PRESTATIE-ANALYSE VAN EEN SNELLOKET VOOR PRIORITAIRE KLANTEN

Transcriptie

1 UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR PRESTATIE-ANALYSE VAN EEN SNELLOKET VOOR PRIORITAIRE KLANTEN Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master of Science in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur Charlotte De Volder onder leiding van Prof. Dr. Ir. Sabine Wittevrongel en Ir. Bart Feyaerts

2

3 UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR PRESTATIE-ANALYSE VAN EEN SNELLOKET VOOR PRIORITAIRE KLANTEN Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master of Science in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur Charlotte De Volder onder leiding van Prof. Dr. Ir. Sabine Wittevrongel en Ir. Bart Feyaerts i

4 Toelating PERMISSION Ondergetekende verklaart dat de inhoud van deze masterproef mag geraadpleegd en/of gereproduceerd worden, mits bronvermelding. Charlotte De Volder ii

5 Voorwoord Met het schrijven van deze masterproef sluit ik de universitaire opleiding Master of Science in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur af. Deze opleiding slaagt erin zijn studenten een kritische en analytische denkwijze mee te geven. Deze vaardigheden hebben me geholpen bij het schrijven van deze masterproef. Gedurende de masteropleiding heb ik de kans gekregen om me te kunnen verdiepen in de wereld van de wachtlijnen, een onderwerp dat me voorheen onbekend was. Hoewel ik gedurende mijn onderzoek regelmatig uitgedaagd werd door de complexiteit van dit domein, hoop ik met deze masterproef enkele nieuwe inzichten voor te stellen. Graag wil ik Prof. Dr. Ir S. Wittevrongel bedanken om mij te ontvangen en te begeleiden aan de vakgroep TELIN. Ik kon steeds bij haar terecht met mijn vragen. Daarnaast wil ik ook graag mijn copromotor Ir. B. Feyaerts danken voor zijn hulp en raad. Ten slotte nog een speciaal woord van dank aan mijn ouders, die me de kans gaven te studeren aan de Universiteit Gent. Charlotte De Volder Gent, Mei 214 iii

6 Inhoud TOELATING... ii VOORWOORD... iii LIJST VAN FIGUREN... viii LIJST VAN TABELLEN... xiv LIJST VAN JAVA PROGRAMMA S... xv LIJST VAN EXCEL FILES... xvi INLEIDING... 1 LITERATUURONDERZOEK Wachtlijnen algemeen Wachtfenomeen Wachtlijnsysteem Waarom bestuderen we wachtlijnen? Wachtlijnanalysetechnieken De wachtlijntheorie Wachtlijnen met prioriteit De prioriteitseigenschap Waarom kiezen organisaties voor prioriteit? Prioriteit in de wachtlijntheorie Masterproef Relevantie van de masterproef Hypotheses ONDERZOEKSMETHODOLOGIE Discrete-event simulatie Mechanisme Componenten Programmeertaal Programma-opbouw Flow doorheen de wachtlijnsysteem vergelijking Flow doorheen een wachtlijnsysteemrun Flow doorheen het aankomst-event Flow doorheen het vertrek-event iv

7 2.4. Simulatieparameters Output analyse Het belang van de lengte van een run Het belang van meerdere runs Definiëring van de statistieken WACHTLIJNSYSTEEM ZONDER PRIORITEIT Modelopbouw Prioriteit en wachtlijndiscipline Aankomstproces en wachtlijntoewijzing Bedieningsproces Wachtlijncapaciteit Prestatiemaatstaven Grafische voorstelling Simulatie-output en discussie Gedrag van het wachtlijnsysteem bij variabele bedieningstijden Gedrag van het wachtlijnsysteem bij variabele tussenaankomsttijden Besluit... 4 WACHTLIJNSYSTEEM MET STANDAARD PRIORITEIT Modelopbouw Prioriteit en wachtlijndiscipline Aankomstproces en wachtlijntoewijzing Prestatiemaatstaven Grafische voorstelling Simulatie-output en discussie Gedrag van het wachtlijnsysteem bij variabele bedieningstijden Gedrag van het wachtlijnsysteem bij variabele tussenaankomsttijden Gedrag van het wachtlijnsysteem bij variabele verhouding prioriteit/niet-prioriteit Besluit Vergelijking met het wachtlijnmodel zonder prioriteit Programmatie Prestatievergelijking: Gemiddelde lengte Prestatievergelijking: Gemiddelde wachttijd Prestatievergelijking: De invloed van α Besluit v

8 WACHTLIJNSYSTEEM MET OPTIONELE PRIORITEIT Modelopbouw Aankomstproces en wachtlijntoewijzing Grafische voorstelling Simulatie-output en discussie Gedrag van het wachtlijnsysteem bij variabele bedieningstijden Gedrag van het wachtlijnsysteem bij variabele tussenaankomsttijden Gedrag van het wachtlijnsysteem bij variabele verhouding prioriteit/niet-prioriteit Besluit Vergelijking met het wachtlijnmodel met standaard prioriteit Programmatie Prestatievergelijking: Gemiddelde lengte Prestatievergelijking: Gemiddelde wachttijd Prestatievergelijking: De invloed van α Besluit UITBREIDING NAAR 3 SERVERS Wachtlijnsysteem met 3 servers zonder prioriteit Modelopbouw Gedrag van het wachtlijnsysteem Wachtlijnsysteem met 3 servers met standaard prioriteit Modelopbouw Gedrag van het wachtlijnsysteem Prestatievergelijking Prestatievergelijking: Gemiddelde Lengte Prestatievergelijking: Gemiddelde Wachttijd Besluit ALGEMEEN BESLUIT REFERENTIELIJST... i BIJLAGE A... i BIJLAGE B... ii BIJLAGE C... iii BIJLAGE D... iii BIJLAGE E... iv BIJLAGE F... v vi

9 BIJLAGE G... vi BIJLAGE H... vii vii

10 Lijst van figuren Figuur 1.1: Het wachtlijnsysteem... 5 Figuur 1.2: Kostoptimalisatie van wachtlijnsystemen... 7 Figuur 2.1: Java programmaniveaus Figuur 2.2: Wachtlijnsysteem vergelijking opbouw Figuur 2.3: Structuur Tabel Figuur 2.4: Structuur Tabel Figuur 2.5: Wachtlijnsysteem zonder prioriteit output 1 voorbeeld Figuur 2.6: Wachtlijnsysteemrun structuur Figuur 2.7: Eventlijst code Figuur 2.8: Aankomst-event flow Figuur 2.9: Vertrek-event flow Figuur 3.1: M/D/2/FIFO wachtlijnsysteem Figuur 3.2: Vergelijking van gemiddelde wachttijd tussen wachtlijn 1 en wachtlijn 2 bij variabele waarden voor μ in een niet prioritair systeem Figuur 3.3: Vergelijking van gemiddelde wachtlijnlengte tussen wachtlijn 1 en wachtlijn 2 bij variabele waarden voor μ in een niet prioritair systeem Figuur 3.4: Vergelijking van gemiddelde wachttijd tussen wachtlijn 1 en wachtlijn 2 bij variabele waarden voor 1/λ in een niet prioritair systeem Figuur 3.5: Vergelijking van gemiddelde wachtlijnlengte tussen wachtlijn 1 en wachtlijn 2 bij variabele waarden voor 1/λ in een niet prioritair systeem Figuur 4.1: Prioriteit code Figuur 4.2: M/D/2/PR Wachtlijnsysteem Figuur 4.3: Vergelijking van gemiddelde wachttijd tussen wachtlijn 1 en 2 bij variabele waarden voor μ in een standaard prioritair systeem viii

11 Figuur 4.4: Vergelijking van gemiddelde wachtlijnlengte tussen wachtlijn 1 en 2 bij variabele waarden voor μ in een standaard prioritair systeem Figuur 4.5: Verloop van gemiddelde wachttijd in wachtlijn 2 bij variabele waarden voor μ in een standaard prioritair systeem Figuur 4.6: Verloop van gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 2 bij variabele waarden voor μ in een standaard prioritair systeem Fi45guur 4.7: Vergelijking van gemiddelde wachttijd tussen wachtlijn 1 en wachtlijn 2 bij variabele waarden voor 1/λ in een standaard prioritair systeem Figuur 4.8: Vergelijking van gemiddelde wachtlijnlengte tussen wachtlijn 1 en wachtlijn 2 bij variabele waarden voor 1/λ in een standaard prioritair systeem Figuur 4.9: Verloop van gemiddelde wachttijd in wachtlijn 2 bij variabele waarden voor 1/λ in een standaard prioritair systeem Figuur 4.1: Verloop van gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 2 bij variabele waarden voor 1/λ in een standaard prioritair systeem Figuur 4.11: Vergelijking van het verloop van de gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 vs. wachtlijn 2 bij variabele waarden voor α in een standaard prioritair systeem met bezettingsgraad 4% Figuur 4.12: Vergelijking van het verloop van de gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 vs. wachtlijn 2 bij variabele waarden voor α in een standaard prioritair systeem met bezettingsgraad 9% Figuur 4.13: Vergelijking van het verloop van de gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 vs. wachtlijn 2 bij variabele waarden voor α in een standaard prioritair systeem met bezettingsgraad 99,6% Figuur 4.14: Verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) bij variabele waarden voor μ Figuur 4.15: Verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) bij variabele waarden voor 1/λ Figuur 4.16: Verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) bij variabele waarden voor μ Figuur 4.17: Verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) bij variabele waarden voor 1/λ Figuur 4.18: Absoluut verschil vs. procentueel verschil ix

12 Figuur 4.19: Verloop van het procentueel verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) bij variabele waarden voor μ Figuur 4.2: Verloop van het procentueel verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) bij variabele waarden voor 1/λ Figuur 4.21: Verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) bij variabele waarden voor μ Figuur 4.22: Verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) bij variabele waarden voor 1/λ Figuur 4.23: Verloop van het verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) bij variabele waarden voor μ Figuur 4.24: Verloop van het verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) bij variabele waarden voor 1/λ Figuur 4.25: Verloop van het verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) bij variabele waarden voor μ Figuur 4.26: Verloop van het verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) bij variabele waarden voor 1/λ Figuur 4.27: Verloop van het procentueel verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) bij variabele waarden voor μ Figuur 4.28: Verloop van het procentueel verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) bij variabele waarden voor 1/λ Figuur 4.29: Verloop van het verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) bij variabele waarden voor μ Figuur 4.3: Verloop van het verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) variabele waarden voor 1/λ Figuur 4.31: Simulatiefragment uit een niet prioritair systeem (ZP) en een standaard prioritair systeem (SP) Figuur 4.32: Vergelijking van het verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. niet prioritair systeem (ZP) met bezettingsgraad 4% bij variabele waarden voor α x

13 Figuur 4.33: Vergelijking van het verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. niet prioritair systeem (ZP) met bezettingsgraad 9% bij variabele waarden voor α Figuur 4.34: Vergelijking van het verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. niet prioritair systeem (ZP) met bezettingsgraad 99,6% bij variabele waarden voor α Figuur 4.35: Vergelijking van het verloop van het verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. niet prioritair systeem (ZP) met bezettingsgraad 4% bij variabele waarden voor α Figuur 4.36: Vergelijking van het verloop van het verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. niet prioritair systeem (ZP) met bezettingsgraad 9% bij variabele waarden voor α Figuur 4.37: Vergelijking van het verloop van het verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. niet prioritair systeem (ZP) met bezettingsgraad 99,6% bij variabele waarden voor α Figuur 5.1 M/D/2/OPR wachtlijnsysteem Figuur 5.2: Vergelijking van gemiddelde wachttijd tussen wachtlijn 1 en wachtlijn 2 bij variabele waarden voor μ in een optioneel prioritair systeem Figuur 5.3: Vergelijking van gemiddelde wachtlijnlengte tussen wachtlijn 1 en wachtlijn 2 bij variabele waarden voor μ in een optioneel prioritair systeem Figuur 5.4: Vergelijking van gemiddelde wachttijd tussen wachtlijn 1 en wachtlijn 2 bij variabele waarden voor 1/λ in een optioneel prioritair systeem Figuur 5.5: Vergelijking van gemiddelde wachtlijnlengte tussen wachtlijn 1 en wachtlijn 2 bij variabele waarden voor 1/λ in een optioneel prioritair systeem Figuur5.6: Vergelijking van het verloop van de gemiddelde wachttijd van wachtlijn 1 vs. wachtlijn 2 bij variabele waarden voor α in een optioneel prioritair systeem met bezettingsgraad 4% Figuur5.7: Vergelijking van het verloop van de gemiddelde wachttijd van wachtlijn 1 vs. wachtlijn 2 bij variabele waarden voor α in een standaard prioritair systeem met bezettingsgraad 9% Figuur5.8: Vergelijking van het verloop van de gemiddelde wachttijd van wachtlijn 1 vs. wachtlijn 2 bij variabele waarden voor α in een standaard prioritair systeem met bezettingsgraad 99,6% xi

14 Figuur 5.9: Verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1 in een standaard prioritair systeem (SP ) vs. een optioneel prioritair systeem (OP) bij variabele waarden voor μ Figuur 5.1: Verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1 in een standaard prioritair systeem (SP ) vs. een optioneel prioritair systeem (OP) bij variabele waarden voor 1/λ Figuur 5.11: Verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP ) vs. een optioneel prioritair systeem (OP) bij variabele waarden voor μ Figuur 5.12: Verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP ) vs. een optioneel prioritair systeem (OP) bij variabele waarden voor 1/λ Figuur 5.13: Aantal optioneel prioritaire klanten dat bij aankomst kiest voor wachtlijn 1 bij variabele waarden voor μ Figuur 5.14: Aantal optioneel prioritaire klanten dat bij aankomst kiest voor wachtlijn 1 bij variabele waarden voor 1/λ Figuur 5.15: Verloop van het procentueel verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP ) vs. een optioneel prioritair systeem (OP) bij variabele waarden voor μ Figuur 5.16: Verloop van het procentueel verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP ) vs. een optioneel prioritair systeem (OP) bij variabele waarden voor 1/λ Figuur 5.17: Verloop van het verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 in een standaard prioritair systeem (SP ) vs. een optioneel prioritair systeem (OP) bij variabele waarden voor μ Figuur 5.18: Verloop van het verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 in een standaard prioritair systeem (SP ) vs. een optioneel prioritair systeem (OP) bij variabele waarden voor 1/λ Figuur 5.19: Verloop van het verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP ) vs. een optioneel prioritair systeem (OP) bij variabele waarden voor μ Figuur 5.2: Verloop van het verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP ) vs. een optioneel prioritair systeem (OP) bij variabele waarden voor 1/λ Figuur 5.21: Verloop van het procentueel verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP ) vs. een optioneel prioritair systeem (OP) bij variabele waarden voor μ xii

15 Figuur 5.22: Verloop van het procentueel verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP ) vs. een optioneel prioritair systeem (OP) bij variabele waarden voor 1/λ Figuur5.23: Vergelijking van het verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. optioneel prioritair systeem (OP) met bezettingsgraad 4% bij variabele waarden voor α... 8 Figuur5.24: Vergelijking van het verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. optioneel prioritair systeem (OP) met bezettingsgraad 9% bij variabele waarden voor α... 8 Figuur5.25: Vergelijking van het verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. optioneel prioritair systeem (OP) met bezettingsgraad 99,6% bij variabele waarden voor α... 8 Figuur5.26: Vergelijking van het verloop van het verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. optioneel prioritair systeem (OP) met bezettingsgraad 4% bij variabele waarden voor α Figuur5.27: Vergelijking van het verloop van het verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. optioneel prioritair systeem (OP) met bezettingsgraad 9% bij variabele waarden voor α Figuur5.28: Vergelijking van het verloop van het verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. optioneel prioritair systeem (OP) met bezettingsgraad 99,6% bij variabele waarden voor α Figuur 6.1: M/D/3/FIFO wachtlijnsysteem Figuur 6.2: M/D/3/PR wachtlijnsysteem Figuur 6.3: Vergelijking van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1, 2 en 3 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet-prioritair systeem (NP) bij variabele waarden voor μ Figuur 6.4: Vergelijking van de verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1, 2 en 3 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet-prioritair systeem (NP) bij variabele waarden voor 1/λ Figuur 6.5: Vergelijking van het verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1, 2 en 3 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet-prioritair systeem (NP) bij variabele waarden voor μ Figuur 6.6: Vergelijking van het verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1, 2 en 3 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet-prioritair systeem (NP) bij variabele waarden voor 1/λ xiii

16 Lijst van tabellen Tabel 1.1: Distributie standaardnotaties Tabel 1.2: Wachtlijndiscipline standaardnotaties Tabel 2.1: Simulatie: inputparameters... 3 Tabel 2.2: Simulatie: stopcriteria Tabel 2.3: Simulatie: aantal runs Tabel 5.1: Verschil in gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 in een SP systeem vs. OP systeem bij variabele waarden voor α Tabel 5.2: Overzicht van de managementopties bij optionele prioriteit Tabel 6.1: Vergelijking van de impact van prioriteit bij laag bezette wachtlijnsystemen vs. hoog bezette wachtlijnsystemen xiv

17 Lijst van Java programma s Onderwerp Hoofdstuk Vergelijking 1 Hoofdstuk 3 & 4 Programma 1 μ : variabel, 1/λ: constant α: constant Programma 2 μ : constant 1/λ: variabel α: constant Programma 3 μ : constant 1/λ: constant α: variabel Vergelijking 2 Hoofdstuk 4 & 5 Programma 4 μ : variabel, 1/λ: constant α: constant Programma 5 μ : constant 1/λ: variabel α: constant Programma 6 μ : constant 1/λ: constant α: variabel Vergelijking 3 Hoofdstuk 6 Programma 7 μ : variabel, 1/λ: constant α: constant Programma 8 μ : constant 1/λ: variabel α: constant xv

18 Lijst van Excel Files Map Titel μ 1/ λ α Vergelijking 1 Excel File 1 V 2,5 2 % Excel File 2 V 4 2 % Excel File 3 2,5 V 2 % Excel File 4 4 V 2 % Excel File 5 2 2,5 V Excel File 6 4,5 2,5 V Excel File 7 4,98 2,5 V Vergelijking 2 Excel File 8 V 2,5 2 % Excel File 9 V 4 2 % Excel File 1 2,5 V 2 % Excel File 11 4 V 2 % Excel File ,5 V Excel File 13 4,5 2,5 V Excel File 14 4,98 2,5 V Vergelijking 3 Excel File 15 V 2,5 2 % Excel File 16 V 4 2 % Excel File 17 2,5 V 2 % Excel File 18 4 V 2 % * V = variabel * Elke Excel File bevat 4 tabbladen; de output van het eerste wachtlijnsysteem van de vergelijking, de output van het tweede wachtlijnsysteem van de vergelijking, de output van het verschil en een overzicht van de inputparameters xvi

