Praktische opdracht Wiskunde De pinpas

Transcriptie

1 Praktische opdracht Wiskunde De pinpas Praktische-opdracht door een scholier 3222 woorden 11 februari ,6 75 keer beoordeeld Vak Wiskunde Bronvermelding Wiskunde boek Getal & Ruimte VWO 1, hoofdstuk 2 Combinatoriek Wiskunde boek Getal & Ruimte VWO 1, hoofdstuk 4 Kansrekening Probleemstelling Voor wiskunde moest ik een praktische opdracht maken, waarbij ik uit verschillende onderwerpen mocht kiezen. Ik heb toen het onderwerp de pinpas gekozen. Dat heb ik gedaan omdat dit werkstuk mij niet al te moeilijk leek om te maken en omdat ik dacht dat hier voldoende informatie over te vinden was. Ook sta je er vaak niet bij stil over hoe de pinpas is ontstaan en of de pinpas wel veilig genoeg is in gebruik. Daarom zal ik ook in dit verslag de volgende aspecten belichten: De geschiedenis van de pinpas Voor- en nadelen van het gebruik van de pinpas Berekeningen ten behoeve van het veilige gebruik van de 4-cijferige pincode Bij hoeveel cijfers is de pincode wel 100% veilig Leuke rekensommen i.v.m. de pinpas/pincode De geschiedenis van de Pinpas Vroeger betaalden de mensen elkaar in natura. Dat wil zeggen dat de mensen elkaar met natuurlijke producten uitbetaalden zoals een ei tegen 5 appels, een koe voor drie manden graan etc. Je kunt natuurlijk begrijpen dat het op deze manier het er niet altijd eerlijk aan toe ging. De mensen die een product hadden waar er niet veel van was, konden hoge tarieven gaan voeren en meer producten krijgen Pagina 1 van 8

2 dan dat van hun eigenlijk waard was. De mens ging dus naar een alternatief zoeken en die is er gevonden. De oplossing was de munt. Op de munt werd de waarde gedrukt en elk product kreeg een prijs. Zo konden er niet meer gesjoemeld worden met de prijzen van producten en ontstonden er minder ruzies. Maar met de munt echter werd wel gefraudeerd. Zo veilden sommige mensen stukjes van de rand van de munt af. Als ze op het laatst genoeg geveild hadden dan konden ze een nieuwe munt smeden. Door dit afveilen werd de officiële munt lichter en eigenlijk dus minder waard. In die tijd werden er ook veel mensen overvallen en beroofd van hun geld, maar een oplossing konden ze hierop niet echt vinden. Pas rond de jaren 80 ontstond een nieuwe revolutie en die heette de pinpas. Hiermee hoefde je niet met contant geld over straat te lopen met het risico overvallen te worden en je geld kwijt te raken. Want met de pinpas kan je gewoon in de winkels je tegoed betalen zonder geld te overhandigen. Met de 4-cijferige pincode werd het ook erg lastig om je pinpasje te kraken. Het risico om veel contant geld in een keer kwijt te raken werd dus in een klap keer kleiner. (4-cijferige pincode met herhalingen) Voor- en nadelen De pincode is een 4-cijferig nummer dat een bepaald systeem beveiligt. Dit kan zijn bij een bank (geldautomaten) of bij een kluis van een bedrijf. Deze pincode heeft echter maar vier cijfers, dit kan als gevolg hebben dat er fraude wordt gepleegd met het beperkt aantal cijfers. Betalen met de pincode samen met de Chipknip en Creditcards maken het geldverkeer steeds makkelijker. Het zijn de betaalmiddelen van deze tijd. Maar is het ook een veilig alternatief voor contant geld? Een voordeel van de pincode samen met een bankpas is, dat men dag en nacht geld kan opnemen bij geldautomaten en ermee kan betalen bij alle betaalautomaten in Nederland. De Chipknip met de pincode is handig om kleine bedragen te betalen. Om in en buiten Europa geld op te nemen is de Europas nodig. Dat kan niet bij alle geldautomaten, maar bij deze waar een EC-, Cirrus en Maestro- vignet op staat. Hieronder heb ik alle voor- en nadelen opgeschreven de ik uit verschillende bronnen heb kunnen afleiden. De voordelen van de pincode/pinpas: De pincode is persoonsgebonden, verder weet niemand jouw pincode Het is veiliger dan dat men contant geld op zak heeft, omdat een dief met je pasje bijna niks kan doen, maar met een volle portemonnee wel Je hoeft niet naar de bank om geld op te halen zonder een pinpasje zou je anders steeds naar de bank moeten gaan om contant geld op te halen. Er zijn beperkingen van diefstallen, overvallen en fraude, omdat een pasje zonder pincode niks waard is en er een maximum is aan wat je per week kan opnemen Het is mogelijk om gepast te betalen De transacties verlopen vrijwel veel sneller als dat je met contant geld zou betalen. De nadelen van de pincode/pinpas zijn: Pagina 2 van 8

