Rationale getallen: vermenigvuldiging, deling en machtsverheffing

Rtionle getllen: vermenigvuldiging, deling en mhtsverheffing Dit kun je l 1 gehele getllen vermenigvuldigen gehele getllen delen een mht vn een geheel getl erekenen reuken vereenvoudigen gehele getllen en egrensde kommgetllen omzetten in reukvorm vergelijkingen vn de vorm x + oplossen 7 de regels vn de volgorde vn de ewerkingen toepssen Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord. Controleer je ntwoord in de orretiesleutel. Ahter elke vrg stt een verwijzing nr extr oefeningen in je oefenoek. A B C Verder oefenen 1 ( 8) 0 0 1 oef. 0 : ( ) 1 oef. 8 ( ) 1 oef. 0 Vereenvoudig 1. 1 1 oef. 7 Shrijf,1 ls een sisreuk. 1 1 0 18 oef. 117 Los deze vergelijking op: x 7 1 x 8 7 x 19 x 19 oef. 1 7 ( ) + [ ( + ) ( 1 ) + ] 8 1 oef. 8 Dit he je nodig leerwerkoek p. 1 18 oefenoek p. 11 kldlok meetlt rekenmhine potlood en stiften Inhoud G Breuken vermenigvuldigen p. 1 G Mhten vn reuken p. G Breuken delen p. 1 G Kommgetllen vermenigvuldigen en delen p. 1 G7 De volgorde vn de ewerkingen p. 18 G8 Eigenshppen vn het optellen en het vermenigvuldigen in q p. G9 Vergelijkingen vn de vorm x oplossen p. 1 G0 Vergelijkingen vn de vorm x + oplossen p. 1 1

G Breuken vermenigvuldigen Op verkenning Positieve reuken vermenigvuldigen De grond vn de fmilie Jos is opgedeeld in vier gelijke delen: het huis, het gzon, de groentetuin en de oomgrd. Leid f uit de tekening en shrijf ls een reuk Vul n met reuken Noteer ls ewerking en geef het produt Het deel vn de grond dt groentetuin is. 1 Het deel vn de groentetuin dt eplnt is met onen. vn 1 is 0 vn 1 is 0 is hetzelfde ls: PRUIMEN APPELEN PEREN Het deel vn de grond dt eplnt is met onen. 0 Het deel vn de grond dt oomgrd is. Het deel vn de oomgrd dt eplnt is met ppelomen. Het deel vn de grond dt eplnt is met ppelomen. Het deel vn de grond dt groentetuin is. Het deel vn de groentetuin dt eplnt is met rdppelen. Het deel vn de grond dt eplnt is met rdppelen. 1 1 1 1 1 1 1 vn 1 is 1 1 vn 1 is 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 WORTELEN PREI AARDAPPELEN SELDER BONEN UIEN GAZON HUIS Bereken het produt vn deze reuken. 1 1 1 1 1 0 1 1... 1... Negtieve reuken vermenigvuldigen Bereken het produt vn deze reuken. Ps in de teller en in de noemer de rekenregel voor het vermenigvuldigen vn gehele getllen toe. Let op dt er geen minteken stt in de noemer vn je resultt. 8 1 1 1 1 1 8 0 1 1 RAtionle getllen: vermenigvuldiging, deling en mhtsverheffing

Rekenregel reuken vermenigvuldigen Bepl het teken en plts het in de teller. Vermenigvuldig de tellers en vermenigvuldig de noemers. Vereenvoudig. en zijn reuken d en d 0 d d ( 1 ) 1 0 1 CONTROLE Reken uit....... 1... 7 7 Hndig rekenen 0 7 1 7 1 1 1 Je kunt tijd winnen door vóór het vermenigvuldigen te vereenvoudigen. Shrijf de teller en de noemer ls een produt vn getllen. Deel drn de teller en de noemer door eenzelfde getl. 1 9... Je mg ook onmiddellijk de teller en de noemer delen door eenzelfde getl. Doorstreep dn deze getllen in de teller en de noemer en noteer de quotiënten oven de doorstreepte getllen. 1 1... 1 0 Hndig rekenen reuken vermenigvuldigen Hershrijf de opgve op één reukstreep. Bepl het teken en plts het in de teller. en zijn reuken d 1 8 Vereenvoudig tot de sisreuk. en d 0 Vermenigvuldig de tellers en vermenigvuldig de noemers. d 9 1 1 1 9 1 9 d d CONTROLE Reken hndig uit. 7 1... 1... 9 8 Breuken vermenigvuldigen met je rekenmhine 1 Geruik vn de rekenmhine Welke toetsen moet je indrukken om dit produt te erekenen? 1 1 1 17

