Mastermind met acht kleuren

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Mastermind met acht kleuren"

Transcriptie

1 Geschreven voor het vak: Wiskunde gedoceerd door H. Mommaerts Onderzoekscompetentie Mastermind met acht kleuren Auteurs: Tom Demeulemeester Pieter Van Walleghem Thibaut Winters 6LWIi 22 april 2014

2 1 Inleiding In de volgende paar pagina s presenteren wij onze onderzoeksopdracht over Mastermind. Wij hebben dit onderwerk gekozen omdat wij Mastermind een interessant spel vinden en omdat wij graag wouden weten of er wiskunde in dit simpel spelletje zit. En die wiskunde zit er zeker in: als je Mastermind degelijk wilt spelen, moet je constant aan kansrekenen doen en kom je soms zelfs een paar ingewikkelde fomules tegen. Tijdens ons onderzoek hebben we ons vooral geconcentreerd op ideale zetten: de optimale beginzet, de optimale tweede zet na het krijgen van een eerste antwoord en de optimale derde zet, rekening houdend met de vorige 2 antwoorden. Het verschil tussen ons onderzoek en het meeste voorafgaande onderzoek is dat wij ons op de Mastermindversie met acht verschillende kleuren hebben geconcentreerd, terwijl het vorig onderzoek altijd ging over de versie met zes verschillende kleuren. Die twee extra kleuren zorgen ervoor er veel meer mogelijkheden bestaan, waardoor er ook meer rekenwerk is. Onze onderzoeksopdracht bestaat eigenlijk uit drie delen: in het eerste deel leggen we de regels van Mastermind uit en leggen we de termen uit die doorheen deze onderzoeksopdracht gebruikt zullen worden. Daarna leggen we de meest bekende reeds bestaande technieken uit om Mastermind in zo weinig mogelijk beurten uit te spelen en daarna presenteren wij ons eigen onderzoek. Het doel van onze onderzoeksopdracht is dubbel: ten eerste hopen wij dat na het lezen van deze paar pagina s je meer inzicht hebt in de werking van het spel Mastermind en ten tweede wouden we een boekje maken met daarin alle ideale zetten voor alle mogelijke scenario s voor de eerste drie beurten. 1

3 2 Regels en notatie Mastermind is een gezelschapsspel voor twee spelers, uitgevonden door Mordecai Meirdowitz in Om te beginnen kiest Speler 1 een geheime code die bestaat uit vier al dan niet verschillende kleuren. Vervolgens moet Speler 2 in een minimum aantal beurten die code proberen te raden door middel van gokken. Op elke gok krijgt hij dan een antwoord van Speler 1 waardoor hij iets meer te weten komt over de code. Dit antwoord bestaat uit een aantal rode en/of witte pinnetjes: Het aantal rode pinnetjes komt overeen met het aantal kleuren dat in de code voorkomt en op de juiste plaats staat. Het aantal witte pinnetjes komt overeen met het aantal kleuren dat in de code voorkomt, maar niet op de juiste plaats staat; Deze formulering om het aantal witte pinnetjes te berekenen, is voor ons het makkelijkst om te begrijpen, maar wanneer men dit wil programmeren zodat een computer ook het aantal witte pinnetjes kan berekenen, is dit een zeer omslachtige werkwijze. Een alternatief is om het aantal rode en witte pinnetjes te berekenen als volgt 1 : rood + wit = min(n 1, n 1 )+min(n 2, n 2)+...+min(n 6, n 6) Hierbij is n i het aantal keer dat symbool i voorkomt in het codewoord en n i het aantal keer dat symbool i voorkomt in de gok. Het aantal rode en witte pinnetjes stellen we voor door (rood,wit). Doorheen deze onderzoeksopdracht zullen we codes op twee verschillende manieren voorstellen. De eerste manier is door middel van de getallen 1, 2, 3... Elk getal stelt een bepaalde kleur voor en wanneer een code op deze manier is voorgesteld, wordt er verwezen naar één concrete code, met de getallen op de overeenkomstige posities. Als de code 1234 is bijvoorbeeld en de gok is 1345, dan staat alleen 1 op de juiste plaats en is er dus maar één rood pinnetje. 3 en 4 komen ook in de code voor, maar staan op de verkeerde plaats. Dus zijn er twee witte pinnetjes en noteren we dit resultaat als (1, 2). Dit wordt ook wel het antwoord genoemd. Maar soms zal het ook nodig zijn om een verzameling codes weer te geven en dit zullen we doen door middel van de letters A, B, C... Ook hierbij stelt elke letter een verschillende kleur voor. Wanneer men echter over meerdere kleuren evenveel weet, worden deze kleuren voorgesteld door dezelfde letter. Bovendien staan bij deze notatie de letters niet noodzakelijk in de correcte volgorde, maar zal Speler 2 deze volgorde bepalen door rekening te houden met de antwoorden op de vorige beurten. 1 Donald E. Knuth,

4 Stel dat we als eerste gok een code van de vorm ABCD nemen (bijvoorbeeld 1234) en stel dat het antwoord hierop (1,2) is. ABEF en ABGH zijn dan gelijke gokken in de tweede beurt. Om het eenvoudiger te houden gebruiken we de letters altijd in alfabetische volgorde en zullen we hier ABEF noteren. Concreet zou de tweede beurt er dan kunnen uitzien als 1526, maar evengoed als 6281, Deze notaties zullen door elkaar gebruikt worden. 3 Reeds bekende strategieën 3.1 The Simple Strategy Bij de Simple Strategy is er voor Speler 2 weinig denkwerk vereist, vandaar ook de naam. Deze strategie is bedacht door Shapiro in Voor deze strategie heeft Speler 2 een lijst nodig met daarop alle mogelijke combinaties. De eerste combinatie op deze lijst wordt zijn eerst gok. Nadat hij het antwoord krijgt, bv (1,1), zoekt hij op zijn lijst naar de eerstvolgende combinatie die aan de gekregen voorwaarden voldoet. Die combinatie wordt dan zijn volgende gok. Dit blijft Speler 2 herhalen totdat zijn gok het juiste antwoord is. Deze strategie zal absoluut niet de snelste strategie zijn, omdat er niet veel informatie uit de antwoorden gehaald wordt. Als Speler 2 namelijk zijn gokken nauwkeurig zou uitkiezen, dan zou hij veel meer informatie kunnen halen uit één gok. Verder is dit ook geen goede strategie omdat hij veel te veel tijd vergt: als we spelen met een code bestaande uit 4 kleuren en er keuze is uit 8 kleuren, die herhaald mogen worden, dan zou de lijst van mogelijke combinaties 8 4 of 4096 lijntjes lang moeten zijn. Het is logisch dat zo een lange lijst nogal onhandig is om mee te spelen en om de combinaties te vinden die wel nog voldoen aan te voorwaarden. 3

