Proefversie Natuurkundeboek

Proefversie Nuurkundeboek Deel: mechnic en rekenen Sudenensuppor.nl - 4 okober 6 Recies grg nr vliemp@nikhef.nl vliemp@nikhef.nl

A NATUURKUNDE I.IMPULS, KRACHTEN, ENERGIE De ween vn Newon. Impuls 3 / Impulsbehoud / De ween vn Newon opnieuw /. Krchen 6 / Veldkrchen: - Grviie - Elekrische krch - Elekrische veldserke - Homogeen elekrisch veld - Mgneische krch - Lorenzkrch / Conckrchen: Normlkrch - Veerkrch - Schuifwrijving - Rolwrijving - Vormweersnd - Viskueze wrijving - Spnkrch / Resulerende krch - Vecorsom - Middelpunzoekende krch 3. Energie 3 / Kineische energie / Roie-energie / Arbeid / Poeniële energie / Veerenergie / Trillingsenergie II. RECHTLIJNIGE BEWEGINGEN 6. Bsisbegrippen 6 / Coördinsseem en siuieekening / Grfieken inerpreeren / Eremen, differeniëren en inegreren - Verplsing en fgelegde weg - Snelheid, gemiddelde en momenn - Versnelling, gemiddeld en momenn - Gemiddelde berekenen me inegrl - Verplsing en plsfuncie - Snelheidsverndering en snelheidsfuncie - Overzich vn formules. Bewegingsvergelijkingen / F: eenprige beweging - Inhlen, relieve snelheid - Alernief: nieuw refereniesseem / Fconsn: eenprig versnelde beweging - Vlversnelling en vericle worp - wee vericle bewegingen - discriminnformule / F-C: hrmonische rilling / F-qv: viskeuze wrijving - Vrije vl in een vloeisof / F-cv : vormweersnd / Numeriek inegreren, mehode vn Euler III. KRACHTEN EN BEWEGING IN DIMENSIES 3. Refereniessemen 3 / Inerilselsel - Schijnkrch. Vrije-lichmsdigrmmen 33 / Eén sseem - Wrijving op een helling / Twee deelssemen - Derde we vn Newon - Twee digrmmen - Cirkelbeweging 3. Momen en roie 36 / Evenwichsvoorwrden / Vrije-lihcmsdigrm voor een uigebreid lichm 4. Bewegingen in dimensies 38 / Prmeervoorselling / Onbinden in componenen / Horizonle worp / Worp in willekeurige riching / Cirkelbeweging / B WISKUNDE 4 I. REKENEN 43. Breuken 43 / Opellen, frekken / Splisen / Vermenigvuldigen, delen. Hkjes wegwerken 43 / Hkjes / Bijzondere producen 3. Worels 44 / Rekenregels 4. Mchen 44 / Definiie / Rekenregels / Weenschppelijke noie / 5. Logrimes 46 / Definiie / Rekenregels 6. e-mchen en nuurlijke logrimes 46 / Definiie e en ln / Rekenregels 7. Meekunde 47 / Gelijke en complemenire hoeken / Hoeken en zijden in een driehoek / Bsis en hooge vn een driehoek / De norml / Oppervlke- en inhoudsformules 8. Goniomerische funcies 49 / Definiie sinus, cosinus, ngens / Definiie rcsin, rcn / Prmeervoorselling vn een cirkelbn / Definiie rdil / Veelvoorkomende wrden vn sin en cos / De grfieken vn sin en cos / Periodieke oplossingen / Fse en gereduceerde fse / Rekenregels 9. Oplossen vn vergelijkingen 5 / Een vergelijking me een onbekende / Twee vergelijkingen me onbekenden / Tweedegrdsvergelijking. Benderingen 56 / Bij producen / Bij mchen / Bij kleine hoeken II.DIFFERENTIËREN, INTEGREREN, DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 58 Funcies 58 / Smbolen / Meerdere vribelen / Limie Differeniëren, fgeleide 59 / Afgeleide, differenilquoiën / Afgeleide funcie, differeniëren - Punnoie / Prieel differeniëren / Regels voor differeniëren / Keingregel Inegreren, primiieve 6/ Inegrieconsne / Inegrl ls oppervlk / Een beplde inegrl berekenen / Lijs me fgeleiden en primiieven 6 Differenilvergelijkingen 6 / Tpering DV - Orde - Lineir/nie-lineir - Homogeen/inhomogeen / Oplossen vn een lineire DV - Inegrie - Scheiden vn vribelen - Krkerisieke vergelijking - Mss-veersseem / Mehode vn Euler III. VECTOREN 67. Vecoriële grooheden 67 / Verschuiven / Opellen / Onbinden in componenen / Eenheidsvecor. Som- en verschilvecor 69 / Somvecor / Verschilvecor / 3. Vecorproducen 7 / Produc me een sclr / Inproduc / Rekenregels inproduc / Uiproduc - berekenen me sinus - berekenen me componenen / Rekenregels uiproduc / 4. Differeniëren me vecoren 75 / Differeniëren nr de ijd / Rekenregels differeniëren / Differeniëren nr de pls: Nbloperor - Grdiën -Divergenie - Roie vliemp@nikhef.nl

I. Impuls, krchen, energie De ween vn Newon De grondlegger vn de heorie vn de bewegingen vn lichmen is Newon. De drie ween die hij formuleerde behoren o de bsissof vn de nuurkunde in he voorgeze onderwijs: De eerse we is de rgheidswe: ls F, dn is v consn. De grooe en/of de riching vn de snelheid vn een lichm vernder lleen ls er vn buien f een krch op werk. De weede we sel: F m. Een lichm wrop een krch F word uigeoefend, krijg een versnelling die evenredig is me F en dezelfde riching heef. De derde we luid F. F B, A A, B Als B een krch op A uioefen, dn oefen A op B een even groe krch in egengeselde riching ui. De eerse en weede we vn Newon worden in he voorgeze onderwijs voorgeseld ls een relie ussen een krch en de snelheid respecievelijk de versnelling. Di is nie de vorm wrin Newon deze ween oorspronkelijk preseneerde. In pls vn de begrippen snelheid en versnelling gebruike hij he meer fundmenele begrip impuls.. Impuls De impuls p vn een lichm is he produc vn de mss m en de snelheid v. De impuls heef behlve een beplde grooe ook een riching. He is een vecorgrooheid: p mv. Om je de impuls vn een lichm voor e sellen, kun je denken n de soo die he een nder lichm kn geven o he sils. Bij dezelfde snelheid kn een zwr lichm een groere soo geven dn een minder zwr lichm, he heef een groere impuls. Impulsbehoud de ween vn Newon opnieuw I. De se we vn Newon houd in d de impuls vn een lichm consn blijf zolng he geïsoleerd is vn de omgeving: p consn. Geïsoleerd vn zijn omgeving beeken d er vn buien f geen krch op werk. II. De de we vn Newon sel d een wisselwerking ussen een bewegend lichm en zijn omgeving leid o een verndering vn de impuls dp. Op grond vn deze we is een definiie vn vliemp@nikhef.nl 3

krch mogelijk. Krch is nmelijk de serke vn de wisselwerking, ofwel de impulsverndering per seconde: dp F. d Herschrijven vn deze uidrukking leid o de formule die in he voorgeze onderwijs gebruikelijk is en meesl voor bewegingsvergelijkingen word gebruik: dp d( mv) dv F m m. d d d III. De 3 de we vn Newon houd in d bij een wisselwerking ussen een lichm en de omgeving de ole impuls behouden blijf. Sel je ls omgeving een weede lichm B voor d egen A nsoo. Smen kun je A en B ls één geïsoleerd sseem (lichm) beschouwen. Volgens de se we vernder vn di sseem de (ole) impuls nie. Er geld: p consn. Wel kunnen A en B onderling impuls uiwisselen. p A p B. Neem de impuls vn de een oe, dn neem de impuls vn de nder in gelijke me f. Omd de wisselwerking voor beide lichmen even lng duur, oefenen volgens de de we A en B op elkr een even groe krch in egengeselde riching ui: F AopB F BopA. Voorbeeld impulsbehoud Een roeiboo (M 8 kg) lig sil in he wer. Iemnd (M 7 kg) spring er in me een snelheid v 3 ms -. De lnding in de boo duur,6 s. Welke snelheid hebben de boo me inziende n de sprong? Een welke krch word ijdens de lnding op de boo uigeoefend? M M v Figuur Boo voor de sprong vliemp@nikhef.nl 4

M + M u Figuur Boo n de sprong Voor de sprong is de ole impuls: p p + p M + M v M v De ole impuls n de sprong is hiern gelijk: p ( M + M ) u M v M Hierui volg: u v M + M 7 Invullen vn de gegeven wrden: u 3, 84 ms -. 8 + 7 - De impulsverndering vn de boo is p M u M 8,84,5 kgms. dp En de krch is F 5,5 N. d,6 vliemp@nikhef.nl 5

. Krchen Op een lichm kunnen zowel veldkrchen ls conckrchen werken. Veldkrchen Vn veldkrchen word gezegd d ze op fsnd werken, d.w.z. zonder conc ussen de lichmen en zonder hulp vn een medium. Di geld voor de grviie en de elekromgneische krch. De grviiekrch en de elekromgneische krch zijn fundmenele nuurkrchen, d.w.z. ze zijn nie ui ndere krchen e verklren. De elekromgneische krch bes ui wee componenen, die we hier fzonderlijk beschrijven. Grviie De grviiekrch is de onderlinge nrekkingskrch ussen lichmen op grond vn hun mss. De grooe vn de grviiekrch ussen wee lichmen me de mss s m en m hng f vn de fsnd ussen de middelpunen r: mm F g G r Hierin is m de mss in kilogrmmen en is G de consne vn Newon. Een lichm me mss m ondervind een grviiekrch vn lle ndere mss s in de kosmos. Smen vorm die overige mss een grviieveld d zich over de gehele kosmos uisrek. De riching en grooe vn d veld word in elk pun gegeven door een grviieversnelling g. Dn is: m g F g Op rde word he grviieveld gedomineerd door de mss vn de rde M. Drdoor is he bij goede bendering nr he middelpun vn de rde gerich en is de grooe M - g G 9,8 ms. r Elekrische krch De elekrische krch is de onderlinge krch ussen lichmen op grond vn hun elekrische lding. De lding q kn posiief of negief zijn. Tegengeselde ldingen rekken elkr n, gelijknmige ldingen soen elkr f. Ne ls de grviiekrch neem de krch ussen wee ldingen me r f: qq F e f r De grooe vn de krch is fhnkelijk vn he medium wrin de ldingen zich bevinden. In vcuüm is f 8,988. 9 Nm C -. De eenheid vn lding is de Coulomb, de kleins voorkomende lding (elemenire lding) is die vn he elekron: e,6. -9 C. vliemp@nikhef.nl 6

De elekrische krch per Coulomb is een fcor groer dn de grviiekrch per kg. Onderlinge krchen ussen voorwerpen op rde zijn overwegend elekrische krchen. He lichm me lding q ondervind een elekrische krch vn lle overige ldingen in de omringende ruime. Smen vormen die overige ldingen een elekrisch veld d zich overl in de ruime uisrek. De riching en grooe vn di veld word in elk pun gegeven door een elekrische veldserke E. De krch is dn: q E. F e Ui beide voorfgnde formules volg d de grooe vn de elekrische veldserke in de ruime om een enkele lding q gelijk is n q E f. r De riching vn E is de riching die de krch op een posiieve lding zou hebben. Voorbeeld: de elekrische veldserke Bij wee (of meer ) ldingen q moeen de fzonderlijk velden vecorieel worden opgeeld. Zie hiervoor evenueel hoofdsuk II-3. In elk pun is er mr één (resulerende) veldserke: E. q E + som r E E som + Q α r Q β Figuur 3 De elekrische veldserke in een pun In figuur 3 lig de -s lngs de verbindingslijn vn de wee ldingen en de -s s dr loodrech op. De veldserke is E som E + E E + E fq De componenen vn E r )ˆ i + ( E + E (,,,, zijn fq fq E, cosα en E sinα,. r r ) ˆj Onbind vervolgens ook E in componenen me behulp vn de hoek β (die in dezelfde dririching.o.v. de s ls α is gedefinieerd) en me een negieve wrde voor q. Tel de componenen in de - en de -riching bij elkr op o en. Bereken de grooe vn E som E som, + E som, E som me E som, E som, vliemp@nikhef.nl 7

en de hoek γ vn E som me de -s me Esom, γ rcn. E som, Voor he beplen vn de veldserkes in een grviieveld of een mgneisch veld word een vergelijkbre werkwijze oegeps. Homogeen elekrisch veld ussen wee plen Een qu grooe en riching consne elekrische veldserke verkrijg men door ussen wee vlkke plen op (relief kleine) fsnd d een spnningsverschil V e zeen. De riching vn he V veld is loodrech op de plen vn de hoge nr de lge poenil en de grooe is: E. d Men noem di een homogeen elekrische veld. Mgneische krch De mgneische krch is een zijwrse krch op een lichm in een mgneisch veld op grond vn zijn elekrische lding en de riching en grooe vn zijn snelheid. De krch word ook Lorenz-krch genoemd. Elke bewegende lding heef een mgneisch veld om zich heen. In een ruime me meerdere bewegende ldingen is he resulerende mgneische veld in een pun de (vecor)som vn de mgneische velden vn de fzonderlijke ldingen. De riching en de grooe hiervn worden in elk pun gegeven door een mgneische inducie B. De krch op een lichm me een lding q en een snelheid v volg ui he uiproduc vn v en B (zie hoofdsuk II- 3): F L qv B of ls he lleen om de grooe g: F L qvb sinα wrin α de hoek is ussen v en B. De krch s loodrech op v en B. Drom leid die nooi o he versnellen of fremmen vn he lichm, mr lleen o he fbuigen vn zijn bn. In een ruime wr de riching en de grooe vn B consn zijn (homogeen mgneisch veld) en een lichm loodrech op de mgneische veldlijnen beweeg, is de Lorenz-krch consn en s die lijd loodrech op de bn. He lichm beschrijf dn een eenprige cirkelbeweging me een srl mv r. Bq Voorbeeld: de Lorenz-krch vliemp@nikhef.nl 8

