TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE Tentamen Fysica van Transportverschijnselen (3CTX0), op donderdag 5 november 2015, 09.00-12.00. Het tentamen levert maximaal 50 punten op waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. (12 pnt) 1. Beantwoord de volgende zes vragen met ja of nee en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met goede argumentatie krijgt men per vraag 2 punten. Bij een ernstige fout in de argumentatie worden geen punten toegekend. Voor een correct antwoord zonder argumentatie wordt slechts 1 punt toegekend. (a) Gegeven een instationair twee-dimensionaal (dimensieloos) snelheidsveld v = (u, v) in het x, y vlak met: u = 2xt 3y v = xt 3 2yt. Kan deze stroming met een stroomfunctie Ψ worden beschreven? (b) Beschouw op t = 0 een harmonische temperatuurverdeling T (x, t = 0) = T 0 + T 0 cos(kx), met T 0 de amplitude van de temperatuurvariatie en k het golfgetal, in een oneindig lange staaf koper, met constante materiaaleigenschappen λ = 400 W/mK, ρ = 8, 96 10 3 kg/m 3 en c p = 385 J/kgK. De golflengte l van de temperatuurvariatie is 10 cm. Klopt het dat de amplitude van de temperatuurverdeling na 10 minuten een factor 1000 is afgenomen? (c) Is het waar dat het Strouhalgetal de verhouding weergeeft van de instationaire versnellingsterm en de viskeuze term in de Navier-Stokes vergelijking? (d) Het snelheidsprofiel in een laminaire grenslaag aan een vlakke plaat wordt benaderd met u/v = sin( πy ), 0 y δ 2δ u/v = 1, y δ 1
(15 pnt) met V de hoofdstroomsnelheid en δ = δ(x) de plaatselijke grenslaagdikte, en (x, y) Cartesische coördinaten langs respectievelijk loodrecht op de plaat. Is het waar dat de verplaatsingsdikte gelijk is aan δ = (1 2 π )δ? (e) In een gelijkstroom-tl-buis loopt een elektrische stroom tussen de beide elektroden. Is het transport in een TL-buis puur diffusief van aard? (f) We beschouwen viskeuze dissipatie in een twee-dimensionale Couettestroming in een kanaal met breedte B. Het stromingsprofiel heeft de volgende vorm: u = (V y/b, 0) (met 0 y B). De temperatuur van de wand op y = B is T 1 en op y = 0 is die gelijk aan T 0, en T 1 > T 0. De energiebehoudsvergelijking luidt λ d2 T + µ V 2 = 0, met λ de warmtegeleidingscoëfficiënt en µ de dynamische viscositeit van de dy 2 B 2 vloeistof. Definieer het Brinkmangetal als Br = µv 2. λ(t 1 T 0 ) Veronderstel nu dat Br > 2. Nemen nu beide wanden warmte op? 2. Tijdens een regenbui valt er (vertikaal) op een horizontaal dak per m 2 een hoeveelheid water Q (liter/uur). De regendruppels zijn bolvormig met diameter D = 2R. Deze druppels vallen met dezelfde constante snelheid V. De wrijvingsweerstand van een vallende druppel in de omgevingslucht (met dichtheid ρ l = 1, 2 kg/m 3 ) wordt gegeven door F w = C D 1ρ 2 lv 2 π 4 D2, met de wrijvingscoëfficiënt C D = 0, 5. (a) Stel het krachtenevenwicht op voor een enkele regendruppel en leid hieruit een uitdrukking af voor de stationaire valsnelheid V. Bepaal vervolgens de numerieke waarde van V. De dichtheid van water is ρ = 10 3 kg/m 3, de straal van de druppel is R = 1 mm en de zwaartekrachtsversnelling is g = 9, 81 m/s 2. (b) De hoeveelheid regenwater die per m 2 valt op het platte dak is Q = 54 liter/uur. Hoe groot is dan de kracht K (per m 2 ) op het horizontale dak als gevolg van het vallende water? We beschouwen vervolgens de situatie dat de regendrupels in een opvanggoot met een rechthoekige doorsnede (breedte B) terecht 2