5 3.2 The Worst-Case Scenario Wanneer Speler 2 een gok doet, dan verdeelt hij de 4096 mogelijke combinaties eigenlijk in verschillende groepen: de combinaties die voldoen aan (0,0), die voldoen aan (0,1)... Zo verkleint hij het aantal combinaties die nog eventueel de juiste code kunnen zijn. Instinctief voelen we dus aan dat het voor Speler 2 voordelig is als de groep waartoe de juiste combinatie behoort, zo klein mogelijk is. Antwoord AAAA AAAB AABB AABC ABCD (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (2,0) (2,1) (2,2) (3,0) (4,0) De bovenstaande tabel geeft het aantal resterende mogelijkheden weer voor Speler 2 na een bepaald antwoord op de eerste gok van de vorm AAAA, AAAB... Deze tabel is enkel geldig voor een code bestaande uit 4 kleuren gekozen uit 6 kleuren. In deze tabel kunnen we duidelijk zien dat het voor Speler 2 niet zo zinvol is om met de zet AAAA te beginnen, omdat hij dan de mogelijkheid heeft dat hij heel veel resterende mogelijkheden heeft. Zo heeft hij nog altijd 625 mogelijke combinaties over als hij (0,0) als antwoord krijgt. De Worst-Case Scenario is op dit principe gebaseerd: bij deze strategie houdt met rekening met het ergste dat er voor Speler 2 kan gebeuren, namelijk het grootste aantal resterende combinaties na binnen een bepaalde kolom. Daarom kiest men bij deze strategie als gok de combinatie die leidt tot een zo klein mogelijke grootste groep van combinaties. Bij 6 kleuren kan Speler 2 dus best beginnen met een combinatie in de vorm van AABB, want die heeft de kleinste grootste groep. Er zitten namelijk maar 256 combinaties in de groep met de meeste combinaties bij AABB. 4

6 3.3 The Expected-Size Strategy In plaats van naar het ergst mogelijke geval te kijken, kunnen we ook kijken naar de verwachte waarde (Expected-Size) van een bepaalde gok. Om de verwachte waarde van één groep te berekenen, vermenigvuldigen we de kans dat het antwoord in deze groep ligt met het aantal elementen uit deze groep. Concreet betekent dit dat de Expected-Size van bv (1,1) met AAAB als eerste gok gelijk is aan 156/ of anders geschreven gelijk is aan /1296 Met behulp van deze verwachte waarde kunnen we ook gaan bepalen wat de ideale beginzet is. We kunnen namelijk ook de Expected-Size van een beginzet bepalen. Dit doen we door alle verwachte waardes van de verschillende groepen van één zet op te tellen. De Expected-Size van AAAA is dan gelijk aan ( )/1296 wat ook gelijk is aan Eerste zet Verwachte waarde AAAA AAAB AABB AABC ABCD Uit de bovenstaande tabel kunnen we de Expected-Sizes aflezen die we berekend hebben op dezelfde manier als bij AAAA. Met behulp van deze waardes kunnen we bepalen wat de ideale beginzet is: hoe kleiner de verwachte waarde is, hoe kleiner we gemiddeld de groepen van een bepaalde zet gaan verwachten. De zet met de kleinste verwachte waarde zal dus waarschijnlijk het snelst tot een correcte oplossing leiden. We kunnen hieruit dus aflezen dat volgens deze methode AABC de beste eerste zet is. 5

7 3.4 Most Parts 2 Bij de vorige twee strategieën hebben we gemerkt dat het aantal antwoorden waarbij er resterende mogelijkheden zijn vaak van cruciaal belang is. Een antwoord waarvoor er resterende mogelijkheden zijn in de volgende beurt noemen we een groep. Bij de Worst-Case Scenario bevatte de grootste groep minder combinaties naarmate er meer groepen waren die wel elementen bevatten. Bij de Expected-Size Strategy zorgden veel groepen voor kleinere kwadratische waarden, waardoor de verwachte waarde kleinder werd. We kunnen dus concluderen dat het aantal groepen een bepalende factor is voor een eventuele ideale beginzet. Daarom stellen we ook nog deze laatste strategie voor: de Most Parts Strategy. Deze strategie is volledig gebaseerd op het aantal groepen een bepaalde zet heeft. Het is eigenlijk een zeer simpele strategie: je neemt gewoon de zet met de meeste groepen als ideale zet. Uit de gegevens uit de tabel van 3.2 kunnen we de volgende tabel maken: Eerste zet aantal groepen AAAA 5 AAAB 11 AABB 13 AABC 14 ABCD 14 We zien dus dat de zet AAAA maar 5 groepen heeft en daarom een zeer domme eerste zet zou zijn, als je het spel in zo weinig mogelijk zetten wilt winnen. We kunnen ook vaststellen dat zowel AABC als ABCD het maximaal aantal groepen heeft, namelijk 14. Volgens deze strategie zouden AABC en ABCD dus allebei ideale eerste zetten zijn. 3.5 Conclusie We kunnen dus vaststellen dat er veel verschillende methodes bestaan om een ideale beginzet te selecteren, de ene al wat ingewikkelder dan de andere. Voor ons onderzoek hebben we gekozen om gebruik te maken van de Expected-Size Strategy, omdat deze het meest wiskundig is en volgens ons het meest correcte resultaat weergeeft. Het is ook de makkelijkste Strategy om te berekenen via computerprogramma s. 2 Barteld Kooi,