Neem n d en gevolge vn een spnningsverschil elekronen een snelheid vn 3. 6 ms - in weselijke riching krijgen. Welk effec heef he rdmgneische veld op de elekronen? De inclinie vn he rdmgneische veld is 5 en de serke 4. -5 T. -e( v ) B v B v o 5 B Uiwerking: He rdmgneische veld veroorzk een Lorenz-krch op elk elekron e( v B) F L en die lig - ne ls vecor B - in he vericle vlk loodrech op de snelheid v. Bepl eers de riching vn ( B v ) me de recherhndregel. De vecor v B s loodrech op he vlk door v en B, d 5 is gekneld en opziche vn he horizonle vlk. Bepl de riching vn de Lorenz-krch. Omd elekronen een negieve lding hebben is die egengeseld n de riching vn ( B v ) : F L mk een hoek vn 4 omhoog me de horizonl nr he Noorden. De grooe is: qvb sinα, me α 9 F L 9 6 5 7 Dus F L,6. 3. 4. sin 9. N, wrui de versnelling kn worden berekend. 3 6 mv 9,. 3. De fbuigingssrl is r 4. m. Bq 5 9 4.,6. Conckrchen In deze prgrf sommen we een nl krchen op die in prkische siuies vk voor komen. He zijn geen fundmenele nuurkrchen, omd ze lle op microscopisch een diepere (elekrische) oorzk hebben. Hierop gn we verder nie in. Normlkrch Als wee lichmen egen elkr zijn gedruk oefenen ze op elkr een krch ui. Men onbind de krch op een lichm in een componen loodrech op he concoppervlk en een lngs di oppervlk. De componen loodrech op he concoppervlk hee normlkrch en word ngeduid me F N. De componen evenwijdig n he concoppervlk hee wrijvingskrch. Zie de figuur bij schuifwrijving. He onbinden in componenen of he vecorieel opellen vn componenen word beschreven in hoofdsuk II-3 over vecoren. vliemp@nikhef.nl 9

Veerkrch Een vs lichm kn een normlkrch uioefenen omd he zelf word ingedruk en he rooser wrui die sof bes zich egen he indrukken verze. Voor lle vse lichmen zijn er wrden voor de indrukking wrvoor de we vn Hooke geld C. F Hierin is F de krch wrmee he lichm zich egen indrukken verze en is C de krchconsne. De krchconsne is groer nrme he lichm meer elsisch is. Voor welke wrden vn de we vn Hooke geld, hng f vn de merileigenschppen en de consrucie vn he lichm. F Figuur 4 Veerkrch Schuifwrijving F N F W µ F N F z Figuur 5 Wrijving op een helling De wrijvingskrch F W ussen wee lichmen die lngs elkr schuiven is rech evenredig me de normlkrch F N wrmee ze egen elkr worden gedruk: F µ F. W.d d N Hierin is µ d de dnmische wrijvingscoëfficiën. Deze hng f vn de eigenschppen vn de oppervlkken. De inde d en de oevoeging dnmisch geven n d deze coëfficiën berekking heef op oppervlkken die en opziche vn elkr bewegen. Bij silsnd vnf F neem de F W gelijk me F oe (he lichm blijf immers in rus). In di sdium spreek men vn sische wrijvingskrch. De oppervlkken gn en opziche vn elkr bewegen ls een beplde mimle wrde F W,m word overschreden: F µ. W, m sfn Hierin is µ s de sische wrijvingscoëfficiën. Ook µ s hng vn de eigenschppen vn de oppervlkken f. Alleen is µ s ies groer dn µ d. Men kn zich hierbij voorsellen d de vliemp@nikhef.nl

oneffenheden vn de oppervlkken nvnkelijk in elkr hken en vn elkr moeen worden losgerokken. En zolng de oppervlkken in beweging blijven, vllen ze nie weer heleml in de oude siuie erug. Vnwege di verschil is een groere krch nodig om ies in beweging e zeen, dn om he in beweging e houden. Een lichm kom hierdoor lijd me een schok in beweging, er is op d momen immers een krch F w ( µ s µ d ) FN die he lichm een versnelling geef. Wrijving ussen Sisch µ s Dnmisch µ d Rol µ r Rubber en beon (n),3,5 Rubber en beon (droog),,8 ±,5 Sl en sl,7,6, á, Gls en gls,9,4 Teflon en sl,4,4 Tbel Wrijvingscoëfficiënen Rolwrijving Ook de rolwrijvingskrch Fr is rech evenredig me de normlkrch. Me µ r voor de rolwrijvingscoëfficiën is F rol µ r FN. De rolwrijvingscoëfficiën is veel kleiner dn de coëfficiënen voor de schuifwrijving. Ook bij rolwrijving is er verschil ussen de sische en dnmische wrijving. Drom verrek een rein die begin e rijden, of een zwre kr, vk me een merkbre schok. Vormweersnd Een nder pe conckrch dn hiervoor is beschreven, is de vormweersnd die een lichm ondervind ls he me een beplde snelheid door een medium beweeg. Drbij bos he immers me de moleculen wrui he medium bes. Een zekere hoeveelheid ervn word gedwongen mee e bewegen en hiervoor word kineische energie n he lichm onrokken. Deze weersnd in he medium kn worden uigedruk in een vormweersndskrch (ook vk wrijvingskrch genoemd): FW ρcav. Hierin is ρ de dichheid vn he medium, v de snelheid, A he oppervlk vn de groose dwrsdoorsnede vn he lichm loodrech op de bewegingsriching en C is een consne die vn de sroomlijn vn he lichm fhng. Viskeuze wrijving In een eerder hoofdsuk is l de wrijvingskrch beschreven die een lichm ondervind ls he door een gs of vloeisof beweeg. De krch is evenredig me de snelheid en fhnkelijk vn de geomerie vn he lichm. Voor een bol geld de we vn Sokes. Zie hoofdsuk I-: sroming. Spnkrch vliemp@nikhef.nl

De rekkrch vn een ouw op een lichm d er n hng, heef dezelfde oorsprong ls de normlkrch wrmee een lichm een nder onderseun. De moleculen vn de sof wrui he ouw bes verze zich egen vervorming, zowel egen indrukken ls egen uirekken. Over een klein rjec is de uirekking rech evenredig me de krch en geld de we vn Hooke. Vk mogen de mss en de rekbrheid vn he koord worden verwrloosd. Mr soms heef he ouw wel degelijk invloed op de beweging. Bijvoorbeeld, bij bungeejumpen is een rekbr ouw essenieel en is ook de mss nie verwrloosbr. De mss vn he ouw zorg d de springer een versnelling groer dn g (vrije vl) krijg. Resulerende krch Vecorsom De versnelling vn een lichm hng volgens de weede we vn Newon f vn de som vn lle krchen op d lichm: F m. Me som word de vecorsom bedoeld. In hoofdsuk II-3 over vecoren word beschreven hoe die word uigerekend. Bij he oplossen vn problemen is he belngrijk de krchvecoren goed e visuliseren. Di gebeur in een vrije-lichmsdigrm, wrover de volgende prgrf g. Middelpunzoekende krch De middelpunzoekende krch bij een cirkelbeweging kn nie in een dem worden genoemd me de genoemde veld- en conckrchen. De kwesie is: een cirkelbeweging is lleen mogelijk indien de resulerende krch middelpunzoekend is. De middelpunzoekende krch is geen bijdrge n de resulerende krch mr een mogelijk kenmerk ervn. Voor een eenprige cirkelbeweging vn een mss m me srl r, bnsnelheid v of hoeksnelheid ω is een resulerende krch vereis die voldoe n: mv F mω r of F. r vliemp@nikhef.nl

3. Energie Kineische energie Een bewegend lichm heef louer op grond vn de mss m en de grooe vn de snelheid v een hoeveelheid energie - de kineische energie of bewegingsenergie: E k mv. Di is de energie die in de vorm vn rbeid moes worden oegevoerd om he lichm vnui rus de snelheid v e geven, of -omgekeerd- de rbeid die he lichm louer op grond vn zijn beweging kn verrichen od he sils. Energie is een sclire grooheid, zie hoofdsuk II-3. Roie-energie Roie-energie is een bijzondere vorm vn kineische energie. Alleen uigebreide lichmen die om een bepld pun drien, hebben roie-energie. Drbij is belngrijk hoe de mss over he lichm is verdeeld en opziche vn he dripun. De beschrijving hiervn vl buien he besek vn di boek en kom in eersejrscolleges over mechnic n de orde. Arbeid Arbeid is he inproduc vn de krch F en de fgelegde weg s : W F ds. bn Zie voor inproduc hoofdsuk II-3. In he eenvoudige gevl vn een rechlijnige beweging wrbij de krch F de riching vn de posiieve -s heef, is: W F. En ls de krch een hoek α me de posiieve -s mk, dn is: W F cosα F α Figuur 6 Arbeid F.cosα An de hnd vn de voorgnde figuur is duidelijk d een krch loodrech op de bewegingsriching geen rbeid uioefen. Di geld voor de zwrekrch en normlkrch bij vliemp@nikhef.nl 3

een beweging lngs een horizonle lijn, of voor de middelpunzoekende krch bij een cirkelbeweging. F W S F Z Figuur 7 Arbeid 'lngs de bn' Voor he beplen vn de rbeid moe je eers nr de fgelegde weg s kijken, nie nr de verplsing. Le in de figuur op he verschil ussen de rbeid vn de zwrekrch F Z en die vn de luchweersnd F W op een lichm S in een vericl opgeseld rd. N omweneling is W Fw πrf (erwijl de verplsing n omweneling nul is). W Voor de rbeid vn de zwrekrch in di voorbeeld geld n omweneling W FZ, nie omd de verplsing nul is, mr omd de inegrl vn de projecies vn FZ lngs de bn nul is. Poeniële energie In de figuur rbeid lngs de bn is er nog een verschil ussen de rbeid vn de zwrekrch en die vn de luchweersnd: de luchweersnd verrich lijd negieve rbeid en de zwrekrch verrich fwisselend posiieve en negieve rbeid. Di proces is omkeerbr. Bij he omhooggn word poeniële energie opgebouwd en ijdens he neergn word die in kineische energie omgeze. De poeniële energie engevolge vn de zwrekrch hng f vn de hooge: E P mgh. Hierin is m de mss, g de vlversnelling en h de hooge en opziche vn een refereniepun. He refereniepun mg willekeurig gekozen worden. He kn he middelpun vn de rde zijn, de grond of he lgse pun vn een beweging. In de lse figuur lig de keuze vn de lgse posiie voor de hnd. Ui de formule volg d een lichm overl op dezelfde hooge dezelfde poeniële energie heef. Di beeken d voor de berekening vn de rbeid vn de zwrekrch lleen he hoogeverschil (en nie de fgelegde weg of verplsing) vn belng is. vliemp@nikhef.nl 4

Als er behlve de zwrekrch geen enkele ndere krch werk is de som vn de kineische en poeniële energie consn: E E consn P + K Ne ls de mss in een zwrekrchveld kn een elekrische lding poeniële energie in een elekrisch veld hebben. Veerenergie Omkeerbr is ook de uiwisseling vn kineische energie en veerenergie. Bij verplsingen u wrbij de we vn Hooke ( Cu ) geld, is de veerenergie E V ku. F u Afleiding: A o F du A Cu du Cu A CA o Trillingsenergie De rillingsenergie vn een lichm me mss m d een hrmonische rilling uivoer me mpliude A en frequenie f is: Er mω A. Hierin is ω πf. De fleiding is mogelijk op mnieren: De rillingsenergie is de mimle kineische energie me in he volgende hoofdsuk): E r mv m mω A De rillingsenergie is ook gelijk n de mimle veerenergie: vm ωa (zie hrmonische rilling E r CA. C C volg ui de voorwrde voor een hrmonische rilling (zie he volgende hoofdsuk): ω. m vliemp@nikhef.nl 5

II. Rechlijnige bewegingen. Bsisbegrippen Coördinensseem en siuieekening He beschrijven vn een beweging houd in d je voor elk ijdsip de pls ngeef. Di begin lijd me he kiezen vn een coördinensseem. W is de riching vn de (posiieve) -s? Wr is de oorsprong? Kies bij een rechlijnige beweging de -s zo d de beweging lngs de s pls vind. Geef in een schemische siuieekening de belngrijkse kenmerken vn de beweging weer: de oorsprong, de -s, de pls vn he lichm op een zeker ijdsip, de verplsing of (begin)snelheid e.d. O + s Grfieken inerpreeren Er word gebruik gemk vn grfieken voor de pls-, de snelheids- of de versnellingsfuncie. Inerpreeer een grfiek nie e snel. Bedenk lijd eers me welke funcie je e mken heb, dus le op de grooheden lngs de ssen. Zie bijvoorbeeld de ondersnde grfiek. Ps ls je wee welke grooheid lngs de vericle s s, kun je nwoord geven op de volgende vrgen: W beeken een negieve wrde? W is er op n de hnd? W beeken he sijgen/dlen vn de grfiek? W beeken de ereme wrde op?? Als lngs de vericle s de pls uis, dn sl de grfiek op een beweging die links vn de oorsprong begin, op door de oorsprong g en op omkeer riching oorsprong. He zou vliemp@nikhef.nl 6

een bl kunnen zijn die je omhoog gooi en erugvl. O s S lngs de vericle s de snelheid ui, dn g he om een beweging die eers verrgd nr links g, op omkeer, versnel o en drn verrgd verder g. Op welke plsen di lles gebeur, kun je nie n de v--grfiek zien. s He is ook hndig om eers zelf een --digrm e ekenen; je moe dn wel fspreken op welke posiie o he voorwerp op is. Eremen, differeniëren en inegreren De pls, de snelheid v en de versnelling ls funcie vn de ijd worden voorgeseld door funcies en grfieken. In he voorgeze onderwijs leer je - d een funcie een ereme wrde heef ls de fgeleide vn die funcie nul is. Bijvoorbeeld 4,9 9,8 heef een mimum bij 4,9 9,6 - d je door differeniëren vn de plsfuncie de snelheidsfuncie v vind en vervolgens de versnellingfuncie - d door inegreren een snelheidsverndering v respecievelijk verplsing v respecievelijk word verkregen. Hieronder word di eers smengev. Zie voor differeniëren en inegreren ook hoofdsuk II-.. ui Verplsing en fgelegde weg De verplsing vnf he ijdsip in een ijdsinervl + is: In de geekende siuie is bij een verplsing nr links negief. Als dezelfde weg heen en erug word fgelegd, is de verplsing. De reche srepen geven n d ol de bsolue wrde word genomen. De fgelegde weg is echer lijd posiief en voor een beweging heen en erug geld: s +. Snelheid, gemiddeld en momenn De gemiddelde snelheid is v gem. vliemp@nikhef.nl 7