3 Als men de code vergeet of verliest, moet er een nieuwe worden aangevraagd, omdat niemand anders de code weet en het is ook veiliger in verband met diefstal Het is gevoelig voor fouten in computersystemen, als er in de computer iets niet goed is kun je bijvoorbeeld geen geld opnemen Transactiekosten bij betalingen en geldopnames in het buitenland, want deze zijn ten behoeve van kostendekking van de buitenlandse bank De geldautomaat heeft een gebrekkig functionaliteit, zodat men weinig met een pincode kan doen De pincode schiet tekort bij betalingen in het buitenland, de veiligheid is niet gegarandeerd, want er kan zonder pincode worden betaald Door gebrek aan veiligheid moet de consument zich gaan toeleggen op een alternatief voor betalen in het buitenland, namelijk met contant betalen of met een creditcard. De functie: veiligheid van betalen met de pincode valt hierdoor in het niet conclusie: Zoals u kunt zien heeft de pincode evenveel voordelen als nadelen. In het eigen land wordt de pincode als vrij veilig beschouwd omdat je hier een pincode moet intoetsen voordat je geld kan overmaken/krijgen. Maar in het buitenland wordt de pinpas meer als een gevaar gezien voor je bankrekening, want hier kun je wél betalen zonder een pincode in te toetsen. Ook is het betalen in het buitenland duurder omdat er hoge(re) transactie kosten aan verbonden zitten. We kunnen dus concluderen dat de mensen in hun eigen land het liefst met de pinpas betalen, maar in het buitenland liever niet. Vragen over de veiligheid van de pincode/pinpas Van tevoren wil ik nog even zeggen dat al deze gegevens berusten op theoretische feiten. Deze berekeningen willen dus niets zeggen over de situatie zoals die werkelijk is. Vraag 1: Als aller eerste moeten we ons afvragen hoeveel pincodes er kunnen bestaan. We rekenen bij deze situatie allebei de gevallen uit namelijk met herhalingen en zonder herhalingen. Met herhalingen zijn er 10*10*10*10 = verschillende codes mogelijk. (er zijn 10 verschillende cijfers mogelijk per stukje, en er gaan 4 cijfers in een code) Zonder herhalingen zijn er 9*9*9*9 = 6561 verschillende codes mogelijk. (er zijn nu 9 verschillende cijfers per stukje over want er valt er steeds een weg en er gaan 4 cijfers in een code) Vraag 2 Nu willen we natuurlijk graag weten hoeveel (mogelijke) dezelfde pincodes er kunnen bestaan in Nederland. Daar voor moeten we eerst uitrekenen hoeveel bankrekeningnummers er zijn. Dat zijn 10*10*10*10*10*10*10*10*10 = 1 miljard bankrekeningnummers als we uitgaan van een Pagina 3 van 8