8 4 Uitleg onderzoek In de originele versie van Mastermind bestaat de code uit vier (al dan niet verschillende) kleuren en er is keuze uit zes verschillende kleuren. Dit is in Amerika veruit de populairste versie van Mastermind, maar in België wordt er vooral gespeeld met een variant waarbij er keuze is uit acht verschillende kleuren. Over deze variant is er, in tegenstelling tot de originele versie, nog maar weinig onderzoek uitgevoerd. Wij hebben dus geprobeerd om een winnende strategie te vinden voor deze variant en dit hebben we gedaan aan de hand van een computerprogramma dat we zelf geschreven hebben. Bij ons onderzoek hebben we gekozen voor dus de Expected-Size strategie. Deze waarde hebben we voor alle zinvolle mogelijkheden in de eerste drie beurten berekend. We hebben niet gekozen om zoals Donald E. Knuth in zijn onderzoek (zie bijlage 1) een schema te maken met de exacte combinatie die Speler 2 moet zetten omdat dit voor acht kleuren veel te uitgebreid zou worden. Daarentegen formuleren wij de code altijd onder de vorm van letters, waarbij elke letter een andere kleur voorstelt. Deze letters zijn echter nog niet in de juiste volgorde geplaatst. Speler 2 bepaalt dus zelf in welke volgorde de kleuren staan, door rekening te houden met de antwoorden uit de vorige beurten. Met 1234 als eerste gok en (1,1) als antwoord hierop zal de gok in beurt twee van de vorm ABEF moeten zijn. Dit betekent dat 1526, goede gokken zijn, maar 5612 niet omdat deze gok niet kan voldoen aan de voorwaarde uit het antwoord op de eerste beurt, namelijk dat er één rode is en één witte. Het doel van ons eigen onderzoek was om een soort boekje te hebben waarmee men in de eerste drie beurten duidelijk kan zien van welke vorm het antwoord moet zijn. 5 Uitleg programma Ons eigen onderzoek hebben we gevoerd met behulp van een Excel-programma dat we zelf geschreven hebben. Dit programma berekent het aantal resterende mogelijkheden na een bepaald aantal zetten wanneer de code bestaat uit vier kleuren en er in totaal acht verschillende kleuren zijn, die worden voorgesteld door nummers van 1 tot 8. Het bepalen van het aantal witte en rode pinnetjes gebeurt met behulp van de formule die Donald E. Knuth geformuleerd heeft 3 : rood + wit = min(n 1, n 1 )+min(n 2, n 2)+...+min(n 6, n 6) Het is ook mogelijk om de zetten die nog gezet kunnen worden te bekijken; daarvoor moet er een beetje naar rechts gescrold worden. De overblijvende mogelijkheden zijn dan aangegeven door een groen vakje. 3 Donald E. Knuth,

9 6 Beurt 1 De gok voor de eerste beurt kan maar vijf verschillende vormen aannemen. De tabel met het aantal overblijvende mogelijkheden ziet er als volgt uit: Antwoord AAAA AAAB AABB AABC ABCD 0, , , , , , , , , , , , , , Expected-Size 1888,28 932,60 852,58 705,25 665,14 We merken dat ABCD de laagste Expected-Size heeft en we zullen de rest van het onderzoek dus voortbouwen op ABCD als eerste zet. 7 Beurt 2 De optimale keuzes voor beurt twee zien er als volgt uit: Resultaat beurt 1 Gok beurt 2 Expected-Size 0,0 EEFG 30,83 0,1 AEFG 145,51 0,2 ABEF 136,55 0,3 ABEF 35,68 0,4 ABCD 2,78 1,0 AEFG 74,82 1,1 ABEF 99,61 1,2 ABEF(rw) 36,29 1,3 ABCD 3,25 2,0 AEFG 35,75 2,1 ABEF(rw) 11,61 2,2 ABCD 3 3,0 AEFG 7,64 4,0 ABCD 1 8

10 Vanaf deze beurt moet Speler 2 dus zelf de volgorde bepalen waarin hij de kleuren plaatst. Wanneer deze volgorde niet eenduidig te bepalen is, staat er in de tabel vermeld welke kleuren van de eerste beurt Speler 2 moet overnemen. Wanneer de eerste gok 1234 is bijvoorbeeld en het antwoord (1,2), dan volgt uit de tabel dat het antwoord van de vorm ABEF is. Dit betekent dat zowel 1526 (één rode en één witte uit de eerste beurt), 5126 (twee witte uit de eerste beurt) en 1256 (twee rode uit de eerste beurt) goede mogelijkheden zijn voor de tweede gok. De Expected-Size van elk van deze mogelijkheden is: Gok beurt 2 Expected-Size , , ,35 De Expected-Size van 1526 is het laagste, en het blijkt dus dat het voordeliger is om een rode en een witte uit de eerste beurt over te nemen. Dit wordt in de tabel weergegeven door (rw). Het blijkt uit deze resultaten dat het niet voordelig is om een kleur meerdere keren in de gok op te nemen tijdens de eerste twee beurten. Dit is wel opmerkelijk aangezien de code wel degelijk meerdere keren dezelfde kleur kan bevatten. Dit is ook in contrast tot de originele versie van Mastermind, waar volgens de meeste onderzoeken AABC als de optimale eerste zet beschouwd wordt. 8 Beurt 3 Vanaf de derde beurt wordt het iets moeilijker om de ideale zetten te berekenen, omdat er gewoonweg veel meer mogelijkheden zijn. Op elke ideale tweede zet, kun je weer verschillende mogelijke antwoorden krijgen. Hierdoor was het al wat meer werk om voor elke mogelijkheid een ideale zet te vinden Vanaf de derde beurt wordt het ook wat moeilijker voor Speler 2. Hij moet nu rekening houden met de twee voorafgaande antwoorden voordat hij een nieuwe combinatie kiest. Bovendien moet hij de volgorde van de kleuren nog bepalen rekening houdend met de antwoorden op de vorige twee beurten. De optimale zetten in de derde beurt zijn te vinden in de tabellen achteraan dit document. 9