+ In he digrm hierns is di de richingscoëfficiën vn de koorde die hoor bij. (De koorde is nie een verplsing!) Bedenk d de gemiddelde snelheid nie hezelfde is ls de gemiddelde bnsnelheid. Als s dezelfde weg heen en erug word fgelegd zijn en v gem, mr >. De momenne snelheid is: d v of v d In he digrm is di de richingscoëfficiën vn de rklijn op. Versnelling, gemiddeld en momenn Op vergelijkbre mnier zijn de gemiddelde en momenne versnelling v gem dv d nders geschreven: v d d Voorbeeld Sel d de pls-ijd-funcie gegeven is ls: (4 + ) m. Hierui volgen door een respecievelijk wee ml differeniëren de snelheidsfuncie en de versnellingsfuncie v ( 8 ) ms - v 8 ms - Op 3 s is: v 3 3 ms - 3 8 ms - vliemp@nikhef.nl 8

Gemiddelde berekenen me een inegrl Op de pgin s hiervoor werd de gemiddelde snelheid fgeleid ui een definiie uignde vn de verplsing: v gem. Soms is geen verplsing bekend, mr lleen de snelheidsfuncie. In d gevl kn he gemiddelde vn v over een periode ui de inegrl vn de v -funcie of -grfiek worden fgeleid. In he v -digrm vorm me he inervl de grfiek vn de funcie (zie HII, p..): v gem v v gem v d. vgem een even groo oppervlk ls Hiermee beplen we in he inervl. In he lgemeen geld voor een funcie q d he gemiddelde vn q over een inervl p gelijk is n hooge ussen wee plsen in een lndschp. p q pdp. He geld bijvoorbeeld ook voor de gemiddelde p p Verplsing en plsfuncie We schrijven nu voor de pls + vgem en in he lgemeen: + v d vliemp@nikhef.nl 9

Voorbeeld Sel d lleen de snelheidsfuncie v 8 gegeven is. Dn geef inegreren: ( 8 ) d (4 ) 4 + C. Merk op d de funcie v geen informie bev over de pls ijdens een beweging, mr lleen over de verplsing. Voor he berekenen vn plsen moeen er informie zijn gegeven (bijvoorbeeld ). Indien voor pg.. v een funcie bekend is, dn kn die worden geprimiiveerd. Zie ook hoofdsuk II-, Snelheidsverndering en snelheidsfuncie De versnellingsfuncie kn vergelijkbr n de prgrf hiervoor worden behndeld: gem d v v + gem en in he lgemeen: v v + d Ook hier geld d bij he berekenen vn de inegrl een inegrieconsne verschijn en voor de beginsnelheid v een ndere informiebron nodig is. De funcie geef lleen informie over de snelheidsverndering, nie over momenne snelheden. vliemp@nikhef.nl

Voorbeeld Als we uign vn de grfiek vn c en inegreren vnf dn volgen n een respecievelijk wee keer primiiveren: de snelheidsfuncie: v v + d v + ) v + + ( C (sel hier C ) en de plsfuncie: + ( v + ) d + ( v + ) + v + + C (sel ook C. ) De snelheidsfuncie en de plsfuncie zijn ps volledig is ls behlve de versnelling nog de wrden voor en v gegeven zijn. Overzich vn formules Differeniëren v gem v gem Inegreren Gemiddelde, lgemeen d v v d dv d v d d q gem p v gem vd + gem d v v + Bij consne versnelling: versnellingsfuncie c snelheidsfuncie plsfuncie p v v + + v + qdp v d d vliemp@nikhef.nl

. Bewegingsvergelijkingen Ui F m - de weede we vn Newon - volg d de resulerende krch bepl op welke mnier de beweging vn een lichm vernder. In he voorgeze onderwijs komen wee pen bewegingen uivoerig n de orde: * de eenprige beweging wrbij F en nul zijn en vconsn * de eenprig versnelde beweging wrbij F en consn zijn en vv +. En ook word geleerd d een sinusvormige rilling ons ls F en -k. In universiire cursussen zoek men eers een uidrukking voor de resulerende krch F RES. Drui volg de versnelling die geschreven word ls de weede fgeleide vn de pls. De weede we vn Newon word dn geschreven ls: d FRES d m Di is de bewegingsvergelijking vn he lichm. In de wiskunde noem men di een differenilvergelijking (fgekor DV), in di gevl een (nie-homogene) lineire DV vn de de orde. Snelheid en pls vind men vervolgens door een of weeml e inegreren. In he lgemeen is de resulerende krch op een lichm nie consn en fhnkelijk vn de pls, de snelheid of de ijd. Di leid o llerlei pes DV en o llerlei oplossingsmehodes. Zie hfd II-.. Voor he oplossen vn DV s is wiskundekennis nodig, plus enige ervring, w creiviei en de bereidheid o uiproberen. Hieronder geven we enkele problemen en me hun oplossing. We beperken ons o DV s die me kennis vn de vwo-wiskunde kunnen worden opgelos. F : eenprige beweging Me F word de bewegingsvergelijking: d d Deze - mees eenvoudige - lineire DV vn de de orde is homogeen. (Zie hfd II-)Tweede orde omd de hoogse fgeleide die voorkom de de fgeleide is; homogeen omd de nie vn fhnkelijke erm is nul is. De oplossing ken je. N wee keer primiiveren krijg je: C C + C en C zijn de inegrieconsnen en we kiezen die zodnig d we verder lleen e mken hebben me de begincondiies: + v. He rekenwerk zl in di gevl weinig moeie kosen. We beschrijven hier een oepssing. Inhlen, relieve snelheid vliemp@nikhef.nl

Een eenvoudig probleem: wee lichmen A en B bewegen me consne snelheden in de riching vn de posiieve -s. - - Voor A is A, m en va ms en voor B is B, +4 m en vb 4 ms. Op welk ijdsip word B door A ingehld? v A O A B vb s Voor een oplossingsmehode zie H.II-:. Alernief: kies een nieuw referenieseem Er zijn lineire vergelijkingen me onbekenden: + + m A, A, va B, B, + vb 4 + 4 m Kies B ls refereniesseem: B is nu seeds in de oorsprong en heef en opziche vn di seem snelheid. He lichm A is op op 6 m en zijn snelheid en opzic he vn A is 6 ms -. Men noem di de relieve snelheid vn A en opziche vn B. De plsfuncie vn A is nu 6 6 en me, A.o.v.B + volg opnieuw s. Je moe zelf beoordelen of deze mehode hndig is. Om de pls in he oude refereniesseem e berekenen, moe je voor A of B weer erugkeren nr he oude referenieseem (8 m). (Zie ook H.I-4..) F consn : eenprig versnelde beweging Zols genoemd is voor F consn de bewegingvergelijking d F. d m Deze DV is nie homogeen. Zie hfd. II-. De oplossing voor hebben we eerder fgeleid door wee keer inegreren: + v + vliemp@nikhef.nl 3

Vlversnelling en vericle worp m F O De vl zonder wrijving vn een lichm wrop lleen de zwrekrch werk is een voorbeeld vn een beweging wrvoor de zojuis beschreven bewegingsvergelijking geld. Kies eers: - he refereniesseem (hier: de rde) - de posiieve -s (hier: vericl omhoog) - de oorsprong (hier: bij de grond). Bij deze fsprken is de versnelling g 9, 8 ms - en de plsfuncie: Is + v 4, 9 v, dn spreek men vn een vericle worp. In he gevl d v > heef de beweging een hoogse pun. Deze ereme wrde word bereik op he ijdsip wrop, di wil zeggen ls v 4,9 Zie verder voor kenmerken vn deze de grdsvergelijking en een voorbeeld me een vericle worp: hfd. II-.. Twee vericle bewegingen - discriminnformule Een bllon dl me v ms -. Als de mnd op 36 m hooge is, sl iemnd vnf de grond een ennisbl rech omhoog. Die rk de mnd ne nie. Verwrloos de luchweersnd vn de bl. Neem voor g ms -. Bereken de beginsnelheid vn de ennisbl. vliemp@nikhef.nl 4

A A, v A, v B, B O g Op he ijdsip d de bl de mnd ne nie rk is v B v A en A B. Wij gn door op de lse condiie en gn me de discriminnformule n de slg. De plsfuncies zijn: A 36 B v B, 5 Gelijksellen lever op: ( + v ) + 36 5 B, Omd er één oplossing is, moe de discriminn nul zijn (zie H.II-..): b c ( + v ) 4 36 5 v B, + 4v 76 4 B, B, Hiervoor zijn wee mogelijke oplossingen: 4 ± 6 4 76 4 ± 53,67 v, Alleen de oplossing v 5 ms - heef in di gevl beekenis. Bij de ndere oplossing zou lleen bij een negieve wrde voor voldn worden n v v. B A F -C : hrmonische rilling De krch vn he pe F C ken je ls veerkrch. Deze krch reed op bij lle elsische vervorming. De bewegingsvergelijking word: d C k zod: d m d + k d De oplossing vn de bewegingsvergelijking is een hrmonische rilling: Asinω. Drui volgen: Aω cosω v Aω sinω ω vliemp@nikhef.nl 5

Bijzonderheden: de uiwijking is miml ls v de snelheid is miml ls en dus ook. De bewegingsvergelijking word: ω Asinω + kasinω ( k ω ) Asinω. Di beeken d de oplossing Asinω voldoe indien ω k. C Als we in deze voorwrde k en ω π invullen, volg hierui onmiddellijk de periode T m T en de frequenie f: T π m C f π C m F -qv : viskeuze wrijving De wrijvingskrch op een lichm d me kleine snelheid door een gs of vloeisof g, word voorl veroorzk door lgjes vn he gs of de vloeisof die lngs he lichm sromen. Deze viskeuze wrijvingskrch is evenredig me de snelheid: F qv. Sel d di de enige krch is. Denk bijvoorbeeld n een houen pl die ne onder de oppervlke in he wer drijf en door een kleine soo een snelheid v krijg. v o De bewegingsvergelijking is: d F q v d m m Vereenvoudig di me v v e k q dv k o + kv. De oplossing is (zie hoofdsuk II-): m d vliemp@nikhef.nl 6

De plsfuncie vind men door e inegreren en me C is: k k v k v e + ve ve + ( e ) + k k k k v Merk op d de erm ( e k ) de uikoms is vn de inegrl en de eenheid m heef. k De snelheid neem eponenieel me de ijd f. De pls nder eponenieel nr he eindpun. Vrije vl in vloeisof Bij een vrije vl vn een knikker in een vloeisof kom er in de DV een consne bij: dv q v d m De versnelling is nie gelijk n de grviieversnelling g omd de opwrse krch in rekening moe worden gebrch. Deze F opw hng f vn he volume vn de knikker en de Vρ dichheid vn de vloeisof: g vl. m -qv mg-f opw Voor een bolvormig lichm me srl R geld voor de wrijvingskrch de formule vn Sokes: F 6πηRv. Drin is η de viscosiei vn de vloeisof. Zie voor de oplossingsmehode hfd. II-. De oplossing voor v is: q m m v ( Ce ) q Als v, kies dn de inegrieconsne C. q m De snelheid neem oe od v, dus ls v. De formule voor v nder nr deze m q wrde ls nder nr oneindig. F -cv : vormweersnd De wrijvingskrch op een lichm d me groe snelheid door een gs of vloeisof g, word in hoofdzk door de bosingen me de gs- of vloeisofmoleculen veroorzk. He is een vormweersnd. De krch is dn F cv. De bewegingsvergelijking is nu: vliemp@nikhef.nl 7

d d c m d d Deze DV is nie lineir en nie op de beschreven mnieren op e lossen. In concree gevllen is wel ies over begin- of eindwrden e zeggen. Bijvoorbeeld bij een vrije vl: de snelheid is miml ls de versnelling nul is, dus ls mg F cv. Dn is consne eind snelheid mg Fopw v. c opw Numeriek inegreren, mehode vn Euler Als je geen direce oplossing wee, kun je lijd nog in een spredshee numeriek inegreren volgens de mehode vn Euler. De mehode vn Euler De mehode vn Euler voor he numeriek inegreren vn een bewegingsvergelijking houd he volgende in:. g ui vn een ijdsip wrop beginwrden bekend zijn voor lle vribelen (F,,v,) en consnen (m,c,ec);. vind een uidrukking voor de versnelling ls funcie vn F, m, c, v en (nie vn ); 3. verdeel he inegrieinervl in voldoende kleine ijdsinervllen wrin de wrden vn, v en nie significn vernderen en beschouw, v en in een ijdsinervl ls consn 4. bereken voor he ijdsip + nieuwe wrden voor, v en me o de opgeselde uidrukking voor o v v + o n n n n n + vn 5. herhl di voor he volgende ijdsinervl.. enzovoor o een eindvoorwrde is bereik, bijvoorbeeld d n, v of een beplde wrde overschrijden. Voorbeeld Een uomobilis hl bij 3 ms - zijn voe vn he gs. De uo word dn voornmelijk door de luchweersnd fgeremd. Sel d bekend is d F W,5v en de uo kg weeg. Hoe vernder dn de snelheid ls funcie vn de ijd?. Op zijn en v 3 F. Voor de versnelling sellen we de uidrukking op: m 3. We nemen n d s in di gevl voldoende klein is.,5,4 W v v. vliemp@nikhef.nl 8

v (m/s) 3 5 v grfiek vormweersnd 5 5 6 8 4 (s) A B C D (s) (m) v (m.s^-) A (m.s^-) 3,4*C*C 3 A+ B+(C*) C+(D*),4*C3*C3 4 A3+ B3+(C3*) C3+(D3*),4*C4*C4 A B C D (s) (m) v (m.s^-) A (m.s^-) 3 -,6 3 3 9 -,6 4 59 8 -,7 vliemp@nikhef.nl 9

