De Stieltjes-integraal in een Banachruimte

Transcriptie

1 M. Dems De Stieltjes-integrl in een Bnchruimte Bchelorscriptie, 26 ugustus 213 Scriptiebegeleider: dr. O. vn Gns Mthemtisch Instituut, Universiteit Leiden

2 1 Inleiding De Stieltjes-integrl is vernoemd nr Thoms Johnnes Stieltjes. Nr verluidt heeft hij deze integrl-definitie ontwikkeld tijdens zijn onderzoek nr kettingbreuken [6] [11]. De Stieltjes-integrl f(t)dg(t) is lgemener dn de bekende Riemnn-integrl f(t)dt en mkt gebruik vn een zogenmde integrtor, de functie g(t), die te beschouwen is ls een gewichtsfunctie. In de Riemnn-integrl is de integrtor de identieke functie g(t) t. Een toepssing is voorl te vinden in de wrschijnlijkheidsleer, bijvoorbeeld in de berekening vn de momentvoortbrengende functie vn een stochst. In Topics in nlysis 1 - Rel functions vn dr. O. vn Gns [5] stn enkele stellingen over de Stieltjes-integrl vn functies vn een compct intervl [, b] nr R. Hoe zien die stellingen eruit ls het gt om functies vn [, b] nr een lgemene Bnchruimte in plts vn R? Dr zl in deze scriptie ndcht n gegeven worden. In prgrf 2 wordt een korte biogrfie vn Thoms Johnnes Stieltjes gegeven. In de stellingen over de Stieltjes-integrl en de bewijzen drvn, die in deze scriptie n de orde komen, worden begrippen ls prtitie, fijnere prtitie, mswijdte en strooiing veelvuldig gebruikt. Zo ook het begrip begrensde vritie en de definities vn de Stieltjes-integrl. Deze begrippen worden in prgrf 3 eerst gedefiniëerd. Veel definities in deze scriptie zullen l bekend zijn en zijn gebseerd op definities in de gebruikte litertuur. De ndruk ligt op prgrf 4 wrin vier stellingen geformuleerd zijn en bewezen worden. Deze ltste prgrf eindigt met een uitgewerkt voorbeeld. 2

3 2 Thoms Johnnes Stieltjes Thoms Johnnes Stieltjes [3] werd geboren in Zwolle op 29 december 1856 en droeg dezelfde nm ls zijn vder die civiel ingenieur en lid vn de Tweede Kmer ws. Thoms jr. ging in 1873 studeren n de polytechnische School in Delft. Omdt hij geen colleges volgde mr zijn tijd voornmelijk besteedde n het bestuderen vn het werk vn Guss en Jcobi lukte het hem niet zijn propedeutisch exmen te hlen. Zijn vder, die bevriend ws met de directeur vn de Sterrenwcht in Leiden, deed een goed woordje voor zijn zoon. Zodoende kon hij n de slg ls ssistent voor stronomische berekeningen. Ook hier spendeerde Thoms zijn tijd bijn volledig n de wiskunde. Zijn werk n de hemelse mechnic brcht hem in contct met Chrles Hermite. Er ontstond een uitgebreide correspondentie tussen Stieltjes en Hermite die voortduurde tot twee weken voor de dood vn Stieltjes. In 1883 trouwde Stieltjes met Elizbeth Intveld. Zij ws voor hem een grote stimulns om te blijven werken n zijn wiskundig werk. Hij nm uiteindelijk in december 1883 ontslg bij de Sterrenwcht om zich volledig toe te wijden n de wiskunde. Niet lng drn kreeg hij een nbieding om hooglerr te worden in de differentil- en integrlrekening n de universiteit vn Groningen. Het ministerie vn onderwijs hield de benoeming echter tegen omdt hij geen cdemische grd bezt. In 1884 besloot de universiteit vn Leiden, n een ontmoeting tussen Hermite en Bierens de Hn, Stieltjes een eredoctort te geven. In 1885 ging Stieltjes nr Toulouse wr hij benoemd ws ls professor in de differentil- en integrlrekening. Hier schreef hij zijn belngrijkste rtikel Recherches sur les frctions continues wrin hij de nr hem vernoemde Stieltjes-integrl introduceerde. Stieltjes overleed op 31 december

4 3 Voorbereidende definities en stellingen Hieronder volgen enkele veel in prgrf 4 gebruikte definities en stellingen. Definitie 3.1 (Prtitie). Lt, b R met < b. Een prtitie t n vn het intervl [, b] is een eindige verzmeling t n {t, t 1,, t n } punten uit [, b] met de eigenschp dt t t 1 t n b. Soms wordt een prtitie ngeduid met een hoofdletter, bijvoorbeeld de prtitie P. Als uit de context blijkt tot welke wrde de teller loopt, bijvoorbeeld n of m dn kn een prtitie weergegeven worden met een vector zonder subscript. In dt gevl is de nottie t in plts vn t n of t m [5, 4.1]. Definitie 3.2 (Mswijdte). Zij P een prtitie vn [, b] met P {t, t 1,, t n } dn heet het getl µ(p ) mx{(t i t i 1 ) 1 i n} de mswijdte of fijnheid vn P. Een prtitie P verdeelt het intervl [, b] in deelintervllen. De mswijdte is de lengte vn het grootste deelintervl vn deze prtitie [1, 5.1.2]. Definitie 3.3 (Fijnere prtitie). Als P 1 en P 2 beide prtities zijn vn [, b] en P 1 P 2 dn is P 2 een fijnere prtitie dn P 1. De mswijdte vn een fijnere prtitie is kleiner of gelijk n de mswijdte vn een grovere prtitie [4, VII.1.4]. Definitie 3.4 (Strooiing). Een strooiing s n bij de prtitie P {t, t 1,, t n } is een verzmeling punten s n {s i t i 1 s i t i, 1 i n, n N}. Als uit de context blijkt tot welke wrde de teller loopt, bijvoorbeeld n of m dn kn een strooiing weergegeven worden met een vector zonder subscript. In dt gevl is de nottie s in plts vn s n of s m [1, 5.1.2]. De integrldefinities vn Riemnn en Stieltjes mken gebruik vn respectievelijk Riemnn- en Stieltjes-sommen wrin de begrippen prtitie, fijnere prtitie en mswijdte een belngrijke rol spelen. Vn de definities vn Riemnn- en Stieltjes-integrlen bestn verschillende versies. Afhnkelijk vn de problemtiek kn het nodig zijn een ndere definitie te gebruiken [6]. De definitie gebseerd op boven- en ondersommen [8, ] is voor de stellingen in de volgende prgrf niet nodig. De definities die Almering [1], Apostel [2] en vn Gns [5] gebruiken voldoen prim voor de npk in deze scriptie. 4

