Proefversie Nuurkundeboek Deel: mechnic en rekenen Sudenensuppor.nl - 4 okober 6 Recies grg nr vliemp@nikhef.nl vliemp@nikhef.nl
A NATUURKUNDE I.IMPULS, KRACHTEN, ENERGIE De ween vn Newon. Impuls 3 / Impulsbehoud / De ween vn Newon opnieuw /. Krchen 6 / Veldkrchen: - Grviie - Elekrische krch - Elekrische veldserke - Homogeen elekrisch veld - Mgneische krch - Lorenzkrch / Conckrchen: Normlkrch - Veerkrch - Schuifwrijving - Rolwrijving - Vormweersnd - Viskueze wrijving - Spnkrch / Resulerende krch - Vecorsom - Middelpunzoekende krch 3. Energie 3 / Kineische energie / Roie-energie / Arbeid / Poeniële energie / Veerenergie / Trillingsenergie II. RECHTLIJNIGE BEWEGINGEN 6. Bsisbegrippen 6 / Coördinsseem en siuieekening / Grfieken inerpreeren / Eremen, differeniëren en inegreren - Verplsing en fgelegde weg - Snelheid, gemiddelde en momenn - Versnelling, gemiddeld en momenn - Gemiddelde berekenen me inegrl - Verplsing en plsfuncie - Snelheidsverndering en snelheidsfuncie - Overzich vn formules. Bewegingsvergelijkingen / F: eenprige beweging - Inhlen, relieve snelheid - Alernief: nieuw refereniesseem / Fconsn: eenprig versnelde beweging - Vlversnelling en vericle worp - wee vericle bewegingen - discriminnformule / F-C: hrmonische rilling / F-qv: viskeuze wrijving - Vrije vl in een vloeisof / F-cv : vormweersnd / Numeriek inegreren, mehode vn Euler III. KRACHTEN EN BEWEGING IN DIMENSIES 3. Refereniessemen 3 / Inerilselsel - Schijnkrch. Vrije-lichmsdigrmmen 33 / Eén sseem - Wrijving op een helling / Twee deelssemen - Derde we vn Newon - Twee digrmmen - Cirkelbeweging 3. Momen en roie 36 / Evenwichsvoorwrden / Vrije-lihcmsdigrm voor een uigebreid lichm 4. Bewegingen in dimensies 38 / Prmeervoorselling / Onbinden in componenen / Horizonle worp / Worp in willekeurige riching / Cirkelbeweging / B WISKUNDE 4 I. REKENEN 43. Breuken 43 / Opellen, frekken / Splisen / Vermenigvuldigen, delen. Hkjes wegwerken 43 / Hkjes / Bijzondere producen 3. Worels 44 / Rekenregels 4. Mchen 44 / Definiie / Rekenregels / Weenschppelijke noie / 5. Logrimes 46 / Definiie / Rekenregels 6. e-mchen en nuurlijke logrimes 46 / Definiie e en ln / Rekenregels 7. Meekunde 47 / Gelijke en complemenire hoeken / Hoeken en zijden in een driehoek / Bsis en hooge vn een driehoek / De norml / Oppervlke- en inhoudsformules 8. Goniomerische funcies 49 / Definiie sinus, cosinus, ngens / Definiie rcsin, rcn / Prmeervoorselling vn een cirkelbn / Definiie rdil / Veelvoorkomende wrden vn sin en cos / De grfieken vn sin en cos / Periodieke oplossingen / Fse en gereduceerde fse / Rekenregels 9. Oplossen vn vergelijkingen 5 / Een vergelijking me een onbekende / Twee vergelijkingen me onbekenden / Tweedegrdsvergelijking. Benderingen 56 / Bij producen / Bij mchen / Bij kleine hoeken II.DIFFERENTIËREN, INTEGREREN, DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 58 Funcies 58 / Smbolen / Meerdere vribelen / Limie Differeniëren, fgeleide 59 / Afgeleide, differenilquoiën / Afgeleide funcie, differeniëren - Punnoie / Prieel differeniëren / Regels voor differeniëren / Keingregel Inegreren, primiieve 6/ Inegrieconsne / Inegrl ls oppervlk / Een beplde inegrl berekenen / Lijs me fgeleiden en primiieven 6 Differenilvergelijkingen 6 / Tpering DV - Orde - Lineir/nie-lineir - Homogeen/inhomogeen / Oplossen vn een lineire DV - Inegrie - Scheiden vn vribelen - Krkerisieke vergelijking - Mss-veersseem / Mehode vn Euler III. VECTOREN 67. Vecoriële grooheden 67 / Verschuiven / Opellen / Onbinden in componenen / Eenheidsvecor. Som- en verschilvecor 69 / Somvecor / Verschilvecor / 3. Vecorproducen 7 / Produc me een sclr / Inproduc / Rekenregels inproduc / Uiproduc - berekenen me sinus - berekenen me componenen / Rekenregels uiproduc / 4. Differeniëren me vecoren 75 / Differeniëren nr de ijd / Rekenregels differeniëren / Differeniëren nr de pls: Nbloperor - Grdiën -Divergenie - Roie vliemp@nikhef.nl