III. Krchen en beweging in dimensies Op een lichm werken vk meerdere krchen en die kunnen verschillende hoeken en opziche vn de bn mken. Om in deze gevllen de beweging e beschrijven is een beschouwing in of 3 dimensies nodig. Drover g di hoofdsuk. Belngrijk is d grooheden ls krch, versnelling, impuls, snelheid en verplsing zowel een grooe ls een riching hebben. He zijn vecoren en drvoor gelden specile rekenregels. In hoofdsuk II.3 worden die behndeld; in di hoofdsuk gebruiken we ze zonder ndere uileg. We beginnen me enkele lgemene opmerkingen over de keuze vn een refereniesseem en plsen een knekening bij he begrip zwrekrch. Vervolgens gn we in op he gebruik vn vrije-lichmsdigrmmen om de krchen in een sseem e nlseren. Drn behndelen we he begrip krchmomen d nodig is om de beweging e beschrijven vn lichmen die een beplde uigebreidheid hebben en kunnen roeren. Tensloe bekijken we enkele veel voorkomende bewegingen in dimensies en de drbij gebruikelijke prmeervoorsellingen.. Refereniessemen He beschrijven vn een beweging begin (wel of nie onbewus) me he kiezen vn een refereniesseem en een ssenselsel d n di refereniesseem is gekoppeld. Een refereniesseem is een lichm me een zekere fmeing wrvn de delen en opziche vn elkr in rus zijn. He lichm mg geen pun zijn omd nie lleen de oorsprong vn he ssenselsel mr ook de riching vn de ssen moe worden vsgelegd. De keuze vn een goed refereniesseem vereis enige creiviei en voorl inzich in he probleem. Enkele ips: Mk een bewuse keuze vn he refereniesseem en he ssenselsel. Overweeg een refereniesseem wrin zo weinig mogelijk lichmen bewegen. Kies een s evenwijdig me een bewegingsriching die nie vernder. Bedenk voorf welke formules je nodig heb en kies een ssenselsel wrbij die zo eenvoudig mogelijk worden. Voorbeeld Sel, je moe de beweging beschrijven vn iemnd die he dek vn een vrend schip overseek. Welk refereniesseem je kies hng f vn de vrg of er ndere lichmen dn he schip en de persoon in de beschouwing worden berokken. Is di nie he gevl, dn kies je he schip ls refereniesseem. De oorspong kn elk pun op he schip zijn, bijvoorbeeld he pun wr de persoon begon e lopen of de boeg vn he schip. De posiieve -s kn ook vrij worden gekozen, bijvoorbeeld de bewegingsriching vn de persoon, of de s vn he schip. vliemp@nikhef.nl 3

Figuur 8 Alernieve refereniessemen Is ook een lichm in he wer of op de wl vn belng, dn zijn ndere keuzes e overwegen. In bijgnde figuur zijn enkele vrinen geekend. Bij he verplsen vn he refereniesseem nr een lichm d in he oude sseem beweeg, vernderen lle coördinen en de richingen en de grooes vn de snelheden. Inerilselsel Is in een refereniesseem de versnelling vn he lichm nul zolng er geen krch op werk, dn word he een inerilselsel genoemd. De ween vn Newon gelden lleen voor inerilselsels. Elk refereniesseem d me consne snelheid rechlijnig beweeg en opziche vn een inerilselsel is opnieuw een inerilselsel. In een refereniesseem d dri of versnel en opziche vn he lichm, verschijn een versnelling zonder d er een nwijsbre krch is. Men wij die versnelling dn n schijnkrchen. Zo n is geen inerilselsel. Zoies gebeur bijvoorbeeld op rde. F mpz F cen F g F zw Figuur 9 Zwrekrch vliemp@nikhef.nl 3

Schijnkrch Vk sel men de zwrekrch gelijk n de grviiekrch ussen de rde en he lichm. D is nie heleml juis. De grviie zorg nie lleen voor de zwrekrch, mr ook voor een middelpunzoekende krch die een lichm me de rde l meedrien. De zwrekrch is de verschilvecor vn de grviiekrch en de middelpunzoekende krch: F F F Behlve op de polen is de zwrekrch hierdoor kleiner dn de grviiekrch. Bovendien heef de zwrekrch overl ussen de polen en de evenr een componen lngs he rdoppervlk in de riching vn de evenr. In de figuur is di (serk overdreven) weergegeven. Op 5 Noorderbreede is de middelpunzoekende versnelling evenwijdig n he vlk vn de evenr ongeveer, ms - en veroon de zwrekrch een fwijking vn ongeveer, nr he zuiden. Is de plek op rde he refereniesseem dn lijk er een versnelling in de riching vn de evenr e zijn zonder d er een nwijsbre krch voor is. He is dus srik genomen geen inerilsseem. Omd de fwijking voor veel oepssingen verwrloosbr is, beschouw men de rde nieemin ls sseem wrin de ween vn newon gelden. Vnui de rde ls refereniesseem wij men de kleine fwijking vn de versnelling n een schijnkrch, nmelijk de cenrifugle krch F cen. Zie de figuur. Anders dn in Nederlndse schoolboeken kom he begrip cenrifugle krch in de inernionle lieruur vk voor. Een ndere schijnkrch is de Corioliskrch die vernwoordelijk is voor de driing vn luchsromen in de mosfeer. zw g mpz vliemp@nikhef.nl 3

. Vrije-lichmsdigrmmen Eén sseem Om helder e nlseren wrdoor de resulerende krch op een lichm word bepld, eken men he vrije-lichmsdigrm. De eisen n he vrije-lichmsdigrm zijn:. eken schemisch lleen he lichm wrvn je de beweging beschrijf. Er kom geen enkel nder lichm in de figuur voor: geen onderseunende helling, geen koord wr he n hng, geen veer die he wegduw.. geef lle krchen die vn buienf de verplsing beïnvloeden n me pijlen in de juise riching en me de juise relieve lenge. Dus in pls vn een helling een normlkrch en een wrijvingskrch, in pls vn een ouw een rekkrch ec. Teken geen inwendige krchen ls die geen invloed hebben op de beweging. 3. geef de riching vn de - en de -s n; 4. ls er lleen verplsing is en geen roie opreed, dn is de vorm vn he lichm in de ekening onbelngrijk. Teken dn he lichm ls een kleine rechhoek, een kleine cirkel, een sip of een rech kruis en l lle krchen in he zelfde pun beginnen. Voorbeeld: wrijving op een helling Een slen doos lig in rus op een eveneens slen helling. De doos weeg 5 kg. Door een kleine rilling vn de helling glijd de doos nr beneden. Me welke versnelling? Neem g ms -, µ s,7 en µ d,6. We ekenen eers he vrije-lichmsdigrm. F N F W µ F N 35 35 F z Figuur Vrije-lichmsdigrm. Toesnd in rus: FN mg cosα dus dus F F N mg cosα F mg sinα µ FN µ F mg sinα s N s Delen geef: µ s n α α rcn,7 35 vliemp@nikhef.nl 33

. Toesnd in beweging: F m mg sin α µ d FN m Invullen vn mg sinα µ sfn en F N mg cosα geef: µ F µ F µ µ ) mg cosα m s N d N ( s d en hierui volg ( µ µ ) g cosα (,7,6) cos35,8 ms s d - Twee deelssemen Derde we vn Newon Soms bes een sseem ui wee me elkr verbonden objecen. Dn kn he hndig zijn he sseem in wee deelssemen A en B e splisen. In pls vn een verbinding worden dn de inerne krchen ngewezen die zij op elkr uioefenen. Volgens de derde we vn Newon is de krch die A op B uioefen even groo is ls de krch die B op A uioefen en egengeseld gerich: F F. A B B A Twee digrmmen He werken me wee deelssemen heef voor he vrije-lichmsdigrm ls consequenie d voor beide deelssemen pr een digrm moe worden geekend. De invloed vn he ndere deelsseem word in elk dgrm door een inerne krch voorgeseld. Voorbeeld Op een fel lig een blok hou vn 6 kg. He word voorgerokken door een gewich vn 4 kg n de zijkn vn de fel. He koord ussen he blok en he gewich loop over een krol. De versnelling vn he sseem is ms -. Bereken µ d. Verwrloos de mss en de wrijving vn he koord en de krol. Neem voor g ms -. Anpk: Bereken bij blok B d F s 36 N en vervolgens bij blok A d µf N 3 N. vliemp@nikhef.nl 34

Blok A Blok B F N µ F N F s F s m B g m A g Figuur Vrije-lichmsdigrm deelssemen Cirkelbeweging Een cirkelbeweging reed op ls in elk pun vn de bn de resulerende krch op hezelfde pun is gerich. α F spn r mg Figuur Zweefmolen De versnelling die nodig is om een cirkelbeweging me de srl r en me de bnsnelheid v f e leggen, is: v v c of c ω r me de hoeksnelheid ω. r r mv Bijgevolg is een middelpunzoekende krch F c of F c mω r vereis. r He vrije-lichmsdigrm vn een soelje in een zweefmolen l wee krchen zien: de zwrekrch vericl omlg en schuin omhoog de spnkrch in de kbel. De resulerende krch heef op elk pun vn de horizonle cirkelbn dezelfde grooe en is seeds nr he middelpun gerich. De resulerende krch word nie in he vrije-lichmsdigrm geekend. vliemp@nikhef.nl 35

3. Momen en roie To nu oe is er vn uigegn d een (resulerende) krch lleen o een verplsing leid. Drbij word een lichm ls een pun beschouwd en word ngenomen d elke krch op di pun werken. Bij uigebreide lichmen is di echer nie geoorloofd. Ze kunnen om een bepld pun (mssmiddelpun) drien en drom is he belngrijk e leen op de werklijn vn een krch en opziche vn di dripun. De roie vn een uigebreid lichm word veroorzk door een momen. Als de krch F is en r de fsnd is vn he dripun o de werklijn vn de krch dn is de grooe vn he momen M: M rf. Men noe m r de rm. Le op d de rm de fsnd vn he dripun o de werklijn is en nie o he beginpun vn de krch. Di beginpun heef weinig beekenis, men mg nmelijk de krch lngs de werklijn verschuiven zonder d he momen vernder. Me behulp vn de formule en de figuur is di gemkkelijk in e zien. Bij uigebreide lichmen mg een krch - wel lngs zijn werklijn mg worden verschoven: he momen vernder dn nie; - nie evenwijdig n zijn werklijn mg worden verschoven. werklijn werklijn r F F + r dripun dripun Figuur 3 He momen vn een krch In he voorgeze onderwijs is he de gewoone de formule M Fr e gebruiken en er een fsprk over de riching n oe e voegen. Als de krch een driing egen de wijzers vn de klok veroorzk, dn reken men he momen posiief. In vecornoie volgen de grooe en de riching ui een formule: M r F. He momen is he uiproduc vn de rm r en de krch F. Zie de figuur. In he uiproduc is de volgorde vn de grooheden belngrijk. De riching vn he uiproduc volg immers ui de recherhndregel. Zie hoofdsuk II-3 over vecoren. De riching vn F r is egengeseld n de riching vn r F. Vndr d we liever consequen blijven en de grooe vn he momen schrijven in de vorm M rf. Evenwichsvoorwrden De snelheid en de roie vn een lichm vernderen nie ls n wee voorwrden is voldn: F M. vliemp@nikhef.nl 36

Men noem di de evenwichsvoorwrden. Dus, ls deze voorwrden gelden, dn - blijf een lichm in rus, ls he l in rus ws; - blijf he lichm in een eenprige cirkelbeweging en/of een eenprig rechlijnige beweging. Vrije-lichmsdigrm voor een uigebreid lichm Eerder is opgemerk d bij uigebreide lichmen krchen nie evenwijdig n hun werklijn mogen worden verschoven. Dn vernder immers he momen. Di beeken d in he vrije- knelpun moe worden lichmsdigrm vn een uigebreid lichm ook een dri- of ngegeven en de rm vn elke krch. Geef he lichm weer door middel vn een zo eenvoudig mogelijke figuur. Vk vols een lijnsuk. Bijvoorbeeld een horizonle blk word in wee punen onderseund. F N F N Z r r mg Figuur 4 Evenwijdige werklijnen Soms is een rechhoek of een ndere weedimensionle figuur nodig. Bijvoorbeeld een deur hng op wee schrnieren S en S in een kozijn. S Z S mg Figuur 5 Deur vliemp@nikhef.nl 37