G Breuken vermenigvuldigen (vervolg) Oefeningen 0 1 Reken uit. 8 9 ( 1 ) 8 1 8... 7 ( ) 7 8... 7 9... d ( 9 1 ) 1... 7 8 Reken uit. 9 ( )... 1 ( 7 ) 18 1 9 1 7 0 7 1... 0 11 1 77 1... d 17 8 1 1 11 7 11 1 1 17 1 1 11 11 7 17 9 9... 9 0 Reken uit. Let op: is het een optelling, een ftrekking of een vermenigvuldiging? + 7 8 + 7... 1 7 + 7 8 1 + 7 8 9 + 1 7 7 1 1 1... 1... 1 ( 9 ) 8 7 1 1... d 8 1 9 1 1 1 7...... 9 0 1...... 18 RAtionle getllen: vermenigvuldiging, deling en mhtsverheffing

Shrijf ls een wiskundige ewerking. Reken uit. vn 1 is d twee vijfde vn de helft is... 1 17 1 1 1... 1...... vn 1 is... e driekwrt vn 0 mensen is ( 1) 1 0 7......... 1 1 vn 1 vn 80 is 1 ( 80) 1 1 0 0 1 0... f proent vn 1 euro is 17,7......... In de supermrkt kun je op zterdg hpjes proeven. Aht vn de tien mensen proeft en driekwrt vn de proevers koopt het produt. Als je nneemt dt niemnd het produt koopt ls hij niet proefde, hoeveel proent vn de mensen koopt dn het produt? vn 8 8 0 0.. 8 9 0 1.. Antwoord: 0 % vn de mensen koopt het produt... Wt moet je kunnen? τ reuken vermenigvuldigen τ reuken vermenigvuldigen met je rekenmhine 19

G Mhten vn reuken Op verkenning Mhten vn gehele getllen: herhling Vul de tel n. grondtl Exponent vermenigvuldiging resultt 8 ( ) Shrp wt niet pst. Als het grondtl positief is, is de mht ltijd positief/negtief. Als het grondtl negtief is, is de mht positief ls de exponent even/oneven is. Als het grondtl negtief is, is de mht negtief ls de exponent even/oneven is. Mhten vn reuken Vul de tel n. Noteer ls een vermenigvuldiging Ps de rekenregel toe om reuken te vermenigvuldigen Ps de definitie vn een mht toe in teller en noemer ( ) ( 9 ) ( 1 ) 1 000 000 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 9 ) ( 9 ) 9 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ( 1) ) ( ) 9 9 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) Vergelijk de eerste en de vierde kolom. Hoe ereken je de mht vn een reuk? Je verheft teller en noemer vn die reuk tot de mht. ( ) resultt 7 1 81 1 Rekenregel een reuk tot een mht verheffen Verhef de teller tot die mht. Verhef de noemer tot die mht. Kijk telkens goed wt het grondtl vn de mht is voor je deze uitrekent. en zijn gehele getllen en 0 n is een ntuurlijk getl ( ) n n met ( n ) n 0 0 ( ) 0 1 met 0 ( ) 1 ( 1 ) 1 1 1 1 1 1 81 ( 1 ) 0 1 0 ( 1 ) 1 11 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 9 ( ) ( ) ( ) 1 1 Het omgekeerde vn een reuk Vul n. 7 9 1................ 1........ 0........ 1 1........ :......... :......... :......... :......... ( )... 8..... 7 ( )........ 9 ( ) 1........ ( ) 0... 1..... ( ) 1........ :......... :......... :......... :......... RAtionle getllen: vermenigvuldiging, deling en mhtsverheffing

