Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie Een (reële vectorruimte is een niet-lege verzameling V van objecten die we dan vectoren zullen noemen waarop twee bewerkingen de optelling en de scalaire vermenigvuldiging zijn gedefinieerd zodat voor alle u en v in V geldt dat u + v V en λu V voor alle λ R Verder moeten deze optelling en scalaire vermenigvuldiging (vermenigvuldiging met een getal voldoen aan de volgende axioma s : u + v = v + u 5 λ(u + v = λu + λv (u + v + w = u + (v + w 6 (λ + µu = λu + µu 3 u + o = u 7 λ(µu = (λµu 4 u + ( u = o 8 u = u voor alle u v w V en voor alle λ µ R Bij 3 gaat het er om dat er een neutraal element voor de optelling bestaat Dat element (of object noemen we de nulvector van V en noteren we op de gebruikelijke wijze met o De nulvector heeft de eigenschap dat als deze wordt opgeteld bij een (andere vector die vector niet verandert Er geldt : u = o voor iedere u in V Bij 4 gaat het er om dat iedere vector u in V een tegengestelde in V heeft Deze vector wordt genoteerd als u en heeft de eigenschap dat u + ( u = o Er geldt : ( u = u voor iedere u in V Bij 8 gaat het er om dat er een neutraal element van de scalaire vermenigvuldiging bestaat Dat is natuurlijk het welbekende getal Als je een (willekeurige vector in V vermenigvuldigt met het getal dan verandert die vector niet Er zijn erg veel voorbeelden van vectorruimten te verzinnen : Ga na dat R n voor iedere n { 3 } een vectorruimte is Vectoren zijn in dit geval steeds de rijtjes getallen van de vorm v = Merk op dat R (dat is R n met n = ook een vectorruimte is De reële getallen in R zijn dan de objecten die we dus ook vectoren zullen noemen 3 De verzameling C[a b] van alle continue (reële functies gedefinieerd op het interval [a b] is ook een vectorruimte De som van twee continue functies is immers weer een continue functies enzovoorts De (continue functies in C[a b] zullen we dus ook vectoren noemen De nulvector is hier de nulfunctie : de functie die op [a b] overal is v v n
4 De verzameling P n van alle (reële polynomen p(t = a + a t + + a n t n a a a n R van de graad n is ook een vectorruimte De vectoren (objecten in P n zijn dus polynomen (in de variabele t bijvoorbeeld Het nulpolynoom (a = a = = a n = is hier de nulvector De graad van dit nulpolynoom is niet gedefinieerd (soms : of maar het nulpolynoom behoort volgens afspraak wel tot P n Als p(t = a (constant polynoom ongelijk aan het nulpolynoom dan is de graad van p gelijk aan 5 De verzameling M m n van alle (m n-matrices is ook een vectorruimte Dergelijke matrices (van dezelfde afmetingen kunnen bij elkaar worden opgeteld en kunnen worden vermenigvuldigd met een getal Die (m n-matrices zijn dus de vectoren uit deze vectorruimte De (m n-nulmatrix treedt hier op als de nulvector (het neutrale element van deze vectorruimte M m n Het begrip deelruimte wordt op dezelfde manier gedefinieerd als voorheen bij R n : Definitie Een deelruimte van een vectorruimte V is een deelverzameling H van V met de eigenschappen : De nulvector van V zit in H u + v H voor alle u v H 3 λu H voor alle u H en voor alle λ R Een deelruimte van V is dus een deelverzameling van V die op zichzelf een vectorruimte is De optelling en de scalaire vermenigvuldiging moeten binnen H mogelijk zijn Als dat het geval is dan gelden automatisch alle axioma s uit definitie omdat die in V al gelden Ook hiervan zijn talloze voorbeelden te bedenken : De verzameling {o} die alleen de nulvector bevat en de verzameling V zelf zijn deelruimten van de vectorruimte V Deze worden wel de triviale deelruimten van V genoemd Een lijn of een vlak door O in R 3 zijn voorbeelden van deelruimten van R 3 3 Als v v p vectoren in R n zijn dan is Span{v v p } een deelruimte van R n 4 De verzameling S := {A M A T = A} van alle symmetrische ( -matrices is een deelruimte van M de vectorruimte van alle ( -matrices 5 De verzameling {f C[a b] : f(a = f(b} is een deelruimte van de vectorruimte C[a b] van alle continue functies op het interval [a b] Meer voorbeelden volgen later Het derde voorbeeld kunnen we eenvoudig generaliseren tot : Stelling Als v v p vectoren zijn in een vectorruimte V dan is Span{v v p } een deelruimte van V Span{v v p } noemt men de deelruimte van V opgespannen of voortgebracht door de vectoren v v p Schrijf het bewijs van deze stelling zelf eens uit (aan de hand van definitie