19 Inleiding De opsplitsing tussen prioritaire klanten en niet-prioritaire klanten in de dienstenomgeving komt steeds vaker voor. Het meest voor de hand liggende voorbeeld is de business-wachtlijn op luchthavens voor de bagagecontrole of check-in. Hetzelfde principe wordt ook gebruikt in pretparken waar bezoekers, mits bijbetaling, kunnen genieten van een prioritaire wachtlijn. Daarnaast wordt wachtlijnsegmentatie eveneens toegepast door organisaties zonder medeweten van klanten, bijvoorbeeld bij het betalingssysteem van online shops. In elk van deze voorbeelden wordt onderscheid gemaakt tussen klanten op basis van prioriteit. Het invoeren van een snelloket voor prioritaire klanten heeft een impact op de dienstervaring van zowel de prioritaire klanten als van de niet-prioritaire klanten. In welke mate een snelloket voordelig is voor prioritaire klanten enerzijds en nadelig is voor niet-prioritaire klanten anderzijds, is niet altijd eenvoudig te voorspellen. In deze masterproef zullen we dit bestuderen aan de hand van 3 prestatievergelijkingen waarbij het invoeren van het snelloket voor prioritaire klanten steeds op een verschillende manier tot uiting komt. De algemene onderzoeksvraag in deze masterproef luidt bijgevolg: Hoe verhouden zich de effecten voor prioritaire vs. niet-prioritaire klanten bij het vergelijken van verschillende wachtlijnsystemen die een organisatie in staat stellen prioritaire klanten anders te verwerken dan niet-prioritaire klanten? De algemene onderzoeksvraag wordt uitgesplitst in drie specifieke onderzoeksvragen, in overeenstemming met de drie vergelijkende studies. De eerste vergelijking vindt plaats tussen twee wachtlijnsystemen, elk bestaande uit 2 servers. Het eerste wachtlijnsysteem bestaat uit 2 wachtlijnen en servers waarbij geen onderscheid wordt gemaakt tussen klanten op basis van prioriteit. Bij een dergelijk wachtlijnsysteem kiezen klanten bij hun aankomst zelf voor één van beide wachtlijnen. Naar dit wachtlijnsysteem wordt verder gerefereerd als het wachtlijnsysteem zonder prioriteit. De prestatie van het wachtlijnsysteem zonder prioriteit zal worden vergeleken met de prestatie van een wachtlijnsysteem met een snelloket voor standaard prioritaire klanten. Dit wachtlijnsysteem bestaat uit 2 wachtlijnen waarbij wachtlijn 1 en server 1 zijn voorbestemd voor niet-prioritaire klanten (type 1 klanten) en wachtlijn 2 en server 2 zijn voorbestemd voor prioritaire klanten (type 2 klanten). Nietprioritaire klanten kunnen eveneens bediend worden door de prioritaire server wanneer er geen prioritaire klanten in het systeem aanwezig zijn. Is dit wel het geval, dan genieten prioritaire klanten voorrang aan de voor hen voorbestemde wachtlijn. Op dezelfde manier kunnen prioritaire klanten bediend worden door de nietprioritaire server wanneer er geen niet-prioritaire klanten in het systeem aanwezig zijn. Naar dit wachtlijnsysteem wordt verder verwezen als het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit. 1

20 Vervolgens gaat ons onderzoek verder met enkele uitbreidingen op de initieel vrij eenvoudige wachtlijnmodellen. De eerste uitbreiding biedt prioritaire klanten (type 2 klanten) de mogelijkheid aan te schuiven aan de nietprioritaire wachtlijn (wachtlijn 1). Op dat moment verliest een prioritaire klant echter zijn prioriteit en wordt hij verder behandeld als een niet-prioritaire klant. Een dergelijke situatie kan bijvoorbeeld voorkomen wanneer een prioritaire klant bij aankomst in het systeem verwacht sneller bediend te worden door aan te schuiven aan de nietprioritaire wachtlijn. Prioritaire klanten die aanschuiven aan de prioritaire wachtlijn, kunnen bovendien nog steeds bediend worden door de niet-prioritaire server wanneer deze beschikbaar komt te staan en er geen nietprioritaire klanten meer aanwezig zijn in het wachtlijnsysteem. Omgekeerd is het klanten die aanschuiven aan de niet-prioritaire wachtlijn toegestaan door het prioritaire loket bediend te worden indien er geen prioritaire klanten in het systeem aanwezig zijn. Naar dit wachtlijnsysteem wordt verder verwezen als het wachtlijnsysteem met optionele prioriteit. De tweede prestatievergelijking bestudeert het verschil tussen een dergelijk optioneel prioritair wachtlijnsysteem en een wachtlijnsysteem met standaard prioriteit. De derde prestatievergelijking krijgt vorm door zowel het wachtlijnsysteem zonder prioriteit als het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit uit te breiden met een extra wachtlijn en server voor niet-prioritaire klanten. We veronderstellen hierbij telkens dat elk loket beschikt over een eigen wachtlijn. Naar deze uitbreidingen wordt verder verwezen als het wachtlijnsysteem met 3 servers zonder prioriteit en als het wachtlijnsysteem met 3 servers met standaard prioriteit. We onderzoeken het gedrag van elk wachtlijnsysteem en van elke vergelijking op basis van simulatie. We kozen voor deze techniek omwille van drie redenen. Ten eerste laat simulatie toe complexe wachtlijnfaciliteiten te onderzoeken. Mathematische beperkingen worden hiermee deels vermeden. Ten tweede kunnen de programma s eenvoudiger worden aangepast om in eventueel verder onderzoek het gedrag van gelijkaardige wachtlijnsystemen te onderzoeken. Ten derde sluit deze techniek dichter aan bij de opleiding handelsingenieur dan een zuiver analytische methode. De masterproef volgt een logische structuur. In hoofdstuk 1 geven we een inleiding tot de wereld van wachtlijnen en prioriteit. Vragen als waarom bestuderen we wachtlijnen en waarom kiezen bedrijven voor prioriteit worden er beantwoord. Een belangrijk deel van het hoofdstuk wordt gespendeerd aan de wachtlijntheorie. Dit is de wetenschap die wachtlijnen op een analytische manier bestudeert. Hoewel deze masterproef gebaseerd is op simulaties, beschrijft de wachtlijntheorie de elementaire bouwstenen van een wachtlijnsysteem. Eveneens geven we een overzicht van de reeds analytisch bestudeerde wachtlijnsystemen met prioriteit. Met deze masterproef zullen we proberen een aanzet te geven tot nieuwe interessante vraagstukken die nadien analytisch verder kunnen uitgewerkt worden. Hoofdstuk 1 wordt afgesloten met een terugblik op de relevantie van deze masterproef en met de formulering van de hypotheses. Hoofdstuk 2 zoomt in op de toegepaste onderzoeksmethodologie. Voor deze masterproef programmeerden we 8 Java programma s. Deze verschillen slechts onderling op het laagste niveau zodat de algemene structuur steeds vrijwel gelijkaardig is. Het hoofdstuk beschrijft enerzijds hoe we de programma s logisch programmeerden en anderzijds op welke manier de verschillende statistieken berekend werden. 2

21 Met hoofdstuk 3 starten we het eigenlijke onderzoek. Dit hoofdstuk bestudeert het gedrag van het wachtlijnsysteem zonder prioriteit. Dit is de eerste stap richting de eerste prestatievergelijking. We bespreken achtereenvolgens de modelopbouw van het wachtlijnsysteem en de simulatieoutput. Hoofdstuk 4 bestudeert in eerste instantie het gedrag van het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit. De modelopbouw beperkt zich tot de elementen die het wachtlijnsysteem onderscheiden van het wachtlijnsysteem zonder prioriteit. Dit stelt ons in staat om nadien dit wachtlijnsysteem te vergelijken met het wachtlijnsysteem zonder prioriteit uit hoofdstuk 3. Dit resulteert in de eerste prestatie-analyse. Hoofdstuk 5 start met een analyse van het gedrag van het wachtlijnsysteem met optionele prioriteit. In het tweede deel van hoofdstuk 5 wordt dit wachtlijnsysteem vergeleken met het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit uit hoofdstuk 4. Zodoende wordt de tweede prestatie-analyse besproken. Hoofdstuk 6 tot slot, focust op de uitbreiding naar 3 servers. In het eerste deel halen we kort het gedrag van de afzonderlijke wachtlijnsystemen aan. In het tweede deel wordt de derde prestatie-analyse bestudeerd. Zoals duidelijk zal worden, leunen zowel de afzonderlijke wachtlijnsystemen met 3 servers als de derde prestatieanalyse dicht aan bij hoofstukken 3 en 4. Bijgevolg staan we niet overbodig lang stil bij de derde prestatievergelijking. 3

22 Hoofdstuk 1 Literatuuronderzoek Het eerste hoofdstuk gaat na op welke manier wachtlijnen reeds bestudeerd werden in de bestaande literatuur. De kernconcepten uit deze masterproef worden gedefinieerd en de meest belangrijke begrippen uit de wachtlijntheorie worden geïntroduceerd. Het eerste deel van dit hoofdstuk beschrijft wachtlijnen algemeen terwijl het tweede deel meer specifiek inzoomt op wachtlijnen met prioriteit. Het derde deel focust op de relevantie van deze masterproef en specifieert de onderzoeksvragen en hypotheses Wachtlijnen algemeen Wachtfenomeen Wachtlijnen ontstaan als gevolg van een wachtfenomeen. Een dergelijk fenomeen ontstaat wanneer er tijdelijk meer klanten een dienstverlening vragen dan de bedieningseenheid kan behandelen. Prof. Dr. Ir Bruneel definieert een wachtfenomeen als volgt: In het algemeen kan elke situatie waarbij entiteiten (aanvragen, gebruikers, ) van een of andere soort hun beurt moeten afwachten om een zekere vorm van dienstverlening (bediening, verwerking, service) te bekomen van een hiertoe geschikte inrichting of voorziening, een wachtfenomeen genoemd worden. (Bruneel, 21) In de praktijk is het vaak moeilijk om exact in te schatten hoeveel entiteiten een wachtlijnfaciliteit zullen binnenkomen gedurende een bepaald tijdsinterval. Hetzelfde geldt voor de tijd nodig om deze te behandelen. Als gevolg hiervan worden wachtfenomenen, en dus ook wachtlijnen, veel en snel gevormd. Bruneel verwoordt dit als volgt: Wanneer de tijdstippen waarop de aanvragen voor service gebeuren onvoorspelbaar zijn en/of indien de hoeveelheid service (uitgedrukt in tijdseenheden) die verlangd wordt wisselvallig is, dan kunnen er conflicten ontstaan tussen de klanten voor wat betreft het gebruik van de verwerkingseenheid, zodat er onvermijdelijk rijen van wachtende klanten opgebouwd worden. (Bruneel, 21) We worden bijna dagelijks geconfronteerd met wachtfenomenen. Zo denken we aan wachtlijnen aan bankloketten, in de supermarkt of aan check-in balies op luchthavens. Deze worden telkens veroorzaakt door een momentane te hoge aankomst van klanten in vergelijking met wat de bediening aankan. 4

23 Wachtlijnsysteem Als gevolg van een wachtfenomeen nemen entiteiten plaats in een wachtlijn. Gaat het hierbij om mensen of producten, dan bedoelt men hiermee de fysieke plaats of voorziening waar deze klanten of producten kunnen wachten op de door hen gewenste dienstverlening. Gaat het echter om (digitale) informatiepakketten, dan heeft de wachtlijn de vorm van een digitale bufferruimte. De inrichting die de gevraagde dienstverlening of service uitvoert, noemt men de service-eenheid, verwerkingseenheid of bedieningseenheid. Deze service-eenheid bestaat uit één of meerdere bedieningsstations, verwerkingsstations of servers. Een bedieningsstation kan belichaamd worden door om het even welke technologie of entiteit die een service kan leveren. Dit zijn bijvoorbeeld de kassiersters in een supermarkt of de machines uit een productieproces. Ook in de computerwetenschappen werkt men met bedieningsstations. Hierbij denken we bijvoorbeeld aan processoren of transmissielijnen. Het geheel van de bedieningseenheid en wachtlijn(en) noemt men het wachtlijnsysteem (figuur 1.1). Wachtlijnsystemen worden gespecifieerd door hun onderliggende karaktereigenschappen. Deze worden gedetailleerd besproken in paragraaf Figuur 1.1: Het wachtlijnsysteem Waarom bestuderen we wachtlijnen? Wachtlijnonderzoek is een niet meer weg te denken onderzoeksdomein bij academici en onderzoekers. We identificeren drie drivers voor wachtlijnonderzoek: systeemprestatie, economische impact en customer satisfaction. Niettegenstaande we in onderstaande paragraaf elke driver afzonderlijk behandelen, zijn elk van hen onderling sterk verbonden. Systeemprestatie Een belangrijk deel van wachtlijnonderzoek heeft als objectief de prestatie van een wachtlijnsysteem te analyseren en te verbeteren. Systeemprestatie wordt op verschillende manieren uitgevoerd. Zo kan het effect van een verandering in een bestaand wachtlijnsysteem op de outputvariabelen worden onderzocht. Daarnaast kan men ook de prestatie van een onbestaand systeem voorspellen op basis van geschatte inputvariabelen. Dergelijk onderzoek naar de prestatie van systemen die met onzekerheid in de invoer worden geconfronteerd, wordt 5

24 uitgevoerd binnen stochastisch operationeel onderzoek, een discipline binnen de toegepaste wiskunde (Boucherie). A.K. Erlang wordt beschouwd als de grondlegger van het stochastisch operationeel onderzoek met zijn formule voor de verlieskans van een handgeschakeld telefoonsysteem. De tweede mijlpaal in deze discipline was het processor-sharing systeem, gemodelleerd door L. Kleinrock. Zowel het Erlang verlies systeem als het processor-sharing systeem werden ontworpen met oog op prestatie-analyse. Dergelijk onderzoek is van onnoemelijk belang voor telecommunicatie- en informaticasystemen. In de praktijk komt dit neer op onder andere het schatten van vertragings- en verlieskansen bij telecommunicatiesystemen of op het efficiënter maken van processoren en informatietransmissies. Dit resulteert vervolgens in krachtigere software en netwerken. In de productieomgeving kan prestatie-analyse zorgen voor efficiëntere productieprocessen waardoor producten sneller kunnen worden geproduceerd. Economische impact De economische impact van wachtlijnonderzoek is tweevoudig. Enerzijds helpt wachtlijnonderzoek de optimale capaciteit te bepalen die zorgt voor een minimale kost. Anderzijds is wachtlijnonderzoek een katalysator voor kostminimalisatie of opbrengstmaximalisatie. Het belang van goede wachtlijnanalyses in de bedrijfsomgeving werd door Davis et al. als volgt samengevat: The way in which managers address the waiting line issue is critical to the long term success of their firms (Davis et al., 23). De economische kost verbonden aan een wachtlijnsysteem kan bepaald en geoptimaliseerd worden aan de hand van de resultaten verkregen uit wachtlijnonderzoek. Een optimaal wachtlijnsysteem garandeert snelle service aan een minimale kost. Professionele dienstverleners proberen bij het modelleren van hun wachtlijnen de waarde voor de klant te maximaliseren, terwijl de kost hiervan zo laag mogelijk wordt gehouden. Dit komt neer op een afwegingsoefening tussen de kost voor snellere bediening en de kost van wachtende klanten. Snellere service zorgt voor kortere wachttijden maar laat ook de arbeidskost stijgen. Te grote capaciteit zorgt voor ongebruikte servers en dus verspilling van vermogen. Daartegenover creëert een te kleine capaciteit wachtlijnen en bijgevolg ontevreden klanten. De kost van deze wachtende klanten is echter moeilijker kwantitatief te vatten. Hieronder verstaan we de kans dat een klant door een te lange wachttijd de dienst van het bedrijf negatief zal beoordelen. Bijgevolg is het aanneembaar dat de klant niet opnieuw zal kiezen voor het bedrijf enerzijds en/of het bedrijf niet zal aanraden aan zijn omgeving anderzijds. In beide gevallen loopt het bedrijf het risico klanten en dus opbrengsten te verliezen. Figuur 1.2 toont aan hoe de optimale capaciteit kan worden bepaald (Obamiro, 21). Een minimale capaciteit zorgt voor een maximale wachtlijnkost. Verhoogt men de capaciteit door bijvoorbeeld het aantal bedieningsstations uit te breiden, dan daalt de wachtlijnkost maar stijgt de personeelskost/machinekost. De kost voor extra capaciteit wordt overigens lineair verondersteld. De wachtlijnkost modelleert men progressief dalend. Daaruit volgt dat de geaggregeerde kost wordt voorgesteld door een U-vormige curve. De optimale capaciteit bevindt zich daar waar de som van beide kosten minimaal is. Figuur 1.2 maakt duidelijk dat organisaties verplicht zijn wachtlijnen te gebruiken, daar het continu garanderen van een vrij loket economisch onrealistisch is. Men verwoordde dit in de literatuur als volgt: An expectation that a 6

25 service agent will be available whenever a customer arrives is unrealistic and unfeasible because of the costs this would impose (Hall, 1991; Saaty, 1961; Schwartz, 1975). Figuur 1.2: Kostoptimalisatie van wachtlijnsystemen Naast het optimaliseren van de capaciteit kan wachtlijnanalyse ervoor zorgen dat kosten onder de vorm van tijd voor bedrijven gedrukt worden door het wegwerken van inefficiënties en vertragingen. Aan de hand van prestatie-analyse kunnen bedrijven onderzoeken welk type wachtlijnsysteem zorgt voor een optimale flow van entiteiten doorheen het systeem. Voor productieprocessen betekent dit dat extra entiteiten kunnen geproduceerd worden in een gegeven tijdspanne of dat een gegeven aantal entiteiten kunnen worden geproduceerd in een kortere tijdspanne. Voor wachtlijnen in een dienstenomgeving betekent dit meer bediende klanten in een gegeven tijdspanne of omgekeerd, een gegeven aantal bediende klanten in een kortere tijdspanne. In beide gevallen kan men extra opbrengst genereren in een gegeven tijdspanne of omgekeerd, wint men tijd bij het produceren/behandelen van een aantal entiteiten. Customer satisfaction Reeds verschillende auteurs onderzochten het verband tussen wachttijd en customer satisfaction. Lange wachtlijnen zorgen voor een lage beoordeling van de kwaliteit van een dienst (Kostecki, 1996; Yan en Lotz, 26; Houston et al., 1998; Taylor, 1994) en voor lage customer satisfaction (Sridhar, 21; Pruyn en Smidts, 1998; Lee en Lambert, 2; Tom en Lucey, 1997). Maister, die bekend staat als de grondlegger van The Psychology of Waiting, beschrijft in zijn studie The Psychology of Waiting Lines twee wetten die later Maister s two laws of service genoemd werden (Maister, 1895). Zijn eerste wet definieert customer satisfaction als volgt: S = P E [1.1] 7

