Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle u V en v V, (2) u + (v + w) = (u + v) + w voor alle u V, v V en w V, (3) er bestaat 0 V, zodat u + 0 = u voor alle u V, (4) voor alle u V bestaat u V, zodat u + ( u) = 0, (b) u V en c R cu V, (5) c(u + v) = cu + cv voor alle u V, v V en c R, (6) (c + d)u = cu + du voor alle u V, c R en d R, (7) c(du) = (cd)u voor alle u V, c R en d R, (8) 1u = u voor alle u V. Definitie: Zij V een vectorruimte en W V. W is een deelruimte van V als W een vectorruimte is m.b.t. de operaties in V. Stelling: Zij V een vectorruimte en W V met W niet leeg. Als (a) u W en v W u + v W, (b) u W en c R cu W, dan is W een deelruimte van V. Definitie: Zij V een vectorruimte en v 1, v 2,..., v n V. Een vector v is een lineaire combinatie van v 1, v 2,..., v n als v = a 1 v 1 + a 2 v 2 +... + a n v n voor zekere a 1, a 2,..., a n R. Definitie: Zij V een vectorruimte, v 1, v 2,..., v n V en S = {v 1, v 2,..., v n }, dan is span S het opspansel van S, d.w.z. span S = {a 1 v 1 + a 2 v 2 +... + a n v n a 1, a 2,..., a n R}. 1

Definitie: Zij V een vectorruimte en v 1, v 2,..., v n V. De vectoren v 1, v 2,..., v n zijn lineair onafhankelijk als a 1 v 1 + a 2 v 2 +... + a n v n = 0 a 1 = a 2 =... = a n = 0. Stelling: Zij V een vectorruimte en S en T eindige deelverzamelingen van V met S T, dan geldt T is lineair onafhankelijk S is lineair onafhankelijk. Definitie: Zij V een vectorruimte. Een basis van V is een verzameling {v 1, v 2,..., v n } met v 1, v 2,..., v n V, zodat (a) V = span{v 1, v 2,..., v n }, (b) v 1, v 2,..., v n zijn lineair onafhankelijk. Stelling: Zij V een vectorruimte en S een basis van V, dan kan iedere vector v in V geschreven worden als een unieke lineaire combinatie van vectoren in S. Nota Bene: We beschouwen louter vectorruimten V die een basis hebben, of V = {0}. Stelling: Zij V een vectorruimte en S een eindige deelverzameling van V met span S = V, dan is een zekere deelverzameling van S een basis van V. Stelling: Zij V een vectorruimte. Als {v 1, v 2,..., v n } en {w 1, w 2,..., w m } bases van V zijn, dan geldt n = m. Definitie: Zij V een vectorruimte met V {0}, dan is de dimensie van V met notatie dim V het aantal vectoren van een basis van V. We definiëren dim {0} = 0. Definitie: Zij V een vectorruimte en S = {v 1, v 2,..., v n } een geordende basis van V. Zij v V, dan is a 1 a 2 [v] S =. a n met v = a 1 v 1 + a 2 v 2 +... + a n v n de coördinaatvector van v m.b.t. de geordende basis S. De elementen van [v] S zijn de coördinaten van v m.b.t. de geordende basis S. Definitie: Een m n-matrix A is een rechthoekige ordening van reële getallen in m rijen en n kolommen, d.w.z. a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =.... a m1 a m2... a mn 2

Voor j = 1, 2,..., n is de j-de kolom van A gelijk aan a 1j a 2j a j =.. a mj Stelling: De verzameling van m n-matrices voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... a m1 a m2... a mn c + b 11 b 12... b 1n b 21 b 22... b 2n... b m1 b m2... b mn a 11 + b 11 a 12 + b 12... a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22... a 2n + b 2n... a m1 + b m1 a m2 + b m2... a mn + b mn a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... = a m1 a m2... a mn, ca 11 ca 12... ca 1n ca 21 ca 22... ca 2n... ca m1 ca m2... ca mn is een vectorruimte. De notatie van deze vectorruimte is R m n. Ook noteren we R m = R m 1. Definitie: Zij A = (a ij ) een m k-matrix en B = (b ij ) een k n-matrix, dan is het matrixproduct AB de m n-matrix C = (c ij ) met elementen c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj voor i = 1, 2,..., m en j = 1, 2,..., n., Definitie: Zij A = ( ) a 1 a 2... a n een m n-matrix, dan is het bereik van A gelijk aan range A = span {a 1, a 2,..., a n }, en de rang van A gelijk aan rank A = dim range A. Definitie: Zij A een m n-matrix, dan is de kern van A gelijk aan ker A = {x R n Ax = 0}, en het defect (de nulliteit) van A gelijk aan null A = dim ker A. 3

