Paragraaf 4.1 : Vermenigvuldig- en Somregel

Transcriptie

1 Hoofdstuk 4 Handig Tellen (H4 Wis A) Pagina 1 van 11 Paragraaf 4.1 : Vermenigvuldig- en Somregel Jan gaat eten bij de Merode. Hij kan kiezen uit 2 voorgerechten : soep of cocktail 3 hoofdgerechten : vis of bief of kip 2 nagerechten : ijs of gebak. Hoeveel verschillende menu s kan Jan eten? Definities Er zijn een aantal manieren om telproblemen weer te geven. 1. Boomdiagram : 2. Wegendiagram : 3. Systematisch tellen : SVG / SVY / SBG / SBY / etc.. 4. Rooster : Werkt goed bij twee keuzes In dit geval kun je bijv. gebruik maken van een boomdiagram of van slim systematisch tellen : Voor én Hoofd én Na = 2 x 3 x 2 = 12 mogelijkheden Opmerking In de kansrekening is : OF = + EN = x

2 Hoofdstuk 4 Handig Tellen (H4 Wis A) Pagina 2 van 11 Voorbeeld 2 Wim gooit met drie dobbelstenen. Bereken het aantal mogelijkheden als hij a. 3 gooit. b. 4 gooit. c. Minstens 17 gooit. Jan gooit met 2 dobbelstenen d. Bereken op hoeveel manieren hij precies 8 ogen kan gooien Oplossing 2 a mogelijkheid b of 121 of mogelijkheden c. Minstens of mogelijkheid of 656 of mogelijkheden Dus Minstens 17 ogen = = 4 mogelijkheden d. 26 / 35 / 44 / 53 / 62 5 mogelijkheden (Laat ook rooster zien)

3 Hoofdstuk 4 Handig Tellen (H4 Wis A) Pagina 3 van 11 Paragraaf 4.2 Met en zonder herhaling Er zijn 4 F-spelertjes, 6 E-spelertjes en 8 D-spelertjes. Jan gaat met 3 ervan naar Fortuna kijken. Bereken het aantal mogelijkheden als Jan a. Van de 3 verschillende teams er één meeneemt b. Alleen F-jes meeneemt Jan geeft iedere maandag de beste speler van deze groep van 18 op de training een compliment. Bereken het aantal mogelijkheden voor 3 trainingen als Jan c. Alleen F-jes complimenten geeft d. Precies twee D-tjes complimenten geeft a. Mogelijkheden DEF = 8 x 6 x 4 = 192 b. Mogelijkheden FFF = 4 x 3 x 2 = 24 c. Mogelijkheden FFF = 4 x 4 x 4 = 64 d. Mogelijkheden : DDD of DDD of DDD = 8 x 8 x x 10 x x 8 x 8 = 1920 Voorbeeld 2 Miepie weet haar pincode niet meer. a. Hoeveel verschillende pincodes zijn er mogelijk? Miepie weet wel nog dat het vier verschillende cijfers waren. b. Hoeveel verschillende pincodes zijn er nu nog mogelijk? Miepie weet ook nog dat de eerste twee cijfers 47 waren. c. Hoeveel verschillende pincodes zijn er nu nog mogelijk?

4 Hoofdstuk 4 Handig Tellen (H4 Wis A) Pagina 4 van 11 In Nederland wonen 17 miljoen mensen. Veronderstel dat iedere Nederlander één pincode heeft. d. Hoeveel mensen hebben dezelfde pincode. Hans heeft een pincode die groter of gelijk is aan e. Hoeveel verschillende pincodes zijn er mogelijk voor Hans? Oplossing 2 a. Aantal = 10 x 10 x 10 x 10 = b. Aantal = 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 c. Aantal 47?? = 1 x 1 x 8 x 7 = 56 d. Aantal dezelfde = / = 1700 e. Er zijn 2 mogelijkheden 1. Eerste getal 5 of hoger Aantal = 5 x 10 x 10 x 10 = Eerste 4, Tweede 8 of hoger Aantal = 1 x 2 x 10 x 10 = 200 Totaal mogelijkheden = = 5200