26 waarbij S staat voor de klanttevredenheid (customer satisfaction), P staat voor de waarneming door de klant (perception) en E staat voor de klantenverwachting (expectation). Customer satisfaction is dus een subjectieve grootheid die men niet exact kan meten. Deze problematiek wordt bestudeerd binnen de perceptieanalyse (paragraaf 1.1.4). Klanten die moeten wachten, weten echter dat ze tijd verliezen zodat negatieve gevoelens zoals verveeldheid, hulpeloosheid, frustratie, spanning of irritatie snel opsteken (Carmon et al., 1995, Rafaeli et al., 22; Taylor, 1994). Bovendien worden deze negatieve gevoelens vaak zo intens ervaren dat de klant de kwaliteit van de volledige dienstverlening als negatief beoordeelt, ongeacht de kwaliteit van de uiteindelijke bediening. Maister verwoordt dit als volgt but the bitter taste of how long it took to get attention pollutes the overall judgments that we make about the quality of service (Maister, 1985). Dit alles heeft als gevolg dat klanten de dienstverlening verlaten (Zhou en Soman, 23; Carmon et al., 1995; Friedman en Friedman, 1997) en/of er in de toekomst niet opnieuw gebruik zullen van maken (Carmon et al., 1995; Bielen en Demoulin, 27; Davis en Vollmann, 199; McDougall en Levesque, 1999). Door het optimaliseren van de wachtlijnlay-out kan wachtlijnonderzoek ervoor zorgen dat wachttijden geminimaliseerd worden en customer satisfaction gemaximaliseerd wordt. Voor deze doeleinden reikt de literatuur twee belangrijke oplossingsmethoden aan Wachtlijnanalysetechnieken Wachtlijnonderzoek kan worden opgesplitst in twee stromen. Hoewel beide stromen worden gebruikt om wachtfenomenen te managen, is er een duidelijk verschil. De eerste techniek, operationele analyse, probeert de werkelijke wachttijd te minimaliseren terwijl de tweede techniek, perceptie-analyse, de gepercipieerde wachttijd minimaliseert (Maister, 1985; Kostecki, 1996; Yan en Lotz, 26). Operationele analyse Operationele technieken situeren we binnen stochastisch operationeel onderzoek. Deze onderzoekstak heeft als doel wachtlijnsystemen exact te beschrijven, analyseren en optimaliseren door gebruik te maken van wiskundige theorieën en modellen. De literatuur onderscheidt 4 operationele analysetechnieken (Bruneel, 21). 1. Analytische methode De analytische methode start met het wiskundig modelleren van een wachtlijnsysteem. Verschillende variabelen zoals het aankomstproces, het bedieningsproces en de wachtlijndiscipline worden hierbij gespecifieerd. Nadien zoekt men op basis van het gedrag van het te bestuderen systeem de systeemvergelijkingen. Deze tonen het verband aan tussen de in- en uitgangsvariabelen van het systeem. Tot slot berekent men op basis van wiskundige technieken de oplossing van de gevonden systeemvergelijkingen. Dit zijn dan wiskundige formules voor de gezochte prestatiemaatstaven. De wetenschap die wachtlijnenverschijnselen analytisch bestudeert, wordt de wachtlijntheorie genoemd (paragraaf 1.1.5). 8

27 2. Numerieke methode In tegenstelling tot de analytische methode lost de numerieke methode de systeemvergelijkingen op met reeds gespecifieerde modelparameters. Zowel de analytische methode als de numerieke methode worden gekenmerkt door hoge wiskundige complexiteit waardoor de onderzoeker beperkt wordt tot het bestuderen van relatief eenvoudige wachtlijnmodellen. Hierdoor kan de overeenstemming tussen het gemodelleerde wachtlijnsysteem en het werkelijke wachtlijnsysteem in het gedrang komen. 3. Computersimulatie Een veel gebruikte methode om wachtlijnsystemen te analyseren is simulatie. Simulatie is een interessante methode aangezien het hier wel mogelijk is om complexere wachtlijnsystemen te analyseren. Door de waarde van interessante parameters te laten variëren in het model, kan men bovendien snel hun impact op het wachtlijnsysteem onderzoeken. 4. Experimenten De laatste methode bouwt een wachtlijnsysteem fysiek na en voert metingen uit op het nagebouwde systeem. Aangezien het wachtlijnsysteem werkelijk wordt uitgevoerd, kan de onderzoeker er zeker van zijn dat alle elementen van het wachtlijnsysteem worden opgenomen zoals gewenst. Het grote nadeel van deze techniek echter, ligt net in het feit dat het systeem volledig fysiek moet worden nagebootst. Dit proces is vaak tijdrovend, duur en in veel gevallen onmogelijk. Perceptieanalyse In tegenstelling tot operationele analyse, optimaliseert perceptieanalyse de manier waarop klanten het wachten ervaren. Dienstverleningen moeten dus rekening houden met zowel de wachtlijntheorie als met de wachtlijnpsychologie (Maister, 1985). Maister beschreef dit als volgt: If managers are to concern themselves with how long their customers or clients wait in line for service, then they must pay attention not only to the readilymeasurable, objective, reality of waiting times, but also how those waits are experienced (Maister, 1985). In paragraaf haalden we reeds de eerste wet van Maister aan. Deze verduidelijkt dat wanneer de waargenomen service door de klant beter is dan zijn oorspronkelijke verwachting, de klant de dienstverlening als positief zal beoordelen (S > ). Is de waargenomen service door de klant slechter dan hij initieel verwachtte, dan zal de klant de dienstverlening ontevreden verlaten (S < ). Opdat klanten een dienstverlening tevreden zouden verlaten, moeten managers van een wachtlijnfaciliteit bijgevolg rekening houden met zowel de perceptie van de service als met de verwachting van de service die leeft bij de klant. Maister bespreekt in zijn studie 8 principes om dit te managen: (1) Occupied time feels shorter than unoccupied time (2) People want to get started (3) Anxiety makes waits seem longer 9

28 (4) Uncertain waits are longer than known, finite waits (5) Unexplained waits are longer than explained waits (6) Unfair waits are longer than equitable waits (7) The more valuable the service, the longer the customer will wait (8) Solo waits feel longer than group waits De tweede wet van Maister luidt als volgt: It s hard to plan catch-up ball. Hiermee wijst de auteur op het feit dat het moeilijk is klanten opnieuw tevreden te stellen na een slechte ervaring in de wachtlijn. De auteur besluit dat, indien een organisatie zijn wachtlijnfaciliteit wil verbeteren, de grootste return on investment bereikt wordt door te focussen op het eerste aanrakingspunt van de klant met de service, zijnde de wachtlijn De wachtlijntheorie Wachtlijnsystemen worden wiskundig bestudeerd in de wachtlijntheorie. Aangezien wachtlijnsystemen meestal worden geconfronteerd met onzekerheid in de invoer, resulteert de wachtlijntheorie veelal in het probabilistisch modelleren van wachtlijnsystemen. De Deen Agner Krarup Erlang wordt als grondlegger van de wachtlijntheorie beschouwd; hij modelleerde voor het eerst een correct wiskundig wachtlijnsysteem in zijn studie The Theory of Probabilities and Telephone Conversations, toegepast op de telefonie (Erlang, 199). Hierin concludeert de auteur dat de tussenaankomsttijden van klanten in een telefooncentrale de Poissonverdeling volgen net zoals de servicetijden een exponentiële verdeling volgen. De wachtlijntheorie heeft als doel het gedrag van wachtlijnsystemen te voorspellen en te controleren. De belangrijkste outputvariabelen die het gedrag van een wachtlijnsysteem beschrijven zijn het aantal entiteiten in de wachtlijn(en), de wachttijd in de wachtlijn(en), het aantal entiteiten in het wachtlijnsysteem en de tijd in het systeem. Hierbij is men voornamelijk geïnteresseerd in de momenten van de outputvariabelen zoals het gemiddelde en de variantie. Een andere uitgangsvariabele is onder meer de distributiefunctie van de wachttijd of van de wachtlijnlengte. Opdat een wachtlijnsysteem wiskundig kan gemodelleerd worden, moeten verschillende karakteristieken van het systeem vooreerst worden gespecificeerd. In volgende paragrafen worden de belangrijkste elementen van een wachtlijnsysteem besproken. De populatie Met de populatie of bron bedoelt men de verzameling entiteiten die het wachtlijnsysteem kunnen binnentreden. Deze verzameling kan zowel oneindig als eindig zijn. In het eerste geval heeft het bedienen en verlaten van een bepaalde entiteit geen invloed op de probabiliteit op dienstverlening voor de overige entiteiten. Eveneens heeft het aantal klanten in de wachtlijn in dit geval geen invloed op de aankomststroom van nieuwe klanten. Beschouwt men een eindige populatie, dan is dit wel zo. Dit gegeven compliceert de wiskundige analyse. De keuze voor een al dan niet eindige populatie heeft bijgevolg een grote impact op de oplossingsmethode van een wachtlijnsysteem. 1

29 Het aankomstproces Het aankomstproces van een wachtlijnsysteem beschrijft de mate waarin (snelheid waarmee) en tevens de manier waarop klanten zich bij het systeem aanbieden (Bruneel,21). In het meest eenvoudige geval kent het wachtlijnsysteem een constant aankomstproces, waarbij er telkens na het voorbijgaan van een vaste tijdspanne een nieuwe entiteit het wachtlijnsysteem binnenkomt. Realistische wachtlijnsystemen worden echter bijna nooit gekenmerkt door een constant aankomstpatroon. In dergelijke gevallen wordt de tijd tussen twee opeenvolgende aankomsten, de tussenaankomsttijd of interarrivaltijd, gemodelleerd volgens een vooraf bepaalde statistische verdeling. De meest voorkomende verdeling bij het modelleren van het aankomstproces van wachtlijnen is de negatief exponentiële distributie (Van Looy et al., 24). Een belangrijke eigenschap van de exponentiële verdeling is namelijk de geheugenloosheid. Dit impliceert dat de kans op een nieuwe gebeurtenis (aankomst van een klant) onafhankelijk is van de verstreken tijd sinds de laatste gebeurtenis. De tussenaankomsttijden zijn dan onafhankelijke en identieke (afkomstig van dezelfde verdeling) grootheden of i.i.d (independent and identically distributed). Het aankomstproces van dienstverleningen voldoet meestal aan deze eigenschap waardoor de negatief exponentiële verdeling een geschikte kansverdeling is. De verdeling heeft als parameter 1/λ, de gemiddelde tijd tussen twee aankomsten. Het omgekeerde van deze parameter, λ, stelt dan de gemiddelde aankomstintensiteit voor. De exponentiële verdeling wordt verder besproken in hoofdstuk 3. Het bedieningsproces In overeenstemming met de tussenaankomsttijden uit het aankomstproces worden de bedieningstijden of servicetijden de tijd die een server nodig heeft voor de bediening van één klant in de wachtlijntheorie meestal exponentieel verdeeld. In geval van schakelnetwerken bijvoorbeeld, is de servicetijd de tijd nodig om informatie door te schakelen naar de juiste bestemming afhankelijk van de grootte van de informatie. De bedieningstijd is dus zowel afhankelijk van de hoeveelheid bediening een item vraagt als van de snelheid waarmee de server werkt (Bruneel,21). Opnieuw impliceert het gebruik van exponentieel verdeelde servicetijden, identieke en onafhankelijke servicetijden. Veronderstelt men een tijdsinterval dat reeds begonnen is, dan heeft elk volgend tijdstip een gelijke kans om het interval te beëindigen. Beschouwt men een wachtlijnsysteem met meerdere loketten, dan kan de bedieningstijd aan elk loket zowel identiek als verschillend gemodelleerd worden. Deze masterproef gaat echter uit van deterministische bedieningstijden (paragraaf 3.1.3). De bedieningstijd wordt beschreven door het symbool µ. De bedieningseenheid Het meest eenvoudige wachtlijnsysteem bestaat uit een bedieningseenheid met slechts 1 server. Dergelijke systemen worden single-server wachtlijnen genoemd. In alle andere gevallen spreekt men over multi-server wachtlijnen. De bedieningseenheid bestaat dan uit N servers. Op basis van de wachtlijndiscipline (infra) wordt de eerst volgende klant bediend door de server die als eerste vrij komt. Indien elke server een eigen wachtlijn bezit, dan spreekt men over multiple single-server wachtlijnen. De gemiddelde aankomstintensiteit voor elke server in een multi-server wachtlijnsysteem of in een wachtlijnsysteem met meerdere wachtlijnen is gelijk aan de 11

30 gemiddelde aankomstintensiteit van het wachtlijnsysteem gedeeld door het aantal servers (λ/n). Bestudeert men echter een wachtlijnsysteem waarbij servers voorbehouden zijn voor prioritaire klanten, dan gaat deze algemene evenredigheidsregel niet meer op en is de gemiddelde aankomstintensiteit voor elke server afhankelijk van de verhouding prioritaire klanten op niet prioritaire klanten α. De bezettingsgraad en evenwichtsvoorwaarde De bezettingsgraad ρ van een wachtlijnsysteem weerspiegelt hoeveel procent van de tijd de bedieningseenheid bezet is. Formule 1.2 berekent de bezettingsgraad voor een wachtlijnsysteem met N servers, waarvan de gemiddelde aankomstintensiteit gelijk is aan λ klanten per tijdsinterval en de bedieningstijd per klant gelijk is aan μ tijdseenheden. Onderstaande formule geldt echter enkel en alleen wanneer elke klant equivalent behandeld wordt, elke server de klanten op een equivalente manier kan bedienen en wanneer elke server steeds beschikbaar is. Is dit niet het geval, dan moet de formule worden aangepast. De bedieningseenheid werkt elk moment van de tijd wanneer de bezettingsgraad gelijk is aan 1. ρ = [1.2] Opdat een wachtlijnsysteem behandelbaar zou blijven en de wachtlijnen niet oneindig groot zouden worden, limiteert men in wachtlijnonderzoek de maximum snelheid waarmee klanten in het wachtlijnsysteem kunnen toekomen. Formule 1.3 bepaalt deze maximum aankomstsnelheid voor een wachtlijnsysteem dat N servers bevat. De formule beschrijft zo de evenwichtsvoorwaarde van het wachtlijnsysteem. λ max = [1.3] Is de aankomstsnelheid in een wachtlijnsysteem kleiner dan λ max, dan zegt men dat het wachtlijnsysteem in evenwicht is. Er komen dan per tijdsinterval gemiddeld minder klanten toe dan er door de bedieningseenheid geholpen kunnen worden. Is de aankomstsnelheid in een wachtlijnsysteem echter groter dan (gelijk aan) λ max en ρ dus groter dan 1 ( gelijk aan 1), dan heeft men te maken met een instabiel wachtlijnsysteem. De wachtlijndiscipline De wachtlijndiscipline beschrijft welke entiteit in de wachtlijn als eerstvolgende bediend wordt bij het vrijkomen van een server. Enkele populaire wachtlijndisciplines zijn first-in-first-out (FIFO), last-in-first-out (LIFO) en random-selection-for service (RSS) of random-order-of-service (ROS). De entiteit die eerst bediend wordt, is respectievelijk de entiteit die het systeem eerst binnentrad, de entiteit die het systeem laatst binnentrad en een willekeurige entiteit uit de wachtlijn. 12

31 De wachtlijncapaciteit Het aantal entiteiten dat een wachtlijn kan opvangen, wordt aangegeven door de capaciteit of bufferruimte van het wachtlijnsysteem. In de praktijk hebben de meeste wachtlijnen een gelimiteerd aantal plaatsen. Een wachtlijn kan dan slechts x aantal klanten stationeren zodat de x+1 ste klant niet meer kan aanschuiven en verloren gaat. In onderzoek echter, gaat men veelal uit van ongelimiteerde wachtlijnen, daar dit een wiskundige studie vereenvoudigt. Oneindige wachtlijnen kunnen klanten blijven stationeren zodat nieuwe klanten het systeem steeds kunnen binnentreden. Kendall notatie Kendall introduceerde in 1953 een notatie voor wachtlijnsystemen die nog steeds als standaard gebruikt wordt (Kendall, 1953). Hierbij wordt een wachtlijnsysteem door middel van een driedelige code A B c voorgesteld. De letter A introduceert de distributie van de tussenaankomsttijden, B de distributie van de servicetijden en c het aantal servers. Naast deze standaard notatie worden twee uitbreidingen frequent gebruikt. De eerste uitbreiding verlengt de notatie tot 5 symbolen: A B c K M. Hierbij communiceert de letter K de opslagcapaciteit van de wachtlijn(en) en M de grootte van de klantenpopulatie. Na de tweede uitbreiding bestaat de Kendall notatie uit 6 symbolen waarbij de laatste letter de gebruikte wachtlijndiscipline voorstelt: A/B/c/K/M/D. Tabellen 1.1 en 1.2 geven een overzicht van de belangrijkste distributies en wachtlijndisciplines en hun standaardnotaties (Bruneel). Notatie Verdeling Notatie Wachtlijndiscipline M Exponentiële distributie FCFC First-come-first-served D Deterministische distributie LCFS Last-come-first-served Hr Hyper exponentiële distributie met R fasen RSS Random-selection-for-service Er Erlangdistributie, van orde r ROS Random-order-of-service U Uniforme distributie PR Priority G Algemene distributie GD General discipline GI Algemene en onafhankelijke distributie RR Round-robin GEO Geometrische distributie PS Processor-sharing Tabel 1.1: Distributie standaardnotaties Tabel 1.2: Wachtlijndiscipline standaardnotaties 13

32 1.2. Wachtlijnen met prioriteit De prioriteitseigenschap Bij het ontwikkelen van een wachtlijnsysteem kan men klanten bij hun aankomst in het wachtlijnsysteem opdelen op basis van prioriteit. Friedman en Friedman identificeren in hun onderzoek de bestaansreden voor prioriteit bij dienstverleningen. De auteurs verwoorden dit als volgt: The underlying premise of waiting line segmentation is that some customers are highly sensitive to long waits and are willing to pay a premium to avoid them (Friedman en Friedman, 1997). Men gaat er dus vanuit dat tijd voor bepaalde individuen belangrijker en duurder is dan voor anderen. Hierbij denken we aan zakenmensen, mensen die moeilijk te been zijn of simpelweg aan mensen die een hekel hebben aan wachten. Aan deze klanten wordt in een prioritair wachtlijnsysteem de mogelijkheid geboden lange wachttijden te vermijden, mits betaling van een toeslag. Doordat men door het gebruik van prioriteit klanten opdeelt in verschillende groepen, werd dit door de auteurs bestempeld met het begrip wachtlijnsegmentatie. In principe kan de wachtgevoeligheid van klanten worden voorgesteld als een continue variabele, die een oneindig aantal waarden kan aannemen. Bijgevolg zou men aankomende klanten kunnen onderverdelen in een oneindig aantal segmenten. Omdat dit praktisch en economisch onmogelijk is, gaan we in deze masterproef uit van een wachtlijnsysteem met 2 verschillende klantensegmenten (Hernandez-Maskivker et al., 213). We beschouwen enerzijds niet-prioritaire klanten (type 1 klanten), voor wie de moeite en tijd van het wachten, de toeslag niet overstijgt, en anderzijds prioritaire klanten (type 2 klanten), voor wie extra tijd belangrijker is dan de te betalen toeslag. Het is belangrijk dat het bedrag van de toeslag op een gegronde manier wordt vastgesteld. Is de toeslag te hoog, dan zal geen enkele klant bereid zijn deze te betalen. Is de extra som te laag, dan zal het merendeel van de klanten de toeslag betalen in ruil voor een snellere service. Bij een zekere toeslag zullen niet-prioritaire klanten even snel behandeld worden als prioritaire klanten (Friedman en Friedman, 1997). Het is met andere woorden belangrijk dat de gebruikte toeslag prioritaire klanten aanbiedt wat hen beloofd werd, namelijk een significant snellere bediening, en dat de toeslag voldoende opbrengt om tenminste de extra (personeels)kost te kunnen betalen Waarom kiezen organisaties voor prioriteit? Friedman en Friedman citeren in hun onderzoek 4 redenen waarom zowel organisaties als klanten baat hebben bij wachtlijnsegmentatie (Friedman en Friedman, 1997). Chao en Wilson en Alexandre et al. breiden de lijst uit met een vijfde reden (Chao en Wilson, 1987; Alexander et al, 212). Verhoogde opbrengsten Wanneer klanten lange wachtlijnen kunnen vermijden door een toeslag te betalen, betekent elke betaalde toeslag een extra inkomst. (Friedman en Friedman, 1997 en Yoonjoung Heo en Lee, 29) Bedrijven kunnen deze 14

