. De ood aa abstract rekee. Twee vraagstukke Late we om te bege ees kjke aar de volgede twee probleempjes: ee oud e ee recet. Vraagstuk (Cha, 7, Q Jushao) Ee oude vrouw gaat aar de markt om haar eere te verkope. Ee paard trapt echter op haar eermad e breekt haar eere. De ma op het paard bedt de vrouw aa haar te vergoede e vraagt hoeveel eere er de mad zate. De vrouw ko zch dat et herere, maar ze weet og wel dat als ze de eere er per utam, ze met éé e overbleef, e hetzelfde gebeurde als ze de eere er per utam, per, per 5 of per 6. Als ze de eere er per zeve utam, da bleef er gee e meer over. Hoeveel eere had de vrouw mstes haar mad? Vraagstuk (Poster Vlaamse Wskude Olympade 006-007) I de bjgaade fguur vd je tadwele de elkaar hake. De pjltjes wjze steeds aar bove e dude op dt momet het jaartal 006 aa. Als je aa éé va de tadwele draat, draae de adere tadwele mee. Is het mogeljk om de tadwele zo te draae dat de pjltjes het jaartal 007 weergeve? Vlaamse Wskude Olympade.. Ee herformulerg va de probleme I wskudge bewoordg kue we het eerste vraagstuk herformulere door het aatal eere te oeme e te zegge dat rest heeft bj delg door, bj delg door, bj delg door, bj delg door 5 e bj delg door 6. s bovede deelbaar door 7. De opgave ut vraagstuk ka ook op aaloge maer beschreve worde. Noem ameljk het aatal tkjes dat het grootste tadwel moet draae om utedeljk 006 007 te veradere (dt s uteraard preces eveveel als het aatal tkjes dat de adere tadwele moete draae). Omdat het kleste
tadwel terug op de moet kome, moet dus deelbaar zj door 5. Om dezelfde rede (kjk aar de twee mddelste tadwele) moet deelbaar zj door 7 e door. Het grootste tadwel moet preces tkje verder staa, e zodus moet rest hebbe bj delg door (temste als het grootste tadwel tegewjzerz draat). I bede probleme merke we de ood aa het kue rekee met reste va getalle a delg door éé of meerdere getalle.. Rekee modulo Voor we bege aa deze mder evdete vraagstukke, gaa we eerst ees kjke aar ee eevoudger probleempje. Vraagstuk Too aa dat oot ee deler s va k + k + k + als k Z. We kue dt teste voor ekele getalle e dt bljkt derdaad waar te zj, maar dat toot de egeschap et aa voor elke k Z. Daarom moete we ee euwe stratege voere. Voor het bewjze va deze egeschap s het ameljk helemaal et va belag wat de waarde va k s, maar ekel wat de rest s va k a delg door. I wat volgt bekjke we va ee geheel getal et lager zj waarde, maar ekel zj rest bj delg door ee vooraf bepaald getal ( 0). We kue de getalle met dezelfde rest da groepere. Late we dt ees bekjke voor = 7: rest 0 5 6 gehele 7 6 5 getalle 0 5 6 met 7 8 9 0 deze 5 6 7 8 9 0 rest 5 6 7 Getalle ut hetzelfde vakje staa verbad met elkaar omdat ze dezelfde rest hebbe a delg door 7. De volgede defte legt dt cocept vast voor wllekeurge. Defte. Twee gehele getalle x e y met dezelfde rest bj delg door worde cogruet modulo geoemd. We otere hervoor x y (mod ). We kue dt echter ook op ee adere maer vastlegge. Egeschap. Twee gehele getalle x e y zj cogruet modulo als e slechts als ee deler s va x y. I symbole: x y (mod ) ( x y ) Opdracht. Bewjs deze egeschap.