11 9 Beurt 4 en verder Vanaf beurt 4 zijn we gestopt met het zoeken naar ideale zetten. Dit hebben we gedaan om twee redenen. Ten eerste is het vanaf beurt 4 echt bijna onmogelijk om alle mogelijke gevallen te bespreken. Ten tweede blijven er meestal, na het krijgen van drie antwoorden, voor Speler 2 niet veel mogelijkheden meer over om uit te kiezen, waardoor een normale speler wel in staat moet zijn om vanaf dan zelf de ideale zetten te kiezen. 10 Slot We hebben nu dus gevonden wat er in de eerste 3 beurten moet gedaan worden om zo snel mogelijk de oplossing te vinden. De vraag is nu: wat is zo snel mogelijk? We hebben enkele simulaties uitgevoerd. Op die manier zijn we te weten gekomen dat we gemiddeld 5,125 beurten nodig hebben om de code te kraken. Het maximum aantal beurten is acht. We kunnen ons resultaat moeilijk vergelijken met anderen, want er zijn amper strategieën gevonden voor 8 verrschillende kleuren. Wel kunnen we dit vergelijken met s werelds beste strategie voor 6 kleuren. Dit is de strategie van Koyoma en Lai. Met behulp van hun strategie kon je de code kraken in gemiddeld 4,340 beurten. Dit komt overeen met 0, beurten per kleur. Ons resultaat zorgt voor 0, beurten per kleur en is in dat opzicht dus zelfs iets beter. Ons onderzoek heeft dus niet veel verschillende aantallen kleuren onderzocht, maar heeft zich geconcentreerd op 1 onderdeel. En dit met een verbluffend resultaat. 11 Bronvermelding KOOI, B., Yet Another Mastermind Strategy, ICGA Journal, jaargang 28, januari, nr. 1, p KNUTH, D.E., The Computer As Master Mind, Journal Recreational Mathematics, jaargang 9, nr. 1, pagina s onbekend 10

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden.

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Uitleg Welkom bij de Beverwedstrijd 2006 Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Je krijgt 5 vragen van niveau A, 5 vragen van niveau B en 5 vragen van niveau C. Wij denken

Nadere informatie

PIN-Cracking. Anne Eggels & Aukje Boef. 21 juni 2012 Where innovation starts

PIN-Cracking. Anne Eggels & Aukje Boef. 21 juni 2012 Where innovation starts PIN-Cracking Anne Eggels & Aukje Boef 21 juni 212 Where innovation starts Inhoud 2/23 Uitleg probleem Kleine herhaling vorige presentatie Codes kraken aan de hand van bewegingen Statistieken Conclusie

Nadere informatie

Wiskunde D assignment problem. Hier stonden ooit namen

Wiskunde D assignment problem. Hier stonden ooit namen Wiskunde D assignment problem Hier stonden ooit namen Inhoud Wat? Pagina Het probleem 2 Probleem analyse 3 4 Oplossing adjacency assignment 5 6 Oplossing gerneral assignment via hungarian algorithm Oplossing

Nadere informatie

Examen VWO 2015. wiskunde C. tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2015. wiskunde C. tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2015 tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur wiskunde C Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 22 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

8. Complexiteit van algoritmen:

8. Complexiteit van algoritmen: 8. Complexiteit van algoritmen: Voorbeeld: Een gevaarlijk spel 1 Spelboom voor het wespenspel 2 8.1 Complexiteit 4 8.2 NP-problemen 6 8.3 De oplossing 7 8.4 Een vuistregel 8 In dit hoofdstuk wordt het

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Babel fish. Opgave. Invoer. Uitvoer

Babel fish. Opgave. Invoer. Uitvoer Babel fish Nadat je noodgedwongen de aarde hebt verlaten wegens een aanval van een vijandig buitenaards ras Gia Duk, ben je terechtgekomen op een andere planeet. Uiteraard spreken de aliens een compleet

Nadere informatie

De verstrooide professor

De verstrooide professor Inleiding De verstrooide professor Edward Omey HU - Stormstraat 2 000 russel edward.omey@hubrussel.be In hun nota bestuderen Guido Herweyers en Ronald Rouseau (G. Herweyers en R. Rousseau, Een onverwacht

Nadere informatie

Hoofdstuk 21: Gegevens samenvatten

Hoofdstuk 21: Gegevens samenvatten Hoofdstuk 21: Gegevens samenvatten 21.0 Inleiding In Excel kunnen grote (en zelfs ook niet zo grote) tabellen met getallen en tekst er nogal intimiderend uitzien. Echter, Excel komt helemaal tot haar recht

Nadere informatie

Langs het Spaarne rijden soms wel 8 fietsers naast elkaar. Dat is best asociaal, zeker daar ze ook nog in een extreem langzaam tempo fietsen.

Langs het Spaarne rijden soms wel 8 fietsers naast elkaar. Dat is best asociaal, zeker daar ze ook nog in een extreem langzaam tempo fietsen. VMBO Wiskunde Periode Combinatoriek oktober 2010 Deze toets bestaat uit 15 opgaven. Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Er zijn maximaal 31 punten te behalen. Antwoorden

Nadere informatie

Opmerking Als is afgerond op duizendtallen, hiervoor geen punten aftrekken.

Opmerking Als is afgerond op duizendtallen, hiervoor geen punten aftrekken. Antwoordmodel HAVO wiskunde A 000-II (oude stijl) Antwoorden Opgave Hypotheken Maximumscore 00 000 komt overeen met, maal de koopsom bij een bestaand huis koopsom bestaand huis = 00000 :, = 67 857 gulden

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002 - 0 - WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2 maar en hoe nu verder? 29 november 2002 De Wiskunde B-dag wordt gesponsord door Texas Instruments - 1 - Inleiding Snel machtverheffen Stel je voor dat je 7 25 moet uitrekenen.

