Wiskunde D Online uitwerking oefenopgaven 4 VWO blok 3 les 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Wiskunde D Online uitwerking oefenopgaven 4 VWO blok 3 les 1"

Transcriptie

1 Paragraaf De kansdefinitie Opgave a) Als de kikker verspringt, gaat hij van zwart naar wit, of andersom Hij zit dus afwisselend op een zwart en een wit veld Op een willekeurig moment is de kans even groot dat hij op een zwart of een wit veld zit Die kansen zijn ieder ½ b) Op de middelste tegel kan de kikker van velden af komen Daar zal hij met de meeste kans zitten In de hoeken kan hij maar vanaf twee velden komen Daar zit hij met de minste kans Opgave 2 a) Er zijn niet drie, maar vier mogelijke uitkomsten: ) muntstuk is kop en muntstuk 2 is kop 2) muntstuk is kop en muntstuk 2 is munt ) muntstuk is munt en muntstuk 2 is kop ) muntstuk is munt en muntstuk 2 is munt b) Bij 2 van de mogelijke uitkomsten is er een dubbele De kans daarop is 2/ = ½ Opgave De kans dat Anneke voor Egon staat is even groot als de kans dat Egon voor Anneke staat De kansen zijn even groot, samen, dus ieder ½ Opgave a) De kans dat A het grootste nummer heeft is even groot als de kans dat B het grootste nummer heeft en is ook gelijk aan de kans dat C of D het grootste nummer hebben Immers de loten zijn willekeurig verdeeld Samen zijn de kansen, dus ieder apart is ¼ b) De kans op ieder van de nummers is /00, want iedere uitkomst is even waarschijnlijk Er zijn 9 nummers groter dan 50 en kleiner dan 70 De kans op één van die nummers is 9/00 Opgave 5 - Gooien met een munstuk, met als uitkomst kop of munt - Gooien met een dobbelsteen, met als uitkomsten, 2,,, 5 of 6 - Draaien aan een rad van fortuin of roulette - Kiezen van een balletje uit een vaas - Trekken van een kaart uit een boek speelkaarten - Lootjes trekken voor Sinterklaas - Opgave 6 a) De brieven a, b, c kunnen we op 6 manieren op een rijtje leggen: abc, acb, bac, bca, cab, cba Als we ze op deze volgorde in de enveloppen A, B en C stoppen, dan kan dat dus op 6 manieren b) Als we de 6 rijtjes in onderdeel a bekijken, dan zien we dat alle drie de brieven goed kunnen zitten, of niks zit goed, of er zit er goed en de andere twee zijn verwisseld X kan dus 0, of zijn c) Ieder van de mogelijke rijtjes in onderdeel a is even waarschijnlijk De kans op 0 goed is 2/6 is gelijk aan / De kans op goed is /6 is gelijk aan ½ De kans op alle drie goed is /6

2 Opgave 7 a) Er zijn 8 mogelijke drietallen (dat is gegeven) We gaan tellen hoeveel drietallen er mogelijk zijn, als alle drie van één partij komen Er is mogelijkheid dat ze van de PvdA zijn Er zijn mogelijkheden dat ze van de VVD zijn, want er kunnen precies vier verschillende VVD-ers afvallen Het is niet mogelijk dat ze van het CDA zijn, want daarvan zijn maar 2 kandidaten In totaal zijn er dus 5 mogelijke drietallen De kans daarop is 5/8 b) Het aantal mogelijkheden om een PvdA-er te kiezen is Bij ieder van die mogelijkheden zijn er mogelijkheden om een VVD-er te kiezen Dat geeft dus mogelijkheden En bij al die mogelijkheden zijn er weer 2 mogelijkheden om een CDA-er te kiezen Totaal dus 2 = 2 even waarschijnlijke mogelijkheden De kans is dus 2 / 8 = 2 / 7 Opgave 8 a) Je moet de 6 cijfers op een rijtje zetten Op de eerste positie kun je één van de 6 cijfers zetten Dat zijn dus 6 mogelijkheden Heb je het eerste cijfer gekozen, dan heb je voor de tweede positie nog vijf cijfers over Voor de eerste twee posities zijn er dus 6 5 mogelijkheden Voor de derde positie zijn er dan nog mogelijkheden, enzovoorts In totaal geeft dat = 720 mogelijkheden b) Alle nummers die je gokt zijn even waarschijnlijk Er is één nummer van de 720 correct, dus de kans daarop is / 720 c) Als het eerst cijfer een is, dan zijn er daarna nog 5 2 = 0 mogelijkheden voor de overige cijfers De kans om de goede te kiezen is /0 Opgave 9 a) Een finale wordt gespeeld tussen twee spelers Om de eerste speler te kiezen hebben we 6 mogelijkheden Voor de tweede speler zijn er dan nog 6 mogelijkheden In totaal lijken dat 6 6 mogelijkheden, maar we hebben ieder tweetal finalisten twee keer gekozen, immers of we eerst de ene en dan de andere of andersom hebben gekozen, dat geeft hetzelfde tweetal We moeten dus nog delen door 2, wat het aantal mogelijkheden brengt op: 6 6 / 2 = 206 b) We hebben 6 mogelijkheden om een Nederlander te kiezen Bij ieder van die mogelijkheden hebben we 8 mogelijkheden om een Duitser te kiezen In totaal zijn dat 6 8 = 8 mogelijkheden c) Er zijn 206 mogelijke finales, zie onderdeel a In 8 daarvan staan een Nederlander en een Duitser, zie onderdeel b De kans op een finale met een Nederlander en een Duitser is dus 8/206 = /2 Opgave 0 a) In eerste instantie denk je misschien /, want als je een rode kaart ziet, dan kan de andere kant blauw, wit of rood zijn Het zal blijken in de volgende onderdelen dat dit niet correct is b) Nee, de uitkomsten zijn niet even waarschijnlijk De dubbel rode kaart kan immers zowel met de ene als de andere kant boven liggen In beide gevallen is dan zowel onder als boven rood c) Er zijn twee mogelijkheden met rood boven, rood onder Samen met rood boven, wit onder en rood boven, blauw onder zijn er dus mogelijkheden, waarvan in twee gevallen de onderkant rood is De kans is dus 2/ = /2 Opgave Het aantal VVD-ers dat meegaat is 0,, 2 of De stochast kan dus de waarden 0,, 2 of aannemen

