (3 ) ( 1) (3 ) ( 1) 1 a + a + a a (3 a) ( 1) ( 1) 79a 18a 11a 0a 13a 18a a 8b 8a 8b ( ) 1 heeft 16 termen met de coëfficiënten , 1,, a b 3,... 1, De derde term van de herleiding van ( a + b) is a b a b en de dertiende term is a b a b De vierde term van de herleiding van ( p + q) is p q 110 p q De zevende term van de herleiding van ( p q) is ( p) ( q) 67 p q. 6 86a 86b De term met x in ( x + 1) is ( x ) 1 70 x. Dus de coëfficiënt van x is 70. De term met 8 in ( ) is x x ( x ) ( ) x 3. Dus de coëfficiënt van x is 3. 87a 87b (1 + 1) (1 + 1)

9 C. von Schwartzenberg 9/11 D1a D1b D1c Diagnostische toets mogelijkheden om samen 8 te gooien. (zie het eerste rooster hiernaast) mogelijkheden om samen meer dan 8 te gooien. (zie het eerste rooster hiernaast) 17 mogelijkheden waarbij het product van de ogen minder dan is. (zie het tweede rooster hiernaast) Da Uitschrijven: 111, 11, 11, 11, 113, 131, 311, 1, 1 en 1 mogelijkheden. Db Uitschrijven: 11, 11, 11, 13, 13, 13, 31, 31, 31 en mogelijkheden. D3 Alleen de vader (zie het grijze vak in het rooster hiernaast) Da npr 0. Db (als eerste cijfer alleen een, een 3 of een ) 11 eerstejaars studenten. Dc Dd (getallen tussen 000 en 60000) (getallen boven 60000) va\mo wel niet wel 11 1 niet Da npr 8 8! 030. (deze opgave gaat over 8 verschillende fietsen) Db 6! (tel eerst de jongensfietsen als 1 pakket) 3! (mogelijkheden met de 3 jongensfietsen) 30. Dc (zet eerst twee meisjesfietsen aan de buitenkant) 6! D6a D6b 7! 160. (dubbele letters eruit delen)!! 8! (dubbele letters eruit delen) 3!! D6c D6d! ! 3!! 7600.!! D7a D7b D7c 8 0. ( rode en andere) D7d 9. (3 of witte) ( niet zwarte) D8a 3. D8b De verdelingen en kunnen elk op 3 manieren D9a (elk hokje al dan niet groen) D9b D9c D D11a D11b D11c D1 (naar de linker S) (naar de middelste S) (naar de rechter S) D13a D13b 3 3 ( a ) a a ( ) a ( ) a ( ) ( ) a 0a + a 00a De derde term van (p 3) is ( p) ( 3) 70 p.

10 C. von Schwartzenberg /11 Gemengde opgaven 1. Combinatoriek G1a mannen van jaar en ouder. G1b 01 0% 7,3%. 31 Ga Gb Gc < vrouw man G3a 3 8. G3b Ja, want ons alfabet bestaat uit 6 letters Ga Gb Gc Aantal routes OBCAO Aantal routes OABCO Aantal routes OBCAO aantal routes OACBO Aantal routes OABCO aantal routes OCBAO Aantal routes OBACO aantal routes OCABO. Andere volgordes zijn er niet kleinst aantal routes bij OBACO of OCABO. Ga npr 670. Gb Gc npr 3. G6a G6b G7a G7b 8! 60. (dubbele eruit delen) 3! 3!! 8! !!!! G7c 8! 6 + 8! 3! 19.!! Eén cijfer (hiervoor 6 mogelijkheden) komt drie keer voor OF twee cijfers ( mogelijkheden) komen elk twee keer voor. G8a G8b Kies eerst 6 landen (die de eerste thuiswedstrijd spelen) uit de 1 landen. Dat kan op manieren. 6 Kies uit de overgebleven 6 landen bij elk gekozen land een tegenstander. Dit kan op 6! manieren. Er zijn 6! 6680 lotingen mogelijk. 6 Trekken uit bokaal III: manieren. Trekken uit bokaal I:! manieren. 8 De eerste vier ronden uit bokaal II:! manieren. De vijfde en zesde ronde uit bokaal II:! manieren. 8 Totaal aantal lotingen:!!! G8c In de voorronden worden 6 1 wedstrijden gespeeld. In de poules worden 3 1 wedstrijden gespeeld. De finale is één wedstrijd. Dus totaal bestaat het toernooi uit wedstrijden. G9a 79. G9b 3. Ga Gc Gb Gd G11a 8!!!!! of 8 0. G11b 1! of ! 3!!! 3 G1a G1b 3 3 (x 3 y ) ( ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 3 ) ( 3 ) 0 x 1 x y x y x y x y y x 0x y + 70x y 80x y + 8xy 3 y De term met x y in (x + y ) is ( ) ( ) x y x y 6 De coëfficiënt van x y is dus

11 C. von Schwartzenberg 11/11 G13a G13b G13c Dus TI-8 1A. Permutaties en faculteiten 1a Het aantal permutaties van uit 1 is 1nPr b!! c! 3! + (!) 196. a TI-8 1B. Combinaties 8 1. b c