Wiskunde A voor 4/5 havo

Transcriptie

1 Wiskunde A voor 4/5 hvo Deel 2 Versie 2013 Smensteller

2 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons lientie. Het lesmteril is met zorg smengesteld en getest. Stihting Mth4All nvrt geen enkele nsprkelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook nvrden ze geen enkele nsprkelijkheid voor enige shde, voortkomend uit (het geruik vn) dit lesmteril Voor deze module geldt een Cretive Commons Nmsvermelding-Niet-ommerieel 3.0 Nederlnd Lientie. (zie Dit lesmteril is open, grtis en vrij toegnkelijk lesmteril fkomstig vn en is speil ontwikkeld voor het vk wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmteril op de wesite is fgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vkken wiskunde A, B en C. Dit lesmteril is mediumneutrl ontwikkeld en op diverse mnieren te ekijken en te geruiken. Voor informtie en vrgen kunt u ontt opnemen vi info@mth4ll.nl. Ook houden we ons ltijd nevolen voor suggesties, vereteringen en/of nvullingen.

3 Inhoud Voorwoord 3 1 Tellen Mogelijkheden Herhling of niet Cominties De driehoek vn Psl Totleeld 33 2 Knsen Experimenteren Knsen eredeneren Knsomen Knsverdelingen Totleeld 69 3 Sttistiek Sttistish onderzoek Verzmelen en ordenen Digrmmen geruiken Gegevens smenvtten Uitsprken doen Totleeld Normle verdeling Normlkromme Normle knsen Stndrd normlkromme Norml of niet? Totleeld Knsmodellen J/nee knsen Binomile knsverdeling Niet-inomil Knsmodellen Totleeld 202 Register 211 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 1

4 PAGINA 2 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

5 Voorwoord Het lesmterl in dit oek is geseerd op het mteril dt je kunt vinden op de wesite In de tekst stn dn ook regelmtig verwijzingen nr die wesite. Wr je preies moet zijn op die wesite kun je zien in de kopregel vn iedere pgin. Bij estudering vn het lesmteril kom je in de tekst ook nwijzingen tegen. Je ziet dn ijvooreeld in de tekst: Bekijk eerst: > 1/2 HAVO/VWO > Afstnden > Toepssen Je kunt met de muis elk deel vn de wereld ekijken en er op inzoomen. Als zo n nwijzing in een opgve stt, kun je die opgve wrshijnlijk lleen mr mken ls je inderdd op de wesite het gekeken. Ieder hoofdstuk estt uit een ntl prgrfen en wordt steeds fgesloten met een prgrf Totleeld wr de leerstof wordt smengevt en/of herhld. Iedere prgrf is ingedeeld in vste rurieken die houvst geven ij de estudering vn het lesmteril. > Verkennen > Uitleg > Theorie en Vooreelden > Verwerken > Toepssen Indien er in het lesmteril wordt verwezen nr werklden dn kun je deze terugvinden op de wesite. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 3

6 PAGINA 4 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

7 1Tellen Mogelijkheden 6 Herhling of niet 13 Cominties 19 De driehoek vn Psl 25 Totleeld 33

8 1.1 Mogelijkheden Inleiding Misshien he je je wel eens fgevrgd hoeveel vershillende postodes, hoeveel nummerorden, hoeveel PINodes er zijn. Of hoeveel mogelijkheden er zijn om een duel-zes te gooien met twee doelstenen in verhouding tot het totl ntl mogelijkheden. Mr dn moet je wel een idee heen welke mogelijkheden er zijn. Om dr een goed overziht over te krijgen kun je het est systemtish te werk gn. Boomdigrmmen en tellen helpen er ij. Je leert in dit onderwerp > mogelijkheden systemtish tellen en in krt rengen. Voorkennis > werken met tellen en digrmmen; > werken met knsen. Verkennen Opgve 1 Je werpt vier geldstukken op tfel. Hier zie je twee keer kop en twee keer munt. Leg uit wrom je op vershillende mnieren twee keer kop en twee keer munt kunt krijgen. Hoeveel mogelijkheden zijn er in totl? Bij hoeveel drvn he je twee keer kop en twee keer munt? PAGINA 6 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

9 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSBEREKENING > TELLEN Uitleg Bij tossen wordt er met een geldstuk geworpen. Het werpen met een geldstuk heeft de uitkomsten "kop" of "munt". Bij een zuivere munt zijn eide even wrshijnlijk en heen ze een kns vn 1 2. Gooi je met vier munten dn kun je kijken nr de mogelijkheden om twee keer kop en twee keer munt te gooien. Je het houdt het ntl gunstige en het totl ntl mogelijkheden overzihtelijk ij. Dt kun je doen met een oomdigrm zols dit. Alle 16 mogelijkheden zijn even wrshijnlijk. Er zijn 6 met twee keer kop en twee keer munt. Je kunt een oomdigrm ompter mken door de tkken in één punt te lten smenkomen. Dn krijg je een wegendigrm. Drin zie je snel dt er = 16 mogelijkheden in totl zijn. Alleen zijn de gunstige mogelijkheden nu moeilijker te tellen. Je kunt ntuurlijk ook proeren om lle mogelijkheden gewoon systemtish op te shrijven, mr dt is nog een ehoorlijk klus en ovendien vergeet je gemkkelijk een pr mogelijkheden: KKKK, MKKK, KMKK, KKMK, KKKM, enz. Opgve 2 Bestudeer de Uitleg op pgin 7. Wt is het vershil tussen een oomdigrm en een wegendigrm? Wt is het voordeel vn een oomdigrm? Opgve 3 Je het in een hoge hoed vier krtjes met drop de letters A, B, C, D. Je hlt die krtjes er willekeurig één voor één uit. Hoeveel mogelijke volgordes zijn er? (Mk een oomdigrm!) Theorie en vooreelden Voor het systemtish tellen vn mogelijkheden estn een ntl hulpmiddelen: > Het wegendigrm: Een shem (een grf) wrin je de mogelijkheden weergeeft ls verindingslijnen tussen punten. Het totl ntl mogelijkheden krijg je door de ntllen mogelijkheden om vn punt nr punt te komen te vermenigvuldigen. > Het oomdigrm: Een shem wrin je lle mogelijkheden weergeeft ls vertkkingen vnuit punten. Dit oomdigrm heeft twee "lgen" met in de eerste lg 2 tkken en in de tweede lg 3 tkken. > Systemtish uitshrijven: Er zijn zes mnieren om ij het gooien met vier geldstukken twee keer "kop" en twee keer "munt" STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 7

