VWO / GYMNASIUM DEEL A

Transcriptie

1 VWO / GYMNASIUM 1 DEEL A

2 1 1 1 VWO GYMNASIUM DEEL A MathPlus is een digitale wiskundemethode gebaseerd op de open content van Math4all. In het colofon staan de namen van de betrokken auteurs. Eerste druk MALMBERG s-hertogenbosch 1 1

3 2 2 2 Voorwoord MathPlus is een digitale wiskundemethode gebaseerd op de open content van Math4all. Dit boek is afgeleid van de digitale methode. Niet alle onderdelen van de methode zijn in het boek overgenomen. Digitaal zijn er namelijk meer mogelijkheden dan op papier. Zo biedt de digitale methode leerroutes op basis van jouw individuele resultaten. Als onderdelen uitsluitend digitaal zijn aangeboden, kun je dat zien aan het icoontje: Elk hoofdstuk is als volgt opgebouwd: Instaptoets De Instaptoets kun je uitsluitend digitaal maken. In de instaptoets komt vereiste voorkennis aan bod, die in voorgaande hoofdstukken of leerjaren is behandeld. De Instaptoets bestaat uit gesloten vragen. Nadat je de toets hebt afgerond, geeft het systeem aan wat je al weet en waar je nog eens aandacht aan kunt besteden. Vervolgens kun je Uitleg of Voorbeeldopgaven raadplegen waarin die stof nog eens wordt herhaald. Context In het boek zijn altijd twee contexten opgenomen. Dit zijn voorbeelden uit de praktijk waarbij wiskunde een belangrijke rol speelt. Als je de stof van een hoofdstuk goed beheerst, zou je de opgave bij de contexten moeten kunnen maken. Paragraaf Iedere paragraaf begint met leerdoelen waarin is aangegeven wat je gaat doen. Na de leerdoelen volgen UITLEG waarin de stof wordt uitgelegd en VOORBEELDEN waarin voorbeeldopgaven zijn uitgewerkt. De opgaven die bij uitleg en voorbeeld horen herken je aan het blauwe balkje. OPGAVE 0.12 Je kunt tonen dat je de stof beheerst via de opgaven bij VERWERKEN. Deze opgaven herken je aan de rode balk. Ze hebben ook een niveau-aanduiding: is makkelijk, is het niveau wat je moet behalen en is een moeilijke opgave. OPGAVE 0.11 Als je de opgaven digitaal maakt, houdt de methode jouw scores bij. Zo zie je precies wat je allemaal goed en fout hebt gedaan. Soms moet je zelf aangeven of je een opgave goed had of niet. De vragen met een sterretje ( ) en die met twee sterren () hebben bovendien een zogenaamde herkansingsopgave: een soortgelijke opgave om het nog eens te proberen als je de eerste opgave fout maakte. Bij sommige opgaven zie je dit symbool inzicht daarbij een belangrijke rol.. Dat zijn zogenaamde kangoeroe-opgaven. Vaak speelt 2 2

4 3 3 3 Testen Ieder hoofdstuk wordt afgesloten met toetsopgaven in de Voorbeeld eindtoets. Via een aantal opgaven kun je nagaan of je de stof van het hoofdstuk voldoende beheerst. Ook hier gaat MathPlus digitaal net een stapje verder: op basis van jouw resultaten in verwerken krijg je een set toetsopgaven die voor jou persoonlijk zijn samengesteld. Automatisch nakijken met AlgebraKIT In het digitale product kijkt de computer jouw uitwerkingen automatisch na. Je kunt hints opvragen en per tussenstap geeft het systeem aan of je het goed of fout hebt gedaan. Veel succes met MathPlus! De auteurs 3 3

5 4 4 4 Inhoud Rekenen 1 Rekenen 1 Decimale getallen Deelbaarheid Breuken optellen en aftrekken Breuken vermenigvuldigen en delen Afronden en schatten Machten Voorbeeld eindtoets Rekenen 4 Verhoudingen 1 Verhoudingstabellen Rekenen met verhoudingstabellen Procenten Procentrekenen Procenten eraf en erbij Schaallijnen Voorbeeld eindtoets Meten en tekenen 2 Figuren 1 Lijn, lijnstuk, punt Afstanden Passer en cirkel Vlakke figuren Kijklijnen Coördinaten Voorbeeld eindtoets Meten en tekenen 5 Hoeken 1 Hoeken Hoeken meten Hoeken tekenen Deellijn Hoeken berekenen Voorbeeld eindtoets Meten en tekenen Ruimtelijke figuren 1 Ruimtelijke figuren Grensvlakken, ribben en hoekpunten Uitslagen Aanzichten Ruimtelijke figuren tekenen Diagonaalvlakken Voorbeeld eindtoets Meten en tekenen Omtrek, oppervlakte en inhoud 1 Omtrek Lengtematen Oppervlakte en oppervlaktematen Inhoud Inhoudsmaten Voorbeeld eindtoets Register

6 5 5 Rekenen Rekenen Instaptoets Breuken vermenigvuldigen en+ delen Decimale getallen Afronden en+ schatten Deelbaarheid Machten Breuken optellen en+ aftrekken Voorbeeld eindtoets

7 6 6 6 DOMEIN Rekenen CONTEXT 1 Behangplaksel Je kunt behangplaksel kant-en-klaar in de winkel kopen, maar je kunt het ook zelf maken. Zo n honderd jaar geleden gebeurde dat nog vaak. In een boek uit 1936 bijvoorbeeld staat een recept voor behangplaksel. Er valt heel wat aan te merken op dit recept, want de instructie is niet erg specifiek. Toch valt er wel het een en ander uit op te maken. rijstebloem 4 dl OPGAVE a Lees het recept (dl staat voor deel of delen). Rijstebloem koop je in pakken van 1 kg. Hoeveel moet je van de andere bestanddelen inkopen als je één pak rijstebloem tot behangplaksel wilt verwerken? b Met 1 kg behangplaksel kun je 20 m 2 muur behangen. Hoeveel van elk van deze ingrediënten moet je kopen om 35 m 2 muur te kunnen behangen? krijt (zeer fijn) caseïne 2 dl 1 dl aluin in poeder 12 dl Men kan het mengsel direct met heet water tot een bruikbare pap aanroeren. Beter lost men de caseïne met iets ammoniak op als vroeger aangegeven en mengt deze oplossing met de gekookte rijstemeelpap. Verder is een pap van zuivere tarwebloem zeer bruikbaar. Meng de tarwebloem met koud water tot een dun papje aan en giet dit mengsel juist als bij stijfsel in een voldoende hoeveelheid kokend water. 6 6

