Permutaties Combinaties Binomiaalcoëfficiënt Variaties. Combinatoriek. W. Oele. 27 januari W. Oele Combinatoriek

Transcriptie

1 27 januari 2014

2 Deze les Inleiding combinatoriek: de faculteit permutaties combinaties variaties de binomiaalcoëfficiënt

3 De faculteit Eenvoudige recursieve definitie: 0! = 1 n! = n(n 1)! Voorbeelden: 5! = = ! =

4 De faculteit Faculteiten van grote getallen worden doorgaans benaderd met de fomule van Stirling( ): n! n n e n 2πn

5 : permutaties Op hoeveel verschillende manieren kunnen de letters a, b, c worden gerangschikt? eens proberen: abc acb bac bca cab cba totaal: 6 mogelijke rangschikkingen of permutaties

6 : permutaties Denkwijze: Men neme een kast met 3 lades: A B C Eerste letter: 3 mogelijkheden 3

7 : permutaties Denkwijze: Men neme een kast met 3 lades: B C Tweede letter: 2 mogelijkheden 3 2

8 : permutaties Denkwijze: Men neme een kast met 3 lades: C Derde letter: 1 mogelijkheid 3 2 1

9 : permutaties Denkwijze: Men neme een kast met 3 lades: Totaal: = 3! = 6

10 : permutaties Algemeen: n letters kunnen in n lades worden geplaats op n! verschillende manieren. 8 auto s voor het stoplicht? 8! = manieren

11 Permutaties Stel dat het aantal lades kleiner is dan het aantal letters, bijvoorbeeld: 8 letters 5 lades Indien het aantal lades even groot was geweest als het aantal letters, waren we snel klaar: 8! = 40320

12 Permutaties A B C D E F G H 8 letters in 8 kasten: 8! echter: We hebben slechts 5 lades! Oplossing: formule corrigeren: n! (n k)!

13 Permutaties Algemeen: Men kan n letters op k posities plaatsen op n! (n k)! verschillende manieren

14 Permutaties 8 letters op 5 posities? antwoord: n! (n k)! = 8! (8 5)! = 6720 Opmerking: de mogelijkheid abcde is één van de 6720 mogelijkheden. De mogelijkheid abced is eveneens één van de 6720 mogelijkheden.

15 Volgorde De mogelijkheid abcde is één van de 6720 mogelijkheden. De mogelijkheid abced is eveneens één van de 6720 mogelijkheden. Bovenstaande rangschikkingen worden blijkbaar als 2 verschillende gezien. De volgorde, waarin de letters in de kast geplaatst worden is dus van belang. abcde abced abdce acbde...

16 Combinaties Stel dat we de volgorde, waarin letters in een kast geplaatst worden niet belangrijk vinden. Anders gezegd: abcde = abced = abdce = acbde =... Opnieuw moet nu de formule gecorrigeerd worden, deze keer voor het aantal permutaties van k letters: n! k!(n k)!

17 De binomiaalcoëfficïent ( ) n = k Voorbeeld: n! k!(n k)! Op hoeveel verschillende manieren kunnen 8 letters in 5 lades geplaatst worden, ongeacht hun volgorde? Antwoord: ( ) 8 = 5 8! 5!(8 5)! = 56

18 Voorbeeld Voor een vliegreis hebben zich 12 personen ingeschreven. In het vliegtuig is slechts plaats voor 8 personen. Op hoeveel verschillende manieren kunnen we uit deze 12 personen er 8 kiezen?

19 Voorbeeld 12 personen levert 12! permutaties Er slechts zijn 8 plaatsen beschikbaar dus delen we weg door (12 8)! De vraag wordt nu of de volgorde, waarin de personen in het vliegtuig plaats nemen er toe doet...

20 Voorbeeld Met volgorde: 12! (12 8)! = Zonder volgorde: 12! 8!(12 8)! = 495

21 Teruglegging In alle voorgaande gevallen werd iedere letter precies één keer in de kast geplaatst. Men noemt dat vraagstukken zonder teruglegging. Stel dat we een letter meerdere malen in verschillende lades mogen plaatsen, bijv: abcdd, aabce, enz. Dit wordt een vraagstuk met teruglegging genoemd. Algemene formule: n k

22 Voorbeeld 5 letters in 5 lades: n k = 5 5 = 3125 manieren Pincode: 10 cijfers op 4 posities: 10 4 =

23 Onvolledig overzicht met volgorde zonder volgorde n! n! zonder teruglegging (n k)! k!(n k)! met teruglegging n k??

24 Variaties Bij vraagstukken met teruglegging zonder volgorde geldt de volgende formule: ( ) n 1 + k (n 1 + k)! (n 1 + k)! = = k k!(n 1 + k k)! k!(n 1)!

25 Voorbeeld: Een snoepwinkel verkoopt 10 verschillende soorten snoep Een kind mag 3 snoepjes uitkiezen Op hoeveel manieren kan dat? Antwoord: ( ) n 1 + k = k ( ) 12 = 12! 3 3!9! = 220

26 Overzicht combinatoriek met volgorde zonder teruglegging n! (n k)! met teruglegging n k ( n 1+k k zonder ( volgorde n ) k = n! k!(n k)! ) = (n 1+k)! k!(n 1)!