FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE

Transcriptie

1 FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE COMPUTERPRACTICUM UvA-MASTERCLASS WISKUNDE 1993 G.C.M. Ruitenburg Faculteit Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam 1993

2

3 INLEIDING In dit computer prakticum volgen we de aantekeningen van het hoorcollege van de masterclass. We gebruiken het computer programma Maple om het soort berekeningen uit te voeren, dat in deze aantekeningen wordt besproken. Deze tekst is daarom op precies dezelfde manier onderverdeeld in secties als de aantekeningen van het hoorcollege. Alles zal aan de hand van voorbeelden worden uitgelegd. Voer de voorbeelden uit de tekst ook op de computer uit. Vaak doen de gekozen getallen er niet toe en dan mogen ook andere getallen worden gekozen. Probeer verder de opgaven te maken. 1. GEHELE GETALLEN, FACTORISATIE In deze sectie bespreken we het rekenen met gehele getallen. We beginnen met de bekende operaties optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en machtsverheffen (+, -, *, ^). Dit soort operaties kan men gewoon intoetsen, met een puntkomma afsluiten en tenslotte op de return toets drukken. > 2+3; > ( )*(1+8^2); > 123^100; \ \ > length("); 209 De volgorde waarin operaties worden uitgevoerd is bepaald door de bekende regel: Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord. Met ronde haakjes kan men de rekenvolgorde naar behoefte wijzigen. De schuine streep aan het eind van een regel geeft aan dat een getal op de volgende regel verder gaat. Getallen mogen uit meer dan cijfers bestaan. Met length vraagt men het aantal cijfers van een getal, de dubbele quote verwijst altijd naar het laatst berekende resultaat. Dus bestaat uit 209 cijfers. Men kan een getal ook toekennen aan een naam en met die naam verder rekenen. Op die manier hoeft men grote getallen bijvoorbeeld niet steeds opnieuw in te toetsen. > x:=3; x := 3 > x+5; 8 > abs(length(x^2)-x!); 1

4 > x:=x^2; 5 x := 9 De functie abs(x) staat voor de absolute waarde x van x. Op elkaar delen van gehele getallen levert meestal breuken op. Deling met rest levert echter wel gehele getallen op. Als a en b natuurlijke getallen zijn met b 0, dan zijn er volgens Lemma 1.4 natuurlijke getallen q en r zodat a = qb + r en 0 r < b. Met de functies iquo en irem kan men q en r berekenen. > a:= ; a := > b:= ; > q:=iquo(a,b); > r:=irem(a,b); b := q := 2335 r := > q*b+r; Het Euclidisch algorithme berekent door herhaald delen met rest de ggd van getallen. Hiervoor kunnen we de functie igcd gebruiken. > igcd(a,b); 621 Volgens Stelling 1.6 zijn er gehele getallen x, y Z zodat xa + yb = gcd(a, b). De functie igcdex berekent behalve de ggd ook deze twee extra getallen: > igcdex(a,b, x, y ); 621 > x; y; > x*a+y*b; Hierbij zijn de enkele quotes (') rond x en y belangrijk en deze moeten niet verward worden met back quotes (`). Tenslotte onderscheiden we in Z priemgetallen en is volgens Stelling 1.3 ieder positief getal op eenduidige wijze te schrijven als product van priemgetallen. Gegeven een getal n dan kunnen we vragen of n een priemgetal is, om het grootste priemgetal < n en om het kleinste priemgetal > n: > n:=10^6; n := > isprime(n); false 2

5 > prevprime(n); > nextprime(n); Voor getallen van honderd cijfers is de wachttijd op het antwoord van deze functies nog acceptabel. Veel moeilijker is het factoriseren van getallen. Hiervoor is de functie ifactor bestemd. Bij getallen van 25 cijfers kan men nog op het antwoord wachten maar voor getallen van 50 cijfers is een mensenleven al te kort. (Voor de meest succesvolle algoritmen liggen deze grenzen hoger dan bij Maple.) Verder is er een optie (easy) om alleen naar eenvoudig te bepalen factoren te zoeken, d.w.z. de kleine priemfactoren te zoeken. > n:= ; n := > ifactor(n); > ifactor(n,easy); ( ) ( ) _c24 > ifactor( ,easy); (3) (331) _c42 De namen c24 en c42 staan voor het product van grote priemgetallen, die Maple verder niet eenvoudig kan vinden. Opgaven 1.1. Voer de volgende berekeningen uit. > 1234^4321; > ^654321; 1.2. Bepaal de ggd van a = uw telefoonnummer (zonder netnummer) en b = uw geboortedatum (geschreven als voor bijvoorbeeld 12 maart 1963) en vind x, y Z zodat xa+yb gelijk is aan deze ggd Bereken de ggd van a = en b = en bepaal x, y Z zodat xa + yb gelijk is aan deze ggd Bereken het kleinste priemgetal p dat uit 30 cijfers bestaat. Ontbind daarna p 1 in priemfactoren. 3