33 toeslag laten variëren naargelang de prijsgevoeligheid van de klanten zolang prioritaire klanten zeker zijn van een significant snellere bediening. Alexander et al. zien in wachtlijnsegmentatie de mogelijkheid tot het kapitaliseren op niche opbrengststromen en tot nieuwe opbrengst managementsystemen (Alexander et al., 212). Harchol- Balter et al. onderscheiden twee soorten prioriteit. Ten eerste kan men de keuze laten aan de klant, wat zij Service Level Agreement noemen. Ten tweede onderscheiden de auteurs artificiële prioriteit, waarbij bedrijven zelf prioriteit geven aan de belangrijkste klanten met oog op het maximaliseren van opbrengsten (Harchol-Balter et al., 25). Zo kan een online webwinkel prioriteit geven aan de orders van big spenders zodat deze klanten het bedrijf positief ervaren en minder snel zouden overstappen naar concurrenten. Verhoogde tewerkstelling Aan prioritaire klanten wordt meestal een snellere service geboden door middel van een extra bedieningsstation. Dankzij de extra inkomsten kan een extra personeelslid aangenomen worden. Op deze manier creëert het bedrijf extra tewerkstelling. Verhoogde efficiëntie Klanten die wachten als tijdsverlies ervaren, beoordelen een wachtlijnsysteem met prioriteit als een significante efficiëntieverbetering. Yoonjoung Heo en Lee beklemtonen de mogelijkheid om ontevredenheid bij klanten te minimaliseren door het gebruik van speciale voorrangtickets zoals een FastPass (Yoonjoung Heo en Lee, 29). Maar ook bedrijven die gebruik maken van wachtlijnen in een productieomgeving, kunnen profiteren van efficiëntieverbeteringen door het invoeren van prioriteit. Verhoogde customer satisfaction Friedman en Friedman onderzoeken het effect van het introduceren van een prioritaire wachtlijn, bovenop het originele aantal wachtlijnen (Friedman en Friedman, 1997). De resultaten tonen aan dat wachtlijnsegmentatie voordelig is, niet enkel voor prioritaire klanten maar ook voor niet-prioritaire klanten. Voor prioritaire klanten hoeft dit geen verdere uitleg. Niet-prioritaire klanten echter, profiteren eveneens van de segmentatie aangezien prioritaire klanten nu niet meer in de niet-prioritaire wachtlijn aanschuiven. Deze stelling moet echter genuanceerd worden. De auteurs onderzoeken namelijk niet wat het effect is op customer satisfaction bij nietprioritaire klanten wanneer één wachtlijn, die voorheen toegankelijk was voor elke klant, door het invoeren van prioriteit exclusief wordt voorbehouden voor prioritaire klanten. Alotaibi en Liu onderzochten de impact van wachtlijnsegmentatie op customer satisfaction op basis van een numerieke case study (Alotaibi en Liu, 212). Hun resultaten bevestigen een verhoogde customer satisfaction bij prioritaire klanten terwijl de customer satisfaction van niet-prioritaire klanten identiek is als in het wachtlijnsysteem zonder wachtlijnsegmentatie. Hiertegenover staan een aantal auteurs die het verschil in gepercipieerde eerlijkheid onderzochten bij klanten als gevolg van het invoeren van prioriteit. Hoewel deze studies niet rechtstreeks customer satisfaction bij klanten onderzoeken, kunnen we verwachten dat eerlijkheid en customer satisfaction onderling gerelateerd zijn. Maister stelt dat first-in-first-out wachtlijnen doorgaans worden beschouwd als de meest eerlijke systemen (Maister, 15

34 1985). Wachtlijnsegmentatie echter, schendt deze regel. McGuire en Kimes omschrijven dit als volgt: One of the main criticisms of priority systems has to do with the perception of injustice created by treating some customers as VIPs (McGuire en Kimes, 26). Niet-prioritaire klanten ervaren snelloketten dus vaak als oneerlijke bediening, wat leidt tot lagere customer satisfaction. Rafaeli et al. vergelijken het eerlijkheidsgevoel bij niet-prioritaire klanten in een wachtlijnsysteem met prioriteit met dat van klanten in een identiek wachtlijnsysteem zonder prioriteit (Rafaeli et al., 23). Hun hypothese die stelt dat er een significant verschil is tussen beide percepties van eerlijkheid, werd bevestigd. Hieruit volgt dat niet-prioritaire klanten, bediend in het prioritaire wachtlijnsysteem, de service als minder eerlijk beschouwen dan de klanten in het wachtlijnsysteem zonder prioriteit. De auteurs verschaffen hiervoor 4 mogelijke oorzaken (die echter niet bewezen zijn). Ten eerste legt een wachtlijnsysteem met prioriteit duidelijk de nadruk op het verschil in behandeling. Ten tweede halen de auteurs aan dat niet-prioritaire klanten niet altijd weten dat prioritaire klanten een extra som betaalden in ruil voor de snellere service en welk bedrag dit specifiek was. Ten derde zou men ervan kunnen uitgaan dat geld simpelweg geen geldige reden is om de first-come-first-served regel te schenden. Ten vierde is het aanneembaar dat de mogelijkheid tot prioriteit, sociale (of financiële) ongelijkheid accentueert tussen klanten. Hernandez-Maskivker et al. werken hierop verder en concluderen dat dit fenomeen leidt tot klassevergelijking tussen klanten, wat opnieuw leidt tot ongemakkelijke situaties tussen klanten in de nietprioritaire wachtlijn. (Hernandez-Maskivker et al., 213). Friedman en Friedman nuanceren dit enigszins. Volgens hen maken minder gegoeden evenzeer, al dan niet vaker, gebruik van prioriteit aangezien zij vaak minder flexibele werkuren hebben of hun vrije tijd als extra waardevol beschouwen (Friedman en Friedman, 1997). Rafaeli et al. pleiten voor het afschermen van de VIP wachtlijn zodat niet-prioritaire klanten hiermee niet geconfronteerd worden (Rafaeli et al., 23). Markt segmentatie Chao en Wilson en Alexandere et al. identificeren ten slotte een marketing gerelateerde reden voor het bestaan van wachtlijnsegmentatie (Chao en Wilson, 1987; Alexander et al., 212). Prioriteit identificeert klanten voor wie snelheid belangrijker is dan geld. Dit zijn klanten die hun keuze voor een bepaalde dienstverlener laten afhangen van de aangeboden snelheid. Indien dienstverleningen deze informatie opslaan, zijn ze in staat klantgespecificeerde offers aan te bieden. Een voorbeeld van hoe dit gebruikt kan worden, wordt gegeven door Amazon.com. Dit e-commerce bedrijf laat aan de klant de keuze tussen snelle service, mits extra kost, en minder snelle service (Alotaibi en Liu, 212). Het aanbieden van prioriteit vereenvoudigt met andere woorden het opdelen van klanten in verschillende segmenten, later bruikbaar voor andere marketingdoeleinden (Hernandez- Maskivker et al., 213) Prioriteit in de wachtlijntheorie Net zoals wachtlijnsystemen zonder prioriteit wiskundig gemodelleerd en geanalyseerd worden, gebeurt dit evenzeer voor wachtlijnsystemen met prioriteit. Deze paragraaf geeft een overzicht van hoe prioriteit binnen de 16

35 wachtlijntheorie in de bestaande literatuur reeds werd bestudeerd. We starten de bespreking met een overzicht van de verschillende soorten prioriteit die de wachtlijntheorie onderscheidt. In een eerste stap wordt prioriteit opgesplitst in preëmptieve prioriteit en niet-preëmptieve prioriteit. Het verschil wordt duidelijk op het moment dat een prioritaire klant het wachtlijnsysteem binnentreedt terwijl een nietprioritaire klant bediend wordt. Wordt de bediening van de niet-prioritaire klant onmiddellijk gestaakt en bedient men onmiddellijk de net toegekomen prioritaire klant, dan spreekt men van preëmptieve prioriteit. Wordt daarentegen de bediening van de niet-prioritaire klant afgewerkt vooraleer de prioritaire klant bediend wordt, dan spreekt men van niet-preëmptieve prioriteit. Vervolgens wordt preëmptieve prioriteit nog eens opgesplitst in twee varianten. Wanneer de reeds verrichte bediening van de niet-prioritaire klant verloren gaat door de tussenkomst van de prioritaire klant, dan spreekt men van preëmptieve prioriteit zonder hervatting. Wanneer de verrichte bediening daarentegen achteraf kan worden verder gezet, spreekt men van preëmptieve prioriteit met hervatting. Prioriteit in de wachtlijntheorie werd reeds uitvoerig bestudeerd. Wachtlijnsystemen met slechts één server en preëmptieve prioriteit werden analytisch onderzocht door Walraevens, Steyaert en Bruneel. Zij analyseerden aan de hand van genererende functies de systeeminhoud en het vertragingsaspect (Walraevens et al., 26). De auteurs onderzochten dezelfde output voor een GI/Geo/1 wachtlijnsysteem met preëmptieve prioriteit (Walraevens et al., 24). Daarnaast bestudeerden dezelfde auteurs een GI/G/1 wachtlijnsysteem met nietpreëmptieve prioriteit aan de hand van genererende functies (Walraevens et al., 22). Tenslotte geven Walraevens, Fiems en Bruneel een overzicht van enkele analytische technieken waarmee wachtlijnen met zowel preëmptieve als niet-preëmptieve prioriteit kunnen worden geanalyseerd (Walraevens et al., 21). Om hun prestaties met betrekking tot systeeminhoud en vertraging te kunnen weergegeven, definiëren ze bovendien enkele concrete uitdrukkingen. Deze masterproef verschilt van de net vermelde studies aangezien wij een wachtlijnsysteem zullen onderzoeken met meerdere servers. Toch kan de prioritaire wachtlijn uit het te bestuderen wachtlijnsysteem beschouwd worden als een single-server wachtlijnsysteem met niet-preëmptieve prioriteit, gevat in een groter geheel. Multi-server wachtlijnsystemen met homogene prioriteit werden reeds onderzocht door Gail et al. (1988), Mitrani et al. (1981), Kao et al. (1999) en Gail et al. (1992). In dergelijke onderzoeken is de prioriteitsstructuur identiek voor elke server. Elk type klanten mag met andere woorden bij elke server aanschuiven en bij elke server hebben prioritaire klanten voorrang op niet-prioritaire klanten. Wagner bestudeerde de prestatieparameters van een multi-server niet-preëmptief prioritair wachtlijnsysteem met een Markoviaans aankomstproces en phase-typedistributed servicetijden (Wagner, 1997). Sleptchenko analyseerde een multi-server M M k wachtlijnsysteem met niet-preëmptieve prioriteit aan de hand van evenwichtsvergelijkingen en evenwichtskansen (Sleptchenko, 23). In deze masterproef echter, verschilt de prioriteitsstructuur van server tot server en hebben we het over heterogene prioriteit. Fayolle et al. onderzochten de steady-state distributie van algemene tweedimensionale birth-death processen en pasten dit later in hun onderzoek toe op een M/M/c wachtlijnsysteem met 2 klassen en heterogene prioriteit (Fayolle et al., 1982). K van de C servers werden in dit systeem toegekend aan klasse 1 jobs, 17

36 waarbij klasse 1 jobs preëmptieve prioriteit hebben over klasse 2 jobs. C - K servers werden toegekend aan klasse 2 jobs, waar klasse 2 jobs preëmptieve prioriteit over klasse 1 jobs hebben. Leemans en Dedene onderzoeken hetzelfde wachtlijnsysteem gelimiteerd tot 2 servers en non-preëmptieve prioriteit (Leemans en Dedene, 1998; Leemans, 1999). Het type klanten met hoge prioriteit aan de eerste server ontvangt dan lage prioriteit aan de tweede server en omgekeerd. Respectievelijk de evenwichtsverdeling van de wachtlijnlengte en wachttijden en het betrouwbaarheidsinterval van de gemiddelde wachtlijnlengte werden bestudeerd. Bijna elke analyse naar M/M/k wachtlijnsystemen met 2 prioriteitsklassen gebruikt Markovketens (Harchol-Balter et al., 25). Harchol- Balter et al. onderscheiden 4 technieken om een M/M/k wachtlijnsysteem met 2 types prioriteit analytisch te modelleren: (i) benadering via aggregatie of truncatie, (ii) matrix analyse methoden, (iii) genererende functie methoden, (iv) uitzonderlijke systeemoplossingen waarbij de verschillende prioriteitsklassen hetzelfde gemiddelde hebben. Aangezien deze masterproef gebaseerd is op simulaties gaan we niet verder in op de wiskundige uitwerkingen. Toch achten we een literatuuroverzicht noodzakelijk om de relevantie van de huidige problematiek te begrijpen Masterproef Relevantie van de masterproef Wachtlijnonderzoek is van groot belang voor organisaties. De literatuur leert ons dat niet enkel customer satisfaction kan worden gemaximaliseerd, maar dat ook productie-efficiëntie en de kost verbonden aan wachtlijnen kunnen worden geoptimaliseerd. Deze masterproef bouwt verder op de bestaande literatuur omtrent wachtlijnsystemen in een dienstenomgeving. In een dergelijke omgeving, zal het management bij het invoeren van prioriteit hoofdzakelijk geïnteresseerd zijn in de tevredenheid van beide soorten klanten en in de economische en praktische impact van prioriteit. We onderzoeken aan de hand van drie vergelijkende studies in welke mate verschillende soorten prioriteit voordelig zijn voor prioritaire klanten enerzijds, en nadelig zijn voor niet-prioritaire klanten anderzijds. We focussen hierbij op exacte prestatiemaatstaven zoals de gemiddelde lengte en wachttijd in elke wachtlijn. We verwachten echter dat deze eveneens een katalysator kunnen zijn voor subjectieve prestatiemaatstaven zoals customer satisfaction. Veel analytisch onderzoek werd reeds verricht naar single-server wachtlijnsystemen met niet-preëmptieve prioriteit. En hoewel het gedrag van multi-server wachtlijnsystemen met homogene prioriteit goed gekend is, is het aantal onderzoeken naar multi-server wachtlijnsystemen met heterogene prioriteit veel minder uitgebreid. De drie vergelijkingen zoals voorgesteld in deze masterproef, zijn, voor zover wij weten, nog niet eerder onderzocht. Aan de hand van deze masterproef zullen wij proberen dit gebrek in de literatuur op te vullen Hypotheses In wat volgt passen we de algemene onderzoeksvraag toe op elke prestatievergelijking en onderbouwen we onze hypotheses. Vooreerst hernemen we de algemene onderzoeksvraag die we doorheen deze masterproef stap voor stap zullen beantwoorden: 18

37 Algemene onderzoeksvraag Hoe verhouden zich de effecten voor prioritaire vs. niet-prioritaire klanten bij het vergelijken van verschillende wachtlijnsystemen die een organisatie in staat stellen prioritaire klanten anders te verwerken dan niet-prioritaire klanten? In de eerste prestatievergelijking onderzoeken we het verschil tussen een wachtlijnsysteem zonder prioriteit en een wachtlijnsysteem met standaard prioriteit. De algemene onderzoeksvraag wordt als volgt vertaald naar dit vraagstuk: Specifieke onderzoeksvraag 1: Hoe verhouden zich de effecten voor prioritaire vs. niet-prioritaire klanten bij de vergelijking tussen een wachtlijnsysteem zonder prioriteit en een wachtlijnsysteem met standaard prioriteit? Beide wachtlijnsystemen bestaan uit twee wachtlijnen en servers. Het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit reserveert echter wachtlijn 2 exclusief voor prioritaire klanten (type 2 klanten). Aangezien dit wachtlijnsysteem niet-prioritaire klanten (type 1 klanten) dus toegang ontzegt tot één van beide wachtlijnen, verwachten we dat de gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1, voorbestemd voor niet-prioritaire klanten, in het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit significant langer zal zijn dan de gemiddelde wachttijd in de overeenkomstige wachtlijn in een wachtlijnsysteem zonder prioriteit. Eveneens verwachten we dat de gemiddelde lengte van de niet-prioritaire wachtlijn het langst zal zijn in het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit. Omgekeerd verwachten we dat de gemiddelde wachttijd in wachtlijn 2 in een wachtlijnsysteem met standaard prioriteit significant korter zal zijn dan de gemiddelde wachttijd in de overeenkomstige wachtlijn in een wachtlijnsysteem zonder prioriteit en dat de gemiddelde lengte van de prioritaire wachtlijn (wachtlijn 2) significant korter zal zijn dan de gemiddelde lengte van de overeenkomstige wachtlijn in het wachtlijnsysteem zonder prioriteit. Deze verwachtingen leiden tot de eerste twee hypotheses: PRESTATIEVERGELIJKING 1 H1: De gemiddelde lengte van wachtlijn 1 (2) in een wachtlijnsysteem met standaard prioriteit is langer (korter) dan de gemiddelde lengte van wachtlijn 1 (2) in een wachtlijnsysteem zonder prioriteit. H2: De gemiddelde wachttijd (exclusief bedieningstijd) in wachtlijn 1 (2) in wachtlijnsysteem met standaard prioriteit is langer (korter) dan de gemiddelde wachttijd (exclusief bedieningstijd) in wachtlijn 1 (2) in een wachtlijnsysteem zonder prioriteit. Vervolgens vergelijken we de prestatie van het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit met een variant hierop; het wachtlijnsysteem met optionele prioriteit. De tweede specifieke onderzoeksvraag klinkt als volgt: Specifieke onderzoeksvraag 2: Hoe verhouden zich de effecten voor prioritaire vs. niet-prioritaire klanten bij de vergelijking tussen een wachtlijnsysteem met standaard prioriteit en een wachtlijnsysteem met optionele prioriteit? 19

38 Optionele prioriteit stelt prioritaire klanten in staat aan te schuiven aan wachtlijn 1, samen met niet-prioritaire klanten. Binnen wachtlijn 1 wordt er geen onderscheid gemaakt tussen prioritaire en niet-prioritaire klanten. Daaruit volgt de verwachting dat de gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 langer zal zijn in het wachtlijnsysteem met optionele prioriteit dan in het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit en dat de gemiddelde lengte van de wachtlijn langer zal zijn. Daartegenover verwachten we dat prioritaire klanten, in wachtlijn 2, sneller bediend zullen worden en dat de lengte van de voor hen voorbestemde wachtlijn korter zal zijn. Volgende hypotheses bundelen onze verwachtingen omtrent de tweede prestatievergelijking: PRESTATIEVERGELIJKING 2 H3: De gemiddelde lengte van wachtlijn 1 (2) in een wachtlijnsysteem met optionele prioriteit is langer (korter) dan de gemiddelde lengte van wachtlijn 1 (2) in een wachtlijnsysteem met standaard prioriteit. H4: De gemiddelde wachttijd (exclusief bedieningstijd) in wachtlijn 1 (2) in wachtlijnsysteem met optionele prioriteit is langer (korter) dan de gemiddelde wachttijd (exclusief bedieningstijd) in wachtlijn 1 (2) in een wachtlijnsysteem met standaard prioriteit. We sluiten af met de derde prestatievergelijking, tussen het wachtlijnsysteem met 3 servers zonder prioriteit en het wachtlijnsysteem met 3 servers met standaard prioriteit. We onderzoeken volgende specifieke onderzoeksvraag: Specifieke onderzoeksvraag 3: Hoe verhouden zich de effecten voor prioritaire vs. niet-prioritaire klanten bij de vergelijking tussen een wachtlijnsysteem met 3 servers zonder prioriteit en een wachtlijnsysteem met 3 servers met standaard prioriteit? Beide wachtlijnsystemen bestaan uit drie wachtlijnen en servers waarbij wachtlijn en server 2 in het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit voorbestemd zijn voor prioritaire klanten. Een eerste gedachtegang omtrent de derde prestatievergelijking leidt ons dan ook tot vergelijkbare verwachtingen als bij de eerste prestatievergelijking. We sluiten we af met volgende twee hypotheses: PRESTATIEVERGELIJKING 3 H5: De gemiddelde lengte van wachtlijn 1 en 3 (2) in een wachtlijnsysteem met 3 servers met standaard prioriteit is langer (korter) dan de gemiddelde lengte van wachtlijn 1 en 3 (2) in een wachtlijnsysteem met 3 servers zonder prioriteit. H6: De gemiddelde wachttijd (exclusief bedieningstijd) in wachtlijn 1 en 3 (2) in een wachtlijnsysteem met 3 servers met standaard prioriteit is langer (korter) dan de gemiddelde wachttijd (exclusief bedieningstijd) in wachtlijn 1 en 3 (2) in een wachtlijnsysteem met 3 servers zonder prioriteit. 2