Nadere informatie

Uitleg: In de bovenstaande oefening zie je in het eerste blokje een LEES en een SCHRIJF opdracht. Dit is nog lesstof uit het tweede trimester.

Uitleg: In de bovenstaande oefening zie je in het eerste blokje een LEES en een SCHRIJF opdracht. Dit is nog lesstof uit het tweede trimester. In onderstaande oefeningen zijn kleuren gebruikt. Deze dienen aleen om de structuren makkelijker terug te kunnen herkennen. Ze worden niet standaard zo gebruikt. De dunne rood/roze balken zijn ook geen

Nadere informatie

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS Schooljaar 008/009 Inhoud Uitleg bij het boekje Weektaak voor e week: optellen en aftrekken Weektaak voor e week: vermenigvuldigen Weektaak voor e week: delen en de staartdeling

Nadere informatie

VB: De hoeveelheid neemt nu met 12% af. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? = 1655 oud = 1655 nieuw = 0,88 x 1655 = 1456

VB: De hoeveelheid neemt nu met 12% af. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? = 1655 oud = 1655 nieuw = 0,88 x 1655 = 1456 Formules, grafieken en tabellen Procenten - altijd afronden op 1 decimaal tenzij anders vermeld VB: Een hoeveelheid neemt met 12% toe to 1456. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? Oud =? Nieuw =

Nadere informatie

Van de wedstrijdleider wordt wel verwacht dat hij weet waar hij mee bezig is en daarom hoort hij de achterliggende ideeën wel te kennen.

Van de wedstrijdleider wordt wel verwacht dat hij weet waar hij mee bezig is en daarom hoort hij de achterliggende ideeën wel te kennen. Butlerwedstrijden 1. Inleiding Sinds de invoering van de computer bij het uitrekenen van bridgetoernooien is de Butler rekenmethode steeds populairder geworden. De Butlermethode voor het uitrekenen van

Nadere informatie

Hoofdstuk 20: Wiskundige functies

Hoofdstuk 20: Wiskundige functies Hoofdstuk 20: Wiskundige functies 20.0 Introductie Er is een uitgebreid aanbod aan wiskundige functies in Excel, variërend van het simpele + teken tot de esoterische statistiek functies voor een correlatie

Nadere informatie

Het Land van Oct. Marte Koning Frans Ballering. Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs

Het Land van Oct. Marte Koning Frans Ballering. Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Het Land van Oct Marte Koning Frans Ballering Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Hoofdstuk 1 Inleiding Hoi, ik ben de Vertellende Teller, en die naam heb ik gekregen na mijn meest bekende reis, de reis

Nadere informatie

Breukenpizza! Ga je mee om de wonderlijke wereld van de breuken te ontdekken? Bedacht en ontwikkeld door Linda van de Weerd. www.klasvanjuflinda.

Breukenpizza! Ga je mee om de wonderlijke wereld van de breuken te ontdekken? Bedacht en ontwikkeld door Linda van de Weerd. www.klasvanjuflinda. Breukenpizza! Ga je mee om de wonderlijke wereld van de breuken te ontdekken? Bedacht en ontwikkeld door Linda van de Weerd. www.klasvanjuflinda.nl Breukenpizza! 1. Knijpkaart 2. Decimalen 3. Domino 4.

Nadere informatie

Correctievoorschrift HAVO. Wiskunde A1,2. Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs. Tijdvak 2. 000014 CV21 Begin

Correctievoorschrift HAVO. Wiskunde A1,2. Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs. Tijdvak 2. 000014 CV21 Begin Wiskunde A, Correctievoorschrift HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs 0 00 Tijdvak 00004 CV Begin Regels voor de beoordeling Het werk van de kandidaten wordt beoordeeld met inachtneming van de artikelen

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

1. Vectoren in R n. y-as

1. Vectoren in R n. y-as 1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A (pilot) tijdvak 1 woensdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde A (pilot) tijdvak 1 woensdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2011 tijdvak 1 woensdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde A (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.. Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.

Nadere informatie

Migrerende euromunten

Migrerende euromunten Migrerende euromunten Inleiding Op 1 januari 2002 werden in vijftien Europese landen (twaalf grote en drie heel kleine) euromunten en - biljetten in omloop gebracht. Wat de munten betreft, ging het in

Nadere informatie

Praktische toepassing van functies

Praktische toepassing van functies Excellerend Heemraadweg 21 2741 NC Waddinxveen 06 5115 97 46 richard@excellerend.nl BTW: NL0021459225 ABN/AMRO: NL72ABNA0536825491 KVK: 24389967 Praktische toepassing van functies De laatste twee functies

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 tijd in jaren

1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 tijd in jaren Beoordelingsmodel VWO 004-I wiskunde A (oude stijl) Antwoorden Kentekens Het aantal mogelijkheden met de letters is 6 Het aantal mogelijkheden met de cijfers is 0 4 Het totaal aantal mogelijkheden is 6

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde C (pilot) tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde C (pilot) tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2015 tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur wiskunde C (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

Antwoorden. 32-jarige vrouwen op 1 januari Zo gaan we jaar per jaar verder en vinden

Antwoorden. 32-jarige vrouwen op 1 januari Zo gaan we jaar per jaar verder en vinden Antwoorden 1. De tabel met bevolkingsaantallen is niet moeilijk te begrijpen. We zullen gebruik maken van de bevolkingsaantallen volgens geslacht en leeftijdsklassen van 1 jaar (de cijfers die in het midden

Nadere informatie

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B, Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 6 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Wiskunde achter kaarttrucs

Wiskunde achter kaarttrucs Heilige-Drievuldigheidscollege Wiskunde achter kaarttrucs Goochelen: Magie of wiskunde? Croonen Joost, Opsomer Ruben, Tombeur Vincent 2013-2014 Inhoudstafel Inleiding 2 Jack the Bounty hunter 3 -Uitvoering

Nadere informatie

Normering en schaallengte

Normering en schaallengte Bron: www.citogroep.nl Welk cijfer krijg ik met mijn score? Als je weet welke score je ongeveer hebt gehaald, weet je nog niet welk cijfer je hebt. Voor het merendeel van de scores wordt het cijfer bepaald