8 7 7 HOOFDSTUK 1 Rekenen 7 CONTEXT 2 Het tweetallig stelsel Van jongs af aan leer je tellen. Peuters wordt bij hun verjaardag gevraagd hoe oud ze geworden zijn. Vol verwachting kijken opa en oma toe of de dreumes al het juiste aantal vingers opsteekt. Op de basisschool leer je eerst tot 10 tellen. Eigenlijk kunnen we alle getallen opschrijven door gebruik te maken van de volgende symbolen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Mensen hebben dat vroeger niet zomaar verzonnen. Ons tientallig stelsel is voor een groot deel bepaald door het aantal vingers aan onze handen. Als wij allemaal geboren zouden zijn met acht of met twaalf vingers, zou het vak rekenen en wiskunde er op school anders uitzien. Het tientallig stelsel is maar een voorbeeld van een talstelsel. Het is een zogenaamd decimaal stelsel komt overeen met: = 154 in het tientallig stelsel. OPGAVE Ook in het tweetallig stelsel kun je getallen optellen en aftrekken. Maak de volgende optellingen en aftrekkingen en zet er bij over welke decimale getallen het gaat. a b c d e Hoe ziet = 46 er in het tweetallig stelsel uit? f Hoe ziet = 24 er in het tweetallig stelsel uit? Computers gebruiken een andere taal: het tweetallig stelsel. Dat kent alleen de cijfers 0 en 1. Die 0 en de 1 vertegenwoordigen ieder een waarde. De meest rechtse waarde staat voor 1. Iedere keer als je een getal naar links opschuift, verdubbelt de waarde. Zo staat het tweede getal van rechts voor 2, het derde voor 4, et cetera. Zo bestaat uit 0 eenheden, 1 tweetal, 0 viertallen, 1 achttal,1 zestiental, 0 32-tallen, 0 64-tallen en tal. Dus 7 7

9 8 8 8 DOMEIN Rekenen 1.1 Decimale getallen In deze paragraaf leer je: onderscheid maken tussen getallen en cijfers; de waarde van cijfers in een getal bepalen; getallen op een getallenlijn plaatsen; getallen met elkaar vergelijken en hier de juiste symbolen voor gebruiken; rekenen met decimale getallen. UITLEG ,54 1 tienduizendtal is 1 x ,54 6 duizendtallen is 6 x ,54 3 honderdtallen is 3 x ,54 0 tientallen is 0 x ,54 2 eenheden is 2 x ,54 de decimale komma Getallen zijn opgebouwd uit cijfers, net zoals woorden opgebouwd zijn uit letters. Omdat er tien cijfers (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9) worden gebruikt, spreek je van het tientallig stelsel of decimale stelsel. Decimaal stamt af van het Latijnse woord decimus, dat betrekking op het tiende betekent. De plaats van een cijfer in een getal bepaalt de waarde. Zo staat het cijfer 1 in het getal 12 voor 1 tiental; het cijfer 2 staat voor 2 eenheden. In het getal 120 staat het cijfer 1 voor 1 honderdtal, het cijfer 2 voor 2 tientallen en het cijfer 0 voor 0 eenheden. Achter de komma staan cijfers met een waarde kleiner dan 1. Bekijk de figuur om te zien dat het getal , 54 uit zeven cijfers met verschillende waarden bestaat ,54 5 tienden is 5 x 0, ,54 4 honderdsten is 4 x 0,01 OPGAVE 1.1 Bekijk het getal 6102, 543. a Hoeveel duizendtallen komen er in dit getal voor? b Hoeveel honderdsten komen er in dit getal voor? c Hoeveel keer zo groot wordt dit getal als je de komma één plaats naar rechts verschuift? d Wat gebeurt er met dit getal als je de komma twee plaatsen naar links verschuift? 8 8

10 9 9 HOOFDSTUK 1 Rekenen 9 OPGAVE 1.2 Bij geldbedragen staat er ook een komma. Na de komma spreek je de getallen anders uit dan bij het tientallig stelsel. a Hoe spreek je het cijfer 7 uit in het getal 45, 7? b Hoe spreek je het cijfer 7 uit in het geldbedrag 45, 70? c Hoe zit dat als je twee cijfers achter de komma hebt, bijvoorbeeld bij het getal 65, 55 en het bedrag 66, 55? Wat valt je op? UITLEG 2 «APPLET» Decimale getallen getallen met cijfers achter de komma kun je weergeven op een getallenlijn. In veel landen wordt geen decimale komma, maar een punt gebruikt. Bij sommige getallen komen er geen cijfers achter de komma. Dan spreek je van gehele getallen. Gehele getallen zijn 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, enzovoort. Hoe verder een getal naar rechts ligt op de getallenlijn, hoe groter het is: 3 is groter dan 2; je schrijft: 3 > , 15 is groter dan 62, 853; je schrijft: 307, 15 > 62, , 3 is kleiner dan 11, 31; je schrijft: 11, 3 < 11, 31. Het getal 3, 15 ligt tussen 3, 1 en 3, 2 in. Dat betekent dat 3, 15 groter is dan 3, 1 maar kleiner is dan 3, 2. In symbolen schrijf je: 3, 1< 3, 15 < 3, 2. Je kunt ook rekenen met decimale getallen. Als je decimale getallen bij elkaar optelt of van elkaar aftrekt, moet je goed opletten dat je de komma s precies onder elkaar zet. OPGAVE 1.3 a Welk getal is groter: 51, 7 of 15, 7? b Welk getal is groter: 4, 65 of 4, 56? c Welk getal is kleiner: 4, 65 of 4, 56? d Tussen welke twee gehele getallen ligt 5, 074? OPGAVE 1.4 Schrijf in symbolen. a 2, 11 is groter dan 3 maar kleiner dan 2 b 11 is groter dan 10 maar kleiner dan

11 DOMEIN Rekenen UITLEG 3 Wat kosten tien schriften van 1, 25 samen? Je moet vermenigvuldigen om het antwoord te vinden: 10 1, 25 = 12, 50 euro. Je krijgt dan het product van deze getallen. Tien schriften kosten 12, 50. Hoeveel schriften van 1, 25 kun je voor 15, 00 kopen? Je moet delen om het antwoord te vinden: 15 1,25 = is het quotiënt van 15 en 1, 25. Voor 15, 00 kun je 12 schriften kopen. Dergelijke vermenigvuldigingen en delingen kun je met je rekenmachine doen, maar je kunt ze ook uit het hoofd doen. Ingewikkelder vermenigvuldigingen en delingen kun je ook op papier uitrekenen, kijk maar: 10 10

12 11 11 HOOFDSTUK 1 Rekenen 11 OPGAVE 1.5 OPGAVE 1.6 Bereken. a 20 1, 6 b 270 4,5 c 1, d 28,40 40 Maak de vermenigvuldigingen en delingen zonder rekenmachine. a 32, 24 1, 24 b 32,24 1,24 Voorbeeld , 68 is een getal waarbij 5 een cijfer is. Deze 5 heeft bij dit getal de waarde voor honderdtallen, dus er zijn 5 honderdtallen. Het cijfer 6 komt twee keer voor in het getal, maar heeft verschillende waarden. Er zijn namelijk 6 tientallen en 6 tienden. Een cijfer kan vaker in een getal voorkomen, maar heeft dan wel andere waarden. Het getal 4563, 68 kun je ook op een getallenlijn plaatsen. De rode pijl geeft aan waar het getal 4563, 68 hoort te staan. Om dit te kunnen bepalen moet je nagaan welke getallen op de getallenlijn zijn gegeven en welke stapgrootte hier bij hoort. Op de getallenlijn zie je zeven stappen tussen 4563, 3 en Het verschil tussen 4563, 3 en 4564 is 0, 7. Dat betekent dat elke stap op de getallenlijn 0, 1 groot is. Je ziet dat de rode pijl tussen 4563, 6 en 4563, 7 staat. Beredeneer nu zelf waarom de rode pijl dichter in de buurt van 4563, 7 als van 4563, 6 staat. OPGAVE 1.7 Beantwoord de vragen over het getal , 52. a Uit welke cijfers bestaat het getal? b Welke cijfers zitten er meer dan één keer in? Welke waarden hebben ze? c Wat zijn de waarden van de overige cijfers? d Teken de getallenlijn en zet een pijl op de plaats van het getal , 52. OPGAVE 1.8 Plaats de getallen 349, 8; 349, 01; 349, 5 en 349, 25 op de getallenlijn op je WERKBLAD. OPGAVE 1.9 Bekijk de getallenlijn. a Benader zo nauwkeurig mogelijk welk getal door pijl a op de getallenlijn wordt aangegeven. Het getal kan geen, één of twee cijfers achter de komma hebben