39 Hoofdstuk 2 Onderzoeksmethodologie Hoofdstuk 2 wordt ingeleid met een korte bespreking omtrent de gehanteerde simulatietechniek en programmeertaal. Vervolgens focussen we in paragraaf 2.3 op de opbouw van de simulaties uit deze masterproef. Eenmaal de logische structuur doorheen deze programma s duidelijk is, specificeert paragraaf 2.4 de gekozen simulatieparameters. Paragraaf 2.5 bespreekt tot slot enkele belangrijke aspecten omtrent de analyse van simulatieresultaten en de toegepaste formules Discrete-event simulatie Mechanisme Wachtlijnsystemen worden veelal geprogrammeerd via discrete-event simulaties. Dit is een specifieke simulatietechniek waarbij het gesimuleerde model springt van de ene gebeurtenis naar de andere. Het hart van een dergelijk simulatie is de eventlijst, een lijst die alle gebeurtenissen bevat die gedurende een simulatierun voorkomen (paragraaf 2.3.2). Law definieert discrete-event simulatie als volgt: Discrete-event simulation concerns the modeling of a system as it evolves over time by a representation in which the state variables change instantaneously at separate points in time. These points in time are the ones at which an event occurs, where an event is defined as an instantaneous occurrence that may change the state of the system. (Law, 1997) Bose beschrijft discrete-event simulatie vanuit een technischer standpunt als volgt: Simulation moves from the current event to the event occurring next on the event list that is generated and updated for the system. Processing the current event may create additional events which are placed appropriately in the event list. (Bose, 22) Componenten Een discrete-event simulatie functioneert aan de hand van een aantal verschillende componenten. Vooreerst bevat elk werkelijk systeem een aantal entiteiten. Dit zijn de elementen die het onderwerp zijn van de simulatie. Toegepast op deze masterproef zijn dit klanten en bedieningsstations. Vervolgens beschikken deze entiteiten over een aantal attributen die de entiteit beschrijven. Zo krijgt de entiteit klant in het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit een attribuut prioriteit. De servers beschikken over een attribuut status dat aanduidt of een 21

40 server al dan niet beschikbaar is. De toestandsvariabelen beschrijven de toestand van een systeem op een bepaald tijdstip. In deze masterproef zijn dit het aantal klanten in elke wachtlijn en de status van elke server. Bij het optreden van een event, wijzigt de toestand van het systeem. We onderscheiden een aankomst-event en een vertrek-event (paragraaf en 2.3.4). De eventlijst is een lijst die al de geplande events bevat. Bij de generatie van een event door de bijhorende eventroutine, wordt dit event op de juiste plaats ingevoerd in de eventlijst. De data-variabelen slaan tijdens de simulatie relevante informatie op die nadien gebruikt wordt bij de analyse van het gedrag van het gesimuleerde systeem. Zo zullen we in deze masterproef onder meer gebruik maken van een data-variabele die het aantal aankomsten opslaat en van een datavariabele die het aantal bediende klanten per server opslaat. De tijdsvariabele tot slot houdt de huidige waarde van de simulatietijd bij. De tijdsvariabele kan worden voorgesteld als een simulatieklok, die van event-time naar event-time springt Programmeertaal Hoewel specifieke simulatiepakketten beschikbaar zijn, werd deze masterproef geprogrammeerd in de algemene programmeertaal Java (versie 7.4). Vooral de flexibiliteit van deze taal is een groot voordeel. De tijd nodig om de programma s te programmeren werd daarentegen langer en de complexiteit uitdagender. Het grootste obstakel tijdens het programmeren was de lange runtijd. Hoewel korte runs snel worden doorlopen, stijgt de CPU tijd buitenproportioneel bij een toenemend stopcriterium. Vooral de combinatie van het gebruik van arrays en trage for-lussen zijn hiervan de oorzaak. Terwijl andere programmeertalen, zoals R, met slechts 1 bewerking de som van een array kunnen genereren, heeft Java hiervoor een for-lus nodig die elke cel van de array afzonderlijk overloopt. Deze bewerking wordt waarschijnlijk wel mogelijk in de nieuwere versie Java 8. De programma s werden ontwikkeld in de NetBeans omgeving Programma-opbouw Om elke prestatievergelijking te kunnen bestuderen en onderwerpen aan een sensitiviteitsanalyse, programmeerden we voor deze masterproef 8 Java programma s (zie Lijst Java programma s). De logische flow doorheen elk programma is echter steeds identiek. Elk programma is gebaseerd op een cascade van 3 verschillende programmaniveaus (figuur 2.1). Elk niveau is ingebed in het programmaonderdeel boven zich in de figuur. Onderstaande paragrafen bespreken de logische structuur en flow doorheen Java Programma 1. Dit programma vergelijkt het wachtlijnsysteem zonder prioriteit met het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit bij variabele bedieningstijden. Het onderdeel Wachtlijnsysteem vergelijking staat in voor de vergelijking tussen de twee afzonderlijke wachtlijnsystemen. De Wachtlijnsysteem-runs simuleren het eigenlijke verloop van beide wachtlijnfaciliteiten. De Wachtlijnsysteem-events tot slot zijn de bouwblokken voor de Wachtlijnsysteem-runs. De eigenlijke interpretatie van het verloop van een bepaald wachtlijnsysteem, staat geprogrammeerd in deze Wachtlijnsysteem-events. 22

41 Figuur 2.1: Java programmaniveaus Flow doorheen de wachtlijnsysteem vergelijking Deze paragraaf bespreekt aan de hand van figuur 2.2 de algemene flow doorheen het programmaonderdeel Wachtlijnsysteem vergelijking uit Java Programma 1 (figuur 2.1 niveau 1). Figuur 2.2: Wachtlijnsysteem vergelijking opbouw Alvorens de simulatie te starten, specifieert de gebruiker enkele inputparameters (figuur 2.2). Deze worden verder gespecifieerd in paragraaf 2.4 en 2.5. Drukt men op de startknop, dan wordt de vergelijkingspackage aangeroepen. Afhankelijk van welke inputparameter constant is, laadt deze package 17 voorgeprogrammeerde waarden in voor de variabele inputparameter (paragraaf 2.4). In dit geval worden 17 constante bedieningstijden ingeladen. Vervolgens wordt voor elk van de 17 waarden dezelfde lus uitgevoerd (lus 1). Ten eerste wordt een array met aankomsttijden gegenereerd. Deze worden op voorhand gegenereerd zodat beide wachtlijnsystemen uit de vergelijking met dezelfde aankomsttijden zouden werken (paragraaf 4.3.1). Vervolgens gaat de controle over naar de NPOneGen Package; de package die het wachtlijnsysteem zonder prioriteit simuleert (ZP). In deze stap worden enkele variabelen meegeven door de vergelijkingspackage (de aankomsttijden, de bedieningstijd, 23

42 het totaal aantal runs dat gemaakt moet worden, en de index van de variabele inputparameter). Omwille van statistische redenen simuleren we elke run 1 maal (paragraaf 2.5.2, lus 2). Bij de start van een run worden enkele variabelen geïnitialiseerd. Na het uitvoeren van een run wordt telkens de gemiddelde wachttijd en lengte van beide wachtlijnen uit het wachtlijnsysteem zonder prioriteit berekend en opgeslagen in TABEL 1. Vervolgens worden de globale statistieken geüpdatet (de totale wachttijd en lengte van beide wachtlijnen overheen de 1 runs). Werden de 1 runs doorlopen, dan wordt de gemiddelde wachttijd en lengte van beide wachtlijnen overheen de 1 runs berekend. Samen met de standaardafwijking, de halflengte en het betrouwbaarheidsinterval van elke prestatiemaatstaf wordt dit toegevoegd aan OUTPUT 1. Tot slot wordt TABEL 1 doorgestuurd naar de vergelijkingspackage. De controle ligt nu opnieuw bij de vergelijkingspackage die dezelfde routine aanroept bij de POneGen Package; de package die het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit (SP) simuleert. Na deze routine berekent de vergelijkingspackage het verschil tussen de prestatiemaatstaven uit het wachtlijnsysteem zonder prioriteit en de prestatiemaatstaven uit het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit en de bijhorende statistieken op basis van TABEL 1 en TABEL 2. Figuren 2.3 en 2.4 illustreren de structuur van deze tabellen. Hoe de verschillen precies berekend worden, wordt gespecifieerd in de relevante hoofdstukken. Algemeen komt dit telkens neer op het verschil te nemen van beide tabellen en de statistieken van deze verschillen te berekenen op basis van algemene formules uit de statistiek (paragraaf 2.5.3). ZP /Run E[W1] E[W2] E[L1] E[L2] Figuur 2.3: Structuur Tabel 1 Figuur 2.4: Structuur Tabel 2 SP /Run E[W1] E[W2] E[L1] E[L2] De statistieken en de huidige waarde voor de variabele inputparameter worden tot slot toegevoegd aan OUTPUT 3. Vervolgens herhaalt alles zich voor de volgende waarde voor de variabele inputparameter. Werden de 17 waarden doorlopen, dan exporteert de vergelijkingspackage OUPTUT 1, OUTPUT 2 en OUTPUT 3. OUTPUT 1 en 2 beschrijven nu het gedrag van het wachtlijnsysteem zonder prioriteit en het gedrag van het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit bij de verschillende waarden voor de bedieningssnelheid. OUTPUT 3 beschrijft het gedrag van het verschil tussen de twee wachtlijnsystemen bij de verschillende waarden voor de bedieningssnelheid. Alle output wordt geëxporteerd onder de vorm van CSV-bestanden die nadien geopend kunnen worden met Microsoft Excel. Bijlage A beschrijft hoe dit best gebeurt. Figuur 2.5 beeldt de structuur af die men in elke output terugvindt. Cel A1 bevat de waarde voor de constante inputparameter. Daarnaast worden voor elke waarde voor de variabele inputparameter (rij 1), 4 sets prestatiemaatstaven en hun statistieken afgebeeld (kolom B). De ingezoomde afbeelding toont zo de gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 E[W1], de standaarddeviatie van dit gemiddelde S[W1], de foutmarge van het gemiddelde HL[W1] en de onder- en bovengrens van het 9 %- betrouwbaarheidsinterval CI Min[W1], CI Max[W1], bij μ gelijk aan 1 tijdseenheid. Naast deze prestatiemaatstaf, 24

43 bevat de output de statistieken van de gemiddelde wachttijd in wachtlijn 2 (rij 8-12), van de gemiddelde lengte van wachtlijn 1 (rij 14-18) en van de gemiddelde lengte van wachtlijn 2 (rij 2-24). Paragraaf bespreekt hoe elke statistiek berekend wordt. De verschillende prestatiemaatstaven worden toegelicht in de relevante hoofdstukken. Tot slot wijzen we op het feit dat men, indien gewenst, eveneens de 1 aparte simulatieruns voor elke waarde voor de variabele inputparameter kan exporteren (punt 1.2 in figuur 2.2). Dit kan men activeren door in de relevante Package in de klasse NewMain lijn 51 te activeren. Standaard staat dit uitgeschakeld om de CPU-tijd zo kort mogelijk te houden. Deze bestanden kan men opnieuw openen met Microsoft Excel. Figuur 2.5: Wachtlijnsysteem zonder prioriteit output 1 voorbeeld Flow doorheen een wachtlijnsysteemrun Deze paragraaf focust op hoe een run doorheen een bepaald wachtlijnsysteem verloopt. De run doorheen een specifiek wachtlijnsysteem situeert men in punt 1.2 in de twee wachtlijn-specifieke packages uit figuur 2.2. We bespreken de algemene flow doorheen een run aan de hand van figuur 2.6. De elementaire structuur is gebaseerd op een basis discrete-event simulatie, gepubliceerd om studenten op weg te helpen naar hun eigen simulatie (Gupta, 23). Figuur 2.6: Wachtlijnsysteemrun structuur 25

44 Een simulatierun start steeds bij het aanroepen van de banksimulator klasse van het programma. Deze klasse initialiseert in eerste instantie een aantal variabelen. Vervolgens worden een aantal klassen gegenereerd en onderling verbonden. Zo wordt er voor elke server en wachtlijn een klasse gemaakt. Daarnaast wordt er een klasse gemaakt die instaat voor de generatie van nieuwe aankomsten. Tot slot wordt de simulatieklok op nul gezet en wordt een eerste aankomst-event in de eventlijst geplaatst. Hierna gaat de controle over naar het hart van elke simulatierun; de simulator klasse. Onderstaande figuur toont de code van de belangrijkste functie uit deze klasse. Figuur 2.7: Eventlijst code De code maakt duidelijk dat de functie gedurende de volledige run controleert of de eventlijst events bevat aan de hand van een while-lus. Is dit het geval, dan bepaalt de functie welk event als eerstvolgend gepland staat en updatet de simulatieklok volgens het overeenkomstige tijdstip. Werd het stopcriterium nog niet voldaan, dan wordt het eerstvolgende event uitgevoerd door de gepaste eventroutine aan te roepen. De eventroutine updatet in eerste instantie de toestandsvariabelen en datavariabelen. Nadien genereert de eventroutine een nieuw event van hetzelfde type en voegt dit toe aan de eventlijst. Zoals eerder vermeld onderscheiden we twee soorten events in elk wachtlijnsysteem. De flow doorheen deze events wordt gedetailleerder besproken in paragraaf en paragraaf Eenmaal het stopcriterium bereikt is, stopt de simulatierun. Op dit moment gaat de globale simulatie verder bij punt 1.3 uit figuur Flow doorheen het aankomst-event Figuur 2.8 toont de flowchart van het aankomst-event in het wachtlijnsysteem zonder prioriteit. De flowchart verduidelijkt hoe de aankomst van een nieuwe klant wordt behandeld doorheen het programma. De groen gearceerde cellen wijzen op de momenten waarop de eventlijst wordt uitgebreid. Wanneer de aankomsteventroutine wordt aangeroepen, wordt de klant eerst toegewezen aan een wachtlijn. De manier waarop dit gebeurt wordt uitgelegd in elk relevant hoofdstuk. Vervolgens worden de eerste statistieken geüpdatet (de aankomsttijd van de klant, de wachtlijn waarin hij plaatsneemt en het aantal klanten dat reeds voor deze wachtlijn koos). Afhankelijk van de gekozen wachtlijn, controleert het programma vervolgens of de overeenkomstige server beschikbaar is. Is de server bezet, dan neemt de klant plaats achteraan de wachtlijn en wordt 1 klant toegevoegd aan de lengte van de wachtlijn. Is de server daarentegen beschikbaar, dan wordt de status van deze server op bezet gezet en worden opnieuw enkele statistieken geüpdatet (het tijdstip waarop de bediening van de klant start, de wachttijd van de klant (hier gelijk aan ), de server die de klant bedient en het aantal klanten dat deze server reeds bediende). Tenslotte wordt het einde van de bediening van de klant gepland. 26

45 Dit is een nieuw event dat wordt toegevoegd aan de eventlijst. De routine eindigt met het genereren van de aankomsttijd van de volgende klant en dit event aan de eventlijst toe te voegen. Figuur 2.8: Aankomst-event flow Flow doorheen het vertrek-event Figuur 2.9 toont de flowchart van het vertrek-event na bediening door server 1 in het wachtlijnsysteem zonder prioriteit. De flowchart van het vertrek-event na bediening door server 2 is identiek mits enkele kleine aanpassingen (bijlage B). Het vertrek-event start wanneer de bediening van een klant eindigt en deze klant het systeem verlaat. Als gevolg hiervan wijzigt het aantal klanten in één van de wachtlijnen of verandert de status van de server. In beide gevallen verandert de toestand van het systeem. Als gevolg van het vertrek van een klant, 27

46 komt de status van de server op beschikbaar te staan. Vervolgens controleert het programma of wachtlijn 1 bezet is. Indien dit het geval is, dan worden achtereenvolgens de lengte van wachtlijn 1 verminderd met 1 klant, de server opnieuw op bezet gezet en enkele statistieken geüpdatet (start van bediening van de klant, server waardoor de klant effectief bediend wordt, hier gelijk aan 1, en het aantal bediende klanten door server 1). Tenslotte plant het programma het vertrek van de klant en voegt dit event toe aan de eventlijst. Het middelste gedeelte van de flowchart behandelt de gebeurtenis waarbij een klant uit wachtlijn 2 wordt bediend door server 1. Is wachtlijn 2 net als wachtlijn 1 leeg, dan eindigt de routine. Figuur 2.9: Vertrek-event flow 28

47 2.4. Simulatieparameters Om een duidelijk beeld te vormen van het gedrag van de wachtlijnsystemen en van de vergelijking hiertussen, laten we in deze masterproef de belangrijkste inputparameters telkens uitgebreid variëren. Deze zijn: De constante bedieningstijd μ De gemiddelde tussenaankomsttijd 1/λ De verhouding prioritaire klanten op niet-prioritaire klanten α Voor elk wachtlijnsysteem en elke vergelijking onderzoeken we in eerste instantie twee situaties waarbij de bedieningstijden variabel zijn (met constante gemiddelde tussenaankomsttijden) en twee situaties waarbij de gemiddelde tussenaankomsttijden variëren (met constante bedieningstijden). Indien van toepassing, fixeren we de verhouding prioritaire klanten op niet-prioritaire klanten α voor deze simulaties steeds op 2 %. Hoe het aankomstproces in een prioritair wachtlijnsysteem precies wordt uitgesplitst voor beide type klanten wordt besproken in hoofdstuk 4 (paragraaf 4.1.2). De waarden van de constante parameters werden zo gekozen zodat elk wachtlijnsysteem en elke vergelijking bij zowel relatief korte als relatief lange constante bedieningstijden en gemiddelde tussenaankomsttijden wordt bestudeerd. Deze waarden zijn identiek voor elk wachtlijnsysteem. De waarden van de variabele inputparameter werden telkens zo gekozen zodat duidelijk wordt afgebeeld hoe het systeem zich gedraagt nabij instabiliteit. Hiervoor laten we de intervallen tussen de verschillende waarden kleiner worden naarmate instabiliteit nadert. Het ogenblik waarop een wachtlijnsysteem voor het eerst in instabiliteit verkeert, berekenen we aan de hand van formule 1.3. Hoewel deze vergelijking niet perfect weergeeft wanneer een wachtlijnsysteem met prioriteit zich in onevenwicht bevindt, geeft het ons een goede indicatie. We opteren voor 17 verschillende waarden. Dit geeft een breed genoeg overzicht en is toch nog hanteerbaar in termen van CPU-tijd. De waarden voor de variabele inputparameters voor elk wachtlijnsysteem zijn afhankelijk van de constante inputparameter en van het aantal servers in het wachtlijnsysteem. Vervolgens onderwerpen we elk wachtlijnsysteem en elke vergelijking, indien van toepassing, aan een sensitiviteitsanalyse die het effect van de verhouding prioritaire klanten op niet-prioritaire klanten bestudeert. De bedieningstijden en gemiddelde tussenaankomsttijden zijn in deze simulaties constant. We bestuderen telkens drie wachtlijnsystemen waarbij we de waarde van α laten variëren tussen % en 1 %. Deze aanpak resulteert in 5 verschillende outputverzamelingen voor elk wachtlijnsysteem of voor elke vergelijking. Aangezien Output 5 niet van toepassing is voor het wachtlijnsysteem zonder prioriteit, wordt dit systeem uitzonderlijk beschreven aan de hand van slechts 4 outputverzamelingen. Tabel 2.1 vat samen: 29

