Uitwerkingen Combinatoriek Hoofdstuk 1 vwo A/C deel 1

Transcriptie

1 Uitwerkingen Combinatoriek Hoofdstuk 1 vwo A/C deel 1 1. a. Er zijn in totaal 6 mogelijkheden. Te berekenen met het product 2. 3 = 6 mogelijkheden. Voordeel : makkelijker te tekenen. Nadeel : Het aantal mogelijkheden zie je niet direct. 2. a. zie figuur minstens 9 ogen 10 mogelijkheden c. 6,6 ; 6,5 ; 5,6 ; 4,6 ; 5,5 ; 6,4 ; 3,6 4,5 ; 5,4 ; 6,3 3. a. Iedere ploeg speelt slechts 1 keer tegen een andere ploeg. Een roosterdiagram c. Ieder speelt 4 wedstrijden en er zijn 5 teams en je mag de wedstrijden maar één keer tellen 0, = 10 wedstrijden. d. Een halve competitie met n teams spelen 0,5.n. (n 1) wedstrijden Blauwe dobbelsteen Som van de ogen Rode dobbelsteeen teams in 8 groepen van 5 teams. a. Hele competitie 4.5 = 20 wedstrijden per groep. 8 groepen 160 wedstrijden. 8 groepswinnaars ( ).2 wedstrijden totaal 174 wedstrijden kampioen: = 14 wedstrijden 5. a. A als winnaar : AAB A ; ABA A ; BAA A B als winnaar BBA B ; BAB B ; ABB B 2 mogelijkheden voor een driesetter AAA of BBB Nu nog de 5 setter dan moeten eerst 4 sets gespeeld worden waarbij A en B ieder twee keer winnen AABB ; ABAB ; BAAB ; BABA ; BBAA ; ABBA 6 manieren. Nu zijn er dus 6 manieren met A als winnaar en dus ook 6 manieren met B als winnaar Het totaal aantal mogelijkheden zijn dus : = 20 manieren 1

2 2 6. Nemen we rood als eerste dan kunnen we krijgen : r ge gr ; r gr ge ; r gr r en r ge r Er zijn dus 4 mogelijkheden waarbij rood als eerste begint. Zo zijn er ook 4 mogelijkheden waarbij geel als eerste begint en ook 4 mogelijkheden met groen als eerste. Het totale aantal mogelijkheden is dus : 4. 4 = 12 mogelijkheden. 7. Viervlaksdobbelsteen : 1, 2, 3, 4 en achtvlaksdobbelsteen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a. Totaal 8: 17 ; 26 ; 35 ; 44 4 mogelijkheden minder dan 8: 16 ; 15 ; 14 ; 13 ; 12 ; 11 ; 25 ; 24 ; 23 ; 22 ; 21 ; 34 ; 33 ; 32 ; 31 ; 43 ; 42 ; mogelijkheden c. Product is 8 18 ; 24 ; 42 3 mogelijkheden 8. 3 dobbelstenen a. Totaal 16 ogen 664 ; 655 ; 646 ; 565 ; 556 ; mogelijkheden Minstens 16 ogen 664 ; 655 ; 646 ; 565 ; 556 ; 466 en verder nog: 665 ; 656 ; 566 ; 666 in totaal = 10 mogelijkheden. c. 6 ogen 114, 123, 132, 141, 213, 222, 231, 312, 321, mogelijkheden leerlingen ; 18 leerlingen sport en 12 leerlingen muziek sport muziek Wel Niet totaal Wel niet Totaal Uit de tabel blijkt dat er 8 leerlingen zijn die in allebei actief zijn. 10 engels wiskunde Onvoldoende voldoende totaal onvoldoende voldoende totaal