Nadere informatie

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor

Nadere informatie

inhoudsopgave juni 2005 handleiding haakjes 2

inhoudsopgave juni 2005 handleiding haakjes 2 handleiding haakjes inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de opzet van haakjes 3 bespreking per paragraaf 5 rekenen trek-af-van tegengestelde tweetermen merkwaardige producten tijdpad 6 materialen voor een klassengesprek

Nadere informatie

Correctievoorschrift VBO-MAVO-D. Wiskunde

Correctievoorschrift VBO-MAVO-D. Wiskunde Wiskunde Correctievoorschrift VBO-MAVO-D Voorbereidend Beroeps Onderwijs Middelbaar Algemeen Voortgezet Onderwijs 0 0 Tijdvak Inzenden scores Uiterlijk op juni de scores van de alfabetisch eerste vijf

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde A Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Supersize me Opgave 1. De formule voor de dagelijkse energiebehoefte is E b = 33,6 G. Als

Nadere informatie

Netwerk 3 basis docentenhandleiding. Docentenhandleiding deel 3A en 3B basis. Inhoud deel 3A. Inhoud deel 3B

Netwerk 3 basis docentenhandleiding. Docentenhandleiding deel 3A en 3B basis. Inhoud deel 3A. Inhoud deel 3B Docentenhandleiding deel 3A en 3B basis Inhoud deel 3A Hoofdstuk 1 Plaatsbepalen Hoofdstuk 2 Grafieken en tabellen Hoofdstuk 3 Rekenen Hoofdstuk 4 Informatieverwerking Hoofdstuk 5 Tekenen en rekenen Computer

Nadere informatie

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen Referentieniveaus uitgelegd De beschrijvingen zijn gebaseerd op het Referentiekader taal en rekenen'. In 'Referentieniveaus uitgelegd' zijn de niveaus voor de verschillende sectoren goed zichtbaar. Door

Nadere informatie

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal Bijlage - Toetsenmateriaal Toets Module In de eerste module worden de getallen behandeld: - Natuurlijke getallen en talstelsels - Gemiddelde - mediaan - Getallenas en assenstelsel - Gehele getallen met

Nadere informatie

Novum, wiskunde LTP leerjaar 1. Wiskunde, LTP leerjaar 1. Vak: Wiskunde Leerjaar: 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 Kerndoel(en):

Novum, wiskunde LTP leerjaar 1. Wiskunde, LTP leerjaar 1. Vak: Wiskunde Leerjaar: 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 Kerndoel(en): Wiskunde, LTP leerjaar 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 26 De leerling leert te werken met platte en ruimtelijke vormen en structuren, leert daarvan afbeeldingen te maken en deze te interpreteren, en leert

Nadere informatie

Junior College Utrecht

Junior College Utrecht De Wet van Benford, 30% van alle getallen begint met een 1 1. Inleiding, probleemstelling Een voorbeeld. Als je een lijst maakt van de lengtes (in centimeters) van alle 16-jarigen in Nederland, dan kun

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A1,2

Examen HAVO. wiskunde A1,2 wiskunde A1,2 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 2 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Voor

Nadere informatie

Als we bv 2 db-waardes hebben: -31db en -52db dan kunnen we zeggen dat het verschil 21dB is. Maar klopt dit wel? Daarom controleren we even:

Als we bv 2 db-waardes hebben: -31db en -52db dan kunnen we zeggen dat het verschil 21dB is. Maar klopt dit wel? Daarom controleren we even: Db en afgeleiden 1 Inleiding Door de jaren heen zijn er veel verschillende Decibel afgeleiden ontstaan en ook veel verwarring. Volgend artikel is gebaseerd op een artikel door Lionel dumond en is vertaald

Nadere informatie

extra oefening algoritmiek - antwoorden

extra oefening algoritmiek - antwoorden extra oefening algoritmiek - antwoorden opgave "Formule 1" Maak een programma dat de gebruiker drie getal A, B en C in laat voeren. De gebruiker zorgt ervoor dat er positieve gehele getallen worden ingevoerd.

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A havo 2011 - I

Eindexamen wiskunde A havo 2011 - I Zuinig rijden Tijdens rijlessen leer je om in de auto bij foto 20 km per uur van de eerste naar de tweede versnelling te schakelen. Daarna ga je bij 40 km per uur naar de derde versnelling, bij 60 km per

Nadere informatie

Rekenen met verhoudingen

Rekenen met verhoudingen Rekenen met verhoudingen Groep 6, 7 Achtergrond Leerlingen moeten niet alleen met de verhoudingstabel kunnen werken wanneer die al klaar staat in het rekenboek, ze moeten ook zelf een verhoudingstabel

Nadere informatie

Correctievoorschrift HAVO. Wiskunde A 1,2

Correctievoorschrift HAVO. Wiskunde A 1,2 Wiskunde A, Correctievoorschrift HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs 0 00 Tijdvak Inzenden scores Uiterlijk juni de scores van de alfabetisch eerste tien, maar bij voorkeur vijftien kandidaten per

Nadere informatie

Uitwerkingen Wiskunde A HAVO

Uitwerkingen Wiskunde A HAVO Uitwerkingen Wiskunde A HAVO Nederlands Mathematisch Instituut December 28, 2012 Supersize me Opgave 1. De formule voor de dagelijkse energiebehoefte is E b = 33,6 G. Als we dit invullen dan krijgen we

Nadere informatie

Statistiek met Excel. Schoolexamen en Uitbreidingsopdrachten. Dit materiaal is gemaakt binnen de Leergang Wiskunde schooljaar 2013/14

Statistiek met Excel. Schoolexamen en Uitbreidingsopdrachten. Dit materiaal is gemaakt binnen de Leergang Wiskunde schooljaar 2013/14 Statistiek met Excel Schoolexamen en Uitbreidingsopdrachten 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Schoolexamen Wiskunde VWO: Statistiek met grote datasets... 5 Uibreidingsopdrachten vwo 5... 6 Schoolexamen

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden.

