X. Vritierekening. In dit hoofdstuk onderzoeken we een ntl problemen die neerkomen op het miniml of mximl mken vn een integrl. Dit is het terrein vn de vritierekening. We noemen een ntl klssieke problemen op dit gebied: 1. Gegeven zijn twee vste punten op een oppervlk. Wt is het kortste pd tussen de twee punten geheel op het oppervlk ligt? 2. Wt is de vorm vn het gebied omsloten wor door een kromme vn gegeven omtrek en een zo klein mogelijke oppervlkte heeft het isoperimetrisch probleem? 3. Wt is de vorm vn een oppervlk in de driedimensionle ruimte begrensd wor door een gegeven gesloten kromme en een zo klein mogelijke oppervlkte heeft? 4. Gegeven zijn twee punten A en B in het zwrtekrchtveld vn de rde, wrbij A hoger ligt dn B. Welk pd moet het deeltje nemen zo het binnen zo kort mogelijke tijd vn A nr B gerkt? het probleem vn de brchistochroon. 5. Een ketting vn homogeen mteril wor opgehngen n twee punten. Wt is de vorm die de ketting nneemt? 6. Het principe vn Hmilton uit de klssieke mechnic: het gedrg vn een fysisch systeem wor beschreven door het miniml zijn vn de ctie S = Lq, q, t wrbij L de Lgrngin is vn het systeem en q zijn gegenerliseerde coördinten. 1.1. De functionele fgeleide. We beschouwen de Hilbertruimte V = L 2, R vn reële kwdrtisch integreerbre functies op een deelverzmeling R n. Voor f V gel fx2 d n x bestt en eindig is. Merk op ls f, g V, dn is λf V voor λ R en ngezien fx+gx 2 fx + gx 2 fx + gx 2 + fx gx 2 = 2 fx 2 + gx 2 1.1 is ook f + g V. Verder is 4fxgx = fx + gx 2 + fx gx 2 dus fg is bsoluut integreerbr op d.w.z. fg en fg zijn integreerbr. Op V kunnen we een inwendig product definiëren d.m.v. f, g = fxgxdx. Een functionl op V is een niet-noodzkelijk lineire fbeelding vn een lineire deelruimte W V nr R. W heet het domein vn de functionl. Voorbeelden vn functionlen zijn: 1. F f = fxhxdn x wrbij h V een vste functie is. 2. F f = fx voor x. 3. F f = f x 2 d n x. De eerste twee functionlen zijn lineir, de ltste niet. De functionl in voorbeeld 3 is lleen gedefinieerd op de lineire deelruimte W bestnde uit de functies f V die differentieerbr zijn en zodnig f V. δf Als f V en F is een functionl op V dn is de functionele fgeleide gedefinieerd ls volgt: δfx F f + ɛg F f δf lim = ɛ ɛ δfx gxdn x, voor g V. Evenls voor de gewone fgeleide vn een functie het gevl is, is de functionele fgeleide δf niet ltijd gedefinieerd. Symbolisch kunnen we ook definiëren: δfx = lim F f + ɛδ x F f, ɛ ɛ wrbij δ x gedefinieerd is ls δ x y = δy x. Ntuurlijk is δ x V. 1
Als voorbeeld beplen we de functionele fgeleide voor de bovenstnde drie voorbeelden: 1. δf δfx = hx. 2. δfx δfx = δx x. 3. Voor = R n en voor f V tweeml continu differentieerbr, is δf f δfx = 2f x. De functionele fgeleide speelt dezelfde rol ls de gewone functie-fgeleide in het gevl vn functies vn één vribele: ls de functionl F voor f W V een extreme wrde nneemt, en de δf f functionele fgeleide is goed gedefinieerd op W, dn is δfx =. Het omgekeerde hoeft niet het gevl te zijn; in dit gevl kunnen we lleen zeggen de functionl in f een sttionire wrde heeft. Het volgende verbnd bestt tussen de functionele fgeleide en een gewone functie-fgeleide: lt = [, b] een gesloten intervl in R zijn. Verdeel het intervl in stukken vn gelijke lengte = x < x 1 <... < x n met x i = x vst. Bender nu F f door een functionl F die lleen fhngt vn f i = fx i voor i =,..., n; m..w., F is een functie vn f,..., f n en ls x dn gt F f,..., f n in de limiet nr F f. Lt nu ɛ een kleine prmeter en gx een functie. Dn is F = F f + ɛg,..., f n + ɛg n F n f,..., f n = ɛ F gx i + Oɛ 2, f i nderzijds is i= δf F = F f + ɛg F f = ɛ δfx gxdx + Oɛ2. Vergelijken vn beide uitdrukkingen geeft δf δfx = lim x,f i fx 1 F. x f i Lt nu m een differentieerbre functie zijn vn n vribelen, en lt F 1,..., F n functionlen zijn op V. Dn is M gedefinieerd door Mf = mf 1 f,..., F n f een functionl op V. Verder gel de kettingregel: δm δfx = im δf i δfx. 1.2 1.2 De vergelijking vn Euler-Lgrnge. In veel toepssingen hebben we te mken met een functionl F f die vn de vorm F f = b Lf, f, xdx is, wrbij L ook wel de Lgrngin genmd een continu differentieerbre functie is, en [, b] een gesloten intervl in R. Voor een differentieerbre functie g is F f +ɛg = b Lf +ɛg, f +ɛg, xdx = = F f + ɛ b b Lf, f, xdx+ɛ b gx + f f g x dx+oɛ 2 f d dx f gxdx + ɛ f gx b + Oɛ2 1.3 2