I. Impuls, krchen, energie De ween vn Newon De grondlegger vn de heorie vn de bewegingen vn lichmen is Newon. De drie ween die hij formuleerde behoren o de bsissof vn de nuurkunde in he voorgeze onderwijs: De eerse we is de rgheidswe: ls F, dn is v consn. De grooe en/of de riching vn de snelheid vn een lichm vernder lleen ls er vn buien f een krch op werk. De weede we sel: F m. Een lichm wrop een krch F word uigeoefend, krijg een versnelling die evenredig is me F en dezelfde riching heef. De derde we luid F. F B, A A, B Als B een krch op A uioefen, dn oefen A op B een even groe krch in egengeselde riching ui. De eerse en weede we vn Newon worden in he voorgeze onderwijs voorgeseld ls een relie ussen een krch en de snelheid respecievelijk de versnelling. Di is nie de vorm wrin Newon deze ween oorspronkelijk preseneerde. In pls vn de begrippen snelheid en versnelling gebruike hij he meer fundmenele begrip impuls.. Impuls De impuls p vn een lichm is he produc vn de mss m en de snelheid v. De impuls heef behlve een beplde grooe ook een riching. He is een vecorgrooheid: p mv. Om je de impuls vn een lichm voor e sellen, kun je denken n de soo die he een nder lichm kn geven o he sils. Bij dezelfde snelheid kn een zwr lichm een groere soo geven dn een minder zwr lichm, he heef een groere impuls. Impulsbehoud de ween vn Newon opnieuw I. De se we vn Newon houd in d de impuls vn een lichm consn blijf zolng he geïsoleerd is vn de omgeving: p consn. Geïsoleerd vn zijn omgeving beeken d er vn buien f geen krch op werk. II. De de we vn Newon sel d een wisselwerking ussen een bewegend lichm en zijn omgeving leid o een verndering vn de impuls dp. Op grond vn deze we is een definiie vn vliemp@nikhef.nl 3
krch mogelijk. Krch is nmelijk de serke vn de wisselwerking, ofwel de impulsverndering per seconde: dp F. d Herschrijven vn deze uidrukking leid o de formule die in he voorgeze onderwijs gebruikelijk is en meesl voor bewegingsvergelijkingen word gebruik: dp d( mv) dv F m m. d d d III. De 3 de we vn Newon houd in d bij een wisselwerking ussen een lichm en de omgeving de ole impuls behouden blijf. Sel je ls omgeving een weede lichm B voor d egen A nsoo. Smen kun je A en B ls één geïsoleerd sseem (lichm) beschouwen. Volgens de se we vernder vn di sseem de (ole) impuls nie. Er geld: p consn. Wel kunnen A en B onderling impuls uiwisselen. p A p B. Neem de impuls vn de een oe, dn neem de impuls vn de nder in gelijke me f. Omd de wisselwerking voor beide lichmen even lng duur, oefenen volgens de de we A en B op elkr een even groe krch in egengeselde riching ui: F AopB F BopA. Voorbeeld impulsbehoud Een roeiboo (M 8 kg) lig sil in he wer. Iemnd (M 7 kg) spring er in me een snelheid v 3 ms -. De lnding in de boo duur,6 s. Welke snelheid hebben de boo me inziende n de sprong? Een welke krch word ijdens de lnding op de boo uigeoefend? M M v Figuur Boo voor de sprong vliemp@nikhef.nl 4
M + M u Figuur Boo n de sprong Voor de sprong is de ole impuls: p p + p M + M v M v De ole impuls n de sprong is hiern gelijk: p ( M + M ) u M v M Hierui volg: u v M + M 7 Invullen vn de gegeven wrden: u 3, 84 ms -. 8 + 7 - De impulsverndering vn de boo is p M u M 8,84,5 kgms. dp En de krch is F 5,5 N. d,6 vliemp@nikhef.nl 5
. Krchen Op een lichm kunnen zowel veldkrchen ls conckrchen werken. Veldkrchen Vn veldkrchen word gezegd d ze op fsnd werken, d.w.z. zonder conc ussen de lichmen en zonder hulp vn een medium. Di geld voor de grviie en de elekromgneische krch. De grviiekrch en de elekromgneische krch zijn fundmenele nuurkrchen, d.w.z. ze zijn nie ui ndere krchen e verklren. De elekromgneische krch bes ui wee componenen, die we hier fzonderlijk beschrijven. Grviie De grviiekrch is de onderlinge nrekkingskrch ussen lichmen op grond vn hun mss. De grooe vn de grviiekrch ussen wee lichmen me de mss s m en m hng f vn