De vele werelde va de statstek Notateafsprake De vele werelde va de statstek Prof. dr. Herma Callaert, Cetrum voor Statstek, Uverstet Hasselt. De wereld va het deale model (= de populate) om te beschrjve op welke maer utkomste va ee expermet tot jou kome Deze wereld wordt beschreve met de taal va de wskude (ee kasverdelg of ee dchthedsfucte). Welk deaal model het beste past bj ee specfeke populate s oderwerp va multdscplar oderzoek, oderbouwd met methode ut de statstek. De wereld va het cocrete cjfermateraal (=de steekproefresultate) dat je bekomt a het utvoere va ee expermet Deze wereld ka vaut verschllede stadpute worde oderzocht. De beschrjvede statstek geeft ee overzchteljke weergave va het cjfermateraal met de bedoelg formate te we ut al de getalle. Of me ka ook exploratef op zoek gaa aar globale kemerke met de bedoelg ee dee te krjge over de totale populate waarut de steekproefresultate afkomstg zj. De wereld va het deale model voor het gedrag va steekproeve e va groothede de op steekproeve gebaseerd zj Deze wereld vormt het fudamet va de verklarede statstek. Herbj wordt ee model gemaakt dat op ee formele wskudge maer de regulartet va de toevallghed beschrjft. Dt s de ege bass de de verklarede statstek heeft om haar utsprake weteschappeljk te oderbouwe. Notate steekproefresultate klee letters x, x, x, groothede gebaseerd op steekproefresultate klee letters x, s ee populate (s ee deaal model) hoofdletters X ee deaal model voor steekproefresultate hoofdletters X, X, X, ee deaal model voor groothede gebaseerd op steekproefresultate hoofdletters X, S egeschappe va ee populate Grekse letters μ, σ egeschappe va ee deaal model voor groothede gebaseerd op steekproefresultate (*)(laatste blz) Cetrum voor Statstek
De vele werelde va de statstek Notateafsprake ========================================================================== Heroder doe k ee pogg om het voorgaade wat te verdudeljke met ee voorbeeld dat veel te beperkt s om als echt voorbeeld te dee, maar waarbj k probeer om de achtergrod va de gebrukte otate te verklare (dt s dus gee tekst de rechtstreeks geschkt s voor leerlge). =========================================================================== Als start s er reeds het probleem om ee deaal model (ee stochastsche veraderljke) te beschrjve. Als aa de uverstet ee cursus statstek het eerste jaar gedoceerd zal worde zoder eerst formele kastheore te behadele (wordt verschove aar het tweede jaar), da s het zeker et aageweze om het SO ee stochastsche veraderljke te defëre op ee formele maer. Er s dus gee ood aa gestructureerde utkomsterumte met bjhorede sgma-algebra e kasmaat, e k dek zelfs dat er gee ood s aa ee fucte X va omega aar de reële getalle (je gebrukt daar ee stukje va ee formele defte va ee kasrumte, maar daara moet je jezelf toch beperke). Bovede heb k ervare dat er leerkrachte zj waarvoor de begrppe ee utkomsterumte omega, ee stochast, de fucte X e ee kasverdelg meer voor verwarrg da voor verhelderg zorge. Temeer als je je daarbj og afvraagt: wat doe je daar da mee je verdere lesse? Hoe ka het da wel, als je met bovestaade beperkge moet lere leve? Ee mogeljk voorstel s dat je totaal va dekkader veradert, e dat je ets meer ut de formele kasrumte gebrukt. Je begt met af te spreke dat je, voor de wskudge behadelg va probleme, utkomste va ee expermet altjd eerst zal vertale cjfermateraal (= getalle). Dt ka