Wiskunde D Online uitwerking oefenopgaven 4 VWO blok 3 les 1

Transcriptie

1 Paragraaf De kansdefinitie Opgave a) Als de kikker verspringt, gaat hij van zwart naar wit, of andersom Hij zit dus afwisselend op een zwart en een wit veld Op een willekeurig moment is de kans even groot dat hij op een zwart of een wit veld zit Die kansen zijn ieder ½ b) Op de middelste tegel kan de kikker van velden af komen Daar zal hij met de meeste kans zitten In de hoeken kan hij maar vanaf twee velden komen Daar zit hij met de minste kans Opgave 2 a) Er zijn niet drie, maar vier mogelijke uitkomsten: ) muntstuk is kop en muntstuk 2 is kop 2) muntstuk is kop en muntstuk 2 is munt ) muntstuk is munt en muntstuk 2 is kop ) muntstuk is munt en muntstuk 2 is munt b) Bij 2 van de mogelijke uitkomsten is er een dubbele De kans daarop is 2/ = ½ Opgave De kans dat Anneke voor Egon staat is even groot als de kans dat Egon voor Anneke staat De kansen zijn even groot, samen, dus ieder ½ Opgave a) De kans dat A het grootste nummer heeft is even groot als de kans dat B het grootste nummer heeft en is ook gelijk aan de kans dat C of D het grootste nummer hebben Immers de loten zijn willekeurig verdeeld Samen zijn de kansen, dus ieder apart is ¼ b) De kans op ieder van de nummers is /00, want iedere uitkomst is even waarschijnlijk Er zijn 9 nummers groter dan 50 en kleiner dan 70 De kans op één van die nummers is 9/00 Opgave 5 - Gooien met een munstuk, met als uitkomst kop of munt - Gooien met een dobbelsteen, met als uitkomsten, 2,,, 5 of 6 - Draaien aan een rad van fortuin of roulette - Kiezen van een balletje uit een vaas - Trekken van een kaart uit een boek speelkaarten - Lootjes trekken voor Sinterklaas - Opgave 6 a) De brieven a, b, c kunnen we op 6 manieren op een rijtje leggen: abc, acb, bac, bca, cab, cba Als we ze op deze volgorde in de enveloppen A, B en C stoppen, dan kan dat dus op 6 manieren b) Als we de 6 rijtjes in onderdeel a bekijken, dan zien we dat alle drie de brieven goed kunnen zitten, of niks zit goed, of er zit er goed en de andere twee zijn verwisseld X kan dus 0, of zijn c) Ieder van de mogelijke rijtjes in onderdeel a is even waarschijnlijk De kans op 0 goed is 2/6 is gelijk aan / De kans op goed is /6 is gelijk aan ½ De kans op alle drie goed is /6