5 Definitie 3.5 (Riemnn-som). Zij f : [, b] R een functie. Is s een gekozen strooiing bij prtitie t dn heet de som S f (t, s) f(s i )(t i t i 1 ) de Riemnn-som vn f behorende bij prtitie t en strooiing s [1, 5.1.2]. Als uit de context duidelijk blijkt met welke functie, prtitie en/of strooiing de Riemnn-som bepld wordt dn kn een kortere nottie S(t, s) of zelfs S volstn. Definitie 3.6 (Riemnn-integreerbr). De functie f : [, b] R heet Riemnn-integreerbr over [, b] ls er een getl I R bestt met de eigenschp: bij iedere ɛ > is er een δ > zo dt voor iedere prtitie t n met mswijdte µ(t n ) < δ en iedere bij t n te kiezen strooiing s n voor de Riemnn-som S f (t n, s n ) geldt: Het getl S f (t n, s n ) I < ɛ. I f(t)dt. heet dn de (Riemnn-)integrl vn f over [, b] [1, 5.1.2]. Definitie 3.7 (Stieltjes-som). Zij f, g : [, b] R beide functies, t n een prtitie met t t 1 t n b en s n een bij t n te kiezen strooiing dn heet de som S f,g (t n, s n ) f(s i )(g(t i ) g(t i 1 )) de Stieltjes-som vn f behorende bij prtitie t n en strooiing s n [5, 4.1]. Als uit de context blijkt met welke functies, prtitie en/of strooiing de Stieltjessom bepld wordt dn kn een kortere nottie S(t, s) of zelfs S volstn. De Stieltjes-som wordt ook wel de Riemnn-Stieltjes-som genoemd. 5

6 Definitie 3.8 (Stieltjes-integreerbr). Zij f, g : [, b] R beide functies. De functie f heet Stieltjes-integreerbr t.o.v. g ls er een getl I R bestt zo dt voor iedere ɛ > er een prtitie P vn [, b] bestt zodt voor iedere fijnere prtitie t n dn P vn [, b] en iedere bij t n te kiezen strooiing s n geldt Het getl S f,g (t n, s n ) I < ɛ. I f(t)dg(t) heet dn de Stieltjes-integrl vn f t.o.v. g. De functie f wordt soms ook wel Riemnn-Stieltes-integreerbr genoemd [2, 9-3]. Opmerking 3.9. Tussen de bovenstnde definities vn de Riemnn-integrl en de Stieltjes-integrl zit een opmerkelijk verschil, en dt is dt in de ltste definitie gebruik gemkt wordt vn een fijnere prtitie en niet vn een mswijdte kleiner dn δ. De eerste definitie is de originele [5, 4.7] is: Er bestt een I R zo dt voor iedere ɛ > er een δ bestt zo dt voor iedere prtitie t {t k N t t 1 t n b, t k n, n N} met mswijdte µ(t) < δ en iedere keuze vn s k [t k 1, t k ] geldt: f(s k )(g(t k ) g(t k 1 )) I < ɛ. Hieronder volgt een voorbeeld wruit blijkt dt deze originele definitie niet ltijd voldoet. Voorbeeld 3.1. Zij f, g : [, 1] R en ls volgt gedefinieerd: { { 1 ls x < 1 f(x) : 2 ls x < 1 ls 1 2 x 1. en g(x) : 2 1 ls 1 2 x 1. Dus f( 1 2 ) en g( 1 2 ) 1. Zij t een prtitie met t t 1 t n 1 en s een hierbij gekozen strooiing. Dn bestt er een i zo dt 1 2 [t i 1, t i ). Nu geldt voor de Riemnn-Stieltjes-som: S(t, s) f(s i )(g(t i ) g(t i 1 ) f(s i ) Als s i 1 2 dn is S(t, s), in het gevl dt s i < 1 2 dn is S(t, s) 1 en ls s i > 1 2 dn is S(t, s). Er geldt dus niet dt voor iedere ɛ > er een δ > bestt zodt geldt: µ(t) < δ f(s i )(g(t i ) g(t i 1 ) I < ɛ. De wijziging te werken met fijnere prtitie omzeilt dit soort problemen die met stpfuncties geprd gn en komt op nm vn T. Pollrd [6] [7]. 6

