1.8. De Lplce vergelijking. De wrmtevergelijking in meerdimsionle ruimt heeft de volgde vorm : in R 2 : α 2 (u xx + u yy ) = u t in R 3 : α 2 (u xx + u yy + u zz ) = u t. Hierbij stelt u(x, y, t) de tempertuur in e tweedimsionle figuur, bijvoorbeeld e rechthoekige metl plt, voor u(x, y, z, t) de tempertuur in e driedimsionl lichm. Zie ook Appdix A. Ook voor deze meerdimsionle wrmtevergelijking kunn we de methode vn scheid vn vribel toepss. Zie bijvoorbeeld opgve 22 vn 1.5 op pgin 581. Er tred dn echter meerdere seprtieconstnt op, wrdoor het lleml wt complexer wordt. In bovstnde wrmtevergelijking zoud we ons kunn beperk tot de stbiele toestnd ( stedy stte ) wrbij er ge verndering (meer) optreedt in de tijd t. Dk hierbij bijvoorbeeld n e rechthoekige metl plt die overl perfect geïsoleerd is met uitzondering vn de (vier) rnd. Op elk vn de vier rnd wordt e (constnte) wrmtebron ngeslot of wordt (ook) isoltie ngebrcht. N verloop vn tijd (t ) zl de tempertuur zich in de metl plt verdel niet meer vernder. Dn geldt dus overl dt u t =. Angezi α 2 > kunn bovstnde wrmtevergelijking dn verevoudigd word tot u xx + y yy = in R 2 u xx + u yy + u zz = in R 3. De tempertuur is dn lle nog fhnkelijk vn de pltsvribel x, y (evtueel) z. Deze vergelijking het respectievelijk de tweedimsionle driedimsionle Lplce vergelijking of pottilvergelijking. Deze vergelijking treedt in zeer veel verschillde situties op. Bijvoorbeeld bij meerdimsionle wrmteproblem zols hierbov geschetst. Mr ook voor de golfvergelijking bestn meerdimsionle vrint : in R 2 : 2 (u xx + u yy ) = u tt in R 3 : 2 (u xx + u yy + u zz ) = u tt. Ook hierbij leid evwichtssituties tot de Lplce of pottilvergelijking. We zull ons beperk tot de tweedimsionle Lplce vergelijking, wrbij de functie u(x, y) fhngt vn twee vribel x y. Het domein is hierbij dus e deelverzmeling vn R 2, bijvoorbeeld e rechthoek. Dus : u xx + u yy =, < x <, < y < b. In dt gevl heeft het domein vier verschillde zijd wrop rndvoorwrd kunn word opgelegd. Als op lle vier de rnd de functiewrde u(x, y) wordt vstgelegd (vste tempertuur), spreekt m vn e Dirichlet probleem (voor e rechthoek) : u xx + u yy =, < x <, < y < b u(x, ) = f 1 (x), u(x, b) = f 2 (x), x u(, y) = g 1 (y), u(, y) = g 2 (y), < y < b. 1
En ls op lle vier de rnd de fgeleide vn u(x, y) wordt vstgelegd (isoltie bijvoorbeeld), spreekt m vn e Neumnn probleem (voor e rechthoek) : u xx + u yy =, < x <, < y < b u y (x, ) = f 1 (x), u y (x, b) = f 2 (x), x u x (, y) = g 1 (y), u x (, y) = g 2 (y), < y < b. In het ltste gevl is de oplossing op e constnte n bepld. Zie bijvoorbeeld opgve 1. We beschouw nu e Dirichlet probleem voor e rechthoek u xx + u yy =, < x <, < y < b u(x, ) = f(x), u(x, b) =, < x < u(, y) =, u(, y) =, y b, wrbij op slechts één vn e rnd e niet-homoge rndvoorwrde geldt. We gebruik weer de methode vn scheid vn vribel : stel dt u(x, y) = X(x)Y (y), dn volgt : u xx + u yy = X Y + XY = = X X = Y Y = σ (seprtieconstnte). Dn volgt : X (x) σx(x) = Y (y) + σy (y) =. Uit de homoge rndvoorwrd volgt nu : u(x, b) = X(x)Y (b) = = Y (b) =, u(, y) = X()Y (y) = = X() = u(, y) = X()Y (y) = = X() =. Voor X(x) vind we dus het (tweepunts) homoge rndwrdeprobleem X (x) σx(x) =, < x < X() =, X() =. Hiervoor onderscheid we weer drie mogelijkhed : 1. σ = : X (x) = = X(x) = 1 x + 2. Met X() = X() = volgt dn dt 1 = 2 =. Dus : σ = is ge eigwrde. 