komen. Deze goot is ter plaatse 1 afgesloten, zie schets. Tussen de punten 1 en 2 wordt een hoeveelheid Q g (liter/s) water toegevoerd, dat door de goot wegstroomt. De stroming is wrijvingsloos en is ook stationair zodat de hoogte lokaal constant blijft. In elke vertikale doorsnede is de snelheid uniform, en de drukverdeling is hydrostatisch. De bodem van de goot ligt horizontaal. (3 pnt) (4 pnt) (c) Leid uitdrukkingen af voor de drukverdelingen p 1 (z) en p 2 (z) ter plaatse van 1 en 2. (d) Leid - door de integrale massabalans toe te passen over het in de figuur geschetste controlevolume - een relatie af tussen Q g, B, h 2 en V 2. (e) Vereenvoudig de integrale x impulsbalans (zie formuleblad) en beargumenteer al je vereenvoudigingen. (f) Leid een uitdrukking af voor de waterhoogte h 1 (ter plaatse 1) als functie van h 2, Q g en B door gebruik te maken van de integrale impulsbalans toegepast over het reeds gedefinieerde controlevolume. g p a Q g breedte en lengte van de goot: B en L dichtheid vloeistof: ρ zwaartekrachtsversnelling: g volumestroom: Q g uitstroomsnelheid: V 2 hoogte vloeistofkolom links: h 1 hoogte vloeistofkolom rechts: h 2 y ρ h 1 x h 2 1 L 2 p a V 2 Figuur 1: Schets van het stroming in de goot. 3
(16 pnt) 3. Een half-oneindige, dunne, vlakke plaat (gepositioneerd in het x z vlak) met wandtemperatuur T w wordt aangestroomd door een vloeibaar metaal met een zeer kleine waarde van het Prandtlgetal: Pr 1. De diffusiecoëfficiënt voor warmte is a = λ ρc p (met λ de warmtegeleidingscoëfficiënt (ook wel thermische geleidbaarheid genoemd), ρ de dichtheid en c p de soortelijke warmte bij constante druk van het vloeibare metaal). De uniforme stromingssnelheid ver voor de plaat is, de temperatuur ver van de plaat is T. De component van de stromingssnelheid loodrecht op de plaat is v(x). Er ontstaat een dunne thermische grenslaag waarin viskeuze dissipatie verwaarloosbaar is. Zowel de stromingsgrenslaag (met dikte δ(x) met x de coördinaat langs de plaat) als de thermische grenslaag (met dikte δ T (x)) mag als stationair en twee-dimensionaal beschouwd worden. Dat betekent dat de advectie-diffusievergelijking voor de temperatuur reduceert tot: u T x + v T y = a 2 T x 2 + a 2 T y 2, T λ, ρ, c p dikte thermische grenslaag: δ T (x) temperatuur plaat: T w temperatuur vloeibaar metaal ver voor plaat: T snelheid vloeibaar metaal ver voor plaat: dichtheid vloeibaar metaal: ρ thermische geleidbaarheid vloeibaar metaal: λ soortelijke warmte vloeibaar metaal: c p y x δ T (x) T w δ(x)<<δ T (x) x Figuur 2: De thermische grenslaag boven en onder een vlakke plaat. 4
waarbij we de temperatuurafhankelijkheid van de stofeigenschappen verwaarlozen. (3 pnt) (3 pnt) (a) Beargumenteer dat de thermische grenslaag veel dikker is dan de stromingsgrenslaag. (b) Beargumenteer waarom 2 T 2 T en waarom voor de x 2 y 2 advectietermen geldt: v T T u. y x (c) Motiveer waarom de advectie-diffusievergelijking voor de tem- T peratuur reduceert tot = a 2 T. x y 2 (d) Geef de randvoorwaarden benodigd om deze vergelijking op te lossen (drie in totaal). (e) Bespreek de analogie met de instationaire warmtetransportvergelijking boven een vlakke plaat bij het stapresponsieprobleem (waarbij T w = T voor t < 0 en T w T voor t 0. Beargumenteer waarom de oplossing voor het temperatuurprofiel de volgende vorm aanneemt: T (x,y) Tw T T w = erf( y 4ax ). (f) Bepaal de warmteflux naar de wand. Hint: erf(x) = 2 x π 0 exp( z2 )dz. (g) Geef het verband tussen Nu x = h N x λ en Pe x = U x a. Opgave 4 op de volgende pagina. 5