Cogruete modulo voldoet aa de dre volgede egeschappe e daarom oeme we ze ee equvaleterelate de verzamelg Z: Reflexef a Z : a a (mod ) Symmetrsch a, b Z : a b (mod ) b a (mod ) Trastef a, b, c Z : a b (mod ) e b c (mod ) a c (mod ) Opdracht. Too deze egeschappe aa. Deze equvaleterelate zorgt ervoor dat de verzamelg Z opgedeeld wordt equvaleteklasse, de we dt geval restklasse zulle oeme. I geval va het voorbeeld bj delg door 7 krjge we dus 7 restklasse, de overee kome met de zeve verzamelge va getalle de kolomme va de voorgaade tabel. Elke verzamelg krjgt ee aam, bjvoorbeeld: = { b Z b (mod7)} Voor ee wllekeurge geldt da de volgede defte: Defte. a = { b Z b a (mod )} Er zj bj delg door preces verschllede reste mogeljk. Om de rede zj er ook preces restklasse. De verzamelg va de restklasse modulo otere we als Z. We krjge dus dat Z = {0,,, }. Merk op dat we ook adere gehele getalle kue eme om de restklasse voor te stelle. Zo s bjvoorbeeld 56 = 8 = = de we rekee Z 8, aageze 56, 8, e dezelfde rest hebbe bj delg door 8. Het modulo-rekee Z komt os atuurljk over omwlle va het klokleze: 5 = beteket dat 5 uur ook als uur geleze mag worde.. De optellg Z Late we ees terugkjke aar vraagstuk. We hebbe u Z = {0,, } gevoerd, wat os toelaat om met reste te werke plaats va met de getalle zelf. Voor os vraagstuk wlle we echter ook kue optelle (of aftrekke) e kue vermegvuldge (of ee derdemacht eme). Is het mogeljk om twee restklasse a e b op te telle? We wlle her twee verzamelge optelle e als resultaat terug ee verzamelg krjge. Ee oodzakeljke voorwaarde de we os moete oplegge s dat het et mag utmake welk elemet va a e welk elemet va b we eme om de optellg ut te voere, het resultaat moet steeds dezelfde restklasse valle. Late we bj wjze va voorbeeld ees kjke aar Z 8. We wlle de restklasse optelle met 5 : {,, 6,, 0, 8, } + {,,, 5,,, 9, } Neem u twee wllekeurge elemete: 6 e. We krjge da ( 6) + = 5 7. Welke combate va twee getalle we ook eme, we krjge steeds ee getal ut 7. Om deze rede vermoede we dat het mogeljk s om te schrjve dat
Late we dt u voor ee algemee aatoe: Egeschap. a b (mod ) c d (mod ) + 5 = 7. a + c b + d (mod ). Opdracht. Bewjs deze egeschap. Deze egeschap geeft dus aa dat we ee optellg kue defëre de de som eemt va twee restklasse. Defte. Ide a e b elemete zj va Z, da wordt de optellg Z gegeve door a + b = a + b De + het lkerld s da de euwe optellg va twee restklasse de we et gedefeerd hebbe, de + het rechterld s da de gewoe optellg Z. Voor de eevoud schrjve we toch tweemaal hetzelfde teke. De optellgstabel va bjvoorbeeld Z 5 zet er da als volgt ut: Je leest er ut af dat + = 0. Z,+ 5 0 0 0 0 0 0 0 Aageze de optellg Z gebaseerd s op de optellg Z, worde ee aatal bassegeschappe va Z overgezet op Z : De optellg s assocatef: a, b, c : ( a + b) + c = a + ( b + c ). Z Er bestaat ee eutraal elemet, ameljk 0 : a : a + 0 = 0 + a = a Elk elemet heeft ee vers elemet te opzchte va de optellg: Z We otere hervoor, zoals we gewoo zj, De optellg s commutatef: a Z, b Z : a + b = 0. b = a. a, b : a + b = b + a. Z Opdracht. Cotroleer deze egeschappe voor ekele getalle e bewjs ze daara.
