Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 1

Transcriptie

1 Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk Basis Oefeningen Romeinse cijfers 1 Op deze zonnewijzer staan achtereenvolgens de getallen: I (= 1) II (= 2) III (= 3) IV (= 4) V (= 5) VI (= 6) VII (= 7) VIII (= 8) IX (= 9) X (= 10) XI (= 11) XII (= 12) 2 Deze toren werd gebouwd in We hebben namelijk (50 10) = Van links naar rechts zien we de volgende Romeinse cijfers en decimale getallen: MDCXXXI = 1631 MDCCCII = 1802 MDCCLXI = = MDCCLXXXII MDLXXII = 1572 MDCCLV = 1755 Op de kerktoren zie je uiteraard de getallen 1 t/m 12. Basisvaardigheden en eigenschappen van bewerkingen 4 Of: 7 3 = = = = = = 24 Of: 6 4 = 2, (4 (6 5)) 8 = = 3, 8 3 = van 9

2 Of: 7 7 = 0 7 : 7 = = = = 24 Deze is snel op te lossen: hij is op de volgorde na namelijk gelijk aan de vorige. 7 3 = = = = = = 24 Of: 7 4 = = = = = = = = = 24 Of: 8 2 = = = = = = 24 2 van 9

3 Overigens willen we helemaal niet beweren dat deze lijst met oplossingen alle mogelijkheden uitput. We hebben steeds een of twee van de meest voor de hand liggende gekozen. 5 a 120 : 3 = 40 (groter of kleiner maken bij delen, namelijk verkleind met factor 7). b = 3496 (compenseren/termen veranderen). c = (distributieve of verdeeleigenschap). d = = = = = = 4480 (groter en kleiner maken bij vermenigvuldiging, namelijk met factor 2; zes keer achter elkaar toepassen; eventueel mag dit ook in grotere stappen). e = 2560 (distributieve of verdeeleigenschap). f = 156 (compenseren/termen veranderen). g = = 600 (compenseren/termen veranderen), of = = 600 (ook compenseren/termen veranderen). h 275 : 25 = 11 (groter of kleiner maken bij delen, namelijk verkleind met factor 3). i = 6200 (distributieve of verdeeleigenschap). j : : 13 = = 3002 (distributieve of verdeeleigenschap). Schatten 6 Een verdieping in een kantoor is ongeveer 3 meter hoog, misschien wel iets meer. Er zijn dus 146 : 3 = 48,67 verdiepingen. Volgens de afrondingsregels zou dit neerkomen op 49 verdiepingen. Een schatting tussen de 40 en 50 verdiepingen zou al goed zijn (met een hoogte van 3,5 meter per verdieping kom je uit op 41 verdiepingen). 7 Wanneer je de lift neemt, zou je kunnen denken dat je ongeveer een seconde per verdieping nodig hebt. Dan zou je dus in 47 seconden op de 48 e verdieping zijn of 40 seconden om op de 41 e verdieping te komen. In het echt blijkt het iets langer te duren. Normaal is ongeveer 2,54 m/s (dus minder dan 1 verdieping per seconde); dit is ongeveer 10 km/u. 8 Om te kunnen bepalen hoeveel ruimte deze 187 auto s zullen innemen, moeten we een aanname maken voor wat betreft de grootte van een autoparkeerplaats. Deze zal al snel 5 m bij 2,5 m zijn (misschien zelfs nog wel langer). Per autoparkeerplaats kom je dus al snel uit op 12,5 m 2. Dan zou je dus kunnen berekenen: ,5 m 2. Het gaat hier echter om een schatting, en per blok parkeerplaatsen is ook nog ruimte nodig om eromheen te rijden en erin en eruit te steken. Een ruime parkeerplaats zal dus al snel rekening houden met 20 m 2 per auto. In dat geval kom je uit op = 3740 m 2. 9 Om deze vraag te kunnen beantwoorden moet je een aantal zaken weten: Hoeveel leden zitten er in het parlement? Wat verdient een parlementslid ongeveer? Wat verdient een topvoetballer ongeveer? Het parlement bestaat uit de Tweede en de Eerste Kamer en bestaat dus uit = 225 leden. Een Tweede Kamerlid verdient iets meer dan per jaar en een Eerste Kamerlid ongeveer Ons parlement kost dus bij benadering = per jaar aan salarissen. 3 van 9