7 Voor iedere fijnere prtitie t dn de prtitie is bij iedere te kiezen strooiing s de Stieltjes-som: f(s k ) (g(t k ) g(t k 1 )) 1 en is volgens de definitie vn Pollrd f wel Stieltjes-integreerbr t.o.v. g. In de stellingen over de Stieltjes-integrl in een Bnchruimte kn het zijn dt de integrnd een functie nr de Bnchruimte is, mr ook dt de integrtor een functie nr een Bnchruimte is. Vndr dt hieronder twee definities vn de Stieltjes-integrl in Bnchruimte zijn vermeld. Definitie 3.11 (De Stieltjes-integrl in een Bnchruimte I). Zij een Bnchruimte. De functie f : [, b] is Stieltjes-integreerbr in t.o.v. g : [, b] R ls er een I bestt zodt voor iedere ɛ > er een prtitie P bestt zodt voor iedere fijnere prtitie t n dn P, met t t 1 t n b en voor iedere bij t n te kiezen strooiing s n geldt Het getl S f,g (t n, s n ) I < ɛ. I f(t)dg(t) heet dn de (Riemnn-)Stieltjes-integrl vn f t.o.v. g. Definitie 3.12 (De Stieltjes-integrl in een Bnchruimte, II). Zij een Bnchruimte. De functie g : [, b] R is Stieltjes-integreerbr in t.o.v. f : [, b] ls er een I bestt zodt voor iedere ɛ > er een prtitie P bestt zodt voor iedere fijnere prtitie t n dn P, met t t 1 t n b en voor iedere bij t n te kiezen strooiing s n geldt: S g,f (t n, s n ) I g(s i )(f(t i ) f(t i 1 )) I < ɛ. Het getl I g(t)df(t) heet dn de (Riemnn-)Stieltjes-integrl vn g in t.o.v. f. De vermenigvuldiging vn een vector met een sklr is commuttief. Vndr dt de berekening vn de norm in beide gevllen niet tot verschillen zullen leiden. Als zowel de integrnd ls de integrtor een functie nr een Bnchruimte is dn zouden de bovenstnde definities niet meer kunnen voldoen, ngezien de vermenigvuldiging vn een vector met een ndere vector nog niet gedefiniëerd is. Een theorie voor onder ndere dit ltste gevl wordt beschouwd in [1]. In een stelling wrbij de fgeleide een rol speelt komt ook de Riemnn-integrl in een Bnchruimte voor. Vndr dt de volgende definitie ook is opgenomen. 7

8 Definitie 3.13 (De Riemnn-integrl in een Bnchruimte). Zij een Bnchruimte. De functie f : [, b] R heet Riemnn-integreerbr in over [, b] ls er een een I bestt zodt voor iedere ɛ > er een prtitie P bestt zodt voor iedere fijnere prtitie t n dn P, met t t 1 t n b en voor iedere bij t n te kiezen strooiing s n geldt: Het getl S f (t n, s n ) I < ɛ. I f(t)dt heet dn de Riemnn-integrl vn f in t.o.v. g. Opmerking Definitie 3.13 is een specil gevl is vn definitie 3.11 door g(t) t te kiezen. De volgende twee definities en stelling spelen een rol in de verschillende bewijzen in de volgende prgrf. Definitie 3.15 (Begrensde vritie). Zij f : [, b] R een functie en zij t een prtitie vn [, b]. De functie f is vn vn begrensde vritie ls: { n } sup f(t i ) f(t i 1 ) < Ofwel: het supremum vn de sommen vn de lengte vn de deelintervllen over lle mogelijke prtities is niet oneindig [2, 8-3]. Definitie 3.16 (De norm vn een lineire opertor). Zij ϕ : R een lineire opertor. Dn is de ruimte vn begrensde lineire opertoren vn nr R en heet de dule ruimte vn. Bovendien is een Bnchruimte [9, 4.15 en 4.28]. De norm vn ϕ is gedefinieerd door: ϕ sup{ ϕ(y) : y 1} Hieronder volgt de stelling over de norm vn een lineire opertor in een dule ruimte. Stelling Zij een Bnchruimte en ϕ : R een lineire opertor dn geldt: x : ϕ(x) ϕ x Bewijs. Voor de norm vn een lineire opertor ϕ geldt: ϕ sup{ ϕ(y) : y 1} 8

9 Zij x en x. Dn is dn: 1 x x 1 en met y 1 x x ( ) ϕ ϕ(y) 1 ϕ x 1 x ϕ(x) x 1 ϕ(x). x Zij x. Dn is ϕ() ϕ. Dus x : ϕ(x) ϕ x. 1 volgt 9