meestal op ee zeer atuurljke wjze (legte, gewcht, aatal oge op ee dobbelstee), of soms doe je het bj covete (ul e éé voor mut e krus). Het s dudeljk dat bj de besprekg va het expermet (vóór, tjdes e a de aalyse), de rol va de cotext, e dus odermeer ook eehede, maer va opmete, ez., eve belagrjk s al de rol va wskude, maar deze tekst waarbj k de otate-afspraak probeer te verdudeljke, ga k dt et telkes herhale. De afspraak dat utkomste (evetueel tjdeljk) met getalle worde geassoceerd ka op ee atuurljke maer woorde worde geformuleerd. Hervoor s gee fuctevoorschrft odg. Da komt het euwe dekkader. Aageze het toeval elk statstsch expermet aawezg s, kome de getalle op ee toevallge maer tot mj. Elke partculere utkomst s ee toevallg getal, getrokke ut ee populate, e wat het zal zj weet k et vooraf. Maar er s ets wat k wel weet. Op bass va heel veel trekkge zal k ee patroo ze verschje (relateve frequete als goede beaderg va het begrp kas). Dat patroo s stabel (of adert aar stabltet als je dat probeert te verdudeljke met smulatestudes). Er s dus regulartet the log ru. Deze regulartet va het toeval formalsere ee wskudge taal e de da verder bestudere het kader va ee cotext, dat doet de statstek. Cetrum voor Statstek
De vele werelde va de statstek Notateafsprake Dus, vaaf u bestudeer k het toevalsmechasme dat er voor veratwoordeljk s dat deze getalle op deze toevallge maer tot mj kome. Als k dt mechasme ke, da ke k alles (dt s ee utspraak de dekwereld va de statstek: alles kee beteket het volledge toevalsmechasme kee, het beteket et: wete welk getal k vadaag zal vde als steekproefresultaat). Wat we u odg hebbe s ee formele beschrjvg va dt toevalsmechasme, e ee geëgede otate. Vaaf u werk k met ee zeer beperkt voorbeeld voor ee stuate met dscrete utkomste. Het cotue geval werkt met detek hetzelfde dekkader (toevalsmechasme) maar daar gaat het over tervalle e bjhorede oppervlakte oder curve. Het ka uttg zj om op verschllede maere ee toevalsmechasme voor te stelle. I het beg s ee grafsche voorstellg te verkeze (of ka zj mstes dee als ee extra steu om ee tabelvorm of ee formulevorm beter te begrjpe). Het toevalsmechasme ( zj totaltet) stelle we voor door ee hoofdletter X. Grafsche voorstellg: het vaasmodel? 5 X Bovestaade fguur stelt het toevalsmechasme voor waarmee getalle tot mj kome waeer k lukraak kaartjes trek ut deze vaas. De otate X staat dus et voor het vraagteke de fguur, als je daarmee bedoelt: wat staat er op dat kaartje? X staat voor de volledge fguur, de aageeft welke getalle te verwachte zj, e met welke kas, waeer je ut deze vaas ee kaartje zou gaa trekke (formuleer utsprake over toevalsmechasme de voorwaardeljke wjs dat helpt om atwoorde te krjge de het hele proces beschrjve, e et de toevallge utkomst op jouw getrokke kaartje). Bemerk ook dat ee vaasmodel et zomaar de utkomsteverzamelg geeft (dat s {,5}), maar ee geljktjdge voorstellg s va wat zj alle mogeljke utkomste e met welke kas kome deze utkomste aar mj toe De utspraak P( X = 5) ka je leze als: de kas dat het toevalsmechasme (zoals éédudg gedefeerd door X) het getal 5 oplevert. Of je ka ook spreke over de kas om ee 5 te hebbe als je lukraak ee kaart zou gaa trekke ut de welbepaalde vaas. E utedeljk ka je ook zegge dat dt de kas s om ee 5 te vde als je lukraak zou trekke ut de populate de vastgelegd s door X. Cetrum voor Statstek
