Trigoometrische fucties Ileidig De meest gebruikelijke defiitie va de trigoometrische fucties cos e si berust op meetkudige cocepte (cirkel, hoek, driehoeke etc.) die buite het bestek va de aalyse valle. Teves is het relatief moeilijk e bewerkelijk om de eigeschappe va deze fucties (goioformules, cotiuïteit, afgeleide etc.) af te leide uit de meetkudige defiities. Om deze redee zulle we ee adere toegag kieze: We defiiere cos e si met behulp va machtreekse. Vele eigeschappe va deze fucties zulle da omiddellijk volge uit algemee stellige over (covergete) machtreekse. Daara zulle we schetsmatig beredeere dat deze defiitie vor cos e si iderdaad overeekomt met de meetkudige. Rije e reekse i C Defiitie: Ee rij ( ) complexe getalle heet coverget aar z als z 0 als k. Notatie: z, lim k = z. Stellig: z (Re Re z e Im Im z ). Bewijs: Oefeig! Alle limietstellige voor rije i R blijve geldig. Verder: Stellig: z z. Bewijs: Oefeig! Covergetie e absolute covergetie va reekse i C zij aaloog aa het reëele geval gedefiieerd, e ook hier blijve de voor R beweze stellige geldig. I het bijzoder is elke absoluut covergete reeks i C ook coverget. Verder: Stellig: Zij ee covergete reeks i C. Da covergeert ook, e =. () Bewijs: Oefeig! De complexe expoetiaalfuctie, trigoometrische fucties Defiieer voor z C e z := Net als i het reële geval covergeeert de reeks voor elke z C absoluut, e er geldt voor alle z, w C e z+w = e z e w. (2) k!
Het bewijs hiervoor is idetiek aa het reële geval. Verder geldt vawege () e (2) e dus e z 2 = e z e z = e z Defiieer u voor θ R k! = ez k! = ez e z = e z+z = e 2 Re z e z = e Re z. (3) cos θ := Re(e iθ ), si θ := Im(e iθ ). Ee omiddellijk gevolg hierva is de zogeaamde Formule va Euler: e iθ = cos θ + i si θ. (4) Met behulp hierva herschrijve we de idetiteit (zie (2)) voor α, β R als e i(α+β) = e iα+iβ = e iα e iβ, cos(α + β) + i si(α + β) = (cos α + i si α)(cos β + i si β) = cos α cos β si α si β + i(cos α si β + si α cos β). Vergelijke va de reële e imagiaire dele herva levert de goiometrische idetiteite Vawege (3) e(4) geldt voor θ R cos(α + β) = cos α cos β si α si β, si(α + β) = cos α si β + si α cos β. e iθ = cos θ + i si θ = e dus de trigoometrische stellig va Pythagoras Ee simpele cosequetie hierva is (cos θ) 2 + (si θ) 2 =. (5) R[cos], R[si] [, ]. (6) Expliciete reeksvorstellige voor cos e si worde verkrege door de reeks voor e ix voor reële x te splitse i reële e imagiaire terme (ga a!): e ix = i k k! xk = ( ) j (2j)! x2j }{{} R 2 ( ) j +i (2j + )! x2j+. }{{} R
Dus volges (4) cos x = si x = ( ) j (2j)! x2j = x2 2 + x4 24..., ( ) j (2j + )! x2j+ = x x3 6 + x5 20.... Deze reekse covergere absoluut voor alle x R (ga a!). We zie omiddellijk cos( x) = cos x, si( x) = si(x). Volges de rekeregels voor het differetiëre va (covergete) machtreekse zie we dat cos e si willekeurig vaak differetierbaaar zij op R e (Ga a!) De fuctie cis cos = si, si = cos. (7) Voor het bewijze va verdere eigeschappe va cos e si zoals periodiciteit, speciale waarde etc. is het hadig om ee hulpfuctie i te voere. Zij S := {z C z = } de eeheidscirkel i het complexe vlak e defiieer de fuctie cis : R S door cis(θ) = e iθ = cos