13 DOMEIN Rekenen b Benader op dezelfde manier het getal bij pijl b. c Benader op dezelfde manier het getal bij pijl c. d Benader op dezelfde manier het getal bij pijl d. Voorbeeld 2 «APPLET» Ga met behulp van een getallenlijn na: 0, 77 is groter dan 0, 76; dit kun je schrijven als 0, 77 > 0, 76. 4, 13 ligt in tussen 4, 1 en 4, 2; dit kun je schrijven als 4, 1 < 4, 13 < 4, 2. 3, 13 is kleiner dan 3, 31; dit kun je schrijven als 3, 13 < 3, 31. OPGAVE 1.10 Vul in < of >. a 5, A 5, 6 > 5 B 5, 6 < 5 b 8, A 8, 2 > 9 B 8, 2 < 9 c 0, , 501 A 0, 5 > 0, 501 B 0, 5 < 0, 501 d 1, , 40 A 1, 34 > 1, 40 B 1, 34 < 1, 40 Voorbeeld 3 Met decimale getallen kun je rekenen, net als met alle andere getallen. Als je de getallen 456,6 en 42,067 bij elkaar wilt tellen, dan moet je goed de positie van de getallen in de gaten houden. Hetzelfde geldt voor het aftrekken van getallen. Zet de komma s netjes onder elkaar en tel de getallen dan op of trek ze van elkaar af

14 13 13 HOOFDSTUK 1 Rekenen 13 OPGAVE 1.11 Bereken. a 365, , 36 b 934, 58 25, 6 c 35, , 5 d 25, 6 21, 391 OPGAVE 1.12 Bereken. a 681, , 6 b 251, 36 42, 1 c 672, 4 32, 5 d 69,5 0,25 VERWERKEN OPGAVE 1.13 Vul in is groter dan of is kleiner dan en geef het juiste symbool. a 3, b 8, c 0, , 231 d 2, , 999 OPGAVE 1.14 Bekijk de getallenlijn. a Benader zo nauwkeurig mogelijk welk getal door pijl a wordt aangegeven. Het getal heeft geen, één of twee cijfers achter de komma. b Benader op dezelfde manier het getal bij pijl b. c Benader op dezelfde manier het getal bij pijl c. OPGAVE 1.15 Bereken. a 364, , 6 b 86, 32 64, 1 c 24, 35 69, 1 d 2400,64 35,2 OPGAVE 1.16 Bekijk deze acht getallen: 3, 4; 3; 3, 41; 3, 12; 3, 51; 3, 19; 3, 108; 3, 01. a Schrijf de getallen op van klein naar groot met behulp van het kleinerdanteken. b Hoeveel van deze getallen hebben twee cijfers achter de komma? c In welke van deze getallen komt 1 tiende voor? 13 13

15 DOMEIN Rekenen OPGAVE 1.17 a Welk getal ligt precies midden tussen 42 en 45? Geef met symbolen weer dat dit getal tussen 42 en 45 ligt. b Welk getal ligt precies midden tussen 42, 01 en 42, 02? Geef met symbolen weer dat dit getal tussen 42, 01 en 42, 02 ligt. c Welk getal ligt precies midden tussen 142, 91 en 142, 7? Geef met symbolen weer dat dit getal tussen 142, 91 en 142, 7 ligt. OPGAVE 1.18 Hoeveel gehele getallen liggen er tussen 13, 52 en 103, 52? OPGAVE 1.19 Je mag alleen de cijfers 4, 5 en 9 gebruiken. Ieder cijfer mag je hoogstens één keer gebruiken. Hoeveel verschillende getallen (geheel en decimaal) kun je maken? OPGAVE 1.20 Hoeveel is 11, 11 1, 111? 14 14

16 15 15 HOOFDSTUK 1 Rekenen Deelbaarheid In deze paragraaf leer je: eigenschappen van getallen - zoals veelvoud, deelbaarheid en priemgetal - herkennen; ontbinden in priemfactoren; de grootste gemene deler van getallen berekenen; het kleinste gemene veelvoud van getallen berekenen. UITLEG 1 Gehele getallen zijn getallen die geen decimalen hebben. 27 en 63 zijn gehele getallen. Gehele getallen kunnen verschillende eigenschappen hebben. Een eigenschap van een geheel getal is of het even of oneven is. Een even getal kun je delen door 2. Een andere mogelijke eigenschap van een geheel getal is of het een veelvoud van een ander getal is. Als je twee gehele getallen met elkaar vermenigvuldigt, dan is het product een veelvoud van beide getallen. Bijvoorbeeld: 3 4 = is een veelvoud van 4 én 12 is een veelvoud van 3. Je kunt ook zeggen dat 12 een drievoud van 4 is én een viervoud van 3 is. 4 is een veelvoud van 2. Dus 12 is ook een veelvoud van 2. Een getal dat een veelvoud van 2 is, noem je even. Alle andere getallen zijn oneven. OPGAVE 2.1 Geef aan of de getallen even of oneven zijn en of het veelvouden van andere getallen zijn. a 6 b 37 c 22 OPGAVE 2.2 Het getal 14 is een veelvoud van 2 en 7. Geef aan van welke getallen de volgende getallen veelvouden zijn. a 26 b 21 c

17 DOMEIN Rekenen UITLEG 2 Een andere eigenschap van gehele getallen is deelbaarheid. Je zegt bijvoorbeeld: 12 is deelbaar door 3, want 12 3 deler van 12". = 4. Je kan dan ook zeggen: "3 is een 17 is niet deelbaar door 3, want 17 3 komt niet op een geheel getal uit. Dus 3 is geen deler van 17. Er zijn getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en door zichzelf. Die getallen noem je de priemgetallen. Priemgetallen hebben precies twee verschillende delers. 1 is géén priemgetal want 1 heeft maar één deler, namelijk 1. De delers 1 en het eigen getal noem je geen echte delers en schrijf je dus ook niet op als er naar de delers van een getal gevraagd wordt. De eerste priemgetallen zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, Kijk hoe je kunt bepalen of een getal deelbaar is door de eerste drie priemgetallen: 2, 3 en 5. Een getal is deelbaar door: 2 als het laatste cijfer van het getal deelbaar is door 2 3 als de som van alle cijfers van het getal deelbaar is door 3 5 als het getal eindigt op een 0 of een 5 Al in de Oudheid ontdekte men dat elk geheel getal kan worden geschreven als een product van priemgetallen. Zo is 24 = en 242 = Dit heet het ontbinden in priemfactoren. (Als je getallen vermenigvuldigt, noem je deze getallen de factoren van de vermenigvuldiging.) In Voorbeeld 1 op pagina 18 zie je hoe je een getal kunt ontbinden in priemfactoren. OPGAVE 2.3 Er is maar één even priemgetal. Welk getal is dat? OPGAVE 2.4 Wat is het eerste priemgetal boven de 100? 16 16