10 4 Enkele stellingen over de Stieltjes-integrl in een Bnchruimte De onderstnde stellingen geven n wnneer en onder welke omstndigheden een Stieltjes-integrl in een Bnchruimte te beplen of te berekenen is. In de eerste stelling (4.1) is de integrtor vn begrensde vritie. De tweede stelling (4.2) geeft n wnneer de integrl vn een vector gelijk is n een vector wrvn de componenten integrlen zijn. De ltste twee stellingen, (4.5) en (4.7), kunnen gebruikt worden om een Stieltjes-integrl te berekenen. Afsluitend is er een voorbeeld (4.8) wrin dit gedn wordt. Stelling 4.1. Zij een Bnchruimte met norm.. Zij f : [, b] een continue functie op [, b] en g : [, b] R een functie vn begrensde vritie. Dn is f Stieltjes-integreerbr t.o.v. g. Bewijs. Te lten zien dt er een I bestt zodt voor iedere ɛ > er een prtitie bestt zo dt voor iedere fijnere prtitie t en bij deze prtitie te kiezen strooiing s geldt: S(t, s) I < ɛ. Hierbij is S(t, s) de Riemnn-Stieltjes-som en gelijk n n f(s i )(g(t i ) g(t i 1 )) en I is dn de integrl f(t)dg(t). Nodig is een kndidt voor I. Zij t {t, t 1,, t n } een prtitie vn [, b] en s een bij t gekozen strooiing. De bijbehorende Riemnn-Stieltjes-som is dn: S(t, s) f(s k )(g(t k ) g(t k 1 )) Zij τ een fijnere prtitie dn t met t k 1 τ k, τ k,1 τ k,mk t k voor iedere k {l N 1 l n, n N} of korter k 1..n. Zij σ een bij τ gekozen strooiing met σ k,i σ met τ k,i 1 σ k,i τ k,i voor k 1..n en i 1..m k. De bij deze τ en σ horende Riemnn-Stieltjes-som is: m k S(τ, σ) f(σ k,i )(g(τ k,i ) g(τ k,i 1 )). Dn volgt met m k (g(τ k,i ) g(τ k,i 1 )) g(τ k,1 ) g(τ k, ) + g(τ k,2 ) g(τ k,1 ) + + g(τ k,mk ) g(τ k,mk 1 ) g(τ k, ) + g(τ k,1 ) g(τ k,1 ) + g(τ k,2 ) + g(τ k,mk 1 ) g(τ k,mk 1 ) + g(τ k,mk ) g(τ k, ) + g(τ k,mk ) g(τ k,mk ) g(τ k, ) g(t k ) g(t k 1 ) 1

11 de norm vn het verschil vn de twee Riemnn-Stieltjes-sommen S(τ, σ) S(t, s) m k f(σ k,i )(g(τ k,i ) g(τ k,i 1 )) f(s k )(g(t k ) g(t k 1 )) m k m k f(σ k,i )(g(τ k,i ) g(τ k,i 1 )) f(s k ) (g(τ k,i ) g(τ k,i 1 )) m k m k f(σ k,i )(g(τ k,i ) g(τ k,i 1 )) f(s k )(g(τ k,i ) g(τ k,i 1 )) m k (f(σ k,i ) f(s k ))(g(τ k,i ) g(τ k,i 1 )). Bovenstnde is f te schtten door gebruik te mken vn het feit dt f continu is en g vn begrensde vritie is. De functie g : [, b] R is vn begrensde vritie. Dt wil zeggen dt het supremum vn de sommen vn de lengte vn de deelintervllen over lle mogelijke prtities niet oneindig is: { n } { n } m k sup g(t k ) g(t k 1 ) sup (g(τ k,i ) g(τ k,i 1 )) < Noem dit supremum V [,b],g. De functie f : [, b] is continu en [, b] is compct dus is f uniform continu [2, 4-24]. Dus voor iedere ɛ > is er een δ > zo dt voor ieder tweetl punten s, t [, b] geldt: s t < δ f(s) f(t) < ɛ V [,b],g Dus, ls de mswijdten vn τ en t kleiner zijn dn δ, dn volgt: m k S(τ, σ) S(t, s) (f(σ k,i ) f(s k ))(g(τ k,i ) g(τ k,i 1 )) < < m k (f(σ k,i ) f(s k )) g(τ k,i ) g(τ k,i 1 ) m k ɛ V [,b],g ɛ V [,b],g g(τ k,i ) g(τ k,i 1 ) m k g(τ k,i ) g(τ k,i 1 ) ɛ V [,b],g V [,b],g ɛ. Neem een rij prtities (t n ) n1 vn [, b] zo dt t n+1 een fijnere prtitie is dn t n en zo dt de mswijdte vn t n nr nul gt ls n nr oneindig gt. Bij 11

12 iedere prtitie t n is een strooiing s n te kiezen. Zo ontstt een rij Riemnn- Stieltjes-sommen: (S(t n, s n )) n1 Voor iedere ɛ > bestt er dus een prtitie t n met mswijdte µ(t n ) vn [, b] met een strooiing s n zo dt voor iedere fijnere prtitie t m vn [, b], dus m n, met strooiing s m geldt: S(t m, s m ) S(t n, s n ) < ɛ Ofwel de rij Riemnn-Stieltjes-sommen is een Cuchy-rij. En omdt een Bnchruimte is, convergeert deze rij in. Er bestt dus een I zodt I lim n S(t n, s n ). Neem lim S(t n, s n ) ls kndidt voor I. n Er volgt nu een gevlsonderscheiding voor V [,b],g. In het gevl dt V [,b],g. Zij ɛ >. Kies een δ > zo dt voor iedere s, σ [, b] geldt: s σ < δ f(s) f(σ) < ɛ 2V [,b],g Kies N N zo dt t N een prtitie is met mswijdte µ(t N ) < δ en S(t n, s n ) I < ɛ 2 voor lle n N. Zij τ een fijnere prtitie dn t N en zij σ een gekozen stooiing bij τ dn geldt: Nu volgt dus S(τ, σ) S(t N, s N ) < ɛ 2V [,b],g V [,b],g ɛ 2. S(τ, σ) I S(τ, σ) I + S(t N, s N ) S(t N, s N ) S(τ, σ) S(t N, s N ) + S(t N, s N ) I S(τ, σ) S(t N, s N ) + S(t N, s N ) I < ɛ 2 + ɛ 2 ɛ. Zij V [,b],g, dn geldt: m k n sup{ (g(τ k,i ) g(τ k,i 1 )) } sup{ g(t k ) g(t k 1 ) } t, k : g(t k ) g(t k 1 ) t, k : g(t k ) g(t k 1 ). Dn is g een constnte functie en dn zijn lle Riemnn-Stieltjes-sommen gelijk n nul en dus geldt: I. Dus f : [, b] is Stieltjes-integreerbr t.o.v. g : [, b] R, wrbij g vn begrensde vritie is en f(t)dg(t) I 12