10 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSBEREKENING > TELLEN te krijgen: KKMM, KMKM, KMMK, MKKM, MKMK, MMKK. > Een rooster: Dit rooster lt het ntl even wrshijnlijke mogelijkheden ij werpen met twee geldstukken zien. Vooreeld 1 Iemnd gooit tegelijkertijd met een munt en met een doelsteen. Hoeveel mogelijke even wrshijnlijke uitkomsten zijn er in totl? En ij hoeveel drvn he je hoogstens 5 ogen en kop? De mogelijke uitkomsten kun je in een wegendigrm weergeven. Er zijn totl 2 6 = 12 vershillende uitkomsten mogelijk, wnt je kunt totl op twlf vershillende mnieren vn het eginpunt nr het eindpunt gn. Hier zie je hoe je de mogelijke uitkomsten vn het gelijktijdig gooien vn een munt en een doelsteen in een oomdigrm kunt weergeven. Alle 12 mogelijkheden zijn fzonderlijk zihtr. Er zijn 5 mogelijkheden met hoogstens (niet meer dn) 5 ogen en kop. Opgve 4 Iemnd heeft doelstenen in de vorm vn een regelmtig viervlk. Op de grensvlkken stn de ijfers 1, 2, 3 en 4. Elk vlk heeft een gelijke kns om onder te komen ls je met zo n doelsteen gooit. Er wordt geworpen met drie vn die doelstenen, een rode, een groene en een witte. We letten op de vlkken die onder komen n het werpen. Kijk ook ij Vooreeld 1 op pgin 8. Geef in een wegendigrm lle mogelijke uitkomsten weer. Hoeveel mogelijkheden zijn er in totl? Je wilt het ntl uitkomsten tellen wrij preies één keer het ijfer 3 onder ligt. Wrom zijn er 9 mogelijkheden wrij lleen ij de rode doelsteen de 3 onder ligt? d Hoeveel mogelijkheden zijn er wrij ij de rode of de groene doelsteen de 3 onder ligt? Hoeveel mogelijkheden zijn er wrij preies één keer de 3 onder ligt? Vooreeld 2 Iemnd gooit tegelijkertijd met twee doelstenen. Als je vn te voren het totl ntl ogen goed rdt, win je het spelletje. Wrom kun je eter gokken op 7 ogen dn op 2 ogen? PAGINA 8 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

11 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSBEREKENING > TELLEN Omdt je met 2 doelstenen werpt, is een rooster een hndige mnier om lle mogelijkheden in eeld te krijgen. Je ziet er in totl 36 even wrshijnlijke mogelijkheden zijn. En 7 ogen komt veel vker voor dn 2 ogen. Je ziet dt 7 ogen het vkst voorkomt, dus dr moet je op gokken... Opgve 5 Bij het werpen met twee doelstenen kun je de mogelijkheden overzihtelijk weergeven in een rooster. Zie Vooreeld 2 op pgin 8. Wrom gt dt ij het werpen met drie doelstenen niet? Je werpt met twee doelstenen. Op hoeveel mnieren kunnen er 9 ogen oven komen? Je werpt met drie doelstenen. Op hoeveel mnieren kunnen er 9 ogen oven komen? Opgve 6 Je het vier uiterlijk gelijke riefjes met drop de nmen Pul, Anj, Frits en Elly. De riefjes worden in een vs gedn, je moet er twee kiezen. Zie ook Vooreeld 2 op pgin 8. Teken ij deze situtie een rooster. Lt zien dt een oomdigrm dezelfde mogelijkheden geeft. In hoeveel gevllen kies je zowel Pul ls Anj? Vooreeld 3 Je kunt vn A nr B vi C of vi D. Je ziet hier lle verindingen getekend. Op hoeveel mnieren kun je vn A nr B? Je kunt vn A nr B vi C op 3 2 = 6 mnieren. Je kunt vn A nr B vi D op 2 1 = 2 mnieren. In totl kun je drom op = 8 mnieren. Misshien zie je de hndige vuistregel dt je ij en mogelijkheden vermenigvuldigt en ij of mogelijkheden optelt. Je gt vn A nr C EN vn C door nr D OF vn A nr D EN vn D door nr B. Het ntl mnieren is dn = 8. Opgve 7 Bekijk het wegendigrm ij Vooreeld 3 op pgin 9. Je kunt vn C nr D vi A of vi B, in A en in B moet je dn overstppen. Op hoeveel mnieren kun je vn C nr D vi A? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 9

12 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSBEREKENING > TELLEN Op hoeveel mnieren kun je vn C nr D vi B? Op hoeveel mnieren kun je vn C nr D? d Hoe he je hierij geruik gemkt vn de vuistregels eshreven in het vooreeld? Opgve 8 Bij de PINode gt het om een ode vn vier ijfers (0, 1, 2,.., 9). G er vn uit dt voor elk ijfer wruit de PINode estt lle mogelijkheden zijn toegestn. Hoe ereken je met een wegendigrm hoeveel odes vn vier ijfers er mogelijk zijn? Als het eerste ijfer geen 0 is, hoeveel PINodes zijn er dn nog mogelijk? Vn je PINode weet je lleen nog dt de ijfers 1, 7 en 7 erin voorkomen in die volgorde. Het vierde ijfer (voorgesteld door een *) is geen 1 en geen 7, en de plts er vn is niet duidelijk. Mogelijke PINodes zien er dn zo uit: * of 1 7 * 7 of 1 * 7 7 of * Hoeveel PINodes zijn er mogelijk op die mnier? Verwerken Opgve 9 Een toets estt uit 6 meerkeuzevrgen. Op elke meerkeuzevrg kun je uit vier ntwoorden kiezen; er is telkens mr één ntwoord goed. d Geef in een wegendigrm lle mogelijkheden weer. Hoeveel mogelijke series ntwoorden zijn er? Je het de toets goed voorereid en je weet 4 ntwoorden zeker. Hoeveel mogelijke series ntwoorden zijn er nu nog? Als je lleen let op goed of fout, hoveel series ntwoorden zijn dn mogelijk? Opgve 10 Om het ijferslot vn een koffer open te krijgen moet je een ode vn vier ijfers onthouden. Je weet lleen het eerste ijfer nog. Hoeveel mogelijke odes zijn er dn nog? Je weet lle vier de ijfers nog, mr de volgorde niet meer. Hoeveel mogelijke odes zijn er? Opgve 11 Je werpt met drie gewone doelstenen. d e f g Geef in een wegendigrm lle mogelijke uitkomsten weer. Wrom is een oomdigrm niet zo geshikt in dit gevl? Bij hoeveel mogelijke uitkomsten he je preies één zes? Bij hoeveel mogelijke uitkomsten he je twee zessen? Bij hoeveel mogelijke uitkomsten he je drie zessen? Bij hoeveel mogelijke uitkomsten he je minstens twee zessen? Bij hoeveel mogelijke uitkomsten he je hoogstens twee zessen? PAGINA 10 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

13 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSBEREKENING > TELLEN Opgve 12 Je estelt een pizz ij Mrio. Je het keuze uit een kleine pizz, een gewone pizz en een extr grote pizz. Er zijn twee soorten pizzodem: de "pizz ross" en de "pizz lssio". Verder zijn er 12 vershillende smken. Je kunt de pizz zelf hlen of je kunt hem lten ezorgen. Uit hoeveel vershillende pizz s kun je ij Mrio kiezen? Hoeveel keuzemogelijkheden he je in totl ls je een pizz vn Mrio wilt eten? Je houdt niet vn vis. Drom vllen er 5 smken f. Uit hoeveel vershillende pizz s kun je nu nog kiezen? Opgve 13 Een fruitutomt heeft drie vensters wrhter nden met pltjes drien. Op elke nd stn 20 pltjes en je rengt ze in eweging door n een hendel te trekken. Eén druk op de knop en de nden stoppen. Zie je nu drie dezelfde pltjes dn win je een epld edrg. Vn de pltjes is per nd het ntl op die nd ls volgt ngegeven: d e Hoeveel mogelijkheden zijn er in totl? Op hoeveel mnieren kun je drie keer BAR krijgen? Op hoeveel mnieren kun je drie keer sinsppel krijgen? Op hoeveel mnieren kun je drie keer twee kersen krijgen? Hoeveel winstmogelijkheden zijn er? Testen Opgve 14 Op vkntie nr de zon neem je voorl luhtige kleding mee. Bijvooreeld: 2 pr shoenen, 6 pr sokken, 4 korte roeken en 5 shirts. Teken een wegendigrm vn lle mogelijke ominties vn shoenen, sokken, roek en shirt. Op hoeveel vershillende mnieren kun je je zomers kleden? Op het strnd he je geen sokken en shoenen n. Op hoeveel vershillende mnieren kun je dr luhtig gekleed vertoeven? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 11