18 17 17 HOOFDSTUK 1 Rekenen 17 OPGAVE 2.5 Zijn de getallen deelbaar door de eerste drie priemgetallen (2, 3 en 5)? a A 2 B 3 C 5 b A 2 B 3 C 5 c A 2 B 3 C 5 UITLEG 3 Elk geheel getal heeft delers. Soms hebben gehele getallen dezelfde delers. 70 en 14 hebben allebei deler 7. Maar ook deler 14 hebben ze gemeenschappelijk. 14 is de grootste gemene deler (g.g.d.) van 70 en 14. Als er geen gemeenschappelijke factoren zijn, dan is de g.g.d. gelijk aan 1. De g.g.d. van 6 en 9 is 3: 6 = 2 3 en 9 = 3 3. Beide getallen hebben 3 als priemfactor gemeenschappelijk. In Voorbeeld 2 op pagina 19 zie je hoe je de g.g.d. kan vinden via het ontbinden in priemfactoren. Elk getal heeft veelvouden. Soms hebben getallen hetzelfde veelvoud. 12 en 5 hebben allebei veelvoud 60, maar ook 120 en is het kleinste gemene veelvoud (k.g.v.) van 12 en 5. Je kunt het k.g.v. van twee getallen vinden door alle veelvouden van de getallen op te schrijven en te kijken wat het kleinste getal is dat ze beiden als veelvoud hebben. Het k.g.v. van 6 en 9 is 18. De veelvouden van 6 zijn: 6, 12, 18, 24, 30, 36,... De veelvouden van 9 zijn: 9, 18, 27, 36,... Het k.g.v. van 6 en 9 is 18. In Voorbeeld 3 op pagina 20 zie je hoe je de k.g.v. kunt vinden via het ontbinden in priemfactoren. OPGAVE 2.6 Wat is de g.g.d. van de getallen? a 10 en 15 b 35 en 77 c 26 en

19 DOMEIN Rekenen OPGAVE 2.7 Wat is het k.g.v. van de getallen? a 2 en 5 b 3 en 4 c 6 en 7 Voorbeeld 1 Je kunt een getal ontbinden in priemfactoren. 1. Maak een tabel met twee kolommen. Zet in de eerste kolom op de eerste rij het getal dat je wilt ontbinden in priemfactoren. 2. Zoek het kleinste priemgetal waardoor het getal deelbaar is. Schrijf dit getal in de tweede kolom op de eerste rij. 3. Deel het begingetal door het kleinste priemgetal. Schrijf de uitkomst van de deling in de linkerkolom op de volgende rij. Bepaal nu door welk kleinste priemgetal deze uitkomst deelbaar is. Schrijf dat priemgetal in de rechterkolom op dezelfde rij. 4. Herhaal dit tot je uitkomt op Als je alle gevonden priemgetallen met elkaar vermenigvuldigt, is het product gelijk aan het gegeven getal. Ontbind 24 in priemfactoren is deelbaar door 2; 2 is de kleinste priemdeler van is deelbaar door 2; 2 is de kleinste priemdeler van 12 6 is deelbaar door 2; 2 is de kleinste priemdeler van 6 3 is deelbaar door 3; 3 is de kleinste priemdeler van 3 24 = OPGAVE 2.8 Ontbind de getallen in priemfactoren. a 242 b 32 OPGAVE 2.9 Kloppen deze beweringen? Als ze niet kloppen, schrijf dan de juiste priemontbinding op. a De priemontbinding van 360 is b De priemontbinding van 1155 is c De priemontbinding van 6615 is

20 19 19 HOOFDSTUK 1 Rekenen 19 Voorbeeld 2 Je kunt de g.g.d. van twee gehele getallen vinden via het ontbinden in priemfactoren. De grootste gemene deler van gehele getallen is het product van de gemeenschappelijke priemfactoren. Om de grootste gemene deler te vinden van de getallen 44 en 52, ontbind je daarom eerst beide getallen in priemfactoren. Ontbind 44 in priemfactoren is deelbaar door 2; 2 is de kleinste priemdeler van is deelbaar door 2; 2 is de kleinste priemdeler van is deelbaar door 11; 11 is de kleinste priemdeler van = Ontbind 52 in priemfactoren is deelbaar door 2; 2 is de kleinste priemdeler van is deelbaar door 2; 2 is is de kleinste priemdeler van is deelbaar door 13; 13 is de kleinste priemdeler van = De gemeenschappelijke priemfactoren van 44 en 52 zijn 2 en 2. Om de grootste gemene deler te vinden, moet je het product van de gemeenschappelijke factoren berekenen: 2 2 = 4. De g.g.d. van 44 en 52 = 4. OPGAVE 2.10 Wat is de grootste gemene deler van 126 en 72? OPGAVE 2.11 Bewering: de grootste gemene deler van 154 en 84 is 14. Klopt deze bewering? Licht je antwoord toe

21 DOMEIN Rekenen Voorbeeld 3 Het k.g.v. van twee gehele getallen kun je eveneens vinden via het ontbinden in priemfactoren. Het k.g.v. van twee gehele getallen is het kleinste van hun gemeenschappelijke veelvouden. Je kunt het k.g.v. vinden door te ontbinden in priemfactoren. Het k.g.v. dat je zoekt, moet een veelvoud zijn van beide getallen en moet dus minstens alle priemfactoren van beide getallen één keer bevatten. Als je bijvoorbeeld het k.g.v. wilt vinden van de getallen 50 en 62, dan begin je met het ontbinden van beide getallen. Ontbind 50 in priemfactoren is deelbaar door 2; 2 is de kleinste priemdeler van is deelbaar door 5; 5 is de kleinste priemdeler van 25 5 is deelbaar door 5; 5 is de kleinste priemdeler van 5 50 = Ontbind 62 in priemfactoren is deelbaar door 2; 2 is de kleinste priemdeler van is deelbaar door 31; 31 is de kleinste priemdeler van = 2 31 Om het k.g.v. te vinden zet je eerst alle gevonden priemfactoren van het eerste getal op een rijtje met vermenigvuldigingstekens ertussen: Vul dit rijtje aan met de priemfactoren van het andere getal die er nog niet staan. Dat is hier het getal 31. De 2 kun je hier dus achterwege laten. Het k.g.v. van 50 en 62 is = OPGAVE 2.12 Wat is het k.g.v. van 8 en 12? 20 20

22 21 21 HOOFDSTUK 1 Rekenen 21 OPGAVE 2.13 Bewering: het k.g.v. van 34 en 54 is 102. Klopt deze bewering? Licht je antwoord toe. OPGAVE 2.14 VERWERKEN Ontbind 84 in priemfactoren. OPGAVE 2.15 a Waarom is 31 een priemgetal, maar 33 niet? b Ontbind het getal 140 in priemfactoren. c Wat is de g.g.d. van 180 en 294? d Wat is het k.g.v. van 140 en 1330? OPGAVE 2.16 Wat is de g.g.d. en het k.g.v. van de getallen? a 11 en 55 b 27 en 15 c 45 en 120 OPGAVE 2.17 Welke getallen hebben precies drie verschillende priemgetallen als delers? A 10 B 20 C 30 D 40 E 50 F 60 G 70 OPGAVE 2.18 Beantwoord de vragen. a Van hoeveel getallen is 18 een veelvoud? b Wat is de priemontbinding van 18? c Bevatten de veelvouden waaruit het getal 18 is opgebouwd priemgetallen? Zo ja, welke? d Hoe kun je vanuit de veelvouden van 18, 18 ontbinden in priemfactoren? OPGAVE 2.19 De echte delers van het getal 12 zijn 2, 3, 4 en 6. De getallen 1 en 12 horen daar niet bij. Minoes zoekt de getallen met de eigenschap dat de grootste echte deler vijftien keer zo groot is als de kleinste echte deler. Hoeveel van die getallen zijn er? A 0 B 2 C 3 D oneindig 21 21