4 bankrekeningnummer met herhalingen. (Er gaan namelijk 9 nummers in een bankrekeningnummer) We moeten ook berekenen hoeveel bankrekeningnummers er zijn zonder herhalingen dat zijn 9*9*9*9*9*9*9*9*9 = bankrekeningnummers. (Er gaan namelijk 9 nummers in een bankrekeningnummer en er vervalt nu steeds een getal) Vraag 3 Nu kunnen we berekenen hoeveel (mogelijke) dezelfde pincodes er kunnen zijn. Hiervoor moeten we het aantal bankrekeningnummers delen door het aantal verschillende pincodes. Hierbij berekenen we weer beide situaties; met en zonder herhalingen. 1 miljard bankrekeningnummers/ verschillende pincodes = (mogelijke) dezelfde pincodes. (met herhalingen) bankrekeningnummers/6561 verschillende pincodes = (mogelijke) dezelfde pincodes. (zonder herhalingen) U ziet dus dat er best wel veel dezelfde pincodes zijn, maar u kunt zien bij de volgende som dat de kans heel erg klein is dat je iemand met dezelfde pincode tegenkomt. Vraag 4 Het zou ook wel leuk zijn om uit te rekenen hoe groot de kans is dat je iemand met dezelfde pincode tegenkomt. Hiervoor moeten we eerst weten hoeveel mensen er in Nederland gebruik maken van een pinpas. Hiervoor heb ik op het internet gezocht, en kwam ik tot de ontdekking dat in 1998, 94% v/d bevolking in het bezit was van een pinpas. Toen ben ik naar het CBS gegaan en heb ik opgezocht hoeveel inwoners Nederland toen had, dat waren er Dus nu kunnen we uitrekenen hoeveel mensen er een pinpas hadden *0,94 = inwoners maakten gebruik van de pinpas. Nu kunnen we berekenen hoe groot de kans is door het aantal (mogelijke) dezelfde pincode te delen door het aantal pinpas gebruikenden en daarna maal 100%. We gaan ditmaal ook weer uit van de beide situaties / = 0,0067*100% = 0,67% kans dat je iemand met dezelfde pincode tegenkomt. (met herhalingen) 59049/ = 0,0039*100% = 0,39% kans dat je iemand met dezelfde pincode tegenkomt. (zonder herhalingen) Vraag 5 Ditmaal doe ik ook een kansrekening, maar ik ga nu kijken naar de provincies. Hoe groot daar de kans is Pagina 4 van 8

5 om iemand met dezelfde pincode tegen te komen. Om dit te berekenen moet ik het totaal aantal mensen met dezelfde pincode delen door het aantal provincies. Het antwoord is het aantal mensen met dezelfde pincode binnen de provincie. Ook deze keer berekenen we beide situaties /12 = 8333 inwoners per provincie met (mogelijk) dezelfde pincode. (met herhalingen) 59049/12 = 4921 inwoners per provincie met (mogelijk) dezelfde pincode. (zonder herhalingen) Nu moeten we het aantal mensen met (mogelijk) dezelfde pincode in een provincie delen door het totaal aantal Nederlanders dat gebruik maakt van de pinpas en daarna maal 100%. 8333/ = 0,00056*100% = 0,056 % kans dat je iemand met (mogelijk) dezelfde pincode tegenkomt binnen je provincie. (met herhaling) 4921/ = 0,00033*100% = 0,033% kans dat je iemand met (mogelijk) dezelfde pincode tegenkomt binnen je provincie. (zonder herhaling) Vraag 6 De kans is misschien erg klein dat je iemand met dezelfde pincode tegenkomt, maar er is altijd een kans. Dus daarom ga ik nu berekenen bij hoeveel getallen de pincode wel veilig is in gebruik zonder een kans dat je iemand met dezelfde pincode tegenkomt. Aangezien een bankrekeningnummer uit 9 getallen bestaat is het ook logisch dat een pincode veilig is als die uit even veel getallen bestaat, want de verhouding is dan 1:1. Maar er bestaan meer als een miljard mensen op aarde dus eigenlijk is de pincode nog steeds niet helemaal veilig. Dus eigenlijk moeten de pincode en de bankrekeningnummers uit 10 getallen bestaan, pas dan is elke pincode uniek. Want 10*10*10*10*10*10*10*10*10*10 = 10 miljard en er zijn 6 miljard mensen op aarde. Maar toch heeft men liever een pincode die uit 4 getallen bestaat want 10 getallen zijn wel erg veel om te onthouden. Conclusie over de 4-cijferige pincode U ziet dat 4 cijfers niet erg veel zijn, en dat er toch veel dezelfde pincodes zijn namelijk met herhalingen en dezelfde pincodes zonder herhalingen. Dat zijn er toch aardig wat. Maar de kans is echt heel erg klein dat je iemand met dezelfde pincode tegenkomt. Hieruit kan ik dus concluderen dat het gebruik van een 4-cijferig pincode voldoende veilig is in gebruik. Maar als je je geld echt veilig wil stellen dan moeten we overstappen op een 10-cijferige pincode en een bankrekeningnummer met 10 cijfers, want pas dan is elke pincode uniek. (herhalingen tellen dan wel mee) Leuke rekensommen over de pinpas Pagina 5 van 8