De vele werelde va de statstek Notateafsprake Zodra ee leerlg goed begrjpt dat er ee verschl s tusse ee toevallg observategetal e het achterlggede mechasme, s de belagrjke stap gezet om met verklarede statstek te gaa werke. Meer s et odg (maar oderschat de moeljkhedsgraad et om telkes terug toevalsmechasme of achterlggede modelle te deke e te redeere). Veel voorbeelde zj her zeer uttg. Nota. Als we aa cocrete populates deke da stelle we os meestal grote populates voor waarut later ee klee steekproef wordt getrokke. Daarom ka het het beg teressat zj om ook zo te starte. Maak da ee vaas met 00 000 kaartjes waar ee éé op staat e 00 000 kaartjes met ee 5 erop. E vertel da dat de heel goed door elkaar geschud worde e dat er da lukraak wordt ut getrokke. Wat je da bemerkt s dat de regulartet va het toevalsmechasme gee gebruk maakt va aatalle maar va structuur. Alles wat je moet wete s welke getalle e met welke kas. Voorstellg tabelvorm (kasverdelg). Hetzelfde toevalsmechasme ka je ook voorstelle (dscrete edge populate) tabelvorm. I zo tabel geef je terug twee dge tegeljk aa: wat zj de mogeljke utkomste e wat zj de bjhorede kase. E het geheel va deze formate oteer je met de hoofdletter X. Ee specfeke utkomst va ee toevalsmechasme X oteer je door de correspoderede klee letter x. Ee tabel s voor bepaalde leerlge waarschjljk reeds moeljker om zch ee cocreet dee te vorme over ee achterlgged deaal model. het deale model X de utkomste va het model X x 5 de bjhorede kase voor dt model X P(X=x) 4 4 Op het gepaste ogeblk komt ook de voorstellg formulevorm (zoals Bomale of Posso), maar voer de slechts als je ze ook echt gebrukt. Het ege wat je her odg hebt s de defte va het toevalsmechasme (utkomste e hu kase), e da ka je zoder verdere berekege (maar met evetuele hulp va ICT) je statstsche toetse utvoere e te volle begrjpe wat zj betekee. Cetrum voor Statstek 4
De vele werelde va de statstek Notateafsprake Steekproef ======== Ut de bovestaade populate X trek k ee steekproef va grootte. Bemerk terug dat her het volledge toevalsmechasme aagedud wordt met populate X. Hermee wordt bedoeld dat k et zomaar trek ut de verzamelg {,5} maar dat ook de kase va de utkomste meespele. Mssche s het goed om regelmatg de z k trek ut ee populate X te vervage door het syoem k kjk aar de maer waarop het toevalsmechasme X de getalle aar mj stuurt als k dat toevalsmechasme voor mj getalle laat geerere Ik trek lukraak ut de vaas e ze dat er op mj kaartje het cjfer 5 staat. Dat oteer k door x. Da leg k het kaartje terug de vaas, schud ees goed, e trek terug ee kaartje. Nu heb k het cjfer. Dat resultaat oteer k door x. E algemee oteer k elk resultaat (of het u eezelfde getal oplevert of et) gewoo de volgorde waar de getalle tot mj kome, dus x, x, x voor ee steekproef va grootte. E u bege we helemaal opeuw. Ik dek dat dt de juste weg s om het aa te lere aa leerlge: va cocrete utkomst aar achterlgged model, e et omgekeerd. Dus eerst altjd aa leerlge vrage: wat zou je cocreet doe? Da late aavoele dat, als zj dat morge opeuw doe, er ets aders zal utkome. E da de vraag stelle aar: welk oderlgged mechasme s er dat er voor zorgt dat jj dergeljke dge utkomt? Ut de bovestaade populate X wl k ee steekproef va grootte trekke. Wat zal er op mj kaartje staa als k ee eerste keer ga trekke? Herop ka je allee atwoorde met ee model. E aageze je ut de specfeke populate X gaat trekke, zal je eerste trekkg het volgede oplevere:? 5 X Iderdaad, dt s het toevalsmechasme dat preces beschrjft wat je ka utkome e met welke kase als je ee eerste keer ut de populate X zou gaa trekke. Dt toevalsmechasme oteer je met ee hoofdletter X, e ee toevallge waarde oteer je met de correspoderede klee letter x. x 5 P(X =x ) 4 4 Cetrum voor Statstek 5