23 DOMEIN Rekenen 1.3 Breuken optellen en aftrekken In deze paragraaf leer je: de begrippen teller, noemer en breuk gebruiken; breuken vereenvoudigen, optellen en aftrekken; breuken vergelijken; een breuk omzetten in een decimaal getal. UITLEG 1 De linker rechthoek is in twaalf gelijke vierkantjes verdeeld. Zeven daarvan zijn gekleurd. Dat is 7 12 deel. In deze breuk is 7 de teller en 12 de noemer. De noemer is de naamgever: het zijn twaalfde delen, kortweg twaalfden. De teller telt hoeveel twaalfden er zijn: er zijn zeven twaalfden. Bekijk ook de rechter rechthoek. Je ziet: De breuken en 24 zijn dus gelijk = Zo geldt ook: 2 5 = 4 10 = 6 15 = 8 20 = Je kunt teller en noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigen zonder dat de waarde van de breuk verandert. Omgekeerd is 8 20 gelijk aan 2 5, dus je kunt teller en noemer ook door hetzelfde getal delen zonder dat de waarde van de breuk verandert. Het vereenvoudigen van een breuk is het zoeken naar een gelijke breuk met de kleinst mogelijke teller en noemer. Heb je behalve 7 12 deel ook nog twee gehelen, dan is dat samen Dat schrijf je als Dit laatste is eigenlijk een hele rare notatie: een plusteken mag je eigenlijk nooit weglaten, dan is niet duidelijk hoe je moet rekenen! 22 22

24 23 23 HOOFDSTUK 1 Rekenen 23 OPGAVE 3.1 Bekijk de figuren. a b Geef met een breuk aan welk deel van de figuren gekleurd is. Wat zijn de tellers en wat zijn de noemers van de breuken? c Leg met behulp van beide figuren uit waarom 3 4 = OPGAVE 3.2 Noteer het ontbrekende getal. a 1 4 = d = 1 3 b 2 3 = e = c = f 6 14 = OPGAVE 3.3 Teken de breuk a Wat ontbreekt er als je schrijft? b Waarom is = 7 4? c Hoeveel twaalfden is 1 3 4? UITLEG 2 Gelijknamige breuken kun je eenvoudig bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken: = = 3 7 Als breuken niet gelijknamig zijn, moet je ze eerst gelijknamig maken: = = = =

25 DOMEIN Rekenen OPGAVE 3.4 Bereken en vereenvoudig daarna zo veel mogelijk. a b c d OPGAVE 3.5 Bekijk de figuur. Het gaat om de breuken 1 2 en 3 8. a Beide breuken zijn niet gelijknamig. Ze hebben een andere noemer. Op grond van de figuur zijn ze wel gemakkelijk gelijknamig te maken. Waarom? b Hoeveel is dus ? c Hoeveel is ? Voorbeeld 1 Hoeveel is =? Antwoord = = = 5 6 Denk er wel om dat beide breuken delen van hetzelfde geheel moeten zijn! De noemers van de breuk moeten hetzelfde zijn. OPGAVE 3.6 Bekijk het voorbeeld. a Maak een tekening bij b Waarom moeten de twee rechthoeken waarvan je 2 5 en 1 4 deel hebt aangegeven even groot zijn? c Waarom maak je de ene verdeling horizontaal en de andere verticaal? d Bereken Je kunt ook berekenen met de rekenmachine. Je hebt behalve de toetsen voor de cijfers alleen de toetsen en nodig. e Wat is dan de uitkomst van deze optelling? 24 24

26 25 25 HOOFDSTUK 1 Rekenen 25 OPGAVE 3.7 Bereken zonder rekenmachine. Geef je antwoord als breuk. a b c d e Voorbeeld = = = = = = = = Je kunt ook je rekenmachine gebruiken bij het rekenen met breuken. Je gebruikt dan de breukentoets om breuken in te voeren. Hier zie je hoe dat gaat bij : Dit levert meteen op. OPGAVE 3.8 Bekijk de optelling a b c d Gebruik eerst je rekenmachine. Bereken het antwoord in decimalen zonder de breukentoets te gebruiken. Doe dit nog eens, maar nu met de breukentoets. Ga na of de uitkomsten overeenkomen. Je moet dit ook zonder rekenmachine kunnen. Voer de berekening handmatig uit. Heb je bij het gelijknamig maken beide breuken omgezet naar vierentwintigsten? Waarom is dat niet nodig? OPGAVE 3.9 Bekijk de aftrekking a b c Gebruik eerst je rekenmachine. Bereken het antwoord in decimalen zonder de breukentoets te gebruiken. Denk om de juiste manier van invoeren van vooral de tweede breuk! Doe dit nog eens, maar nu met de breukentoets. Ga na of de uitkomsten overeenkomen. Je moet dit ook zonder rekenmachine kunnen. Voer de berekening handmatig uit

27 DOMEIN Rekenen Voorbeeld 3 Van de dertig leerlingen in klas 1B komt 2 5 deel met de fiets en 1 6 deel met de bus. De rest is lopend. Dat betekent dat = = deel met een vervoermiddel komt. En dus komt deel lopend. Van de twintig leerlingen in klas 1A komt 1 2 deel lopend. Van de 25 leerlingen van klas 1C komt 2 5 deel lopend. Je kunt nu niet beide breuken optellen om te bepalen welk deel van beide klassen samen lopend komt. Beide breuken slaan niet op hetzelfde geheel. De ene breuk hoort bij 1A met twintig leerlingen, de andere bij 1C met 25 leerlingen. Toch kun je wel uitrekenen dat 4 9 deel van 1A en 1C samen lopend komt. OPGAVE 3.10 Bekijk het voorbeeld. a Laat zien dat deel van klas 1B lopend naar school komt. b c Waarom is in dit geval het optellen van de twee breuken 2 5 en 1 6 zinvol? Laat zien dat 4 9 deel van de leerlingen van 1A en 1C gezamenlijk lopend naar school komt. OPGAVE 3.11 Mattijs is jarig en heeft voor zijn verjaardag twee even grote taarten gebakken: een kwarktaart en een appeltaart. De kwarktaart verdeelt hij in zes gelijke stukken en de appeltaart in acht gelijke stukken. a Mattijs heeft tien vrienden uitgenodigd. Drie vrienden eten een stuk kwarktaart en zeven een stuk appeltaart. Welk deel van elke taart is er nog over? b Marije heeft een stuk kwarktaart gekozen en Samir een stuk appeltaart. Welk deel van een hele taart heeft Marije meer dan Samir? c s Avonds komen de grootouders van Mattijs. Opa eet een stuk kwarktaart en oma een stuk appeltaart. Het hoeveelste deel van de taarten hebben ze samen opgegeten? d Bij welke van de vragen is het belangrijk dat beide taarten even groot zijn? Voorbeeld 4 Je weet: 1 10 = 0, = 0, = 0, 12 Breuken met als noemer 10, 100, kun je als decimaal getal schrijven