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Uitleg Welkom bij de Beverwedstrijd 2006 Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Je krijgt 5 vragen van niveau A, 5 vragen van niveau B en 5 vragen van niveau C. Wij denken

Nadere informatie

Modulewijzer InfPbs00DT

Modulewijzer InfPbs00DT Modulewijzer InfPbs00DT W. Oele 0 juli 008 Inhoudsopgave Inleiding 3 Waarom wiskunde? 3. Efficiëntie van computerprogramma s............... 3. 3D-engines en vectoranalyse................... 3.3 Bewijsvoering

Nadere informatie

HET SPINNENWEB. Een vierde verdeler. Luc Van den Broeck. Eén leverancier

HET SPINNENWEB. Een vierde verdeler. Luc Van den Broeck. Eén leverancier HET SPINNENWEB Een vierde verdeler Luc Van den Broeck En hoe zit het nu wanneer er vier verdelers op mijn shortlist staan?, heb je wellicht gedacht na het lezen van het spinnenwebartikel over het kiezen

Nadere informatie

Blackjack voor leken 1

Blackjack voor leken 1 Blackjack voor leken 1 Disclaimer Juistheid informatie De in dit boek verstrekte informatie wordt door EM-HA-EM-Internet-Publishing en haar toeleveranciers met zorg samengesteld, doch voor de juistheid

Nadere informatie

Breuksplitsen WISNET-HBO NHL. update juli 20014

Breuksplitsen WISNET-HBO NHL. update juli 20014 Breuksplitsen WISNET-HBO NHL update juli 20014 1 Inleiding Bij sommige opleidingen is het belangrijk dat er enige vaardigheid ontwikkeld wordt om grote breuken te manipuleren en om te zetten in een aantal

Nadere informatie

Instellen Finchline Topics & Booleaans zoeken

Instellen Finchline Topics & Booleaans zoeken Instellen Finchline Topics & Booleaans zoeken Versie 3.0 Introductie In deze handleiding wordt uitgelegd hoe je in Finchline topics kunt instellen. Een topic is een zoekactie naar een bepaald onderwerp.

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden 1 V 1 8 en 12 V 2 7 en 11 V 3 6 en 10 V 4 5 en 9 2 5040 opstellingen 3 De zijde is 37 4 α = 100 5 10, 2 liter 6 De volgorde is 2, 5, 3, 4, 1 7 30 euro 8 De straal

Nadere informatie

VIA PUZZELS GOOGLE LEREN

VIA PUZZELS GOOGLE LEREN GOOZZLES VIA PUZZELS GOOGLE LEREN Goozzles: Puzzles teaching you Google este bezoeker van Lowlands, Welkom in de wiskundetent, en in het bijzonder bij de UvA-workshop over de PageRank van Google. Met behulp

Nadere informatie

Examen VWO-Compex. Wiskunde A1 (nieuwe stijl)

Examen VWO-Compex. Wiskunde A1 (nieuwe stijl) Wiskunde A1 (nieuwe stijl) Examen VWO-Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 27 mei 13.30 16.30 uur 20 03 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

Je kunt de kansen met wiskunde technieken berekenen (bijvoorbeeld boomdiagramman), maar je kunt ook deze door simulaties achterhalen.

Je kunt de kansen met wiskunde technieken berekenen (bijvoorbeeld boomdiagramman), maar je kunt ook deze door simulaties achterhalen. Spelen met Kansen Bij wiskunde A, havo en vwo In een heleboel gezelschapsspellen speelt het toeval een grote rol, bijvoorbeeld Patience, Ganzenbord, Thodi, Black Jack, Risk, Poker, Bridge. Deze spellen

Nadere informatie

Bepaal eerst de probleemstelling of hoofdvraag

Bepaal eerst de probleemstelling of hoofdvraag Bepaal eerst de probleemstelling of hoofdvraag De probleemstelling is eigenlijk het centrum waar het werkstuk om draait. Het is een precieze formulering van het onderwerp dat je onderzoekt. Omdat de probleemstelling

Nadere informatie

VRAAGVORMEN OPTIMAAL GEBRUIKEN INSTRUCTIE VOOR VRAAGONTWIKKELAARS TESTVISION ONLINE

VRAAGVORMEN OPTIMAAL GEBRUIKEN INSTRUCTIE VOOR VRAAGONTWIKKELAARS TESTVISION ONLINE VRAAGVORMEN OPTIMAAL GEBRUIKEN INSTRUCTIE VOOR VRAAGONTWIKKELAARS TESTVISION ONLINE VERSIE: 4 DATUM: MEI 2014 INHOUDSOPGAVE Inleiding... 2 1. Eén-uit-meervraag... 3 1.1 Belangrijkste kenmerken... 3 1.2

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows - Lesbrief Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Voorspelbaarheid en Populaties in de tijd Doelgroep Klas 5 t/m 6 havo en vwo Vakken en domeinen Algemene natuurwetenschappen VWO Wiskunde VWO: A domein

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde A1,2

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 Wiskunde A1,2 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 00 Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

Examen VWO - Compex. wiskunde A1

Examen VWO - Compex. wiskunde A1 wiskunde A1 Examen VWO - Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 25 mei totale examentijd 3 uur 20 05 Vragen 14 tot en met 21 In dit deel staan de vragen waarbij de computer

Nadere informatie

Permutaties Combinaties Binomiaalcoëfficiënt Variaties. Combinatoriek. W. Oele. 27 januari 2014. W. Oele Combinatoriek

Permutaties Combinaties Binomiaalcoëfficiënt Variaties. Combinatoriek. W. Oele. 27 januari 2014. W. Oele Combinatoriek 27 januari 2014 Deze les Inleiding combinatoriek: de faculteit permutaties combinaties variaties de binomiaalcoëfficiënt De faculteit Eenvoudige recursieve definitie: 0! = 1 n! = n(n 1)! Voorbeelden: 5!

