Het Breukenboek. Leer beter rekenen met breuken Voor leerlingen vanaf het voortgezet onderwijs. Ingrid Lundahl

Transcriptie

1 Het Breukenboek Leer beter rekenen met breuken Voor leerlingen vanaf het voortgezet onderwijs Ingrid Lundahl

2 Breuken inleiding In dit hoofdstuk leer je wat breuken zĳn, hoe je breuken moet vereenvoudigen en wat combinatiebreuken zĳn. 1

3 voorwoord Voor wie is dit boek bestemd Dit breukenboekje is bestemd voor leerlingen in het voortgezet onderwijs of hoger. Deze leerlingen zijn al bekend met breuken, maar weten er misschien toch niet echt goed mee te rekenen. Verwacht in dit boekje dan ook geen kinderlijke voorbeeldjes met pizza's of taarten. Hopelijk zijn de gebruikers van dit boekje dat stadium voorbij. Over dit boekje Voor ieder rekenkundig onderdeel is er een heldere uitleg met voorbeelden, gevolgd door een aantal opgaven om zelf aan de slag te gaan. In hoofdstuk 5, na alle rekenkundige bewerkingen te hebben behandeld, volgen er vele extra opgaven. Een ster voor normale opgaven, twee sterren voor wat moeilijkere opgaven. In hoofdstuk 6 de volledige uitwerkingen van alle opgaven. Hoe dit boekje door werken In de bijna 30 jaar docent wiskunde en informatica heb ik talloze digitale breukenprogramma's voorbij zien komen. Mooi, grappig, leuk of niet om aan te zien. Maar hoe dan ook, ik heb er nog nooit één gezien waar je echt van leerde rekenen. Er is echt slechts één manier om goed te leren rekenen. Dat is met potlood en papier. Dan weet je wat je doet en gebeurt er niet iets vaags achter de schermen van een programma. Schaf dus maar een lekker dik schrift aan. Bij de opgaven wordt steeds gevraagd alle tussenstappen op te schrijven. Dat is belangrijk, zo kan bij een fout antwoord goed worden nagegaan waar de fout zit. Werk het boekje rustig en serieus door. Ga niet verder als je een stap niet begrijpt. Na het doorwerken zul je nooit meer bang voor breuken zijn en ga je waarschijnlijk net als ik van ze houden. Ingrid Lundahl

4 Wat is een breuk, breuken vereenvoudigen Een breuk is een gebroken getal. Dat wil zeggen, als bijvoorbeeld een deling niet mooi uitkomt, kan het antwoord als een breuk worden geschreven. Een breuk bestaat uit een teller, een noemer en een breukstreep. Je mag teller en noemer altijd met hetzelfde getal vermenigvuldigen. De waarde van de breuk verandert dan niet. voorbeeld 1: voorbeeld 2: Je mag teller en noemer ook altijd door hetzelfde getal delen. Ook dan verandert de waarde van de breuk niet. Voorbeeld 3: voorbeeld 4: Dit laatste noemen we vereenvoudigen. Als het antwoord van een berekening een breuk is, dan moet die breuk altijd zoveel mogelijk worden vereenvoudigd. Opgave : vereenvoudig de volgende breuken zoveel mogelijk 3

5 Combinatie breuken Breuken als worden ook wel combinatiebreuken genoemd. Ze bestaan namelijk uit een combinatie van een geheel getal en een breuk. Soms is het handiger, of zelfs wenselijk, om met een echte breuk te werken en soms is een combinatiebreuk handiger. Dat ligt geheel aan de rekenkundige bewerking die moet worden uitgevoerd. Van een combinatie een echte breuk maken. Om van een combinatie een echte breuk te maken moet je de hele met de noemer vermenigvuldigen en het resultaat optellen bij de teller. Dat klinkt ingewikkelder dan het is, kijk maar goed naar de volgende voorbeelden: wordt dan wordt dan reken maar na Opgave : maak van de volgende combinaties echte breuken: Het omgekeerde kan natuurlijk ook. 4

6 Van een echte breuk een combinatie maken. Als van een echte breuk de teller groter is dan de noemer kan er een combibreuk van worden gemaakt. We noemen dat ook wel helen uithalen. Kijk hoe vaak de noemer in de teller past en wat dan overblijft. Kijk maar goed naar volgende voorbeelden en reken ze na: wordt dan wordt dan natuurlijk vereenvoudigen als het mogelijk is. Wordt 12 Opdracht Maak van de volgende breuken echte combibreuken Vergeet niet te vereenvoudigen als het mogelijk is 5

7 Kleinste Gemene Veelvoud (KGV) In dit hoofdstuk leer wat het kleinste gemene veelvoud is van een aantal getallen. Dit begrip is nodig voor het optellen en aftrekken van breuken. 6

8 Kleinste Gemene Veelvoud (KGV) Voordat we verder gaan met optellen en aftrekken van breuken moet je eerst goed weten wat een KGV is. Wat is een veelvoud: Veelvouden van 3 zijn bijvoorbeeld: 3, 6, 9, 12, 15, 18, enz Veelvouden van 2 zijn bijvoorbeeld: 2, 4, 6, 8, 12, 18, enz Veelvouden die 2 en 3 gemeen hebben zijn: 6, 12 en 18. ( gemeen hebben wil zeggen: die het zelfde zijn) Daarvan is 6 de kleinste. Er bestaat dus geen kleiner getal dat zowel door 2 als door 3 deelbaar is. We noemen 6 dan het Kleinste Gemene Veelvoud van 2 en 3. voorbeeld 1: het KGV van 8 en 10 dat is 40 want er bestaat geen kleiner getal dat zowel door 10 als door 8 gedeeld kan worden. voorbeeld 2: het KGV van 4 en 12 dat is 12 want er bestaat geen kleiner getal dat zowel door 4 als door 12 gedeeld kan worden. Opgave Bepaal van de volgende getallen het KGV. Schrijf steeds een aantal veelvouden op van de getallen, het eerste veelvoud dat je tegenkomt die bij beide hetzelfde is, is dus het KGV 3 en 7 14 en 21 2, 3 en 4 2, 6 en 7 6 en 8 36 en 180 2, 3 en 5 4, 8 en 15 5 en en 6 4, 6 en 9 3, 5 en en en 100 2, 11 en 14 2, 4 en 9 12 en en 16 5, 9 en 15 4, 20 en 36 7