Op dezelfde mnier vinden we, ls F f = Lf, if, x i d n x een meerdimensionle integrl is en L fhngt vn x 1,..., x n F f + ɛg = F f + ɛ f j gxd n x + ɛ j f j f gxnj da + Oɛ 2 1.4 wrbij n i de componenten zijn vn de uitwendige norml op. Als [, b] = R resp. = R n, of ls de functieruimte V bestt uit functies op die n een vste rndconditie voldoen, dn is g = gb = resp. gx = op de rnd, en dus, ngezien verder gx willekeurig is, is een voorwrde op de functionl voor fx een minimum of mximum nneemt, δf f δfx = F f d F dx f =, resp. δf f δfx = F f j F =. 1.5 j f Vergelijking 1.5 heet de vergelijking vn Euler-Lgrnge en speelt een centrle rol in de vritierekening. Als F ook fhngt vn de tweede resp. hogere fgeleiden vn f, dn bestt er δf f een nloge vorm voor, die niet moeilijk f te leiden is. Tenslotte kn het voorkomen δfx de functionl F niet vn één enkele functie f fhngt, mr vn een eindig ntl zeg k functies f 1,..., f n. In dit gevl is een noodzkelijke voorwrde op F een mximum of een minimum bereikt, de k functionele fgeleiden δf f 1,..., f k lle nul zijn. Bedenk, evenls in het δf j x gevl vn de gewone functie-fgeleiden, het nul zijn vn de functionele fgeleide geen voldoende voorwrde is voor een minimum of mximum, en moeten we een prte redenering toepssen om n te gn een eventueel gevonden oplossing inderdd een mximum dn wel minimum geeft. Anders dn het gevl is voor gewone functies, is het lng niet ltijd duidelijk de functionl wel echt een minimum of mximum nneemt. We geven nu een ntl toepssingen. 1. Lt x 1, y 1 en x 2, y 2 vste punten in E 2 zijn. De lengte vn een stuksgewijs gldde kromme vn de vorm y = fx wor gegeven door F f = x2 1 + f x 2 dx. Onder l deze krommen zoeken we degene met de kortste lengte. Angezien de x 1 d f x eindpunten vst zijn, moet de Euler-Lgrnge vergelijking gelden. Deze lui: dx 1 + f x =. 2 Hieruit volgt f x constnt is en dus is de kromme y = fx een rechte lijn. 2. De brchistochroon. Gegeven zijn in een homogeen zwrtekrchtveld g = ge z twee punten A en B, wrbij A hoger ligt dn B d.w.z. de potentil in A is groter dn in B. Gevrgd is de kromme tussen A en B die een mssdeeltje moet doorlopen om zo snel mogelijk vn A nr B te gerken wrbij wrijvingskrchten worden verwrloosd. We geven A en B coördinten: A, en Bb, ; We nemen verder n de kromme de vorm y = yx heeft en dus in een vlk ligt. Volgens behoud vn energie gel dn: v 2 + 2gy = 2g wrbij v = vy de snelheid is vn het mssdeeltje. De totle vltijd is dus gelijk n T = B A ds v = Angezien g constnt is en verder geen rol speelt, moeten we de functionl F y = b 1 + y 2 dx. 2g y 1 + y 2 dx y minimliseren. Voor het gemk kiezen we = 1 en b = π/2. De rndpunten liggen dus vst. Merk op de Lgrngin L lleen vn y en y fhngt en niet vn x. In dit gevl kunnen we meteen een eerste integrl opschrijven: ngezien d dx y y = y d + y == y dx y y y 3 + y y = dl dx b
is d L y dx y = 1.6 en dus is L y y constnt. 1 + y 2 Dit pssen we toe op het voorbeeld: voor L = is L y 1 y y = 1/ 1 y1 + y 2 en dus is 1 y1 + y 2 gelijk n een constnte C. Verder uitwerken geeft y C 1 + y =. 1 y Het minteken gel om we weten y een dlende functie vn x moet zijn. Integreren geeft 1 y dy C 1 + y = dx dus, voor 1 y = Cw, x + D = C w dw 1 w = C w1 w + rcsin w met C, D integrtieconstnten. Angezien x = ls y = 1, dus w =, is D =. verder is x = π/2 voor y =, dus π 2 = C 1 + C rcsin 1 ; dit levert C = 1. De oplossing is C dus x = y1 y + rcsin 1 y. Dit is de vergelijking vn een cycloïde, zols wellicht simpeler is in te zien n de hnd vn een prmetristie: g n yφ = cos 2 φ/2 = 1 2 + 1 cos φ, 2 xφ = 1 2 φ 1 sin φ een prmetristie vn de kromme is. Een cycloïde is de bn die een vst 2 punt op een cirkel doorloopt wnneer de cirkel lngs een rechte lijn frolt. 