Wiskundetl egrippen Het omgekeerde vn een reuk (vershillend vn nul) ekom je door teller en noemer vn plts te verwisselen. Het omgekeerde vn een getl shrijf je ls een mht met exponent 1. het omgekeerde vn is 1 het omgekeerde vn 7 is 7 lees ( ) 1 ls het omgekeerde vn is d Mhten vn reuken erekenen met je rekenmhine Geruik vn de rekenmhine Welke toets geruik je om een reuk in te voeren? Welke toetsen geruik je om een mht te erekenen? Welke toetsen moet je indrukken om ( 7 ) 8 te erekenen? Oefeningen Reken uit. 9 ( 1 ) 1... ( 1 )... ( 1) e ( 11 1 ) ( 11)... ( 1 )... 7 Reken uit. ( ) 0... 1 1 1 1 8... 1 ( ) 7 d ( )... 8 ( 8 11 ) ( 8 11 )... d ( )... 8 11 ( 1 ) 1 1 11 19 e ( )... ( 1 ) 1 0 1 8 Reken uit met je rekenmhine. 09 1 ( 1 )... 19 ( 7 18 )... e 0 1... 80 8 1 1 1 ( 1 7 )... 197 1 d ( 1 )... 9 Bepl het omgekeerde vn elk getl.... ( 1 7 ) 1... e ( 17 ) 1 17... ( ) 1 7 1 ( ) 1... d ( 8 1 ) 1... 8 Je knipt een stuk stof in de helft door. Drn knip je elke helft in twee gelijke delen. Het hoeveelste deel vn de lp stof he je n vijf knipeurten? 1 ( 1 ) Wt moet je kunnen? τ reuken tot een mht verheffen τ het omgekeerde vn een reuk eplen N vijf knipeurten he je 1 vn de lp stof. 11

G Breuken delen Op verkenning Een reuk delen door een geheel getl De eerste mteker is voor drie kwrt gevuld. Kleur de hoeveelheid vloeistof groen. Je giet de helft vn deze groene vloeistof over in de tweede mteker. Kleur de hoeveelheid vloeistof in de tweede mteker groen. Noteer onder elke mteker in reukvorm hoeveel vloeistof hij evt. Vul n. 8 De helft kun je erekenen door te delen door... Shrijf de helft vn ls een deling.... : 8 1 Met welke reuk duid je de helft n?... Shrijf de helft vn ls een vermenigvuldiging vn reuken. 1... Conlusie: 1 Delen door is hetzelfde ls vermenigvuldigen met... Delen door een getl is hetzelfde ls vermenigvuldigen met... Het omgekeerde vn dt getl. 8 8 Rekenregel de reuk delen door een geheel getl Vermenigvuldig de reuk met het omgekeerde vn het geheel getl. Ps de rekenregel voor het vermenigvuldigen vn reuken toe., en zijn gehele getllen vershillend vn 0 : 1 : 1 1 1 9 1 CONTROLE Reken uit. : 9 1 1... 1 : ( ) 1... 1 1 9 1 1 Een reuk delen door een reuk Shrijf deze delingen ls een vermenigvuldiging. Bereken het resultt. : 1... 7 8 : 1... 1 8 7 7 7 1 1 1 Bij negtieve reuken lijft het minteken vn de reuk ij zijn omgekeerde in de teller stn. :... 9 8 8 0 1 RAtionle getllen: vermenigvuldiging, deling en mhtsverheffing

Rekenregel reuken delen Vermenigvuldig de eerste reuk met het omgekeerde vn de tweede reuk. Ps de rekenregel voor het vermenig vuldigen vn reuken toe.,, en d zijn gehele getllen vershillend vn 0 : d d 1 : 1 0 7 0 7 1 0 0 7 7 1 CONTROLE Reken uit. : 9... 0 0 0 9 9 7 Breuken delen met je rekenmhine 18 :... 7 18 7 9 1 9 Geruik vn de rekenmhine Welke toetsen moet je indrukken om : 1 te erekenen? 7 8 Oefeningen 11 Shrijf ls een vermenigvuldiging. Reken uit. 7 1 : 7... 1 1 1 7 7... 9 18 d 7 7 :. 7 7 8 1 8 9 0 7 0 :... 1 1... e 1 : 1.. 1 1 1 11 : 1... f 7 11 7 9 7 1 1... 11 1 7 9 9 7 1 9 : ( 1 7 )... 1 Vul n......... 1 :........ 1 1....... 1 d +........ 0 1 Commndorekenen. 7 8 : 1 : : : : : 1 : ( ) : 1 : 18 9 9 1 1 1 1 7 7 7 7 9 7 1 1 Wt moet je kunnen? τ een reuk delen door een geheel getl τ een reuk delen door een reuk τ een reuk delen door een reuk met je rekenmhine 1