3 Opgave a) Er kunnen 0, of 2 Nederlanders in de finale staan Dus X = 0, of 2 Als er 0 Nederlanders in de finale staan, dan moeten we de 2 finalisten kiezen uit 6 6 = 58 deelnemers Dat kan op / 2 = 65 manieren De kans op X = 0 is dus 65/206 = 0,82 De mogelijkheden voor Nederlander in de finale is 6 58 = 8 De kans op X = is 8/206 = 0,7 Twee Nederlanders in de finale kan op 6 5 / 2 = 5 manieren De kans op X = 2 is 5/206 = 0,0 k 0 2 P(X = k) 0,82 0,7 0,0 b) P(X = 0) + P(X = ) + P(X = 2) = 0,82 + 0,72 + 0,0 = Opgave a) Het aantal ogen op een dobbelsteen is, 2,,, 5, of 6 De waarden die X aan kan nemen zijn ook, 2,,, 5 of 6 De kans op iedere uitkomst is even groot, dus gelijk aan /6 k P(X = k) /6 /6 /6 /6 /6 /6 b) We maken rijtjes van lengte om de mogelijkheden weer te geven Als het eerste kind een meisje is, dan schrijven we op de eerste positie een m, anders een j Soortgelijk doen we voor de tweede en de derde positie Dat geeft 8 rijtjes: mmm, mmj, mjm, mjj, jmm, jmj, jjm, jjj Ieder van de rijtjes is even waarschijnlijk en heeft kans /8 Er is één rijtje met 0 keer m, dus P(M = 0) = /8 In drie rijtjes staat keer m, dus P(M = ) = /8 In drie rijtjes staat 2 keer m, dus P(M = 2) = /8 Er is één rijtje met keer m, dus P(M = ) = /8 k 0 2 P(M = k) /8 /8 /8 /8 c) Je mag 0 of pion op het bord plaatsen, dus X = 0 of In vijf van de 6 gevallen plaats je géén pion, dus P(X = 0) = 5/6 De kans om een 6 te gooien is /6, dus P(X = ) = /6 k 0 P(X = k) 5/6 /6 Overzichtsvraag a) Er zijn 6 even waarschijnlijke volgordes waarin Anne, Bea en Cleo in de rij kunnen staan We geven die aan met ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA In één van die gevallen (CAB) staat Anne achter Cleo en voor Bea De kans is dus /6 b) In totaal zijn er 5 2 = 0 mogelijkheden waarop vijf mensen in een rij gezet kunnen worden Als we Anne en Cleo samen nemen (ze als één persoon zien), dan kunnen ze op 2 = 2 manieren samen me de anderen in een rij gezet worden Nu kan Anne nog

4 voor Cleo staan, of Cleo voor Anne, dus op 8 manieren staat er niemand tussen hen in De kans daarop is 8 / 0 = 2/5 c) De kans dat Anne op ieder van de posities staat is even groot, dus de kans dat ze op een van de eerste twee posities staat is 2/5 Overzichtsvraag 2 a) Anne zou geredeneerd kunnen hebben: ik krijg een kwart van de kaarten, er zijn azen, de kans op ieder van die azen is ook een kwart b) Er zijn inderdaad vijf mogelijkheden voor het aantal azen, maar de kansen daarop zijn niet even groot c) De vier azen moeten verdeeld worden over personen, die we even met, 2, en aan kunnen geven De verdeling kunnen we weergeven met rijtjes met de cijfers, 2, en, waarbij op de eerste plaats het cijfer van de persoon staat die schoppenaas krijgt, op de tweede plaats het cijfer van de persoon die hartenaas krijgt, enzovoorts Het rijtje 22 staat dus voor het geval dat persoon schoppenaas krijgt, persoon hartenaas, en persoon 2 de andere twee azen Er zijn = 256 verschillende rijtjes mogelijk, die alle even waarschijnlijk zijn Er is één rijtje,, waarbij persoon alle vier de azen krijgt Dus P(A = ) = /256 Er zijn = 8 verschillende rijtjes zonder een, immers op ieder van de posities staat een 2, of De kans op A = 0 is dus 8/256 en P(A = 0) = 8/256 Het aantal rijtjes met precies één is wat lastiger De kan op één van de vier posities staan, dat zijn dus vier mogelijkheden Op de andere posities moeten dan steeds 2,, of staan Bij een gekozen kan dat op = 27 mogelijkheden Samen zijn dat 27 = 08 mogelijkheden Nu volgt P(A = ) = 08/256 Paragraaf 2 Combinatoriek en kans Opgave Ieder van de zeven renners kan eerste worden, dan zijn dus 7 mogelijkheden Bij ieder van die mogelijkheden zijn er nog zes renners voor de tweede plaats Samen dus 7 6 mogelijkheden Bij ieder van die 2 mogelijkheden zijn er nog 5 renners voor de derde plaats Dat zijn in totaal = 20 mogelijke verschillende bezettingen van het podium Opgave 2 In opgave hebben we gezien dat der 20 mogelijkheden zijn voor het podium uitgaande van 7 kandidaten Maar als het er niet toe doet of iemand op de eerste, tweede, of derde plaats eindigt, dan tellen we dus mogelijkheden dubbel als het er alleen maar om gaat wie op het podium staan Als er drie personen op het podium staan, dan kan dat op 2 = 6 verschillende manieren Van de 20 mogelijkheden zijn er dus steeds groepjes van 6 die we als gelijk moeten beschouwen Er zijn dus 20/6 = 5 verschillende drietallen die naar de halve finale kunnen Opgave a) 7P / 6 = 7C Je kunt dingen op 6 verschillende volgordes leggen Als de volgorde er niet toe doet, moet je dus door 6 delen b) npr / r! = ncr c) ncr = npr r! = n! n! /r! = (n r)! r! (n r)!

5 Opgave a) Het aantal kortste routes naar een punt in het rooster vind je door het getal links en het getal onder het punt bij elkaar op te tellen Je vindt dan in het rooster: S Het aantal kortste routes is dus 5 Dat kun je ook berekenen met: 7 = 7!! (7 )! = 7!!! = = = 5 b) Het rooster moet wat groter worden gemaakt 8 : 8 stappen met 0 naar rechts 0 6 : 6 stappen met naar rechts 8 : 8 stappen met 7 naar rechts 7 c) De drie combinatiegetallen kun je vinden door het rooster verder uit te rekenen, of door de formule voor de combinatiegetallen toe te passen: 6 = 6!! (6 )! = 6!! 2! = = = 8! 0! (8 0)! = 8! 8! = 8 7 = 8! 7! (8 7)! = 8! 7!! = = 8

6 Opgave 5 a) Het gaat hier om routes met 7 of 8 stappen, waarvan of 5 naar rechts Daar kan het volgende rooster bij worden getekend b) Het aantal routes naar 8 5 is de som van het aantal routes naar 7 en 7, dus: = = = 56 5 Opgave 6 a) Je kunt vier dames uit zes kiezen op 6 = 5 manieren Ook vier heren kun je op 5 manieren uit 6 kiezen Iedere keuze voor vier dames kun je combineren met een keuze voor vier heren, dus in totaal 5 5 = 225 manieren b) Nu moeten er voor het verdedigingsvak twee van vier dames gekozen worden Dat kan op = 6 manieren Je kunt ook op 6 manieren twee van de vier heren kiezen Dat geeft dus = 225 mogelijkheden c) Combineer de resultaten van a) en b) Kies eerst de vier dames en vier heren en verdeel ze over de vakken Dat kan dan dus op = 800 manieren Opgave 7 a) Ga uit van de definitie van het combinatiegetal nn en werk dat uit: 2 nn 2 = nn! nn (nn ) (nn 2)! nn (nn ) = = = nn (nn ) 2! (nn 2)! 2 (nn 2)! 2 2 b) nn = nn!! (nn )! = nn (nn )! (nn )! = nn = nn c) nn 0 = nn! 0! (nn 0)! = nn! nn! = Opgave 8 a) Begin met een en tel steeds twee getallen, die er schuin boven staan, bij elkaar op Dat geeft:

7 b) Voor 9 6 en 9 moeten we in de tiende rij kijken Die hebben we in het vorige onderdeel opgeschreven In die rij moeten we naar het vierde en zevende getal kijken (we begonnen bij 0 te tellen) Die getallen zijn beide 8, dus 9 6 = 9 c) Het aantal kortste routes in een rooster van lengte 9 met 6 steppen naar rechts, is even groot als het aantal routes van lengte 9 met 6 stappen naar boven In dat laatste geval blijven er nog stappen naar rechts over d) Het aantal rijtjes van lengte 9 met 6 nullen (en dus enen), is even groot als het aantal rijtjes van lengte 9 met nullen (en dus 6 enen) Je kunt de ene verzameling uit de andere krijgen door de enen ter vervangen door nullen, en andersom e) Er zijn evenveel grepen van 6 uit 9, als uit 9 Immers, als je 6 elementen kiest, dan blijven er over Je had dus ook de elementen kunnen kiezen die je niet in de greep neemt Opgave 9 a) Om zeker te zijn van de hoofdprijs, moet je alle mogelijke keuzes maken Dat kan op 5 = manieren 6 Per formulier maak je 0 keuzes Je moet dus 8506 formulieren invullen b) Op één van de formulieren stat het goede zestal getallen De kans daarop is / 8506 Opgave 0 a) Uit 0 ballen er 8 kiezen kan op 0 8 manieren b) Uit 20 witte ballen pak je er 5 en uit 0 zwarte ballen pak je er Dat kan op manieren c) Als je 8 ballen pakt dan is de kans op 5 witte en zwarte gelijk aan: = ,787 Opgave a) Het aantal mogelijke -tallen is: 0 = 0! = 0! 7! Het aantal mogelijkheden om platenboek uit te kiezen en 2 romans uit 6 is: 6 2 =! 6! = 60!! 2!! De kans op platenboek en 2 romans is dus: 60 = 0 2 b) Het aantal mogelijkheden om platenboeken uit te kiezen is: =! =!! De kans hierop is = 0 0 Het aantal mogelijkheden om 2 platenboeken uit te kiezen en roman uit 6 is: 2 6 =! 6! = 6!!! 5! De kans hierop is 6 = 0 0 Het aantal mogelijkheden om romans uit 6 te kiezen is: 6 = 6! = 20!! De kans hierop is 20 = 0 6

8 c) Je kunt 0,, 2 of platen boeken kiezen Meer mogelijkheden zijn er niet De som van de kansen moet dus gelijk zijn aan Controle: = = 0 = Opgave a) Het aantal mogelijke grepen is: 52 = 52! = = 2200! 9! 2 b) Er zijn schoppenkaarten Het aantal mogelijke grepen met schoppen is: =! = = 286! 0! 2 c) Die kans is 286 = 0, d) Het boomdiagram teken je door de kansen te bepalen als je één voor één een kaart pakt en daarbij nagaat hoeveel (schoppen)kaarten er steeds zijn 50 schoppen 5 schoppen 52 geen schoppen schoppen geen schoppen geen schoppen 9 52 Dit punt staat voor de keuze van schoppen kaarten De kans op schoppenkaarten is: = 0,09 e) De kans op harten is even groot als de kans op schoppen En ook de kansen op klaveren of ruiten zijn zo groot De kans op kaarten van een gelijke kleru is dus even groot als vier keer de kans op kaarten van één kleur: 0,09 = 0,0576 Opgave a) Er kunnen 0,, 2 of schoppen worden getrokken, dus Y kan de waarden 0,, 2 of aannemen b) Het aantal mogelijkheden om kaarten uit een volledig spel te trekken is 52 = 2200 Het aantal mogelijkheden om schoppen uit en 2 andere kaarten uit 9 te trekken is: 9 2 =! 9! = 9 8 = 96!! 2! 7! 2 De kans P(Y = ) is dus: 96 = 0, c) Op soortgelijke wijze als in onderdeel b) berekenen we P(Y = 0), P(Y = 2) en P(Y = ): P(Y = 0) = = 2200 = 0, P(Y = 2) = = 2200 = 0,8

9 P(Y = ) = = 2200 = 0,0 Samengevoegd in een tabel geeft dat: K 0 2 P(Y = k) = 0, = 0, = 0, = 0,0 Opgave a) Er zijn 22 mogelijkheden om 6 leerlingen uit 22 te kiezen Het aantal mogelijkheden om uit 6 0 jongens en uit meisjes te kiezen is: 0 De kans is dus: 0 22 = = 0, b) Er zijn 25 mogelijkheden om 8 supporters uit 25 te kiezen Het aantal mogelijkheden om 8 uit 0 Ajax-fans en 5 uit 5 Feyenoord-fans te kiezen is: De kans is dus: = 0 00 = 0, Opgave 5 a) Het aantal mogelijkheden om leerlingen uit 25 te kiezen is 25 Van de 25 hebben er 20 wel en 5 niet hun huiswerk gemaakt Het aantal mogelijkheden om leerlingen uit 5 te kiezen die hun huiswerk wel gemaakt hebben is 5 Nu volgt: P(X = ) = 5 25 = 5 = 0, Het aantal mogelijkheden om leerlingen uit 5 te kiezen die hun huiswerk niet gemaakt hebben en uit 20 die het wel hebben gemaakt is 5 20 Nu volgt: P(X = ) = = 0 20 = 0, b) Dat is mogelijk, maar de kans daarop is wel erg klein (,6 %) Opgave 6 a) Het aantal mogelijkheden om flessen uit te kiezen is Het aantal mogelijkheden om twee cola uit 6 te kiezen en één spa uit 2 te kiezen is De kans is nu: = 5 2 =

10 b) Het aantal mogelijkheden om twee cola uit 6 te kiezen en één uit de andere 6 te kiezen is De kans is nu: = 5 6 = c) De kans op flessen van dezelfde soort is de kans op cola plus de kans op seven-up De kans op cola is 6 / De kans op seven-up is / Samen is dit: 6 + = 20+ = 2 = Met boomdiagrammen wordt het: d) 6 cola geen cola 5 cola Geen cola 0 cola geen cola Dit punt staat voor de keuze van cola: = seven-up seven-up geen seven-up seven-up Geen seven-up geen seven-up 8 Dit punt staat voor de keuze van cola: 2 0 = 220 Samen geeft dit: = = 6 55 Opgave 7 a) X is minimaal, want er moet minimaal keer een bal worden gepakt om de witte te kunnen hebben X is maximaal 6, want je kunt hooguit zwarte ballen pakken; met nog witte kom je op 6 Dus X =,, 5 of 6 b) De laatste moet een witte zijn en tussendoor kan zwarte worden getrokken De rijtjes zijn dus: zwww, wzww, wwzw c) Bij de eerste drie ballen zijn twee witte, want de vierde bal moet ook een witte zijn d) We berekenen eerste de kans op zwww De kans op eerst een zwarte bal is Dan zijn er nog 7 6 ballen, waarvan wit De kans dat de tweede bal een witte is, is gelijk aan: Zo doorgaand 6 vinden we en 2 voor de kansen dat de derde en de vierde bal wit zijn De kans op zwww is 5