de fsnd ussen de middelpunen r: mm F g G r Hierin is m de mss in kilogrmmen en is G de consne vn Newon. Een lichm me mss m ondervind een grviiekrch vn lle ndere mss s in de kosmos. Smen vorm die overige mss een grviieveld d zich over de gehele kosmos uisrek. De riching en grooe vn d veld word in elk pun gegeven door een grviieversnelling g. Dn is: m g F g Op rde word he grviieveld gedomineerd door de mss vn de rde M. Drdoor is he bij goede bendering nr he middelpun vn de rde gerich en is de grooe M - g G 9,8 ms. r Elekrische krch De elekrische krch is de onderlinge krch ussen lichmen op grond vn hun elekrische lding. De lding q kn posiief of negief zijn. Tegengeselde ldingen rekken elkr n, gelijknmige ldingen soen elkr f. Ne ls de grviiekrch neem de krch ussen wee ldingen me r f: qq F e f r De grooe vn de krch is fhnkelijk vn he medium wrin de ldingen zich bevinden. In vcuüm is f 8,988. 9 Nm C -. De eenheid vn lding is de Coulomb, de kleins voorkomende lding (elemenire lding) is die vn he elekron: e,6. -9 C. vliemp@nikhef.nl 6
De elekrische krch per Coulomb is een fcor groer dn de grviiekrch per kg. Onderlinge krchen ussen voorwerpen op rde zijn overwegend elekrische krchen. He lichm me lding q ondervind een elekrische krch vn lle overige ldingen in de omringende ruime. Smen vormen die overige ldingen een elekrisch veld d zich overl in de ruime uisrek. De riching en grooe vn di veld word in elk pun gegeven door een elekrische veldserke E. De krch is dn: q E. F e Ui beide voorfgnde formules volg d de grooe vn de elekrische veldserke in de ruime om een enkele lding q gelijk is n q E f. r De riching vn E is de riching die de krch op een posiieve lding zou hebben. Voorbeeld: de elekrische veldserke Bij wee (of meer ) ldingen q moeen de fzonderlijk velden vecorieel worden opgeeld. Zie hiervoor evenueel hoofdsuk II-3. In elk pun is er mr één (resulerende) veldserke: E. q E + som r E E som + Q α r Q β Figuur 3 De elekrische veldserke in een pun In figuur 3 lig de -s lngs de verbindingslijn vn de wee ldingen en de -s s dr loodrech op. De veldserke is E som E + E E + E fq De componenen vn E r )ˆ i + ( E + E (,,,, zijn fq fq E, cosα en E sinα,. r r ) ˆj Onbind vervolgens ook E in componenen me behulp vn de hoek β (die in dezelfde dririching.o.v. de s ls α is gedefinieerd) en me een negieve wrde voor q. Tel de componenen in de - en de -riching bij elkr op o en. Bereken de grooe vn E som E som, + E som, E som me E som, E som, vliemp@nikhef.nl 7
en de hoek γ vn E som me de -s me Esom, γ rcn. E som, Voor he beplen vn de veldserkes in een grviieveld of een mgneisch veld word een vergelijkbre werkwijze oegeps. Homogeen elekrisch veld ussen wee plen Een qu grooe en riching consne elekrische veldserke verkrijg men door ussen wee vlkke plen op (relief kleine) fsnd d een spnningsverschil V e zeen. De riching vn he V veld is loodrech op de plen vn de hoge nr de lge poenil en de grooe is: E. d Men noem di een homogeen elekrische veld. Mgneische krch De mgneische krch is een zijwrse krch op een lichm in een mgneisch veld op grond vn zijn elekrische lding en de riching en grooe vn zijn snelheid. De krch word ook Lorenz-krch genoemd. Elke bewegende lding heef een mgneisch veld om zich heen. In een ruime me meerdere bewegende ldingen is he resulerende mgneische veld in een pun de (vecor)som vn de mgneische velden vn de fzonderlijke ldingen. De riching en de grooe hiervn worden in elk pun gegeven door een mgneische inducie B. De krch op een lichm me een lding q en een snelheid v volg ui he uiproduc vn v en B (zie hoofdsuk II- 3): F L qv B of ls he lleen om de grooe g: F L qvb sinα wrin α de hoek is ussen v en B. De krch s loodrech op v en B. Drom leid die nooi o he versnellen of fremmen vn he lichm, mr lleen o he fbuigen vn zijn bn. In een ruime wr de riching en de grooe vn B consn zijn (homogeen mgneisch veld) en een lichm loodrech op de mgneische veldlijnen beweeg, is de Lorenz-krch consn en s die lijd loodrech op de bn. He lichm beschrijf dn een eenprige cirkelbeweging me een srl mv r. Bq Voorbeeld: de Lorenz-krch vliemp@nikhef.nl 8