(7 pnt) 4. Beschouw een zwak-geïoniseerd isobaar argon plasma, dat bestaat uit atomen (a), enkelvoudige ionen (+) en elektronen (e). Neem voorts aan dat alle componenenten dezelfde temperatuur T bezitten, dat er een elektrisch veld E heerst en dat B = 0 (geen magnetische inductie). Voor de deeltjes-fluxdichtheden van de ionen- en elektronen geldt dan de drift-diffusie-vergelijking Γs = n s µ s E Ds ns, waarin s = {e, +}, terwijl n s, µ s en D s de deeltjesdichtheid, de mobiliteit en de diffusiecoëfficiënt van component s voorstellen. (3 pnt) (a) Neem aan dat het plasma quasi-neutraal en ambipolair is. Laat zien dat in dit geval geldt dat E = D i D e µ i µ e ne n e. (b) Laat zien dat tevens geldt dat Γ e = D a n e en geef een uitdrukking voor de ambipolaire diffusiecoëfficiënt D a in termen van de gegeven grootheden. Vereenvoudig de uitdrukking zo veel mogelijk. (c) Gebruik de (goede) benadering dat de mobiliteit en diffusiecoëfficiënt van de elektronen veel groter zijn dan die van de ionen. Toon aan dat E kt e n e n e en D a 2D i. 6
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE Uitwerkingen Tentamen Fysica van Transportverschijnselen (3CTX0) van donderdag 5 november 2015. 1. (a) Ja. De stroming voldoet aan de (incompressibele en tweedimensionale) continuïteitsvergelijking v = u + v = 0, x y dus er kan een stroomfunctie Ψ worden gedefinieerd. (b) Nee. Ieder harmonische temperatuurverdeling zal exponentieel vereffend worden: T (x, t) = T 0 + T 0 cos(kx) exp( βt). Invullen in de diffusievergelijking, T = a 2 T, met a = λ t x 2 ρc p. Substitutie van de ansatz in de diffusievergelijking geeft: β = k 2 a. Met T T 0 T 0 = 10 3 = exp( k 2 at) geeft dat: t = ln(1000) = k 2 a 3l 2 ln(10) = 15, 1 s. 4π 2 a (c) Nee. Het Strouhalgetal beschrijft de verhouding tussen instationaire en convectieve versnellingstermen in de Navier- Stokes vergelijking. (d) Ja. Na substitutie van u vindt men δ = (1 u )dy = δ πy 2δ [1 sin( )]dy = (y + 0 V 0 2δ π (1 2 )δ. π cos( πy 2δ ) δ 0 = (e) Nee. Er is een netto massaflux van de kathode naar de anode (de grootte hiervan is Im e /e [kg/s], waarin I de stroom voorstelt)). Diffusie leidt per definitie niet tot netto massatransport, dus moet er ook convectief transport in het spel zijn. (f) Ja. Oplossen van de energiebehoudsvergelijking (met T (y = T T 0) = T 0 en T (y = B) = T 1 ) geeft: 0 T 1 T 0 = y 1Br y ( y 1). B 2 B B De warmteflux is nu q = λ dt. Dus voor y = 0 hebben we: dy q(y = 0) = λ T 1 T 0 (1 + 1 Br) en voor y = B hebben we: B 2 q(y = B) = λ T 1 T 0 (1 1 Br). Er is voor ieder Br 0 B 2 warmtetoevoer naar de onderste plaat (q is dan steeds negatief). Bij de bovenplaat moet voor warmtetoevoer q juist 7
positief zijn. Dat kan alleen in geval Br > 2. Dus alleen als Br > 2 nemen beide wanden warmte op. 2. (a) Het krachtenevenwicht op de stationair vallende regendruppel is: F w = C D 1 2 ρ lv 2 πr 2 = (ρ ρ l ) 4π 3 R3 g. (1) Omdat ρ l ρ is de opwaartse (Archimedes-) kracht verwaarloosbaar, dus: V = ( ) ρ 8Rg 1/2. ρ l 3C D Invullen van alle numerieke waarden geeft V = 6, 60 m/s. (b) De massaflux per m 2 dakoppervlak is dm = ρq = 0, 015 kg/s. dt De kracht K per m 2 op het dak is dan: K = dm V = 0, 1 N. dt (c) Er heerst hydrostatisch evenwicht, dus 1 p g = 0, en ρ z dus p(z) = ρgz + C. Met de randvoorwaarde aan het vrije oppervlak p(z = h) = p a, vinden we voor de druk langs het linker- en rechterdeel van het contour: 0 z h 1 : p 1 (z) = p a + ρg(h 1 z), 0 z h 2 : p 2 (z) = p a + ρg(h 2 z), z h 2 : p 2 = p a. (d) Door de integrale massabalans toe te passen over een rechthoekige contour met hoogte h 1 (zie figuur) vinden we dat de aan de bovenzijde binnenkomende volumeflux Q g gelijk moet zijn aan de volumeflux ter plaatse 2: Q g = Bh 2 V 2. (e) De stroming is stationair verondersteld en zwaartekracht speelt geen rol op de stroming in de goot. Wrijving is verwaarloosbaar, dus van de spanningstensor blijft alleen de drukbijdrage over. Op de vloeistof in het controlevolume wordt geen kracht op de stroming uitgeoefend. (f) We gebruiken het in de opgave geschetste contour, zie ook opgave d). De x component van de integrale impulsbalans voor deze stationaire stroming luidt: ρ u(v n)da = pn x da A A 8