4. Bewegingen in dimensies Prmeervoorselling De beweging vn een lichm in wee dimensies kn men beschrijven me een bnvergelijking. Die druk he verbnd ussen de coördinen ui. Voor een cirkelbeweging zou di de vergelijking ( ) + ( b) r kunnen zijn en voor een horizonle worp k( ) + b. b r Figuur 6 Cirkelbn g v s v v v Figuur 7 Horizonle worp De bnvergelijking geef geen informie over he ijdsip wrop he lichm zich in een bepld pun bevind. Drom beschrijf men de beweging liever in de vorm vn een prmeervoorselling. Di houd in d we de - en de -coördin fzonderlijk beschrijven ls funcie vn dezelfde prmeer : f () g(). Onbinden in componenen Grooheden ls verplsing, snelheid v, versnelling, krch F en impuls p zijn vecorgrooheden en kunnen in componenen lngs de - en de -s worden onbonden. Of ui componenen worden smengeseld. Deze componenen zijn onfhnkelijk vn elkr. Zie hoofdsuk II-3 over vecoren voor verdere uileg over he onbinden in componenen. vliemp@nikhef.nl 38

De onfhnkelijkheid vn de componenen mk he ook mogelijk he ssenselsel zo e kiezen d lngs elk vn de ssen een herkenbre - en voorl gemkkelijk oplosbre - bewegingsvergelijking ons. Zie voor enkele pen bewegingen he hoofdsuk over rechlijnige bewegingen. Horizonle worp De horizonle worp is een eenvoudig voorbeeld vn een beweging die weeën kn worden gesplis. Omd de vlversnelling een rol speel lig he voor de hnd een s vericl e kiezen. Een horizonle beginsnelheid heef geen componen lngs de vericle s en drom geen invloed op de vericle beweging. Onfhnkelijk vn elkr vind dus een versnelde beweging omlg pls en egelijkerijd een eenprige beweging nr rechs. Indien wrijving en ndere krchen geen rol spelen is de prmeervoorselling vn de horizonle worp: v + g + Opmerkingen: - Als he beginpun ls oorsprong word gekozen, dn zijn en gelijk n nul. - Als de -s omhoog posiief word genomen, dn word in de formule g <. Kies je de posiieve -s nr links, dn word v <. - Als luchweersnd een rol speel, dn word de invloed drvn fzonderlijk op elk vn de bewegingen in rekening gebrch. De verplsing s de bn: s +. is de vecor ussen de plsen op wee ijdsippen, dus ussen wee punen op De snelheid lngs de bn op een bepld ijdsip is de vecorsom vn de snelheden lngs elke vn de ssen op di ijdsip: v v + v. He berekenen vn de lenge vn een somvecor en de hoek me de -s word beschreven in hoofdsuk II-3. Voorbeeld horizonle worp Een mun word me een beginsnelheid v vn een gldde fel geschoven en rk de grond onder een hoek ϕ. De hooge vn de fel is h. Druk ϕ ui in v en h. Neem de figuur horizonle worp ls uigngspun. Voor ϕ geld: n ϕ Lngs de -s geld: dus v g v gh v v h h g, g vliemp@nikhef.nl 39

Me v v gh gh gh v is nϕ ϕ rcn v v v v Worp in willekeurige riching Mk de beginsnelheid een hoek α me de -s, dn onbinden we de snelheid in wee componenen: v v cosα en v v sinα., o, o Drmee worden de snelheid- en plsfuncies: v v cosα, o v cosα + en v g + v sinα, o sin g + vo + α Hier gelden dezelfde opmerkingen ls bij de horizonle worp. Voorbeeld worp in willekeurige riching Een bskebller werp een bl nr een medespeler op een fsnd vn 6 m. Ui videobeelden blijk d de bl dr,8 s over doe. He begin en eindpun vn de bl zijn op dezelfde hooge. Bereken he hoogse pun vn de bl en opziche vn zijn beginpun. He begin en eindpun zijn op gelijke hooge. Di beeken: g + v + g + v ( g + v ) Ui volg g + v v g 4 In he hoogse pun is v,. Drmee leid v v g o: Invullen vn en v in, 4, 4 g + v geef,4 + 4,4, 8 He hoogse pun lig,8 m hoger dn he begin en eindpun. Cirkelbeweging Een cirkelbeweging kn worden voorgeseld door de prmeervoorselling: + r cosω b + r sinω vliemp@nikhef.nl 4

Hierin is ω de hoeksnelheid. De srl r noem men ook wel mpliude. De beweging is periodiek me T ls de periode of omloopijd en me f ls de frequenie. Me π behulp vn vt πr is gemkkelijk in e zien d: ω πf. T Voorbeeld: polire sellieen Rond de rde cirkel een nl sellieen in bnen over de noord- en de zuidpool. Deze polire bnen hebben een periode vn ongeveer,5 uur. W is de srl vn deze bnen? Anpk: π De hoeksnelheid voor deze beweging is ω (rd)s -.,5 36 De versnelling die is vereis, is: c ω r. De versnelling word geleverd door de grviie: M g r G. r Hierin is G de consne vn Newon en M de mss vn de rde. De wrde vn beide kn in de bellen worden opgezoch. Gelijksellen vn beide uidrukkingen voor de versnelling geef: ω r 3 GM. Hierui kn r ls de enige onbekende worden opgelos. vliemp@nikhef.nl 4

B Wiskunde vliemp@nikhef.nl 4

I. Rekenen. Breuken Opellen, frekken Breuken opellen of vn elkr frekken kn lleen ls ze gelijknmig zijn. Opellen en frekken gebeur me de ellers. c c c c + 3 + + ( + ) b b b b b b b b b Gelijknmig mken De wrde vn een breuk vernder nie ls hij me word vermenigvuldigd. En kn worden geschreven ls een breuk me de ndere noemer: c d bc d + bc 8 3 + + + + b d bd bd bd 3 4 Splisen Tellers kunnen worden gesplis, noemers nie. + b b + mr nie: c + d c + d c + d + 3 5 + 3 5 6 Vermenigvuldigen, delen He vermenigvuldigen en he delen vn een breuk is een operie die op de eller word oegeps. Verschijn in de eller een breuk, dn vereenvoudig je he geheel me een nieuwe noemer. b b c c b c c b ( bc) (bc) 7 7 3 3 Bedenk d bij he delen door een breuk geld: n. n Immers, moe gelijk zijn n 3 derde, of iende delen, ec. Vndr de veelgebruike geheugenseun: delen door een breuk is vermenigvuldigen me he omgekeerde : c d 3 6 b d bc 7 3 7 7. Hkjes wegwerken Hkjes Hkjes mken duidelijk welke ermen vn een uidrukking wel vermenigvuldigd moeen worden en welke nie: vliemp@nikhef.nl 43

( b + c) + d b + c + d ( + b)( c + d) c + d + bc + bd Bijzondere producen ( + b) ( + b) ( b) ( b) ( + b) ( b) + b + b b + b b 3. Worels Een worel ons ui een mchsfuncie. Zie subprgrf 4. Mchen. Rekenregels He splisen vn worels is lleen geoorloofd bij producen en quoiënen. Voor he vereenvoudigen vn worels gebruik men vk de volgende regels: b b m b p+ q mp b p p q 4. Mchen Definiie Bij mchsverheffen word een grondl herhldelijk me dizelfde gel r vermenigvuldigd. De mchsfuncie word geschreven ls:. Hierin is he grondl en r de eponen. We onderscheiden 3 domeinen voor r: Me r > is een groeifuncie vn de grd r: de grd se grd r r de grd r Me 3 n n < r < 3 is een worelfuncie: m m n n n n n m m n vliemp@nikhef.nl 44

Me r < geef he negieve eken n d een breuk is en bepl de bsolue wrde vn r of de noemer een groeifuncie dn wel een worelfuncie is: grd - r r grd -r Rekenregels n n p n m m n b m p n m n ( ) ( b) m n+ m n m m p m n ( ) 8 Merk op d 3. ( 9 ) 3 3 3 9 3 6 5 Weenschppelijke noie Volgens de regels vn de weenschppelijke noie bes de gelwrde vn een grooheid ui delen: - een gel me lle significne cijfers, - een mch vn. Acher de gelwrde hoor de eenheid vn de bereffende grooheid. De mch vn word vervngen door voorvoegsel ui de bel cherin. Equivlen is: 386 m 6,386 3 6 m,386 mm. Voord je grooheden kun opellen of frekken moeen ze eers in dezelfde grooe-orde worden uigedruk. Bijvoorbeeld: Verplsing,386 km Verplsing 4 m in dezelfde riching De ole verplsing,386 km +,4 km,5 km Scheid bij he bereken vn producen en quoiënen de significne gellen vn de mchen vn, he bespr werk door de mchen pr (ui he hoofd) e berekenen. 5 3 5 3 9,4 3,6 9,4 3,6 4 4,8 7,5,8 7,5 wrin 5 4 3 5 3 4 4 vliemp@nikhef.nl 45

5. Logrimes Definiie Elk posiief reëel gel b kn geschreven worden ls een mch vn een nder gel. De eponen r bij die mch hee de r-logrime vn b. Als he grondl is, dn word de nie genoemd. r b r logb log 8 3 log n n 3 log 8 log log log Rekenregels De regels voor he rekenen me logrimes corresponderen me de regels voor mchen. 3 log( b c) logb+ logc log( ) 3 + 5 b 3 log( ) logb logc log( ) 3 c m logb m logb 6 log 3 log 6. e-mchen en nuurlijke logrimes Definiies e en ln Een e-mch is een mch me he grondl: e,788... 3 e + + + +...! 3! He smbool 3! s voor 3 fculei, di is he cumulieve produc vn lle nuurlijke gellen 3. Dus 3! 3 6. Door he differeniëren vn de reeks nr ons de reeks opnieuw, ofwel de fgeleide vn e is e : de e. d He logrime me he grondl e ln e noem men he nuurlijke logrime, me noie ln : Rekenregels Voor e-mchen en nuurlijke logrimes gelden dezelfde regels ls voor ndere mchen en logrimes. Bijzonderheden zijn: ln ln log ln ln log ln e en ln vliemp@nikhef.nl 46

7. Meekunde Gelijke en complemenire hoeken α α 3 8- α α Figuur 8 F- en Z-hoeken Als een rech lijn wee evenwijdige lijnen snijd, dn zijn: * α α Deze noem men F-hoeken omd ze zijn ingesloen door de snde en de liggende lijnen vn de F (in de figuur is F gedrid en gespiegeld). Ze vllen n verschuiving over elkr. * α α 3 Deze noem men Z-hoeken omd ze overeenkomen me de bij een Z gevormde scherpe hoeken. Ze vllen n 8 drien over elkr. * α α 3 Bij wee snijdende lijnen zijn de egenover elkr liggende hoeken gelijk. De ns elkr liggende hoeken bij wee snijdende lijnen zijn complemenir (smen 8 o ). Hoeken en zijden in een driehoek b γ α+β α c β Figuur 9 Hoeken en zijden vn een driehoek In een driehoek is de som vn de drie hoeken gelijk n 8 o en verder geld: b c sinα sin β sin γ b b + c + c bc cosα c cos β c + b b cosγ (Zie 8 voor sinus en cosinus.) Bij een rechhoekige driehoek vervl de derde erm en gn de vergelijkingen over in de selling vn Phgors: b + c vliemp@nikhef.nl 47

Bsis en hooge vn een driehoek h Figuur Bsis en hoogelijn in een driehoek De bsis en de hooge vn een driehoek hngen me elkr smen. Men kn elke zijde ls bsis kiezen. Is de zijde de bsis, dn is de hooge de lenge vn de loodlijn h die op is neergelen ui de oversnde hoek. De norml De loodlijn door een pun op een oppervlk noem men de norml. Is he oppervlk een vlk me een rechhoekig ssenselsel en, dn s de norml loodrech op beide ssen. Bij een gekromd oppervlk s de norml loodrech op he rkvlk. De norml in een pun op een bol is de reche door di pun en he middelpun vn de bol. Oppervlke- en inhoudsformules Tble Formules oppervlk en inhoud bbsis, hhooge en rsrl Oppervlk Driehoek ½bh Prllellogrm Bh Cirkel πr Bol 4πr Cilindermnel πrh (zonder grondvlkken) Inhoud Bol 4/3 πr 3 Cilinder πr h Kegel ⅓ πr h Pirmide ⅓.grondoppervlk.h vliemp@nikhef.nl 48

8. Goniomerische funcies r.sinα π/ P r bgα π α b r.cosα 3π/ Figuur Goniomerische begrippen in een cirkel Definiie sinus, cosinus, ngens In de figuur is de rechhoekige driehoek me de zijden r, en b en de hoek α geekend. De hoek word gemeen en opzich vn de posiieve -s, egen de wijzers vn de klok. He deel vn de cirkel voor α < 9 noem men he se kwdrn. Er geld: sinα r b cosα r nα b Een geheugenseun voor deze definiies is he ngrm soscso: Sinus Oversnd/Schuin ; Cosinus Anliggend/Schuin ; Tngens Oversnd/Anliggend. Definiie rcsin, rcn Terugrekenen vn een wrde voor de sinus, cosinus of ngens nr de wrde vn de hoek gebeur me de funcies rcsinus, rccos en rcngens. b rcsin α rc cos α rcn α r r b De funcie rcsin beeken de hoek wrvn de sinus is. r r Voor rcsin en rcn word vk sin - en n - geschreven (he beeken dn bij uizondering nie of ). Correcer is: INV sin (inverse funcie vn sin). sin n vliemp@nikhef.nl 49

Prmeervoorselling vn een cirkelbn De pls vn een pun P op een cirkel in he,-vlk kn men geven in de vorm vn een prmeervoorselling. Zie de figuur me de bsiscirkel. Di beeken d de - en de - coördin fzonderlijk worden uigedruk ls funcie vn dezelfde (vernderlijke) prmeer, bijvoorbeeld de hoek α: r cosα P α Pα r sinα Is α bekend, dn zijn ook de - en de -coördin bekend. Door de prmeer e elimineren ons een bnvergelijking in, en r.: + r. Indien de - en de -coördin bekend zijn, volgen r en α ui: r + p p p en α rcn. p Definiie rdil Een rdil (smbool: rd) is de hoek wrbij de lenge vn de boog srl r. Omd de omrek vn een cirkel πr is, is o o 36 36 rd 57,3 π 6,8 grden π rd 36 In de figuur op de vorige pgin is: bgα α rd r o bg α gelijk is n de Veelvoorkomende wrden vn sinus en cosinus in grden o 3 o 45 o 6 o 9 o In rd π/6 π/4 π/3 π/ Sin ½ ½,7 ½ 3,86 Cos ½ 3,86 ½,7 ½ Tbel Veelvoorkomende wrden vn sin en cos De grfieken vn de sinus en de cosinus vliemp@nikhef.nl 5