Ee verzamelg ( dt geval Z ) e ee bewerkg op de verzamelg ( dt geval de optellg) de aa de bovestaade egeschappe voldoe, oemt me de abstracte wskude ee commutateve groep. Op dezelfde maer s ook Z met de gewoe optellg ee commutateve groep.. De vermegvuldgg Z We zj ook geïteresseerd om te kue vermegvuldge Z. Net zoals bj de optellg moete we os afvrage of dt allemaal wel lukt bj restklasse. Geljkaardg aa egeschap. hebbe we Egeschap. a b (mod ) c d (mod ) a c b d (mod ) Opdracht.5 Cotroleer dt door ekele cocrete getalle te vulle. Bewjs de egeschap ook algemee. Deze egeschap verklaart waarom we de vermegvuldgg kue voere: Defte. De vermegvuldgg op Z wordt gedefeerd door a b = a b Ook her s de vermegvuldgg het lkerld de (euwe) vermegvuldgg va restklasse e s de vermegvuldgg het rechterld de (gekede) vermegvuldgg va gehele getalle. Opdracht.6 Leg dudeljk ut waarom je egeschap. odg hebt om de vermegvuldgg te kue voere. Opdracht.7 Vul de vermegvuldggstabel va Z e Z 5 aa. Z, 0 0 Z, 5 0 0 Opeuw zj er, et zoals bj de optellg, ee aatal egeschappe waaraa voldaa s: De vermegvuldgg s assocatef: a, b, c : ( a b) c = a ( b c ) Er bestaat ee eutraal elemet voor de vermegvuldgg, ameljk : Z 5
a : a = a = a Er s dstrbutvtet va de vermegvuldgg te opzchte va de optellg: Z a, b, c : a ( b + c) = a b + a c Z De vermegvuldgg s commutatef: a, b : a b = b a. Deze egeschappe kee we ook Z e worde her overgedrage op Z. Opdracht.8 Verfeer deze egeschappe met cocrete getalle, maar bewjs ze ook algemee. Z Late we, u we kue optelle e vermegvuldge modulo, terugkere aar vraagstuk. Dt vraagstuk gaf ee egeschap over alle elemete va Z. Vermts de egeschap gaat over de deelbaarhed door, gaa we rekee Z. De te bewjze egeschap wordt da: voor elke k Z s k + k + k + 0. Door de defte e egeschappe va optellg e vermegvuldgg Z kue we dt omzette : voor elke k Z s k + k + k + 0. Vermts er maar dre restklasse zj modulo, kue we dt sel vulle e utrekee. Opdracht.9 Too u de egeschap ut vraagstuk aa door de te verfëre voor de dre restklasse modulo. 6
. Iverse e uldelers Over ee vers elemet te opzchte va de vermegvuldgg hebbe we og et gesproke. Geldt de egeschap her ook? a Z, b Z : a b = Het atwoord s dudeljk NEEN. Met a = 0 kue we oot ee b vde zodat 0 b =, wat 0. (We gaa er her va ut dat strkt groter s da. Het geval = wordt zelde beschouwd.) Om deze rede late we alvast de 0 bute beschouwg e vrage os af of de volgede egeschap geldt: { } a Z \ 0, b Z : a b =. Opdracht.0 Cotroleer de vermegvuldggstabelle va Z e Z 5 (met telkes 0 bute beschouwg gelate) of je steeds ee vers elemet ka vde. Vermts et alle elemete ee vers elemet hebbe, kue we spreke va de verteerbare elemete Z e we otere hervoor: { = } Z * = a Z b Z : a b. Naast de zoektocht aar verse elemete, kue we og ets opmerke: Z s = = 0. We oeme ee uldeler Z : het s mogeljk om 0 te schrjve als maal ee restklasse verschlled va 0 ( dt geval ook ). Dt zj we et gewoo bj het rekee Z. Te gevolge va het bestaa va uldelers, kome er ees og ee aatal adere gekede e vaak toegepaste egeschappe ut Z op de hellg te staa waeer we werke Z. Zo zal bjvoorbeeld de schrapwet et zomaar moge gebrukt worde: a b = a c b = c Opdracht. Zoek hervoor zelf ekele voorbeelde.. Deelbaarhedsegeschappe. De grootst gemee deler Defte. De grootste gemee deler va twee gehele getalle a e b s het (ueke) strkt postef getal d zodat: (a) d a (b) d b (c) d s het grootste getal dat voldoet aa (a) e (b). 7