Met n 2 = (1, 0), v 2 = (V 2, 0) en dus v 2 n 2 = V 2 vinden we voor de impulsflux: ρ u(v n)da = ρ V2 2 da = ρv2 2 h 2 B A De totale drukbijdrage in de x richting is (gebruikmakend van het resultaat uit onderdeel c)): A B h 1 p 0 1 (z)dz B h 1 p 0 2 (z)dz = B h 1 ρg(h 0 1 z)dz B h 2 ρg(h 0 2 z)dz = 1 2 ρgb(h2 1 h 2 2). De balans levert dus op: 1 2 ρgb(h2 1 h 2 2) = ρv2 2 h 2 B. Met het resultaat Q g = Bh 2 V 2 vinden we dan: h 2 1 = h 2 2 + 2Q2 g 1 gb 2 h 2. 3. (a) De dikte van de stromingsgrenslaag hangt onder meer af van de kinematische viscositeit ν, en de dikte van de thermische grenslaagverhouding van de diffusiecoëfficiënt a. Meer precies: δ ν en δ T a, dus δ T /δ a/ν = Pr 1/2 1. (b) Met δ T de typische dikte van de thermische grenslaag krijgen we: 2 T / 2 T δ2 x 2 y 2 T x 2 1. Tevens weten we dat de snelheidscomponent loodrecht op de plaat klein is t.o.v. de component parallel aan de plaat (gebruik van massabehoud): v = O( δ U x ). Dus dat betekent: v T T / u = = δ y x δ T = O(Pr 1/2 ) 1. v x δ T (c) Met de afschattingen in b) krijgen we: u T x = a 2 T y 2. Omdat de stromingsgrenslaag veel dunner is dan de thermische grenslaag (δ δ T ) kunnen we de horizontale snelheid in de thermische grenslaag benaderen met, dus: T x = a 2 T y 2. (d) We hebben een afgeleide naar x en een dubbele afgeleide naar y. Dus drie randvoorwaarden nodig. Voor de vloeistoftemperatuur op x = 0 geldt: T = T. Aan de plaat (y = 0, x > 0) geldt: T (x, y = 0) = T w. Ver boven en onder de plaat (y ± ) moet gelden dat T T. (e) Bij het stapresponsieprobleem groeit de thermische grenslaag, uniform langs de plaat, in de loop van de tijd als gevolg van diffusie van warmte (temperatuur). De vergelijking die dit beschrijft luidt: = a 2 T T. Bij de thermische t y 2 9
grenslaag langs een vlakke plaat (zoals in deze opgave) is de grenslaag zelf stationair, maar neemt langs de plaat in dikte toe. Meebewegend met de hoofdstroming zien we deze grenslaag groeien en de hiermee samenhangende tijdschaal is x = t adv. Door nu bij de instationaire diffusievergelijking de tijd t te vervangen door x krijgen we precies de bij c) afgeleide differentiaalvergelijking. De randvoorwaarden komen overeen met die van de stapresponsie. De oplossing is dus volkomen analoog met die voor de stapresponsie en wordt (met t x/ ): T (x,y) Tw T T w = erf( y 4ax ). (f) De warmteflux op de wand (zowel van bovenzijde als onderzijde) volgt via de Wet van Fourier: q(x, 0) = 2λ T y y=0 = U λ (T πax T w ). (g) Met q(x, 0) = h N (T w T ) krijgen we h N = λ Nu x = h N x U = x = 1 λ πa π Pe 1/2 x., ofwel: πax 4. (a) Voor de elektrische stroomdichtheid geldt dat J = s q s Γ s, oftewel (sommeer over e en i en gebruik quasi-neutraliteit, n i n e ): J = en e (µ i µ e ) E e(d i D e ) n e. Ambipolariteit betekent dat J 0, waarna we gevraagde resultaat vinden. (b) Substitutie van dit veld in de drift-diffusievergelijking voor de elektronen levert op dat ( ) D i D e Γe = µ e D e n e = µ id e µ e D i ne D a ne. µ i µ e µ i µ e (c) Deze relaties volgen na toepassing van de Einstein-relaties en de benadering µ i µ e µ e in de vergelijkingen voor E en D a. 10