Neem n d en gevolge vn een spnningsverschil elekronen een snelheid vn 3. 6 ms - in weselijke riching krijgen. Welk effec heef he rdmgneische veld op de elekronen? De inclinie vn he rdmgneische veld is 5 en de serke 4. -5 T. -e( v ) B v B v o 5 B Uiwerking: He rdmgneische veld veroorzk een Lorenz-krch op elk elekron e( v B) F L en die lig - ne ls vecor B - in he vericle vlk loodrech op de snelheid v. Bepl eers de riching vn ( B v ) me de recherhndregel. De vecor v B s loodrech op he vlk door v en B, d 5 is gekneld en opziche vn he horizonle vlk. Bepl de riching vn de Lorenz-krch. Omd elekronen een negieve lding hebben is die egengeseld n de riching vn ( B v ) : F L mk een hoek vn 4 omhoog me de horizonl nr he Noorden. De grooe is: qvb sinα, me α 9 F L 9 6 5 7 Dus F L,6. 3. 4. sin 9. N, wrui de versnelling kn worden berekend. 3 6 mv 9,. 3. De fbuigingssrl is r 4. m. Bq 5 9 4.,6. Conckrchen In deze prgrf sommen we een nl krchen op die in prkische siuies vk voor komen. He zijn geen fundmenele nuurkrchen, omd ze lle op microscopisch een diepere (elekrische) oorzk hebben. Hierop gn we verder nie in. Normlkrch Als wee lichmen egen elkr zijn gedruk oefenen ze op elkr een krch ui. Men onbind de krch op een lichm in een componen loodrech op he concoppervlk en een lngs di oppervlk. De componen loodrech op he concoppervlk hee normlkrch en word ngeduid me F N. De componen evenwijdig n he concoppervlk hee wrijvingskrch. Zie de figuur bij schuifwrijving. He onbinden in componenen of he vecorieel opellen vn componenen word beschreven in hoofdsuk II-3 over vecoren. vliemp@nikhef.nl 9
Veerkrch Een vs lichm kn een normlkrch uioefenen omd he zelf word ingedruk en he rooser wrui die sof bes zich egen he indrukken verze. Voor lle vse lichmen zijn er wrden voor de indrukking wrvoor de we vn Hooke geld C. F Hierin is F de krch wrmee he lichm zich egen indrukken verze en is C de krchconsne. De krchconsne is groer nrme he lichm meer elsisch is. Voor welke wrden vn de we vn Hooke geld, hng f vn de merileigenschppen en de consrucie vn he lichm. F Figuur 4 Veerkrch Schuifwrijving F N F W µ F N F z Figuur 5 Wrijving op een helling De wrijvingskrch F W ussen wee lichmen die lngs elkr schuiven is rech evenredig me de normlkrch F N wrmee ze egen elkr worden gedruk: F µ F. W.d d N Hierin is µ d de dnmische wrijvingscoëfficiën. Deze hng f vn de eigenschppen vn de oppervlkken. De inde d en de oevoeging dnmisch geven n d deze coëfficiën berekking heef op oppervlkken die en opziche vn elkr bewegen. Bij silsnd vnf F neem de F W gelijk me F oe (he lichm blijf immers in rus). In di sdium spreek men vn sische wrijvingskrch. De oppervlkken gn en opziche vn elkr bewegen ls een beplde mimle wrde F W,m word overschreden: F µ. W, m sfn Hierin is µ s de sische wrijvingscoëfficiën. Ook µ s hng vn de eigenschppen vn de oppervlkken f. Alleen is µ s ies groer dn µ d. Men kn zich hierbij voorsellen d de vliemp@nikhef.nl
oneffenheden vn de oppervlkken nvnkelijk in elkr hken en vn elkr moeen worden losgerokken. En zolng de oppervlkken in beweging blijven, vllen ze nie weer heleml in de oude siuie erug. Vnwege di verschil is een groere krch nodig om ies in beweging e zeen, dn om he in beweging e houden. Een lichm kom hierdoor lijd me een schok in beweging, er is op d momen immers een krch F w ( µ s µ d ) FN die he lichm een versnelling geef. Wrijving ussen Sisch µ s Dnmisch µ d Rol µ r Rubber en beon (n),3,5 Rubber en beon (droog),,8 ±,5 Sl en sl,7,6, á, Gls en gls,9,4 Teflon en sl,4,4 Tbel Wrijvingscoëfficiënen Rolwrijving Ook de rolwrijvingskrch Fr is rech evenredig me de normlkrch. Me µ r voor de rolwrijvingscoëfficiën is F rol µ r