2 Opgave 7 a) Er zijn 8 mogelijke drietallen (dat is gegeven) We gaan tellen hoeveel drietallen er mogelijk zijn, als alle drie van één partij komen Er is mogelijkheid dat ze van de PvdA zijn Er zijn mogelijkheden dat ze van de VVD zijn, want er kunnen precies vier verschillende VVD-ers afvallen Het is niet mogelijk dat ze van het CDA zijn, want daarvan zijn maar 2 kandidaten In totaal zijn er dus 5 mogelijke drietallen De kans daarop is 5/8 b) Het aantal mogelijkheden om een PvdA-er te kiezen is Bij ieder van die mogelijkheden zijn er mogelijkheden om een VVD-er te kiezen Dat geeft dus mogelijkheden En bij al die mogelijkheden zijn er weer 2 mogelijkheden om een CDA-er te kiezen Totaal dus 2 = 2 even waarschijnlijke mogelijkheden De kans is dus 2 / 8 = 2 / 7 Opgave 8 a) Je moet de 6 cijfers op een rijtje zetten Op de eerste positie kun je één van de 6 cijfers zetten Dat zijn dus 6 mogelijkheden Heb je het eerste cijfer gekozen, dan heb je voor de tweede positie nog vijf cijfers over Voor de eerste twee posities zijn er dus 6 5 mogelijkheden Voor de derde positie zijn er dan nog mogelijkheden, enzovoorts In totaal geeft dat = 720 mogelijkheden b) Alle nummers die je gokt zijn even waarschijnlijk Er is één nummer van de 720 correct, dus de kans daarop is / 720 c) Als het eerst cijfer een is, dan zijn er daarna nog 5 2 = 0 mogelijkheden voor de overige cijfers De kans om de goede te kiezen is /0 Opgave 9 a) Een finale wordt gespeeld tussen twee spelers Om de eerste speler te kiezen hebben we 6 mogelijkheden Voor de tweede speler zijn er dan nog 6 mogelijkheden In totaal lijken dat 6 6 mogelijkheden, maar we hebben ieder tweetal finalisten twee keer gekozen, immers of we eerst de ene en dan de andere of andersom hebben gekozen, dat geeft hetzelfde tweetal We moeten dus nog delen door 2, wat het aantal mogelijkheden brengt op: 6 6 / 2 = 206 b) We hebben 6 mogelijkheden om een Nederlander te kiezen Bij ieder van die mogelijkheden hebben we 8 mogelijkheden om een Duitser te kiezen In totaal zijn dat 6 8 = 8 mogelijkheden c) Er zijn 206 mogelijke finales, zie onderdeel a In 8 daarvan staan een Nederlander en een Duitser, zie onderdeel b De kans op een finale met een Nederlander en een Duitser is dus 8/206 = /2 Opgave 0 a) In eerste instantie denk je misschien /, want als je een rode kaart ziet, dan kan de andere kant blauw, wit of rood zijn Het zal blijken in de volgende onderdelen dat dit niet correct is b) Nee, de uitkomsten zijn niet even waarschijnlijk De dubbel rode kaart kan immers zowel met de ene als de andere kant boven liggen In beide gevallen is dan zowel onder als boven rood c) Er zijn twee mogelijkheden met rood boven, rood onder Samen met rood boven, wit onder en rood boven, blauw onder zijn er dus mogelijkheden, waarvan in twee gevallen de onderkant rood is De kans is dus 2/ = /2 Opgave Het aantal VVD-ers dat meegaat is 0,, 2 of De stochast kan dus de waarden 0,, 2 of aannemen

3 Opgave a) Er kunnen 0, of 2 Nederlanders in de finale staan Dus X = 0, of 2 Als er 0 Nederlanders in de finale staan, dan moeten we de 2 finalisten kiezen uit 6 6 = 58 deelnemers Dat kan op / 2 = 65 manieren De kans op X = 0 is dus 65/206 = 0,82 De mogelijkheden voor Nederlander in de finale is 6 58 = 8 De kans op X = is 8/206 = 0,7 Twee Nederlanders in de finale kan op 6 5 / 2 = 5 manieren De kans op X = 2 is 5/206 = 0,0 k 0 2 P(X = k) 0,82 0,7 0,0 b) P(X = 0) + P(X = ) + P(X = 2) = 0,82 + 0,72 + 0,0 = Opgave a) Het aantal ogen op een dobbelsteen is, 2,,, 5, of 6 De waarden die X aan kan nemen zijn ook, 2,,, 5 of 6 De kans op iedere uitkomst is even groot, dus gelijk aan /6 k P(X = k) /6 /6 /6 /6 /6 /6 b) We maken rijtjes van lengte om de mogelijkheden weer te geven Als het eerste kind een meisje is, dan schrijven we op de eerste positie een m, anders een j Soortgelijk doen we voor de tweede en de derde positie Dat geeft 8 rijtjes: mmm, mmj, mjm, mjj, jmm, jmj, jjm, jjj Ieder van de rijtjes is even waarschijnlijk en heeft kans /8 Er is één rijtje met 0 keer m, dus P(M = 0) = /8 In drie rijtjes staat keer m, dus P(M = ) = /8 In drie rijtjes staat 2 keer m, dus P(M = 2) = /8 Er is één rijtje met keer m, dus P(M = ) = /8 k 0 2 P(M = k) /8 /8 /8 /8 c) Je mag 0 of pion op het bord plaatsen, dus X = 0 of In vijf van de 6 gevallen plaats je géén pion, dus P(X = 0) = 5/6 De kans om een 6 te gooien is /6, dus P(X = ) = /6 k 0 P(X = k) 5/6 /6 Overzichtsvraag a) Er zijn 6 even waarschijnlijke volgordes waarin Anne, Bea en Cleo in de rij kunnen staan We geven die aan met ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA In één van die gevallen (CAB) staat Anne achter Cleo en voor Bea De kans is dus /6 b) In totaal zijn er 5 2 = 0 mogelijkheden waarop vijf mensen in een rij gezet kunnen worden Als we Anne en Cleo samen nemen (ze als één persoon zien), dan kunnen ze op 2 = 2 manieren samen me de anderen in een rij gezet worden Nu kan Anne nog