6 Vraag 1 Stel je voor je bent altijd slecht in het onthouden van getallen. Je pincode is dus ook een van die getallen die je maar niet kan onthouden, dus daarom heb je de pincode op een papiertje geschreven. Maar tijdens het koffiedrinken valt je kop koffie over dat papiertje heen die je net op tafel had liggen. Na dit ongeluk is nog maar één getallen zichtbaar. Hoe groot is nu de kans dat je de juiste pincode in toetst. Om de kans te berekenen moeten we eerst nagaan op hoeveel manieren je 3 getallen kan in toetsen. De pincode ziet er als volgt uit: C*** (C staat voor cijfer) De mogelijkheden zijn dus 1*10*10*10 = 1000 manieren om de pincode af te maken. Om de kans nu te berekenen moeten we de 3 juiste getallen delen door het aantal manieren en daarna maal 100% doen. Dus 3/1000 = 0,003*100% = 0,3 % kans dat je de juiste pincode zou intoetsen. En wat als er nog 2 pincodes te zien waren. Hoe groot zou dan de kans zijn om de juiste pincode in te toetsen? De pincode ziet er zo uit: CC**. De mogelijkheden om de pincode af te maken zijn dus 1*1*10*10 = 100 manieren om de pincode af te maken. De kans om de juiste pincode af te maken is de 2 juiste getallen delen door het aantal mogelijkheden om de pincode af te maken. Dus 2/100 = 0,02*100% = 2% kans om de goede pincode in te toetsen Vraag 2 Stel je voor je bent een zakkenroller en steelt regelmatig een beurs waarin een pinpas zit. Omdat je toch graag wil proberen om de pinpassen te kraken ga je naar de bank om de pincode te kraken. Hierbij ga je ervan uit dat alle vier de getallen in het bankrekeningnummer staan. De vraag is nu hoeveel verschillende manieren er zijn om de pincode in te toetsen? Er zijn 1 miljard manieren om een bankrekening te vormen. Als je hier nu een pincode uit moet kiezen dan zijn er 1 miljard ncr 4 = 4,16^34 manieren om een pincode uit het bankrekeningnummer samen te stellen. Stel dat het bankrekeningnummer is, en je moet hier uit kiezen waarin de goede pincode zit. Je gaat er van uit dat de vier getallen achter elkaar staan (de volgorde is dus van belang) Op hoeveel manieren kun je nu een pincode intoetsen? Zoals u ziet gaat het bij deze som om een combinatie van 4 getallen uit 9 getallen. De volgorde is niet van belang. Het aantal verschillende manieren is dus 9 ncr 4 = 126 verschillende manieren om een pincode in te toetsen. Stel dat het bankrekeningnummer is, en je moet hier uit kiezen waarin de goede pincode zit. Pagina 6 van 8

7 Dit maal kies je steeds een willekeurig getal uit de reeks en maakt hier een pincode van. Als je een getal gekozen hebt mag je hem niet nog een keer kiezen. Op hoeveel manieren kan het dit maal? We zijn dat het hierbij om een permutatie gaat van 4 uit 9 getallen. Het antwoord op deze vraag moet dan ook zijn 9 npr 4 = 3024 manieren om aan de 4-cijferige pincode te komen. De pinpas zou nu waarschijnlijk wel ingeslikt zijn, maar achteraf gezien hoe groot was de kans nou eigenlijk dat je wel de juiste pincode zou intoetsen? Als we nu uitgaan dat de pincode echt in het bankrekeningnummers zat, dan was de kans heel erg klein dat hij de juiste pincode in toetste namelijk: 4/1 miljard = 0, *100% = 0, % dat de tasjesdief de juiste pincode in toetste. De echte kans is natuurlijk 1/ = 0,0001*100% = 0,01% dat de juiste pincode er tussen zat. (met herhalingen) 1/6561 = 0,00015*100% = 0,015% dat de juiste pincode er tussen zat. (zonder herhalingen) Vraag 3 Je bent net 12 jaar geworden en je wilt graag een eigen pinpas. Je vraagt er dus eentje aan en bij deze bank mag je je eigen pincode kiezen. Maar je bent wel bijgelovig en je wilt dus het getal 13 zien te vermijden. Ook ben je van mening dat herhalingen te makkelijk zijn om te kraken, dus die zijn ook uitgesloten. Hoeveel verschillende pincodes kun je nu nog maken zonder dat er herhalingen en het getal 13 er in voorkomen? Allereerst reken ik uit hoe vaak je een pincode kan maken zonder dat het getal 13 er in voorkomt. Ten eerste reken ik het aantal combinaties uit met het getal 13 voor aan. De pincode wordt dan 13CC. (de C staat voor Cijfer) Voor de C kan ik 10 invullen, want er zijn 10 verschillende getallen die bruikbaar zijn voor een pincode. Het wordt dus 1*1*10*10 = 100 pincodes met het getal 13 voorop. Nu bereken ik al 13 in het midden zou staan dus C13C. Dit wordt eigenlijk precies hetzelfde want de berekening wordt 10*1*1*10 = 100 pincodes met het getal 13 in het midden. Voor het getal 13 aan het eind mag ik ook aannemen dat dat ook 100 pincodes zijn. De pincode 1313 doet ook mee als pincode die je niet wil, dus worden het er in totaal 301 pincodes minder als het getal 13 niet mee doet. Zonder herhalingen waren er 6561 verschillende codes mogelijk. Aangezien er 301 pincodes afvallen kunnen we nu berekenen hoeveel codes er over blijven = 6260 verschillende codes blijven er nu nog over om te maken. Vraag 4 Je oude pinpas is kapot dus je hebt een nieuwe nodig. Als je bij de bank komt stellen de mensen je daar voor de keus om je eigen pincode te kiezen. Omdat je altijd er slecht bent geweest in getallen boven de 6 te onthouden, ga je met een dobbelsteen je pincode bepalen. Het maakt je niet uit of er herhalingen Pagina 7 van 8