Nadere informatie

Het naaldenexperiment van Buffon

Het naaldenexperiment van Buffon Het naaldenexperiment van Buffon (Ph. Cara, 3 april 2015) 1 Definitie en korte geschiedenis van π Reeds in 400 v.chr. stelde de Griek Hippocrates vast dat de verhouding tussen de oppervlakte van een cirkelschijf

Nadere informatie

Het rooster is het eigenlijke spelbord. Bij elk vak hoort juist 1 kaart.

Het rooster is het eigenlijke spelbord. Bij elk vak hoort juist 1 kaart. Acquire Doel Als aandeelhouder van een internationale hotelketen, probeer je het imperium van die keten, waar je het meest hebt geïnvesteerd, te vergroten. Als het even kan, probeer je je keten te fusioneren

Nadere informatie

Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten

Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten Microsoft Excel is een rekenprogramma. Je kan het echter ook heel goed gebruiken voor het maken van overzichten, grafieken, planningen, lijsten en scenario's.

Nadere informatie

Niveauproef wiskunde voor AAV

Niveauproef wiskunde voor AAV Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet

Nadere informatie

Correctievoorschrift HAVO

Correctievoorschrift HAVO Correctievoorschrift HAVO 007 tijdvak wiskunde B Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde A

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde A Wiskunde A Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs 0 00 Tijdvak Inzenden scores Uiterlijk 3 juni de scores van de alfabetisch eerste vijf kandidaten per school op de daartoe verstrekte

Nadere informatie

Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel

Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel 26.0 Inleiding In dit hoofdstuk leer je een aantal technieken die je kunnen helpen bij het voorbereiden van bedrijfsmodellen in Excel (zie hoofdstuk 25 voor wat bedoeld

Nadere informatie

fx-82es (PLUS) Werken met de CASIO fx-82es (PLUS) instellingen

fx-82es (PLUS) Werken met de CASIO fx-82es (PLUS) instellingen Werken met de CASIO fx-82es (PLUS) Deze 'gewone' rekenmachine heeft een natural display. Het intypen en aflezen van bijv breuken, machten, wortels en logaritmen gaat (eindelijk!) op een manier die logisch

Nadere informatie

Appendix: Zwaartepunten

Appendix: Zwaartepunten Appendi: Zwaartepunten Enkele opmerkingen vooraf: Maak altijd eerst een schets van het betreffende gebied (en dat hoeft heus niet zo precies te zijn als de grafieken die ik hier door de computer kan laten

Nadere informatie

Significante cijfers en meetonzekerheid

Significante cijfers en meetonzekerheid Inhoud Significante cijfers en meetonzekerheid... 2 Significante cijfers... 2 Wetenschappelijke notatie... 3 Meetonzekerheid... 3 Significante cijfers en meetonzekerheid... 4 Opgaven... 5 Opgave 1... 5

Nadere informatie

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken Benne de Weger 28 aug. / 4 sept. RSA 1/38 asymmetrisch cryptosysteem versleutelen met de publieke sleutel ontsleutelen met de bijbehorende privé-sleutel gebaseerd

Nadere informatie

Correctievoorschrift HAVO

Correctievoorschrift HAVO Correctievoorschrift HAVO 20 tijdvak wiskunde A Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling 2 Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor

Nadere informatie

6 nimmt!: Jubileumeditie Geen spel voor stommelingen! Amigo, 2005 Wolfgang KRAMER 2-10 spelers vanaf 10 jaar ± 45 minuten

6 nimmt!: Jubileumeditie Geen spel voor stommelingen! Amigo, 2005 Wolfgang KRAMER 2-10 spelers vanaf 10 jaar ± 45 minuten 6 nimmt!: Jubileumeditie Geen spel voor stommelingen! Amigo, 2005 Wolfgang KRAMER 2-10 spelers vanaf 10 jaar ± 45 minuten Spelmateriaal 104 kaarten genummerd van 1 tot en met 104 1 handleiding Doel van

Nadere informatie

Spellen Rekentuin Optellen Aftrekken Vermenigvuldigen

Spellen Rekentuin Optellen Aftrekken Vermenigvuldigen Spellen Rekentuin Bij alle spellen in de Rekentuin moeten de opgaven binnen een bepaalde tijd opgelost worden. Bij de meeste spellen is dat 20 seconden. Alle spellen bevatten opgaven die variëren van heel

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur wiskunde A1 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen

Nadere informatie

Strategieën voor LINGO

Strategieën voor LINGO Strategieën voor LINGO Erik F. Tjong Kim Sang 1 Rijksuniversiteit Groningen vakgroep Alfa-informatica Postbus 716, 9700 AS Groningen (050) 635936 erikt@let.rug.nl Samenvatting Een onderdeel van het spel

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 01 tijdvak woensdag 0 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 1 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Correctievoorschrift HAVO

Correctievoorschrift HAVO Correctievoorschrift HAVO 007 tijdvak wiskunde A, Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor

Nadere informatie

Datum : 27 mei 2014 Ref. : WIL/LR/U14-348 (1.4.01) Betreft : examen wiskunde KB digitaal: mogelijkheid tot ongeldigverklaring

Datum : 27 mei 2014 Ref. : WIL/LR/U14-348 (1.4.01) Betreft : examen wiskunde KB digitaal: mogelijkheid tot ongeldigverklaring Aan alle leerlingen van klas 4 vmbo KB (en hun ouders/verzorgers) Datum : 27 mei 2014 Ref. : WIL/LR/U14-348 (1.4.01) Betreft : examen wiskunde KB digitaal: mogelijkheid tot ongeldigverklaring Beste leerling,

Nadere informatie

ZELF COMPUTERSPELLEN BOUWEN MET DWENGO. Peter Bertels en Francis Wyffels

ZELF COMPUTERSPELLEN BOUWEN MET DWENGO. Peter Bertels en Francis Wyffels ZELF COMPUTERSPELLEN BOUWEN MET DWENGO Peter Bertels en Francis Wyffels Copyright 2013 Dwengo vzw ISBN 978-90- 819917-1- 1 D/2013/Dwengo/1 NUR 980, 257 We willen graag dat zoveel mogelijk mensen kennis

Nadere informatie