4 voor Cleo staan, of Cleo voor Anne, dus op 8 manieren staat er niemand tussen hen in De kans daarop is 8 / 0 = 2/5 c) De kans dat Anne op ieder van de posities staat is even groot, dus de kans dat ze op een van de eerste twee posities staat is 2/5 Overzichtsvraag 2 a) Anne zou geredeneerd kunnen hebben: ik krijg een kwart van de kaarten, er zijn azen, de kans op ieder van die azen is ook een kwart b) Er zijn inderdaad vijf mogelijkheden voor het aantal azen, maar de kansen daarop zijn niet even groot c) De vier azen moeten verdeeld worden over personen, die we even met, 2, en aan kunnen geven De verdeling kunnen we weergeven met rijtjes met de cijfers, 2, en, waarbij op de eerste plaats het cijfer van de persoon staat die schoppenaas krijgt, op de tweede plaats het cijfer van de persoon die hartenaas krijgt, enzovoorts Het rijtje 22 staat dus voor het geval dat persoon schoppenaas krijgt, persoon hartenaas, en persoon 2 de andere twee azen Er zijn = 256 verschillende rijtjes mogelijk, die alle even waarschijnlijk zijn Er is één rijtje,, waarbij persoon alle vier de azen krijgt Dus P(A = ) = /256 Er zijn = 8 verschillende rijtjes zonder een, immers op ieder van de posities staat een 2, of De kans op A = 0 is dus 8/256 en P(A = 0) = 8/256 Het aantal rijtjes met precies één is wat lastiger De kan op één van de vier posities staan, dat zijn dus vier mogelijkheden Op de andere posities moeten dan steeds 2,, of staan Bij een gekozen kan dat op = 27 mogelijkheden Samen zijn dat 27 = 08 mogelijkheden Nu volgt P(A = ) = 08/256 Paragraaf 2 Combinatoriek en kans Opgave Ieder van de zeven renners kan eerste worden, dan zijn dus 7 mogelijkheden Bij ieder van die mogelijkheden zijn er nog zes renners voor de tweede plaats Samen dus 7 6 mogelijkheden Bij ieder van die 2 mogelijkheden zijn er nog 5 renners voor de derde plaats Dat zijn in totaal = 20 mogelijke verschillende bezettingen van het podium Opgave 2 In opgave hebben we gezien dat der 20 mogelijkheden zijn voor het podium uitgaande van 7 kandidaten Maar als het er niet toe doet of iemand op de eerste, tweede, of derde plaats eindigt, dan tellen we dus mogelijkheden dubbel als het er alleen maar om gaat wie op het podium staan Als er drie personen op het podium staan, dan kan dat op 2 = 6 verschillende manieren Van de 20 mogelijkheden zijn er dus steeds groepjes van 6 die we als gelijk moeten beschouwen Er zijn dus 20/6 = 5 verschillende drietallen die naar de halve finale kunnen Opgave a) 7P / 6 = 7C Je kunt dingen op 6 verschillende volgordes leggen Als de volgorde er niet toe doet, moet je dus door 6 delen b) npr / r! = ncr c) ncr = npr r! = n! n! /r! = (n r)! r! (n r)!