We otere: d = ggd ( a, b ). Zo s bjvoorbeeld ggd (5, 0) = 5. Twee gehele getalle a e b hete relatef prem de ggd( a, b ) =.. Het algortme va Eucldes Voor het bepale va ggd( a, b ) gebruke we de volgede egeschap: Egeschap. ggd( a, b) = ggd( b, a b ) Bewjs. Elke gemee deler va a e b s ook ee gemee deler va b e a b, e omgekeerd: elke gemee deler va b e a b s ee gemee deler va (a b) + b = a e b. Bjgevolg s ggd( a, b) = ggd( b, a b ). We kue de grootst gemee deler va a e b bepale door steeds de kleste va de grootste af te trekke, totdat de twee getalle geljk zj. Bjvoorbeeld: ggd(78,0) = ggd(8,0) = ggd(0,8) = ggd(8,) = ggd(, 6) = ggd (6, 6) = 6. Het algortme va Eucldes gaat deze rekemethode verselle door gebruk te make va de volgede egeschap, ee veralgemeg va egeschap.. Egeschap. (De Eucldsche delg) Ide a e b strkt posteve gehele getalle zj, bestaa er ueke gehele getalle q (quotet) e r (rest) zo dat a = bq + r 0 r < q. I dt geval s ggd( a, b) = ggd( b, r ). Herdoor ka je metee overgaa va ggd (78,0) aar ggd (0,8). Algortme va Eucldes De grootst gemee deler va twee posteve getalle a, b (met a > b ) ka je als volgt bepale: Stap : stel x = a e y = b. Stap : bepaal de rest r bj delg va x door y. Ga aar stap. Stap : de r = 0 s ggd( a, b) = y. Je bet klaar. Ide r 0, geef da x de waarde y e y de waarde r e ga da terug aar stap. Late we dat metee op ee voorbeeld toepasse e de ggd (5, 55) berekee: 5 = 55 + 5 55 = 5 + 0 5 = 7 0 + 5 0 = 5 + 0 8
We vde dat ggd (5, 55) = 5. Om ee goed algortme te hebbe, moete we zeker zj dat er oot ee ede aa komt. Heraa s echter voldaa. We krjge mmers algemee het volgede verloop: a = q b + r met 0 r < b b = q r + r met 0 r < r r = q r + r met 0 r < r r = q r + r met 0 r < r ez. Vermts 0 < r < r < r < r < b e er maar ee edg aatal posteve getalle kleer da b zj, wete we zeker dat het algortme stopt. Opdracht. Bepaal zelf ggd (8, 50) e ggd (5, 56).. De stellg va Bézout De stellg va Bézout gaat og ets verder da het algortme va Eucldes. We zoude ameljk graag de grootst gemee deler va a e b wlle kue schrjve als ee leare combate va a e b. Stellg. (Bézout) De grootste gemee deler va strkt posteve gehele a e b ka geschreve worde als leare combate va a e b. Met adere woorde, er bestaa gehele getalle r e s zodat ggd( a, b) = r a + s b. Uteraard zal éé va bede getalle steeds postef zj e het adere egatef. Bewjs. We bewjze deze stellg door het algortme va Eucldes, dat we de vorge paragraaf zage, ut te brede. We zulle tjdes dt proces ameljk steeds de reste r, r, r, schrjve als ee aatal keer a plus ee aatal keer b. We starte door dt eerst met a e b te doe. a = a + 0 b b = 0 a + b Omdat elke rest ka geschreve worde als ee leare combate va de vorge reste, ka elke volgede rj oze tabel heroder geschreve worde als leare combate va de twee vorge rje. De volgede stappe worde da: ezoverder. rj : a = a + 0 b rj : b = 0 a + b rj : r = a + q b wat r = a qb e dus: rj = rj q rj = x = y rj : r = x a + y b wat r = b q r e dus: rj = rj q rj rj 5: r = x a + y b wat r = r q r e dus: rj 5 = rj q rj We bepale dus steeds x + e y + door x = x q x + + y = y q y + + 9