3 3 Voor beide vakken hebben 15 leerlingen een voldoende. 11. alcohol Technische staat goed Niet goed totaal Te veel In orde totaal Geen bekeuring kregen dus 410 bestuurders. Dat is % 80,1% 12. a. Het totaal aantal mogelijkheden is : = 30. Dan wordt het aantal : = a. Dan krijgen we : = 40 mogelijkheden. Drie keer dezelfde letter AAA of BBB of CCC = 52 manieren. c. Tweemaal een A en 1 keer een C AAC of ACA of CAA = 40. d. Zonder B AAA of AAC of ACA of CAA of CCA of CAC of ACC of CCC = = 90 e. Drie dezelfde kleuren GGG of RRR of BBB of GrGrGr = = 20. f. Twee keer groen en 1 keer rood GrGrR of GrRGr of RGrGr = = Engelse, 8 Duitse en 5 Franse boeken. a. Het aantal manieren is: = 440 Dan is het aantal manieren: = = a. Dan zijn er = 40 manieren. Dan : = 12 manieren. c. Zelfde topping VVV of visvisvis of GGG of kkk of fff = = 76 manieren. 3

4 4 d. vis ff = 12 manieren. e. visff of fvisf of ffvis = = 48 manieren. 16. a. Het totaal aantal manieren is : = = jasjes of geen jasje 4 mogelijkheden. Voor een rok of een broek hebben we = 7 mogelijkheden. Voor de blouse en de coltruien hebben we de mogelijkheden : bl of col ( dus niet samen). De andere mogelijkheid is bl en col. De aantallen die hierbij horen zijn: (6 + 4) + (6. 4) = 34. Vervolgens hebben we nog 5 paar schoenen 5 mogelijkheden. Het totaal aantal mogelijkheden is dan : = c. Het aantal manieren met coltrui met of zonder blouse is : = 28 5 paar schoenen 5 mogelijkheden. 3 jasjes of geen jasje 4 mogelijkheden. 4 rokken 4 mogelijkheden. Het totaal aantal manieren is : = Letters A,B,C,D. Voor de eerste letter hebben we 4 mogelijkheden en vervolgens voor de 2e letter 3 mogelijkheden. 4.3 = 12 mogelijkheden. Nu mogen de letters eventueel hetzelfde zijn. 4 2 = 16 mogelijkheden. 18. a. Dit kan op = 360 manieren Getal is kleiner dan 600 Het eerste getal is een 3, 4 of een 5. Vervolgens is de keuze vrij, maar we mogen niet hetzelfde cijfer weer gebruiken = 180 manieren c. Nu is het getal groter dan Ten eerste: het eerste getal is een 6 en vervolgens moet het tweede getal een 5 of een 6 of een 7 of een 8 zijn manieren. Ten tweede: Het eerste getal is groter dan 6 dan zijn we verder vrij om de volgende getallen te kiezen manieren We krijgen dus uiteindelijk : = = 576 manieren 19. a. De mogelijkheden zijn dan : 26 3 = Niet dezelfde letters naast elkaar = mogelijkheden. c. Met een L beginnen = 676 mogelijkheden. 20. a. Dan zijn er : = mogelijkheden. 4

5 5 Het aantal kentekens is : = c. Dan krijgen we : = d. Het totaal is dan: = De eerste letter is geen klinker en niet de b en niet de c 19 mogelijkheden. De andere twee letters mogen geen klinker zijn 21 mogelijkheden. 21. a. Eerst 4 mogelijkheden, dan weer 4 mogelijkheden enz. we krijgen 4 5 = 1024 mog. We krijgen dan: = 256 mogelijkheden c. Geen gelijke symbolen naaste elkaar = 324 manieren d. 4 keer een klaver d.w.z. één keer geen klaver per keer zijn er dus nog 3 mogelijkheden. Dus in totaal zijn er nog 15 mogelijkheden 22. a. Steeds 2 mogelijkheden bij 25 vakjes 2 25 = manieren in totaal Op 1 A-4 zijn er 100 codes mogelijk het aantal A-4 tjes is dus : 2 25 : ,1 mm = 10-4 meter de dikte wordt dus: meter 34 meter c. Aan de rand alles zwart in het midden zijn er dus nog 9 hokjes 2 9 = 512 codes meisjes en 12 jongens; muziek, drank en hapjes 3 lln. a. Dan krijgen we: = 9750 manieren Dan : m j j = 1980 manieren c. Neem eerst de drank en vervolgens de hapjes en ten slotte de muziek m j rest of j m rest = a. Het aantal, is dan : = 24.6 = 144. mjmjmjm = 144. c = 720. d = 240. e. 1 e : psych en laatste ook psych of ec en laatste ook ec en kies de eerste en de laatste als eerste. 3.2.( ) ( ).1 = 960. f. m j j enz of j m m enz = = codes: o, p, q, r, s, t a. 1) Iedere letter 1 keer = 120 codes 2) Iedere letter mag steeds weer 6 3 = 216 codes Nu 1 t/m 6 lettercodes en geen gelijke letters = 1956 codes Bijvoorbeeld een code van 4 verschillende letters krijg je door: manieren Nu dezelfde vraag,maar de letters mogen hetzelfde zijn = codes mogelijk 5