5 Opgave a) Het aantal kortste routes naar een punt in het rooster vind je door het getal links en het getal onder het punt bij elkaar op te tellen Je vindt dan in het rooster: S Het aantal kortste routes is dus 5 Dat kun je ook berekenen met: 7 = 7!! (7 )! = 7!!! = = = 5 b) Het rooster moet wat groter worden gemaakt 8 : 8 stappen met 0 naar rechts 0 6 : 6 stappen met naar rechts 8 : 8 stappen met 7 naar rechts 7 c) De drie combinatiegetallen kun je vinden door het rooster verder uit te rekenen, of door de formule voor de combinatiegetallen toe te passen: 6 = 6!! (6 )! = 6!! 2! = = = 8! 0! (8 0)! = 8! 8! = 8 7 = 8! 7! (8 7)! = 8! 7!! = = 8

6 Opgave 5 a) Het gaat hier om routes met 7 of 8 stappen, waarvan of 5 naar rechts Daar kan het volgende rooster bij worden getekend b) Het aantal routes naar 8 5 is de som van het aantal routes naar 7 en 7, dus: = = = 56 5 Opgave 6 a) Je kunt vier dames uit zes kiezen op 6 = 5 manieren Ook vier heren kun je op 5 manieren uit 6 kiezen Iedere keuze voor vier dames kun je combineren met een keuze voor vier heren, dus in totaal 5 5 = 225 manieren b) Nu moeten er voor het verdedigingsvak twee van vier dames gekozen worden Dat kan op = 6 manieren Je kunt ook op 6 manieren twee van de vier heren kiezen Dat geeft dus = 225 mogelijkheden c) Combineer de resultaten van a) en b) Kies eerst de vier dames en vier heren en verdeel ze over de vakken Dat kan dan dus op = 800 manieren Opgave 7 a) Ga uit van de definitie van het combinatiegetal nn en werk dat uit: 2 nn 2 = nn! nn (nn ) (nn 2)! nn (nn ) = = = nn (nn ) 2! (nn 2)! 2 (nn 2)! 2 2 b) nn = nn!! (nn )! = nn (nn )! (nn )! = nn = nn c) nn 0 = nn! 0! (nn 0)! = nn! nn! = Opgave 8 a) Begin met een en tel steeds twee getallen, die er schuin boven staan, bij elkaar op Dat geeft:

7 b) Voor 9 6 en 9 moeten we in de tiende rij kijken Die hebben we in het vorige onderdeel opgeschreven In die rij moeten we naar het vierde en zevende getal kijken (we begonnen bij 0 te tellen) Die getallen zijn beide 8, dus 9 6 = 9 c) Het aantal kortste routes in een rooster van lengte 9 met 6 steppen naar rechts, is even groot als het aantal routes van lengte 9 met 6 stappen naar boven In dat laatste geval blijven er nog stappen naar rechts over d) Het aantal rijtjes van lengte 9 met 6 nullen (en dus enen), is even groot als het aantal rijtjes van lengte 9 met nullen (en dus 6 enen) Je kunt de ene verzameling uit de andere krijgen door de enen ter vervangen door nullen, en andersom e) Er zijn evenveel grepen van 6 uit 9, als uit 9 Immers, als je 6 elementen kiest, dan blijven er over Je had dus ook de elementen kunnen kiezen die je niet in de greep neemt Opgave 9 a) Om zeker te zijn van de hoofdprijs, moet je alle mogelijke keuzes maken Dat kan op 5 = manieren 6 Per formulier maak je 0 keuzes Je moet dus 8506 formulieren invullen b) Op één van de formulieren stat het goede zestal getallen De kans daarop is / 8506 Opgave 0 a) Uit 0 ballen er 8 kiezen kan op 0 8 manieren b) Uit 20 witte ballen pak je er 5 en uit 0 zwarte ballen pak je er Dat kan op manieren c) Als je 8 ballen pakt dan is de kans op 5 witte en zwarte gelijk aan: = ,787 Opgave a) Het aantal mogelijke -tallen is: 0 = 0! = 0! 7! Het aantal mogelijkheden om platenboek uit te kiezen en 2 romans uit 6 is: 6 2 =! 6! = 60!! 2!! De kans op platenboek en 2 romans is dus: 60 = 0 2 b) Het aantal mogelijkheden om platenboeken uit te kiezen is: =! =!! De kans hierop is = 0 0 Het aantal mogelijkheden om 2 platenboeken uit te kiezen en roman uit 6 is: 2 6 =! 6! = 6!!! 5! De kans hierop is 6 = 0 0 Het aantal mogelijkheden om romans uit 6 te kiezen is: 6 = 6! = 20!! De kans hierop is 20 = 0 6