3. Beschouw een lineire keten vn mssdeeltjes met mss m die verbonden zijn door veren en zich in evenwicht op posities x, x 1,... bevinden zodnig de fstnden x i+1 x i = gelijk zijn. Onder invloed vn de veerkrcht kunnen de deeltjes een hrmonische trilling uitvoeren. De positie vn deeltje i wor ngegeven met q i = q i t. De bewegingsvergelijking lui m q i = kq i q i 1 kq i q i+1. Hierbij hoort de Lgrngin L = 1 2 mq i 2 1 2 kq i q i 1 2 en de i bewegingsvergelijking wor verkregen uit δs = voor i =, 1,..., wrbij de ctie S gegeven δq i is door S = L. We gn nu over tot een continu systeem door te lten gn. Hierbij schrijven we qx, t voor q i t en we houden µ = m/ en Y = k constnt. Dn gt q i+1 q i over in q x, en de Lgrngin gt over vi L = 2 1 q 2 µ 1 2 q t 2 Y in L = Ldx x i met de Lgrnge-dichtheid L = 1 2 q 2 µ 1 2 q t 2 Y. De ctie kunnen we dus schrijven ls x S = Ldx. De Euler-Lgrnge-vergelijking is nu q x x q t =. Dit geeft de t q bewegingsvergelijking µ 2 q t 2 Y 2 q x 2 =. Dit is de eendimensionle golfvergelijking. 4
4. Het principe vn Fermt. Het principe vn Fermt uit de geometrische optic zegt het pd een lichtstrl tussen twee punten flegt het pd is in zo kort mogelijke tijd wor fgelegd. Dit komt erop neer de lijnintegrl I = nds miniml is wrbij n de brekingsindex is. We beschouwen een tweedimensionle situtie wrbij het pd de lichtstrl flegt tussen twee punten x 1, y 1 en x 2, y 2 met y 1 < y 2 een kromme y = yx is, en wrbij de brekingsindex n = ny lleen vn y fhngt. Lt φx de hoek zijn die het pd mkt met de positieve x-s, dus y x = tn φx. Dn is I = x2 lleen vn y en y f en ls in voorbeeld 2 is een eerste integrl x 1 L y y = ny 1 + y dx. De Lgrngin L = ny 1 + y 2 hngt ny 1 + y 2 = ny cos φx = C met C een constnte. M..w. n cos φ is constnt op het pd. Beschouw nu de situtie ny = n 1 ls y > en ny = n 2 ls y <. De lijn y = is dus de grenslijn tussen twee medi met verschillende brekingsindices n 1 en n 2. Dn is n 1 cos φ 1 = n 2 cos φ 2 wrbij φ 1 resp. φ 2 de hoek is die de lichtstrl mkt met de grenslijn y =. Dit resultt stt bekend ls de brekingswet vn Snellius. I.h.. wor deze geformuleerd in de vorm n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 wrbij θ 1, θ 2 de hoek is die de lichtstrl mkt met de norml op de grenslijn. 1.3. Multiplictoren vn Lgrnge. In deze prgrf bekijken we het gevl een functionl binnen een klsse vn functies V geminimliseerd of gemximliseerd moet worden, wrbij de betreffende functies n een rndvoorwrde moeten voldoen. Neem n I en J 1,..., J k functionlen zijn op een Hilbertruimte H. Vk is H = L 2 U een functieruimte met U R n. Neem n Iu een sttionire wrde bereikt voor een functie u onder de voorwrde J 1 u = c 1,..., J k u = c k wrbij c 1,..., c k constnten zijn. Dn is = δiu = voor die functies η wrvoor gel U U δi δux ηxdx δj i ηxdx = met i = 1,..., k; ls we schrijven δux δux U 1... Uk = U 1 +... + U k. U j = spn{ δj j δi } voor j = 1,..., k, dn gel δux De ltste gelijkheid gel om U 1,..., U k gesloten deelruimten vn H zijn. Mr dn is δi δux = λ δj 1 1 δux +... + λ δj k k δux voor zekere λ 1,..., λ k R. λ 1,..., λ k heten multiplictoren vn Lgrnge. Uit de nlyse vn functies vn meer vernderlijken kennen we dit probleem eveneens. Een eenvoudig voorbeeld hiervn voor het gevl H eindig-dimensionl is, is het volgende: Gezocht wor het minimum, resp. mximum vn de kwdrtische vorm x T Ax op R n op de eenheidsbol x T x = 1. We beplen het minimum, resp. mximum vn de functie F λ x = x T Ax + λx T x 1 wrbij λ een prmeter is en x T x = 1 gel. Dr F λ differentieerbr is, is een noodzkelijke voorwrde gegeven door het verdwijnen vn de grdiënt F λ. Dit levert we kunnen 5
de mtrix A zonder beperking der lgemeenheid symmetrisch kiezen Ax + λx =. Een vector x met x = 1 wrvoor x T Ax miniml of mximl is, is dus een eigenvector vn A. Voor een voorbeeld uit de vritierekening beschouwen we het isoperimetrisch probleem in het vlk. Gevrgd is vn lle gesloten Jordnkrommen met vste omtrek C diegene die een zo groot mogelijke oppervlkte omsluit een kromme heet enkelvoudig of Jordnkromme ls deze zichzelf niet doorsnij; in dit gevl kn worden ngetoond de kromme het vlk eenduidig verdeelt in een binnengebied, een buitengebied en de kromme zelf; dit is de stelling vn Jordn. We beschouwen de klsse vn stuksgewijs gldde krommen x = xt, y = yt wrbij x, y stuksgewijs continu differentieerbre