11 dus 2 = Op dezelfde manier berekenen we de kans op wzww: 2 = En ook de kans op wwzw is 2 = Samen geven deze kansen + + = 9 9, dus P(X = ) = e) Aan het eind staat een w, en daarvoor staan 2 w s en 2 z s f) Er zijn 6 rijtjes eindigend op een w: zzwww, zwzww, zwwzw, wzzww, wzwzw, wwzzw Net als in onderdeel d) vinden we: = Dus P(X = 5) = g) Er is maar rijtje van lengte met w s: www De kans daarop is 2 =, dus P(X = ) = 5 In de rijtjes van lengte 6 moeten we op de eerste 5 posities keer een z zetten Dat kan op 5 manieren De kans op rijtjes met keer een z is: = 0 = 0, dus P(X = 6) = 0 5 In een tabel wordt de kansverdeling: k 5 6 P(X = k) Opgave 8 a) We zetten de kleintje op een rijtje en noteren m of v als het om een mannetje of vrouwtje gaat We krijgen dan de volgende 8 rijtjes die allemaal even waarschijnlijk zijn: mmm, mmv, mvm, mvv, vmm, vmv, vvm, vvv De kans op vvv is dus /8 b) Er zijn drie rijtjes met twee keer een m en één keer een v, dus de kans daarop is /8 c) De kans op vrouwtjes is /8, de kans op 2 vrouwtjes is /8 Samen is dat ½ d) De kans op meer vrouwtjes dan mannetjes, is even groot als de kans op meer mannetjes als vrouwtjes En omdat er niet meer mogelijkheden zijn, zijn beide kansen gelijk aan ½ Overzichtsvraag a) We moeten atleten voor het podium kiezen uit n Dat kan op nn manieren De drie atleten kunnen op 2 manieren op de plaatsen, 2 en staan Dus het totaal aantal mogelijke verdelingen over het podium is 6 nn Een andere berekening gaat als volgt: voor de eerste plaats kies je één van de n atleten Dat kan op n manieren Je houdt bij ieder van die keuzes nog n atleten over voor de tweede plaats Je kunt dus op (n ) manieren een atleet kiezen voor de tweede plaats, als je al een atleet hebt gekozen voor de eerste plaats Samen geeft dat n (n ) mogelijkheden voor de eerste twee plaatsen Bij ieder van die mogelijkheden kun je nog één van de overgebleven n 2 atleten kiezen voor de derde plaats, wat het totaal brengt op n (n ) (n 2) b) Nu moet er alleen een drietal gekozen worden uit n Dat kan op nn manieren De volgorde binnen het drietal is niet relevant

Binomiale verdelingen

Binomiale verdelingen Binomiale verdelingen Les 1: Kans en combinatoriek (Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Hoofdstuk 2 Binomiale en normale verdelingen van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 3: Het vaasmodel (deze les sluit aan bij de paragrafen 5, 6 en 7 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 3: Het vaasmodel (deze les sluit aan bij de paragrafen 5, 6 en 7 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Binomiale verdelingen

Binomiale verdelingen Binomiale verdelingen Inhoudsopgave Binomiale verdelingen 1 De kansdefinitie 1 2 Combinatoriek en kans 7 3 Het binomium van Newton 14 4 Verwachting 17 5 Binomiale verdeling 25 6 Cumulatieve binomiale kansen

Nadere informatie

Havo 4, Handig tellen en Kansrekenen.

Havo 4, Handig tellen en Kansrekenen. Havo, Handig tellen en Kansrekenen. Getal en ruimte boek, hoofdstuk. Handig tellen. Paragraaf, de vermenigvuldig regel: Als je EN hoort, doe je en de plusregel: Als je OF hoort, doe je + a. Er zijn mogelijkheden,

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 2: Roosters en ongeordende grepen (deze les sluit aan bij de paragrafen 3 en 4 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 2: Roosters en ongeordende grepen (deze les sluit aan bij de paragrafen 3 en 4 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang?

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang? 4. tellen & kansen 4.1 Tellen Herkennen Je kunt een vraag over telproblemen herkennen aan signaalwoorden: - hoeveel mogelijkheden, manieren, routes, volgordes etc. zijn er?, - bereken het aantal mogelijkheden/manieren

Nadere informatie

wiskundeleraar.nl

wiskundeleraar.nl 2015-2016 wiskundeleraar.nl 1. voorkennis Volgorde bij bewerkingen 1. haakjes 2. machtsverheffen. vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 4. optellen en aftrekken van links naar rechts Voorbeeld

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking oefenopgaven 4 VWO blok 1 les 1

Wiskunde D Online uitwerking oefenopgaven 4 VWO blok 1 les 1 Paragraaf 1 Wegendiagrammen en bomen Opgave 1 a) Een mogelijkheid is om 6 stukjes papier te nemen en daar de cijfers 1 tot en met 6 op te zetten. Schudt de papiertjes door elkaar. Pak één voor één de papiertjes

Nadere informatie

In het vervolg gaan we steeds uit van een verzameling A bestaande uit n verschillende objecten. We geven de elementen van A een naam door ze te

In het vervolg gaan we steeds uit van een verzameling A bestaande uit n verschillende objecten. We geven de elementen van A een naam door ze te Tellen 1. Telproblemen Tussen sommige objecten maken we onderscheid (die beschouwen we dus allemaal als verschillend), bijvoorbeeld tussen de 26 letters van het alfabet, tussen een peer, een appel en een

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 1: Wegendiagrammen, bomen en geordende grepen (deze les sluit aan bij de paragrafen 1 en 2 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen

WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen 1 C D O A O B Omdat driehoek ACD gelijkbenig is, is CAD = ACD en daarmee zien we dat 2 CAD+ ADC = 180. Maar we weten ook dat 180 = ADC + ADB. Dus ADB = 2 CAD. Driehoek

Nadere informatie

Paragraaf 7.1 : Het Vaasmodel

Paragraaf 7.1 : Het Vaasmodel Hoofdstuk 7 Kansrekening (V4 Wis A) Pagina 1 van 8 Paragraaf 7.1 : Het Vaasmodel Les 1 : Kansen Herhalen kansen berekenen Hoe bereken je de kans als je een aantal keren achter elkaar een experiment uitvoert?

Nadere informatie

6. Op tafel liggen 10 verschillende boeken. Op hoeveel verschillende manieren kunnen 3 jongens daar ieder 1 boek uit kiezen?

6. Op tafel liggen 10 verschillende boeken. Op hoeveel verschillende manieren kunnen 3 jongens daar ieder 1 boek uit kiezen? 1. Iemand heeft thuis 12 CD s in een rekje waar er precies 12 inpassen. a. Op hoeveel manieren kan hij ze in het rekje leggen. b. Hij wil er 2 weggeven aan zijn vriendin, hoeveel mogelijkheden? c. Hij

Nadere informatie

9.1 Gemiddelde, modus en mediaan [1]

9.1 Gemiddelde, modus en mediaan [1] 9.1 Gemiddelde, modus en mediaan [1] De onderstaande frequentietabel geeft aan hoeveel auto s er in een bepaald uur in een straat geteld zijn. Aantal auto s per uur 15 16 17 18 19 20 21 frequentie 2 7

Nadere informatie

Tellen. K. P. Hart. Delft, Faculty EEMCS TU Delft. K. P. Hart Tellen

Tellen. K. P. Hart. Delft, Faculty EEMCS TU Delft. K. P. Hart Tellen Tellen Tá scéiĺın agam K. P. Hart Faculty EEMCS TU Delft Delft, 16-9-2015 Dingen om te tellen afbeeldingen injecties surjecties bijecties deelverzamelingen van diverse pluimage Wat notatie Afkorting: n

Nadere informatie

Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven

Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven (1) Gegeven het 4 4 grid bestaande uit de 16 punten (i, j) met i, j = 0,..., 3. Bepaal het aantal driehoeken dat je kunt vinden zodanig dat ieder hoekpunt samenvalt

Nadere informatie

3 Kansen vermenigvuldigen

3 Kansen vermenigvuldigen 3 Kansen vermenigvuldigen Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-a Kansrekening Vermenigvuldigen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg www.math4all.nl

Nadere informatie

Paragraaf 2.1 : Telproblemen visualiseren

Paragraaf 2.1 : Telproblemen visualiseren Hoofdstuk 2 Combinatoriek (V4 Wis A) Pagina 1 van 13 Paragraaf 2.1 : Telproblemen visualiseren Les 1 Verschillende diagrammen Jan gaat eten bij de Merode. Hij kan kiezen uit 2 voorgerechten : soep of cocktail