8 tussen zitten of niet. Hoeveel verschillende pincodes kun je op deze manier maken? Bij deze opgave kunnen we een boomdiagram zoals hieronder erbij denken. Je gooit viermaal om de 4- cijferige pincode samen te stellen, dus die houdt na 4 bomen al op. De oplossing op deze vraag moet dan ook zijn (6^4) 6*6*6*6 = 1296 manieren om een 4-cijferige pincode samen te stellen met een dobbelsteen. Vraag 5 Je bent een heel achterdochtig type en je bent nooit helemaal zeker van de zaak. Zo ben je ook bang dat iemand in je eigen familie dezelfde pincode heeft. Deze familie bestaat uit 86 mensen en 68% daarvan maakt gebruik van de pinpas. Je kan natuurlijk niet vragen wat de pincode van een ander is dus daarom maakt je een kansberekening om na te gaan hoe groot de kans is dat iemand binnen je familie dezelfde pincode heeft. Om deze kans te berekenen moeten we natuurlijk eerst nagaan hoeveel dezelfde pincodes er zijn. Dat zijn er met herhalingen en zonder herhalingen. We moeten ook nagaan hoeveel mensen in de familie gebruik maakt van de pinpas. Dat zijn er 86*0,68 = 58,48 58 mensen in de familie. Om nu de kans uit te rekenen dat iemand in de familie dezelfde pincode heeft moet je het pinpas gebruikenden in de familie delen door het aantal dezelde pincodes en daarna maal 100% 58/ = 0,00058*100% = 0,058% kans dat iemand in je familie dezelfde pincode heeft. 58/59049 = 0,00098*100% = 0,098% kans dat iemand in je familie dezelfde pincode heeft. Nawoord Het werkstuk was wel leuk en grappig om te maken omdat je er vaak niet bij stil staat wat er allemaal gemoeid gaat omtrent je pinpas en je pincode. Ik had er namelijk nooit bij stilgestaan dat er best wel veel dezelfde pincodes zijn en dat je pinpas echt niet zo veilig is als je denkt. Al met al denk ik toch wel dat de pinpas wel voldoende veilig is om je geld te beschermen tegen overvallers etc. want zoals u heeft kunnen lezen in de vraagstukken die ik gemaakt en verzonnen heb is de kans heel erg klein dat je pincode daadwerkelijk gekraakt wordt. Wat ik wel moeilijk vond aan het werkstuk was echt goede vragen te verzinnen om in het werkstul te verwerken, want ik wou zo weinig mogelijk vragen dubbelop maken. Ik had ook een streefdoel van 5 pagina s met wiskunde en 4 pagina s met andere dingen over de pinpas zodat het echt een wiskunde werkstuk was. Ik hoop dat u mijn werkstuk voldoende origineel vond en dat ik een goede voldoende scoor. Pagina 8 van 8