G Kommgetllen vermenigvuldigen en delen Op verkenning Kommgetllen vermenigvuldigen Tom gt op reis nr Amerik. In een wndelgids vindt hij een wndeling vn, mijl. Hoeveel km is dt ls je weet dt 1 mijl overeenkomt met 1,09 km? Noteer de getllen ls reuken. Bereken het produt zonder eerst de reuken te vereenvoudigen. Shrijf het produt ls een kommgetl. Vergelijk het ntl ijfers n de komm ij de ftoren en het produt. Wt stel je vst? Reken uit op dezelfde mnier. 9 00 9 17 00 000...... 1,7... Het... ntl ijfers n de komm vn het produt is gelijk n de som vn het ntl ijfers n de komm vn de ftoren.... 0 87 0,9 0,007 9 7 00 0,00 000 11 1,1 0,07... 7 0,087 0 000 Rekenregel kommgetllen vermenigvuldigen Bepl het teken vn het produt. Bereken het produt vn de getllen zonder komm. Plts de komm in het produt. Het ntl ijfers n de komm vn het produt is gelijk n de som vn het ntl ijfers n de komm vn de ftoren. Voeg eventueel nullen voorn toe ls je onvoldoende ijfers het om de komm te pltsen. 0 0, 0, 1, ( 0,9) 0 900 1 ( 9) 1 0 0, 0, 9 1, ( 0,9) 1, 0, 1, 0,07 0,8 1 7 8 0, 1, 0, 0,07 0,8 0,0 CONTROLE 7 Reken uit. 0,8 0,078, 0,... 0,1 0,..., 1, 7..., 0,8... Mhten vn kommgetllen erekenen Vul de tel n. Shrijf ls een vermenigvuldiging Bereken het produt (0,) ( ) ( 0,0) (0,01) ( 0 ) ( 1 0 1 0 exponent vn de mht ntl ijfers n de komm in het grondtl ntl ijfers n de komm in het produt 8 00 0,008 1 0 ) 9 0,0009 000 1 0 1 0 0,000 000 01 1 0 000 000 8 (1,) 1 1 19 1,9 0 1 Als je het ntl ijfers n de komm in het grondtl vermenigvuldigt met de exponent, ken je het ntl ijfers n de komm in het produt. Wt is het vernd tussen de ltste drie kolommen?...... 1 RAtionle getllen: vermenigvuldiging, deling en mhtsverheffing

Rekenregel mht vn een kommgetl Bereken de mht vn het getl zonder komm. Plts de komm in het resultt. Bereken het ntl ijfers n de komm door de exponent te vermenigvuldigen met het ntl ijfers n de komm vn het grondtl. Je kunt ook de mht erekenen door het kommgetl eerst te vervngen door een deimle reuk. 0,0 81 (8 ijfers n de komm, wnt 8) 0,0 0,000 000 81 ( 0,) ( ) 1 ( ijfers n de komm, wnt 1 ) ( 0,) 0,1 0,0 ( 0 ) 0 7 1 000 000 0,000 07 CONTROLE 8 Reken uit. 0,0009 0,000 000 008 (0,0)²... ( 0,00)³... Geruik vn de rekenmhine Welke toetsen moet je indrukken om ( 0,001) te erekenen Kommgetllen delen Bereken telkens de gemiddelde snelheid in km/u. Vul de tel n. ewerking met kommgetllen verhouding verhouding zonder kommgetllen (vermenigvuldig teller en noemer met eenzelfde mht vn ) resultt in km/u Een voetgnger legt 17, kilometer f in, uur. 17, :, 17,, 17 Een fietser legt 0,1 kilometer f in nderhlf uur. Een uto rijdt een fstnd vn kilometer op een kwrtier. Een hogesnelheidstrein rijdt 1 minuten over een trjet vn, kilometer. Een rolstoelgeruiker doet er minuten over om een helling vn 80 meter op te gerken. 0,1 : 1, 0,1 1, 01 0,1 : 0, 0, 00 9, : 0,, 0, 7 0,8 : 0, 0,8 0, 8 0 0,7 1