Nadere informatie

bijspijkercursus wiskunde voor psychologiestudenten bijeenkomst 8 [PW] appendix D.1: kansrekening extra stof

bijspijkercursus wiskunde voor psychologiestudenten bijeenkomst 8 [PW] appendix D.1: kansrekening extra stof bijspijkercursus wiskunde voor psychologiestudenten bijeenkomst 8 [PW] appendix D.1: kansrekening extra stof [PW] appendix D.1 kansrekening kansen: 1. Je gooit met een dobbelsteen. Wat is de kans dat je

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 4: Rekenregels (deze les sluit aan bij de paragraaf 8 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur Kansrekening en statistiek WI05IN deel I 4 november 0, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad wordt uitgereikt. Meerkeuzevragen Toelichting:

Nadere informatie

Uitwerkingen Hst. 10 Kansverdelingen

Uitwerkingen Hst. 10 Kansverdelingen Uitwerkingen Hst. 0 Kansverdelingen. Uittellen: 663 ; 636 ; 366 ; 654 (6 keer) ; 555 0 mogelijkheden met som 5.. Som geen 5 = 36 som 5 Som 5: 4, 3, 3, 4 4 mogelijkheden dus 3 mogelijkheden voor som geen

Nadere informatie

7.0 Voorkennis , ,

7.0 Voorkennis , , 7.0 Voorkennis Een gokkast bestaat uit een drietal schijven die ronddraaien. Op schijf 1 staan: 5 bananen, 4 appels, 3 citroenen en 3 kersen; Op schijf 2 staan: 7 bananen, 3 appels, 2 citroenen en 3 kersen;

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening - Oplossingen

Opgaven voor Kansrekening - Oplossingen Wiskunde voor kunstmatige intelligentie Opgaven voor Kansrekening - Opgave. Een oneerlijke dobbelsteen is zo gemaakt dat drie keer zo vaak valt als 4 en twee keer zo vaak als 5. Verder vallen,, en even

Nadere informatie

Bovenstaand schema kan je helpen bij het bepalen van het soort telprobleem en de berekening van het aantal mogelijkheden 2.

Bovenstaand schema kan je helpen bij het bepalen van het soort telprobleem en de berekening van het aantal mogelijkheden 2. Telproblemen voor 4 HAVO wiskunde A In het schoolexamen 2 van 4 HAVO wiskunde A zijn de opgaven over de telproblemen (hoofdstuk 4) erg slecht gemaakt. Dat moet beter kunnen, zou ik denken Ik bespreek hier

Nadere informatie

Uitwerkingen Sum of Us

Uitwerkingen Sum of Us Instant Insanity Uitwerkingen Sum of Us Opgave A: - Opgave B: Voor elk van de vier kubussen kun je een graaf maken die correspondeert met de desbetreffende kubus. Elk van deze grafen bevat drie lijnen.

Nadere informatie

Langs het Spaarne rijden soms wel 8 fietsers naast elkaar. Dat is best asociaal, zeker daar ze ook nog in een extreem langzaam tempo fietsen.

Langs het Spaarne rijden soms wel 8 fietsers naast elkaar. Dat is best asociaal, zeker daar ze ook nog in een extreem langzaam tempo fietsen. VMBO Wiskunde Periode Combinatoriek oktober 2010 Deze toets bestaat uit 15 opgaven. Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Er zijn maximaal 31 punten te behalen. Antwoorden

Nadere informatie

Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal

Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal 1 Faculteit Definitie van de faculteit Wisnet-hbo update aug. 2007 (spreek uit k-faculteit) is: k Dit geldt voor elk geheel getal k groter dan 0 en

Nadere informatie

Combinatoriek. Wisnet-hbo. update aug. 2007

Combinatoriek. Wisnet-hbo. update aug. 2007 Combinatoriek 1 Permutaties Wisnet-hbo update aug. 2007 Op hoeveel manieren kun je de volgorde van de vier verschillende letters van het woord BOEK op een rijtje zetten? De verschillende volgorden (permutaties)

Nadere informatie

5 T-shirts. (niet de tweede)

5 T-shirts. (niet de tweede) G&R Havo A deel Handig tellen C. von Schwartzenberg /0 a b a b c Neem GR - practicum door. (zie aan het eind van deze uitwerkingen) Tellen (van de eindpunten) geeft keuzemogelijkheden. Berekening: =. Voordeel

Nadere informatie

In de Theorie worden de begrippen toevalsvariabele, kansverdeling en verwachtingswaarde toegelicht.

In de Theorie worden de begrippen toevalsvariabele, kansverdeling en verwachtingswaarde toegelicht. Toevalsvariabelen Verkennen www.mathall.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO /5/6 VWO wi-a Kansrekening Toevalsvariabelen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg www.mathall.nl MAThADORE-basic

Nadere informatie

VWO Wiskunde D Combinatoriek en Rekenregels

VWO Wiskunde D Combinatoriek en Rekenregels VWO Wiskunde D Combinatoriek en Rekenregels Combinatoriek en rekenregels Inhoudsopgave Wegendiagrammen en bomen Geordende grepen 7 3 Roosters 4 Ongeordende grepen 6 5 Het vaasmodel 6 Combinatorische vraagstukken

Nadere informatie

DRIEHOEKSGETALLEN GETALLENRIJEN AFLEVERING 3. som

DRIEHOEKSGETALLEN GETALLENRIJEN AFLEVERING 3. som GETALLENRIJEN AFLEVERING In deze jaargang van Pythagoras staan getallenrijen centraal. Deze aflevering gaat over de rij,, 6, 0,, 2,... Dit zijn de zogeheten driehoeksgetallen. Ze vormen een interessante

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 3. Dinsdag 18 September 2012

Statistiek voor A.I. College 3. Dinsdag 18 September 2012 Statistiek voor A.I. College 3 Dinsdag 18 September 2012 1 / 45 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 45 Uitkomstenruimte 3 / 45 Vragen: voorspellen Een charlatan zegt te kunnen voorspellen of een ongeboren

Nadere informatie

Lesbrief Hypergeometrische verdeling

Lesbrief Hypergeometrische verdeling Lesbrief Hypergeometrische verdeling 010 Willem van Ravenstein If I am given a formula, and I am ignorant of its meaning, it cannot teach me anything, but if I already know it what does the formula teach

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September

Statistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September Statistiek voor A.I. College 6 Donderdag 27 September 1 / 1 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 1 Vraag: Afghanistan In het leger wordt uit een groep van 6 vrouwelijke en 14 mannelijke soldaten een

Nadere informatie

Tentamenset A. 2. Welke van de volgende beweringen is waar? c. N R N d. R Z R

Tentamenset A. 2. Welke van de volgende beweringen is waar? c. N R N d. R Z R Tentamenset A. Gegeven de volgende verzamelingen A en B. A is de verzameling van alle gehele getallen tussen de 0 en 0 die deelbaar zijn door, en B is de verzameling gehele positieve getallen deelbaar

Nadere informatie

som 1 2 3 4 5 6 4. Het uiteindelijke wedstrijdverloop bij de damesfinale uit de vorige opgave was als volgt: Novotna won de eerste set.

som 1 2 3 4 5 6 4. Het uiteindelijke wedstrijdverloop bij de damesfinale uit de vorige opgave was als volgt: Novotna won de eerste set. 1. Op een grote scholengemeenschap volgen 500 leerlingen één of meer van de vakken biologie, scheikunde en natuurkunde gedurende het eerste semester. Het afdelingshoofd heeft de de gegevens in een diagram