De vele werelde va de statstek Notateafsprake Op dezelfde maer ka je het toevalsmechasme va de tweede trekkg opstelle: x 5 P(X =x ) 4 4 Mj steekproef va grootte s dus als model te schrjve als het geordede paar (X, X ). Dt georded paar (X, X ) beschrjft elk mogeljk georded tweetal dat k zou kue utkome same met hu kase als k ee steekproef va grootte twee zou gaa trekke ut deze populate X. Explcet zet dt er als volgt ut: 5 5?? 5 5 5 5 5 5 (X, X ) of ook: ( x, x ) (, ) (, 5 ) ( 5, ) ( 5, 5 ) (( X, X ) ( x x ) P = ), 9 6 6 6 6 Afspraak: het toevalsmechasme (dat de resultate va ee steekproef va grootte stuurt) wordt voorgesteld door hoofdletters (X, X,,X ). De specfeke utkomste de k mj toevallge steekproef vd stel k voor door klee letters (x,x,,x ). Cetrum voor Statstek 6
De vele werelde va de statstek Notateafsprake Groothede gebaseerd op ee steekproef: - ee eerste groothed: het steekproefgemddelde. ========================================= Beg terug cocreet. Als je ut de populate X ee steekproef va grootte twee trekt e je utkomste zj 5 e, wat s da het gemddelde? Wel, de formule e otate zj deze stuate als volgt: x = x zodat je her x = vdt. = Realseer je da dat opeuw ee steekproef va grootte twee trekke ut dezelfde populate, e da terug het gemddelde berekee, waarschjljk et hetzelfde zal oplevere. Om over steekproefgemddelde te kue adeke s er terug maar éé weteschappeljke weg ( de statstek): je hebt de volledge specfcate odg va het oderlggede toevalsmechasme dat uw utkomste geereert (e dt geval s dt: wat ka k allemaal utkome, e met welke kas, als k ut deze populate X ee steekproef va grootte twee zou gaa trekke e da met de gevode getalle het gemddelde bereke). Ut bovestaad vaasmodel voor (X, X ) ka je dat u rechtstreeks afleze. Op 9 va de 6 kaartjes staat (,) wat als som twee geeft e als gemddelde éé. Ik zal dus éé vde met kas 9/6. Ee correcte otate voor het model va het steekproefgemddelde s (hoofdletters!) X = X. Herbj s X = volledg vastgelegd door: 5? of, equvalet, door: X x 5 P ( X = x) 9 6 6 6 6 Afspraak: het toevalsmechasme dat aa de bass lgt va de resultate de je krjgt als je het gemddelde va steekproefresultate bereket wordt voorgesteld door ee hoofdletter X = X. De = specfeke waarde de je utkomt bj het berekee va het gemddelde va uw toevallge steekproefresultate stel je voor door de correspoderede klee letter x = x. = Hou dus de wereld va de oderlggede modelle e de wereld va de geobserveerde toevallge utkomste dudeljk geschede, ook otate. Cetrum voor Statstek 7
De vele werelde va de statstek Notateafsprake Groothede gebaseerd op ee steekproef: - ee tweede groothed: de steekproefvarate. ======================================= Beg terug cocreet. Als je ut de populate X ee steekproef va grootte twee trekt e je utkomste zj 5 e, wat s da de varate? De formule e de otate zj als volgt: s = ( x x) zodat je her s = 8 vdt. = Opeuw ee steekproef va grootte twee trekke levert waarschjljk twee adere getalle, e als je daar da de varate va bereket ka dat ee adere utkomst oplevere. Om het gedrag va de steekproefvarate te begrjpe heb je