48 Bedieningstijd μ (tijdseenheden) Gemiddelde Tussenaankomsttijd 1/λ (tijdseenheden) α (%) Output 1 2, 5 1,27 5,25 (2 servers) 2,85 4,83 (3 servers) Output 2 1 4,98 (2 servers) 2,5 2 3,5 7,48 (3 servers) Output 3 4 2,2 6 (2 servers) 2 1,35 5,33 (3 servers) Output 4 4 7,98 (2 servers) ,98 (3 servers) Output 5 2 ; 4,5 ; 4,98 2,5 1 Tabel 2.1 Simulatie: inputparameters De modellen met constante inputparameter gelijk aan 2,5 tijdseenheden (output 1 en output 2 van elk model) vormen de rode draad doorheen de masterproef. Bij elke bespreking communiceren we echter ook de prestatiemaatstaven uit de wachtlijnsystemen met constante inputparameter gelijk aan 4 tijdseenheden Output analyse De analyse van ruwe simulatieresultaten is vaak niet voor de hand liggend. Het incorrect interpreteren van simulatie-output leidt vaak tot onnauwkeurige conclusies (Pawlikowski, 199). Om de simulatieresultaten voor deze masterproef zo correct mogelijk te interpreteren, focussen we op het uitvoeren van voldoende runs die elk lang genoeg zijn. Het belang hiervan tonen we aan in de twee onderstaande paragrafen. Paragraaf overloopt de berekening van de verschillende outputstatistieken Het belang van de lengte van een run Hoe lang een simulatierun duurt, hangt af van het soort analyse dat men wilt voeren. Is de onderzoeker geïnteresseerd in het gedrag van het systeem in evenwicht dan spreekt men over steady-state analyse. Systemen in steady-state zijn gezuiverd van de startcondities waardoor de prestatiemaatstaven van het systeem gedurende een eerste periode (warm-up periode) beïnvloed worden. Concreet slaat men pas output op nadat de warm-up periode voorbij is. Wilt men daarentegen een real-life case bestuderen, dan is men soms net wel geïnteresseerd in de invloed van de startcondities op het systeem en kent men meestal de start- en eindconditie. In dit geval spreekt men over transient-state analyse en gebeurt de outputopslag onmiddellijk. In deze masterproef bestuderen we het gedrag van de wachtlijnmodellen in hun evenwichtssituatie omwille van twee redenen. Vooreerst gebeurt wiskundige analyse meestal in steady-state-toestand zodat de simulatieresultaten uit deze masterproef kunnen vergeleken worden met analytische resultaten. Ten tweede zijn de resultaten van een steady state onderzoek onafhankelijk van de startcondities. Aangezien het vastleggen van startcondities voor de wachtlijnmodellen in deze masterproef eerder willekeurig zou gebeuren, krijgt een steady state analyse voorkeur. Om de lengte van de warm-up periode te bepalen, reikt de literatuur verschillende methodes aan. In eerste instantie gebruikten we de methode van Welch. Deze resulteerde in een warm-up 3

49 periode van ongeveer 2 aankomsten. Aangezien de procedure van Welch echter enkele subjectieve stappen bevat, verlengen we de warm-up periode voor alle wachtlijnmodellen tot 1 aankomsten (s = 1). Een korte bespreking van de methode van Welch kan worden teruggevonden in bijlage C. Opdat we vervolgens genoeg data zouden opnemen, stellen we het stopcriterium voor elke simulatie gelijk aan 5. aankomsten. We benadrukken dat het wel degelijk gaat om 5. aankomsten en niet om 5. bediende klanten. Afhankelijk van de gekozen inputparameters komen 5. aankomsten overeen met ongeveer 1 miljoen simulatietijdseenheden. Masterproef Transient periode s Stop criterium n 1 aankomsten 5. aankomsten (excl. transient periode) Tabel 2.2: Simulatie: stopcriteria Het belang van meerdere runs De simulatieprogramma s die werden gemaakt voor deze masterproef bevatten, net als de meeste simulaties, variabelen onderhevig aan het toeval. In dit geval kunnen we de resultaten van één simulatierun niet gelijkstellen aan de oplossing. Een voorbeeld verduidelijkt deze stelling. Stel dat we de gemiddelde wachttijd W zoeken van een M/M/2 wachtlijnsysteem. We simuleren het onderliggende proces en laten het programma de gemiddelde wachttijd berekenen, nadat n klanten het systeem binnenkwamen. De output van een specifieke run, (n), moeten we hier beschouwen als een sample van de willekeurige variabele W en niet als de waarde voor deze variabele zelf. De verwachte gemiddelde wachttijd die men vindt als resultaat van een simulatierun zal namelijk, als gevolg van de toevalsfactor in het aankomstproces, (bijna) steeds verschillen van de waarden die gevonden worden in volgende runs. Bijgevolg is dit resultaat niet statistisch relevant. De verwachte gemiddelde wachttijd, gevonden na een run, kan bovendien sterk verschillen van de werkelijke waarde van de gemiddelde wachttijd van het onderliggende proces. De distributiekarakteristieken (het gemiddelde, de variantie, ) van de verdeling van W zijn echter wel statistisch relevant. Door de simulatie meerdere malen uit te voeren en de outputvariabelen van elke run op te slaan, kunnen deze karakteristieken geschat worden. Dit duidt op het belang van meerdere runs. Hierbij is het echter uiterst belangrijk dat de verschillende runs op een identieke manier uitgevoerd worden (aan de hand van hetzelfde proces en dezelfde startcondities) en dat de stochastische tussenaankomsttijden onafhankelijk gegenereerd worden. Op die manier zijn de samples identiek en onafhankelijk verdeeld (i.d.d.) en zijn de standaard statistische methoden bruikbaar. Zoals reeds aangegeven op figuur 2.2 zullen we in deze masterproef elke simulatierun 1 keer doorlopen. Op basis van een dergelijk aantal runs kunnen de statistieken berekend worden zonder dat de CPU-tijd overbodig lang wordt. 31

50 Masterproef Aantal runs m 1 Tabel 2.3: Simulatie: aantal runs Definiëring van de statistieken In paragraaf gaven we reeds aan welke statistieken er berekend worden voor elke prestatiemaatstaf. In onderstaande paragraaf overlopen we berekening van deze statistieken. We steunden hiervoor op het werk van Law (1997). Ter illustratie passen we de formules toe op de prestatiemaatstaf die de wachttijd in wachtlijn 1 beschrijft. Gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 E[W 1] Om de gemiddelde wachttijd te vinden, steunen we op de wet van de grote aantallen. Deze wet zegt dat het gemiddelde ω van een random variabele W, wordt benaderd door het gemiddelde van een voldoende groot aantal samples m van deze variabele. Waarbij geldt: ω = [2.1] Gebruiken we bijgevolg de output van de 1 afzonderlijke simulatieruns als samples van de variabele W, dan vinden we aan de hand van formule 2.2 een benadering voor de gemiddelde wachttijd ω. ω = met m = 1, n = 5. [2.2] Hoe de schatters voor de gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 na één run ( ) berekend worden, wordt besproken in paragraaf Standaardafwijking S[W 1] We berekenen de standaardafwijking van de verdeling W1, W2, W3, op basis van de simulatieresultaten als volgt: = met m = 1, n = 5. [2.3] Berekenen we de standaardafwijking van het gemiddelde verschil tussen twee wachtlijnsystemen, dan wordt formule 2.3 als volgt aangepast: = met m = 1, n = 5. [2.4] 32

51 Betrouwbaarheidsinterval CI Min[W 1] en CI Max[W 1] De nauwkeurigheid waarmee de gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1, gevonden op basis van de simulatieresultaten, de werkelijke gemiddelde waarde voor de prestatiemaatstaf schat, bepalen we aan de hand van het betrouwbaarheidsinterval. Het 1C%-betrouwbaarheidsinterval voor de parameter ω wordt als volgt berekend: ± t m-1, α met α = (1-C)/2, m = 1 [2.5] In deze masterproef beschouwen we het 9%-betrouwbaarheidsinterval van elke prestatiemaatstaf (C =,9). We weten dan dat 9% van de beschouwde intervallen de onbekende parameter zal bevatten. Uit een tabel met kritieke waarden van de t-verdeling lezen we af dat t 9,,5 gelijk is aan tijdseenheden. Doorheen de masterproef zullen we het betrouwbaarheidsinterval raadplegen om de statistische significantie van de verschillen tussen 2 wachtlijnsystemen te testen. Ligt het betrouwbaarheidsinterval volledig links of volledig rechts van het nulpunt, dan kunnen we zeggen dat het verschil tussen twee wachtlijnsystemen in 9 % van de gevallen niet gelijk is aan nul. Schattingsfout HL[W 1] De schattingsfout is de halve lengte van het 1(1-C) %-betrouwbaarheidsinterval van de prestatiemaatstaf. Deze statistiek (formule 2.6) geeft aan hoe goed we de werkelijk waarde µ kennen op basis van de simulatieresultaten. Δ= t m-1, α met m = 1, t 9,,5 = [2.6] Doorheen de masterproef testen we de statistische significantie van de prestatiemaatstaven van de afzonderlijke wachtlijnsystemen aan de hand van de procedure beschreven door Birta en Arbez (Birta en Arbez, 27). Opdat de puntschatters (formule 2.2) zouden aangenomen worden, eist men dat: - ω < Δ met m = 1 [2.7] met Δ = r met r = 1-C [2.8] We eisen dus dat de foutmarge kleiner blijft dan 1 % van de gemiddelde wachttijd. 33

52 Hoofdstuk 3 Wachtlijnsysteem zonder prioriteit In hoofdstuk 3 bestuderen we een wachtlijnsysteem met twee servers zonder prioriteit. Door middel van simulatie worden conclusies getrokken omtrent het gedrag van dit wachtlijnsysteem. Alle simulatieresultaten kunnen teruggevonden worden in de map Vergelijking 1 op de bijgesloten CD Modelopbouw Prioriteit en wachtlijndiscipline Er geldt geen prioriteit binnen het wachtlijnsysteem zonder prioriteit. Beide servers zijn bijgevolg toegankelijk voor elke klant. Binnen elke wachtlijn geldt de FIFO wachtlijndiscipline. Ten slotte veronderstellen we dat klanten, wanneer eenmaal aangekomen in het systeem, steeds aansluiten aan één van beide wachtlijnen (geen balking), in het wachtlijnsysteem blijven tot na de bediening (geen reneging) en tijdens het wachten niet van wachtlijn wisselen (geen jockeying). Het is wel mogelijk dat een klant die aanschuift in wachtlijn 1 (2) bediend wordt door server 2 (1) wanneer deze server beschikbaar is en er geen klanten meer in wachtlijn 2 (1) aanschuiven. In dit geval wordt de klant die vooraan in de bezette wachtlijn staat, bediend door de beschikbare server Aankomstproces en wachtlijntoewijzing Opdat het wachtlijnsysteem zo dicht mogelijk zou aanleunen bij realistische dienstverleningen, wordt het aankomstproces gemodelleerd via een exponentiële verdeling (paragraaf 1.1.5). Deze continue verdeling modelleert de gemiddelde tijd t tussen twee aankomsten. De parameter van de verdeling noteren we met 1/λ en stelt de gemiddelde tijd tussen twee aankomsten voor. De cumulatieve distributie van exponentieel verdeelde tussenaankomsttijden wordt beschreven door formule 3.1 terwijl de kenmerkende parameter wordt beschreven door formule 3.2. Prob [T t] = 1- e - λ t met t [3.1] E [T] = 1/λ, [3.2] Een belangrijke eigenschap van de exponentiële verdeling is zijn verband met de Poisson verdeling. Deze discrete verdeling modelleert het aantal aankomsten k in een willekeurig tijdsinterval t. De parameter van de Poisson verdeling noteren we met het symbool λ en is gelijk aan het gemiddeld aantal aankomsten per tijdsinterval t. Het werkelijk aantal aankomsten per tijdsinterval is een stochastische variabele en wordt voorgesteld door de letter K. De kansfunctie van de Poisson verdeling wordt dan als volgt beschreven: 34

53 Prob [K = k] met k [3.3] Het verband tussen de exponentiële verdeling en de Poisson verdeling impliceert dat de tussenaankomsttijden van een Poisson verdeeld proces met intensiteit λ, exponentieel verdeeld zijn met parameter 1/λ. Gebruikmakend van een eenvoudig voorbeeld, kan deze eigenschap eenvoudig bewezen worden (bijlage D). Formule 3.2 wijst bovendien duidelijk op dit verband. Het gemiddelde van de exponentiële verdeling is namelijk het omgekeerde van het gemiddelde van de Poisson verdeling. Na hun aankomst worden klanten vervolgens op een zo realistisch mogelijke manier toegewezen aan een wachtlijn. Concreet werd dit geprogrammeerd aan de hand van een if-else structuur. We onderscheiden vier verschillende toestanden waarin het wachtlijnsysteem zich kan bevinden bij aankomst van een klant. Zijn beide servers beschikbaar bij de aankomst van een klant, dan wordt de klant op een willekeurige manier toegewezen aan één van beide wachtlijnen. Is daarentegen slechts één server beschikbaar, dan wordt de klant toegewezen aan deze server. Tot slot bestaat de kans dat beide servers bij de aankomst van een klant bezet zijn. In dit geval wordt de klant toegewezen aan de kortste wachtlijn. Zijn beide wachtlijnen even lang, dan wordt de klant opnieuw willekeurig toegewezen aan één van beide wachtlijnen. Het programma herkent deze toestanden en wijst vervolgens de klant toe aan de juiste wachtlijn Bedieningsproces De bedieningseenheid bestaat uit twee servers die klanten op een identieke manier bedienen. Bovendien veronderstellen we deterministische bedieningstijden μ omwille van twee redenen. Ten eerste komt dit, mits enige vereenvoudiging, overeen met een groot aantal dienstverleningen in de praktijk. Hierbij denken we bijvoorbeeld aan de check-in op luchthavens waarbij de tijd nodig voor het bedienen van een klant in het algemeen eerder constant is. Ten tweede vereenvoudigen constante bedieningstijden een eventuele wiskundige analyse. Op deze manier kunnen de simulatieresultaten uit deze masterproef vergeleken worden met resultaten gevonden op analytische wijze Wachtlijncapaciteit Om een eventuele wiskundig analyse te vereenvoudigen, worden er geen restricties opgelegd aan de wachtlijncapaciteit Prestatiemaatstaven De prestatie van het wachtlijnmodel zonder prioriteit zal worden bestudeerd aan de hand van 4 prestatiemaatstaven. In paragraaf 4.3 worden deze prestatiemaatstaven vergeleken met de prestatiemaatstaven van het wachtlijnmodel met standaard prioriteit. 35

54 Gemiddelde lengte van wachtlijn 1 en 2 De eerste prestatiemaatstaf waarin we geïnteresseerd zijn, is de gemiddelde lengte van elke wachtlijn. We definiëren de gemiddelde lengte van een wachtlijn als volgt: De gemiddelde lengte van wachtlijn 1 (2) is het gemiddelde aantal klanten dat aanschuift in wachtlijn 1 (2) alvorens bediend te worden. De gemiddelde lengte van beide wachtlijnen is een belangrijke maatstaf voor het management van een wachtlijnfaciliteit. Aan de hand van deze prestatiemaatstaven kan onder meer voorspeld worden hoe groot de fysieke ruimte moet zijn om alle klanten te kunnen laten aanschuiven. De verwachte gemiddelde lengte van een wachtlijn berekend na 1 simulatierun, is gelijk aan het gewogen gemiddelde van de verschillende wachtlijnlengtes i dat men gedurende deze run tegenkomt en de totale procentuele duur waarmee elke wachtlijnlengte voorkomt. De som van de gewichten is gelijk aan 1. De verwachte gemiddelde lengte van wachtlijn l gedurende simulatierun j na n aankomsten (paragraaf 2.5.1), wordt bijgevolg als volgt berekend: (n) = met l = 1,2; n = 5.; j = 1, 2,.. 1 [3.4] We willen echter enkel de output data opnemen die gezuiverd is van de initiële startcondities (paragraaf 2.5.1). Bijgevolg wordt bij de berekening van het gewogen gemiddelde enkel rekening gehouden met de wachtlijnlengtes i die voorkomen na de aankomst van de 11 ste klant (s = 1). De gewichten, waarmee de wachtlijnlengtes vermenigvuldigd worden, zijn toevalgerelateerd en zijn dus de verwachte waarden van de werkelijke gewichten. Daaruit volgt dat bovenstaande formule wel degelijk de verwachte waarde voor de gemiddelde lengte van de wachtlijnen weergeeft en niet de werkelijke gemiddelde lengte. Zoals besproken in paragraaf 2.5.3, steunen we tijdens de output analyse op de wet van de grote aantallen om een benadering van de gemiddelde lengte van wachtlijn 1 en 2 te vinden. Gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 en 2 We definiëren de gemiddelde wachttijd in een wachtlijn als volgt: De gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 (2) is de tijd die een klant gemiddeld doorbrengt in het systeem, alvorens bediend te worden, wanneer deze bij aankomst ervoor kiest in wachtlijn 1 (2) aan te schuiven. De gemiddelde tijd in het wachtlijnsysteem (de gemiddelde wachttijd inclusief de bedieningstijd) bestuderen we in deze masterproef niet vanwege de deterministische bedieningstijden. De wachttijd W i van een klant i vinden we door het tijdstip waarop de bediening van start gaat S i te verminderen met het tijdstip van aankomst A i : W i = S i A i [3.5] 36

55 Aangezien het aankomstproces afhankelijk is van het toeval spreken we over de verwachte gemiddelde wachttijd. De verwachte gemiddelde wachttijd gedurende run j na n aankomsten (paragraaf 2.5.1) in wachtlijn l is gelijk aan: (n) = met l = 1, 2; n = 5.; j = 1, 2,.. 1 [3.6] Opnieuw start de datageneratie pas vanaf de 11 ste klant. Formule 3.6 wordt bijgevolg als volgt aangepast: met l = 1, 2; n = 5.; n = 51.; s = 1; j = 1, 2,.. 1 [3.7] Nadien steunen we op de wet van de grote aantallen om een benadering te vinden voor de gemiddelde wachttijd in elke wachtlijn Grafische voorstelling We sluiten de bespreking omtrent de modelopbouw af door het wachtlijnsysteem zonder prioriteit grafisch af te beelden. Naar server 1 en 2 verwijzen we als S1 en S2, naar wachtlijn 1 en 2 verwijzen we als Q1 en Q2. Figuur 3.1: M/D/2/FIFO wachtlijnsysteem 37