Utedeljk zal er ee atuurljk getal k bestaa zodat r = ggd( a, b ). Vermts we volges dt utgebred algortme va Eucldes r k kue schrjve als rk = xk a + yk b, hebbe we dus ee r e ee s gevode zodat k ggd( a, b) = r a + s b. We hebbe u et allee beweze dat zo ee r e ee s bestaa, we hebbe ook metee ee methode beschreve om de r e de s te bepale. Late we dt ees doe voor het voorbeeld va daaret. We zoeke r, s Z zodat 5 = r 5 + s 55. We passe het utgebrede algortme va Eucldes toe, maar gete dt ee hadg rekeschema. r q x y berekeg 5 0 rj 55 0 rj 5 5 = 5 55 e dus rj = rj rj 0 5 0 = 55 5 e dus rj = rj rj 5 7 8 9 5 = 5 7 0 e dus rj 5 = rj 7 rj 0 0 = 0 5 e we stoppe. We vde dus 5 = 8 5 + ( 9) 55 Opmerkg. Deze getalle r e s ut de stellg zj et uek. Zo zou je voor 5 e 55 ook og ee adere oplossg kue vde: 9 5 + 55 = 5. Opdracht. Schrjf ggd (8, 50) als leare combate va 8 e 50 alsook ggd (5, 56) als leare combate va 5 e 56.. Het bepale va verse restklasse Bj het rekee modulo, zage we dat et alle restklasse ee verse hebbe voor de vermegvuldgg modulo. I deze paragraaf beatwoorde we de volgede twee vrage: Waeer heeft ee restklasse ee verse e hoe bepale we de verse restklasse? Voor het atwoord va de eerste vraag gebruke we de stellg va Bézout het specale geval dat ggd( a, b ) =. Ide a e b relatef prem zj, bestaa er mmers r, s Z zodat ra + sb =. Ook omgekeerd geldt dat als je getalle r e s Z ka vde zodat ra + sb =, dat da a e b relatef prem zj (dt ka je aatoe door te veroderstelle dat ze wel ee gemeeschappeljke deler hebbe e da ee cotradcte te bekome). De volgede stellg beatwoordt da de eerste vraag. Stellg. Stel relatef prem zj. a Z e N,. Da geldt: a heeft ee verse Z als e slechts als a e 0
Bewjs. a heeft ee verse Z als er ee l Z bestaat zodat l a (mod ), met adere woorde als er ee k bestaat zodat l a + k =. Dt s volges de stellg va Bézout e zj verse stellg da weer equvalet met het fet dat ggd( a, ) = e dus dat a e relatef prem zj. De tweede vraag wordt da beatwoord door het utgebrede algortme va Eucldes. Ide je mmers de verse wl bepale va a Z, met ggd( a, ) =, da ka je door dat algortme getalle r e s bepale zodat ra + s =. r s da de verse va a Z. Voorbeeld. Late we bj wjze va voorbeeld de verse va 7 bepale Z 8. Vermts 7 e 8 relatef prem zj, kue we het utgebrede algortme va Eucldes gebruke om ee leare combate va 7 e 8 te vde de geeft. We vde: 9 = s dus de verse va 7 Z 8. 8 8 9 7 = ( 9) 7 (mod8).. De Chese reststellg Edeljk s het tjd om terug te kere aar vraagstuk e. Nu we tusse de modulootate gewed zj, kue we de vraagstukke herformulere. Vraagstuk wordt: zoek ee x Z zodat het ee oplossg s voor het stelsel Vraagstuk wordt: zoek ee (mod ) x (mod ) (mod ) (mod 5) (mod 6) 0 (mod 7) x Z zodat het ee oplossg s voor het stelsel 0 (mod 5) 0 (mod 7). 0 (mod) (mod) Twee vrage moete we os stelle: Bestaat er zo ee oplossg? e Hoe bepale we de oplossg?. De volgede stellg geeft ee atwoord op bede vrage: Stellg. (De Chese reststellg) Stel dat,,, k gehele getalle zj de twee aa twee relatef prem zj. Da heeft het stelsel a (mod ) a (mod ) ak (mod k ) ee oplossg e de oplossg s uek modulo =... k. Daarmee bedoele we dat als x e x ' allebe oplossge zj va het stelsel, dat da x x (mod ).