2. σ = µ 2 > : X (x) µ 2 X(x) = = X(x) = b 1 cosh µx + b 2 sinh µx. Met X() = volgt dn dt b 1 =. En met X() = volgt dn dt b 2 sinh µ =. Hieruit volgt dt b 2 =, wnt > µ. Er zijn dus ge positieve eigwrd. 3. σ = µ 2 < : X (x) + µ 2 X(x) = = X(x) = c 1 cos µx + c 2 sin µx. Met X() = volgt dn dt c 1 =. En met X() = volgt dn dt c 2 sin µ =. Hieruit volgt dt c 2 willekeurig te kiez is ls sin µ =. Dus ls µ = nπ met n = 1, 2, 3,.... 2
Het rndwrdeprobleem voor X(x) heeft dus negtieve eigwrd bijbehorde eigfuncties vn de vorm σ n = n2 π 2 2 X n (x) = sin nπx, n = 1, 2, 3,.... Voor Y (y) hebb we dn : Y (y) µ 2 Y (y) = Y (b) =. Dus : Y (y) = d 1 cosh µy + d 2 sinh µy of Y (y) = d 1 cosh µ(b y) + d 2 sinh µ(b y). Met Y (b) = volgt dn dt d 1 =. Dus : Y n (y) = sinh, n = 1, 2, 3,.... Hieruit volgt : dus u n (x, y) = X n (x)y n (y) = sin nπx u(x, y) = c n u n (x, y) = sinh, n = 1, 2, 3,... c n sin nπx Uit de niet-homoge rndvoorwrde volgt tslotte : sinh. u(x, ) = f(x) sinh nπb c n sin nπx = f(x) voor < x <. Hieruit volgt t slotte dt : sinh nπb c n = 2 Hiermee is het probleem opgelost. f(x) sin nπx dx, n = 1, 2, 3,.... Bovstnde methode werkt steeds ls er twee homoge rndvoorwrd voor óf X(x) óf Y (y) te vind zijn. In meer lgeme situties gebruikt m het superpositie principe door dergelijke oplossing te combiner. Zie hiervoor opgve 3 opgve 4. In R 2 zijn ntuurlijk meer deelgebied dkbr dn lle rechthoekige gebied. E veelvoorkomde situtie is die vn e cirkel (of e deel drvn). In dt gevl ligt het voor de hnd om over te gn op poolcoördint : x = r cos θ y = r sin θ met r θ < 2π. De Lplce vergelijking u xx + u yy = gt dn over in de vorm u rr + 1 r u r + 1 r 2 u θθ = oftewel r 2 u rr + ru r + u θθ =. Het is niet zo evoudig om dit rechtstreeks f te leid. We kunn het resultt echter wel check met behulp vn de kettingregel : u r = u x x r + u y y r = cos θ u x + sin θ u y 3
Dn volgt : u θ = u x x θ + u y y θ = r sin θ u x + r cos θ u y. u rr = cos θ u xx x r + cos θ u xy y r + sin θ u yx x r + sin θ u yy y r = cos 2 θ u xx + sin θ cos θ u xy + sin θ cos θ u yx + sin 2 θ u yy u θθ = r cos θ u x r sin θ u xx x θ r sin θ u xy y θ r sin θ u y + r cos θ u yx x θ + r cos θ u yy y θ = r cos θ u x + r 2 sin 2 θ u xx r 2 sin θ cos θ u xy r sin θ u y r 2 sin θ cos θ u yx + r 2 cos 2 θ u yy. Hieruit volgt dt r 2 u rr + ru r + u θθ = r 2 cos 2 θ u xx + r 2 sin θ cos θ u xy + r 2 sin θ cos θ u yx + r 2 sin 2 θ u yy + r cos θ u x + r sin θ u y r cos θ u x + r 2 sin 2 θ u xx r 2 sin θ cos θ u xy r sin θ u y r 2 sin θ cos θ u yx + r 2 cos 2 θ u yy = r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) u