6 6 26. a. Eerste getal is nu een 2, 3 of een 4 Het aantal is dan : = = 360 mogelijkheden. c. 1 e : Het eerste cijfer is een 5 dan moet het 2 e cijfer een 6 of 7 zijn en verder mag er geen vijf meer in staan = 16 2 e : Het eerste getal is een 6 of een 7 en bij de volgende 2 getallen zit een vijf = 32 3 e : Het eerste getal is een 6 of een 7 en de vijf zit bij de laatste twee getallen = 144 Het totaal aantal manieren is : = 192 d. Het aantal is dan : 1 e : De 5 in de eerste 3 cijfers en niet in de laatste 2 5 n5 n5 of n5 5 n5 of n5 n = e : De 5 niet in de eerste 3 cijfers en de 5 bij de laatste = e : De 5 niet bij de eerste 3 en ook niet bij de laatste 2 cijfers = 120 Het totaal wordt nu : = a. Het aantal is dan : = Geen gelijk kleuren naast elkaar: = c. Dezelfde kleur is toegestaan = d = a = 70 manieren = 260 c = 476 d. De mogelijkheden zijn dan : twee keer 15 of 16 of = 404. e. 1 e leerling is ouder dan de 2 e leerling De mogelijkheden zijn : 16,15 of 17, (16 of 15) (5 + 19) = We pakken uit de letters a,b,c,d,e. a. 5 4 codes Op hoeveel manieren kan je een code maken uit de gegeven letters waarbij iedere letter ook hetzelfde mag zijn. Nu Op hoeveel manieren kan je een code maken bestaande uit 3 letters, terwijl iedere letter maar 1 keer gebruikt mag worden. c. Op hoeveel manieren kan je een code maken van 2 letters waarbij de letters niet hetzelfde mogen zijn of een code van 3 lettres waarbij de letters wel hetzelfde mogen zijn. d. Op hoeveel manieren kan je een code vormen bestaande uit 3 letters waarbij er geen dezelfde letters naast elkaar mogen staan vrienden ; 1 de camping ; 1 het vervoer en 1 de inkopen a. Het aantal manieren wordt dan: = 720 6

7 7 De eerste heeft 10 mogelijkheden, de volgende heeft 9 mogelijkheden enz. Het totaal aantal manieren wordt dan : = Het aantal manieren is : = Het aantal manieren is : 14 npr 10 = a. Het aantal is : = = a. Plain Bob Minor : seconden = 1440 seconden = 24 minuten Plain Bob Major : seconden = seconden 22,4 uur. Minder dan 28 uur. Als het luiden niet 2 maar 2,5 seconden duurt dan duurt het 28 uur. Het zou dan dus kunnen spelers a. 9! = rijen mogelijk 9 manieren voor de aanvoerder en vervolgens 8 manieren voor de reserve-aanvoerder 9. 8 = 72 manieren c. 6 shirts kunnen op = 9 npr 6 = manieren 36. Codes met de letters a, b, c, d, e, f. a. 6! Codes Hoeveel codes kan je maken met de gegeven letters waarbij iedere letter maar 1 keer gebruikt mag worden. Hoeveel codes van drie letters kan je maken met de gegeven letters waarbij iedere letter maar 1 keer gebruikt mag worden. c. Hoeveel codes van 4 letters kan je maken met de gegeven letters waarbij iedere letter meer dan 1 keer gebruikt mag worden. d. Hoeveel codes van 4 letters kan je maken met de gegeven letters waarbij de eerste letter een a of een b is en de overige letters gekozen mogen worden uit de letters c, d, e, f waarbij die letters meer dan 1 keer gebruikt mogen worden wsk-boeken en 3 sk-boeken a. 8 boeken rangschikken 8, = 8! = manieren De wsk bij elkaar Dit is een manier. De sk boeken plus het wsk pakket kunnen op 4! manieren gerangschikt worden. Bovendien kunnen de wiskundeboeken onderling ook nog eens gerangschikt worden Het totale aantal wordt dan: 4!. 5! =