θ + i si θ. Stellig : cis is surjectief. Bewijs: Stap : Er is ee δ > 0 zodaig dat cos strikt daled is op [0, δ). Bewijs Stap : Vawege cos 0 = e de cotiuïteit va cos is er ee δ > 0 zodaig dat cos(x) > 0 voor x [0, δ). Vawege (7) is da si strikt positief op (0, δ) e cos strikt daled op [0, δ). Stap 2: Er is ee θ R zodaig dat cos θ =. Bewijs Stap 2: Zij a := if{cos θ θ R} Vawege (6) is a [, ] e vawege Stap wete we a <. Zij a 0 := (a + )/2. Vawege a 0 (a, ) e de cotiuïteit va cos volgt met de tussewaardestellig dat er ee θ 0 R is zodaig dat cos θ 0 = a 0. De goioformule voor de dubbele hoek e (5) levere a cos(2θ 0 ) = cos 2 (θ 0 ) si 2 (θ 0 ) = 2 cos 2 (θ 0 ) = 2a 2 0 = a a2 2 a. Deze ogelijkhede gelde dus als gelijkhede, e a =. De bewerig geldt dus met θ = 2θ 0. 3
Stap 3: cis is surjectief. Bewijs Stap 3: Zij z S gegeve. Da Re z [, ], e vawege cos 0 = e Stap 2 volgt met de tussewaardestellig dat er ee θ R is met cos θ = Re z. Vawege (Re z) 2 + (Im z) 2 = (cos θ) 2 + (si θ) 2 = geldt (si θ) 2 = (Im z) 2 e dus si θ = ± Im z. I het eerste geval is cis(θ) = z e i het tweede cis( θ) = z Stellig: De verzamelig M := {θ > 0 cis(θ) = } heeft ee miimum T > 0. Bewijs: Zij θ > 0 zodaig dat cos θ =. (Zo ee θ bestaat volges Stap 2 uit het bewijs va de vorige stellig. Het ka positief gekoze worde omdat cos ee eve fuctie is.) Da is cos(2θ) = 2 cos 2 θ = e dus cis(2θ) =. Dus M. Uit Stap i het bewijs va de vorige stellig volgt [0, δ) M = voor ee voldoede kleie δ > 0. Dus T := if M > 0. Zij (t ) ee rij i M met t T. Da cos t =, si t = 0 voor alle N. Uit de cotiuïteit va cos e si volgt cis(t ) =, dus T M e T = mi M. Gevolg: T is de kleiste positieve periode va cis. Bewijs: Merk op dat p M da e slechts da als p ee positieve periode is va cis. Stel amelijk dat p M, da cis(θ + p) = cis(θ) cis(p) = cis(θ) voor alle θ R. Zij adersom p > 0 ee periode va cis, da cis(p) = cis(0) = e dus p M. De bewerig volgt u rechtstreeks. Stellig: Zij a R. Da is cis [a,a+t ) S bijectief. Bewijs: I. Stel t, s [a, a + T ) met cis(t) = cis(s) e (z.v.v.a.) t > s Da e i(t s) = cis(t s) =, dus t s M e dus t s + M. Tegespraak met t, s [a, a + T ). Dus cis [a,a+t ) ijectief. II. Vawege de periodiciteit e Stellig geldt (ga a!) Dus cis [a,a+t ) surjectief. cis([a, a + T )) = cis(r) = S. 4
Equivaletie met meetkudige defiitie De volgede Stellig geeft het verbad met de gebruikelijke meetkudige defiitie va si e cos. we make hier alvast gebruik va het cocept va booglegte, alhoewel dit pas later (Vectoraalyse, complexe aalyse) precies besproke wordt. Verder zulle we hier ee beroep op ituïtie doe omdat voor ee precieze redeerig og wat middele otbreke. (De berekeig va de limiet die de legte defiieert is wel exact.) Stellig : Zij θ [0, T ). De cirkelboog B θ S va tot e iθ, tege de klok i, heeft legte θ. I het bijzoder: T = 2π. Bewijs: We hebbe B θ = cis([0, θ)), e de legte va die boog is (per defiitie) L(B θ ) = lim e iθ k Om deze limiet te berekee schrijve we e iθ k e iθ k = e = k iθ } {{ } j= j! e iθ e iθ k ( iθ ) j =. = e iθ iθ + (iθ) j j! j De som i de laatste term gaat at ul voor vawege (isluitstellig!) 0 (iθ) j j j! θ j j! 2 j eθ 0.. Dus L(B θ ) = iθ = θ. 5