8 c) Je kunt 0,, 2 of platen boeken kiezen Meer mogelijkheden zijn er niet De som van de kansen moet dus gelijk zijn aan Controle: = = 0 = Opgave a) Het aantal mogelijke grepen is: 52 = 52! = = 2200! 9! 2 b) Er zijn schoppenkaarten Het aantal mogelijke grepen met schoppen is: =! = = 286! 0! 2 c) Die kans is 286 = 0, d) Het boomdiagram teken je door de kansen te bepalen als je één voor één een kaart pakt en daarbij nagaat hoeveel (schoppen)kaarten er steeds zijn 50 schoppen 5 schoppen 52 geen schoppen schoppen geen schoppen geen schoppen 9 52 Dit punt staat voor de keuze van schoppen kaarten De kans op schoppenkaarten is: = 0,09 e) De kans op harten is even groot als de kans op schoppen En ook de kansen op klaveren of ruiten zijn zo groot De kans op kaarten van een gelijke kleru is dus even groot als vier keer de kans op kaarten van één kleur: 0,09 = 0,0576 Opgave a) Er kunnen 0,, 2 of schoppen worden getrokken, dus Y kan de waarden 0,, 2 of aannemen b) Het aantal mogelijkheden om kaarten uit een volledig spel te trekken is 52 = 2200 Het aantal mogelijkheden om schoppen uit en 2 andere kaarten uit 9 te trekken is: 9 2 =! 9! = 9 8 = 96!! 2! 7! 2 De kans P(Y = ) is dus: 96 = 0, c) Op soortgelijke wijze als in onderdeel b) berekenen we P(Y = 0), P(Y = 2) en P(Y = ): P(Y = 0) = = 2200 = 0, P(Y = 2) = = 2200 = 0,8

9 P(Y = ) = = 2200 = 0,0 Samengevoegd in een tabel geeft dat: K 0 2 P(Y = k) = 0, = 0, = 0, = 0,0 Opgave a) Er zijn 22 mogelijkheden om 6 leerlingen uit 22 te kiezen Het aantal mogelijkheden om uit 6 0 jongens en uit meisjes te kiezen is: 0 De kans is dus: 0 22 = = 0, b) Er zijn 25 mogelijkheden om 8 supporters uit 25 te kiezen Het aantal mogelijkheden om 8 uit 0 Ajax-fans en 5 uit 5 Feyenoord-fans te kiezen is: De kans is dus: = 0 00 = 0, Opgave 5 a) Het aantal mogelijkheden om leerlingen uit 25 te kiezen is 25 Van de 25 hebben er 20 wel en 5 niet hun huiswerk gemaakt Het aantal mogelijkheden om leerlingen uit 5 te kiezen die hun huiswerk wel gemaakt hebben is 5 Nu volgt: P(X = ) = 5 25 = 5 = 0, Het aantal mogelijkheden om leerlingen uit 5 te kiezen die hun huiswerk niet gemaakt hebben en uit 20 die het wel hebben gemaakt is 5 20 Nu volgt: P(X = ) = = 0 20 = 0, b) Dat is mogelijk, maar de kans daarop is wel erg klein (,6 %) Opgave 6 a) Het aantal mogelijkheden om flessen uit te kiezen is Het aantal mogelijkheden om twee cola uit 6 te kiezen en één spa uit 2 te kiezen is De kans is nu: = 5 2 =