6 2. MODULAIR REKENEN Deze sectie bespreekt het rekenen met gehele getallen modulo een getal n > 0. Getallen in Z/nZ hebben geen eenduidige notatie, tenzij we afspreken elementen x Z altijd te noteren als r Z, met r {0, 1, 2,..., n 1} de rest van x bij deling door n. Dit wordt reduceren modulo n genoemd. Na reduceren modulo n kunnen we zien welke getallen modulo n gelijk zijn: > n:=12345; n := > x:= ; y:= ; z:=391667; x := y := z := > x mod n; y mod n; z mod n; > irem(x,n); irem(y,n); irem(z,n); Dus in Z/nZ geldt x = y en niet x = z. Verder zien we dat reduceren modulo n en delen met rest inderdaad overeenstemmen. Bij modulair rekenen gaan optellen, aftrekken en vermenigvuldigen als in Z, alleen voegt men mod n aan de opdrachten toe. > x+y mod n; > x^2-y*z mod n; Door toevoegen van mod n wordt na de berekening het resultaat modulo n gereduceerd. Daardoor kan men nog steeds geen hoge machten uitrekenen, dit is echter wel mogelijk door met &^ i.p.v. ^ te werken: > n:= ; n := > a:= ; a := > b:= ; b :=

7 > a ^ b mod n; Error, integer too large in context > a &^ b mod n; Tenslotte kan Z/nZ zgn. eenheden bevatten. Volgens Stelling 2.2 is a 0 Z/nZ een eenheid als ggd(a, n) = 1. Bovendien als ggd(a, n) = 1 dan zijn er volgens Stelling 1.6 x, y Z met xa + yn = 1, zodat x a = 1 in Z/nZ. Met behulp van igcdex kunnen we x (en y) uitrekenen. We demonstreren dit en laten meteen een veel praktischer opdracht zien, om het zelfde resultaat te berekenen. > n:= ; n := > a:= ; a := > igcdex(a,n, x, y ); 1 > x:=x mod n; x := > a * x mod n; 1 > 1/a mod n; De laatste instructie laat zien, dat men ook in een keer de inverse kan vragen. Als men dit probeert men een niet eenheid, dan volgt een foutmelding. Opgaven Wat is de inverse van 19 in Z/65Z? Heeft 26 een inverse in Z/65Z? 2.2. Bereken de inverse van 7 in Z/( )Z Neem m = en reduceer m m modulo 7. 5

8 3. CRYPTOGRAFIE We gaan modulair rekenen gebruiken om boodschappen te coderen en decoderen. Boodschappen bestaan uit tekst, terwijl modulair rekenen met getallen werkt. De functie texttonum kan tekst in een getal omzetten en de functie numtotext kan zo n getal weer naar de oorspronkelijke tekst terugvertalen. Iedere letter wordt in een getal van twee cijfers omgezet (a = 01, b = 02,..., z = 26, A = 27,..., etc.) en zo ontstaat vanzelf uit een tekst een groot getal. Bijvoorbeeld: > texttonum(`a`); 27 > texttonum(`j`); > texttonum(`ajax`); > numtotext( ); Ajax Het is vervelend, maar noodzakelijk, dat we om de tekst back quotes (`) typen. De getallen van de losse letters worden achter elkaar gezet (waarbij we met twee cijfers werken, dus 01 invullen voor a en niet 1). We gaan nu kijken hoe B volgens het RSA systeem haarzelf gecodeerde boodschappen kan laten toesturen, die alleen zij kan decoderen. B begint met het maken van twee priemgetallen: > p:=nextprime(15233); > q:=nextprime(77721); p := q := Uit deze twee priemgetallen berekent B vervolgens getallen n en e. Omdat e moet voldoen aan gcd(e, (p 1)(q 1)) = 1 probeert B een paar waarden, totdat zo n e gevonden is. > n:=p*q; n := > e:=33; > gcd(e,(p-1)*(q-1)); > e:=37; e := 33 3 e := 37 > gcd(e,(p-1)*(q-1)); 1 Het getal n is de publieke modulus en het getal e de publieke exponent. Deze twee getallen maakt B aan iedereen bekend, die haar gecodeerde boodschappen wil sturen. Voor haarzelf berekent B ook nog de inverse exponent van e. Omdat gcd(e, (p 1)(q 1)) = 1, is e modulo (p 1)(q 1) een eenheid en kan een inverse worden berekend: 6