G Kommgetllen vermenigvuldigen en delen (vervolg) Hoe kun je op een snelle mnier het quotiënt erekenen? Je vermenigvuldigt eide getllen met eenzelfde mht vn zodt er geen komm s meer voorkomen in deler en deeltl....... Rekenregel kommgetllen delen Vermenigvuldig eide getllen met eenzelfde mht vn tien, zodt er geen komm s meer voorkomen in de deler en het deeltl. Ps de tekenregel toe voor het delen vn gehele getllen., : ( 0,8) 7 : 0,00 : ( 8) 7 000 : 8 9000 0,18 : 0, 0,8 : 7 18 : 0 8 : 700 0, 0,0 CONTROLE 9 Reken uit. 19 : 0 1 : ( 0,0)... 0 : ( ) 8 : 0 0,1 00,7 1,9 : 1.........,8 : 0,...... Oefeningen 70 1 Reken uit. Sht eerst het resultt. 0,1 0,... 0,0, 0,00 0,0098,8 0,07, ( 0,001)... 1,... d 1,1 ( 0,) 0... e 0,7 ( 0,01)... f ( 0,07) ( 0,)... 71 1 Reken uit. Sht eerst het resultt. 0,01 0,000... 000 01 8, 8, 1... 0,000 000 81 0,0... 0,019 d (0,1)... 0,000 000 0 e (0,00)... 1 f (,0) 0... 7 1 Reken uit. Sht eerst het resultt. ( 0,00) 0,000... 000 008 1,1 1,1... 0,000 009 e 0,00..., ( 1,)... 0,000 000 00 d ( 0,0)... 0,9 f 0,7... 7 17 Reken uit. Sht eerst het resultt., : 0,09 0 : 9 0 0 : ( ) 0 1 : ( ) 1, : ( 0,) 1, : ( 1,) 1 000 : d 1, : 0,000 1 000 : 00 e 0,00 : 0, 0,0 8 : 00 f 0,8 : 0,08 1 RAtionle getllen: vermenigvuldiging, deling en mhtsverheffing

18 Reken uit. Noteer de tussenstppen. 0,7, + 7 1, 0, : 1 7 7 7 1, 1,7 1, 0,9 0, : 0, : 7 7 7 19 Sht het resultt. Omirkel de juiste oplossing,7, 8,08 8,08 8,08,1 :, 8,1 81 0,81 77 78 79,98 +,17 +,9 1,0 11,9 1, d 70,1 9,87 11,7 19,99, 0 Rekenen met wisselkoersen. 80 81 Ze krijgt 117,7 Austrlishe dollr Sr wil op reis nr Austrlië. Hoeveel Austrlishe dollr krijgt ze vn de nk ls ze 70 wil omwisselen? N hr reis heeft Sr nog 1 Austrlishe dollr over. Ze gt deze dollrs inruilen tegen euro s. Hoeveel euro krijgt ze hiervoor vn de nk? Hoeveel verlies heeft Sr geleden door te veel euro in Austrlishe dollr te lten omwisselen? Wisselkoersen voor 1 EUR munt nkoop verkoop Ameriknse dollr 1,89 1,89 Austrlishe dollr 1,0 1,7007 Britse pond 0,8 0,98 Cndese dollr 1,9 1,97 Deense kroon 7,00 7,899 Noorse kroon 7,88 8,7 Zweedse kroon 8,91 9,0 Zwitserse frnk 1,817 1,797 70 1,0 117,7 1 : 1,7007 7,9917 Ze krijgt 7,0 euro vn de nk. 1 : 1,0 79,870 79,87 7,0,7 Sr heeft,7 euro verlies geleden. 8 8 Vooreeld: Als je vn de nk Ameriknse dollriljetten koopt, dn krijg je voor 1 euro 1,89 USD. Als je Ameriknse dollriljetten verkoopt n de nk, dn krijg je voor 1,89 USD mr 1 euro. Wt moet je kunnen? τ kommgetllen vermenigvuldigen (met je rekenmhine) τ kommgetllen delen (met je rekenmhine) τ de mht vn een kommgetl erekenen (met je rekenmhine) 17

G7 De volgorde vn de ewerkingen Op verkenning Gehele getllen: herhling Reken uit. Houd rekening met de fsprken vn de volgorde vn de ewerkingen zols je die geleerd het in G7. Onderstreep telkens de ewerking die je uitwerkt. ( ) ( 7 ) ( ) ( 7 )... ( ) (8 )... ( )... 1... 1... 8... Rtionle getllen Reken uit. Houd rekening met de fsprken vn de volgorde vn de ewerkingen zols je die geleerd het in G7. 1 + ( ) 1 7 (,01 0,1 ) + 1 + 9 1... 1... + 9 0 + 0 0 0 1 0...... 7 (,01 0,01) +... 7 +... 8 + 7 1 + 1 1 1......... 1 Rekenregel de volgorde vn de ewerkingen Hkjes doorreken de normle rekenvolgorde. Reken drom in een oefening eerst de ewerking(en) tussen hkjes uit. Houd innen en uiten de hkjes rekening met de fsprken i.v.m. de volgorde vn de ewerkingen: de mhten en/of de wortels de vermenigvuldigingen en/of de delingen vn links nr rehts de optellingen en/of de ftrekkingen vn links nr rehts ( ) + ( 1 ) ( ) + 1 8 + 1 7 8 + 1 7 1 + 9 18 RAtionle getllen: vermenigvuldiging, deling en mhtsverheffing