10 b) Het aantal mogelijkheden om twee cola uit 6 te kiezen en één uit de andere 6 te kiezen is De kans is nu: = 5 6 = c) De kans op flessen van dezelfde soort is de kans op cola plus de kans op seven-up De kans op cola is 6 / De kans op seven-up is / Samen is dit: 6 + = 20+ = 2 = Met boomdiagrammen wordt het: d) 6 cola geen cola 5 cola Geen cola 0 cola geen cola Dit punt staat voor de keuze van cola: = seven-up seven-up geen seven-up seven-up Geen seven-up geen seven-up 8 Dit punt staat voor de keuze van cola: 2 0 = 220 Samen geeft dit: = = 6 55 Opgave 7 a) X is minimaal, want er moet minimaal keer een bal worden gepakt om de witte te kunnen hebben X is maximaal 6, want je kunt hooguit zwarte ballen pakken; met nog witte kom je op 6 Dus X =,, 5 of 6 b) De laatste moet een witte zijn en tussendoor kan zwarte worden getrokken De rijtjes zijn dus: zwww, wzww, wwzw c) Bij de eerste drie ballen zijn twee witte, want de vierde bal moet ook een witte zijn d) We berekenen eerste de kans op zwww De kans op eerst een zwarte bal is Dan zijn er nog 7 6 ballen, waarvan wit De kans dat de tweede bal een witte is, is gelijk aan: Zo doorgaand 6 vinden we en 2 voor de kansen dat de derde en de vierde bal wit zijn De kans op zwww is 5

11 dus 2 = Op dezelfde manier berekenen we de kans op wzww: 2 = En ook de kans op wwzw is 2 = Samen geven deze kansen + + = 9 9, dus P(X = ) = e) Aan het eind staat een w, en daarvoor staan 2 w s en 2 z s f) Er zijn 6 rijtjes eindigend op een w: zzwww, zwzww, zwwzw, wzzww, wzwzw, wwzzw Net als in onderdeel d) vinden we: = Dus P(X = 5) = g) Er is maar rijtje van lengte met w s: www De kans daarop is 2 =, dus P(X = ) = 5 In de rijtjes van lengte 6 moeten we op de eerste 5 posities keer een z zetten Dat kan op 5 manieren De kans op rijtjes met keer een z is: = 0 = 0, dus P(X = 6) = 0 5 In een tabel wordt de kansverdeling: k 5 6 P(X = k) Opgave 8 a) We zetten de kleintje op een rijtje en noteren m of v als het om een mannetje of vrouwtje gaat We krijgen dan de volgende 8 rijtjes die allemaal even waarschijnlijk zijn: mmm, mmv, mvm, mvv, vmm, vmv, vvm, vvv De kans op vvv is dus /8 b) Er zijn drie rijtjes met twee keer een m en één keer een v, dus de kans daarop is /8 c) De kans op vrouwtjes is /8, de kans op 2 vrouwtjes is /8 Samen is dat ½ d) De kans op meer vrouwtjes dan mannetjes, is even groot als de kans op meer mannetjes als vrouwtjes En omdat er niet meer mogelijkheden zijn, zijn beide kansen gelijk aan ½ Overzichtsvraag a) We moeten atleten voor het podium kiezen uit n Dat kan op nn manieren De drie atleten kunnen op 2 manieren op de plaatsen, 2 en staan Dus het totaal aantal mogelijke verdelingen over het podium is 6 nn Een andere berekening gaat als volgt: voor de eerste plaats kies je één van de n atleten Dat kan op n manieren Je houdt bij ieder van die keuzes nog n atleten over voor de tweede plaats Je kunt dus op (n ) manieren een atleet kiezen voor de tweede plaats, als je al een atleet hebt gekozen voor de eerste plaats Samen geeft dat n (n ) mogelijkheden voor de eerste twee plaatsen Bij ieder van die mogelijkheden kun je nog één van de overgebleven n 2 atleten kiezen voor de derde plaats, wat het totaal brengt op n (n ) (n 2) b) Nu moet er alleen een drietal gekozen worden uit n Dat kan op nn manieren De volgorde binnen het drietal is niet relevant