FN. De rolwrijvingscoëfficiën is veel kleiner dn de coëfficiënen voor de schuifwrijving. Ook bij rolwrijving is er verschil ussen de sische en dnmische wrijving. Drom verrek een rein die begin e rijden, of een zwre kr, vk me een merkbre schok. Vormweersnd Een nder pe conckrch dn hiervoor is beschreven, is de vormweersnd die een lichm ondervind ls he me een beplde snelheid door een medium beweeg. Drbij bos he immers me de moleculen wrui he medium bes. Een zekere hoeveelheid ervn word gedwongen mee e bewegen en hiervoor word kineische energie n he lichm onrokken. Deze weersnd in he medium kn worden uigedruk in een vormweersndskrch (ook vk wrijvingskrch genoemd): FW ρcav. Hierin is ρ de dichheid vn he medium, v de snelheid, A he oppervlk vn de groose dwrsdoorsnede vn he lichm loodrech op de bewegingsriching en C is een consne die vn de sroomlijn vn he lichm fhng. Viskeuze wrijving In een eerder hoofdsuk is l de wrijvingskrch beschreven die een lichm ondervind ls he door een gs of vloeisof beweeg. De krch is evenredig me de snelheid en fhnkelijk vn de geomerie vn he lichm. Voor een bol geld de we vn Sokes. Zie hoofdsuk I-: sroming. Spnkrch vliemp@nikhef.nl
De rekkrch vn een ouw op een lichm d er n hng, heef dezelfde oorsprong ls de normlkrch wrmee een lichm een nder onderseun. De moleculen vn de sof wrui he ouw bes verze zich egen vervorming, zowel egen indrukken ls egen uirekken. Over een klein rjec is de uirekking rech evenredig me de krch en geld de we vn Hooke. Vk mogen de mss en de rekbrheid vn he koord worden verwrloosd. Mr soms heef he ouw wel degelijk invloed op de beweging. Bijvoorbeeld, bij bungeejumpen is een rekbr ouw essenieel en is ook de mss nie verwrloosbr. De mss vn he ouw zorg d de springer een versnelling groer dn g (vrije vl) krijg. Resulerende krch Vecorsom De versnelling vn een lichm hng volgens de weede we vn Newon f vn de som vn lle krchen op d lichm: F m. Me som word de vecorsom bedoeld. In hoofdsuk II-3 over vecoren word beschreven hoe die word uigerekend. Bij he oplossen vn problemen is he belngrijk de krchvecoren goed e visuliseren. Di gebeur in een vrije-lichmsdigrm, wrover de volgende prgrf g. Middelpunzoekende krch De middelpunzoekende krch bij een cirkelbeweging kn nie in een dem worden genoemd me de genoemde veld- en conckrchen. De kwesie is: een cirkelbeweging is lleen mogelijk indien de resulerende krch middelpunzoekend is. De middelpunzoekende krch is geen bijdrge n de resulerende krch mr een mogelijk kenmerk ervn. Voor een eenprige cirkelbeweging vn een mss m me srl r, bnsnelheid v of hoeksnelheid ω is een resulerende krch vereis die voldoe n: mv F mω r of F. r vliemp@nikhef.nl
3. Energie Kineische energie Een bewegend lichm heef louer op grond vn de mss m en de grooe vn de snelheid v een hoeveelheid energie - de kineische energie of bewegingsenergie: E k mv. Di is de energie die in de vorm vn rbeid moes worden oegevoerd om he lichm vnui rus de snelheid v e geven, of -omgekeerd- de rbeid die he lichm louer op grond vn zijn beweging kn verrichen od he sils. Energie is een sclire grooheid, zie hoofdsuk II-3. Roie-energie Roie-energie is een bijzondere vorm vn kineische energie. Alleen uigebreide lichmen die om een bepld pun drien, hebben roie-energie. Drbij is belngrijk hoe de mss over he lichm is verdeeld en opziche vn he dripun. De beschrijving hiervn vl buien he besek vn di boek en kom in eersejrscolleges over mechnic n de orde. Arbeid Arbeid is he inproduc vn de krch F en de fgelegde weg s : W F ds. bn Zie voor inproduc hoofdsuk II-3. In he eenvoudige gevl vn een rechlijnige beweging wrbij de krch F de riching vn de posiieve -s heef, is: W F. En ls de krch een hoek α me de posiieve -s mk, dn is: W F cosα F α Figuur 6 Arbeid F.cosα An de hnd vn de voorgnde figuur is duidelijk d een krch loodrech op de bewegingsriching geen rbeid uioefen. Di geld voor de zwrekrch en normlkrch bij vliemp@nikhef.nl 3