Stelling: Zij A een m n-matrix, dan geldt rank A + null A = n. Definitie: Een n n-matrix A is inverteerbaar (niet singulier) als Ax = 0 x = 0 voor alle x R n. De inverse matrix A 1 wordt gegeven door x = A 1 y y = Ax. Definitie: Zij V een vectorruimte met geordende bases S en T, dan wordt de transitiematrix P S T van T naar S gegeven door [v] S = P S T [v] T voor alle v V. Stelling: Zij V een vectorruimte met geordende bases S = {v 1, v 2,..., v n } en T = {w 1, w 2,..., w n }, dan P S T = ( [w 1 ] S [w 2 ] S... [w n ] S ). De matrix P S T is inverteerbaar met P 1 S T = P T S. Definitie: Zij V een vectorruimte. Een functie : V R is een norm op V als (a) u 0 voor alle u V ; u = 0 u = 0, (b) u + v u + v voor alle u V en v V, (c) cu = c u voor alle u V en c R. Een genormeerde vectorruimte is een vectorruimte voorzien van een norm. Definitie: Zij V een vectorruimte. Een functie (, ) : V V R is een inproduct op V als (a) (u, u) 0 voor alle u V ; (u, u) = 0 u = 0, (b) (v, u) = (u, v) voor alle u V en v V, (c) (u + v, w) = (u, w) + (v, w) voor alle u V, v V en w V, (d) (cu, v) = c(u, v) voor alle u V, v V en c R. 4

Een inproductruimte is een vectorruimte voorzien van een inproduct. Stelling: Zij V een inproductruimte, dan geldt de Cauchy-Schwarz ongelijkheid (u, v) (u, u)(v, v) voor alle u V en v V. Stelling: Zij V een inproductruimte en u = (u, u) voor alle u V, dan is V een genormeerde vectorruimte. Definitie: Zij V een inproductruimte met een geordende basis S = {v 1, v 2,..., v n }, dan wordt de inproductmatrix A = (a ij ) m.b.t. S gegeven door a ij = (v j, v i ) voor i, j = 1, 2,..., n. Definitie: Zij A = (a ij ) een m n-matrix, dan is de getransponeerde matrix de n m-matrix A T = (a ji ). Definitie: Een vierkante matrix A is symmetrisch als A T = A. Stelling: Zij V een inproductruimte met een geordende basis S en A de inproductmatrix m.b.t. S, dan geldt (a) A is symmetrisch, (b) (v, w) = [v] T S A[w] S voor alle v V en w V. Definitie: Zij V een inproductruimte, dan zijn de vectoren u en v in V orthogonaal als (u, v) = 0. Definitie: Zij V een inproductruimte met een basis S = {v 1, v 2,..., v n }, dan is S orthonormaal als (u j, u i ) = δ ij voor i, j = 1, 2,..., n. Stelling: Zij V een inproductruimte met een geordende orthonormale basis S, dan geldt (u, v) = [u] T S [v] S voor alle u V en v V. Definitie: Zij V een inproductruimte met een basis {u 1, u 2,..., u n }, dan wordt het gemodificeerde Gram-Schmidt proces gegeven door v 1 = u 1 / u 1 en v k = u k (u k, v 1 )v 1 (u k, v 2 )v 2... (u k, v k 1 )v k 1 u k (u k, v 1 )v 1 (u k, v 2 )v 2... (u k, v k 1 )v k 1 5

voor k = 2,..., n. Stelling: Zij V een inproductruimte met een basis {u 1, u 2,..., u n }, dan levert het gemodificeerde Gram-Schmidt proces een orthonormale basis {v 1, v 2,..., v n }. Definitie: Zij V een inproductruimte en W een deelruimte van V. Het orthogonale complement W van W wordt gegeven door u W (u, v) = 0 voor alle v W. Definitie: Zij V een vectorruimte en W 1 en W 2 deelruimten van V met W 1 W 2 = {0}, dan wordt de directe som van W 1 en W 2 gegeven door W 1 W 2 = {w 1 + w 2 w 1 W 1 en w 2 W 2 }. Stelling: Zij V een inproductruimte en W een deelruimte van V, dan V = W W. Stelling: Zij A een m n-matrix, dan (a) ker A T = (range A), (b) range A T = (ker A). Definitie: Zij A R m n en b R m, dan is Ax = b met onbekende vector x R n een stelsel lineaire vergelijkingen. Het stelsel is consistent als Ax = b voor zekere vector x R n. De oplossing van het stelsel is de verzameling {x R n Ax = b}. Stelling: Zij A R m n en b R m, dan geldt Ax = b is consistent b range A. Definitie: Een matrix is in de gereduceerde rij-echelonvorm als: (a) Er zijn louter nulrijen onderaan in de matrix. (b) Het eerste element ongelijk aan 0 van een niet-nulrij heet de spil van de rij. (c) Alle elementen linksonder een spil zijn gelijk aan 0. Definitie: Een elementaire rij-operatie van een matrix is een van de volgende operaties: (a) Verwissel twee rijen. 6