Indien we in de bsiscirkel n he begin vn deze prgrf de srl r gelijk n mken, dn geven sinα en cos α de uiwijking vn P en opzich vn -s en de -s. Als funcie vn α zijn di de ondersnde grfieken. sin α,86,7,5 -,5 -,7 -,86 - α 3 π/6 cos α,86,7,5 π 7π/ π/ 3π/ π 5π/ 3π 4π -,5 -,7 -,86 - α 3 π/6 Figuur Grfieken vn sinus en cosinus Periodieke oplossingen De sinus en cosinus zijn periodieke funcie me periode π ls de hoeken in rdilen worden uigedruk of me een periode vn 36 ls di in grden gebeur. Uignde vn een hoek in he eerse kwdrn geld: ls sinα, dn is ook sin( α + π ) en sin(( π α) + π ) ls cosα, dn is ook cos( α + π ) en cos( α + π ) Fse en gereduceerde fse α rd α De fse druk ui hoe vk en hoe ver een periode versreken is: ϕ of, π rd 36 De gereduceerde fse druk ui hoe ver de lse periode versreken is: in de uikoms voor φ worden lle cijfers voor de komm weggelen. Rekenregels In de driehoek in he se kwdrn is gemkkelijk e conroleren d: vliemp@nikhef.nl 5

sin(9 cos(9 α) cosα α) sinα sin α + cos α sinα nα cosα Op grond vn spiegeling en opziche vn een vn de ssen of en opziche vn de oorsprong geld voor hoeken in ndere kwdrnen: sin( π α) sinα cos( π α) cosα sin( π + α) sinα cos( π + α) cosα sin(π α) sin( α ) cos(π α) cos( α ) sin( α ) sinα cos( α ) cosα Bijzondere relies zijn: sinα ± sin β sin ( α ± β ) cos ( ) α β sin( α ± β ) sinα cos β ± cosα sin β cos( ± β ) cosα cos β sinα sin β sin α sinα cosα cos α cos α sin α cosα sin α + cosα cos α 9. Oplossen vn vergelijkingen He eken in een vergelijking beeken nie er volg een uikoms mr druk de gelijkheid vn he linkerdeel en he recherdeel vn de vergelijking ui. En die gelijkheid blijf gelden ls je links en rechs hezelfde doe: me hezelfde gel vermenigvuldig, deel, opel of er op een geoorloofde wijze een funcie op oeps, zols de logrime nemen, o een mch verheffen, een sinuswrde vn neem ec. Een vergelijking me een onbekende Werkwijze voor he oplossen vn vergelijkingen Werk de hkjes weg en mk ermen wrin (of een en ndere grooheid) de enige onbekende is. Ze lle uidrukkingen me links vn he eken en ze de overige rechs Vereenvoudig opnieuw: mk uidrukking in links vn he eken en mk voor de res uidrukking rechs vn he eken. Ps links en rechs vn he eken zo nodig een inverse of een ndere funcie oe. Mk vrij en bereken de wrde vn door links en rechs vn he eken dezelfde funcie oe e pssen: worels, logrime, mch, ec. vliemp@nikhef.nl 5

Voorbeeld : 7 Los op ui + 3 7 3 3 7 3 7 3 9 7 4 4 4 4 3 3 + 7 43 Voorbeeld Los op ui,,3 log(,3 (log,,3,,3 3 3 ) log, 3 ) 3,3 ( b is oplosbr ls > ) Voorbeeld 3 Los op ui log3 + log,74 log 3 + log + log + log,74 log( 3) + log,74 log,74 log 6,96 log,98,98 9,55 Twee bijzonderheden bij he oplossen vn een goniomerische funcie zijn d er vnwege smmerie wee oplossingen zijn en d de oplossing periodiek zijn. Zie hiervoor subprgrfen 8.g en 8.i. Voorbeeld 4 Voorwrde: sin(3 + 4) ) Los op ui + sin(3 + 4),76 vliemp@nikhef.nl 53

,76 sin(3 + 4),88 3 + 4 rcsin,88,8 rd opl. : 3 + 4,8 ± n π,8 4 ± n π,97 ± n 3 opl. : 3 + 4 ( π,8) ± n π π,8 4 ± n π,64 ± n 3 3 π rd 3 π rd Twee vergelijkingen me onbekenden Los en op ui: + 3 6 3 4 4 Coëfficiënenmehode Mehode : door + 3 6 3 4 4 6 + 9 48 6 8 8 + 9 ( 8) 48 ( 8) 7 + 3 3 7 6 3 6 9 7 ( 3) ( ) (rek f) 8 7 3 7 4 6 7 bewerking vn schrijf coëfficiënen beide vergelijkingen in de vorm + b + c onder elkr bewerk de vergelijkingen zodnig d één vribele, bijvoorbeeld, in beide vergelijkingen dezelfde coëfficiën krijg. D luk lijd ls lle ermen vn één vergelijking me de coëfficiën ui de ndere vergelijking word vermenigvuldigd. (Als lle ermen vn dezelfde vergelijking me hezelfde gel worden vermenigvuldigd, vernder di nies n de oplossing.) rek de ene vergelijking vn de ndere f los op vul in één vergelijking in los op Mehode : door vervnging vliemp@nikhef.nl 54

3 Subsiuiemehode 6 3 6 3 3 4 4 48 9 4 4 7 + 48 8 7 3 7 6 3 9 7 8 7 4 6 7 g ui vn één vergelijking en druk één vribele (bijv. ) ui in de ndere vul de uidrukking voor in in de ndere vergelijking. Er ons nu één vergelijking me één onbekende: los op vul in in de eerder gevonden uidrukking voor los op Tweedegrds grdsvergelijking De lgemene vorm vn een de grdsvergelijking is: + b Er zijn oplossingen voor ls voor de discriminn geld b 4c + b ± b 4c, b De funcie is smmerisch om. Di beeken d de funcie voor deze wrde vn een minimum (of een mimum) heef: m, min 5 4 3 - -3 b c 4 b - 4 8 6 c Figuur 3 Kenmerken de grdsvergelijking Voorbeeld : Los op ui 6 + 4 vliemp@nikhef.nl 55

, ( 6) ± (6) 4 4 6 ± 56 6 8 ± 4,9 3, Voorbeeld : vericle worp omhoog Een voorwerp word vnf een hooge - 5 m me een snelheid v ms omhoog - gegooid. Neem g ms. Op welk ijdsip en hoe hoog bereik he z n op? g + v + - Omhoog is posiief, dus g ms en 5 + 5 + b He hoogse pun word bereik ls s ( 5) Dn is b c 5 4 4 ( 5) m m. Benderingen Bij producen Als en b beide groer zijn dn en ls b <<, dn is zeker ook b <<. In de bijzondere producen in subsecie b word b dn vk verwrloosd: ( b) ( b) b ( + b) ( b) Bijvoorbeeld: 5,8 5,8 (6,)(6,) 6, +.. 35,6 (fou,4) Bij mchen Een vergelijkbre bendering ls hierboven word ook bij hogere mchen oegeps, zols in uidrukkingen die geschreven kunnen worden ls ( + ) r ( ) r Als klein genoeg is en opziche vn, dn worden de de en hogere mchen vn worden vk verwrloosd. Veel gebruike benderingen zijn: ( + ) r + r ( ) r r vliemp@nikhef.nl 56

( + ) ( ) r r ( + ) r r r ( ) + r Bij kleine hoeken In de wiskunde worden de funcies sin en cos me de reeksen benderd: 3 5 α α sinα α +... 3! 5! 4 α α cosα +...! 4! Hierui volg voor kleine α (in rdilen): sin α α cosα n α α In veel gevllen is de eerse bendering voor hoeken o 5 nog ccepbel. r b l α c Bekijken we een deel vn een cirkel me srl r en de booglenge l. Drin word de rechhoekige driehoek me rechhoekszijden b en c ingesloen. Bij kleine hoeken α geld: b l c r vliemp@nikhef.nl 57

Differeniëren, inegreren, differenilvergelijkingen Funcies Een nuurkundige grooheid g kn uigedruk worden ls een wiskundige funcie f vn een vribele, bijvoorbeeld: g f (). De funcie f druk ui d er voor elke mogelijke wrde vn vribele één (ondubbelzinnige) wrde vn f() is. Indien di lleen mr geld voor een eindig inervl, dn word di inervl bij de funcie gegeven, bijvoorbeeld: of N. He inervl noem men he domein vn de funcie, de verzmeling vn de mogelijke funciewrden f() hee he bereikfou! Bldwijzer nie gedefinieerd.. Men noem f() de fhnkelijke vribele en de onfhnkelijke vribele. Smbolen In de wiskunde op school werden bijn lijd en voor de fhnkelijke en onfhnkelijke vribelen gebruik. In de nuurkunde is d nie gebruikelijk. Dr word gewerk me veel verschillende grooheden en om die ui elkr e houden hebben ze vse smbolen. Een lijs me smbolen vn bsisgrooheden s cher in di boek. De ijd heef ls onfhnkelijke vribele lijd he smbool. Voor de pls in een rechhoekig ssenselsel gebruik men, en z voor de coördinen. In de pls-ijdfuncie is de fhnkelijke vribele. He smboolgebruik bij nuurkunde is hoofdleergevoelig. De emperuur is lijd hoofdleer T. Meerdere vribelen De grooheid g kn fhnkelijk zijn vn meerdere vribelen, bijvoorbeeld en en m of nog ndere. Men schrijf dn g f (,, m) of, evenueel me de bijbehorende domeinen. g,, m Bijvoorbeeld, bij golven op een weroppervlk is de uiwijking u zowel vn de pls ls vn de ijd fhnkelijk, dus u(,). En d geld ook voor de emperuurverdeling in een muur ls n één kn de emperuur vernder, dus T(,). Limie De funcie f () heef voor. Di word geschreven ls: () een limie L wil zeggen: f() nder nr L ls nder nr lim f L Wiskundig gezien beeken di d we f() zo dich bij L kunnen len komen ls we willen door mr dich genoeg bij, mr ongelijk n, e kiezen. Merk op d di in de nuur nie relisisch is. De nuur is eindig. He heef in de nuurkunde geen beekenis om e pren over fsnden kleiner dn -35 m of ijdsverschillen kleiner dn -43 s. vliemp@nikhef.nl 58

Differeniëren, fgeleide Afgeleide, differenilquoiën De fgeleide of he differenilquoiën vn een funcie f() in he pun T is gedefinieerd ls f de limie vn he differeniequoiën ls : df () f ( T + ) f ( T ) lim d T In de grfiek vn f() is de fgeleide vn f in he pun T de richingscoëfficiën vn de rklijn in he pun T. De fgeleide geef n hoe de wrde vn een funcie vernder in de buur vn een beplde wrde vn de onfhnkelijke vribele. f () ft + f T f T Figuur 4 De grooheid g f() egen f Merk op d een breuk is. Voor he differenilquoiën geld di nie en drom nder die nie nr oneindig ls. He ons door he uivoeren vn een operie op de funcie en nie door he delen vn wee grooheden df en d. Om di operiekrker e d bendrukken word deze noie gebruik: f (). d Afgeleide funcie, differeniëren De fgeleide funcie (ook gewoon fgeleide genmd) is de verzmeling differenilquoiënen voor lle wrden vn vribele. He is een nieuwe funcie. He beplen vn deze fgeleide funcie hee differeniëren. De fgeleide vn een funcie f kn genoeerd worden me behulp vn een ccen: df d f ' f( ) d d Punnoie Ndeel hiervn is d je er nie n kun zien w de vribele is. Omd we in de nuurkunde werken me zoveel verschillende vribelen, is d onhndig. Alleen ls de vribele de ijd is (lijd weergegeven door de leer ), dn gebruiken we de pun noie: vliemp@nikhef.nl 59

df f d f f d d Door herhldelijk e differeniëren kunnen hogere fgeleiden verkregen worden, de weede fgeleide vn f() is bijvoorbeeld: d f d df d f f d d d d Prieel differeniëren Een grooheid kn vn meer dn vribele fhngen, bijvoorbeeld f(,). (s er l eerder) Hierdoor zijn in één pun meerdere fgeleiden mogelijk. De funcie f(,) kn dn prieel, d wil zeggen nr één vn de vribelen - worden gedifferenieerd. Drbij behndel men ls een consne ls de fgeleide nr word bepld en ls een consne bij he beplen vn de fgeleide nr. Priële fgeleiden worden geschreven me specile ekens, de kromme d s (, nie δ ): ( ) en ( ). Regels voor differeniëren Voor he nemen vn een fgeleide vn een funcie besn eenvoudige regels, die we zonder fleiding geven. Als f en h wee funcies zijn me dezelfde vribele en ls c een consne is, geld voor he differeniëren vn d df een som, verschil: ( cf ± h) c ± dh, d d d d df dh een produc: ( cfh) c h + cf, d d d dh df f h d f een quoiën: d d. d h h Keingregel Belngrijk is ook de keingregel: Als f een keingfuncie is: f()f(h()), dn geld voor de fgeleide: d df( h) dh( ) f(). d dh d ( ) d( + ) Bijvoorbeeld d + ) ( + ) ( + ) d + d + d. vliemp@nikhef.nl 6