een beweging lngs een horizonle lijn, of voor de middelpunzoekende krch bij een cirkelbeweging. F W S F Z Figuur 7 Arbeid 'lngs de bn' Voor he beplen vn de rbeid moe je eers nr de fgelegde weg s kijken, nie nr de verplsing. Le in de figuur op he verschil ussen de rbeid vn de zwrekrch F Z en die vn de luchweersnd F W op een lichm S in een vericl opgeseld rd. N omweneling is W Fw πrf (erwijl de verplsing n omweneling nul is). W Voor de rbeid vn de zwrekrch in di voorbeeld geld n omweneling W FZ, nie omd de verplsing nul is, mr omd de inegrl vn de projecies vn FZ lngs de bn nul is. Poeniële energie In de figuur rbeid lngs de bn is er nog een verschil ussen de rbeid vn de zwrekrch en die vn de luchweersnd: de luchweersnd verrich lijd negieve rbeid en de zwrekrch verrich fwisselend posiieve en negieve rbeid. Di proces is omkeerbr. Bij he omhooggn word poeniële energie opgebouwd en ijdens he neergn word die in kineische energie omgeze. De poeniële energie engevolge vn de zwrekrch hng f vn de hooge: E P mgh. Hierin is m de mss, g de vlversnelling en h de hooge en opziche vn een refereniepun. He refereniepun mg willekeurig gekozen worden. He kn he middelpun vn de rde zijn, de grond of he lgse pun vn een beweging. In de lse figuur lig de keuze vn de lgse posiie voor de hnd. Ui de formule volg d een lichm overl op dezelfde hooge dezelfde poeniële energie heef. Di beeken d voor de berekening vn de rbeid vn de zwrekrch lleen he hoogeverschil (en nie de fgelegde weg of verplsing) vn belng is. vliemp@nikhef.nl 4
Als er behlve de zwrekrch geen enkele ndere krch werk is de som vn de kineische en poeniële energie consn: E E consn P + K Ne ls de mss in een zwrekrchveld kn een elekrische lding poeniële energie in een elekrisch veld hebben. Veerenergie Omkeerbr is ook de uiwisseling vn kineische energie en veerenergie. Bij verplsingen u wrbij de we vn Hooke ( Cu ) geld, is de veerenergie E V ku. F u Afleiding: A o F du A Cu du Cu A CA o Trillingsenergie De rillingsenergie vn een lichm me mss m d een hrmonische rilling uivoer me mpliude A en frequenie f is: Er mω A. Hierin is ω πf. De fleiding is mogelijk op mnieren: De rillingsenergie is de mimle kineische energie me in he volgende hoofdsuk): E r mv m mω A De rillingsenergie is ook gelijk n de mimle veerenergie: vm ωa (zie hrmonische rilling E r CA. C C volg ui de voorwrde voor een hrmonische rilling (zie he volgende hoofdsuk): ω. m vliemp@nikhef.nl 5
II. Rechlijnige bewegingen. Bsisbegrippen Coördinensseem en siuieekening He beschrijven vn een beweging houd in d je voor elk ijdsip de pls ngeef. Di begin lijd me he kiezen vn een coördinensseem. W is de riching vn de (posiieve) -s? Wr is de oorsprong? Kies bij een rechlijnige beweging de -s zo d de beweging lngs de s pls vind. Geef in een schemische siuieekening de belngrijkse kenmerken vn de beweging weer: de oorsprong, de -s, de pls vn he lichm op een zeker ijdsip, de verplsing of (begin)snelheid e.d. O + s Grfieken inerpreeren Er word gebruik gemk vn grfieken voor de pls-, de snelheids- of de versnellingsfuncie. Inerpreeer een grfiek nie e snel. Bedenk lijd eers me welke funcie je e mken heb, dus le op de grooheden lngs de ssen. Zie bijvoorbeeld de ondersnde grfiek. Ps ls je wee welke grooheid lngs de vericle s s, kun je nwoord geven op de volgende vrgen: W beeken een negieve wrde? W is er op n de hnd? W beeken he sijgen/dlen vn de grfiek? W beeken de ereme wrde op?? Als lngs de vericle s de pls uis, dn sl de grfiek op een beweging die links vn de oorsprong begin, op door de oorsprong g en op omkeer riching oorsprong. He zou vliemp@nikhef.nl 6