xx + r 2 (sin 2 θ + cos 2 θ) u yy = r 2 (u xx + u yy ). Dus : u xx + u yy = u rr + 1 r u r + 1 r 2 u θθ =. E Dirichlet probleem voor e cirkel met strl > ziet er dn zo uit : u rr + 1 r u r + 1 r 2 u θθ =, < r <, < θ < 2π u(, θ) = f(θ), θ < 2π. Angezi zo n cirkel in feite mr één rnd heeft, hebb we hier slechts één rndvoorwrde. We zull lter zi dt er echter meer (verborg) voorwrd zijn. We zoek nu dus e oplossing u(r, θ) voor dit Dirichlet probleem. Drvoor mk we weer gebruik vn de methode vn scheid vn vribel : stel dt u(r, θ) = R(r)Θ(θ), dn volgt : R Θ + 1 r R Θ + 1 r 2 RΘ = = r 2 R R + r R R = Θ Θ = σ Hieruit volgt : (seprtieconstnte). r 2 R (r) + rr (r) σr(r) = Θ (θ) + σθ(θ) =. Voor Θ(θ) geldt dt deze periodiek moet zijn met periode 2π. Dit is één vn de extr (verborg) voorwrd vn het Dirichlet probleem. We onderscheid weer drie gevll : 4
1. σ = : Θ (θ) = = Θ(θ) = 1 θ + 2. Dit is lle periodiek ls 1 =. Dus : σ = is e eigwrde met bijbehorde eigfunctie Θ (θ) = 1. 2. σ = µ 2 < : Θ (θ) µ 2 Θ(θ) = = Θ(θ) = b 1 cosh µθ + b 2 sinh µθ. Dit is echter lle periodiek in het trivile gevl dt b 1 = b 2 =. Er zijn dus ge negtieve eigwrd. 3. σ = µ 2 > : Θ (θ) + µ 2 Θ(θ) = = Θ(θ) = c 1 cos µθ + c 2 sin µθ. Dit is periodiek voor lle wrd vn c 1 c 2 ls µ = n met n = 1, 2, 3,.... Het rndwrdeprobleem heeft dus positieve eigwrd bijbehorde eigfuncties vn de vorm σ n = n 2 Θ n (θ) = c n cos nθ + k n sin nθ, n = 1, 2, 3,.... Voor R(r) vind we in het gevl dt σ = : r 2 R (r) + rr (r) =. Dit is e Euler vergelijking (zie : 3.4 opgve 38 5.5) met ls oplossing R(r) = k 1 + k 2 ln r. Nu moet echter k 2 = zijn, wnt nders zou de oplossing u(r, θ) onbegrsd word voor r dt kn ntuurlijk niet. Dit is ook weer zo n extr (verborg) voorwrde, nmelijk dt de oplossing op de gehele cirkelschijf begrsd moet zijn. Dit betekt dt voor σ = ook R(r) e constnte is dus : u (r, θ) = 1. Voor σ = n 2 met n = 1, 2, 3,... vind we voor R(r) : r 2 R (r) + rr (r) n 2 R(r) =. Dit is ook e Euler vergelijking (zie : 3.4 opgve 38 5.5) met ls oplossing R(r) = k 1 r n + k 2 r n. Ook dn moet geld dt k 2 = omdt nders de oplossing onbegrsd is voor r dt kn niet. Dus : R n (r) = r n met n = 1, 2, 3,.... We vind dus : Hieruit volgt nu dt u n (r, θ) = R n (r)θ n (θ) = c n r n cos nθ + k n r n sin nθ, n = 1, 2, 3,.... u(r, θ) = c 2 + r n (c n cos nθ + k n sin nθ). T slotte volgt uit de (ige) rndvoorwrde : u(, θ) = f(θ) c 2 + n (c n cos nθ + k n sin nθ) = f(θ). De functie f(θ) is gedefinieerd voor θ < 2π, mr kn logischerwijs periodiek word voortgezet met periode 2π. De functie f(θ) kn dus in e Fourierreeks vn deze vorm word uitgedrukt. Door te integrer over e intervl ter lgte vn de periode 2π kunn we bijbehorde coëfficiënt berek. We vind dn : n c n = 1 π n k n = 1 π c = 1 π f(θ) dθ, f(θ) cos nθ dθ, n = 1, 2, 3,... f(θ) sin nθ dθ, n = 1, 2, 3,.... Merk op dt we in dit gevl e volledige Fourierreeks nodig hebb in plts vn slechts e Fourier sinus- of e Fourier cosinusreeks. 5