13 Stelling 4.2. Zij een Bnchruimte en de dul vn. Als f : [, b] Stieltjes-integreerbr is t.o.v. g : [, b] R dn geldt: voor lle ϕ is t ϕ(f(t)) Stieltjes-integreerbr t.o.v. g en ( ) b ϕ f(t)dg(t) ϕ(f(t))dg(t). Bewijs. De functie ϕ : R is lineir en begrensd. Dus geldt: x : ϕ(x) R ϕ x ofwel Dt wil zeggen ϕ(f(t)) R ϕ f(t). ϕ(f(t i )) ϕ(f(t i 1 )) ϕ f(t i ) f(t i 1 ). Omdt f Stieltjes-integreerbr is t.o.v. g bestt I f(t)dg(t). Dus voor iedere ɛ > bestt er een prtitie P vn [, b] zodt voor iedere fijnere prtitie t t 1 t n b vn [, b] en voor iedere keuze s i [t i 1, t i ] met i 1..n geldt: f(s i )(g(t i ) g(t i 1 )) I < ɛ. Te bewijzen: voor iedere ϕ is t ϕ(f(t)) Stieltjes-integreerbr t.o.v. g en ( b ) b ϕ(f(t))dg(t) ϕ f(t)dg(t) ϕ(i). ( ) b Ofwel te lten zien dt ϕ(f(t)) Stieltjes-integreerbr is t.o.v. g en dt ϕ f(t)dg(t) de oplossing is. Zij ɛ >. Neem de prtitie E u fijner dn P met v i [u i 1, u i ] voor lle i zodt f(v i )(g(u i ) g(u i 1 )) I < ɛ. ϕ Dit kn, wnt f is Stieltjes-integreerbr t.o.v. g. De functie ϕ(f(t)) is Stieltjes-integreerbr t.o.v. g ls er een ϕ(i) R bestt zo dt voor iedere ɛ > er een prtitie P bestt zo dt voor iedere fijnere prtitie u {u, u 1,, u n } dn P vn [, b] en iedere bij u te keizen strooiing v geldt: S(u, v) ϕ(i) < ɛ. In dit gevl geldt voor de Riemnn-Stieltjes-som: S(u, v) ϕ(f(v i ))(g(u i ) g(u i 1 )). 13

14 Nu geldt: S(u, v) ϕ(i) ϕ(f(v i ))(g(u i ) g(u i 1 )) ϕ(i) ϕ(f(v i ))(g(u i ) g(u i 1 )) ϕ(i) ( R n ϕ f(v i ))(g(u i ) g(u i 1 )) I) R ϕ f(v i ))(g(u i ) g(u i 1 )) I ɛ < ϕ ɛ. ϕ Dus is ϕ(f(t)) Stieltjes-integreerbr t.o.v. g en ( ) b ϕ f(t)dg(t) ϕ(f(t))dg(t). Nu volgen twee voorbeelden wrbij vectoren vn eindige en oneindige dimensie behndeld worden. Voorbeeld 4.3 (Een integrl in een eindige dimensie). In de Bnchruimte R 2 geldt dt de integrl vn een vector gelijk is n de vector vn de integrlen vn de componenten. Dit is een uitwerking in een twee-dimensionle situtie. Voor een eindige n-dimensionle ruimte gt dit nloog. Zij f : [, b] R 2 Riemnn-integreerbr dn is ( b ) b f(t)dt f 1(t)dt b f. 2(t)dt ( ) I1 Er bestt een I R I 2 zo dt voor lle ɛ > er een prtitie bestt 2 zodt voor iedere fijnere prtitie t en voor iedere bij t te kiezen strooiing s geldt: S f (t, s) I R 2 f(s k )(t k t k 1 ) I < ɛ. R 2 14

15 Nu geldt dus: S f (t, s) I R 2 f(s k )(t k t k 1 ) I R 2 ( ) ( f1 (s k ) ) I1 (t f 2 (s k ) k t k 1 ) I 2 R ( 2 n f ) n 1(s k )(t k t k 1 ) I R 1 f 2(s k )(t k t k 1 ) I 2 2 ( ) Sf1 (t, s) I 1 S f2 (t, s) I 2 R 2 (S f1 (t, s) I 1 ) 2 + (S f2 (t, s) I 2 ) 2 < ɛ. Omdt geldt: (S f1 (t, s) I 1 ) 2 (S f1 (t, s) I 1 ) 2 + (S f2 (t, s) I 2 ) 2 < ɛ en ook (S f2 (t, s) I 2 ) 2 (S f1 (t, s) I 1 ) 2 + (S f2 (t, s) I 2 ) 2 < ɛ zijn de beide componenten f 1 en f 2 integreerbr. Andersom: ls de componenten f 1 en f 2 integreerbr zijn dn is de vector ook integreerbr. Nmelijk, zij voor i {1, 2} de functies f i : [, b] R integreerbr. Dn bestn er getllen I i zo dt voor lle ɛ i ɛ 2 > een prtitie vn [, b] bestt zodt voor iedere fijnere prtitie t en voor iedere bij t te kiezen strooiing s geldt: S fi (t, s) I i f i (s k )(t k t k 1 ) I i < ɛ i. Dn volgt: S f (t, s) I R 2 (S f1 (t, s) I 1 ) 2 + (S f2 (t, s) I 2 ) 2 < ɛ ɛ2 2 ɛ. Voorbeeld 4.4 (Een integrl in een oneindige dimensie). Zij f : [, 1] C [,b] met > gegeven door t x t en g : [, b] R gegeven door t t. Hierbij is x t t. b t een vector met oneindig veel componenten. De ruimte C [,b] met > vn continu functies en stndrdnorm f C[,b] sup{ f x (t) : x [, b]} is een Bnchruimte [9, 2.4]. 15