een bl kunnen zijn die je omhoog gooi en erugvl. O s S lngs de vericle s de snelheid ui, dn g he om een beweging die eers verrgd nr links g, op omkeer, versnel o en drn verrgd verder g. Op welke plsen di lles gebeur, kun je nie n de v--grfiek zien. s He is ook hndig om eers zelf een --digrm e ekenen; je moe dn wel fspreken op welke posiie o he voorwerp op is. Eremen, differeniëren en inegreren De pls, de snelheid v en de versnelling ls funcie vn de ijd worden voorgeseld door funcies en grfieken. In he voorgeze onderwijs leer je - d een funcie een ereme wrde heef ls de fgeleide vn die funcie nul is. Bijvoorbeeld 4,9 9,8 heef een mimum bij 4,9 9,6 - d je door differeniëren vn de plsfuncie de snelheidsfuncie v vind en vervolgens de versnellingfuncie - d door inegreren een snelheidsverndering v respecievelijk verplsing v respecievelijk word verkregen. Hieronder word di eers smengev. Zie voor differeniëren en inegreren ook hoofdsuk II-.. ui Verplsing en fgelegde weg De verplsing vnf he ijdsip in een ijdsinervl + is: In de geekende siuie is bij een verplsing nr links negief. Als dezelfde weg heen en erug word fgelegd, is de verplsing. De reche srepen geven n d ol de bsolue wrde word genomen. De fgelegde weg is echer lijd posiief en voor een beweging heen en erug geld: s +. Snelheid, gemiddeld en momenn De gemiddelde snelheid is v gem. vliemp@nikhef.nl 7
+ In he digrm hierns is di de richingscoëfficiën vn de koorde die hoor bij. (De koorde is nie een verplsing!) Bedenk d de gemiddelde snelheid nie hezelfde is ls de gemiddelde bnsnelheid. Als s dezelfde weg heen en erug word fgelegd zijn en v gem, mr >. De momenne snelheid is: d v of v d In he digrm is di de richingscoëfficiën vn de rklijn op. Versnelling, gemiddeld en momenn Op vergelijkbre mnier zijn de gemiddelde en momenne versnelling v gem dv d nders geschreven: v d d Voorbeeld Sel d de pls-ijd-funcie gegeven is ls: (4 + ) m. Hierui volgen door een respecievelijk wee ml differeniëren de snelheidsfuncie en de versnellingsfuncie v ( 8 ) ms - v 8 ms - Op 3 s is: v 3 3 ms - 3 8 ms - vliemp@nikhef.nl 8
Gemiddelde berekenen me een inegrl Op de pgin s hiervoor werd de gemiddelde snelheid fgeleid ui een definiie uignde vn de verplsing: v gem. Soms is geen verplsing bekend, mr lleen de snelheidsfuncie. In d gevl kn he gemiddelde vn v over een periode ui de inegrl vn de v -funcie of -grfiek worden fgeleid. In he v -digrm vorm me he inervl de grfiek vn de funcie (zie HII, p..): v gem v v gem v d. vgem een even groo oppervlk ls Hiermee beplen we in he inervl. In he lgemeen geld voor een funcie q d he gemiddelde vn q over een inervl p gelijk is n hooge ussen wee plsen in een lndschp. p q pdp. He geld bijvoorbeeld ook voor de gemiddelde p p Verplsing en plsfuncie We schrijven nu voor de pls + vgem en in he lgemeen: + v d vliemp@nikhef.nl 9
Voorbeeld Sel d lleen de snelheidsfuncie v 8 gegeven is. Dn geef inegreren: ( 8 ) d (4 ) 4 + C. Merk op d de funcie v geen informie bev over de pls ijdens een beweging, mr lleen over de verplsing. Voor he berekenen vn plsen moeen er informie zijn gegeven (bijvoorbeeld ). Indien voor pg.. v een funcie bekend is, dn kn die worden geprimiiveerd. Zie ook hoofdsuk II-, Snelheidsverndering en snelheidsfuncie De versnellingsfuncie kn vergelijkbr n de prgrf hiervoor worden behndeld: gem d v v + gem en in he lgemeen: v v + d Ook hier geld d bij he berekenen vn de inegrl een inegrieconsne verschijn en voor de beginsnelheid v een ndere informiebron nodig is. De funcie geef lleen informie over de snelheidsverndering, nie over momenne snelheden. vliemp@nikhef.nl
Voorbeeld Als we uign vn de grfiek vn c en inegreren vnf dn volgen n een respecievelijk wee keer primiiveren: de snelheidsfuncie: v v + d v + ) v + + ( C (sel hier C ) en de plsfuncie: + ( v + ) d + ( v + ) + v + + C (sel ook C. ) De snelheidsfuncie en de plsfuncie zijn ps volledig is ls behlve de versnelling nog de wrden voor en v gegeven zijn. Overzich vn formules Differeniëren v gem v gem Inegreren Gemiddelde, lgemeen d v v d dv d v d d q gem p v gem vd + gem d v v + Bij consne versnelling: versnellingsfuncie c snelheidsfuncie plsfuncie p v v + + v + qdp v d d vliemp@nikhef.nl