Ook adersom valt makkeljk te ze dat als x ee oplossg s e x x (mod ), dat da ook x ' ee oplossg s. Het bewjs baseert zch op het fet dat als ee geheel getal relatef prem s te opzchte va verschllede getalle, dat het da ook relatef prem s te opzchte va het product va de getalle. Alvores we aa het bewjs va deze krachtge stellg bege, kue we probere aa te voele wat er preces moet gebeure door ekele eevoudge voorbeelde te bekjke. Voorbeeld. Zoek de oplossg x de voldoet aa de volgede vergeljkge: (mod 5). 0 (mod 7) We zoeke dus ee zevevoud dat rest heeft bj delg door 5. Je vdt al sel als resultaat door gewoo te probere. Hetzelfde atwoord had je verkrege door de stellg va Bézout te gebruke om ee leare combate va 5 e 7 te bepale: Je eemt da 7 = als utkomst. 7 + ( ) 5 =. Voorbeeld. Zoek de oplossg x de voldoet aa de volgede vergeljkge: (mod 5) (mod 7) Om dt stelsel op te losse, losse we eerst twee eevoudgere stelsels op: u u (mod 5) 0 (mod 7) e u u 0 (mod 5) (mod 7) Het lkse stelsel loste we op voorbeeld, het atwoord her was u =. Het rechtse stelsel geeft al sel als oplossg u =5 wat 5 0 (mod5). Vaut deze atwoorde kue we da ook heel eevoudg oplossge bepale voor (mod 5) 0 (mod 7) e 0 (mod 5). (mod 7) De oplossge herva zj ameljk x = u = 6 voor het lkse stelsel e x = u = 0 voor het rechtse. Nu gaa we deze twee atwoorde combere tot de oplossg va het oorsprokeljk stelsel. We telle ze ameljk gewoo op: x = x + x = 6 + 0 = 9. Ide we mmers bj x ee vjfvoud bjtelle, bljft de rest bj delg door 5 og steeds, als we bj x ee zevevoud bjtelle, bljft de rest bj delg door 7 og steeds. 9 s echter et de kleste oplossg voor dt stelsel. Als we er ee veelvoud va 5 va aftrekke, krjge we steeds ee oplossg: 58 e zj ook oplossge. Voorbeeld. Zoek de oplossg x de voldoet aa de volgede vergeljkge: 0 (mod ) 0 (mod ) 0 (mod 5) (mod 7)
Om dt stelsel op te losse zette we het om ee equvalet stelsel. Vermts x deelbaar moet zj door, e 5, moet het ook deelbaar zj door hu product 0. 0 (mod0) (mod 7) Dt probleem s da geljkaardg aa dat voorbeeld.. We vde (bjv. va Bézout) dat Ee oplossg voor het stelsel s da 0 = 0. 0 + ( 7) 7 =. Voorbeeld. Zoek de oplossg x de voldoet aa de volgede vergeljkge: (mod ) (mod ) (mod 5) (mod 7) Dt s ee voorbeeld va de Chese reststellg zj algemee vorm. Opdracht. Combeer de methode ut voorbeeld. e voorbeeld. om dt stelsel op te losse. Deze laatste oplossgsmethode wordt geformalseerd het volgede bewjs. Bewjs va de chese reststellg. Noem m = / voor elke {,, k } (dt s het product va alle j, zoder ). Da s Stel u u = s m, da s m relatef prem te opzchte va e dus geldt volges Bézout dat {,, k}, r, s Z : ggd(, m ) = = r + s m. of a vermegvuldge met a : u = r (mod ) u = sm 0 (mod j ) j Herut volgt dat ee oplossg s voor het stelsel. au a (mod ) au 0 (mod j ) j x a u a u a u = + +... + k k Ide x ' ee adere oplossg s voor het stelsel, da s x x' 0 (mod ) voor elke {, k }, m.a.w. ( x x '). Vermts alle relatef prem zj, s ook het product ee deler va x x '. Daarom s x x' (mod ). Het vorge bewjs geeft aast het bewjs zelf ook de algemee oplossgsmethode weer. Deze methode zulle we gebruke om vraagstuk e op te losse.