Inegreren, primiieve De primiieve funcie (ook gewoon primiieve genmd) is in zekere zin he omgekeerde vn de fgeleide. De primiieve vn f() geven we n me F(). Als men F() differenieer, dn is f() drvn de fgeleide. Bijvoorbeeld: f () cos heef ls primiieve: F ( ) sin + C. Inegreren is he beplen vn de primiieve vn een funcie. De primiieve funcie noem men ook de onbeplde inegrl. Deze word weergegeven ls F () f() d. Inegrieconsne In de primiieve is C de inegrieconsne. Voor elke wrde vn C is de fgeleide vn F() gelijk n f(), omd de fgeleide vn een consne gelijk n is. Deze consne is dus nodig om de volledige verzmeling primiieve funcies weer e geven me dezelfde fgeleide f(). In een beplde siuie moe/mg C zodnig gekozen worden d di bij de siuie ps door bijvoorbeeld een beginwrde vs e leggen. Bijvoorbeeld, bij een snelheidsfuncie v f() g+ v is de primiieve F () g + v + C. He lig voor de hnd C in overeensemming e brengen me de wrde vn op : C. Inegrl ls oppervlk In he vwo heb je een inegrl ls een oppervlk leren kennen. In he digrm me de grfiek vn f is he oppervlk onder de grfiek voor he inervl gelijk n de inegrl vn de funcie over di inervl: f f d. gem f() Figuur 5 Inegrl ls oppervlk Le op d de eenheid vn he oppervlk hier nie m is, mr d die volg ui he produc vn de fhnkelijke en de onfhnkelijke vribele. In diverse onderdelen vn de nuurkunde komen ns inegrlen over een inervl ( dimensie) ook inegrlen over een oppervlk ( dimensies) voor, of over een ruimelijk gebied (3 dimensies). He idee vn de inegrl ls een oppervlk moe je dn loslen. vliemp@nikhef.nl 6

Een beplde inegrl berekenen Een inegrl die begrensd is door een bepld domein hee een beplde inegrl. Indien vn f() he funcievoorschrif bekend is, dn vind men de beplde inegrl door de primiieve funcie op e sellen en he verschil e berekenen ussen de eindwrde en de beginwrde vn deze primiieve: () () ( ) ( ) f d F F F Bijvoorbeeld: 3 3 3 d 3 9 3 8 3 Acher de primiieve geef een vericle sreep n d he verschil moe worden berekend ussen he einde vn he domein (boven) en he begin (onder). He fleiden vn de primiieve ui he funcievoorschrif heb je vk nodig bij he oplossen vn een belngrijk pe vergelijkingen: de differenilvergelijkingen. Lijs me fgeleiden en primiieven Afgeleide Funcie Primiieve C + C n n e n n+ ( n ) n + ln + C + C ln ln ( > ) + C e e + C cos sin cos + C sin cos sin Merk op d je een gevonden primiieve funcie kun conroleren door die e differeniëren. + C Differenilvergelijkingen Een vergelijking die minsens fgeleide bev, noemen we een differenilvergelijking. We koren di f me DV. Tlloze nuurkundige problemen worden door me behulp vn DV-en beschreven. Er zijn verschillende pes DV-en en voor elk pe zijn er nbevolen, wn succesvolle, oplossingmehodes. Drvn worden er hier 3 beschreven. We kiezen seeds ls de onfhnkelijke vribele. De oplossing bes lijd ui een verzmeling funcies. Door een vliemp@nikhef.nl 6

goede keuze vn de inegrieconsne seleceer je de funcie die ps bij he werkelijke probleem. Tpering DV Bij een specifiek sseem hoor vk een bepld pe DV. Ook zijn oplossingsmehodes vk gebonden n he pe DV. Tpering gebeur op grond vn de volgende crieri: Orde In de DV bepl de n de fgeleide me de groose n welke orde de DV heef. Wij beperken ons o DV s vn de eerse en de weede orde. De lgemene vorm is: d f df + + f β d d Lineir/nie-lineir De DV is lineir ls f en lle fgeleiden vn f lleen in de se mch voorkomen. Een DV wrin f of df d voorkom is dus nie lineir. Homogeen/inhomogeen Als in de vergelijking lleen ermen voorkomen die vn fhnkelijk zijn - dus ls β - dn d f d f is de DV homogeen. Dus m is homogeen, m g is nie homogeen. d d Oplossen vn een lineire DV Sommige DV-en kun je nlisch oplossen. Drvoor zijn de volgende mehodes e gebruiken. Inegrie Oplossen door simpelweg e inegreren is in enkele gevllen mogelijk, nmelijk ls er mr één erm me f of een fgeleide vn f in de DV voorkom. Bijvoorbeeld: d f df g, me ls oplossing: g C f () g C C d d + + + Deze vergelijking beschrijf bijvoorbeeld de vrije vl vn een voorwerp. Scheiding vn vribelen He scheiden vn vribelen is een ies lgemenere mehode dn de vorige, mr werk lleen bij sommige eerse orde DV-en, bijvoorbeeld: df + kf d vliemp@nikhef.nl 63

Di is een homogene lineire DV vn de se orde. Di pe kom je egen bij rdiocief vervl, bij de snelheid vn bewegingen wrin lleen wrijving een rol speel en bij he (on)lden vn een condensor. He oplossen g ls volg: o Breng lle ermen me f nr df de ene en lle ermen me kd f nr de ndere kn o Inegreer beide knen df kd f o Bereken he resul vn de ln f k + C inegrie o Mk f vrij en kies C pssend k C f e f() e bij de siuie + k Soms kn een e orde lineire DV herschreven worden ls een e orde DV, zod deze och door scheiding vn vribelen opgelos kn worden, bijvoorbeeld: d f df df g word me h d d d dh h g d me ls oplossing: dh dh ( h + g) d d dh d h + g h + g C g C ln( h + g) + C h + g e h + e e Deze vergelijking beschrijf bijvoorbeeld een vrije vl me wrijving. Krkerisieke vergelijking Lineire homogene DV-en komen in de nuurkunde veel voor. De lgemene oplossingsmehode mk gebruik vn de krkerisieke vergelijking. We nemen de lgemene vorm voor een lineire homogene DV vn de e orde: d f df + + f d d He oplossen g ls volg: o Subsiueer voor f een eponeniële funcie, bijvoorbeeld e α. o N invullen en differeniëren blijf sn: α α α α α e + αe + e ( α + α + ) e. o De e-mch kn buien hkjes gehld worden. Er geld dus d w binnen de hkjes s gelijk moe zijn n : α + α +. o Deze lse de grdsvergelijking in α hee de krkerisieke vergelijking en heef oplossingen: α, ± 4 vliemp@nikhef.nl 64

o De lgemene oplossing is nu de som vn beide mogelijke oplossingen: f () Ce α α + C e Is er sprke vn een inhomogene DV, dn is de bovengenoemde oplossingsmehode nie oereikend. We kunnen hem echer wel gebruiken om de uieindelijke oplossing e vinden, vnwege de volgende selling, die hier zonder bewijs word gegeven: De lgemene oplossing vn een inhomogene lineire DV is de som vn:. de lgemene oplossing vn de homogene DV. een priculiere oplossing voor de inhomogene DV. Een priculiere oplossing is een concree oplossing, zonder inegrieconsnen. He vinden vn een priculiere oplossing is vk w gepuzzel. Voorbeeld: Een mss-veersseem Di sseem word beschreven door de volgende DV: d + γ g d Een priculiere oplossing vn deze inhomogene DV is: g () γ De oplossing vn de homogene DV vinden we m.b.v. de krkerisieke vergelijking: α + γ Je zie: we vinden op deze mnier heel snel en elegn een oplossing voor α, ls we mr de worel konden nemen vn een negief gel: α ± k. D kn echer lleen ls we beekenis oekennen n. Di gebeur in de heorie vn de complee gellen, wr ϕ i en e i cosϕ + i sinϕ. Mr di vl buien he besek vn di boek. Mehode vn Euler d β d De differenilvergelijking is nie lineir, omd de eerse fgeleide in he d m d kwdr voorkom. Een lgemene oplossing vinden luk nu nie. He is wel mogelijk de DV voor een bepld gevl door numeriek inegreren op e lossen. Een eenvoudige mehode hiervoor is de mehode vn Euler. Bij he gebruik vn de mehode vn Euler houd men gedurende een klein ijdsinervl de vribelen (zols, v en ) consn. Indien op een beginijdsip n de numerieke wrden vn deze vribelen bekend zijn, dn bereken men nieuwe wrden voor he volgende ijdsip n+ n + me n+ f v, v n+ n+ v n n + + v vliemp@nikhef.nl 65

En dezelfde procedure word voor he volgende inervl herhld, enzovoor. He is vn groo belng om he inervl voldoende klein e kiezen. Door in elke cclus een eller e plsen en lle ussenresulen e bewren kunnen de grfieken vn de vribelen ls funcie vn de ijd (of vn ndere vribelen) worden weergegeven. Een spredshee leen zich hier goed voor. Zie in he hoofdsuk over rechlijnige bewegingen s een voorbeeld. vliemp@nikhef.nl 66

II. Vecoren. Vecoriële grooheden Afsnd, emperuur, volume, mss, energie zijn voorbeelden vn sclire grooheden. Ze hebben lleen een grooe (me een beplde eenheid). Veel grooheden hebben ook een riching. Een voorbeeld is de verplsing. De nieuwe pls vn een voorwerp wee je ps ls je én de riching én de grooe vn de verplsing ken. Grooheden die een grooe en een riching hebben, heen vecoren. Vecoren worden ngeduid me een pijl boven he smbool vn de grooheid. Zo noeer men verplsing ls r. De grooe vn een vecor word eenvoudig zonder pijl ngeduid, ls r, of me reche srepen: r of he smbool zonder pijl r. Smbool Vecor Engelse erm r Verplsing Ne displcemen v Snelheid Veloci Versnelling Accelrion F Krch Force p Impuls Momenum S Soo (krchsoo) I Impulse r Arm Lever rm M Momen τ Torque ω Hoeksnelheid Angulr veloci L Impulsmomen Angulr momenum E Elekrische veldserke Elecric field B Mgneische inducie Mgneic field s Le op: sclir zijn Afgelegde weg Tol displcemen v Gemiddelde Speed bnsnelheid I Sroomserke Elecric curren Φ Flu Flu In di hoofdsuk behndelen we de rekenregels voor vecoren. De meese zijn in he voorgeze onderwijs oegeps zonder erbij sil e sn. Verschuiven Twee vecoren zijn gelijk ls hun grooe en riching gelijk zijn; een vecor vernder dus nie door een verschuiving. Anders geschreven: A A B ls B A B en A en B dezelfde riching hebben. Di geld nie heleml voor krchvecoren die werken op een lichm d kn drien en roie-energie kn hebben. In di gevl vernder door he evenwijdig verschuiven vn een krch immers he momen vn de krch, volgens M Fr. vliemp@nikhef.nl 67

Opellen De somvecor vn wee vecoren A en B vind je door: B e len nsluien op A de vecor e nemen vnf he beginpun vn A nr he eindpun vn B : C A + B φ A A C B B B A C Bij he opellen mg de volgorde worden verwisseld, dus: A + B B + A. Men kn A en B een prllellogrm len vormen,c is dn de digonl vnui he gemeenschppelijke beginpun. C Onbinden in componenen Ui de opelregel volg d elke vecor kn worden gesplis in wee willekeurige vecoren en dus ook in wee vecoren die evenwijdig zijn n de ssen vn he gekozen ssenselsel. Men noem di onbinden in componenen. He onbinden in componenen g n bijn lle bewerkingen me vecoren voorf. Wij gn seeds ui vn een rechhoekig ssenselsel (, ). De vecor A kn men onbinden in een vecor A evenwijdig n de -s me de lenge A en een vecor A evenwijdig n de -s me de lenge. (zie figuur) A Er geld voor de grooe: en voor de hoek ϕ ussen de -s en A : Ook geld en A + A A ϕ rcn A A A A A cosϕ A sinϕ Eenheidsvecor Om de relie ussen de vecor A en de sclire grooheden A en A correc e beschrijven, moeen vecoren evenwijdig n de -s en de -s worden gedefinieerd. Di gebeur respecievelijk me de eenheidsvecoren iˆ en ĵ. De eenheidsvecoren hebben per definiie de lenge en geen eenheid en hebben drdoor geen invloed op de berekening vn de lenge of de hoek. De vecor A z ui de ekening word geschreven ls: A A + A Aiˆ + A ˆ j kˆ ĵ vliemp@nikhef.nl î 68

Een driedimensionle ruime beschrijven wij in di boek me een rechhoekig ssenselsel (,, z) en drie eenheidsvecoren ( iˆ, ˆ, j kˆ ). Poolcoördinen en bolcoördinen gebruiken wij hier nie. Volgens fsprk werken we me een rechsdriend ssenselsel. De eenheidsvecor k ˆ ps volgens de recherhndregel bijiˆ en ĵ. Zie riching uiproduc. (In de ekening kom de -s he bld ui, in de riching vn de lezer.). Som- en verschilvecor Somvecor G voor he beplen vn de som vn wee vecoren ls volg e werk: - onbind beide vecoren in componenen - el de componenen lngs de -s op en doe hezelfde lngs de -s - schrijf de somvecor me behulp vn de eenheidsvecoren - bereken de lenge vn de somvecor en de hoek die de somvecor mk me de -s. Voor C A + B houd di in: bepl A, A, B en B, evenueel me de sinus- en cosinusformule. A B en C A + B nu is C + C C iˆ + C ˆj ( A + B )ˆ i + ( A + B Vervng C en C in de formules voor de lenge en de riching. ) ˆj Toepssingen Enkele veelvoorkomende siuies wrbij somvecoren n de orde zijn: ls je he resul vn verschillende verplsingen wil ween ls je de snelheid moe beplen op een zeker ijdsip n een horizonle worp vn ies d in een medium beweeg erwijl d medium zelf beweeg ls je een resulerende krch op een lichm moe berekenen ls je de elekrische veldserke wil beplen in de buur vn gelden deeljes ls je he mgneische veld vn wee of meer mgneen of elekrische sromen wil kennen. vliemp@nikhef.nl 69