14 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSBEREKENING > TELLEN Opgve 15 Voor ilindersloten worden vershillende soorten sleutels gemkt. De sleutel die je hier ziet estt uit zes gedeelten. Voor elk gedeelte wordt één vn de ptronen A, B of C gekozen. Hoeveel vershillende sleutels vn deze soort zijn er mogelijk? Opgve 16 Een deelnemer n een tv-quiz krijgt vier krten met op ieder een nm vn een populire zngeres. Zijn opdrht is om deze krten onder de foto s vn deze zngeressen te hngen, de juiste nm ij elke foto. Deze deelnemer kent geen vn de vier zngeressen en esluit op goed geluk de krten neer de hngen. Geef in een oomdigrm lle mogelijkheden weer. Hoeveel mogelijkheden heeft hij in totl? Op hoeveel mnieren heeft hij één krt goed? PAGINA 12 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

15 1.2 Herhling of niet Inleiding Bij het systemtish tellen he je tot nu toe voorl gewerkt met digrmmen. Eigenlijk gt dt lleen ls het ntl mogelijkheden niet l te groot is. Wnt gooi je ijvooreeld met drie of meer doelstenen, dn wordt het ntl even wrshijnlijke uitkomsten l snel zo groot, dt een oomdigrm niet meer te mken is. Wegendigrmmen zijn dn nog wel te mken, mr drin kun je niet gemkkelijk de fzonderlijke mogelijkheden zien. Kortom: tijd voor het werken n telsystemen. Drij is ls eerste elngrijk om ondersheid te mken tussen situties met herhling en situties zonder herhling. Je leert in dit onderwerp > werken met mhten ls je mogelijkheden telt in situties wrin herhling optreedt; > werken met permutties ls je mogelijkheden telt in situties wrin steeds een mogelijkheid wordt fgestreept. Voorkennis > werken met tellen en digrmmen om mogelijkheden te tellen. Verkennen Opgve 1 Gironummers en nknummers estn uit een groot ntl ijfers. Neem eens n dt elk gironummer uit 7 ijfers estt en dt op elke positie elk ijfer kn voorkomen. > Hoeveel gironummers kun je zo mken? > Het eerste ijfer mg geen 0 zijn. Hoeveel gironummers kun je nu nog mken? > Hoeveel gironummers zijn er met lleml vershillende ijfers? Hoeveel gironummers kun je zo mken? Het eerste ijfer mg geen 0 zijn. Hoeveel gironummers kun je nu nog mken? Hoeveel gironummers zijn er met lleml vershillende ijfers? Uitleg Stel je voor dt je wilt erekenen hoeveel vershillende pinodes mogelijk zijn. De eerste vrg die je kunt stellen: mg ik ijfers herhlen of niet? Als ij de pinode (vn 4 ijfers) herhling vn de ijfers is toegestn, dn kun je de situtie weergeven in dit wegendigrm: Het ntl mogelijkheden is: = 10 4 Hier ereken je het ntl mogelijkheden met ehulp vn mhten. Dt komt omdt je ijfers mg herhlen. Mr ls je lleml vershillende ijfers wilt heen... Als ij de pinode vn 4 ijfers herhling vn ijfers niet is toegestn dn ziet het wegendigrm met lle mogelijkheden er zo uit: STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 13

16 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSBEREKENING > TELLEN Het ntl mogelijkheden is: = 5040 Omdt het erekenen vn dergelijke flopende vermenigvuldigingen nogl tijdrovend is, heen wiskundigen drvoor het egrip fulteit ingevoerd wordt 10 fulteit genoemd en genoteerd ls 10!. Je rekenmhine eshikt over een funtie om fulteiten te erekenen. Controleer mr eens dt 10! = G ook n dt: 6! = 720, dt 1! = 1 en dt 0! = 1. Je kunt ls volgt uitrekenen met ehulp vn fulteiten: = = 10! 6! G n, dt dit inderdd 5040 oplevert. Het werken met fulteiten is voorl hndig ls het om grote ntllen gt. Opgve 2 Bekijk eide pgin s vn de Uitleg op pgin 13. Je het zes vershillende gekleurde krtjes. Op die krtjes wil je de letters A, B, C, D, E en F zetten. Op hoeveel mnieren kn dt ls je op meerdere krtjes dezelfde letter toelt? Op hoeveel mnieren kn dt ls elk krtje een vershillende letter moet krijgen? Opgve 3 Nu geruik je lle 26 letters vn het lfet. En je het nog steeds 6 vershillend gekleurde krtjes. Op hoeveel mnieren kun je er letters op zetten ls je op meerdere krtjes dezelfde letter toelt? Op hoeveel mnieren kun je er letters op zetten ls elk krtje een vershillende letter moet krijgen? Theorie en vooreelden Als je 4 elementen kiest uit 10 eshikre elementen en herhling is toegestn dn he je 10 4 mogelijkheden. Als je 4 elementen kiest uit 10 eshikre elementen en herhling is niet toegestn dn he je mogelijkheden. Dit heet het ntl permutties vn 4 uit 10 elementen. Als herhling niet is toegestn, dn krijg je te mken met vermenigvuldiging vn een rij getllen die steeds met één verminderd. De vermenigvuldiging vn de flopende rij opeenvolgende getllen 10 tot en met 1 wordt 10-fulteit genoemd. PAGINA 14 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

17 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSBEREKENING > TELLEN Dit shrijf je ls 10!, dus Afgesproken is dt 0! = 1. De rekenmhine heeft een funtie om fulteiten te erekenen. Bij permutties he je ook te mken met een flopende rij opeenvolgende getllen. Alleen stopt die rij niet ltijd ij 1. Je rekenmhine heeft een speile funtie om permutties ls = 5040 te erekenen. Vooreeld 1 In Nederlnd estt een eplde tegorie kentekenplten (op uto s) uit twee ijfers gevolgd door vier letters. Neem n dt lle letters en ijfers mogen worden geruikt. Hoeveel kentekens kun je dn mken, ls herhling vn letters en ijfers is toegestn? Dit kun je erekenen met mhten. Voor elk kenteken he je twee ijfers nodig en er zijn 10 vershillende ijfers. Je het dn totl 10 2 = 100 vershillende mogelijkheden. Voor elk kenteken he je vier letters nodig en er zijn 26 vershillende letters. Je het 26 4 = vershillende mogelijkheden voor de letters. In totl zijn er dus = mogelijke kentekenplten. Dt is meer dn 45 miljoen! (In werkelijkheid zijn het er minder omdt niet lle letters worden geruikt en sommige letters lleen voor speile voertuigen, zie ook ij de site vn de RijksDienst Wegverkeer.) Opgve 4 Zie Vooreeld 1 op pgin 15. Nummerorden vn een eplde genertie uto s estn uit twee letters, weer twee letters en tenslotte twee ijfers. Bijvooreeld DB-TR-69. De letters I, O en Q worden niet geruikt. G ervn uit dt verder lle letters en lle ijfers kunnen worden geruikt. Hoeveel vn deze nummerorden zijn er dn mogelijk? Vooreeld 2 In Nederlnd estt een eplde tegorie kentekenplten (op uto s) uit twee ijfers gevolgd door vier letters. Neem n dt lle letters en ijfers mogen worden geruikt. Dit kenteken kent lleml vershillende tekens, hoeveel vn die nummerorden zijn er? In het voorgnde vooreeld kun je zien dt er = kentekenplten mogelijk zijn ls de tekens ook mogen worden herhld. Mogen de tekens niet worden herhld, dn zijn dt er = Opgve 5 Zie Vooreeld 2 op pgin 15. Nummerorden vn een eplde genertie uto s estn uit twee letters, weer twee letters en tenslotte twee ijfers. Bijvooreeld DB-TR-69. De letters I, O en Q worden niet geruikt. G ervn uit dt verder lle letters en lle ijfers kunnen worden geruikt. Hoeveel vn deze nummerorden zijn er mogelijk ls je geen letters en ijfers mg herhlen? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 15