8 8 c. De wiskundeboeken en de scheikundeboeken en 1 pakket 2! manieren. Verder kunnen de boeken zelf in het pakket gerangschikt worden 5! en 3! manieren In totaal krijgen we dus 2. 5!. 3! = 1440 manieren 38. Drie klassieke, vier romantische en twee hedendaagse stukken. a. Het aantal is : 3.2.7! = !.4! = c = d. 3!. 3!.4!.2! = = a. DOP, DPO, ODP, OPD, POD, PDO. POP, PPO, OPP. c. Aangezien we twee dezelfde letters hebben, zal het aantal rangschikkingen minder zijn dan bij mogelijkheid a. geen 3!. 40. a. ANNAMARIA 4 keer een A, 2 keer de N. 9! Het aantal rangschikkingen is : !.2!.1!.1!.1! =. 9! EMMELIEKE 4 keer een E, 2 keer een M !.2!.1!.1!.1! =. c. TELEVISIETOESTEL 3 keer n T, 5 keer n E, 2 keer n L, 2 keer n I, 2 keer n S. 16! Het aantal rangschikkingen is : !.5!.2!.2!.2!.1!.1! = d. MISSISIPPI 4 keer een I, 4 keer een S, 2 keer een P 11! Het aantal rangschikkingen is : !.4!.2!.1!.1! = rode, 3 blauwe en 3 witte vlaggen. 10! Het aantal signalen is : 4!.3!.3! = a. Het aantal permutaties van 2 uit 4 is : 4.3 = 12. Het aantal afvaardigingen is : ! =. 43. a. combinaties permutaties c. combinaties d. combinaties e. permutaties. 8

9 9 44. a. Volgorde niet van belang combinaties Volgorde niet van belang combinaties c. Volgorde niet van belang combinaties 18 = = = a. 12 = = c = = d. Nu is de volgorde van belang = 29 npr 5 = e. Klassiek bij elkaar en Pop bij elkaar. Het aantal rangschikkingen is : 9!.12!.10! = 6, f. 7 Het aantal is : = a. Irene heeft 5 uit 15 keuzemogelijkheden waarbij de volgorde niet van belang is Het zijn 15 dus combinaties. Het aantal is : = Dan krijgen we : = leerlingen ; basketbalteam van 8 a. 28 = spelers op een rij 8! = manieren c. 8 dat kan op : = 56 manieren 5 d. Er blijven dan 20 spelers over voor een team van 6 op 20 = manieren 6 9

10 a Engelse boeken uit 60 = Duitse boeken uit 40 = c Dan krijgen we :. = , jongens en 9 meisjes a. 3 jongens uit een hoeveelheid van 6 en 3 meisjes uit een hoeveelheid van 9 zonder 6 9 volgorde. = Alleen dus 6 jongens = 1 manier 6 c. Hoogstens 1 meisje d.w.z. 1 meisje en 5 jongens of 0 meisjes en 6 jongens Het aantal manieren wordt dan :. +. = 55 manieren Meer dan 4 jongens 5j en 1 m of 6j en geen meisje +. = = rode ; 4 witte en 5 blauwe knikkers a r, 2wit en 2 bl. kn. het aantal is:.. = = 180 manieren Minstens 4 bl. 4 bl en 1 niet-bl. of 5 blauwe knikkers = = 36 manieren c. Hoogstens 1 witte 0 witte en 5 niet-witte of 1 witte en 4 niet-witte = = d. 7 Geen blauwe knikker 5 uit de 7 niet-blauwe knikkers = 21 manieren a. 6 Het aantal drietallen is : = Het aantal is : = 120 manieren. c. Het aantal mogelijkheden is dan : 6 3 =