4 De best betaalde Nederlandse topspeler in 2013 was Van Persie (ongeveer 12 miljoen per jaar). Hij verdiende dus minder dan het gehele parlement; zelfs minder dan alle leden van de Tweede Kamer alleen. Robben is goede tweede met 9 miljoen per jaar. Samen verdienen ze echter wel meer dan het hele parlement. Rekenmachine 10 a Wanneer je doet, komt er uit. Dat is 187 minder dan Kennelijk heeft de oplosser per ongeluk 356 getypt in plaats van 355. Eigenlijk had je meteen kunnen zien dat het antwoord fout was. Het antwoord moet namelijk eindigen op een 5 (immers: 5 7 = 35 en er komen nog wel tientallen en honderdtallen bij, maar geen eenheden meer). b Wanneer je dit intypt op je rekenmachine kom je uit op 656, Nu weet je dus nog niet helemaal zeker of het antwoord klopt. Trek je van het rekenmachineantwoord echter 656 af en doe je het restant maal 7, dan kom je op een rest van 4 uit. Het officiële antwoord met rest zou dus 656 rest 4 moeten zijn. Het antwoord is dus fout, want de rest mag nooit groter zijn dan de deler. Dat had je trouwens ook direct kunnen zien. c Je weet dat 4 4 = 16, dus zou in de buurt van 1600 moeten liggen. (Het werkelijke antwoord is namelijk 1 40 meer, 1640). Je moet echter 1500 hebben, dus je weet dat de gezochte opeenvolgende getallen in elk geval onder de 40 liggen en er niet zo heel ver vandaan. Na een beetje proberen kom je er al snel achter dat = 1560 en = Het laatste antwoord ligt natuurlijk dichter bij 1500 en is daarom het juiste antwoord. d = 6716 Je weet dat er in elk geval of meer gedaan moet worden = Verder is bekend dat het uiteindelijke antwoord op een 6 eindigt. Je moet dus een getal tussen de 0 en de 9 kiezen dat 92 een zes als laatste cijfer geeft. Of eigenlijk dat 2 een 6 oplevert, want 90 heeft geen invloed op de eenheden. Dit zijn 3 en 8, namelijk 276 en 736. Echter zou uitkomen op 7176 en dat past niet binnen de gestelde getallen = Je weet dat achter het eerste blokje enkel een 3 of een 8 kan staan, omdat het antwoord op een 2 eindigt. Verder kun je nagaan dat het tweede blokje een behoorlijk hoog getal moet zijn = 8862 en komt niet eens in de buurt van Wanneer je de hoogste mogelijkheid probeert kom je zelfs maar tot en heb je nog steeds te kort. Zeker is dus dat er niet 633 moet staan, maar 638. Dat is 5 94 = 470 meer op. En = : 87 = 47 Wanneer je 4089 deelt door 40 kom je erachter dat dit 102,225 is. Je weet echter dat er in deze som geen kommagetallen voorkomen. Er moet dus gezocht worden naar een gehele deler van Deze deler ligt tussen 41 en 49. Daarom is het laatste cijfer interessant. Dit is een 9 en 9 komt alleen voor in de tafel van 1, 3, 7 en 9. Na enig uitproberen kom je erachter dat 4089 : 47 = van 9

5 e (48 18) 148 = 716 Na enig proberen kom je er al snel achter dat, wil je op zo n groot getal uitkomen, er ergens vermenigvuldigd moet worden. Wanneer je doet, blijkt dit 864 te zijn. Het antwoord is kleiner, 148 om precies te zijn. Er moer dus een voor 148 komen te staan = 391 Direct is zichtbaar dat je van het grote getal 2040 een veel kleiner getal moet zien te maken om tot het antwoord te komen. Wanneer je dit deelt door 24, kom je op 85 uit en = Repertoire Binaire talstelsel 11 Het getal 6118 wordt in het binaire stelsel geschreven als Om dit getal te schrijven zijn dus 13 lampjes nodig. 12 Na invullen volgt het volgende schema: Tweetallig Tientallig = = = = = = = = = = = Deze antwoorden vind je het gemakkelijkst wanneer je ze onder elkaar zet. En bedenk dat je alleen in nullen en enen werkt, dus 2 (decimaal) = 10 (binair). a 1101 b c d e van 9

6 Driehoeks- en vierkantsgetallen 14 Dit is het 20 ste driehoeksgetal en bestaat dus uit = = 210 stippen. 15 Dat is = 17 8 = 136. Of gewoon direct met de formule: ½ n (n + 1) = ½ = Dat is 16 2 = = 256. Machten 17 p a p a p 2 Priemgetallen 22 Er zijn 7 priemtweelingen onder de 100, namelijk: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (59, 61) en (71, 73). 23 Nee, deze leerling heeft geen gelijk. Het getal 2 is immers priem en even. Dit is overigens wel het enige even priemgetal. Zelfs van alle (oneindig veel) priemgetallen. Dat is eenvoudig na te gaan. Immers: alle veelvouden van 2 zijn deelbaar door 2 en daardoor al direct niet meer priem. Combinatoriek 24 Het aantal mogelijkheden is gelijk aan = Er zijn = postcodes mogelijk. Deelbaarheid en priemgetallen 26 a 140 = van 9

7 b 1330 = c 738 = d = e = Gemeenschappelijke delers zijn 2 en 3. De ggd(18,24) is 2 3 = 6. 7 van 9

8 Gemeenschappelijke delers zijn 2, 3, 5 en 17. De ggd(32.130, 1020)= = Eerst ontbinden we 18 en 24 in priemfactoren (om zo te zien met welke getallen we te maken hebben). Hieruit volgt: Het kleinste gemene veelvoud van 18 en 24 vind je door alle factoren (met de hoogste exponent waarin zij voorkomen) te vermenigvuldigen. Dus = 8 9 = 72. Ook kun je gebruik maken van de ggd(18, 24) = 6. Het kgv(18, 24) = = 72. Merk op: dit is : 6, dus gedeeld door de kgv. 30 Eerst ontbinden we 124 en 279 in priemfactoren (om zo te zien met welke getallen we te maken hebben). Hieruit volgt: Het kleinste gemene veelvoud van 124 en 279 vind je door alle factoren (met de hoogste exponent waarin zij voorkomen) te vermenigvuldigen. Dus = = = Ook kun je gebruik maken van de ggd(124, 279) = 31. Het kgv (124, 279) = = van 9

9 1.4.3 Landelijke kennisbasis 31 b (gebaseerd op 1.2.2) (gebaseerd op ) 33 b (gebaseerd op 1.2.3) 34 c (gebaseerd op 1.2.3) 35 d (gebaseerd op 1.2.4) 36 c (gebaseerd op 1.2.4) 37 b (gebaseerd op 1.2.5) 38 c (gebaseerd op 1.2.6) 39 c (gebaseerd op 1.3.2) 40 c (gebaseerd op en 1.2.3) 9 van 9