functies vn een prmeter t zijn. Zonder beperking der lgemeenheid kiezen we voor t de booglengte, d.w.z. x t 2 + y t 2 = 1. Dn is de rndvoorwrde C A = = C C x t 2 + y t 2 = C. De oppervlkte ingesloten door de kromme is dn gelijk n ytx t = C xty t. gekozen kn worden. De functionl F = Merk op het begin- en eindpunt gelijk is en vst C ytx t λx t 2 + y t 2 mximliseren lei tot de volgende Euler-Lgrngevergelijkingen voor L = ytx t λx t 2 + y t 2 : en = x d x = y t + 2λx t = y d y = x t + 2λy t. λ elimineren uit deze twee vergelijkingen geeft x ty t y tx t = constnt ofwel κt = x ty t y tx t x t 2 + y t 2 3/2 is constnt. κt is de kromming vn de kromme in het punt xt, yt en een gesloten kromme met constnte kromming is een cirkel, zols we zullen ntonen. De oplossing vn het isoperimetrisch probleem is dus een cirkel. Merk op we de klsse vn krommen die we beschouwen wel enigszins moeten inperken. Dit is een gevolg vn de gebruikte methode, die lleen werkt ls de functies binnen de integrlen voldoende vk differentieerbr zijn. De kromming vn een kromme in het vlk. Beschouw de kromme C in het vlk met prmetervoorstelling x = xt, y = yt voor t [, b]. We nemen n x en y tweeml differentieerbr nr t zijn. Het punt xt, yt geven we n met xt. Door de drie punten xt, xt+ t en xt+2 t gt precies één cirkel of een rechte die in zekere zin is op te vtten ls een cirkel met strl. We lten nu t gn en kijken nr de limietcirkel. Deze rkt de kromme tot in tweede orde. De vergelijking vn de limietcirkel in xt is xt m, xt m = R 2, wrbij, het stndrd-inproduct is, m het middelpunt en R de strl R heet de kromtestrl vn de kromme. De kromming κ is gedefinieerd ls ±1/R. Nu vinden we, door de fgeleide nr t te nemen, x t, xt m =, zo we kunnen schrijven m = xt + 1 κnt wrbij nt een normlvector op de kromme is met norm 1. Meer expliciet, ls x t = x t, y t, dn is nt = y t, x t x t 2 + y t. Nogmls de fgeleide nemen geeft 2 x t, xt m + x t, x t = dus κ = x t, nt x t, x t = x ty t + x ty t x t 2 + y t 2 3/2. 1.7 Propositie: Als κ constnt is, dn is de kromme een stuk vn een cirkel of een rechte. 6
Bewijs: Neem eerst n κ. Kies voor de prmeter t de booglengte. Dn is x t 2 + y t 2 = 1 en we kunnen dn schrijven x t = sin φt, y t = cos φt. Invullen in x ty t x { ty t = κ geeft dn φ t = κ is constnt en dus is x t = sin κt, y t = cos κt en xt = 1 κ cos κt + x yt = 1 κ sin κt + y. Dit is inderdd de prmetervoorstelling vn een cirkelboog. Het gevl κ = wor n de lezer overgelten. 1.4. Het gevl vn vrije rndvoorwrden. In de vorige prgrfen hebben we een ntl voorbeelden gezien wrin de functionl F f = Lfx, f x, xdx wor gemximliseerd of geminimliseerd over een klsse vn functies f wrbij de wrde vn f op de rnd is voorgeschreven. Dit leidde tot de d.v. vn Euler-Lgrnge 1.5. In het gevl er de rndwrden vn f niet zijn voorgeschreven, moeten we de volledige vorm vn 1.3, resp. 1.4 gebruiken. We volstn met een voorbeeld. Beschouw een elstische snr vn homogeen mteril die in rust horizontl hngt en in trnsversle richting kn bewegen. Lt de snr lengte L hebben. We geven met x, yx de positie vn de punten op de snr n, wrbij x L en yx klein is. Neem n de snr lleen in de y-richting kn bewegen. Om de bewegingsvergelijking f te leiden minimliseren we de ctie. Deze heeft dezelfde vorm ls in voorbeeld 3 vn 1.2, nl. Sy = L L = L dx 1 2 µ 2 y 1 t 2 Y Indien de ctie miniml is, gel volgens een vrint op 1.4 2 y. x Sy+ɛg = Sy+ɛ L y x x y t gx, t+ɛ t y x y gx, t L +Oɛ2, en ngezien gx, t geheel willekeurig is, ook in de rndpunten x = en x = L, gel zowel de Euler-Lgrngevergelijking y x x y t t y = ls x y = L =. x y De Euler-Lgrngevergelijking geeft weer de bewegingsvergelijking µ 2 q t 2 Y 2 q = en de tweede x2 vergelijking levert de bijbehorende rndvoorwrden y = y L =. Opmerking. Anloog n het gevl vn sttionire punten vn gewone functies kunnen we een tweede functionele fgeleide definiëren indien F f voor f V en voor kleine ɛ en voldoende lgemene functies g te schrijven is ls F f + ɛg F f = ɛ δf δfx gxdx + 1 2 ɛ2 δ 2 F δfxδfy gxgydxdy + oɛ2. δ 2 F Hierbij is de tweede functionele fgeleide. An het teken ervn kunnen we zien of F f δfxδfy voor f een lokl mximum dn wel minimum nneemt dn wel geen vn beide. We gn hier verder niet op in. 7