18 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSBEREKENING > TELLEN Vooreeld 3 Tijdens de finle vn de 100 meter hrdlopen op de Olympishe Spelen strijden 8 lopers om 3 medilles. De lopers zijn lleml toptleten. Je neemt n dt ze volkomen gelijkwrdig zijn. Op hoeveel mnieren kunnen de medilles worden verdeeld? Stel je een wegendigrm voor. Voor de eerste positie zijn 8 mogelijke kndidten, voor de tweede dn nog 7 en voor de derde nog 6. Er zijn = 336 mogelijke uitslgen. Dit is het ntl mogelijke permutties vn 3 elementen uit 8 elementen. Je grfishe rekenmhine kent hiervoor een speile funtie. Opgve 6 Uit een nod vn 40 oeken moet een jury nummer 1, nummer 2 en nummer 3 kiezen. Bekijk Vooreeld 3 op pgin 16. Wnneer de jury op goed geluk deze oeken uitkiest, zonder verder nr de inhoud te kijken, hoeveel vershillende keuzes zijn er dn mogelijk? Opgve 7 Lees in de Theorie op pgin 14 n hoe je rekenmhine permutties kn erekenen. Let goed op het vershil tussen eide. Bereken het ntl permutties vn 10 elementen (dus vn 10 uit de 10). Wt verst je onder het ntl permutties vn 3 uit 10 elementen? Bereken dt ntl. Hoeveel edrgt het ntl permutties vn 5 uit 100 elementen? Opgve 8 Je mkt getllen met de ijfers 4, 5, 6, 7 en 8. d e f Je mkt getllen vn vijf ijfers. Hoeveel getllen zijn er mogelijk? Je mkt getllen vn vijf vershillende ijfers. Hoeveel getllen zijn er mogelijk? Je mkt getllen vn drie ijfers. Hoeveel getllen zijn er mogelijk? Je mkt getllen vn drie vershillende ijfers. Hoeveel getllen zijn er mogelijk? Je mkt getllen vn vijf ijfers oven de Hoeveel kun je er mken? Je mkt getllen vn vijf vershillende ijfers oven de Hoeveel kun je er mken? PAGINA 16 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

19 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSBEREKENING > TELLEN Verwerken Opgve 9 In Nederlnd estt de postode uit vier ijfers, gevolgd door twee letters. Neem n dt lle ijfers op elk vn die vier pltjes mogelijk zijn. Neem ook n dt elke letter op elk vn die twee pltsen mogelijk is. Hoeveel postodes zijn er dn in Nederlnd in totl mogelijk? Opgve 10 De tekens vn een grfishe rekenmhine estn uit puntjes: elk teken pst in een rehthoekje vn 5 ij 7 puntjes. Een teken wordt gemkt door deze puntjes n of uit te zetten. Hoeveel tekens zijn er zo in prinipe mogelijk? Opgve 11 An de herenfinle op de steeple-hse doen ij de Olympishe Spelen 15 mnnen mee. De nummers 1, 2 en 3 komen op het erepodium. Op hoeveel mnieren kunnen die erepltsen theoretish worden verdeeld? Opgve 12 Een groep vn ht personen heeft krtjes voor een onert gekoht. Ze zitten lle ht nst elkr op één rij. Hoeveel vershillende volgordes zijn er mogelijk? Eén vn de ht wil per sé de uitenste vn de groep zijn. Op hoeveel vershillende mnieren kunnen ze nu nog zitten? Twee personen willen per sé nst elkr zitten. Hoeveel vershillende volgordes zijn er nu nog mogelijk? Opgve 13 Je werpt met vier doelstenen. Je let op het totl ntl ogen. Op hoeveel mnieren kun je 23 of meer ogen gooien? Testen Opgve 14 Je mkt getllen vn vijf ijfers. Hoeveel vershillende getllen zijn er mogelijk ls ieder ijfer op elke positie is toegestn? Hoeveel vershillende getllen zijn er mogelijk ls de getllen niet met 0 mogen eginnen? Hoeveel vn die getllen zijn er nog mogelijk ls lle ijfers vershillend moeten zijn? d Hoeveel getllen zijn er met vijf vershillende ijfers en oven de 43000? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 17

20 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSBEREKENING > TELLEN Opgve 15 Een toets estt uit 30 meerkeuzevrgen. Op elke meerkeuzevrg kun je uit vier ntwoorden kiezen; er is telkens mr één ntwoord goed. Hoeveel mogelijke series ntwoorden zijn er? Je het de toets goed voorereid en je weet 24 ntwoorden zeker; de rest moet je gokken. Hoeveel mogelijke series ntwoorden zijn er dn nog? Opgve 16 In de lottomhine zitten lletjes met de nummers 1 tot en met 41. Er worden één voor één zes lletjes uitgehld. Het eerst getrokken lletje vlt in het eerste kje, het tweede in het tweede kje, enzovoorts. Hoeveel vershillende trekkingen zijn er dn mogelijk? Hoeveel vn deze trekkingen leveren dezelfde zes getrokken llen op? PAGINA 18 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

21 1.3 Cominties Inleiding Je het kennis gemkt met systemtish tellen, zowel met ehulp vn digrmmen ls met ehulp vn mhten en permutties. Het ntl permutties vn 3 uit 8 is het ntl mnieren om drie vershillende elementen uit een totl vn 8 te hlen. Mr vk he je niet lleml vershillende elementen, mr groepjes dezelfde elementen. Dr gt het nu over... Je leert in dit onderwerp > het vershil ondersheiden tussen permutties en ominties; > het ntl ominties vn u uit u elementen erekenen. Voorkennis > werken met tellen en digrmmen om mogelijkheden te tellen; > mhten en permutties toepssen ij telprolemen met of zonder herhling. Verkennen Opgve 1 Aht hrdlopers doen mee n een wedstrijd over 100 meter. G ervn uit dt hun volgorde vn nkomst uitsluitend vn het toevl fhngt. Op hoeveel mnieren kunnen deze ht hrdlopers ls eerste, ls tweede en ls derde nkomen? De eerste drie gn door nr de volgende ronde. Hoeveel mogelijke drietllen zijn dt? Uitleg Bij de Olympishe Spelen is de 100 m hrdlopen een vst onderdeel. In de finle strten 8 lopers A, B, C, D, E, F, G en H. Ze strijden om goud, zilver of rons. Stel je voor dt lle lopers gelijkwrdig zijn en een even grote kns mken op de medilles. Hoeveel mogelijke lijstjes met drie medillewinnrs kun je dn mken? Het gt hier om het ntl permutties vn 3 uit 8: = 8! 5! = 336 mogelijkheden. In de voorrondes is het niet elngrijk of je nummer 1, nummer 2 of nummer 3 ent: de eerste drie gn door nr de volgende ronde. De lijstjes BDG, BGD, DBG, GBD, DGB en GDB heen dn lleml hetzelfde resultt. Die tellen dn dus niet ls fzonderlijke mogelijkheden, mr vormen smen één mogelijkheid. En dt geldt ook voor lle ndere drietllen: de volgorde innen die drietllen is niet elngrijk en die 3! volgordes tellen telkens mr ls één mogelijkheid mee. Dit etekent dt er geen 336 mogelijke lijstjes zijn, mr slehts 336 gedeeld door 3!. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 19