9 Optellen en Aftrekken In dit hoofdstuk leer je, zoals de titel doet vermoeden, optellen en aftrekken. Maar vooral eerst het absoluut nodige gelĳknamig maken van de breuken, anders kan er niet opgeteld worden. Verder leer je dat met aftrekken het soms nodig is een 'hele te lenen' 8

10 Optellen Nu je weet hoe het KGV werkt kunnen we beginnen met het optellen van breuken. Als je het nog net heel goed door hebt lees dan het vorige hoofdstuk nog een goed door. Breuken mogen alleen bij elkaar worden opgeteld als de noemers gelijk zijn. Bijvoorbeeld: of Maar kan niet zo maar worden opgeteld. De noemers zijn immers niet gelijk. Eerst moet ervoor gezorgd worden dat deze wel gelijk zijn. We noemen dat gelijknamig maken. Bij het gelijknamig maken zoeken we naar het Kleinste Gemene Veelvoud van de noemers. voorbeeld: = eerst noemers gelijk maken. we zoeken dus naar het kleinst mogelijke getal dat zowel deelbaar is door 4 als door 6, in dit voorbeeld is dat 12. wordt en wordt Je mag immers teller en noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigen. De waarde van de breuk verandert dan niet De hele som wordt nu: Het middenstukje noemen we de tussenstap. Vergeet niet als het kan je antwoord te vereenvoudigen. 9

11 Opdracht zijn de noemers gelijk, dan gewoon optellen zijn de noemers niet gelijk, dan eerst gelijknamig maken schrijf de tussenstappen op vereenvoudig je antwoord als het mogelijk is 10

12 Aftrekken Aftrekken van breuken gaat op dezelfde manier als het optellen. Dus ook hier geldt: pas aftrekken als de breuken gelijknamig zijn. Opgave: eerst gelijknamig maken indien nodig schrijf de tussenstappen op vereenvoudig je antwoord als het mogelijk is Een hele lenen Soms lukt het aftrekken niet zomaar in één keer: We moeten hier van de 4 een hele 'lenen' Bedenk dat je het getal 1 kunt schrijven als: In bovenstaand voorbeeld moeten we van de hele die we hebben geleend maken. wordt dan nu kan er wel worden afgetrokken 11

13 Opdracht 12

14 Vermenigvuldigen en Delen Behalve vermenigvuldigen en delen leer je in dit hoofdstuk hoe je kruislings moet vermenigvuldigen en dat delen hetzelfde is als vermenigvuldigen met het omgekeerde 13

15 Vermenigvuldigen en kruislings vereenvoudigen Om breuken met elkaar te vermenigvuldigen is het niet nodig deze eerst gelijknamig te maken Wel moet je eerst van een combibreuk een echte breuk maken. Dan kun je de tellers en de noemer met elkaar vermenigvuldigen Voorbeelden: Merk op dat je 6 kunt schrijven als Als je van combibreuken echte breuken moet maken kunnen de getallen nog wel eens groot uitvallen, dat is met vermenigvuldigen best lastig. Je kunt dan kijken of je door kruislings te vereenvoudigen de getallen kleiner kunt krijgen. Kruislings vereenvoudigen Eerst een echte breuk maken van de combibreuk Kijk dan of je kruislings door hetzelfde getal kunt delen, Dat wil zeggen: de teller van de ene breuk en de noemer van de andere breuk 6 en 22 beide deelbaar door 2 5 en 25 beide deelbaar door 5 En dat maakt de vermenigvuldiging toch een stuk sympathieker. 14

16 Opgave Maak eerst, indien nodig, van een combi een echte breuk Kijk of je kruislings kunt vermenigvuldigen Schrijf de tussenstappen op Vereenvoudig je antwoord als het mogelijk is 15

17 Delen In principe leer je helemaal niets nieuws. Als je het vermenigvuldigen goed onder de knie hebt lukt het delen ook, want... delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde Om het omgekeerde van een breuk te nemen wissel je teller en noemer om. Let op dat je de goede breuk omkeert, dat is de breuk achter het deelteken. Voorbeeld: Let op! Ook hier geldt dat je van een combi eerst een echte breuk moet maken Je mag pas kruislings vereenvoudigen als je van de deling een vermenigvuldiging hebt gemaakt. Voorbeeld: Opgave: Maak indien nodig van een combi een echte breuk Maak van de deling een vermenigvuldiging Eventueel kruislings vereenvoudigen Vereenvoudig je antwoord als het mogelijk is Schrijf alle tussenstappen op 16

18 Extra Opgaven In dit hoofdstuk veel extra opgaven van alle rekenkundige bewerkingen. Eenvoudige met één ster, wat moeilijker met twee sterren en voor de diehards een paar opgaven met drie sterren. Schrijf altijd je tussenstappen op, dat is handiger met nakijken. Vergeet niet je antwoord te vereenvoudigen als het mogelijk is. 17