Hoofdstuk 3 Matrices en stelsels 3.1 Matrices Een matrix is in DERIVE gedefinieerd als een vector van vectoren. De rijen van de matrix zijn de elementen van de vector. Op de volgende manier kan je een matrix definiëren vanaf de invoerlijn : [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix 1 7 12 8. Met de sneltoets kan je op een eenvoudige manier een matrix invoeren. Eerst geef je het aantal rijen en kolommen op en vervolgens de elementen. Het invullen van de verschillende elementen doe je m.b.v. de TAB-toets. Indien je eenzelfde matrix vaak wenst te gebruiken kan je hem best een naam geven. Dit doe je zoals het toekennen van een waarde aan een variabele of het A: = 1,7;12,8. definiëren van een functie : bv. [ ] Het is toegelaten om tekst ( ) in te voeren als een element van een matrix. Gebruik de volgende notaties voor het uitvoeren van o.a. matrixbewerkingen: inverse matrix A ^ ( -1 ) getransponeerde matrix A` ( het Franse accent grave ) determinant element a ij van A det A element(a,1,2), A sub 1 sub 2 of A 1 2 eerste rij (vector) van A element(a,1) of A sub 1 of A 1 of A ROW 1 eerste kolom van A aantal rijen van A A COL 1 (als rij) of A COL [1] (als kolom) dimension(a) of dim(a)
Zeer handig is het genereren van matrices. We geven twee voorbeelden. Voorbeeld 1 Met het vector-commando kan je als volgt functietabellen construeren : Je verkrijgt deze tabel ook met de optie Table van het Calculus-menu. Voorbeeld 2 Voor een natuurlijk getal n > 1 genereert random( n ) een willekeurig natuurlijk getal uit het interval [0, n [. Met het vector-commando genereer je op de volgende manier een willekeurige (4 5)-matrix met elementen uit de verzameling {0,1,...,7}.
3.2 Stelsels van vergelijkingen van de eerste graad 3.2.1 Het Solve-System-commando Indien we enkel geïnteresseerd zijn in de oplossing van een stelsel, kan je dit met DERIVE eenvoudig bekomen met het item System uit het Solve-menu. Het invoeren van het stelsel 2x+ y 2z = 10 3x+ 2y+ 2z= 1 verloopt als volgt. 5x+ 4y+ 3z = 4 Na het selecteren van System moet je het aantal vergelijkingen ingeven en het daarop volgende venster invullen zoals hieronder aangegeven. Het invullen van de verschillende elementen doe je m.b.v. de TAB-toets. Je kan de vergelijkingen ook één voor één ingeven in het algebra-venster. Om nadien het stelsel op te lossen, zonder de vergelijkingen opnieuw in te tikken, kan je op de volgende manier gebruik maken van de regelnummers van de vergelijkingen :. 3.2.2 Het Row_Reduce-commando Het uitvoeren van het Row_Reduce-commando op de uitgebreide matrix van een stelsel geeft als resultaat de gereduceerde trapvorm.
3.2.3 Eliminatiemethode van Gauss Door het uitvoeren van elementaire rijoperaties op de uitgebreide matrix kunnen we deze herleiden tot een (gereduceerde) trapvorm. Hiervoor moeten we eerst de elementaire rijoperaties definiëren. Dit kan als volgt. Het verwisselen van twee rijen switch(v,i,j):= vector(if(r_=i,element(v,j),if(r_=j,element(v,i),element(v,r_))),r_,dimension(v)) Het vermenigvuldigen van een rij met een reëel getal scalar(v,i,s):= vector(if(r_=i,s element(v,i),element(v,r_)),r_,dimension(v)) Bij een rij het veelvoud van een andere rij optellen. linear(v,i,j,s):= vector(if(r_=i,element(v,i)+s element(v,j),element(v,r_)),r_,dimension(v)) DERIVE beschikt bovendien over de volgende functies : swap_elements(v,i,j) à verwisselen van rij i en rij j scale_elements(v,i,s) à rij i vermenigvuldigen met s subtract_elements(v,i,j,s) à rij i vervangen door de lineaire combinatie rij i s rij j Het herdefiniëren van deze commando s vergemakkelijkt het gebruik van de eliminatiemethode van Gauss. Dit kan bv. als volgt : We geven een voorbeeld met het stelsel 2x+ y 2z = 10 3x+ 2y+ 2z= 1. 5x+ 4y+ 3z = 4
Om niet telkens opnieuw een (3 4)-matrix te moeten ingeven, kan je gebruik maken van het regelnummer van de uitdrukking. Voor uitdrukking 4 (zie hieronder) doen we dit als volgt : lineair(#3,1,2,-1). Als oplossing vinden we : x = 1 y = 2. z = 3
x+ y+ 5z= 10 Een tweede voorbeeld : 3x+ y+ 11z= 20. 2x y+ 4z= 5 We bekomen de oplossingen x= 5 3k y= 5 2k met k IR z = k. Indien we dit stelsel oplossen met het Solve-System-commando verkrijgen we de volgende oplossing. 3.2.4 Bespreken van stelsels De eliminatiemethode van Gauss kan gebruikt worden voor het bespreken van stelsels met parameters. Ook hier kan DERIVE, zoals in de vorige paragraaf, het rekenwerk vereenvoudigen. Als voorbeeld bespreken we het stelsel x+ 2y+ z = 2 3x+ y 2z = 1. 2x+ 4y+ kz = p
Geval 1 : k 2. In dit geval kunnen we met DERIVE als volgt verder gaan.
2 Voor iedere ( k, p) IR met k 2 verkrijgen we als oplossing : Geval 2 : k = 2. p 4 4 4, 1 p p x= y= + en z =. k 2 k 2 k 2 Ken de waarde 2 toe aan de variabele k, selecteer uitdrukking 9 en klik op. Je kan de substitutie ook uitvoeren door selectie van uitdrukking 9 en met. Voor geval 2 moeten we opnieuw een onderverdeling maken in twee gevallen. a) p = 4. We bekomen het stelsel x= z y = 1 z. b) p 4. We bekomen een strijdig stelsel.