22 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > TELLEN Je spreekt dn vn het ntl ominties vn 3 uit 8. Je shrijft het ls ( 8 3 ). Je rekent het ntl ominties vn 3 uit 8 zo uit: ( 8 3 ) = ! = 56 mogelijkheden. De rekenmhine heeft ook hiervoor een speile funtie. Opgve 2 Bestudeer de Vooreeld op pgin 19. Bekijk goed wt je verstt onder het ntl ominties vn 3 uit 8. Wt is het kenmerkende vershil tussen de finle en de voorrondes? Wrom werk je in de voorrondes met ominties ls je lle mogelijke eindresultten wilt erekenen? Bereken zelf met de hnd het ntl ominties vn 3 uit 8. d e Bekijk ij Prtium hoe je dit met de grfishe rekenmhine kunt uitrekenen. Bereken eerst met de hnd het ntl ominties vn 3 uit 100. Controleer het ntwoord met de GR. Theorie en vooreelden Als je 3 vershillende elementen kiest uit 8 eshikre dn he je 8! 3! mogelijkheden. Dit heet het ntl permutties vn 3 elementen uit 8 elementen. Als je 3 elementen kiest uit 8 eshikre en hun onderlinge volgorde is NIET vn elng dn he je ( 8 3 ) = ! mogelijkheden. Dit heet het ntl ominties vn 3 elementen uit 8 elementen. Vooreeld 1 In een kls vn 24 personen wordt door loting een groep vn 4 personen smengesteld. Deze vier personen krijgen elk een ndere tk. Op hoeveel mnieren kn dit ls er per tk wordt geloot? En op hoeveel mnieren kn dit ls deze vier personen ps n de loting hun tken onderling verdelen? PAGINA 20 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

23 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > TELLEN Nu is de volgorde in de groep die wordt geloot vn elng: en je ls eerste ingeloot dn he je een ndere tk dn wnneer je ls tweede, of derde of vierde wordt ingeloot. Het gt nu dus om het ntl permutties vn 4 uit 24. Er zijn drom = mogelijkheden. Nu is de volgorde in de groep die wordt geloot niet vn elng: ze verdelen ps n de loting onderling hun tken. Het gt nu dus om het ntl ominties vn 4 uit 24. Er zijn drom ( 24 4 ) = ! = = mogelijkheden. Opgve 3 Bekijk Vooreeld 1 op pgin 20. Vergelijk de vershillen tussen de ntwoorden op de twee vrgen! Je het een groep vn 20 personen, 8 mnnen en 12 vrouwen. Uit de groep vn 20 worden door loting vijf personen gehld. Elk vn hen krijgt een eplde opdrht. Op hoeveel mnieren kn dt ls ze de opdrhten n de loting onderling verdelen? Uit de groep vn 20 worden door loting vijf personen gehld. Elk vn hen krijgt een eplde opdrht. Op hoeveel mnieren kn dt ls er per opdrht wordt geloot? Vooreeld 2 Uit een groepje vn 5 meisjes en 4 jongens kies je door loting een drietl. Hoeveel mogelijkheden zijn er ls dr dr minstens 2 meisjes ij zijn? Minstens 2 meisjes etekent dt er 2 meisjes of 3 meisjes ij moeten zijn. Als er preies 2 meisjes ij moeten zijn, dn kun je ijvooreeld eerst 2 vn de 5 meisjes kiezen en vervolgens 1 vn de 4 jongens. De 2 meisjes kies je op ( 5 ) = 10 mnieren. 2 Bij elk vn deze 10 mogelijkheden zijn er nog eens ( 4 ) = 4 mogelijke keuzes voor één jongen. 1 Dus zijn er in totl 10 4 = 40 mogelijkheden om preies 2 meisjes te kiezen. Als er preies 3 meisjes ij moeten zijn, hoef je lleen mr 3 vn de 5 meisjes te kiezen. Dt kun je op ( 5 ) = 10 mnieren doen. 3 In totl zijn er dus = 50 mnieren om minstens 2 meisjes te kiezen. Opgve 4 Bekijk nu Vooreeld 2 op pgin 21. Reken zelf de in het vooreeld gevrgde kns nog eens n. Op hoeveel mnieren kun je door loting uit een groep vn 20 met 8 mnnen en 12 vrouwen een groep vn vijf smenstellen die estt uit 3 mnnen en 2 vrouwen? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 21

24 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > TELLEN Op hoeveel mnieren kun je door loting uit een groep vn 20 met 8 mnnen en 12 vrouwen een groep vn vijf smenstellen die estt uit hoogstens 3 mnnen? Opgve 5 G uit vn een systeem met 7 shkelrs die lleml n of uit kunnen stn. Op hoeveel mnieren kun je 0 vn de 7 shkelrs nzetten? Op hoeveel mnieren kun je 1 vn de 7 shkelrs nzetten? Op hoeveel mnieren kun je 2 vn de 7 shkelrs nzetten? d Het ntl mnieren om 3 vn de 7 shkelrs n te zetten is gelijk n het ntl mnieren om er 4 vn de 7 n te zetten. Leg uit wrom dt zo is. Opgve 6 Stel je voor dt er 30 shkelrs zijn (die 30 toneellmpen edienen), wrmee je de elihting op een podium kunt regelen. Voor een eplde sène moeten er vier vn de 30 worden ngezet. Neem eerst n dt de volgorde wrin ze worden ngezet wel vn elng is. Op hoeveel mnieren kun je de eerste shkelr kiezen? Op hoeveel mnieren kun je vier shkelrs kiezen? Stel je nu voor dt het niet vn elng is in welke volgorde de shkelrs worden ngezet, lleen mr welke vier er n stn. d e Je moet voor een eplde sène de shkelrs S5, S7, S8 en S9 geruiken. Op hoeveel vershillende mnieren kun je die shkelrs nog n zetten? Hoe kun je met ehulp vn de ntwoorden op de vrgen ij en erekenen op hoeveel mnieren je vier shkelrs uit de 30 kunt kiezen ls de volgorde niet elngrijk is? Op hoeveel mnieren kun je 6 shkelrs kiezen uit de 30 ls de volgorde niet elngrijk is? Opgve 7 Voor je litertuurlijst moet je uit 40 literire oeken en 15 thrillers er tien kiezen. Op hoeveel mnieren kn dt ls er verder geen eisen n je lijst worden gesteld? Op hoeveel mnieren kn dt ls er mximl 3 thrillers mogen worden gekozen? Verwerken Opgve 8 Iemnd moet 10 vrgen met j of nee entwoorden. Hoeveel lijsten met ntwoorden zijn er mogelijk met preies drie keer j? Hoeveel lijsten met ntwoorden zijn er mogelijk met preies 9 keer j? Hoeveel lijsten met ntwoorden zijn er in totl mogelijk? PAGINA 22 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