terug de volledge specfcate odg va het oderlgged toevalsmechasme (e dt geval s dt: wat ka k allemaal utkome, e met welke kas, als k ut deze populate X ee steekproef va grootte twee zou gaa trekke e da de varate zou berekee va de gevode getalle). Ut bovestaad vaasmodel voor (X, X ) ka je dat u rechtstreeks afleze. Op 9 va de 6 kaartjes staat (,) e op éé kaartje staat (5,5). Er zj dus 0 va de 6 koppels de twee deteke getalle oplevere, e daarva s de varate geljk aa ul. Verder zj er og 6 kaartjes de twee verschllede getalle oplevere, ameljk ee éé e ee vjf. Het gemddelde herva s e de varate s ( x x) = ( ) + (5 ) = 8 s =. Ee correcte otate voor het model va de = steekproefvarate s (hoofdletters!) S = ( X X ). Herbj s S volledg vastgelegd door: = 0 0 8 0 0 8 0 0 8 0 8 8 0 0 8 0? of, equvalet, door: S s 0 8 P ( S = s ) 0 6 6 6 Afspraak: het toevalsmechasme dat aa de bass lgt va de resultate de je krjgt als je de varate va steekproefresultate bereket wordt voorgesteld door ee hoofdletter S = ( X X ). = De specfeke waarde de je utkomt bj het berekee va de varate va uw toevallge steekproefresultate stel je voor door de correspoderede klee letter s = ( x x). = Cetrum voor Statstek 8
De vele werelde va de statstek Notateafsprake Egeschappe va deale modelle (toevalsmechasme): -ee eerste egeschap: de verwachtgswaarde. ================================================== Wat s het gemddelde va ee dobbelstee? Of wat s het gemddelde va volged vaasmodel?? 5 X Dt zj vrage over egeschappe va (theoretsche) oderlggede modelle, et va ee aatal geobserveerde toevallge getalle. Met behulp va de kasdefte vaut het begrp relateve frequete ka je zcht krjge de wskudge defte va ee modelegeschap (zoals de verwachtgswaarde). Stel je voor dat je ut bovestaade vaas lukraak trekt, het getal oteert e da het kaartje teruglegt, e dat je dt zeer veel kere doet. De regulartet je toevallge utkomste zal ertoe aaledg geve dat je (ogeveer) dre keer op ver ee op je kaartje hebt, e ogeveer éé keer op ver ee 5. Als je u met de teduzede getalle de je zo gevode hebt het gemddelde zou berekee, da zou je bj beaderg ets hebbe va de vorm ( keer het cjfer plus keer het cjfer 5) wat zeer goed ljkt 4 4 op de gewoge som va alle mogeljke verschllede utkomste (als gewcht eem je de belagrjkhed va ee utkomst, ameljk de kas dat je preces de utkomst vdt). Iderdaad, de exacte formule voor wat je gemddeld verwacht va ee model, e de dus over ee trseke modelegeschap gaat, s: gemddelde (of verwachtgswaarde) va ee dscreet toevalsmechasme : E ( X ) x P( X = x ) Herbj staat E voor verwachtgswaarde (= Expectato) e staat er a de E ee hoofdletter X tusse de haakjes. Het gaat over wat je gemddeld verwacht te vde als je met dat model X werkt. E X s ee egeschap (of ee karakterstek) va het model, het s ee getal (e dus gee model!!!!). ( ) = Cetrum voor Statstek 9
De vele werelde va de statstek Notateafsprake Als het toevalsmechasme X het model s waarmee je de oderlggede populate beschrjft, da geef je E( X ) ee specale otate. Het s mmers gebrukeljk dat karaktersteke va ee populate aagedud worde met Grekse letters, e de verwachtgswaarde va ee populatemodel (of het gemddelde va ee populate) wordt geoteerd door μ. x = = + zodat het populategemddelde 4 4 I os voorbeeld hebbe we: μ = P( X x ) ( ) () 5 = geljk s aa. = Voor elk dscreet toevalsmechasme ka je de verwachtgswaarde berekee. De formule hervoor s telkes