Oefeningen 1 Reken uit. Onderstreep telkens de ewerking die je uitvoert. : 1 8 1 : 1........ 11 11 + 1 :... 9 1 + 1 : 9 11 11 8 : 1 11 + 1 1 11 + 1 1...... 8 8 17...... Reken uit. Onderstreep telkens de ewerking die je uitvoert. 1 1 7 ( 9 ) 9... 7 ( 1 ) 9 7 ( 1 7 ) 9... 7 + 1 9 9 1 1 + 1 1 1...... ( 8 0 0 ) ( 1 ). 1 0. 1. 0. ( 1 )... ( 1 )... 0... 1... d ( ) ( )... ( 7 8 1 9 ) 1... d ( + 9 1 9 1 9 1 18 1... 9 1...... ( 7 7 9 ) 1 ( 9 ) 1 ( 7 9 ) 1...... 11 1 11 18 9 18... ( + 7 ) : 7 1 7 ) : 7... ( + 7 7 ) : 7... : 7 7... 9 7 7 9... 8 87 88 18 1 18 Bereken met je rekenmhine. 90 ( 1 : 1 ( ) )..., 0,0 (, ) 7... 88,19 87 91 1,7 [ ( 0, ) 0,8 : 0, + 17, ]..., 1,71 d, (,1) ( )... Wt moet je kunnen? τ verwoorden in welke volgorde je de ewerkingen in een opgve moet uitvoeren τ opgven met meerdere ewerkingen uitrekenen 19

G8 eigenshppen vn het optellen en het vermenigvuldigen in q Op verkenning Eigenshppen vn het optellen in q Welke eigenshppen gelden voor het optellen in q? Volg ij je onderzoek telkens de volgende stppen. Reken uit en vergelijk de resultten. Omshrijf de toegepste eigenshp in je eigen woorden. Noteer een tweede getlvooreeld wrvoor de eigenshp geldt. Kun je een vooreeld vinden wrvoor de eigenshp niet geldt? Noteer de eigenshp volledig in woorden (geef de verzmeling, de ewerking en de nm vn de eigenshp). Noteer de eigenshp met de letters, en die rtionle getllen voorstellen. 1 + 1 1 + 1 + + Als je de getllen vn plts verwisselt, verndert de som niet. + ( ) 9 1 8 1 Neen 1 1 + 8 1 + 9 1 1 1 in woorden: Het optellen is ommuttief in q. met letters:, zijn rtionle getllen. + +, + (, + 1,) [, + (,) ] + 1,, + (,) + 1,, + ( 1), 0,9 + 1,,, + (,) + 1,, De hkjes mogen ij een optelling vn rtionle getllen verpltst, gepltst of weggelten worden, zonder dt de som verndert. + 1 + ( 1 ) + + ( 1 ) 7 + ( 1 ) 0 + 0 9 0 Neen + [ 1 + ( 1 ) ] + [ + ] + 0 0 + 9 0 9 0 in woorden: met letters: Het optellen is ssoitief in q., zijn rtionle getllen. ( + ) + + ( + ) + + RAtionle getllen: vermenigvuldiging, deling en mhtsverheffing