28 27 27 HOOFDSTUK 1 Rekenen 27 Ook andere breuken kun je als decimaal getal schrijven: 1 2 = = 5 10 = 0, = = = 0, =... = 1000 = 0, 375 Met de rekenmachine kan dit sneller. De deling 3 8 levert meteen 0, 375 op. OPGAVE 3.12 Schrijf de breuken als decimale getallen. a 1 4 b 2 5 c 7 8 d e f OPGAVE 3.13 Een lot in de Staatsloterij kost 15, 00 wanneer je meespeelt voor de jackpot. Speel je niet mee voor de jackpot, dan kost een lot 13, 00. Veel mensen kiezen ervoor om geen heel lot te kopen maar een 1 5 lot. a b c Hoeveel kost 1 5 lot als je voor de jackpot meespeelt? Hoeveel kost 1 5 lot als je niet voor de jackpot meespeelt? Waarom zullen mensen vaak liever meerdere 1 5 loten kopen dan een heel lot? OPGAVE 3.14 VERWERKEN Bereken zonder rekenmachine. 3 a b c d OPGAVE 3.15 Anneke, Henk en Frits verdelen een taart. Frits neemt 2 3 deel van de taart en Anneke snijdt bescheiden 1 12 deel van de taart af. Welk deel van de taart blijft er over voor Henk? 27 27

29 DOMEIN Rekenen OPGAVE 3.16 Schrijf de breuken als decimale getallen. a 3 5 b c d OPGAVE 3.17 Voer de berekeningen uit met de rekenmachine, maar zonder gebruik te maken van de breukentoets. Geef je antwoorden als exacte decimale getallen. 4 a b OPGAVE 3.18 In een stad is 1 3 deel van de mannen boven de veertig jaar en 1 7 deel van de vrouwen is boven de veertig jaar. Er zijn even veel mannen als vrouwen. a Welk deel van de mensen in die stad is boven de veertig jaar? b Waarom kun je het antwoord alleen berekenen wanneer er even veel mannen als vrouwen in deze stad wonen? OPGAVE 3.19 Schilder A kan een huis in vijf uur schilderen en schilder B kan dit in drie uur. a Welk deel van het huis kunnen beide schilders samen in een uur schilderen? b Waarom moet het steeds over hetzelfde (of een zeer vergelijkbaar) huis gaan? c Hoeveel tijd hebben beide schilders samen nodig om het huis te schilderen? d Schilder C schildert het huis in 3, 5 uur. Welk deel van het huis schilderen B en C in één uur? e Hoeveel tijd hebben schilders B en C nodig om het hele huis te schilderen? f Hoeveel tijd hebben alle drie de schilders gezamenlijk nodig om het hele huis te schilderen? OPGAVE 3.20 De volgende puzzel is afkomstig uit Puzzles, old and new van professor Hoffman uit Stel met behulp van de cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 twee breuken samen waarvan de som 1 is. Elk cijfer moet precies één keer worden gebruikt. OPGAVE 3.21 Diophantus van Alexandrië was een Grieks wiskundige die omstreeks 250 jaar na het begin van onze jaartelling leefde. Diophantus jeugd duurde een zesde deel van zijn leven. Zijn baard begon een twaalfde deel later te groeien. Hij trouwde een zevende deel van zijn leven later en zijn zoon werd vijf jaar daarna geboren. Die zoon leefde de helft van Diophantus leeftijd. Diophantus stierf vier jaar na zijn zoon. Hoe oud was Diophantus toen hij overleed? 28 28

30 29 29 HOOFDSTUK 1 Rekenen Breuken vermenigvuldigen en delen In deze paragraaf leer je: breuken vermenigvuldigen; breuken delen. UITLEG 1 Hoe bereken je 2 7 x 3 5? 3 5 deel van 35 kun je als volgt berekenen: 1 5 deel van 35 is 7; 3 5 deel is 3 keer 1 5 deel, dus 3 7 = Verder rekenend met dit 3 5 deel (= 21), kun je 2 7 deel van 3 5 als volgt berekenen: = 6; 6 is 6 35 deel van 35. Je ziet dat 2 7 van 3 5 hetzelfde is als Dus: = = Zo kun je breuken vermenigvuldigen: je vermenigvuldigt de tellers met elkaar en je vermenigvuldigt de noemers met elkaar. OPGAVE 4.1 Teken een rechthoek op een blanco stuk papier. a Verdeel de rechthoek in vier even brede verticale stroken. Kleur drie van die stroken blauw. Welk deel van de rechthoek heb je nu gekleurd? b Verdeel de rechthoek nu in zes even brede horizontale stroken. Kleur vijf van die stroken rood. Welk deel van de rechthoek heb je nu rood gekleurd? c Welk deel van de rechthoek is nu zowel rood als blauw gekleurd? OPGAVE 4.2 Je wilt de breuken 1 2 en 3 8 vermenigvuldigen. a Breng die vermenigvuldiging in beeld met behulp van een rechthoek. b Bereken:

31 DOMEIN Rekenen UITLEG 2 Als je een getal deelt door een breuk, kijk je hoe vaak die breuk in dat getal past. Zo kun je de uitkomst van 14/ 1 2 voorstellen als het antwoord op de vraag: hoeveel halve euro s passen er in 14 hele euro s? Je ziet dan dat 14/ 1 2 = 28. Je kunt ook twee breuken op elkaar delen. Een munt van 0, 50 is 1 2 euro. Een munt van 0,10 is 1 10 euro. Stel, je wilt weten hoeveel munten van 0, 10 er gaan in een munt van 0, Dan reken je eigenlijk uit: 2 / De uitkomst is 5, zoals je wel weet. Dus: 1 2 / 1 10 = 5. Dit komt omdat 1 2 = Dus: 1 2 / 1 10 = 5 10 / 1 10 = 5 1 gelijknamig te maken. = 5. Je ziet dat het handig is om beide breuken Als je twee breuken op elkaar wilt delen, maak je ze eerst gelijknamig. OPGAVE 4.3 Je hebt taart. Je geeft iedereen 1 6 deel van een taart. a Hoeveel personen kun je een stuk taart geven? b Maak beide breuken gelijknamig. Leg nu uit hoe je aan beide breuken kunt zien wat het antwoord op vraag a is. OPGAVE 4.4 Je wilt 12 door 3 8 delen. a Maak van 12 ook een breuk en maak daarna beide breuken gelijknamig. b Leg uit dat 3 8 precies 32 keer in 12 past. c Hoeveel is 12/ 3 8? Voorbeeld 1 Je wilt 3 4 deel van een halve pizza eten. Je ziet aan de figuur dat je dan 3 8 deel van de hele pizza opeet. Je kunt dit ook zo uitrekenen: = = 3 8. Ook kun je de breukentoets van je rekenmachine gebruiken:

32 31 31 HOOFDSTUK 1 Rekenen 31 OPGAVE 4.5 Bekijk het voorbeeld. a Hoe vermenigvuldig je twee breuken met de hand? b Voer zelf de berekening met de breukentoets uit. Je kunt ook exact berekenen met de rekenmachine zonder de breukentoets te gebruiken. Je hebt daarvoor en nodig. c Wat is dan de uitkomst van deze vermenigvuldiging? OPGAVE 4.6 Bekijk de vermenigvuldiging a b c Voer de vermenigvuldiging met de hand uit. Kun je de breuk nog vereenvoudigen? Je kunt ook vereenvoudigen voordat je de tellers en de noemers vermenigvuldigt. Laat zien hoe dat gaat. Voorbeeld 2 Soms zijn er ook gehele getallen betrokken bij de vermenigvuldiging. Die werk je dan eerst weg door er breuken van te maken bereken je zo: = = = = = = = OPGAVE 4.7 Bekijk de vermenigvuldiging a Breng die vermenigvuldiging in beeld met behulp van een rechthoek van bij b Leg met behulp van die rechthoek uit waarom je niet gewoon 3 1 en kunt uitrekenen en waarom je dit niet bij elkaar kunt optellen. c Bepaal de juiste uitkomst met behulp van je figuur. d Bepaal de juiste uitkomst nog eens door eerst de gehele getallen weg te werken. Voorbeeld 3 12/ 1 2 = 24 2 / 1 2 = 24 1 = / 2 7 = 16 3 / 2 7 = / 6 21 = = / 2 3 = 15 3 / 2 3 = 15 2 = Die delingen kun je ook op de rekenmachine maken met behulp van de breukentoets. 5/ 2 3 gaat dan zo: 31 31

33 DOMEIN Rekenen OPGAVE 4.8 a b Bereken zelf 8/ 2 3 door gelijknamig te maken. Voer deze berekening met de breukentoets uit. Je kunt 8/ 2 3 ook exact berekenen met de rekenmachine zonder de breukentoets te gebruiken. Je hebt behalve de toetsen voor de cijfers alleen deze toetsen nodig: c Wat is dan de uitkomst van deze deling? OPGAVE 4.9 Bereken zonder rekenmachine en geef je antwoord als geheel getal of als breuk. a 10/ 1 5 b 10/ 2 5 c 10/1 3 5 d 17/4 1 4 OPGAVE 4.10 VERWERKEN Bereken zonder rekenmachine. Geef je antwoord als breuk. a b c d e OPGAVE 4.11 Bereken zonder rekenmachine. a 3 5 / 2 3 b /1 3 5 c /2 5 6 d 3 10 /3 1 3 OPGAVE 4.12 Bereken zonder rekenmachine. 3 a b c d

34 33 33 HOOFDSTUK 1 Rekenen 33 OPGAVE 4.13 Stel dat een op de acht werkende Nederlanders bij een bouwbedrijf werkt en dat van hen 2 10 deel op kantoor werkt. Welk deel van alle werkende Nederlanders werkt dan op kantoor bij een bouwbedrijf? Je moet nu 2 10 deel van 1 8 deel 2 uitrekenen: = 2 80 = Dus een op de veertig werkende Nederlanders werkt bij een bouwbedrijf op kantoor. Geef bij elk van de opgaven net zo n uitgebreide toelichting. a Welk deel van de werkende Nederlanders werkt wel bij een bouwbedrijf, maar niet op kantoor? b Van de totale beroepsbevolking zijn er drie op de tweehonderd werkloos. Stel, een stad heeft een beroepsbevolking van mensen. Hoeveel van hen zijn er werkloos? OPGAVE 4.14 Zo n 9 miljoen Nederlanders doen aan sport. Elk jaar moet een op de vijf sporters medisch worden behandeld. 1 6 deel van alle sportblessures zijn knieblessures. a Het hoeveelste deel van alle 16 miljoen Nederlanders doet aan sport? b Het hoeveelste deel van alle Nederlanders moet voor een sportblessure worden behandeld? c Hoeveel sportende Nederlanders krijgen in de loop van het jaar een knieblessure? Schrijf je berekening op. OPGAVE 4.15 Als je naar Engeland op vakantie gaat, moet je met Engelse ponden betalen. Elke Engelse pond is tegenwoordig 100 pence: 1, 00 = 100 p. Vroeger was dat anders. Tot Engeland overging op het decimale stelsel in 1971, was een pond 240 pence of 20 shilling waard. Een shilling was dus 12 pence waard. Dit maakte het omrekenen van bedragen voor toeristen erg moeilijk. a Welk deel van een shilling was 1 penny (enkelvoud van pence)? b Stel, je ziet iets wat je graag wilt kopen. Het kost 12, 00. Je kunt 3 4 deel in één keer betalen met hele ponden. In je spaarpot zit nog 40 shilling en 200 pence. Hoeveel moet je nog sparen voordat je je aankoop kunt doen? OPGAVE 4.16 Er is een mobiel in evenwicht te zien. De staafjes en de draadjes wegen niets. Het totale gewicht van de mobiel is 80 gram. Hoeveel gram weegt de ster? 33 33

35 DOMEIN Rekenen 1.5 Afronden en schatten In deze paragraaf leer je: getallen afronden en/of de orde van grootte ervan aangeven; uitkomsten schatten. UITLEG 1 Als je een getal wilt afronden op twee decimalen nauwkeurig, dus op twee cijfers achter de komma, dan kijk je naar de derde decimaal. Is de derde decimaal een 0, 1, 2, 3 of 4, dan rond je de tweede decimaal af naar beneden (hij blijft gelijk): 17, , 78 0, , 67 Is de derde decimaal een 5, 6, 7, 8 of 9, dan rond je de tweede decimaal af naar boven (je telt er 1 bij op): 12, , 79 0, , 68 Het teken = betekent: is precies gelijk aan. Het teken betekent: is ongeveer gelijk aan. Als je een getal afrondt, gebruik je dus. Als er afgerond wordt, dan wordt er in één keer afgerond. Dat betekent dat als bijvoorbeeld 2, 49 wordt afgerond op een geheel getal, je alleen naar het eerste cijfer na de komma kijkt, hier dus de 4. Het maakt niet uit of het getal na de 4 een 0 of een 9 is. 2, 49 2 Let op! Soms moet je ook logisch nadenken voor je iets afrondt. Je rondt in de praktijk niet altijd af naar het getal dat het dichtst in de buurt van je uitkomst ligt: Marieke is 15 jaar en 11 maanden oud. Ze mag nog niet op een brommer rijden, want ze is nog geen 16. Haar leeftijd wordt naar beneden afgerond. Voor het bakken van zeven grote pizzabodems heb je 1100 gram bloem nodig. Bloem wordt verkocht in pakken van 1000 gram. Als je zeven pizzabodems wilt bakken, koop je niet één, maar twee pakken bloem. Het aantal pakken bloem wordt naar boven afgerond