Kolomruimte en nulruimte van een matrix We hebben al kennis gemaakt met de kolomruimte en de nulruimte van een matrix : Definitie 3 Als A = a a n een (m n-matrix is dan is Col A := Span{a a n } de kolomruimte van A en Nul A := {x R n Ax = o} de nulruimte van A Er geldt : Stelling Als A een (m n-matrix is dan is Col A een deelruimte van R m en is Nul A een deelruimte van R n Bewijs Dat Col A een deelruimte van R m volgt onmiddellijk uit stelling omdat Col A een opspansel is van vectoren in R m Voor Nul A geldt : o R n zit in Nul A want Ao = o R m Als u v Nul A dan geldt : Au = o en Av = o Maar dan geldt ook : A(u + v = Au + Av = o + o = o en dus ook u + v Nul A 3 Als u Nul A dan geldt : Au = o Maar dan geldt ook : A(λu = λau = λo = o en dus ook λu Nul A Hiermee is aangetoond (zie definitie dat Nul A een deelruimte van R n is Voorbeeld Door te vegen vinden we : A = 3 3 3 We weten al dat de pivotkolommen van A een basis van Col A vormen : Col A = Span{ } is een deelruimte van R 3 Voor Nul A geldt : x = x x 4 x 3 = x 4 x en x 4 zijn vrij = x = x x x 3 x 4 = 3 x x 4 x x 4 x 4 = x + x 4
Hieruit volgt : Nul A = Span{ } is een deelruimte van R4 Lineaire afbeeldingen We definiëren : Definitie 4 Als V en W vectorruimten zijn dan heet een afbeelding F : V lineaire afbeelding als : F(u + v = F(u + F(v voor alle u en v in V F(λu = λf(u voor alle u V en voor alle λ R W een Definitie 5 Als V en W vectorruimten zijn en F : V W is een lineaire afbeelding dan heet Ker F := {v V F(v = o} de kern van F en Im F := {w W w = F(v voor zekere v V } de beeldruimte van F Er geldt : Stelling 3 Als V en W vectorruimten zijn en F : V W een lineaire afbeelding dan is Ker F een deelruimte van V en Im F een deelruimte van W Als A een (m n-matrix is dan is F : R n R m met F(x = Ax een lineaire afbeelding Zo n (lineaire afbeelding wordt wel een matrixafbeelding genoemd NB Elke matrixafbeelding is dus een lineaire afbeelding In het geval van een matrixafbeelding F : R n R m met F(x = Ax geldt : Ker F = Nul A en Im F = Col A ( a b Voorbeeld De afbeelding F : M R met F( afbeelding Immers : ( ( a a Stel dat A = b b en B = a 3 a 4 b 3 b 4 ( a + b F(A + B = F( a + b a 3 + b 3 a 4 + b 4 dan is = a + b + c + d is een lineaire = a + b + a + b + a 3 + b 3 + a 4 + b 4 = a + a + a 3 + a 4 + b + b + b 3 + b 4 = F(A + F(B 4
( a a En als A = a 3 a 4 ( λa λa F(λA = F( λa 3 λa 4 dan volgt Voor Ker F geldt : ( a b F( ( a b Dus : A = Ker F ( ( a b b c d b = Dus : = λa + λa + λa 3 + λa 4 = λ(a + a + a 3 + a 4 = λf(a = a + b + c + d = a = b c d ( Ker F = Span{ ( = b ( Dit is een deelruimte van M Merk op dat Im F = R ( + c ( ( + d } Lineaire (onafhankelijkheid We kunnen nu de definitie van het begrip lineaire (onafhankelijkheid eenvoudig generaliseren : Definitie 6 Een verzameling vectoren {v v p } in een (willekeurige vectorruimte V heet lineair onafhankelijk als de vectorvergelijking c v + c v + + c p v p = o alléén de triviale oplossing (c = c = c p = heeft Anders heet de verzameling lineair afhankelijk Net als in R n geldt : een verzameling {v} met slechts één vector is lineair afhankelijk dan en slechts dan als v = o en een verzameling {v w} met twee vectoren is lineair afhankelijk dan en slechts dan als één van de twee vectoren een veelvoud is van de andere Voorbeeld 3 De verzameling {t sin t cos t} in C([ π] is lineair onafhankelijk want : c t + c sin t + c 3 cos t = voor alle t [ π] betekent onder andere t = : c 3 = t = π : c π c 3 = = c = c 3 t = π π = π : c + c π = = c = c = Uit c t+c sin t+c 3 cos t = voor alle t [ π] volgt dus dat c = c = c 3 = Dit betekent dat {t sin t cos t} lineair onafhankelijk is Voorbeeld 4 De verzameling { + t t t( + t} in P is lineair afhankelijk want : t( + t = t + t = ( + t ( t Oftewel : ( + t ( t t( + t = 5
Basis Voor het begrip basis hebben we de volgende generalisatie : Definitie 7 Als H een deelruimte is van een (willekeurige vectorruimte V dan heet een verzameling vectoren {v v p } een basis van H als : {v v p } is lineair onafhankelijk H = Span{v v p } Enkele voorbeelden : De verzameling {e e e n } met e = e = heet wel de standaardbasis van R n e n = De verzameling { t t t n } heet wel de standaardbasis van P n 3 De verzameling ( { ( ( kan gezien worden als de standaardbasis van M ( 4 De verzameling {t sin t cos t} is een basis van de deelruimte H = Span{t sin t cos t} van C[ π] want {t sin t cos t} is lineair onafhankelijk 5 De verzameling ( B := { ( ( is een basis van S de deelruimte van alle symmetrische matrices want : ( ( ( ( ( c c c + c + c 3 = = c c 3 } } ( Dus : c = c = c 3 = Dat wil zeggen dat B lineair onafhankelijk is Verder geldt : ( ( ( a b A = S A T a c a b = A = b = c b d Dus : ( a c A S A = ( Hieruit volgt dat S = Span{ Dus : B is een basis van S ( = a ( ( + c ( ( + d } 6