Nadere informatie

VB: De hoeveelheid neemt nu met 12% af. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? = 1655 oud = 1655 nieuw = 0,88 x 1655 = 1456

VB: De hoeveelheid neemt nu met 12% af. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? = 1655 oud = 1655 nieuw = 0,88 x 1655 = 1456 Formules, grafieken en tabellen Procenten - altijd afronden op 1 decimaal tenzij anders vermeld VB: Een hoeveelheid neemt met 12% toe to 1456. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? Oud =? Nieuw =

Nadere informatie

16.2 TREK AF VAN. Hoofdstuk 16 HAAKJES VWO. 8 a 16.0 INTRO. 1 b De uitkomsten zijn allemaal 3. c (n + 1)(n 1) (n + 2)(n 2) = 3

16.2 TREK AF VAN. Hoofdstuk 16 HAAKJES VWO. 8 a 16.0 INTRO. 1 b De uitkomsten zijn allemaal 3. c (n + 1)(n 1) (n + 2)(n 2) = 3 Hoofdstuk 6 HAAKJES VWO 6.0 INTRO 6. TREK AF VAN 8 a b De uitkomsten zijn allemaal. c (n + )(n ) (n + )(n ) = d - - = -0,75 -,75 = b De uitkomsten zijn allemaal. c n + (n + ) (n + ) = + 6 4 4 = 6 4 = d

Nadere informatie

Paragraaf 4.1 : Vermenigvuldig- en Somregel

Paragraaf 4.1 : Vermenigvuldig- en Somregel Hoofdstuk 4 Handig Tellen (H4 Wis A) Pagina 1 van 11 Paragraaf 4.1 : Vermenigvuldig- en Somregel Jan gaat eten bij de Merode. Hij kan kiezen uit 2 voorgerechten : soep of cocktail 3 hoofdgerechten : vis

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening

Opgaven voor Kansrekening Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Een oneerlijke dobbelsteen is zo gemaakt dat 3 drie keer zo vaak valt als 4 en 2 twee keer zo vaak als 5. Verder vallen 1,

Nadere informatie

Gokautomaten (voor iedereen)

Gokautomaten (voor iedereen) Gokautomaten (voor iedereen) In een fruitautomaat draaien de schijven I, II en III onafhankelijk van elkaar. Door een hendel kan elke schijf tot stilstand worden gebracht. In de tabel zie je wat op elke

Nadere informatie

2 Kansen optellen en aftrekken

2 Kansen optellen en aftrekken 2 Kansen optellen en aftrekken Verkennen www.mathall.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO /5/ VWO wi-a Kansrekening Optellen/aftrekken Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg www.mathall.nl

Nadere informatie

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2 handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor

Nadere informatie

11.1 Kansberekeningen [1]

11.1 Kansberekeningen [1] 11.1 Kansberekeningen [1] Kansdefinitie van Laplace: P(gebeurtenis) = Aantal gunstige uitkomsten/aantal mogelijke uitkomsten Voorbeeld 1: Wat is de kans om minstens 16 te gooien, als je met 3 dobbelstenen

Nadere informatie

Praktische toepassing van functies

Praktische toepassing van functies Excellerend Heemraadweg 21 2741 NC Waddinxveen 06 5115 97 46 richard@excellerend.nl BTW: NL0021459225 ABN/AMRO: NL72ABNA0536825491 KVK: 24389967 Praktische toepassing van functies De laatste twee functies

Nadere informatie

Notatieafspraken Grafische Rekenmachine, wiskunde A

Notatieafspraken Grafische Rekenmachine, wiskunde A Notatieafspraken Grafische Rekenmachine, wiskunde A Bij deze verstrek ik jullie de afspraken voor de correcte notatie bij het gebruik van de grafische rekenmachine. Verder krijg je een woordenlijst met

Nadere informatie

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 VBO en MAVO Klas 3 en 4 Vragen 1 t/m 10: voor elk goed antwoord +3 punten, voor elk fout antwoord -¾ punt. 1. Hiernaast zie je drie aanzichten (voor, boven, links)

Nadere informatie

Herexamen Discrete Wiskunde deel I donderdag 6 juli, 2017

Herexamen Discrete Wiskunde deel I donderdag 6 juli, 2017 Herexamen Discrete Wiskunde 2016-2017 deel I donderdag 6 juli, 2017 De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd vel uw naam en studentnummer.

Nadere informatie

Zwijsen. jaargroep 4. naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs. rekentrainer. jij. Bezoek alle leuke dingen. Teken de weg.

Zwijsen. jaargroep 4. naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs. rekentrainer. jij. Bezoek alle leuke dingen. Teken de weg. Zwijsen jaargroep naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs! jij rekentrainer Bezoek alle leuke dingen. Teken de weg. Groep blad 1 Hoe komt de hond bij het bot? Teken. Kleur de tegels. Kleur

Nadere informatie

Gifgebruik in de aardappelteelt

Gifgebruik in de aardappelteelt Gifgebruik in de aardappelteelt Opgave 1. jaar gifgebruik 1998 32 kg/ha 2007 24,5 kg/ha Van 2007 naar 2015 is een periode van 8 jaar. Maak eventueel een verhoudingstabel. In 9 jaar neemt het gifgebruik

Nadere informatie

college 4: Kansrekening

college 4: Kansrekening college 4: Kansrekening Deelgebied van de statistiek Doel: Kansen berekenen voor het waarnemen van bepaalde uitkomsten Kansrekening 1. Volgordeproblemen Permutaties Variaties Combinaties 2. Kans 3. Voorwaardelijke

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening

Opgaven voor Kansrekening Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Je hebt 4 verschillende wiskunde boeken, 6 psychologie boeken en 2 letterkundige boeken. Hoeveel manieren zijn er om deze twaalf boeken op een boord te plaatsen als:

Nadere informatie

Hieronder zie je hoe dat gaat. Opgave 3. Tel het aantal routes in de volgende onvolledige roosters van linksboven naar rechtsonder.

Hieronder zie je hoe dat gaat. Opgave 3. Tel het aantal routes in de volgende onvolledige roosters van linksboven naar rechtsonder. Groepsopdracht 1: Volledige en onvolledige roosters Voor een volledig rooster kun je de driehoek van Pascal gebruiken om te weten te komen hoeveel routes er van A naar B zijn. Bij onvolledige roosters

Nadere informatie

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209.

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. 1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2009, probleem 1; Kangoeroewedstrijd

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Permutaties Combinaties Binomiaalcoëfficiënt Variaties. Combinatoriek. W. Oele. 27 januari 2014. W. Oele Combinatoriek

Permutaties Combinaties Binomiaalcoëfficiënt Variaties. Combinatoriek. W. Oele. 27 januari 2014. W. Oele Combinatoriek 27 januari 2014 Deze les Inleiding combinatoriek: de faculteit permutaties combinaties variaties de binomiaalcoëfficiënt De faculteit Eenvoudige recursieve definitie: 0! = 1 n! = n(n 1)! Voorbeelden: 5!