11 a uit 36 mannen = mannen uit 36 en 4 uit de rest (vrouwen). = c uit jongste en 2 uit oudste dus 5 uit de middelste groep = d. meer dan 6 uit de middelste groep 7 uit de middelste groep en 1 uit de rest of 8 uit de middelste groep en dus niemand uit de rest + = e vrouwen uit 25 tot 40 en verder 6 uit de rest 2 uit 16. = a. Het aantal is :. = 6.35 = 210.We hebben 3 groottes = 630 mogelijkheden. 2 3 Minstens 2 vlees en 2 keer fruit Het aantal wordt dan : = = c. 2 of 3 groente en 2 of 3 vis in 3 groottes = 3.( ) = a. De aantallen worden :... = = doelman en 4 verdedigers en 2 aanvallers en uit de rest kiezen we dan de 4 middenvelders = = a. Het totaal aantal mogelijkheden is : = De groep had dus niet alle 6 mogelijkheden. Het percentage is : % ,8 %. 11

12 12 Het uitgekeerde bedrag is : 2/3. 27 miljoen is : 18 miljoen. De kosten voor de belastingen zijn 6 miljoen.dat betekent per maand: = voor de totale groep per maand Dat is dus per deelnemer een bedrag van : = 20 De winst per maand is dus 20 dollar a. 7! Op hoeveel manieren kan je een woord van 7 verschillende letters rangschikken 7 Op hoeveel manieren kan je uit 7 personen 3 personen kiezen. 3 c Op hoeveel manieren kan je uit een groep van 7 jongens en uit een groep van 3 meisjes 1 jongen en 1 meisje kiezen. d. 7 3 Op hoeveel manieren kan je een woord van 3 letters maken, waarbij je steeds de keuze hebt uit 7 mogelijke letters. e. 3 7 Op hoeveel manieren kan je een woord van 7 letters maken, waarbij je steeds de keuze hebt uit 3 gegeven letters. f Op hoeveel manieren kan je een top drie samenstellen uit 7 platen a. = 1 = 17 = 17 = Je kunt op 1 manier een keuze maken van 0 personen uit 17 personen. Je kunt op 17 manieren een keuze maken van 1 persoon uit de gegeven 17 personen. Je kunt op 17 manieren een keuze maken van 16 personen uit de gegeven 17 personen. Je kunt op 1 manier een keuze maken van 17 personen uit de gegeven 17 personen. n n n c. n = 1 = n = n = n-1 n a. Het aantal manieren is :... = , Het aantal manieren is :.... = , c. De totale verdeling is:.. = = Het totaal aantal manieren is : = =

13 personen. 2 niet even grote groepen met minstens 3 personen. Verdeling : 10 en 2 of 9 en en 4 of 7 en Het aantal manieren is : = = = = ! = = Het is dus hetzelfde. 3!.4!.5! a. Het gaat om 2 uit 6 zonder dat de volgorde van belang is. Dus combinaties. 6 Het aantal is = kop of munt ; 10 geldstukken a. iedere keer 2 manieren 2 10 = 1024 manieren 10 8 keer kop uit de 10 = 45 manieren 8 c keer kop = 252 manieren 5 d. Dan krijgen we = 256 manieren e. De eerste is een k en het einde is ook een k en voor de rest nog 3 keer een k = tweekeuzevragen a. Het aantal manieren is : 2 20 = juiste antwoorden 15 uit een hoeveelheid van 20 = manieren 15 c. minstens 80% minstens 16 vragen goed het totaal aantal manieren is dan: = 6196 manieren Het gevraagde percentage is dan:.100% 0,6%