16 Omdt f een continue functie is vn [, 1] nr een Bnchruimte en g vn begrensde vritie is [5, blz. 22], geldt bovenstnde stelling 4.1 en is f Stieltjesintegreerbr t.o.v. g. Er is dus een I xt dt zo dt voor iedere ɛ > er een prtitie bestt zo dt voor iedere fijnere prtitie t vn [, 1] en iedere bij t te kiezen strooiing s geldt: Geldt nu dt: Welnu, x si (t i t i 1 ) t. b t t dt x si (t i t i 1 ). bt dt Omdt dt C [,b] t. b t dt < ɛ. C[,b] t dt. bt dt x [,b]? sup x si (t i t i 1 ) x t dt ( ti ) ti sup x si dt x t dt x [,b] t i 1 t i 1 ti sup (x si x t )dt x [,b] t i 1 ti sup (x si x t )dt x [,b] t i 1 ti sup x si x t dt wnt dt >! x [,b] t i 1 x si x t sup x si x t x si x t C[,b] x [,b] en f continu is geldt voor iedere ɛ 1 > dt er een δ > is zo dt < s i t, δ x si x t C[,b] < ɛ 1. 16

17 Dn geldt dus: t dt x si (t i t i 1 ). bt dt C [,b] sup x [,b] < sup x [,b] ti ɛ 1 n ti t i 1 x si x t dt ti t i 1 dt t i 1 ɛ 1 dt n ɛ 1 (t i t i 1 ) ɛ 1 Dus voor ɛ 1 ɛ geldt dt t dt x si (t i t i 1 ). bt dt en dus t. b t dt t dt. bt dt C [,b] Stelling 4.5 (Prtiële integrtie). Zij een Bnchruimte, f : [, b] en g : [, b] R. Als f Stieltjes-integreerbr is t.o.v. g dn is g Stieltjesintegreerbr t.o.v. f en f(t)dg(t). < ɛ g(t)df(t) + f(b)g(b) f()g(). Bewijs. Gegeven is dt f Stieltjes-integreerbr is t.o.v. g. Dus v f(t)dg(t) bestt. Ofwel voor iedere ɛ > bestt er een prtitie t met t t 1 t n b zo dt voor iedere fijnere prtitie τ en voor iedere keuze vn σ k [τ k 1, τ k ] met k 1..n geldt: f(σ k )(g(τ k ) g(τ k 1 )) Beschouw nu de volgende prtitie: f(t)dg(t) t t t 1 t 1 t N t N b. De prtitie bevt de deelintervllen [t i, t i ] voor i..n en zijn niet fijner te mken. Deze intervllen zullen dus ook voorkomen in iedere fijnere prtitie. Beschouw nu de fijnere prtitie: θ θ 1 θ M b. < ɛ. 17

18 Kies bij deze fijnere prtitie een strooiing ζ met voor iedere ζ k [θ k 1, θ k ] voor iedere k 1..M. Dus komt iedere t i met i..n voor ls een ζ k. Dus, met ζ : een toegevoegd punt, is vn [, b] een fijnere prtitie dn ζ ζ 1 ζ M b t t 1 t 2 t N b. Bovendien volgt uit θ k 1 ζ k θ k ζ k+1 voor k 1..M 1 met toevoeging vn ζ : dt θ k [ζ k, ζ k+1 ] voor k..m 1. Met ndere woorden: bij prtitie ζ {ζ, ζ 1,, ζ M } is θ {θ k ζ k θ k ζ k+1, k M 1} een strooiing. Hieruit volgt: M 1 Ook geldt M 1 k M 1 k M k f(θ k )(g(ζ k+1 ) g(ζ k )) g(θ k ) (f(ζ k+1 ) f(ζ k )) M 1 g(θ k )f(ζ k+1 ) k g(θ k )f(ζ k ) M 1 g(θ k 1 )f(ζ k ) g(θ k )f(ζ k ) M g(θ k 1 )f(ζ k ) k ( M 1 k f(t)dg(t) < ɛ. g(θ k )f(ζ k ) + g(θ M )f(ζ M ) g(θ M )f(ζ M ) ( ) M M g(θ k 1 )f(ζ k ) g(θ )f(ζ ) + g(θ k )f(ζ k ) g(θ M )f(ζ M ) M M g(θ k 1 )f(ζ k ) g(θ k )f(ζ k ) + g(θ M )f(ζ M ) g(θ )f(ζ ) M M g(θ k 1 )f(ζ k ) g(θ k )f(ζ k ) + g(b)f(b) g()f() M (g(θ k 1 ) g(θ k )) f(ζ k ) + g(b)f(b) g()f() M f(ζ k ) (g(θ k ) g(θ k 1 )) + g(b)f(b) g()f(). Bestt nu g(t)df(t) en is deze gelijk n f(t)dg(t)+f(b)g(b) f()g()? Bestt er voor iedere ɛ > een prtitie zo dt voor iedere fijnere prtitie ζ met ) 18