dezelfde, ameljk de gewoge som va alle mogeljke verschllede utkomste vermegvuldgd met hu kase. Late we dat eve bekjke voor het toevalsmechasme dat het steekproefgemddelde aastuurt. Wat komt daar gemddeld ut? I os voorbeeld hebbe we de volledge specfcate opgesteld voor het toevalsmechasme va os steekproefgemddelde. Dat was: x 5 P ( X = x) 9 6 6 6 6 Met de formule voor de verwachtgswaarde krjge we her: E 9 6 6 6 6 ( X ) x P( X = x ) = () + () + () 5 = = Het fet dat we her terug ee waarde vde s gee toeval. Dt s gewoo ee llustrate va ee algemee egeschap de zegt dat het toevalsmechasme dat het steekproefgemddelde aastuurt ee trsek gemddelde heeft dat geljk s aa het trsek gemddelde va de populate waarut je de steekproeve trekt. Of verkort: het gemddelde va het steekproefgemddelde s het populategemddelde. Je ka dt als volgt voorstelle. Trek ee steekproef va grootte e bereke het gemddelde. Da kom je erges terecht. Trek ut dezelfde populate terug ee steekproef va grootte e bereke het gemddelde. Da kom je ook erges terecht, e dat zal wel et op exact dezelfde plaats zj als zopas. Bljf dt doe e bereke telkes het steekproefgemddelde. Je zal da getalle vde de va elkaar afwjke. Maar als je het gemddelde va deze getalle u bereket, wel da valt dat gemddelde ( de log ru) exact same met het populategemddelde. Je hebt dus de algemee (wskudg bewjsbare) egeschap dat: E ( X ) = μ Deze egeschap gebruk je bj het opstelle va betrouwbaarhedstervalle e bj het toetse va hypothese. Cetrum voor Statstek 0
De vele werelde va de statstek Notateafsprake Wat s het gemddelde va de steekproefvarate S? Ook hervoor heb je eerst het oderlggede model va S odg. Dat was: s 0 8 P ( S = s ) 0 6 6 6 Met de formule voor de verwachtgswaarde krjg je her: E 0 6 ( S ) s P( S = s ) = ( 0) + () 8 = = = 6 6 Verder deze tekst wordt aagetood dat de populatevarate ook geljk s aa. Dt s terug gee toeval maar ee llustrate va de algemee (wskudg bewjsbare) egeschap dat E S = σ. Er geldt dus dat het gemddelde va de steekproefvarate geljk s aa de populatevarate. Bemerk dat ( ) S = σ ( ) E S = σ slechts waar s waeer de steekproefvarate gedefeerd wordt als ( = X X ), waarbj er gedeeld wordt door (-). De afsprake e egeschappe de betrekkg hebbe op het gemddelde (de verwachtgswaarde) va ee deaal model (toevalsmechasme) kue we oderstaade tabel samevatte. Afsprake e egeschappe voor de verwachtgswaarde E(. ) Gemddelde va de populate X E (X ) = μ Dt s ee otateafspraak: de verwachtgswaarde va de populate X geve we de aam μ Dt s ee algemee egeschap. Het Gemddelde va het steekproefgemddelde heeft ee gemddelde, e de E (X ) = μ steekproefgemddelde X populate heeft ee gemddelde, e deze twee gemddelde valle same. Gemddelde va de steekproefvarate S E ( S ) = σ Dt s ee algemee egeschap. De steekproefvarate heeft ee gemddelde, e dat gemddelde valt same met de populatevarate. Cetrum voor Statstek
De vele werelde va de statstek Notateafsprake Egeschappe va deale modelle (toevalsmechasme): -ee tweede egeschap: de varate. ================================================ Wat s de varate va volged vaasmodel?? 