1.5. Geodeten. We gebruiken de Euler-Lgrnge vergelijking om te lten zien de geodeten lokl de krommen vn kortste lengte op een differentieerbre vriëteit zijn. In hoofdstuk 7 hebben we gezien ls γt = x 1 t,..., x n t een prmetristie is vn een kromme γ, de kromme een geodeet is dn en slechts dn ls de coördinten x i t voldoen n d 2 x i 2 + dx j dx k Γi jk = dxi d 2 t ds 2 2 i = 1,..., n. 1.8 ds Hierbij is s de booglengteprmeter. Als t zelf een ffiene prmeter is, dus t = s + b voor constnte, b, dn is het rechterlid nul. De Christoffelsymbolen Γ i jk zijn gedefinieerd in termen vn de metrische tensor ls Γ i jk = 1 2 gil l g jk + j g lk + k g jl. De prtiële fgeleide nr i geven we n ls in hoofdstuk 7 d.m.v. i. De lengte vn het krommestuk {γt; t b} is gegeven door L γ = b g jk x j tx k t wrbij x j t = dxj. Lt L = g jk x j tx k t de Lgrngin zijn. Verder lten we het begin- en eindpunt vn de kromme vst en kiezen =, b = 1. De kromme met beginpunt γ en eindpunt γ1 met korste lengte is dus een oplossing vn de n Euler-Lgrngevergelijkingen = d x i x i = d 1 2 2L x i 1 2 2L x i = = 1 d 2 2 2L x i x i 1 2 dl 2L 2 x i =: I II wrbij we de twee termen uit het rechterlid met I resp. II ngeven. We berekenen I en II fzonderlijk: 2L I = d 2g ilx l i g jk x j x k = 2 k g ij x j x k + 2g il x l i g jk x j x k = = 2g il x l + i g jk + j g ki + k g ij x j x k = 2g il x l + Γ l jkx j x k. Merk op de term I precies gelijk is n g il /L ml het linkerlid vn de geodetenvergelijking 1.8 wrbij i vervngen is door l. We tonen nu n II precies gelijk is n g il /L ml het rechterlid vn 1.8 wrbij weer i door l is vervngen. Als s de booglengteprmeter is, dn is L = ds en dus is ds = 1 L en d2 t ds 2 = 1 dl L 2 ds. Verder is 2 x i = 2g dx l il. Dus is g il L dx l d 2 t ds 2 2 = 1 2 ds 2 x i 1 L 2 dl = II. Conclusie: de Euler-Lgrngevergelijking is inderdd de geodetische vergelijking 1.8. 8
Opmerking: Als t een ffiene prmeter is, dn is dl =, en dn is dus II=. De geodetenvergelijking is dn equivlent met I= en dus met d 2 2 =. 1.9 ds x i xi Mr 1.9 is precies de Euler-Lgrngevergelijking voor L 2 = g jk x j sx k s. Dit geeft een snelle mnier om de geodetenvergelijking te vinden, en i.h.b. de Christoffelsymbolen. We geven ls voorbeeld het gevl vn poolcoördinten in R 2 : Voorbeeld: De metrische tensor in poolcoördinten is g = dr dr + r 2 dφ dφ, dus is L 2 = r s 2 + rs 2 φ s 2. De Euler-Lgrngevergelijkingen voor L 2 zijn: en = d ds = d ds De geodetenbvergelijkingen zijn dus dl 2 dr dl2 dr = 2r s 2rsφ s 2 dl 2 dφ dl2 dφ = d ds 2rs2 φ s = 2rs 2 φ s + 4rsr sφ s. r s rsφs 2 =, φ s + 2 rs r sφ s =. We lezen dus direct de Christoffelsymbolen f: Γ r φφ = r, Γ φ rφ = Γφ φr = 1 r en in lle ndere gevllen is Γ i jk =. 1.6. Eigenwrdenproblemen. Vk zijn differentilvergelijkingen Euler-Lgrngevergelijkingen vn een of ndere functionl. Zo is de vergelijking vn Lplce u = de Euler-Lgrngevergelijking bij de functionl Iu = 1 u 2 d n x. De Sturm-Liouvillevergelijking 2 Lu; = d dx pxdu + qxux + λrxux =, x, b 1.1 dx is de Euler-Lgrngevergelijking bij de functionl I λ u = b pxu x 2 qxux 2 λrxux 2 dx. We kunnen echter λ ook ls een Lgrngemultiplictor opvtten. De vergelijking 1.1 is dn de Euler-Lgrngevergelijking vn de functionl Iu = voorwrde Ju = b b pxu x 2 qxux 2 dx onder de rxux 2 dx constnt is. De ltste voorwrde is feitelijk een normeringsvoorwrde. Het vritieprobleem is dus equivlent met het zoeken nr een sttionire wrde vn de functionl Ku = Iu b Ju = pxu x 2 qxux 2 dx b. rxux2 dx 9