Voorbeeld: Iemnd zwem nr de overkn vn een rivier en is op elk momen loodrech op de oevers - gerich. Zijn snelheid loodrech op de oever is,8 ms. De sroomsnelheid vn he wer is - overl, ms. Bereken de hoek ussen de bn vn de zwemmer en de korse verbindingslijn ussen de oevers. Uiwerking: We kiezen de oever ls de -s en een loodlijn drop ls de -s. De snelheid v vn de zwemmer en opziche vn v v iemnd die op de oever s e kijken word bepld door componenen: v,ms - en,8ms. v De vecorvoorselling is v, iˆ +,8 ˆj - ms v De hoek ϕ volg ui ϕ rcn rcn ϕ v 8 7 ϕ oever Zie verder hoofdsuk I-4 voor een voorbeeld vn he berekenen vn de elekrische veldserke in een pun in de buur vn wee gelden lichmen. Verschilvecor Er zijn wee mnieren om de verschilvecor e beplen: De verschilvecor A B kn worden opgev ls de somvecor A + ( B). De vecor B is even groo ls B en heef de egengeselde riching heef. l B nsluien op A volg de oplossingsmehode voor de somvecor die hierboven is beschreven. C A B B Hebben in een ekening de vecoren A en B l hezelfde beginpun, bedenk dn w de beekenis is vn een verschil : A B is de vecor die bij B moe worden opgeeld om A e krijgen. C is de vecor die g vn de pun vn B nr de pun vn A. En nie omgekeerd! B A C Voorbeeld 3: Een helikoper vlieg bij een zuidenwind vn ms - in een reche lijn nr he noordoosen. In die riching is de snelheid en opziche vn de grond 6 ms -. De lenges vn de helikoper mk een hoekϕ en opziche vn he noordoosen. vliemp@nikhef.nl 7

Bereken ϕ. Uiwerking: De snelheid v in noordooselijke riching die is gegeven, is de som vn wee vecoren: - de snelheid h vn de helikoper en opziche vn de luch en - de snelheid w wrmee de helikoper me de wind meedrijf. Deze vecor is ook gegeven. noord h h h v De lenges vn de helikoper heef dezelfde riching ls de verschilvecor vn v en w. We kiezen de -s nr he oosen en de -s nr he noorden. Dn is de gevrgde hoek o ϕ α 45. w α o 45 Er geld: - - v v v cos 45 6 ms 4 ms. - - Nu is h v 4 ms en h v w 4 3 ms h 4 De hoek α volg ui α rcn rcn 53 ϕ 8 h 3 oos 3. Vecorproducen Produc me een sclr He vermenigvuldigen vn een vecor me een posiief gel heef geen invloed op de riching, lleen op de lenge. Een negieve sclr keer de riching om, bijvoorbeeld in de we vn Hooke: F α Inproduc In he voorgeze onderwijs werd rbeid berekend me W Fs. Di is een vecorproduc, wn F en s hebben llebei een riching. Toch heef hun produc geen riching, de rbeid W is een sclr. Di pe produc hee inproduc. He smbool is vndr do produc in he Engels. De juise schrijfwijze voor de rbeid is: bij een consne krch: W F s en in he lgemeen: W F d r He inproduc heef lleen een wrde ls de wee vecoren een componen in dezelfde of in egengeselde riching hebben. In een driedimensionle ruime is he inproduc vn B enc : vliemp@nikhef.nl 7

A B C B C + B C + B C z z Mg he ssenselsel vrij worden gekozen, neem dn de s lngs de ene vecor en de s loodrech drop. Me de s lngs C is: A B C B C + B B C of A BC cosϕ α B Sn de vecoren loodrech op elkr dn is hun inproduc. C Rekenregels inproduc A B AB cosϕ A A A B A A B ( B + C) A B A + C A B ( α A) α( B A) iˆ iˆ ˆj ˆj kˆ kˆ i ˆ ˆj ˆj kˆ kˆ iˆ Toepssingen De zwrekrch verrich geen rbeid op een voorwerp d lngs een horizonle weg beweeg (cos ϕ ). De spnkrch in de ouwen vn een schommel verrich geen rbeid omd deze krch loodrech op de bewegingsriching vn de schommel s (cos ϕ ). De energie vn een gelden deelje vernder nie ls he beweeg in een equipoenilvlk. De elekrische veldserke (en krch) sn loodrech op di vlk: cos ϕ. In he vwo leer men d de mgneische flu door een omsloen oppervlk in een homogeen veld word gegeven door Φ BAcosα, meα de hoek ussen B en de loodlijn op he oppervlk. Voor he berekenen vn de flu is d voldoende. In de weenschppelijke noie moe echer o uidrukking komen d zowel B ls A vecoren zijn en hun produc een inproduc is. De flu zelf is geen vecor: Φ B d A He dubbele inegrleken geef n d geïnegreerd word in dimensies.een oppervlkeelemen da is een vecor loodrech op he oppervlk. In he vwo leer men d elekrische veldlijnen loodrech eindigen op he oppervlk vn een geleider en d de hoeveelheid veldlijnen fhng vn de lding. Di is een vn de ween vn Guss die in colleges over elekriciei zl word geschreven in de vorm: Q E da Φ EL S ε vliemp@nikhef.nl 7

He inegrleken beeken hier d moe worden geïnegreerd over he gehele oppervlk d de geleider omslui. Q is de omsloen lding. In he vwo leer men d op een fsnd r vn een reche sroomdrd de mgneische inducie B evenredig is me de sroomserke I volgens I B µ (in vcuüm) π r Deze eperimeneel door Bio en Svr geformuleerde we word beer beschreven door: B d µ I Hierin geef he eken n d de inergrie over een gesloen kromme plsvind en d di nie lijd een cirkel me omrek π r hoef e zijn. He inproduc beeken d seeds de componen vn B lngs de bn me de verplsing d (uierrd een vecor) word vermenigvuldigd. De formule druk ui d elke gesloen mgneische veldlijn een sroom I omv. En merk op d I geen vecor is! Uiproduc Voor he uiproduc gebruik men he eken, zols in A B. De Engelse erm is cross produc. De uikoms is een vecor. Zonder he e beseffen werken scholieren me he vecoriële uiproduc. Bijvoorbeeld voor he benoemen vn de riching vn he krchmomen ( M Fr ) of vn de riching vn de Lorenz-krch bij een bewegende lding ( F Bqv ) of bij op een sroomvoerende drd( F BIl sinα ). In he vwo word de riching echer los vn de grooe behndeld en nie scherp door de gebruike formules gedefinieerd. Ook is de volgorde wrin de grooheden worden genoemd ongelukkig. z Riching uiproduc We grijpen erug op he plje voor de eenheidsvecoren in een rechsdriend, rechhoekig ssenselsel (zie p..). Hierin is per definiie iˆ ˆj kˆ Voor de riching vn he uiproduc gebruik men dus de recherhndregel: dri de eersgenoemde vecor over de kleinse hoek nr de weede vecor krom de vingers vn de recherhnd in de dririching dn geef de duim de riching vn he uiproduc. î kˆ ĵ Conroleer d ook geld: ˆ j kˆ iˆ en kˆ iˆ ˆj en d iˆ kˆ ˆj (Geheugenseun: houd de volgorde i, j, k, i.. n.) Verwisselen vn de volgorde heef een vecor in de egengeselde riching ls uikoms, d wil zeggen: me een mineken. Dus ps op! Grooe uiproduc me een sinus B α vliemp@nikhef.nl 73 A

In egenselling o bij he inproduc, wr lleen de (ni)prllelle componenen effecief zijn, zijn bij he uiproduc lleen de loodrech op elkr snde componenen effecief. Voor de grooe vn he uiproduc C A B, me α de kleinse hoek ussen beide vecoren, geld: C AB sinα Misschien herken men hierin de formules F L Bqv sinα en F L BIl sinα voor de Lorenzkrch. Nie verwonderlijk, wn de Lorenz-krch is een uiproduc. Om de juise riching voor F L e krijgen, moeen de vribelen echer in een ndere volgorde worden geschreven dn gebruikelijk is in vwo-boeken: FL q( v B) en FL qvb sinα FL I ( B) en FL IBsinα Grooe uiproduc me componenen Ten opziche vn een rechhoekig (en rechsdriend!) ssenselsel (,, z) kunnen de vecoren A en B worden geschreven ls: A A iˆ + A ˆ j + Azkˆ B B iˆ + B ˆ j + Bzkˆ Voor he uiproduc C A B geld nu (le op he cclisch verwisselen vn de gebruike indices in de volgorde i, j, k, i,.. ec.): C A B ( A B A B )ˆ i + ( A B A B ) ˆj + ( A B A B ) kˆ z z z z Conroleer voor he krchmomen wrbij rˆ de riching vn i ˆ heef en vn ĵ d: M ( rf ) kˆ rfkˆ Fˆ de riching Wrom gebruik men voor cross produc he eken? Anlseer de volgende schrijfwijze en g n welke coëfficiënen een bijdrge leveren n en welke n he cclisch verwisselen vn de indices n. C i ˆ C ˆ j C kˆ z iˆ A B ˆj A B kˆ A B z z C iˆ iˆ...... ˆj A B kˆ A B z z C C ˆj ˆ j... Bedenk d de coëfficiënen vn A en B lngs de -s geen bijdrge leveren n uiproducen vn iˆ me ˆj en kˆ nul zijn. Conroleer di zelf.... kˆ A B z z iˆ A B C C omd de Duidelijk is ook d indien mogelijk- he berekenen vn he uiproduc me de sinusfcor eenvoudiger is. Rekenregels uiproduc iˆ ˆj kˆ ˆj kˆ iˆ kˆ iˆ ˆj i ˆ iˆ ˆj ˆj kˆ kˆ vliemp@nikhef.nl 74

A B AB sinα A B B A A α B α( A B) Toepssingen Genoemd zijn l de oepssing vn he uiproduc voor de vecor voor he krchmomen en de Lorenz-krch. In mechniccolleges over roies (ook bij bouwmechnic en biomechnic) en bij de colleges over elekriciei en mgneisme zullen geregeld uiproducen n de orde komen. Een voorbeeld vn de Lorenz-krch ls uiproduc word gegeven in hoofdsuk I-4. Drin word de fbuiging vn elekronen in he rdmgneische veld bekeken. 4. Differeniëren me vecoren Differeniëren nr de ijd Differeniëren nr de ijd is een sclire operie. He differeniëren vn een vecorgrooheid nr de ijd lever opnieuw een vecor op. dq dp I en F d d Differenieer eers elke componen en bepl drn de vecorsom: dp dp dp dp z iˆ + ˆj + kˆ Fiˆ + F ˆ j + Fzkˆ F d d d d Bij pool- en bolcoördinen zijn nie lle eenheidsvecoren lijd consn en moe bij he differeniëren de keingregel worden oegeps. Rekenregels differeniëren nr de ijd d da db ( A + B) + d d d d dβ da ( β A) A + β d d d d da db ( A B) B + A d d d d da db ( A B) B + A d d d Nbl-operor: differeniëren nr de pls Grooheden wrn in elk pun vn een ruime een wrde kn worden oegekend heen veldgrooheden en deze grooheden kn men differeniëren nr de pls. Men differenieer dn fzonderlijk lngs elke s vn he ssenselsel. Deze operie heef een riching en word vliemp@nikhef.nl 75

ls een vecor geschreven. He smbool is (Hmilonoperor of Nbl; Engels Del operor ): d d d iˆ + ˆj + kˆ d d dz Er zijn me de nbl-operor 3 mogelijkheden: Grdiën De grdiën in een sclir veld U (smbool U of grd U ; ook in he Engels). du du du U iˆ + ˆj + kˆ d d dz Hierbij is de veldgrooheid een sclr, bijvoorbeeld: de hooge in he lndschp ( dimensionl) en de emperuur in de mosfeer (3 dimensionl). De operie geef n hoe serk de veldgrooheid in een beplde riching vernder. De uikoms is een vecor. In de nuurkunde voor he vwo kom een grdiënoperie voor bij de beschrijving vn he elekrische veld (homogeen veld, dimensie): dv E d In woorden: de elekrische veldserke is de negieve grdiën vn de poenil. Als dv dv loodrech op he equipoenilvlk s, dn is en. d dz Divergenie De divergenie is he inproduc vn me een vecorveld U. He smbool is divu of U. In he Engels spreek men vn divergence. De uikoms is sclir. du du du z U + + d d dz Bijvoorbeeld: de windrichingen op een weerkr vormen een ( dimensionl) vecorveld. De elekrische veldserke en de mgneische inducie zijn ook vecorvelden. In he elekrische veld geld: Q E ε De divergenie geef n of op he gehele oppervlk d een ruime omslui evenveel veldlijnen inkomen ls er uign. Als E > dn is er een verschil, omd een posiieve lding word omsloen. En zols elke scholier eigenlijk wel wee, geld voor he mgneische veld lijd B. Wn er besn geen mgneische monopolen en hierdoor keren lijd evenveel veldlijnen op de zuidpool vn de mgnee erug ls op de noordpool verrekken. Roie De roie is he uiproduc vn me een vecorveld U. vliemp@nikhef.nl 76

He smbool is ro of, in he Engels: curl. De uikoms is een vecor loodrech op de veldgrooheid. du du U z du du d z du U ( )ˆ i + ( ) ˆj + ( ) kˆ d dz dz d d d Een voorbeeld d velen wel in woorden kennen, is db E d Di is de induciewe vn Frd: een verndering vn he mgneische veld wek een elekrisch veld op en kn leiden o een wervelsroom. Een vecorveld wrin A noem men een wervelvrije ruime. vliemp@nikhef.nl 77