25 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > TELLEN Opgve 9 Je gooit met vijf vershillende geldstukken en je let op het ntl keren kop. Hoeveel vershillende uitkomsten zijn er mogelijk? Hoeveel mogelijke uitkomsten met preies twee keer kop zijn er? Je gooit nu met 50 geldstukken. Op hoeveel mnieren kun je 20 keer kop werpen? Opgve 10 Voor een shktoernooi heen zih 24 deelnemers gemeld. Ze spelen een hlve ompetitie, dus elke deelnemer speelt preies één ml tegen iedere ndere deelnemer. Het ntl wedstrijden kn nu worden erekend met ehulp vn ominties. Leg uit wrom dt zo is en ereken het ntl te spelen wedstrijden. Opgve 11 Een groep estt uit 14 meisjes en 12 jongens. Er wordt een groepje vn vier door loting uitgekozen. Als het groepje uitsluitend uit meisjes moet estn, hoeveel vershillende groepjes zijn er dn mogelijk? Bentwoord dezelfde vrg ls het groepje uit twee jongens en twee meisjes moet estn. Opgve 12 Op hoeveel mnieren kunnen 8 vershillende oeken op een rij op een oekenplnk worden gepltst ls d iedere volgorde is toegestn? de drie wiskundeoeken ij elkr moeten stn? de twee woordenoeken op het eind vn de rij nst elkr moeten stn? er drie oeken worden uitgekozen om te worden gekft en dn n het eind te worden gezet? Opgve 13 Je werpt met drie doelstenen en let op het ntl ogen dt oven komt. Hoeveel vershillende uitkomsten zijn er mogelijk? Je kunt op vershillende mnieren 12 ogen gooien. Bijvooreeld door drieml 4 te gooien, mr ook door een 6 en tweeml 3 te gooien. Hoeveel mogelijkheden zijn er om 12 ogen te gooien? Opgve 14 Op een sholengemeenshp estt de medezeggenshpsrd uit 18 personen: 9 personeelsleden en 9 ouders en/of leerlingen. Die medezeggenshpsrd kiest een dgelijks estuur vn vier personen. Op hoeveel mnieren kn dt ls er verder geen eisen n dt dgelijks estuur worden gesteld? Op hoeveel mnieren kn dt ls er evenveel personeelsleden ls ouders en/of leerlingen in moeten zitten? Op hoeveel mnieren kn dt ls eerst de voorzitter, dn de vie-voorzitter, vervolgens de seretris en tenslotte de penningmeester in funtie worden gekozen? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 23

26 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > TELLEN Testen Opgve 15 Een volleyltem estt uit 12 spelers. De oh eplt welke spelers worden opgesteld en op welke vn de zes posities in het veld. Als lle spelers even sterk zijn en op elke positie kunnen spelen, op hoeveel mnieren kn de oh dn een tem vn zes smenstellen? Als hij dt tem heeft smengesteld, hoeveel vershillende eginopstellingen kn hij dn nog mken? Opgve 16 Een kls estt uit 26 leerlingen. d Op hoeveel mnieren kun je l die leerlingen op een rij zetten? Op hoeveel mnieren kun je 5 vn de 26 leerlingen op een rij zetten? Op hoeveel mnieren kun je een groepje vn 5 uit de 26 kiezen? Er zitten 10 meisjes in deze kls. Op hoeveel mnieren kun je een groepje vn 5 leerlingen kiezen ls dr preies twee meisjes in moeten voorkomen? PAGINA 24 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

27 1.4 De driehoek vn Psl Inleiding Sommige moderne steden heen een heel regelmtig rehthoekig strtenpln. Steden ls Chigo, Denver en ook Mnhttn in New York kennen zo n plttegrond. Je kunt dn op vershillende mnieren vn het éne punt nr het ndere gn zonder dt je er lnger over doet of omwegen mkt. Hoeveel routes kun je kiezen? Je leert in dit onderwerp > mogelijke routes zonder omwegen tellen in een rooster; > de driehoek vn Psl geruiken. Voorkennis > werken met tellen en digrmmen om mogelijkheden te tellen; > mhten en permutties toepssen ij telprolemen met of zonder herhling; > permutties en ominties toepssen ij het kiezen vn u elementen uit u elementen. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 25

28 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > TELLEN Verkennen Opgve 1 In de Inleiding op pgin 25 zie je een strtenpln vn het entrum vn Denver, een grote std in de USA. Je stt op Lrimer Squre op de hoek vn Lrimer Street en 15th Street. Je hotel is Hytt Regeny. Uit hoeveel even lnge routes (zonder omwegen) kun je kiezen? Uitleg In de figuur ij Inleiding op pgin 25 zie je een stukje plttegrond vn Denver, USA. Je wilt vn de hoek vn Lrimer Street en 15th Street nr de Wynkoop Brewing Co, op de hoek vn 18th Street en Wynkoop Street. Hoeveel even lnge routes (zonder omwegen) kun je kiezen? Hieronder zie je een vereenvoudigde vorm vn de plttegrond: 4 lokken West en 3 lokken Noord. Ernst zie je hoe je ze kunt tellen. Het ntl routes in een punt is telkens het ntl routes dt in het punt eronder en dt er rehts nst ij elkr komt opgeteld. In dit gevl kun je het ntl routes wel sneller erekenen. Het zijn nmelijk lleml rijtjes vn het type WNWWNWN wrin W een lok nr het Westen en N een lok nr het Noorden voorstelt. Je kiest drij 3 posities uit de 7 mogelijke posities om een N neer te zetten. Het ntl mnieren is: ( 7 3 ) = 35 mogelijkheden. Opgve 2 In de Uitleg op pgin 26 zie je hoe je het ntl mnieren kunt tellen om in Denver vn de hoek vn Lrimer Street en 15th Street nr de Wynkoop Brewing Co te komen. Bekijk de vrg ij Verkennen 1 op pgin 26. Teken een drij pssend rooster. Lt door tellen in dit rooster zien op hoeveel mnieren je vn Lrimer Squre nr het Hytt Regeny kunt komen. Op hoeveel mnieren kun je vn Lrimer Squre (hoek Lrimer Street en 15th Street) nr het kruispunt vn Arphoe Street en 20th Street? Opgve 3 Op hoeveel mnieren kun je vn Lrimer Squre (hoek Lrimer Street en 15th Street) nr het kruispunt vn Arphoe Street en 20th Street vi het Hytt Regeny? PAGINA 26 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

29 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > TELLEN Theorie en vooreelden Hier zie je een rooster vn 6 ij 3. Er zijn in elk roosterpunt twee keuzes: je gt rihting wel of rihting niet. Je kunt het ntl routes zonder omwegen tellen vn het punt linksonder nr dt rehtsoven. Elke route (zonder omwegen en vnf linksonder) estt uit een rijtje ls NWNNWNWNN, 3 keer wel en 6 keer niet. Het ntl routes nr een punt is telkens het ntl routes dt in het punt eronder en dt er links nst ij elkr komt opgeteld. Het is de som vn de routes vn de twee voorgngers. Je kunt dt in de figuur gemkkelijk ntellen ls je edenkt dt je (kortste routes) lleen nr rehts en omhoog kunt ewegen over de roosterlijnen. Dit telptroon stt ekend ls de driehoek vn Psl. Je kunt het ntl rijtjes NWNNWNWNN ook tellen met ehulp vn ominties. Je moet dn 3 uit de 9 posities kiezen om een W neer te zetten, drij speelt volgorde innen het groepje vn 3 W s geen rol. (En innen het groepje N en ook niet.) Je vind dn ( 9 ) = 84 mogelijkheden. 3 Vooreeld 1 Hoeveel mogelijke routes (zonder omwegen) zijn er vn O nr P? En hoeveel drvn gn lngs punt A? Je kunt het ntl routes vn O nr P tellen met de driehoek vn Psl. Je kunt ook werken met ominties: het ntl routes is ( 9 6 ) = 84. Ook de routes lngs A kun je tellen met de driehoek vn Psl. Bedenk dn wel dt de roosterpunten rehts vn A geen routes vn onder f erij krijgen en dt de roosterpunten oven A geen routes vn links erij krijgen (nders mk je omwegen). Ook nu gt het sneller met ominties: > het ntl routes vn O nr A is ( 5 3 ) = 10 > en het ntl routes vn A nr P is ( 4 3 ) = 4 > Het ntl routes vi A is 10 4 = 40. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 27