Als we de vergelijking 1.1 met ux vermenigvuldigen en vervolgens prtiële integrtie toepssen, zien we in het gevl vn Dirichlet-, Neumnn- of periodieke rndvoorwrden zo pxuxu x b = de eigenwrde λ gelijk is n een sttionire wrde vn Ku. In het bijzonder is de kleinste eigenwrde λ 1 vn het S.L.probleem gelijk n het minimum vn Ku wrbij u ligt in het domein DL vn de differentilopertor L op L 2, b en tevens n de rndvoorwrden in x = resp. x = b voldoet. Om de eigenfuncties bij de verschillende eigenwrden orthogonl zijn t..v. het inproduct met gewichtsfunctie rx kunnen we de volgende eigenwrden ls volgt krkteriseren: de op een n kleinste eigenwrde λ 2 is het minimum vn Ku genomen over lle functies uit DL die n de rndvoorwrden voldoen en tevens orthogonl zijn met de eigenfuncties bij eigenwrde λ 1. Immers lei het minimliseren vn de functionl Iu onder de voorwrden Ju = tot de Euler-Lgrngevergelijking b rxux 2 dx = en J 1 u = pxu x + qxux + λrxux + µrxu 1 x =. b rxuxu 1 xdx = Door deze vergelijking te vermenigvuldigen met u 1 x en te integreren over [, b] vinden we µ b rxu 1 x 2 dx =, mr dit is lleen mogelijk ls µ = zo de vergelijking reduceert tot de eigenwrdenvergelijking pxu x + qxux + λrxux =. Een sttionire wrde wor dus verkregen voor u = u 2 een eigenfunctie. De bijbehorende eigenwrde λ 2 is de minimle wrde vn Ku onder de conditie u orthogonl is met u 1 en n de rndvoorwrden voldoet. Anloog is de k-de eigenwrde λ k het minimum vn Ku onder de voorwrde u n de rndvoorwrde voldoet en orthogonl is met de eigenfuncties u 1, u 2,..., u k 1 bij de resp. eigenwrden λ 1, λ 2,..., λ k 1. De methode vn Ryleigh-Ritz. Op het voorgnde is een methode gebseerd om de kleinste eigenwrden f te schtten: lt v DL een functie zijn die n de rndvoorwrden vn het eigenwrdenprobleem voldoet, dn is Kv een bovengrens voor λ 1. Door i.p.v. een enkele functie v een hele prmeterfmilie vn functies v,b,... te nemen kunnen we de eigenwrde nog beter fschtten. Voorbeeld: Beschouw het S.L.probleem y + λy =, y = yπ = op [, π]. Dn is Kv = π v 2 dx 1 π. Lt nu vx = xπ x. Dn is Kv = = 1, 13. Het feitelijke minmum is gelijk v2 dx π2 n 1 zols we in dit gevl expliciet kunnen zien door het Sturm-Liouvilleprobleem op te lossen. Merk op er een ndere krkterisering mogelijk is voor de eigenwrde λ n : λ n = min mx Ku u,u S,dimS=n 1.1 wrbij S een n-dimensionle lineire deelruimte vn de vectorruimte vn tweeml differentieerbre functies op, b is. De krkterisering 1.1 stt bekend ls het minimx-principe. Met behulp vn dit principe kunnen we een fschtting en een symptotische uitdrukking voor λ n vinden. Het is het eenvoudigst om een Liouville-trnsformtie toe te pssen en het eigenwrdenprobleem z ξ + Qxξ + λzξ = met dezelfde eigenwrden! te bekijken - wrbij de 1
rndvoorwrden R z =, R β z = volgen uit de vorm vn de Liouville-trnsformtie vergelijk hoofdstuk IV: lt A = sup [,b] Qx zijn en beschouw de opertoren L, L en L + zodnig L z = z + Az, L z = z Qxξz en L + z = z Az. Lt verder λ n, λ n, λ + n de n-de eigenwrden zijn vn de S.L systemen z ξ + A + λzξ =, z ξ + Qxξ + λzξ =, resp. z ξ + A + λzξ = met de reguliere rndvoorwrden R z = R b z =. Om voor elke tweeml differentieerbre z gel R L+ z R L z R L z, is ook λ n λ n λ + n. Anderzijds is eenvoudig n te gn λ ± n = n 2 π 2 /β 2 + O1. In het gevl de rndvoorwrden z = zβ = zijn is λ ± n = ±A + n 2 π 2 /β 2 en de eigenfuncties y n x = sin nπx/β. Voor ndere rndvorwrden gelden nloge resultten. Dus is ook λ n = n2 π 2 + O1 ls n. In het bijzonder gel λ 1 λ 2... ls n. Opmerking: Ook integrlvergelijkingen kunnen Euler-Lgrngevergelijkingen zijn: beschouw ls voorbeeld het gevl vn een Fredholmse integrlvergelijking met symmetrische kern Kx, y = Ky, x. Lt de functionl I gegeven zijn door If = b b β 2 Kx, yfxfydxdy. De Euler- Lgrngevergelijking voor een sttionire wrde vn If onder de voorwrde constnt is, is de Fredholmse integrlvergelijking fx = λ b Kx, yfydy. b fx 2 dx 1.7. Lgrngin en symmetrie. De stelling vn Noether. Een grote klsse vn fysische klssieke en quntum-systemen bentwoor n het principe vn minimle ctie dit wor ook wel het principe vn Hmilton genoemd: bij het systeem definiëren we een ctie S = Lq i, j q i, x k dx wrbij L de Lgrngin of Lgrnge-dichtheid is en de veldgrootheden of gegenerliseerde coördinten q i een functie zijn vn de x j. Uit de eis de ctie miniml is volgen de bijbehorende Euler-Lgrngevergelijkingen; deze leveren de veld- en bewegingsvergelijkingen. Bij het opstellen vn de Lgrngin vn een systeem spelen symmetrieprincipes een essentiële rol. We zullen dit toelichten n de hnd vn een klssiek vrij deeltje. We bekijken eerst het niet-reltivistische gevl. De Lgrngin L hngt f vn de ruimtelijke positie x i i = 1, 2, 3, de snelheid ẋ i en ls