56 eenheden tijd aantal klanten 3.2. Simulatie-output en discussie Onderstaande paragraaf onderzoekt de invloed van de bedieningstijd en gemiddelde tussenaankomsttijd op het gedrag van het wachtlijnsysteem zonder prioriteit. Zoals we reeds vermelden in paragraaf 2.4, baseren we de bespreking telkens op de wachtlijnsystemen met constante inputparameter gelijk aan 2,5 tijdseenheden Gedrag van het wachtlijnsysteem bij variabele bedieningstijden De eerste inputparameter die het gedrag van het wachtlijnsysteem beïnvloedt, is de tijd µ die elke server nodig heeft voor de bediening van 1 klant. Grafiek 3.2 toont het verloop van de gemiddelde wachttijd in elke wachtlijn terwijl het verloop van de gemiddelde lengte van elke wachtlijn bij variabele bedieningstijden wordt afgebeeld door grafiek 3.3. De bedieningstijden bereiken waarden gaande van 1 tijdseenheid tot 4,98 tijdseenheden. Is μ groter dan of gelijk aan 5 tijdseenheden, dan is het wachtlijnsysteem instabiel μ E[W1] ZP 1/λ = 2,5 E[W2] ZP 1/λ = 2,5 E[W1] ZP 1/λ = 4 E[W2] ZP 1/λ = μ E[L1] ZP 1/λ = 2,5 E[L2] ZP 1/λ = 2,5 E[L1] ZP 1/λ = 4 E[L2] ZP 1/λ = 4 Figuur 3.2: Vergelijking van gemiddelde wachttijd tussen wachtlijn 1 en wachtlijn 2 bij variabele waarden voor μ in een niet prioritair systeem Figuur 3.3: Vergelijking van gemiddelde wachtlijnlengte tussen wachtlijn 1 en wachtlijn 2 bij variabele waarden voor μ in een niet prioritair systeem Gegeven een constant aankomstproces en stijgende bedieningstijden, worden beide wachtlijnen steeds langer. Als gevolg hiervan stijgt ook de gemiddelde wachttijd in beide wachtlijnen. Is de gemiddelde tussenaankomsttijd gelijk aan 2,5 tijdseenheden, dan is enkel het laatste punt (met µ = 4,98) niet significant op 9 % significantieniveau (file 1, blad 1). Is de gemiddelde tussenaankomsttijd gelijk aan 4 tijdseenheden, dan zijn de punten met μ gelijk aan 7,92, 7,96 en 7,98 tijdseenheden niet betrouwbaar op 9 % significantieniveau (file 2, blad 1). We concluderen dat we vooral de simulatieresultaten dicht bij instabiliteit met voorzichtigheid moeten interpreteren. Enerzijds is de grotere variantie een gevolg van de grotere waarden voor de prestatiemaatstaven dicht bij instabiliteit, anderzijds kan ook het naderen naar instabiliteit op zich de grotere variantie veroorzaken. We merken dat beide wachtlijnen voor elke waarde van μ door evenveel klanten bezet zijn en dat deze klanten er gemiddeld even lang wachten. De gemiddelde wachttijden bereiken waarden van,24 tijdseenheden bij 38

57 eenheden tijd aantal klanten bedieningstijden gelijk aan 1 tijdseenheid tot 219,2 tijdseenheden bij bedieningstijden gelijk aan 4,98 tijdseenheden. De gemiddelde lengtes stijgen respectievelijk van,48 klanten tot 43,8 klanten. Tot slot worden beide grafieken gekenmerkt door een sterke groei nabij instabiliteit. Zolang de bedieningstijden kleiner zijn dan 4,6 tijdseenheden, kennen de grafieken een vrijwel plat verloop. Stijgen de bedieningstijden verder en nadert het systeem instabiliteit, dan stijgt de gemiddelde lengte en wachttijd in beide wachtlijnen aan een snel tempo. We berekenen dat slechts 4 % van de totale toename in elke prestatiemaatstaf gerealiseerd wordt zolang de bedieningstijden kleiner zijn dan 4,6 tijdseenheden. 96% Van de totale toename wordt vervolgens gerealiseerd in het verdere verloop Gedrag van het wachtlijnsysteem bij variabele tussenaankomsttijden Een tweede belangrijke inputparameter is de gemiddelde tijd tussen de aankomst van 2 opeenvolgende klanten 1/λ. Grafiek 3.4 beschrijft het verloop van de gemiddelde wachttijd in beide wachtlijnen bij variabele gemiddelde tussenaankomsttijden, terwijl grafiek 3.5 dit doet voor de gemiddelde lengte. De gemiddelde tussenaankomsttijd stijgt van 1,27 tijdseenheden naar 5,25 tijdseenheden. Het wachtlijnsysteem verkeert in instabiliteit bij gemiddelde tussenaankomsttijden gelijk aan of kleiner dan 1,25 tijdseenheden. Onderstaande figuren tonen aan wat we intuïtief verwachten; worden de gemiddelde tussenaankomsttijden langer, dan daalt de gemiddelde lengte en wachttijd in beide wachtlijnen. Elk resultaat is significant is op 9 % significantieniveau (file 3, blad 1). De resultaten die het wachtlijnsysteem beschrijven met bedieningstijden gelijk aan 4 tijdseenheden zijn eveneens steeds betrouwbaar op 9 % significantieniveau (file 4, blad 1) /λ E[W1] ZP μ = 2,5 E[W2] ZP μ = 2,5 E[W1] ZP μ = 4 E[W2] ZP μ = /λ E[L1] ZP μ = 2,5 E[L2] ZP μ = 2,5 E[L1] ZP μ = 4 E[L2] ZP μ = 4 Figuur 3.4: Vergelijking van gemiddelde wachttijd tussen wachtlijn 1 en wachtlijn 2 bij variabele waarden voor 1/λ in een niet prioritair systeem Figuur 3.5: Vergelijking van gemiddelde wachtlijnlengte tussen wachtlijn 1 en wachtlijn 2 bij variabele waarden voor 1/λ in een niet prioritair systeem We merken opnieuw dat, voor elke waarde van 1/λ, beide wachtlijnen identiek belast zijn en dat de klanten in beide wachtlijnen gemiddeld even lang wachten. Bij gemiddelde tussenaankomsttijden gelijk aan 1,27 tijdseenheden bevatten beide wachtlijnen gemiddeld 14,38 klanten die gemiddeld 36,53 tijdseenheden wachten. 39

58 Stijgt de gemiddelde tussenaankomsttijd naar 5,25 tijdseenheden, dan zullen er gemiddeld,82 klanten de wachtlijnen bezetten die gemiddeld,86 tijdseenheden wachten. Tot slot merken we opnieuw dat een kleine wijziging in de gemiddelde tussenaankomsttijd een veel grotere impact heeft op de prestatiemaatstaven naarmate het systeem dichter bij instabiliteit aanleunt. Terwijl 96,44 % (95,53 %) van de totale afname in gemiddelde wachttijd (lengte) gerealiseerd wordt bij gemiddelde tussenaankomsttijden kleiner dan of gelijk 1,65 tijdseenheden, wordt de afname bij grotere waarden van 1/λ met nog maar slechts 3,56 % (4,47 %) uitgebreid Besluit Een grondige kennis van het gedrag van het wachtlijnsysteem zonder prioriteit is een eerste stap richting de vergelijking met het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit. De simulatieresultaten bevestigen wat we intuïtief verwachtten; in een wachtlijnsysteem zonder prioriteit tellen beide wachtlijnen, bij om het even welke inputparameters, gemiddeld even veel klanten. Bovendien is ook de gemiddelde wachttijd in elke wachtlijn identiek. De invloed van wijzigende inputparameters op de prestatie van het wachtlijnsysteem is sterk afhankelijk van de bezettingsgraad. Is het wachtlijnsysteem druk bezet, dan zal een langere bedieningstijd of kortere gemiddelde tussenaankomsttijd een grote, nadelige, impact hebben op de gemiddelde lengte en wachttijd in beide wachtlijnen. Is het wachtlijnsysteem echter licht bezet, dan is de impact heel wat kleiner of zelfs te verwaarlozen. Deze overgang verloop erg plots. Wanneer precies de gemiddelde wachttijden en lengtes de hoogte in gaan is volledig afhankelijk van de inputparameters. 4

59 Hoofdstuk 4 Wachtlijnsysteem met standaard prioriteit Hoofdstuk 4 bestudeert een wachtlijnsysteem met standaard prioriteit bestaande uit twee servers. Door middel van simulatie worden conclusies getrokken omtrent het gedrag van dit wachtlijnsysteem. In paragraaf 4.3 vergelijken we vervolgens het gedrag van dit wachtlijnsysteem met het wachtlijnsysteem zonder prioriteit. Alle simulatieresultaten kunnen teruggevonden worden in de map Vergelijking 1 op de bijgesloten CD Modelopbouw In onderstaande paragraaf focussen we op de elementen die het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit onderscheiden van het wachtlijnsysteem zonder prioriteit uit hoofdstuk 3. Bijgevolg mag de lezer ervan uitgaan dat de onbesproken elementen van het wachtlijnmodel, identiek geprogrammeerd zijn zoals bij het wachtlijnmodel zonder prioriteit Prioriteit en wachtlijndiscipline Terwijl het wachtlijnsysteem zonder prioriteit slechts 1 type klant kent, herkennen we in het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit 2 soorten klanten. Prioritaire klanten (type 2) genieten niet-preëmptieve prioriteit boven niet-prioritaire klanten (type 1) aan server 2. Niet-prioritaire klanten kunnen wel nog steeds bediend worden door de server voorbestemd voor prioritaire klanten. Dit gebeurt wanneer server 2 beschikbaar is en er geen prioritaire klanten in het systeem zijn. In dit geval wordt de eerstvolgende klant uit de niet-prioritaire wachtlijn bediend door server 2. Het omgekeerde is eveneens mogelijk waarbij een prioritaire klant bediend wordt door de niet-prioritaire server. De kans dat er geen niet-prioritaire klanten en wel prioritaire klanten in het systeem aanwezig zijn, zal bij α gelijk aan 2 % echter klein zijn Aankomstproces en wachtlijntoewijzing We onderscheiden twee manieren om een aankomstproces met twee soorten klanten te programmeren. De eerste methode splitst de globale aankomstintensiteit λ uit naar een aankomstintensiteit voor niet-prioritaire klanten (λ 1) en een aankomstintensiteit voor prioritaire klanten (λ2). Dit gebeurt volgens formules 4.1 tot 4.3. λ = λ 1 + λ 2 [4.1] λ 2 = α λ [4.2] λ 1 = (1-α) λ [4.3] 41

60 α belichaamt hierbij de verhouding prioritaire klanten op niet-prioritaire klanten. Vervolgens gebeurt de generatie van de twee soorten klanten onafhankelijk van elkaar, aan de hand van twee exponentiële processen. Het eerste exponentiële proces heeft dan als parameter 1/ λ 1 en modelleert de aankomst van niet-prioritaire klanten. Het tweede proces heeft als parameter 1/ λ 2 en modelleert de aankomst van prioritaire klanten. Deze aanpak bleek echter minder geschikt bij de vergelijking met het wachtlijnsysteem zonder prioriteit (paragraaf 4.3.1). De tweede methode genereert alle klanten aan de hand van één exponentieel proces met parameter 1/ λ. Nadien kent een aparte functie elke nieuw aangekomen klant een prioriteitsattribuut toe. Figuur 4.1 verduidelijkt hoe deze functie geprogrammeerd werd. Figuur 4.1 Prioriteit code Voor elke nieuwe aankomst wordt er een willekeurig getal tussen en 1 gegenereerd door het programma. Indien dit getal, vermenigvuldigd met 1, kleiner is dan of gelijk aan 2, dan krijgt de klant het prioriteitsattribuut 2 toegekend en spreken we over een prioritaire klant. Indien het getal groter is dan 2 krijgt de klant het prioriteitsattribuut 1 toegekend en spreken we over een niet-prioritaire klant. Door gebruik te maken van de tweede methode leunt het aankomstproces van het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit zo nauw mogelijk aan bij het aankomstproces van het wachtlijnsysteem zonder prioriteit. Dit zal de vergelijking tussen beide wachtlijnmodellen vereenvoudigen (paragraaf 4.3.1). Nadat een klant is gegenereerd en hem een prioriteitsattribuut werd meegegeven, wordt hij op een zo realistisch mogelijke manier toegewezen aan één van beide wachtlijnen. Dit werd opnieuw geprogrammeerd aan de hand van een for-lus. De functie kijkt in eerste instantie naar het prioriteitsattribuut van de klant en naar de status van beide servers. Gaat het om de aankomst van een niet-prioritaire (prioritaire) klant en is server 2 (1) beschikbaar terwijl server 1 (2) bezet is, dan wordt de klant onmiddellijk bediend door server 2 (1). In alle andere gevallen wordt hij toegevoegd achteraan wachtlijn 1 (2) Prestatiemaatstaven De verschillende prestatiemaatstaven worden op dezelfde manier berekend als bij het wachtlijnmodel zonder prioriteit. We benadrukken echter dat we in deze masterproef de gemiddelde wachttijd bestuderen in elke wachtlijn en niet de gemiddelde wachttijd van elke type klant. 42

61 Grafische voorstelling Figuur 4.2 beeldt het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit grafisch af. We gebruiken dezelfde notaties als in paragraaf Figuur 4.2 M/D/2/PR wachtlijnsysteem 43

62 eenheden tijd aantal klanten 4.2. Simulatie-output en discussie Gedrag van het wachtlijnsysteem bij variabele bedieningstijden Grafieken 4.3 en 4.4 tonen het verloop van de gemiddelde wachttijd en lengte van elke wachtlijn bij variabele bedieningstijden. De grafieken maken duidelijk dat zowel de gemiddelde wachttijd als de gemiddelde lengte van beide wachtlijnen stijgen bij toenemende bedieningstijden. Zijn de gemiddelde tussenaankomsttijden gelijk aan 2,5 tijdseenheden, dan zijn alle resultaten die wachtlijn 1 beschrijven, met uitzondering van het laatste punt (μ gelijk aan 4,98 tijdseenheden), significant op 9 % significantieniveau. Alle resultaten die wachtlijn 2 beschrijven, zijn significant op 9 % significantieniveau (file 1, blad 2). Grafieken 4.3 en 4.4 tonen eveneens de prestatiemaatstaven uit het wachtlijnsysteem met gemiddelde tussenaankomsttijden gelijk aan 4 tijdseenheden. De punten die wachtlijn 1 beschrijven met μ gelijk aan 7,92, 7,96 en 7,98 tijdseenheden, zijn niet betrouwbaar op 9 % significantieniveau. De resultaten die wachtlijn 2 beschrijven, zijn opnieuw steeds statistisch significant (file 2, blad 2) μ E[W1] SP 1/λ = 2,5 E[W2] SP 1/λ = 2,5 E[W1] SP 1/λ = 4 E[W2] SP 1/λ = μ E[L1] SP 1/λ = 2,5 E[L2] SP 1/λ = 2,5 E[L1] SP 1/λ = 4 E[L2] SP 1/λ = 4 Figuur 4.3 : Vergelijking van gemiddelde wachttijd tussen wachtlijn 1 en 2 bij variabele waarden voor μ in een standaard prioritair systeem Figuur 4.4: Vergelijking van gemiddelde wachtlijnlengte tussen wachtlijn 1 en 2 bij variabele waarden voor μ in een standaard prioritair systeem Vergelijken we de prestatiemaatstaven van wachtlijn 1 met deze van wachtlijn 2, dan wordt het effect van prioriteit onmiddellijk duidelijk. Bij voldoende grote waarden voor μ zijn de gemiddeld e lengte en wachttijd in wachtlijn 1 namelijk heel wat langer dan de gemiddelde lengte en wachttijd in wachtlijn 2. Het verschil tussen beide wachtlijnen wordt maximaal nabij instabiliteit (μ gelijk aan 5 tijdseenheden). Onderstaande figuren zoomen in op het verloop van de gemiddelde wachttijd en lengte van wachtlijn 2. Deze verlopen heel wat gematigder dan de prestatiemaatstaven die wachtlijn 1 beschrijven. We berekenen dat 98 % (97 %) van de totale toename in gemiddelde lengte (wachttijd) in wachtlijn 1 gecreëerd wordt bij bedieningstijden groter dan 4,5 tijdseenheden. Hiertegenover wordt er slechts 32% (43%) van de totale toename in gemiddelde lengte (wachttijd) in wachtlijn 2 gecreëerd gedurende dezelfde periode. In tegenstelling tot in wachtlijn 1, wordt 44

63 eenheden tijd aantal klanten eenheden tijd aantal klanten de stijging van de prestatiemaatstaven van wachtlijn 2 bij voldoende kleine bedieningstijden veroorzaakt door zowel de toenemende bedieningstijden als door niet-prioritaire klanten die, bij toenemende bedieningstijden, server 2 frequent zullen bezet houden. Als gevolg hiervan stijgen de prestatiemaatstaven in wachtlijn 2 gematigder. 7,35 6,3 5,25 4,2 3,15 2,1 1, μ μ E[W2] SP 1/λ = 2,5 E[W2] SP 1/λ = 4 E[L2] SP 1/λ = 2,5 E[L2] SP 1/λ = 4 Figuur 4.5 : Verloop van gemiddelde wachttijd in wachtlijn 2 bij variabele waarden voor μ in een standaard prioritair systeem Figuur 4.6: Verloop van gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 2 bij variabele waarden voor μ in een standaard prioritair systeem Gedrag van het wachtlijnsysteem bij variabele tussenaankomsttijden Onderstaande grafieken beschrijven het verloop van de prestatiemaatstaven van het wachtlijnmodel bij variabele tussenaankomsttijden. Stijgt het gemiddeld aantal tijdseenheden tussen de aankomst van twee opeenvolgende klanten, dan daalt de gemiddelde lengte en wachttijd in beide wachtlijnen. De volledige output is significant is op 9 % significantieniveau (file 3 & 4, blad 2) /λ /λ E[W1] SP μ = 2,5 E[W2] SP μ = 2,5 E[L1] SP μ = 2,5 E[L2] SP μ = 2,5 E[W1] SP μ = 4 E[W2] SP μ = 4 E[L1] SP μ = 4 E[L2] SP μ = 4 Figuur 4.7: Vergelijking van gemiddelde wachttijd tussen wachtlijn 1 en wachtlijn 2 bij variabele waarden voor 1/λ in een standaard prioritair systeem Figuur 4.8: Vergelijking van gemiddelde wachtlijnlengte tussen wachtlijn 1 en wachtlijn 2 bij variabele waarden voor 1/λ in een standaard prioritair systeem 45