30 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > TELLEN Opgve 4 Bekijk Vooreeld 1 op pgin 27 en dn het rooster hiernst. Hoeveel kortste routes zijn er vn A nr B? Hoeveel kortste routes zijn er vn A nr P? En vn P nr B? Hoeveel kortste routes zijn er vn A nr B vi P? Opgve 5 G uit vn een systeem met 7 shkelrs die lleml n of uit kunnen stn. d e Teken een ijpssend rooster om in te tellen. Lt in het rooster zien op hoeveel mnieren je 0 vn de 7 shkelrs kunt nzetten. Op hoeveel mnieren kun je 1 vn de 7 shkelrs nzetten? Op hoeveel mnieren kun je 2 vn de 7 shkelrs nzetten? Je het de eerste drie shkelrs ngezet. Op hoeveel mnieren kun je er nu nog 2 vn de resterende 4 nzetten? Vooreeld 2 Hoeveel mogelijke routes (zonder omwegen) zijn er vn P nr S? Je het vst wel gezien dt er tussen twee roosterpunten geen weg is. Dus gewoon even het ntl ominties vn 5 uit 9 uitrekenen levert nu niet het goede ntwoord... Je kunt nu eigenlijk lleen mr het ntl routes uittellen met ehulp vn het telsysteem vn de driehoek vn Psl. Let goed op wt er in de roosterpunten ij de ontrekende weg geeurt. PAGINA 28 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

31 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > TELLEN Opgve 6 Bekijk nu Vooreeld 2 op pgin 28. Op hoeveel mnieren kun je in dit rooster vn A nr B? Vooreeld 3 Als je met 5 geldstukken werpt dn zijn er nogl wt mogelijkheden. Er kn ijvooreeld 5 keer "munt" oven liggen, mr dt kn ook 2 keer zijn (of nog wt nders) en dit kn telkens ndere geldstukken etreffen. Hoeveel mogelijkheden zijn er in totl? Zo vind je lle 32 mogelijkheden: > 5 keer M en 0 keer K: ( 5 ) = 1 mogelijkheid (MMMMM) 5 > 4 keer M en 1 keer K: ( 5 ) = 5 mogelijkheden (MMMMK, MMMKM, MMKMM, et.) 4 > 3 keer M en 2 keer K: ( 5 ) = 10 mogelijkheden (MMMKK, MMKMK, MKMMK, et.) 3 > 2 keer M en 3 keer K: ( 5 ) = 10 mogelijkheden (MMKKK, MKKMK, KKMMK, et.) 2 > 1 keer M en 4 keer K: ( 5 ) = 5 mogelijkheden (MKKKK, KKKMK, KKMMK, et.) 1 > 0 keer M en 5 keer K: ( 5 ) = 1 mogelijkheid (KKKKK) 0 Een simpel wegendigrm is nu veel hndiger. Elke munt heeft nmelijk 2 mogelijkheden, K of M. Bij 6 munten zijn er dus in totl 2 5 = 32 mogelijkheden. Opgve 7 Bekijk Vooreeld 3 op pgin 29. Teken hierij een rooster om in te tellen. Geef er in n hoe je het ntl mogelijkheden kunt vinden met drie keer munt. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 29

32 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > TELLEN Opgve 8 Oudere omputers werkten met een 8-its odesysteem. Elk teken ( yte genoemd) werd drin voorgesteld door een ode vn ht nullen en énen. Bijvooreeld werd de hoofdletter A (het 65e teken) voorgesteld door: d Hier zie je een yte. Geef het teken n met nullen en énen in de juiste volgorde. Hoeveel ytes zijn er met preies vier nullen? Hoeveel ytes zijn er met meer dn vier nullen? Hoeveel ytes kun je in totl mken? Verwerken Opgve 9 Je gooit met 10 geldstukken en let op het ntl keren kruis dt oven komt. d Op hoeveel mnieren krijg je 3 keer kruis? Hoeveel mogelijkheden zijn er in totl? Op hoeveel mnieren krijg je minstens 8 keer kruis? Op hoeveel mnieren krijg je hoogstens 8 keer kruis? Opgve 10 Het estuur vn een sportlu estt uit 6 leden. Als ze vergderen geven sommigen elkr voorf een hnd. Teken een rooster om lle mogelijkheden te tellen voor iemnd die twee willkeurige personen de hnd wil shudden. Hoeveel mogelijkheden heeft hij? Hoeveel mogelijkheden zijn er voor hem in totl? Opgve 11 Een vertegenwoordiger moet deze week nog 14 klnten ezoeken. Die klnten zijn lleml ongeveer even ver vn zijn woonplts verwijderd. Hij esluit de eerste dg ij 4 klnten lngs te gn. Op hoeveel mnieren kn hij 4 uit de 14 klnten zoeken? De tweede dg doet hij mr twee klnten n, wnt dn kn hij die dg ook n zijn dministrtie werken. Op hoeveel mnieren kn hij die uitzoeken? PAGINA 30 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

33 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > TELLEN Opgve 12 Bij de voetlwedstrijd Ajx - PEC Zwolle ws (lng geleden) de uitslg 6-4. Het soreverloop wordt in de figuur hiernst weergegeven. Shrijf het soreverloop op door lle tussenstnden hter elkr te zetten. Als je lleen de uitslg weet, hoeveel soreverlopen zijn dn mogelijk? Behlve de einduitslg (6-4) weet je ook de stnd met de puze (4-1). Hoeveel soreverlopen zijn nu nog mogelijk? Opgve 13 Je ziet hier een tuin met pden en een vijver. Deze plttegrond kun je shemtish weergeven in een rehthoekig rooster, zie de figuur hieronder. Bereken nu met ehulp vn dit rooster het ntl routes zonder omwegen dt je kunt lopen vn de ingng nr de uitgng. Opgve 14 Je ziet hier het morselfet. Elke letter estt uit mximl 4 signlen; elk ijfer estt uit preies 5 signlen. Een signl kn zijn kort (ngegeven door - ) of lng (ngegeven door ). Hoeveel tekens zijn er mogelijk met vijf signlen? Hoeveel tekens zijn er mogelijk met mximl vier signlen? Het is ook mogelijk om lle ijfers weer te geven met twee punten en drie strepen. Lt dt zien door lle mogelijkheden systemtish op te shrijven. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 31

34 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > TELLEN Testen Opgve 15 Een groep vn twlf personen wordt verdeeld in twee tems vn zes. Ze esluiten de verdeling uitsluitend vn het toevl te lten fhngen. Op hoeveel mnieren kunnen ze de twee tems smenstellen? Opgve 16 Speil voor linden en slehtzienden estt het Brilleshrift. In het Brilleshrift ontstt elk teken om vn zes mogelijke punten er een ntl in reliëf weer te geven opdt een linde het ntl en de positie vn de punten kn voelen en zo het teken herkennen. Hier zie je het lfet en de ijfers in Brille. d Op hoeveel mnieren kun je kun je een Brilleteken mken met twee punten in reliëf? Op hoeveel mnieren kun je kun je een Brilleteken mken met drie punten in reliëf? Hoeveel Brilletekens zijn er mogelijk? Er zijn Brilletekens die op de kop hetzelfde zijn. Hoeveel Brilletekens met twee punten etreft dit? Opgve 17 Bepl in dit rooster het ntl kortste routes vn A nr B. PAGINA 32 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