9 > f:=1/e mod ((p-1)*(q-1)); f := Deze f houdt B samen met de priemgetallen p en q geheim. We laten nu A de boodschap Ajax coderen: > b:=texttonum(`ajax`); > c:=b&^e mod n; b := c := Dit getal c stuurt A naar B. Ieder ander mag dit getal weten, maar zal het niet kunnen decoderen, zolang f onbekend is. B kent f wel en decodeert de boodschap als volgt: > d:=c&^f mod n; > numtotext(d); d := Ajax De truc zit hem er dus in, dat de e de macht nemen modulo n (door A) ongedaan kan worden gemaakt met de f de macht nemen modulo n (door B). Omdat n en e algemeen bekend worden gemaakt, is het voor C (een Rotterdammer) voldoende om f te weten, om ook de boodschap te decoderen. In dit geval kan C dit omdat n klein is: > ifactor(n); (77723) (15241) Hiermee heeft C de priemgetallen p en q bepaald en kan vervolgens net als B boven deed f uit rekenen. Wil B dus voorkomen dat een ander voor haar bestemde berichten decodeert, dan zal zij p en q zo groot moeten kiezen, dat een ander n niet kan factoriseren. Dat is geen probleem. Met nextprime kan B eenvoudig en snel twee priemgetallen van honderd cijfers maken. Het product n heeft dan twee honderd cijfers en iemand moet meer geluk hebben dan er in het heelal aanwezig is, om deze n nog te kunnen factoriseren (met de op dit moment op aarde bekende methoden). Opgaven Stel B heeft publieke modulus n = en publieke exponent e = 5. Hoe ziet nu de vercijferde vorm van de boodschap N = uva = er uit die we aan B kunnen sturen? Kraak vervolgens deze code door n te factoriseren en de inverse exponent f van e te berekenen. Controleer de kraak door het vercijferde bericht met behulp van f te decoderen Stel B heeft publieke modulus n = en publieke exponent e = Kraak deze code en ontcijfer het gecodeerde bericht voor B. 7

10 3.3. Gegeven zij vier personen B1, B2, B3 en B4. Zij hebben ieder een publieke modulus ni, publieke exponent ei en een gecodeerde boodschap ci ontvangen (i = 1, 2, 3, 4). De preciese waarden zijn gegeven door: n1:=\ \ \ ; e1:= ; c1:=\ \ \ ; n2:=\ \ \ ; e2:= ; c2:=\ \ \ ; n3:=\ \ \ ; e3:= ; c3:=\ \ \ ; n4:=\ \ \ ; e4:= ; c4:=\ \ \ ; Door de volgende opdracht in te typen, worden alle bovenstaande waarden automatisch toegekend, zodat u ze niet zelf hoeft in te typen. > read opgave; Omdat n1, n2, n3 en n4 nu te groot zijn om te factoriseren, lukt het niet een van de codes te kraken en dus ook niet een van de berichten c1, c2, c3 of c4 te ontcijferen. We gaan dadelijk een priemgetal krijgen, waarmee precies één van de bovenstaande codes is te kraken. De opdracht luidt daarna: zoek uit welke van de vier codes u kunt kraken met het gekregen priemgetal en decodeer de boodschap. Kies voor i een van de getallen 1, 2 of 3 en voer dan de volgende opdracht (met voor i uw keus ingevuld) uit: > p:=kies(i); 8