64 eenheden tijd aantal klanten We merken opnieuw dat het verschil in gemiddelde wachttijd en lengte tussen wachtlijn 1 en wachtlijn 2 steeds groter wordt naarmate het wachtlijnsysteem instabiliteit nadert. Bekijken we het punt dat het dichtst aanleunt bij instabiliteit, met gemiddelde tussenaankomsttijden gelijk aan 1,27 tijdseenheden, dan vinden we dat de gemiddelde lengte in wachtlijn 1 (2) 28,45 (,31) klanten bedraagt die gemiddeld 45,61 (1,92) tijdseenheden wachten. Figuren 4.9 en 4.1 zoomen dieper in op de maatstaven die wachtlijn 2 beschrijven. 3,5,35 3,3 2,5,25 2,2 1,5,15 1,1,5, /λ /λ E[W2] SP μ = 2,5 E[W2] SP μ = 4 E[L2] SP μ = 2,5 E[L2] SP μ = 4 Figuur 4.9 : Verloop van gemiddelde wachttijd in wachtlijn 2 bij variabele waarden voor 1/λ in een standaard prioritair systeem Figuur 4.1 : Verloop van gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 2 bij variabele waarden voor 1/λ in een standaard prioritair systeem Gedrag van het wachtlijnsysteem bij variabele verhouding prioriteit/niet-prioriteit Opdat het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit voordelig zou zijn voor prioritaire klanten moet het verschil tussen prioritaire aankomsten en niet-prioritaire aankomsten groot genoeg zijn. Om een zo volledig mogelijk inzicht te verwerven in het effect van α, laten we de parameter variëren tussen % en 1 % bij een drietal verschillende wachtlijnsystemen met standaard prioriteit. Grafieken 4.11 tot en met 4.13 overlopen respectievelijk het gedrag van de gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 en 2 in een laag bezet wachtlijnsysteem (ρ = 4 %), een drukbezet wachtlijnsysteem (ρ = 9 %) en een wachtlijnsysteem nabij instabiliteit (ρ = 99,6 %). Neemt α de waarde aan van 2 %, dan kunnen de drie wachtlijnsystemen worden geprojecteerd op figuur 4.3 (punten A, B en C). Dezelfde grafieken voor de gemiddelde lengte van elke wachtlijn zijn terug te vinden in bijlage E. Alle resultaten van het laag bezette wachtlijnsysteem en drukbezette wachtlijnsysteem zijn statistisch significant op 9 % significantieniveau (file 5 & 6, blad 2). De prestatiemaatstaven die wachtlijn 1 beschrijven in het wachtlijnsysteem nabij instabiliteit, zijn slechts betrouwbaar op 9 % significantieniveau indien α groter is dan 5 %. Hiertegenover zijn de resultaten die wachtlijn 2 beschrijven, slechts betrouwbaar op 9 % significantieniveau indien α kleiner is dan 5 % (file 7, blad 2). We onderscheiden drie gemeenschappelijke kenmerken bij de verschillende wachtlijnsystemen. Ten eerste is de gemiddelde wachttijd en lengte van wachtlijn 1 bij α gelijk aan 5 % steeds gelijk aan de gemiddelde wachttijd en 46

65 lengte van wachtlijn 2. Deze situatie komt overeen met het wachtlijnsysteem zonder prioriteit. Ten tweede is elke prestatiemaatstaf voor wachtlijn 1 (2) gelijk aan nul bij α gelijk aan 1 % ( %). In deze situatie komen er enkel prioritaire klanten (niet-prioritaire klanten) binnen in het systeem en wordt wachtlijn 1 (2) niet gebruikt. Ten derde is de waarde voor elke prestatiemaatstaf van wachtlijn 1 bij α gelijk aan x %, gelijk aan de waarde van dezelfde prestatiemaatstaf van wachtlijn 2 bij α gelijk aan 1-x%. Dit wijst op het feit dat extra prioritaire klanten dezelfde impact hebben op de prestatiemaatstaven van wachtlijn 1, als extra niet-prioritaire klanten hebben op de prestatiemaatstaven van wachtlijn 2. Aan deze eigenschap is echter niet volledig voldaan bij het wachtlijnsysteem nabij instabiliteit (ρ = 96 %). We verwachten dat dit volledig toe te schrijven is aan het volatiele karakter van dit wachtlijnsysteem. Vervolgens onderscheiden we twee trends bij de overgang van een laag bezet wachtlijnsysteem (figuur 4.11) naar een wachtlijnsysteem nabij instabiliteit (figuur 4.13). We bespreken elke trend voor wachtlijn 1. Gezien het symmetrische karakter van de grafieken geldt dezelfde bespreking voor wachtlijn 2, hetzij bij andere waarden voor α. Ten eerste dalen de gemiddelde wachttijd en lengte steeds minder glad bij toenemende waarden voor ρ. In grafieken 4.12 en 4.13 stijgt de gemiddelde wachttijd zelfs eerst alvorens te dalen richting de x-as. Zoals we reeds zagen in figuur 4.4 en 4.8, worden er lange wachtlijnen gevormd bij drukbezette wachtlijnsystemen. Bijgevolg zullen niet-prioritaire klanten zo vaak mogelijk gebruik maken van server 2. Bij toenemende waarden voor α zal server 2 echter frequenter bezet gehouden worden door prioritaire klanten. Bijgevolg kunnen niet-prioritaire klanten steeds minder meegenieten van deze server en stijgen de prestatiemaatstaven van wachtlijn 1. De gemiddelde lengte van wachtlijn 1 in een laag bezet wachtlijnsysteem is echter zo kort zodat niet-prioritaire klanten vrijwel onmiddellijk bediend worden door server 1. Wanneer α vervolgens stijgt, wordt hen in se geen toegang ontzegd tot server 2 omdat ze hier sowieso geen (of weinig) gebruik van maakten. We verwachten dat de prestatiemaatstaven hun maximum steeds dichter bij het nulpunt bereiken naarmate ρ stijgt. Hoe drukker het wachtlijnsysteem, hoe minder groot het percentage prioritaire klanten moet zijn om server 2 (bijna) continu bezet te houden. Ten tweede gebeurt de daling in beide prestatiemaatstaven die wachtlijn 1 beschrijven steeds abrupter naarmate een wachtlijnsysteem drukker bezet is. Bij toenemende waarden voor ρ stijgt namelijk het verschil tussen de prestatiemaatstaven van wachtlijn 1 en de prestatiemaatstaven van wachtlijn 2. Wanneer α vervolgens naar 5 % nadert en niet-prioritaire klanten de rol van prioritaire klanten overnemen, zal het verschil in gemiddelde wachttijd en lengte bij dezelfde wijziging in α stijgen naarmate ρ toeneemt. 47

66 eenheden tijd,35,3,25,2,15,1,5,2,4,6,8 1 α ,2,4,6,8 1 α ,2,4,6,8 1 α E[W1] E[W2] E[W1] E[W2] E[W1] E[W2] μ 2 4,5 4,98 1/λ 2,5 2,5 2,5 Figuur 4.11 : Vergelijking van het verloop van de gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 vs. wachtlijn 2 bij variabele waarden voor α in een standaard prioritair systeem met bezettingsgraad 4% Figuur 4.12 : Vergelijking van het verloop van de gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 vs. wachtlijn 2 bij variabele waarden voor α in een standaard prioritair systeem met bezettingsgraad 9% Figuur 4.13 : Vergelijking van het verloop van de gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1 vs. wachtlijn 2 bij variabele waarden voor α in een standaard prioritair systeem met bezettingsgraad 99,6% Besluit De simulatieresultaten die het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit beschrijven, tonen aan dat de gemiddelde lengte van de wachtlijn, voorbestemd voor prioritaire klanten, korter is dan de gemiddelde lengte van de wachtlijn voorbestemd voor niet-prioritaire klanten. Eveneens is de gemiddelde wachttijd in wachtlijn 2 korter dan de gemiddelde wachttijd in wachtlijn 1. Hoe groot het verschil precies is, is natuurlijk afhankelijk van de inputparameters (bedieningstijd, gemiddelde tussenaankomsttijd en verhouding prioritaire klanten op nietprioritaire klanten). Zijn twee van de drie inputparameters bekend en constant, dan kunnen de simulatieprogramma s uit deze masterproef geraadpleegd worden om het gedrag van het wachtlijnsysteem te simuleren bij variabele waarden voor de derde inputparameter. Aan de hand van deze resultaten neemt het management van een wachtlijnfaciliteit kennis van zowel de gemiddelde wachttijd ervaren in beide wachtlijnen, als van de benodigde fysieke wachtruimte. Fixeert men de verhouding prioritaire klanten op niet-prioritaire klanten en laat men de gemiddelde tussenaankomsttijden of bedieningstijden variëren, dan komt het effect van prioriteit het meest tot uiting bij drukbezette wachtlijnsystemen. Laat men daartegenover de verhouding prioritaire klanten op niet-prioritaire klanten variëren, dan is het verschil tussen beide wachtlijnen maximaal bij een waarde voor α groter dan % indien we te maken hebben met een drukbezet wachtlijnsysteem. We raden het management van een wachtlijnfaciliteit aan nauwkeurig te onderzoeken bij welke waarde voor α niet-prioritaire klanten gemiddeld het 48

67 meest tijd in hun wachtlijn spenderen. Bij drukbezette wachtlijnsystemen kan een klein verschil in deze parameter er reeds voor zorgen dat deze klanten significant minder lang hoeven te wachten. Een efficiënt en effectief management van deze inputparameter is dan ook van groot belang. 49

68 4.3. Vergelijking met het wachtlijnmodel zonder prioriteit Nadat we in vorige paragrafen het gedrag van zowel het wachtlijnsysteem zonder prioriteit als het gedrag van het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit bestudeerden, focussen we nu op het verschil tussen beide wachtlijnsystemen en testen we hypotheses 1 en 2. Alvorens de verschillende hypotheses te hernemen en onderzoeken, licht paragraaf kort toe hoe de vergelijking tussen beide wachtlijnmodellen werd geprogrammeerd Programmatie In paragraaf werd reeds aangehaald welk programmaonderdeel instaat voor de vergelijking tussen twee wachtlijnsystemen. Het vergelijkingsprogramma laat elk afzonderlijk model voor elke waarde voor de variabele parameter 1 runs doorlopen en ontvangt na elke lus twee tabellen zoals afgebeeld door figuren 2.3 en 2.4. Het verwachte verschil in prestatie tussen het wachtlijnsysteem zonder prioriteit (zp) en het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit (sp) wordt vervolgens na elke run i voor elke wachtlijn l als volgt berekend: z( li ) = li zp - li sp met i = 1, 2, 1 en l = 1, 2 [4.6] z( li ) = li zp li sp met i = 1, 2, 1 en l = 1, 2 [4.7] We verminderen dus de prestatiemaatstaf van het wachtlijnmodel zonder prioriteit uit elke run met de overeenkomstige prestatiemaatstaf van het wachtlijnmodel met standaard prioriteit uit elke run. Vervolgens worden de statistieken van de gezochte variabelen Z(W l ) en Z(L l ) berekend aan de hand van de formules uit paragraaf Zodoende vinden we het gemiddelde verschil in verwachte gemiddelde lengte en wachttijd tussen beide wachtlijnsystemen. Om praktische redenen korten we dit af en zullen we hier verder naar refereren als het verschil in gemiddelde lengte en wachttijd. Opdat de waargenomen verschillen enkel gerelateerd zouden zijn aan het verschil in wachtlijndesign garanderen we dat het aankomstproces uit beide wachtlijnmodellen op dezelfde momenten klanten genereert. Dit doet het vergelijkingsprogramma door op voorhand aankomsttijden te genereren en deze op te slaan in een 2 dimensionale array (stap 2.1 in de Vergelijking Package in figuur 2.2). Deze array bestaat telkens uit 1 rijen (m, paragraaf 2.5.2) en uit 51. kolommen (s+n, paragraaf 2.5.1). Vervolgens wordt de array gebruikt door zowel het wachtlijnsysteem zonder prioriteit als door het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit. Om dit mogelijk te maken, moet elk aankomstproces gebaseerd zijn op eenzelfde aantal exponentiële processen. Dit verklaart waarom we het aankomstproces uit het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit programmeerden aan de hand van slechts 1 exponentieel proces (paragraaf 4.1.2). 5

69 aantal klanten aantal klanten Prestatievergelijking: Gemiddelde lengte Nulhypotheses De eerste hypothese die we formuleerden in paragraaf focust op hoe de gemiddelde lengte van wachtlijn 1 en wachtlijn 2 in een wachtlijnsysteem zonder prioriteit verschillen van de gemiddelde lengte van de overeenkomstige wachtlijnen in een wachtlijnsysteem met standaard prioriteit. Hypothese 1 werd als volgt geformuleerd: De gemiddelde lengte van wachtlijn 1 (2) in een wachtlijnsysteem met standaard prioriteit is langer (korter) dan de gemiddelde lengte van wachtlijn 1 (2) in een wachtlijnsysteem zonder prioriteit. De nulhypotheses die volgen uit hypothese 1 luiden als volgt: H 1 : H 2 : De gemiddelde lengte van wachtlijn 1 in een wachtlijnmodel met standaard prioriteit is gelijk aan of korter dan de gemiddelde lengte van wachtlijn 1 in een wachtlijnmodel zonder prioriteit; De gemiddelde lengte van wachtlijn 2 in een wachtlijnmodel met standaard prioriteit is gelijk aan of langer dan de gemiddelde lengte van wachtlijn 2 in een wachtlijnmodel zonder prioriteit. Resultaten Grafieken 4.14 en 4.15 tonen het verloop van het verschil tussen de gemiddelde lengte van wachtlijn 1 in het wachtlijnsysteem zonder prioriteit en de gemiddelde lengte van wachtlijn 1 in het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit. Beide grafieken liggen volledig onder de x-as. De gemiddelde lengte van wachtlijn 1 in het wachtlijnmodel met standaard prioriteit is dus steeds groter dan de gemiddelde lengte van wachtlijn 1 in het wachtlijnmodel zonder prioriteit. De betrouwbaarheidsintervallen voor de resultaten liggen bovendien steeds links van het nulpunt zodat we de eerste nulhypothese verwerpen op 9 % significantieniveau (file 1 tot 4, blad 3) Fase 1 < 4,5 Fase 2 > 4,5-25 F2 F1 >1,45 μ -3 1/λ Z[L1] 1/λ = 2,5 Z[L1] 1/λ = 4 Figuur 4.14 : Verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) bij variabele waarden voor μ Z[L1] μ = 2,5 Z[L1] μ = 4 Figuur 4.15 : Verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 1 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) bij variabele waarden voor 1/λ 51

70 aantal klanten aantal klanten Vervolgens onderzoeken we of we ook de tweede nulhypothese 2 kunnen verwerpen. Grafieken 4.16 en 4.17 tonen het verschil in gemiddelde lengte van wachtlijn 2 tussen de twee wachtlijnmodellen. Beide grafieken liggen nu volledig boven de x-as, wat betekent dat de gemiddelde lengte van wachtlijn 2 het kleinst is in het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit. De resultaten zijn eveneens betrouwbaar op 9 % significantieniveau (file 1 tot 4, blad 3) Fase 1 < 4,5 Fase 2 > 4,5 25 F2 F1 >1, μ 1/λ Z[L2] 1/λ = 2,5 Z[L2] 1/λ = 4 Figuur 4.16 : Verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) bij variabele waarden voor μ Z[L2] μ = 2,5 Z[L2] μ = 4 Figuur 4.17 : Verloop van het verschil in gemiddelde wachtlijnlengte van wachtlijn 2 in een standaard prioritair systeem (SP) vs. een niet prioritair systeem (ZP) bij variabele waarden voor 1/λ Bekijken we nu grafieken 4.14 tot en met 4.17 dan onderscheiden we duidelijk twee fases: Blijven de bedieningstijden kleiner dan 4,5 tijdseenheden of de gemiddelde tussenaankomsttijden groter dan 1,45 tijdseenheden, dan worden er in beide wachtlijnsystemen bijna geen wachtlijnen gevormd ( paragrafen 3.2 en 4.2) en blijft het verschil in gemiddelde lengte bij beide wachtlijnen kleiner dan 1 klant. Het verschil in grafieken 4.14 en 4.15 is wel steeds negatief wat betekent dat de lengte van wachtlijn 1 in het standaard prioritair wachtlijnsysteem toch steeds iets langer zal zijn. Hiertegenover zien we in grafieken 4.16 en 4.17 dat de gemiddelde lengte van wachtlijn 2 toch steeds iets korter zal zijn in het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit. Stijgen (dalen) de bedieningstijden (gemiddelde tussenaankomsttijden) verder, dan worden er in beide wachtlijnsystemen snel wachtlijnen gevormd. De lengte van beide wachtlijnen in het wachtlijnsysteem zonder prioriteit zijn steeds ongeveer even lang. Wachtlijn 1 wordt in het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit uiteraard veel langer waardoor het verschil in gemiddelde lengte een sterke duik neerwaarts maakt. Zijn de bedieningstijden bijvoorbeeld gelijk aan 4,98 tijdseenheden en de gemiddelde tussenaankomsttijden gelijk aan 2,5 tijdseenheden, dan bevat wachtlijn 1 in het prioritair wachtlijnmodel gemiddeld 87 klanten (grafiek 4.4), terwijl het wachtlijnmodel zonder prioriteit er op dat moment slechts gemiddeld 43 bevat (grafiek 3.3). Wachtlijn 2 daarentegen zal in het wachtlijnsysteem met standaard 52

71 prioriteit heel wat korter zijn dan wachtlijn 2 in het wachtlijnsysteem zonder prioriteit. Bijgevolg maakt het verschil een grote sprong. Kijken we terug naar hetzelfde voorbeeld, dan zien we dat wachtlijn 2 in het wachtlijnmodel zonder prioriteit opnieuw gemiddeld 43 klanten telt (grafiek 3.3), terwijl wachtlijn 2 in het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit gemiddeld,32 klanten lang is (grafiek 4.6). We concluderen dat de lengte van de wachtlijn, voorbestemd voor niet-prioritaire klanten, sterk toeneemt bij het invoeren van prioriteit terwijl de lengte van de wachtlijn, voorbestemd voor prioritaire klanten sterk afneemt. De toename/afname in gemiddelde lengte komt bovendien het best tot uiting wanneer de bedieningstijden grote waarden aannemen of de gemiddelde tussenaankomsttijden kleine waarden aannemen. De impact van het invoeren van standaard prioriteit kunnen we eveneens bestuderen aan de hand van de procentuele toenames/afnames. Onderstaande tekening maakt duidelijk hoe deze prestatiemaatstaf verschilt van de absolute verschillen uit grafieken 4.14 tot Zonder prioriteit Met prioriteit VB 1 Absoluut verschil Procentueel verschil L % L % VB 2 Absoluut verschil Procentueel verschil L % L % Figuur 4.18 : Absoluut verschil vs. procentueel verschil De tekening toont twee wachtlijnsystemen voor en na het invoeren van standaard prioriteit. De tabellen beschrijven voor elk voorbeeld en voor elke wachtlijn het absoluut en procentueel verschil in gemiddelde lengte. Het tweede voorbeeld maakt duidelijk dat, hoewel het absoluut verschil voor beide wachtlijnen identiek is, dit niet het geval is voor het procentueel verschil. Dit zal vooral van belang zijn bij de vergelijking tussen het wachtlijnsysteem met standaard prioriteit en het wachtlijnsysteem met optionele prioriteit. Grafieken 4.19 en 4.2 kwantificeren de procentuele verschillen in gemiddelde lengte van wachtlijn 1 en 2. De gemiddelde lengte van wachtlijn 1 is zowel bij variabele bedieningstijden als bij variabele gemiddelde tussenaankomsttijden 6 % tot 1 % langer door het invoeren van prioriteit. Hiertegenover is de gemiddelde lengte van wachtlijn 2 in het standaard prioritair wachtlijnsysteem 6 % tot 1 % korter dan in het wachtlijnsysteem zonder prioriteit. 53