evolutieprmeter de tijd t. De ctie heeft dn de vorm S = Lx i, ẋ i, t het feit L niet vn de tweede en hogere fgeleiden fhngt en het systeem dus bepld is door de posities en de snelheden, is een ervringsfeit. We eisen nu het systeem en drmee de Lgrngin een ntl symmetrieën bezit: i. Invrintie onder trnslties in de tijd. Dit betekent L niet expliciet vn t fhngt. ii. Invrintie onder trnslties in de ruimte. Dit betekent L niet expliciet vn x i fhngt. L is dus een functie vn lleen de snelheden. iii. Isotropie of rottiesymmetrie: de vorm vn L is invrint onder rotties. Dit betekent Lẋ i lleen vn sclire grootheden die kunnen worden gevormd uit ẋ i fhngt. De enige dergelijke sclire grootheden zijn functies vn ẋ 2. iv. invrintie onder Glilei-trnsformties x i x i +v i t wrbij v i constnt is. Lt X = ẋ 2 /2. De Euler-Lgrngevergelijking voor L = LX is = d ẋ i = d d L dx ẋi = d L dx ẍi + d2 L dx 2 ẋ ẍẋi. Onder een Glileitrnsformtie ẋ i ẋ i + v i en ẍ i ẍ i. Invrintie vn de E.L.vergelijking geeft nu d2 L dx 2 =, dus L = CX voor C een constnte en L = 1 2 Cẋ2. Anloog betekent voor een vrij 11
reltivistisch deeltje invrintie onder orthochrone Lorentztrnsformties de Lgrngin een functie is vn η µν ẋ µ ẋ ν. De stelling vn Noether legt een verbnd tussen een continue symmetrie in de Lgrngin en het bestn vn een behouden grootheid. Neem n de Lgrngin L fhngt vn onfhnkelijke vribelen x i, fhnkelijke vribelen y k x i en eerste prtiële fgeleiden j y k = yk x. Een j continue symmetriegroep wor voortgebrcht door infinitesimle trnsformties. Zo wor een rottie in E 2 om de oorsprong O vn het coördintenstelsel voortgebrcht door de infinitesimle rottie x 1 x 1 ɛx 2, x 2 x 2 + ɛx 1. We beschouwen lgemenere symmetriegroepen wrin zowel de onfhnkelijke vribelen x i ls de fhnkelijke y k trnsformeren. De wijze wrop j y k trnsformeren hngt dn f vn het trnsformtiegedrg vn zowel x i ls y k. We bekijken voor het gemk eerst het gevl vn één onfhnkelijke en één fhnkelijke vribele, dus L = Lyx, y x, x. Beschouw dus een infinitesimle trnsformtie x x = x + ɛξx, y ỹ = y + ɛηx. 1.11 Hierbij is ɛ een kleine prmeter. Dn is tot op eerste orde in ɛ ỹ x = d dx yx+ɛηxdx d x = y x+ɛη x1 ɛξ x = y x+ɛη x ξ xy x. 1.11b Onder de trnsformtie 1.11 gt de integrl Ly, y, xdx over in Lỹ x, ỹ x, xd x. Hierbij is het beeld vn onder de trnsformtie x x. We nemen vn de beschouwde trnsformtie n deze regulier en omkeerbr is, zo met iedere x precies één x correspondeert. In het lgemeen zijn beide integrlen niet gelijk. Nu gel het volgende resultt: Stelling Noether voor 1 dimensie: Als onder de reguliere en omkeerbre trnsformtie 1.11 de integrlen Ly, y, xdx en Lỹ x, ỹ x, xd x voor willekeurige R gelijk zijn en ls tevens de Euler-Lgrngevergelijkingen voor L gelden, dn is d ξxl + dx y ηx ξxy x y =. 1.12 De grootheid in 1.12 tussen hkjes is een behouden grootheid. Bewijs: We lten in de onderstnde formules de expliciete x-fhnkelijkheid vn y, η, ξ weg. = Lỹ x, ỹ x, xd x = Lỹ x, ỹ x, x1 + ɛξ xdx = = Ly + ɛη, y + ɛη ξ y, x + ɛξ1 + ɛξ dx = Ly, y, x1 + ɛξ + ɛ = Ly, y, xdx + ɛ y η + d dx 12 y η ξ y + ξl + η ξy y y x ξ dx, dx =
wrbij in de ltste stp de Euler-Lgrngevergelijking y = d dx y is gebruikt en dl dx = x + y y + y y = x + d dx y y. Zo vinden we willekeurig is. d dx We bekijken een ntl toepssingen: ξl + η ξy y y dx = en 1.12 volgt nu uit het feit 1. Lt de Lgrngin L = Lxt, ẋt, t fhngen vn de tijd, de posities en de snelheid. t speelt hier dus de rol vn onfhnkelijke vrible, en xt vn fhnkelijke vribele. Neem nu n L invrint is onder trnslties t t + in de tijd, d.w.z. L niet expliciet vn t fhngt. De bijbehorende infinitesimle trnsformtie is t t + ɛ, x x, dus ξ = 1, η =. Dn is dh = d L ẋ =, wrbij de Hmiltonin H = L ẋ de energie vn het systeem ẋ ẋ weergeeft. 2. Lt L ls in 1 en neem n L invrint is onder ruimtelijke trnslties x x +. Nu gel η = 1, ξ = en volgens de stelling vn Noether is dp = d =. P = y y is de impuls vn het systeem. In het lgemeen hngt L zowel vn meerdere onfhnkelijke vribelen x i ls vn meerdere fhnkelijke vribelen y j = y j x f. In het lgemene gevl beschouwen we symmetriegroepen voortgebrcht door de infinitesimle trnsformties wrbij voor de prtiële fgeleiden gel = x i x i = x i + ɛξ i x, y j ỹ j = y j + ɛη j x 1.13 y j x i ỹj x i = xk x i x k yj + ɛη j = δ ki ɛ ξk y j x i x k + ɛ ηj x k = yj η j x i + ɛ x i yj ξ k x k x i. 1.13b Verder gel voor de differentilen dx i d x i = dx i + ɛ ξi x k dxk = δ ik + ɛ ξi x k dx k en dus voor de volumevorm dx 1... dx n d x 1... d x n = 1 + ɛ ξk x k dx 1... dx n. Nu gt onder de trnsformtie 1.13 de integrl Ly j, i y j, x i dx 1... dx n over in Lỹ j, i ỹ j, x i d x 1... d x n. Anloog n het eendimensionle gevl hebben we het volgende resultt: 13