(b) Vermenigvuldig een rij met een getal ongelijk aan 0. (c) Tel een veelvoud van een rij op bij een andere rij. Definitie: Een matrix A is rij-equivalent met een matrix B als B m.b.v. elementaire rijoperaties uit A verkregen kan worden. Stelling: Een m n-matrix A is rij-equivalent met een matrix B als B = P A voor zekere inverteerbare m m-matrix P. Stelling: Als de matrices A en B rij-equivalent zijn, dan (a) ker A = ker B, (b) rank A = rank B. Stelling: Zij A een matrix in gereduceerde rij-echelonvorm, dan is de rang van A gelijk aan het aantal spillen. Definitie: Zij A R m n en b R m, dan is het stelsel Ax = b rij-equivalent met het stelsel Bx = c als de matrix ( B c ) rij-equivalent is met ( A x ). Stelling: Rij-equivalente stelsels lineaire vergelijkingen hebben dezelfde oplossing. Definitie: Zij S = [ 1 2... n ], dan is een permutatie van S een herordening van de elementen van S. Stelling: Zij S = [ 1 2... n ], dan kan iedere permutatie van S uit S verkregen worden door opeenvolgende verwisselingen van elementen. Definitie: Zij S = [ 1 2... n ] en een permutatie van S verkregen door n opeenvolgende rijverwisselingen, dan is de permutatie even of oneven als n even resp. oneven is. Definitie: Zij A = (a ij ) een n n-matrix, dan wordt de determinant van A gegeven door det A = (±)a 1j1 a 2j2... a njn, waarbij wordt gesommeerd over alle permutaties [ j 1 j 2... j n ] van de verzameling [ 1 2... n ]. Het teken is + of als de permutatie [ j1 j 2... j n ] even resp. oneven is. Stelling: Zij A een n n-matrix, dan det A T = det A. Definitie: Een n n-matrix A = (a ij ) is een bovendriehoeksmatrix als i > j a ij = 0. 7

Stelling: Zij de n n-matrix A = (a ij ) een bovendriehoeksmatrix, dan det A = a 11 a 22... a nn. Stelling: Zij de n n-matrix A rij-equivalent met een matrix B, waarbij B uit A verkregen kan worden m.b.v. elementaire rij-operaties zonder rijvermenigvuldigingen en k rijverwisselingen, dan geldt det A = ( 1) k det B. Stelling: Zij A een n n-matrix, dan geldt A is singulier det A = 0. Definitie: Een n n-matrix A = (a ij ) is een diagionaalmatrix als i j a ij = 0. Stelling: Iedere inverteerbare matrix is rij-equivalent met een diagonaalmatrix met diagonaalelementen ongelijk aan 0. Stelling Zij A en B n n-matrices, dan det (AB) = det A det B. Stelling: Zij A een inverteerbare matrix, dan det A 1 = 1 det A. Definitie: De Euclidische norm op R n wordt gegeven door x 2 = x T x voor alle x R n. Definitie: Zij A R m n en b R m, dan is de vector x een kleinste-kwadratenoplossing van het stelsel Ax = b als b A x 2 b Ax 2 voor alle x R n. Stelling: Zij A R m n en b R m, dan geldt x is een kleinste-kwadratenoplossing van Ax = b A T A x = A T b. Stelling: Zij A R m n en b R m. Als rank A = n, dan is A T A inverteerbaar en heeft Ax = b een unieke kleinste-kwadratenoplossing x = (A T A) 1 A T b. 8

Definitie: Zij A een n n-matrix, dan is het getal λ een eigenwaarde van A behorende bij een eigenvector x met x 0 als Ax = λx. Definitie: Een identiteitsmatrix is een n n-matrix I = (δ ij ). Definitie: Zij A een n n-matrix, dan wordt het karakterisktieke polynoom van A gegeven door p(λ) = det (λi A) voor alle λ R. Stelling: Zij A een n n-matrix, dan zijn de eigenwaarden van A de wortels van het karakteristieke polynoom van A. Definitie: Zij A en B n n-matrices, dan is B similair met A als B = P 1 AP voor zekere inverteerbare n n-matrix P. Stelling: Similaire matrices hebben dezelfde eigenwaarden. Definitie: Een n n-matrix A is diagonaliseerbaar als A similair is met een diagonaalmatrix. Stelling: Zij A een n n-matrix, dan geldt A is diagonaliseerbaar A heeft n lineair onafhankelijke eigenvectoren. Stelling: Als het karakteristieke polynoom van een n n-matrix n verschillende wortels heeft, dan is A diagonaliseerbaar. Stelling: Een symmetrische n n-matrix heeft n orthogonale eigenvectoren. Definitie: Een n n-matrix is orthogonaal als A T A = I. Stelling: Zij A een symmetrische matrix, dan is er een diagonaalmatrix D en een orthogonale matrix P, zo dat AP = P D. 9