19 strooiing θ geldt: M 1 g(θ k )(f(ζ k+1 ) f(ζ k )) k g(t)df(t) < ɛ? Het ntwoord is j, wnt M 1 g(θ k )(f(ζ k+1 ) f(ζ k )) g(t)df(t) k ( M 1 g(θ k )(f(ζ k+1 ) f(ζ k )) f(t)dg(t) + f(b)g(b) f()g()) k M f(ζ k ) (g(θ k ) g(θ k 1 )) + g(b)f(b) g()f() + f(t)dg(t) f(b)g(b) + f()g() M f(ζ k ) (g(θ k ) g(θ k 1 )) + f(t)dg(t) ( M f(ζ k ) (g(θ k ) g(θ k 1 )) f(t)dg(t)) M 1 f(ζ k ) (g(θ k ) g(θ k 1 )) f(t)dg(t) M f(ζ k ) (g(θ k ) g(θ k 1 )) f(t)dg(t) < ɛ. Dus f(t)dg(t) g(t)df(t) + f(b)g(b) f()g(). In het bewijs vn de volgende stelling zl gebruikt gemkt worden vn de norm in een ruimte vn continue functies met wrden in een Bnchruimte. Vndr dt de volgende definitie opgenomen is. Definitie 4.6 (De norm in de ruimte vn continue functies). Zij een Bnchruimte en [, b] R. De verzmeling continue functies vn [, b] nr is de ruimte met de volgende nottie: C([, b]; ). De stndrdnorm vn een functie f C([, b]; ) is: f sup{ f(t) : t [, b]. De ruimte (C([, b]; ),. ) is een Bnchruimte en omdt een norm een fbeelding is nr R geldt dt f < [9, 1.37, 1.39, 2.1, 2.4 en 2.27]. 19

20 Stelling 4.7. Zij een Bnchruimte. Als f : [, b] continu is en g : [, b] R continu differentieerbr is dn geldt: f(t)dg(t) f(t)g (t)dt. Bewijs. Te lten zien dt f(t)g (t) Riemnn-integreerbr is in en dt de integrl f(t)g (t)dt gelijk is n f(t)dg(t) en dus dt voor iedere ɛ er een prtitie bestt zo dt voor iedere fijnere prtitie t en voor iedere bij t te kiezen stooiing s geldt: f(s k )g (s k )(t k t k 1 ) f(t)dg(t) < ɛ. De functie g is continu differentieerbr en dt impliceert dt g uniform differentieerbr is op de mnier dt voor iedere ɛ er een δ < bestt zo dt voor elk tweetl punten s, t [, b] geldt: < s t < δ g(s) g(t) g (t) s t < ɛ. Dt dit correct is volgt uit het volgende. Definieer { g(s) g(t) h(s, t) : s t, s t g (t), s t. Dn is h continu op [, b] [, b] en vnwege de compctheid vn [, b] [, b] ook uniform continu. Dus voor iedere ɛ > bestt er een δ > zo dt voor ieder tweetl punten (s, t), (s, t ) [, b] [, b] geldt: Met t s t volgt dn (s, t) (s, t ) R 2 < δ h(s, t) h(s, t ) < ɛ. (s, t) (s, t ) R 2 (s, t) (s, t) R 2 (s t) 2 + (t t) 2 (s t) 2 s t. En dus (s, t) (t, t) R 2 s t < δ h(s, t) h(t, t) g(s) g(t) s t Voor ɛ > kies δ > zo dt < s t < δ g(s) g(t) s t Dn volgt de volgende fschtting: g (t) < < s t < δ g(s) g(t) g (t)(s t) < 2 ɛ 2(b ) f + 1. g (t) < ɛ. ɛ s t. 2(b ) f + 1

21 De functie g is continu differentieerbr. Dt wil zeggen dt g differentieerbr is en dt de 1 e fgeleide continu is. De functie g is dn ook continu en omdt [, b] compct is volgt dt g uniform continu en begrensd is. Een op een compct intervl continue functie wrvn de fgeleide begrensd is op dt intervl is vn begrensde vritie [2, 8-6]. De functie g is dus vn begrensde vritie. Nu geldt, vnwege de continuïteit vn f, dt f Stieltjes-integreerbr is in t.o.v. g en dus bestt de integrl f(t)dg(t). Dt wil zeggen dt voor iedere ɛ > er een prtitie t bestt zo dt voor iedere fijnere prtitie τ en iedere bij τ te kiezen strooiing σ geldt: f(σ k ) (g(τ k ) g(τ k 1 )) f(t)dg(t) < ɛ 2 De prtitie t mg zo gekozen worden dt µ(t) < δ en dus dt ook µ(τ) < δ. Omdt σ k [τ k 1, τ k ] geldt voor iedere k 1..n dt σ k τ > en τ k σ k >. Volgt hier nu uit dt f(s k )g (s k )(t k t k 1 ) J, ls volgt: f(t)dg(t) < ɛ? 21