Stelling Noether voor meer dimensies: Als onder de reguliere en omkeerbre trnsformtie 1.13 voor willekeurige R n gel Ly j, i y j, x i dx 1... dx n = Lỹ j, i ỹ j, x i d x 1... d x n en ls tevens de Euler-Lgrngevergelijkingen voor L gelden, dn is dj i dx i := d dx i ξ i L + η j i y j ξk k y j i y j =. 1.14 Merk op: Als het ntl onfhnkelijke vribelen groter is dn 1, dn stt in het linkerlid een divergentie. J i heet de Noetherstroom behorende bij de trnsformtiegroep 1.13. Merk verder op we i.p.v. de nottie x i de nottie d dx i gebruiken om de totle fgeleide nr xi n te geven. Bewijs: Dit verloopt geheel nloog n het eendimensionle gevl. We schrijven d n x voor dx 1... dx n : Lỹ j, i ỹ j, x i d n x = Ly j + ɛη j, i y j + ɛ i η j ɛ k y j i ξ k, x i + ɛξ i 1 + ɛ l ξ l d n x = = Ly j, i y j, x i d n x + ɛ x i ξi + y j ηj + i y j iη j k y j i ξ k + L l ξ l d n x. We gebruiken nu de Euler-Lgrngevergelijkingen Zo vinden we Lỹ j, i ỹ j, x i d n x = dl dx i = x i + y j iy j + d dx k k y j i k y j = x i + Ly j, i y j, x i d n d x + ɛ dx i ξ i L + η j k y j =, wruit volgt yj d dx k k y j iy j. i y j ξk k y j i y j Angezien het gebied willekeurig is, is de integrnd nul en hieruit volgt 1.14. d n x. We bekijken weer een ntl toepssingen: 1. Voor een systeem bestnde uit een deeltje in n dimensies is de Lgrngin L = Lx i t, ẋ i t, t fhnkelijk vn de tijd, de posities en de snelheid. In dit gevl is de coördintenruimte n- dimensionl. Als L invrint is onder ruimtelijke trnslties x i x i + i in de x i -richting, dn zijn η j = δ j i dp i en ξ =. Dus is = wrbij P i = de i-e component vn de impuls is. ẋi 2. De Lgrngin vn 1 kunnen we ook opvtten ls de Lgrngin vn een systeem vn n deeltjes in 1 dimensie met posities x i t. Als L invrint is onder een ruimtelijke trnsltie vn het gehele n n systeem, dn is ξ = en η j = 1 voor lle j. In dit gevl is de totle impuls P = P i = ẋ i behouden, d.w.z. dp =. 14 i=1 i=1
3. Lt L = Lx i t, ẋ i t, t de Lgrngin zijn vn een deeltje in drie dimensies, en neem n L invrint is onder rotties om de x 3 -s. De bijbehorende trnsformtiegroep wor voortgebrcht door de trnsformties x 1 x 1 ɛx 2, x 2 x 2 + ɛx 1 en x 3 x 3, d.w.z. ξ =, η 1 x = x 2, η 2 x = x 1, η 3 =. Dn is dl3 = voor L 3 = x 1 P 2 x 2 P 1. L 3 is de z-component vn het impulsmoment. 4. Als ltste toepssing bekijken we het gevl vn een veld y λ t, x i wrbij x i voor i = 1,..., n de ruimtelijke coördinten zijn. Een voorbeeld is de Lgrngedichtheid L in voorbeeld 3 vn 1.2. Hierbij is L = Lyt, x, t y, x y en hngt dus niet expliciet f vn de onfhnkelijke vribelen x en t. In zo n gevl is L invrint onder de trnsformtiegroepen 1.13 wrbij ξ µ = δ ν µ is voor ν =,..., n en η µ =. Hierbij gebruiken we voor t de nottie x. Volgens de stelling vn Noether is dn µ T ν µ = µ ν y λ µ y λ δµ ν L = ν =,..., n. De tensor T ν µ heet de energie-impulstensor. Voor vste ν volgt uit de stelling vn Gusz onder de nnmen het veld voldoende snel nr gt ls x = µ T ν µ d n x = Tν d n x = d Tν d n x R n R n R n zo Tν d n x voor ν =,..., n behouden grootheden zijn. T komt overeen met de energiedichtheid vn het veld, en Ti i = 1,..., n met de componenten vn de impulsdichtheid vn R n het veld. De ndere componenten T µ j hebben te mken met energie- en impulsfluxdichtheid. De stelling vn Noether is te generliseren nr het gevl de Lgrngin ook fhngt vn tweede en hogere fgeleiden vn de fhnkelijke vribelen y i mr in dit gevl is een het stuk moeilijker om een uitdrukking voor de behouden grootheid n te geven. In de meeste toepssingen kunnen we ons beperken tot het gevl vn hoogstens eerste fgeleiden. 15