. Bewegingsvergelijkingen Ui F m - de weede we vn Newon - volg d de resulerende krch bepl op welke mnier de beweging vn een lichm vernder. In he voorgeze onderwijs komen wee pen bewegingen uivoerig n de orde: * de eenprige beweging wrbij F en nul zijn en vconsn * de eenprig versnelde beweging wrbij F en consn zijn en vv +. En ook word geleerd d een sinusvormige rilling ons ls F en -k. In universiire cursussen zoek men eers een uidrukking voor de resulerende krch F RES. Drui volg de versnelling die geschreven word ls de weede fgeleide vn de pls. De weede we vn Newon word dn geschreven ls: d FRES d m Di is de bewegingsvergelijking vn he lichm. In de wiskunde noem men di een differenilvergelijking (fgekor DV), in di gevl een (nie-homogene) lineire DV vn de de orde. Snelheid en pls vind men vervolgens door een of weeml e inegreren. In he lgemeen is de resulerende krch op een lichm nie consn en fhnkelijk vn de pls, de snelheid of de ijd. Di leid o llerlei pes DV en o llerlei oplossingsmehodes. Zie hfd II-.. Voor he oplossen vn DV s is wiskundekennis nodig, plus enige ervring, w creiviei en de bereidheid o uiproberen. Hieronder geven we enkele problemen en me hun oplossing. We beperken ons o DV s die me kennis vn de vwo-wiskunde kunnen worden opgelos. F : eenprige beweging Me F word de bewegingsvergelijking: d d Deze - mees eenvoudige - lineire DV vn de de orde is homogeen. (Zie hfd II-)Tweede orde omd de hoogse fgeleide die voorkom de de fgeleide is; homogeen omd de nie vn fhnkelijke erm is nul is. De oplossing ken je. N wee keer primiiveren krijg je: C C + C en C zijn de inegrieconsnen en we kiezen die zodnig d we verder lleen e mken hebben me de begincondiies: + v. He rekenwerk zl in di gevl weinig moeie kosen. We beschrijven hier een oepssing. Inhlen, relieve snelheid vliemp@nikhef.nl
Een eenvoudig probleem: wee lichmen A en B bewegen me consne snelheden in de riching vn de posiieve -s. - - Voor A is A, m en va ms en voor B is B, +4 m en vb 4 ms. Op welk ijdsip word B door A ingehld? v A O A B vb s Voor een oplossingsmehode zie H.II-:. Alernief: kies een nieuw referenieseem Er zijn lineire vergelijkingen me onbekenden: + + m A, A, va B, B, + vb 4 + 4 m Kies B ls refereniesseem: B is nu seeds in de oorsprong en heef en opziche vn di seem snelheid. He lichm A is op op 6 m en zijn snelheid en opzic he vn A is 6 ms -. Men noem di de relieve snelheid vn A en opziche vn B. De plsfuncie vn A is nu 6 6 en me, A.o.v.B + volg opnieuw s. Je moe zelf beoordelen of deze mehode hndig is. Om de pls in he oude refereniesseem e berekenen, moe je voor A of B weer erugkeren nr he oude referenieseem (8 m). (Zie ook H.I-4..) F consn : eenprig versnelde beweging Zols genoemd is voor F consn de bewegingvergelijking d F. d m Deze DV is nie homogeen. Zie hfd. II-. De oplossing voor hebben we eerder fgeleid door wee keer inegreren: + v + vliemp@nikhef.nl 3
Vlversnelling en vericle worp m F O De vl zonder wrijving vn een lichm wrop lleen de zwrekrch werk is een voorbeeld vn een beweging wrvoor de zojuis beschreven bewegingsvergelijking geld. Kies eers: - he refereniesseem (hier: de rde) - de posiieve -s (hier: vericl omhoog) - de oorsprong (hier: bij de grond). Bij deze fsprken is de versnelling g 9, 8 ms - en de plsfuncie: Is + v 4, 9 v, dn spreek men vn een vericle worp. In he gevl d v > heef de beweging een hoogse pun. Deze ereme wrde word bereik op he ijdsip wrop, di wil zeggen ls v 4,9 Zie verder voor kenmerken vn deze de grdsvergelijking en een voorbeeld me een vericle worp: hfd. II-.. Twee vericle bewegingen - discriminnformule Een bllon dl me v ms -. Als de mnd op 36 m hooge is, sl iemnd vnf de grond een ennisbl rech omhoog. Die rk de mnd ne nie. Verwrloos de luchweersnd vn de bl. Neem voor g ms -. Bereken de beginsnelheid vn de ennisbl. vliemp@nikhef.nl 4