5 X Bemerk terug dat dt ee vraag s over ee egeschap va ee oderlggede model, et va ee aatal geobserveerde getalle. Je ka her volledg aaloog redeere zoals bj de verwachtgswaarde. De exacte formule voor de varate va ee model (wat dus ee trseke modelegeschap s) zet er als volgt ut: varate va ee dscreet toevalsmechasme: ( X ) ( x E( X )) P( X = x var = ) Als je aar de structuur va de formule kjkt ze je dat je terug te make hebt met ee gewoge som. Deze keer wordt, voor alle mogeljke verschllede utkomste, de som gemaakt va hu kwadratsche afstad tot het modelgemddelde, gewoge met hu ege kas. De stadaardafwjkg (of stadaarddevate) ka je otere als sd(. ) : stadaardafwjkg va ee dscreet toevalsmechasme: sd ( X ) ( x E( X )) P( X = x ) = Waeer het toevalsmechasme de beschrjvg s va de oderlggede populate, da krjgt var ( X ) ee specale otate, ameljk σ (Grekse letter). E daar dt geval E ( X ) geoteerd wordt door μ heb je dat σ = ( x μ ) P( X = x ). Voor de populate X beschreve het vaasmodel, vd je dat σ = ( x μ) P ( X = x ) = ( ) + (5 ) = zodat 4 4 σ =. Cetrum voor Statstek
De vele werelde va de statstek Notateafsprake Voor elk dscreet toevalsmechasme ka je de varate e de stadaardafwjkg berekee. De formule hervoor s telkes dezelfde. De stadaardafwjkg va ee model gebaseerd op ee steekproef (zoals het steekproefgemddelde e de steekproefvarate) wordt meestal stadaardfout geoemd. De afkortg hervoor s se(. ) wat verwjst aar de Egelse beamg: stadard error. Wat s de varate va het steekproefgemddelde? Zoals altjd vertrek je vaut de modelspecfcate va het toevalsmechasme, de her gegeve wordt door: x 5 P ( X = x) 9 6 6 6 6 E X = ): Ee rechtstreekse toepassg va de formule geeft (herer u dat ( ) var 9 6 ( X ) ( x E( X ) P ( X = x ) = ( ) + ( ) + ( 5 ) = 6 6 zodat de stadaardfout va het steekproefgemddelde geljk s aa: ( X ) 6 = se =. Bemerk dat ook geljk s aa de stadaardafwjkg va de populate X, e dat de verkatswortel s ut de steekproefgrootte (wat her s =). Dt s gee toeval. Je hebt her ee σ voorbeeld va ee algemee (wskudg bewjsbare) egeschap de zegt dat: se( X ) =. De stadaardfout va het steekproefgemddelde s geljk aa de stadaardafwjkg va de populate gedeeld door de verkatswortel va de steekproefgrootte. Deze egeschap gebruk je bj het opstelle va betrouwbaarhedstervalle e bj het toetse va hypothese. Herbj s de stadaardafwjkg σ va de populate meestal et geked, e moet de vervage worde door ee goede schatter. Ee goed model, dat gemddeld exact op σ valt, wordt gegeve door S = ( X X ), wat E( S ) = σ. = Dt verklaart waarom er gedeeld wordt door (-). Cetrum voor Statstek
De vele werelde va de statstek Notateafsprake =========================================================================== (*) Strkt geome ka je de werelde va de statstek herlede tot twee werelde: De wereld va de toevalsmechasme (de observategetalle geerere) De wereld va de cocrete observategetalle zelf Voor toevalsmechasme heb je algemee otates de hu egeschappe aadude, zoals E(.) voor de verwachtgswaarde. Je hebt dus E(X) voor de verwachtgwaarde va het toevalsmechasme dat de populate aastuurt, E( X ) voor de verwachtgswaarde va het toevalsmechasme dat het steekproefgemddelde aastuurt, ez.. De populate, als oderlgged model waarover de prmare oderzoeksvraag gaat, e waarop ook alle verdere toevalsmechasme steue va de steekproef, krjgt ee specale plaats (e otate) be al de toevalsmechasme (maar de formules bljve wel dezelfde, ameljk de algemee formules voor toevalsmechasme!). De otateafspraak echter vraagt dat we egeschappe va ee populate de aam populateparameters geve, e dat we ze aadude met Grekse letters. =========================================================================== Cetrum voor Statstek 4