22 f(σ k )g (σ k )(τ k τ k 1 ) f(t)dg(t) f(σ k )g (σ k )(τ k τ k 1 ) S f,g (τ, σ) + S f,g(τ, σ) < f(σ k )g (σ k )(τ k τ k 1 ) f(σ k )(g(τ k ) g(τ k 1 )) f(σ k ) (g (σ k )(τ k τ k 1 ) (g(τ k ) g(τ k 1 ))) + ɛ 2 f g (σ k )(τ k τ k 1 ) (g(τ k ) g(τ k 1 )) + ɛ 2 f f n n + ɛ 2 f(t)dg(t) wnt f f g (σ k )(τ k σ k + σ k τ k 1 ) (g(τ k ) g(σ k ) + g(σ k ) g(τ k 1 )) + ɛ 2 (g (σ k )(τ k σ k ) (g(τ k ) g(σ k ))) + ((g(τ k 1 ) g(σ k )) + g (σ k )(σ k τ k 1 )) + ɛ 2 f n ( g (σ k )(τ k σ k ) (g(τ k ) g(σ k )) + (g(τ k 1 ) g(σ k )) g (σ k )(τ k 1 σ k ) ) + ɛ 2 n ɛ τ k σ k < f ( 2(b ) f ɛ τ k 1 σ k 2(b ) f ɛ 2 f n ( ɛ τ k σ k + ɛ τ k 1 σ k + ɛ 2(b ) f n < f ( ɛ( τ k σ k + τ k 1 σ k ) + ɛ 2(b ) f 2 ɛ < ( τ k σ k + σ k τ k 1 ) + ɛ 2(b ) 2 ɛ (τ k σ k + σ k τ k 1 ) + ɛ 2(b ) 2 ɛ 2(b ) (b ) + ɛ 2 ɛ. Dus f(t)dg(t) f(t)g (t)dt. 22

23 Voorbeeld 4.8. Zij h(s, t) sin(st) voor s, t [, 1]. Neem t vst. De functie h(, t) : [, 1] R s h(s, t) is continu voor iedere vste wrde vn t. Ofwel h(, t) C([, 1]) voor iedere t [, 1] en C([, 1]) is een Bnchruimte. Is de functie continu? k : [, 1] C([, 1]) t h(, t) Bestt er voor iedere ɛ > een δ > zodt voor iedere α 1, α 2 [, 1] geldt: Hierbij is de norm. α 1 α 2 < δ sin(α 1 s) sin(α 2 s) C([,1]) < ɛ? sin(α 1 s) sin(α 2 s) C([,1]) sup { sin(α 1 s) sin(α 2 s) : s [, 1]} Zij ɛ > gegeven: ( ) ( ) 1 1 sin(α 1 s) sin(α 2 s) 2 sin 2 (α 1s α 2 s) cos 2 (α 1s + α 2 s) ( s ) ( s ) 2 sin 2 (α 1 α 2 ) cos 2 (α 1 + α 2 ) ( s ) 2 sin 2 (α 1 α 2 ) wnt y [, 1] : cos(y) 1 Omdt uit sin( y) sin(y) volgt voor y [, 1] dt sin(y) sin y en y [, 1] geldt y sin(y) en gt de fschtting ls volgt verder: ( s ) ( 2 sin 2 (α 1 α 2 ) 2 sin s ) 2 α 1 α 2 ( ) 1 2 sin 2 α 1 α 2 ( s 1) Dus: Voor δ ɛ geldt dus: α 1 α 2 α 1 α 2 sin(α 1 s) sin(α 2 s) C([,1]) sup{ α 1 α 2 : s [, 1]}. α 1 α 2 < δ sin(α 1 s) sin(α 2 s) C([,1]) < ɛ en is t h(, t) continu op [, 1]. 23

24 Dus is t (s h(s, t)) continu vn [, 1] nr C[, 1]. Omdt g(t) e t vn begrensde vritie is op [, 1] bestt de integrl: en is een element vn C[, 1]. t (s sin(st))d(e t ) Met behulp vn bovenstnde stelling en stelling 4.2 is deze integrl te beplen: ( ) t (s sin(st))d(e t ) (s) sin(st)d(e t ) Hieruit volgt: (1 + s 2 ) En is de integrl bepld: ( e t d(sin(st)) + e sin(s) se t cos(st)dt + e sin(s) s cos(st)d(e t ) + e sin(s) ) se t d(cos(st)) + se cos(s) s + e sin(s) s 2 e t sin(st)dt se cos(s) + s + e sin(s). sin(st)d(e t ) e sin(s) se cos(s) + s. t (s sin(st)d(e t ) s 1 (e sin(s) se cos(s) + s). 1 + s2 24

25 Referenties [1] J.H.J. Almering, Anlyse, 5e druk, Delftse Uitgevers Mtschppij b.v., [2] T. Apostel, Mthemticl Anlysis, 1e druk, Addison-Wesley, [3] G. vn Dijk, About the life of Thoms Johnnes Stieltjes, Mthemtisch Instituut Leiden. [4] E. Coplkov en B. Edixhoven,Wiskundige Structuren, Mthemtisch Instituut Leiden, 28. [5] O. vn Gns, Topics in nlysis 1 - Rel functions, Mthemtisch Instituut Leiden, 28. [6] T.H. Hildebrndt, Definitions of Stieltjes Integrls of the Riemnn Type, The Americn Mthemticl Monthly, 45 (1938), no. 5, [7] S. Pollrd, The Stieltjes integrl nd its generliztions, Qurterly Journl of Mthemtics, 49 (192), no. 3, [8] W. Rudin, Principles of Mthemticl Anlysis, 3e druk, McGrw-Hill Interntionl Editions, [9] B.P. Rynne en M.A. Youngson, Liner Functionl Anlysis, 2e druk, Springer, 28. [1] Š. Schwbik, A note on integrtion by prt for bstrct Perron-Stieltjes integrls, Mthemtic Bohemic, 126 (21), no. 3, [11] T.J. Stieltjes, Recherches sur les frctions continues, Annles de l Fcultté des sciences de Toulouse, 4 (1995), no. 1,