36 35 35 HOOFDSTUK 1 Rekenen 35 OPGAVE 5.1 Ayse heeft voor aardrijkskunde een 6 op haar rapport. Maar ze staat gemiddeld niet precies een 6. a Welk cijfer staat Ayse minstens gemiddeld? b Welk cijfer heeft Ayse hoogstens gemiddeld voor aardrijkskunde? OPGAVE 5.2 1,19 1,20 1,1936 5,0 5,1 5,059 Leg aan de hand van de figuren uit waarom: a 1, 1936 op drie decimalen afgerond gelijk is aan 1, 194. b 1, 1936 op twee decimalen afgerond gelijk is aan 1, 19. c 5, 059 op twee decimalen afgerond gelijk is aan 5, 06. d 5, 059 op één decimaal afgerond gelijk is aan 5, 1. OPGAVE 5.3 Gebruik het ongeveerteken. Rond af op vier decimalen. a 0, b 32, OPGAVE 5.4 Gebruik het ongeveerteken. Bereken en rond je antwoord af op twee decimalen. a 3 0, , 052 b 3 0, , 052 c 0,36 9,15 d 9,15 0,36 UITLEG 2 Schatten betekent dat je voordat je een som gaat maken, de begingetallen zo afrondt, dat je de som uit je hoofd kunt maken. Je antwoord ligt dan in de buurt van de exacte uitkomst, maar is bijna nooit precies goed. Je gebruikt schatten bijvoorbeeld om uit te rekenen hoeveel iets ongeveer gaat kosten of hoeveel verf je ongeveer nodig hebt om je kamer te schilderen. Het is namelijk lastig om uit je hoofd met decimale getallen te rekenen. Dan rond je zo n getal af op het dichtstbijzijnde gehele of halve getal en kun je een schatting maken. Bij berekeningen op je rekenmachine is het verstandig om van tevoren de uitkomst te schatten. Zo kun je de uitkomst gemakkelijk controleren en voorkom je dat je bijvoorbeeld een fout antwoord hebt vanwege een tikfoutje. Soms is het handig om ruim te schatten. Dan rond je alle getallen naar boven af. Je hebt natuurlijk geen zin om een dagje naar een pretpark te gaan en dan geen geld meer te hebben om wat te drinken of te eten te kopen. Soms geef je alleen aan dat een getal tussen de 100 en de 1000 of tussen de 1000 en de ligt. Dit heet: de orde van grootte

37 DOMEIN Rekenen OPGAVE 5.5 Bij de volgende opgaven ontbreekt in het antwoord de komma. Zet de komma op de juiste plaats door het antwoord te schatten. a 879, , 75 = b 4376, , 24 = c 4, 58 16, 2 = d , 5 = ,298 e 13,7 = 4754 f 126, ,2 = OPGAVE 5.6 Je gaat met drie vrienden pizza eten. Jullie eten twee Margherita s van 14, 95 per stuk en twee Marinara s van 16, 50 per stuk. Verder drinken jullie alle vier een glas fris van 2, 75 per stuk. a Schat hoeveel dit samen gaat kosten. b Heb je aan 75, 00 genoeg als je alles in één keer wilt afrekenen? OPGAVE 5.7 Bepaal de orde van grootte van het antwoord. a b 0, c d 0, Voorbeeld 1 Afronden betekent dat je een getal eenvoudiger schrijft. Je wilt jouw rapportcijfer berekenen uit proefwerken en overhoringen. Het hangt er dan van af hoe vaak deze meetellen om je cijfer te kunnen bepalen. Een overhoring telt één keer mee en een proefwerk drie keer. Nu je dit weet, deel je de uitkomst door het totaal aantal keren dat iets meetelt. Je hebt voor wiskunde de volgende cijfers gehaald: proefwerken: 7, 5 en 6, 9 en 8, 1 overhoringen: 8, 0 en 5, 4 Je telt eerst alle cijfers bij elkaar op en houdt er daarbij rekening mee, hoe vaak een cijfer meetelt: 3 7, , , , , 4 = 80, 9 Dit deel je door het aantal keren dat de cijfers meetellen, namelijk door: = ,9 11 7, Je rapportcijfer is afgerond op één decimaal een 7, 4. Je rapportcijfer is afgerond op gehele getallen een

38 37 37 HOOFDSTUK 1 Rekenen 37 OPGAVE 5.8 Andries heeft voor het vak Nederlands twee proefwerken en drie schriftelijke overhoringen gemaakt en één spreekbeurt gehouden. Voor zijn proefwerken had hij een 7, 8 en een 6, 4 en voor de schriftelijke overhoringen een 4, 2, een 7, 3 en een 8, 1. De spreekbeurt was een 8. Voor het rapportcijfer tellen de proefwerken drie keer zo zwaar en telt de spreekbeurt twee keer zo zwaar als een schriftelijke overhoring. De schriftelijke overhoringen tellen elk een keer mee. a Bereken het gemiddelde rapportcijfer afgerond op één decimaal. b Bereken het rapportcijfer afgerond op een geheel getal. OPGAVE 5.9 Jaaps rapportcijfer voor geschiedenis is gebaseerd op twee even zwaar tellende cijfers: een 6, 3 en een 6, 6. a Bereken Jaaps gemiddelde. Rond af op één decimaal. b Welk heel cijfer krijgt Jaap op zijn rapport? Voorbeeld 2 Vaak is het handig om eerst een schatting van een deel te maken en dan het totaal te schatten. Een Italiaans restaurant wil weten hoeveel pizza s men per maand verkoopt. Ze tellen drie dagen hoeveel pizza s ze verkopen en vermenigvuldigen dat aantal met 10. Je wilt weten hoeveel spaghetti er nodig is voor veertien personen. Een handvol spaghetti geeft een schatting van de hoeveelheid spaghetti voor één persoon. Die hoeveelheid vermenigvuldig je dan met 14. Soms maak je een schatting door te vergelijken met een afmeting die je kent. Je weet hoe lang je zelf bent. Dus zal een deur ongeveer 2 meter hoog zijn. Een deur is ongeveer 2 meter. Dus de verdiepingen van een flat zullen tussen 2, 5 meter en 3 meter in zitten. Een flat van tien verdiepingen zal dus zo n kleine 30 meter hoog zijn. OPGAVE 5.10 OPGAVE 5.11 Controleer de uitspraken door een schatting te maken. Kruis de juiste uitspraken aan. A Het antwoord op 1624, 5 13, 95 heeft een orde van grootte tussen 1000 en B Het antwoord op 1624,5 13,95 heeft een orde van grootte tussen 100 en Maak eerst een schatting van het antwoord en reken vervolgens het antwoord uit. a 39, b 753, 14 25, 5 c 682,5 250 d ,

39 DOMEIN Rekenen OPGAVE 5.12 Maak een schatting van de hoogte van het flatgebouw. Licht je antwoord toe. OPGAVE 5.13 VERWERKEN Rond de getallen af op twee decimalen. a 4, 5549 b 12, 506 OPGAVE 5.14 Bob moet voor drie personen broodjes kopen. Ieder wil vier broodjes. De broodjes zijn per vijf stuks verpakt in een zak. a Hoeveel zakken broodjes moet Bob kopen? b Een zak broodjes kost 2, 90. Hoeveel moet Bob ongeveer betalen? OPGAVE 5.15 Monique heeft voor haar verjaardag vier cakes gebakken. Uit elke cake snijdt ze acht plakken. Ze wil op haar verjaardag drie keer met cake rondgaan en ze neemt zelf dan ook telkens een plak cake. a Hoeveel vriendinnen kan ze uitnodigen? b Voor het bakken van een cake heeft Monique een pak bloem nodig van 0, 46, een pak suiker van 1, 09 en vier eieren (een doosje van zes eieren kost 2, 85). Hoeveel moet ze ongeveer betalen voor de ingrediënten? OPGAVE 5.16 Bereken. Maak eerst een schatting van het antwoord. a 31, 5 + 2, 8 b 31, 5 2, 8 c 31, 5 2, 8 d 31,5 2,