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. Bereken het aantal manieren om de functies te verdelen:

4.0 Voorkennis. Bereken het aantal manieren om de functies te verdelen: 4.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Een bestuur bestaat uit 6 personen. Uit deze 6 personen wordt eerst een voorzitter, dan een secretaris en tot slot een penningmeester gekozen. Bereken het aantal manieren om

Nadere informatie

9.0 Voorkennis. Bij samengestelde kansexperimenten maak je gebruik van de productregel.

9.0 Voorkennis. Bij samengestelde kansexperimenten maak je gebruik van de productregel. 9.0 Voorkennis Bij samengestelde kansexperimenten maak je gebruik van de productregel. Productregel: Voor de gebeurtenis G 1 bij het ene kansexperiment en de gebeurtenis G 2 bij het andere kansexperiment

Nadere informatie

rekentrainer jaargroep 5 Timo loopt steeds verder weg. Teken Timo bij de kruisjes op de weg en maak de tekening af. Zwijsen naam:

rekentrainer jaargroep 5 Timo loopt steeds verder weg. Teken Timo bij de kruisjes op de weg en maak de tekening af. Zwijsen naam: Zwijsen jaargroep naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs rekentrainer Timo loopt steeds verder weg. Teken Timo bij de kruisjes op de weg en maak de tekening af. Vul in. Groep blad 1 0 + 10

Nadere informatie

9 a met: 100 (a+b) ; zonder: 100 a b b 100 (a+b) = 100 a b. 10 a met: 24 (a b) ; zonder: 24 a + b b 24 (a b) = 24 a + b. 11 a 90 a b 90 + a

9 a met: 100 (a+b) ; zonder: 100 a b b 100 (a+b) = 100 a b. 10 a met: 24 (a b) ; zonder: 24 a + b b 24 (a b) = 24 a + b. 11 a 90 a b 90 + a 6.0 INTRO De uitkomsten zijn allemaal. c (n+)(n ) (n +)(n ) = d - - = -0,75 -,75 = De uitkomsten zijn allemaal c n + (n+) (n+) = d + 6 4 4 4 = 6 4 = 6. REKENEN a ( + 5) = 8 = 64 = 8 + 5 = 6 + 5 = ( + 5

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 1 Dinsdag 14 September 1 / 34 Literatuur http://www.phil.uu.nl/ iemhoff Applied Statistics for the Behavioral Sciences - 5th edition, Dennis E. Hinkle, William Wiersma,

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 5. Dinsdag 25 September 2012

Statistiek voor A.I. College 5. Dinsdag 25 September 2012 Statistiek voor A.I. College 5 Dinsdag 25 September 2012 1 / 34 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 34 Percentages 3 / 34 Vragen: blikkie Kinderen worden slanker als ze anderhalf jaar lang limonade

Nadere informatie

4. Het uiteindelijke wedstrijdverloop bij de damesfinale uit de vorige opgave was als volgt: Novotna won de eerste set.

4. Het uiteindelijke wedstrijdverloop bij de damesfinale uit de vorige opgave was als volgt: Novotna won de eerste set. 1. Op een grote scholengemeenschap volgen 500 leerlingen één of meer van de vakken biologie, scheikunde en natuurkunde gedurende het eerste semester. Het afdelingshoofd heeft de de gegevens in een diagram

Nadere informatie

16.2 TREK AF VAN. Hoofdstuk 16 HAAKJES VWO. 8 a 16.0 INTRO. 1 b De uitkomsten zijn allemaal 3. c (n + 1)(n 1) (n + 2)(n 2) = 3

16.2 TREK AF VAN. Hoofdstuk 16 HAAKJES VWO. 8 a 16.0 INTRO. 1 b De uitkomsten zijn allemaal 3. c (n + 1)(n 1) (n + 2)(n 2) = 3 Hoofdstuk 16 HAAKJES VWO 16.0 INTRO 16.2 TREK AF VAN 8 a 1 b De uitkomsten zijn allemaal 3. c (n + 1)(n 1) (n + 2)(n 2) = 3 1111d 1 2-2 2-1 2= -0,75-3,75 = 3 2 b De uitkomsten zijn allemaal 2. c n 2 +

Nadere informatie

EXAMENTOETS TWEEDE PERIODE 5HAVO MLN/SNO

EXAMENTOETS TWEEDE PERIODE 5HAVO MLN/SNO EXAMENTOETS TWEEDE PERIODE 5HAVO wiskunde A MLN/SNO Onderwerp: Statistiek - Blok Datum: donderdag 1 januari 010 Tijd: 8.30-10.45 NB 1: Bij de beantwoording van de vragen ALTIJD JE BEREKENINGEN aangeven.

Nadere informatie

3.1 Het herhalen van kansexperimenten [1]

3.1 Het herhalen van kansexperimenten [1] 3.1 Het herhalen van kansexperimenten [1] Voorbeeld: Op een schijf staan een zestal afbeeldingen in even grote vakjes: 3 keer appel, 2 keer banaan, 1 keer peer. Sandra draait zes keer aan de schijf. a)

Nadere informatie

extra sommen Statistiek en Kans

extra sommen Statistiek en Kans extra sommen Statistiek en Kans 1. Bepaal bij de volgende rijen de modus, de mediaan en het gemiddelde a. 1, 4, 2, 3, 5, 3, 6, 3 b. 12, 11, 13, 11, 12, 11, 12, 13, 11, 14, 75, 15 c. 1, 43, 12, 32, 43,

Nadere informatie

De kinderboerderij (door Janna en Rosa, 10C)

De kinderboerderij (door Janna en Rosa, 10C) 3p Klas 10A Toets combinatoriek: oplossingen 16/1/2011 Gekleurde dobbelstenen Jopie gooit met twee dobbelstenen met daarop 6 kleuren: rood, geel, blauw, groen, oranje en paars. 1. Zet alle mogelijke uitkomsten

Nadere informatie

4 20 maar dan speelt 4v1 thuis tegen 4v2 maar 4v1 speelt ook uit tegen 4v2 want deze wedstrijd tel je bij 4v2. wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1)

4 20 maar dan speelt 4v1 thuis tegen 4v2 maar 4v1 speelt ook uit tegen 4v2 want deze wedstrijd tel je bij 4v2. wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1) Hoofdstuk : Combinatoriek.. Telproblemen visualiseren Opgave : 3 voordeel: een wegendiagram is compacter nadeel: bij een wegendiagram moet je weten dat je moet vermenigvuldigen terwijl je bij een boomdiagram

Nadere informatie

rekentrainer jaargroep 5 Timo loopt steeds verder weg. Teken Timo bij de kruisjes op de weg en maak de tekening af. Zwijsen naam:

rekentrainer jaargroep 5 Timo loopt steeds verder weg. Teken Timo bij de kruisjes op de weg en maak de tekening af. Zwijsen naam: Zwijsen jaargroep naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs rekentrainer Timo loopt steeds verder weg. Teken Timo bij de kruisjes op de weg en maak de tekening af. Groep blad Vul in. 0 0 7 70

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Afspraken en notaties

Hoofdstuk 1. Afspraken en notaties Hoofdstuk 1 Afspraken en notaties In deze tekst onderzoeken we een eenvoudig dobbelspel: twee spelers hebben een dobbelsteen, gooien deze, en wie het hoogst aantal ogen gooit wint. Er blijken setjes dobbelstenen

Nadere informatie

3 Discrete kansverdelingen

3 Discrete kansverdelingen 3 Discrete kansverdelingen 1 Inhoudsopgave 3.0 Verschillende mogelijkheden 3 3.1 Kansverdelingen 4 3. Verwachtingswaarde en standaardafwijking 6 3.3 Zonder terugleggen 3.4 Wel/Niet 4 3.5 De variantie 31

Nadere informatie

9.1 Centrummaten en verdelingen[1]

9.1 Centrummaten en verdelingen[1] 9.1 Centrummaten en verdelingen[1] De onderstaande frequentietabel geeft aan hoeveel auto s er in een bepaald uur in een straat geteld zijn. Aantal auto s per uur 15 16 17 18 19 20 21 frequentie 2 7 9