5. De oplossge va de vraagstukke Vraagstuk De Chese reststellg geeft ee oplossg voor ee stelsel de alle getalle relatef prem zj. Helaas s dat voor het eerste vraagstuk et het geval. We zulle dus oze vergeljkg zo moete aapasse dat de euwe stuate alle getalle te opzchte dewelke we modulo moete eme, relatef prem zj. Gelukkg zj er ee aatal vergeljkge de het gevolg zj va adere vergeljkge. Zo geldt: e (mod ) (mod) x (mod 6) x (mod ) x (mod ). Herdoor ka het stelsel va de zes vergeljkge herled worde aar ee stelsel met ver vergeljkge: (mod ) (mod ) (mod 5) 0 (mod 7) Dt stelsel voldoet wel aa de begvoorwaarde va de Chese reststellg. We vde her dat = 5 7 = 0. Nu bepale we achtereevolges de verschllede waarde ut het bewjs: = = = 5 = 7 m = 0/ = 0 m = 0/ = 05 m = 0/5 = 8 m = 0/ 7 = 60 = 7 + 0 = 6 + 05 = 7 5 + 8 = 7 7 + 60 u = 0 u = 05 u = 8 u = 0
we bepale da de x door x = u + u + u + 0 u ut te rekee. Dt wordt: x = 0 + 05 8 = 9. Omdat ee oplossg va dt stelsel steeds op ee veelvoud va 0 a gegeve wordt, zj {, 9, 0, 7,, } allemaal oplossge va het stelsel. De vrouw had dus waarschjljk 0 eere bj (maar het hadde er ook 7 kue zj). Vraagstuk Bj het vraagstuk va de tadradere zj de getalle 5, 7, e wel allemaal oderlg relatef prem e kue we rechtstreeks het algortme het bewjs toepasse. We hebbe her dat = 5 7 = 5005. Nu bepale we achtereevolges de verschllede waarde ut het bewjs: = 5 = 7 = = m = 5005/ 5 = 00 m = 5005/ 7 = 75 m = 5005/ = 55 m = 5005/ = 85 = 00 5 + 00 = 0 7 + 75 = + 55 = 8 + 5 85 u = 00 u u u = 75 = 65 = 95 we bepale da de x door x = 0 u + 0 u + 0 u + u ut te rekee: x = 95 We moete dus 95 tkjes draae om 006 te veradere 007. Ook her zj er og adere oplossge mogeljk: 95 5005 = 080 geeft mmers ee adere oplossg. Na 080 tkjes draae de adere rchtg krjge we ook 007. Opmerkg. De oplossgsmethode her ko ook og erg gekort worde door de twee stelsels op ee eevoudgere maer te schrjve. Het stelsel ut vraagstuk ko og makkeljker geschreve worde als (mod 60) 0 (mod 7) e het stelsel ut vraagstuk ko, aaloog aa voorbeeld, ook geschreve worde als 0 (mod 85) (mod) Opdracht. Herhaal vraagstuk, maar da voor de overgag va 099 aar 00. 5