35 1.5 Totleeld Smenvtten Je moet nu voor jezelf een overziht zien te krijgen over het onderwerp Tellen. Een eigen smenvtting mken is nuttig. Begrippenlijst > wegendigrm oomdigrm uittellen > mht fulteit permutties > ominties > driehoek vn Psl Ativiteitenlijst > mogelijkheden tellen met ehulp vn digrmmen of uittellen > mhten geruiken ij herhling vn mogelijkheden fulteiten en permutties geruiken > ominties geruiken vershil tussen permutties en ominties herkennen > ominties toepssen ij routes in roosters de driehoek vn Psl toepssen Ahtergronden Hoewel de driehoek vn Psl is genoemd nr Blise Psl ( ) ws deze getllendriehoek l honderden jren voor zijn geoorte ekend. Wrshijnlijk kende de Chinese geleerde Chi Hsien (omstreeks 1050) de driehoek vn Psl l en het is zeker dt de Perzishe wetenshpper Omr Khyym ( ) er geruik vn mkte om wortels uit getllen te enderen. Eén vn de eerste weergves vn de driehoek vn Psl is vn de Chinees Yng Hui ( ). Psl shreef er ps over in 1654 in zijn Trité du tringle rithmétique, wrin hij diverse eigenshppen vn de getllen in deze driehoek liet zien. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 33

36 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > TELLEN Testen Opgve 1 In de Eredivisie spelen 18 voetllus om het lndskmpioenshp vn Nederlnd. Elk tem speelt een keer thuis en een keer uit tegen elk nder tem. Bij winst krijgt een tem 3 punten, ij gelijkspel 1 punt en ij verlies 0 punten. Uit hoeveel wedstrijden worden er in totl gespeeld? Hoeveel punten kn één tem mximl ehlen? De Toto is een spel wrij je voetluitslgen voorspelt. Bij Toto13 voorspel je vn 13 wedstrijden of de thuislu wint, verliest of gelijkspeelt. d e Hoeveel vershillende Toto13 uitslgen zijn er in totl mogelijk? Hoeveel Toto13 uitslgen zijn er met slehts 2 foute voorspellingen? Hoeveel Toto13 uitslgen zijn er met hoogstens 2 foute voorspellingen? Opgve 2 Bij het dgmenu in een resturnt vn de hmurgerketen BurgerChief he je voor het Chiefmenu keuze uit: > Voorf: tomtensoep of groentesoep. > Hoofdgereht: frites met heeseurger, frites met duele hmurger of frites met eefurger. > Drinken: ol of sins. > Ngereht: hooldepudding, vnillepudding of itroenpudding. Hoeveel menu s zijn er dn mogelijk? Hoeveel menu s zijn er mogelijk ls iemnd eslist een heeseurger wil en niet vn pudding houdt? Opgve 3 In een vs zitten zeven lletjes, drie rode en vier witte. Msh hlt zonder te kijken een lletje uit de vs, ekijkt de kleur, legt het weer terug en hlt (n shudden) opnieuw zonder te kijken een lletje uit die vs. d Geef in een oomdigrm de mogelijkheden weer. Hoeveel mogelijkheden zijn er in totl? Hoeveel mogelijkheden zijn er met een wit en een rood lletje? Doe hetzelfde nog eens in het gevl dt het lletje n de eerste keer niet wordt teruggelegd. Opgve 4 De ijfers die in het venster vn een eenvoudige rekenmhine vershijnen worden gemkt door een ntl stfjes te lten oplihten. Voor elk ijfer zijn er in totl zeven vn die stfjes. Stfje n wordt weergegeven door een 1, stfje uit door een 0. Mk een ijpssend rooster voor de mogelijkheden ij zeven stfjes. Hoeveel symolen met drie oplihtende stfjes zijn er te mken? Hoeveel symolen zijn er zo in totl te mken? PAGINA 34 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

37 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > TELLEN Opgve 5 Bij tennis wordt vk het est-of-five systeem gespeeld. Dit etekent dt er mximl 5 gmes worden gespeeld. Degene die het eerst drie gmes heeft gewonnen heeft de prtij gewonnen. A speelt tegen B. Hoeveel mogelijke wedstrijdverlopen zijn er? Opgve 6 De leerlingenrd estt uit 22 personen, verdeeld over diverse jrgroepen. Er zitten 8 leerlingen uit de ovenouw en 14 leerlingen uit de onderouw in. Er moet een dgelijks estuur worden gekozen vn vijf personen (voorzitter, seretris, penningmeester, vie-voorzitter en vie-seretris). d e Op hoeveel mnieren kun je dit dgelijks estuur kiezen ls ze ps hterf de funties onderling verdelen? Op hoeveel mnieren kun je dit dgelijks estuur smenstellen ls de leden in funtie worden gekozen? Op hoeveel mnieren kun je het dgelijks estuur kiezen ls het moet estn uit twee leerlingen uit de onderouw en drie uit de ovenouw? Op hoeveel mnieren kun je het dgelijks estuur kiezen ls er minstens één onderouwleerling deel vn moet uitmken? Op hoeveel mnieren kun je het dgelijks estuur kiezen ls de voorzitter uit de ovenouw moet komen? Toepssen Opgve 7 De driehoek vn Psl is een telsysteem met vele toepssingen. Hier zie je het telsysteem weergegeven in een rooster. De nm driehoek wordt door de figuur duidelijk opgeroepen. Het ntl routes nr één vn de punten op de tiende rij is het ntl ominties vn u uit 10: ( 10 ). G dit zelf n! u Om nr een punt op de tiende rij te komen, moet je 10 keer een j/nee -keuze mken. Het ntl mogelijkheden om nr een punt op de tiende rij te komen is drom in totl Dus: ( 10 0 ) + (10 1 ) + (10 ) ( ) + (10 10 ) = 210 Lt zien hoe je met ehulp vn ominties de getllen op de tiende rij vn de driehoek vn Psl kunt vinden. Lt zien hoe je vnuit de getllen op de tiende rij de getllen op de elfde rij vn de driehoek vn Psl kunt vinden. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 35

38 WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > TELLEN Opgve 8: BARode Bij het werken met llerlei odes zijn telprolemen voortdurend vn elng. Zijn er voldoende pinodes voor iedereen? Zijn er voldoende postodes voor iedereen? Kun je een goed systeem vinden voor het identifieren vn rtikelen in de winkel? Bij het ontwerpen vn een epld soort rode (streepjesode) is men uitgegn vn een rehthoek die verdeeld is in 7 stroken. Iedere strook is zwrt of wit. Hiernst zie je de ode voor het ijfer 7. Hoeveel odes zijn er in totl mogelijk voor zo n rehthoek? Hoeveel odes zijn er mogelijk met preies drie zwrte stroken? Hier zie je een vooreeld vn een streepjesode. d Uit hoeveel rehthoekjes estt dit type rode? Hoeveel vershillende rodes zijn er vn dit type mogelijk ls ze uitsluitend uit ijfers estn? Exmen Opgve 9: Vijver Hier zie je een plttegrond vn pden rond een kruisvormige vijver. Een route vn A nr B moet zo kort mogelijk zijn en mg niet uiten de pden leiden. Hoeveel routes vn A nr B zijn er mogelijk? (ron: exmen wiskunde A hvo 1989, eerste tijdvk) PAGINA 36 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013