14 Feestverlichting van 19 lampjes a. Totaal 2 19 = mogelijkheden 19 5 lampjes branden 5 van de 19 = manieren 5 c. Minder dan twee lampjes branden 1 lampje brandt en 18 niet of alle 19 branden niet = = 20 manieren 1 0 d. Drie lampjes liggen vast uit de overige 16 is er een vrije keuze 2 16 = manieren a. Het aantal manieren is :. = = Het aantal manieren is :.. = = ! De andere methode is : !.5!.3! = c. Het aantal manieren is :... = = ! Andere methode : !.4!.2!.3! =. 67. a. Bijvoorbeeld: NNNNOOOO of NNOONNOO Ja,want je gaat 4 keer omhoog en 4 keer naar rechts Nee, want je gaat 4 keer naar rechts en 5 keer omhoog en dat is 1 keer te veel. c 8 letters,waarvan 4 naar het noorden en 4 naar rechts. d. 8 We hebben 4 keer een N uit een keuze uit 8 = 70 manieren a. Van A B uit 14 stappen ga je 6 keer naar rechts Van A P Q B.. = 2240 manieren c. 7 8 Van A P B. = 1960 manieren = 3003 manieren 69. figuur 2.19a : =

15 15 figuur2.19b : = a. Als je naar beneden zou gaan, dan maak je omwegen dus niet de kortste route. 4 4 Van A B zijn er :.1. = = 36 kortste routes Nu figuur 2.20 b Linksom:.1. = 100 Het totale aantal is 200, want links en 2 3 rechts hebben we dezelfde situatie a Van A Q A P Q. = manieren Van A B A P dan 6 naar rechts en dan naar.1. = a. In totaal 6 stappen met bijv. naar rechts: score thuisclub en omhoog is : score uitclub Eindstand 2-4 d.w.z. 2 keer naar rechts en 4 keer omhoog 6 op = 15 manieren 2 c. Ruststand stappen,waarvan 3 keer naar rechts en eindstand 5-4 na de rust 2 keer naar rechts in totaal 5 stappen. het totaal aantal 4 5 manieren is dus:. = manieren. score uitclub score thuisclub 73. a. Eindstand van keer naar rechts en 3 keer omhoog. Het aantal manieren is : 9 = keer gescoord stel t is de score van de thuisclub en u is de score van de uitclu De mogelijkheden zijn : tttt ; tttu ; ttuu ; t uuu ; uuuu Het totaal aantal manieren is dus : 15

16 = = Natuurlijk is het ook mogelijk om het totaal aantal mogelijkheden te vinden met 2 4 = a. Van T A 4 keer naar links en 2 keer naar rechts totaal 6 stappen manieren. 2 6 Zesde rij iedere keer in totaal 6 stappen. Bij het eerste punt ga je 0 keer naar rechts 0 manieren. Bij het tweede punt maak je ook in totaal 6 stappen en ga je 1 keer naar rechts 6 manieren enz. Bij het zevende punt maak je nog steeds 6 stappen, waarvan je 6 keer naar 1 6 rechts gaat manieren. De som van deze getallen is: = 64 c. Zie ook werkboek. d. Op deze manier krijgen we op de zevende rij de getallen: 1 ; 7 ; 21 ; 35 ; 35 ; 21 ; 7 ; 1 e. Om de op de tiende rij de som te bepalen moet je steeds nagaan dat er steeds 2 mogelijkheden zijn in totaal 2 10 = 1024 mogelijkheden. 16

17 Anders: De som is : = = a. 9 Van S naar T zijn 9 stappen met 6 keer naar rechts en 3 keer links = 84 manieren 3 9 Van S naar U ook 9 stappen met 1 keer naar rechts = 9 stappen 1 c. Zoals eerder gezien zijn er bij in totaal 9 stappen 2 9 = 512 manieren mogelijk d. 5 Van S Y zijn in totaal 5 stappen en 2 keer naar rechts manieren. Vanuit Y zijn er 2 dan nog in totaal 4 stappen manieren In totaal zijn er dus :. 2 4 = 160 manieren In totaal zijn er 6 stappen te maken. Daarvan moet er drie keer naar rechts gegaan worden en 6 3 keer naar links. Het aantal is : = a. In figuur 1.21 a : 8 4 = 70 manieren In figuur 1.21 b : eerst 3 keer rechts en 2 keer links en dan 4 keer links en 3 keer rechts of 5 7 andersom..2 = = 700 manieren