Nadere informatie

14.1 Kansberekeningen [1]

14.1 Kansberekeningen [1] 14.1 Kansberekeningen [1] Herhaling kansberekeningen: Somregel: Als de gebeurtenissen G 1 en G 2 geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben geldt: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) B.v. P(3 of 4 gooien

Nadere informatie

20 Ideeën met speelkaarten

20 Ideeën met speelkaarten Kinderboekenweek 2016 Voor altijd jong! Opa en oma spelen graag een kaartspelletje. Met hun speelkaarten kun je nog veel meer doen! Zorg voor één of twee stokken kaarten en ga aan de slag. Deze download

Nadere informatie

Het duivenhokprincipe

Het duivenhokprincipe Tijdens de sneeuwstormen van 5 november j.l. hebben duizenden leerlingen zich gebogen over de opdracht in het kader van de wiskunde B-dag. Op het Jac P Thijsse College worden de werkstukken beoordeeld

Nadere informatie

13.1 Kansberekeningen [1]

13.1 Kansberekeningen [1] 13.1 Kansberekeningen [1] Herhaling kansberekeningen: Somregel: Als de gebeurtenissen G 1 en G 2 geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben geldt: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) B.v. P(3 of 4 gooien

Nadere informatie

7 a patroonnummer a patroonnummer a h = z

7 a patroonnummer a patroonnummer a h = z Hoofdstuk 3 FORMULES 3.1 PATRONEN EN FORMULES 3 a 10 22 c? d De beweringen a b = b a en a + b = b + a zijn juist. e 15 a 12 a 18 a f a + 8 10 + a a + 14 b zijde vierkant 3 4 5 6 7 aantal gekleurde hokjes

Nadere informatie

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken. Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Combinatoriek. Introductie 23. Leerkern 24. Samenvatting 45. Zelftoets 46

Inhoud leereenheid 13. Combinatoriek. Introductie 23. Leerkern 24. Samenvatting 45. Zelftoets 46 Inhoud leereenheid 13 Combinatoriek Introductie 23 Leerkern 24 13.1 Tellen, maar wat? 24 13.2 De ene verzameling is de andere niet, of toch wel? 27 13.3 Waar alle tellen mee begint 28 13.4 Herhalingsrangschikkingen

Nadere informatie

HOOFDSTUK 6: Kansrekening. 6.1 De productregel. Opgave 1: a. 3 van de 4 knikkers zijn rood. P(rood uit II. Opgave 2: a. P(twee wit

HOOFDSTUK 6: Kansrekening. 6.1 De productregel. Opgave 1: a. 3 van de 4 knikkers zijn rood. P(rood uit II. Opgave 2: a. P(twee wit HOOFDSTUK : Kansrekening. De productregel Opgave : van de knikkers zijn rood rood uit II ) d. 0, e. 0, Opgave : 0 twee wit 0, ) 0 0 ) 0 0 ) 0 0 blauw en rood 0, wit en groen 0, d. geen blauw 7 0, ) 0 0

Nadere informatie

Het spellenboek. De plaatjes laten zien wat je bij elk spelletje nodig hebt. Hieronder zie je wat elk plaatje betekent:

Het spellenboek. De plaatjes laten zien wat je bij elk spelletje nodig hebt. Hieronder zie je wat elk plaatje betekent: Het spellenboek De plaatjes laten zien wat je bij elk spelletje nodig hebt. Hieronder zie je wat elk plaatje betekent: Mandje vullen Voor dit spel zijn minimaal twee kinderen nodig. Stap 1: Verdeel de

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

SPELREGELS KLAVERJASSEN CVVB

SPELREGELS KLAVERJASSEN CVVB SPELREGELS KLAVERJASSEN CVVB Klaverjassen wordt gespeeld door 4 personen, de personen die tegenover elkaar zitten aan een tafel vormen een team en zijn maten van elkaar. Men speelt met 32 kaarten (7 t/m

Nadere informatie

METACOGNITIEVE VRAGEN-kaart V4WA MW 10 H3: Telproblemen

METACOGNITIEVE VRAGEN-kaart V4WA MW 10 H3: Telproblemen METACOGNITIEVE VRAGEN-kaart V4WA MW 10 H3: Telproblemen Beschrijf in eigen woorden: Waar gaat de opdracht over? Welke signaalwoorden staan in de tekst? Wijst een signaalwoord naar een strategie? Welke

Nadere informatie

5. C De routes langs A en C zijn even lang, dus is de route langs C ook 215 meter langer.

5. C De routes langs A en C zijn even lang, dus is de route langs C ook 215 meter langer. ANTWOORDEN KANGOEROE 2001 BRUGKLAS en KLAS 2 1. E 2. E 18 doosjes voor de rode, 13 voor de blauwe: totaal 31 doosjes 3. C De ringen A, B en D zitten allemaal alleen door ring C. 4. B De twee getallen moeten

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Viervlakken. Op een tafel vóór je staan vier viervlakken V 1, V 2, V 3 en V 4. Op elk grensvlak

Nadere informatie

We gaan er vanuit dat de B en C junioren een uur training krijgen en op grootveld met keeper spelen. Je training ziet er dan zo uit:

We gaan er vanuit dat de B en C junioren een uur training krijgen en op grootveld met keeper spelen. Je training ziet er dan zo uit: Floorball training Standaard jaarplanning B en C junioren (12-15 jaar) Deze standaard jaarplanning is een hulpmiddel voor alle jeugdtrainers. Met deze planning kan je het hele seizoen vullen met leuke

Nadere informatie

Doel: Opzet: Spelregels: De speler met de groene pion begint.

Doel: Opzet: Spelregels: De speler met de groene pion begint. Doel: Als projectopdracht moet er een game ontworpen worden door verschillende studenten en hiervoor is een team nodig wat bestaat uit minimaal 1x Game Designer, 1x Programmeur en 1x Artist. Twee spelers

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500

WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Gekleurde sokken Op de planeet Swift B6 wonen de Houyhnhnms. Ze lijken sprekend op paarden;

Nadere informatie

Antwoorden van PQRS / 4Q Nationale Wiskunde Dagen 2017

Antwoorden van PQRS / 4Q Nationale Wiskunde Dagen 2017 Antwoorden van PQRS / 4Q Nationale Wiskunde Dagen 2017 1a Notenveelvraat Chantek heeft 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Hij neemt eerst 8 noten, waar dat kan 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 Vervolgens

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A Puzzelvierkanten Werkblad 1 Vierkant linksboven Zoek eerst uit hoeveel één hartje waard is. Daarna kun je ook berekenen hoeveel een rondje waard is. Vierkant

Nadere informatie

Som 23 kan met 6665 en som 24 met Dus totaal gunstige uitkomsten.

Som 23 kan met 6665 en som 24 met Dus totaal gunstige uitkomsten. G&R vwo C deel C von Schwartzenberg / Som kan met! (op = manieren) (op! manieren) (op manier)! =, = en Dus totaal + + = 0 gunstige uitkomsten Dubbel onderstreept betekent: "niet alleen" in de genoteerde

Nadere informatie

Toets Combinatoriek en kansrekening

Toets Combinatoriek en kansrekening Deze toets bestaat uit 20 opgaven. Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Er zijn maximaal 76 punten te behalen. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening,

Nadere informatie

Uitgeverij Schoolsupport

Uitgeverij Schoolsupport [1] Regelmaat, 2006, Niveau *, Volgorde Hermelien tekent poppetjes. Steeds dezelfde drie achter elkaar. Welk poppetje komt er op de plaats van het vraagteken? TIP: Kijk goed naar de armen. Welke poppetjes

Nadere informatie