5 Hoofdstuk 4 Handig Tellen (H4 Wis A) Pagina 5 van 11 Paragraaf 4.3 Permutaties en Combinaties Les 1 : Faculteit en Permutaties (=vermenigvuldigen) In voetbalploeg VVS zitten 13 kinderen. Een fotograaf zet alle kinderen in één rij. Hoeveel verschillende rijen zijn er mogelijk? Aantal rijtjes = 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = Dit kan sneller met 13! (= 13 faculteit ). Op GR is dat Math Prb Dus 3! = (Spreek uit : 3 faculteit) Voorbeeld 2 In klas H4a zitten 7 leerlingen die een feest willen organiseren voor de klas. Het bestuur van deze feestcommissie bestaat uit een drankinkoper, een zaalregelaar en een muziekregelaar. a. Hoeveel verschillende besturen zijn er mogelijk? b. De zeven leerlingen gaan allen op een stoel zitten om een foto te maken. Hoeveel verschillende foto s kunnen er gemaakt worden? Oplossing 2 a. Mogelijkheden (DZM) = 7 x 6 x 5 = 210 (dit noemen ze het aantal permutaties maar dat gebruiken wij NOOIT) b. Aantal Foto s = 7 x 6 x 5.. x 1 = 7! = 5040

6 Hoofdstuk 4 Handig Tellen (H4 Wis A) Pagina 6 van 11 Les 2 Combinaties en Permutaties Definities Combinaties = { Als het GEEN verschil maakt of je als 1 e of als 2 e wordt gekozen } Permutaties = { Als het WEL verschil maakt of je als 1 e of als 2 e wordt gekozen } Wij zullen i.p.v. permutaties zeggen dat we gewoon vermenigvuldigen Berekenen combinaties (op GR) Aantal Combinaties = ( n k ) = n! k!(n k)! (uitspraak n boven k) n = { aantal experimenten } k = { aantal keer dezelfde letter } Op GR : ( n ) = n ncr k (Math Prb) k Vaak gebruik je combinaties bij tweekeuzeproblemen. Algemene aanpak : 1. Je kiest uit 8 leerlingen een voorzitter, secretaris en penningmeester. Volgorde WEL van belang dus vermenigvuldigen (ABC en BAC is NIET hetzelfde bestuur) Mog (ABC) = 8 x 7 x 6 = Je kiest uit 8 leerlingen een groep van 3 die een feest gaan organiseren. Volgorde NIET van belang dus combinaties (ABC en BAC is dezelfde feestgroep) Mog (ABC) = 8! = (8 ) = 8 ncr 3 = 56 5!3! 3

7 Hoofdstuk 4 Handig Tellen (H4 Wis A) Pagina 7 van 11 Anne, Ben, Cas en Dex gaan winkelen. Twee van hen gaan winkelen bij de HEMA. a. Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er? Daarna spelen ze een spelletje. Degene die eerste wordt krijgt 2 euro en degene die 2 e wordt krijgt één euro. b. Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er? a. Het maakt NIET uit of eerst A gaat en dan B of eerst B en dan A combinaties. Er geldt : n = 4 en k = 2 Mog (HHNN) =( 4 2 ) = 6 b. Het maakt WEL uit of eerst A wint en dan B of andersom vermenigvuldigen. Mog (AB) = 4 x 3 =12 mogelijkheden Voorbeeld 2 Zeven leerlingen van Groenewald doen mee aan een hardloopwedstrijd. De eerste 3 krijgen een geldprijs van respectievelijk 50, 20 en 10 euro. Bereken het aantal mogelijke spelverlopen. Oplossing 2 Mog (ABC) = 7 x 6 x 5 = 210 Voorbeeld 3 Ans en Ben spelen een spel. Hoeveel mogelijkheden zijn er als a. Ans 5 van de 8 spellen wint b. Ben 4 van de 7 spellen wint

8 Hoofdstuk 4 Handig Tellen (H4 Wis A) Pagina 8 van 11 Oplossing 3 Het maakt NIET uit of je de eerste 5 spelletjes wint, of spel 1,3,5,6 en 7. De volgorde is van NIET belang combinaties a. Mog (AAAAABBB) = 8! 5!3! = 56 b. Mog (AAABBBB) = 7! 4!3! = 35 Voorbeeld 4 De hoofdtrainer van Fortuna heeft 5 hulptrainers. Hij kiest uit deze groep een trainer voor de A-jeugd, een voor de B-jeugd en een voor de C-jeugd. a. Bereken het aantal verschillende mogelijkheden voor de samenstelling van de jeugdtrainers van Fortuna. De trainer van Roda speelt heeft 5 hulptrainers. Hij kiest uit deze groep drie trainers voor de A-jeugd. b. Bereken het aantal mogelijkheden voor de samenstelling van de jeugdtrainers van Roda. Oplossing 4 a. Het maakt WEL verschil of je als eerste of als tweede wordt gekozen, dus vermenigvuldigen. Mog(ABC) = 5 x 4 x 3 = 60 b. Het maakt GEEN verschil of je als eerste of als tweede wordt gekozen, dus COMBINATIES Mog(AAAnn) = 5! 3!2! = 30 Mog(AAAnn) = ( 5 3 ) = 30

9 Hoofdstuk 4 Handig Tellen (H4 Wis A) Pagina 9 van 11 Paragraaf 4.3 Combinaties toepassen Les 1 Meerdere Combinaties In klas A4m zitten 8 jongens en 7 meisjes. 5 Leerlingen hebben deze week corvee. Bereken het aantal verschillende corveeploegen als er in de corveeploeg : a. 2 jongens en 3 meisjes zitten b. Precies 4 meisjes zitten c. Minstens 4 jongens zitten Vooraf : Het maakt GEEN verschil of je als eerste of als tweede wordt gekozen, dus het zijn COMBINATIES!!! a. Mog (JJMMM) = Mog (JJJJJJJJ én MMMMMMM) = ( 8 2 ) (7 ) = = = b. Mog (MMMMJ) = Mog (JJJJJJJJ én MMMMMMM) = ( 8 1 ) (7 ) = 8 35 = 4 70 = c. Mog(Minstens 4 jongens) = Mog (JJJJM) of Mog (JJJJJ) = ( 8 4 ) (7 1 ) + (8 5 ) (7 ) = = = 546 0

10 Hoofdstuk 4 Handig Tellen (H4 Wis A) Pagina 10 van 11 Voorbeeld 2 Jan moet langs 7 stoplichten rijden. Er is alleen rood of groen. Hoeveel series (=mogelijkheden) zijn er a. Met 3 keer rood b. In totaal c. Als de laatste 2 rood zijn Oplossing 2 a. Mog(RRRGGGGG) =( 8 3 ) = 56 b. Mog (0R + 1R + + 8R) =( 8 0 ) + (8 1 ) + + (8 ) = 256. Maar makkelijker is 8 Mog (1 e RG én 2 e RG én én 8 e RG) = Mog (????????) = = 2 8 = 256 c. Mog (??????RR) = =2 6 = 64

11 Hoofdstuk 4 Handig Tellen (H4 Wis A) Pagina 11 van 11 Les 2 Roosters A C B Frits loopt van linksonder naar rechtsboven. a. Bereken het aantal mogelijke wegen van A naar B Zijn broer Freek-Joris loopt altijd via punt C van linksonder naar rechtsboven b. Bereken het aantal mogelijke wegen voor hem. Stefan kijkt naar MVV-Roda met eindstand 3-3. c. Bereken het aantal mogelijke scoreverlopen. a. AB : Mog(RRRRRBBB) = 8! 3!5! = (8 3 ) = 56 b. AC : Mog(RRB) = 3! 2!1! = (3 2 ) = 3 CB : Mog(RRRBB) = 5! 3!2! = (5 3 ) = 10 Mog(A via C naar B) = AC én CB = 3 10 = 30 c. Mog(MMMRRR) = 6! 3!3! = (6 3 ) = 20