Eigenshppen vn het vermenigvuldigen in q Welke eigenshppen gelden voor het vermenigvuldigen in q? Volg ij je onderzoek telkens volgende stppen. Noteer ten minste twee getlvooreelden en g n of de eigenshp geldt. Kun je een vooreeld vinden wrij de eigenshp niet geldt? Noteer de eigenshp volledig in woorden (geef de verzmeling, de ewerking en de nm vn de eigenshp). Noteer de eigenshp met de letters, en die rtionle getllen voorstellen. Onderzoek of het vermenigvuldigen ommuttief is in q. 1 1 1 1 ( ) Neen. in woorden: Het vermenigvuldigen vn rtionle getllen is ommuttief. met letters:, zijn rtionle getllen Onderzoek of het vermenigvuldigen ssoitief is in q. ( ) 1 1 1 1 ( 1 ) 0 1 1 1 Neen., 0,1 0, 0,, (0,1 ), 0, 0, (, 0,1) 0, 0, in woorden: Het vermenigvuldigen vn rtionle getllen is ssoitief. met letters:,, zijn rtionle getllen () () Is het vermenigvuldigen distriutief ten opzihte vn het optellen in q? ( 1 + ) 1 + 1 + 0 + 9 0 0 ( 1 + ) ( + 0 0 ) 9 9 0 0 Neen. 0, ( + 0,7) 0,81 0, + 0, 0,7 0, + 0,1 0,81 in woorden: Het vermenigvuldigen is distriutief t.o.v. het optellen in q. met letters:,, zijn rtionle getllen ( + ) + Controleer op dezelfde mnier of het vermenigvuldigen distriutief is ten opzihte vn het ftrekken in q. ( 8 ) ( 1 8 8 ) ( 9 8 ) 9 8 1 9 Het vermenigvuldigen is distriutief t.o.v. het ftrekken in q............. 11

G8 eigenshppen vn het optellen en het vermenigvuldigen in q (vervolg) Eigenshppen in symolen noteren Eigenshppen kun je volledig in wiskundige symolen noteren. Deze symolen evtten heel wt informtie. Bentwoord de vrgen in de tel. Noteer de symolen/letters die je l kent in de ltste kolom. Het optellen is ommuttief in q Vrg Antwoord Symolen/letters Wt etekent deze eigenshp? Je mg ij het optellen de termen vn plts verwisselen. Noteer een getlvooreeld. Vervng de getllen in je vooreeld door letters. Uit welke verzmeling hl je de getllen? Geldt de eigenshp voor lle getllen uit die verzmeling? + + ( ) + + Uit de verzmeling vn de rtionle getllen. J. + +, Є q, Є q: + + Wiskundetl symolen etekent voor lle : etekent geldt Voor lle rtionle getllen geldt dt je de termen vn plts mg verwisselen zonder dt de som verndert., q : + + Stppenpln een eigenshp in wiskundige symolen noteren Zeg in woorden wt de eigenshp etekent. Geef een getlvooreeld. Vervng de getllen in je vooreeld door letters. G n voor welke getllen deze eigenshp geldt. Bepl de verzmeling. G n of deze eigenshp geldt voor lle getllen uit die verzmeling. Het vermenigvuldigen is ssoitief in q Je mg de hkjes rond de ftoren verpltsen, weglten of toevoegen ls je rtionle getllen vermenigvuldigt. Het resultt lijft hetzelfde., 1 ( ) (, 1 ) ( ), [ 1 ( ) ] ( ) ( ) Deze eigenshp geldt voor de rtionle getllen (q).,, q : ( ) ( ) eigenshp eigenshppen vn de ewerkingen in q Het optellen is ommuttief in q. Het vermenigvuldigen is ommuttief in q. Het optellen is ssoitief in q. Het vermenigvuldigen is ssoitief in q. Het vermenigvuldigen is distriutief t.o.v. het optellen in q., q : + +, q :,, q : ( + ) + + ( + ) + +,, q : ( ) ( ),, q : ( + ) + 1 RAtionle getllen: vermenigvuldiging, deling en mhtsverheffing

Oefeningen Reken hndig uit door geruik te mken vn eigenshppen. 9, ( 7) ( 0,)..., 0, 7 + 9 + 1... 1 1 + 1 + 1 9...,7 +,9 +, 0,... 1 7 7... + 1 1 1 1 1 +,9 0, d 1 + ( 8 + 1 9 1 )... 1 + 1 + 8 1 9 11, 1 + 8 9 + 8 17 9 9 9...... 9 Formuleer de eigenshppen die in deze oefeningen worden toegepst. ( 11 + 1 ) 11 ( 1 + 11 ) 11... ( + ) +... Noteer deze eigenshppen volledig in symolen. Het vermenigvuldigen is ommuttief in q..., q: Het optellen is ssoitief in Z..... Het vermenigvuldigen is distriutief ten opzihte.. vn het optellen in q. 7 Noteer deze eigenshppen in woorden. Het optellen is ommuttief in q. Het vermenigvuldigen is distriutief t.o.v. het optellen in q.,, Z: ( + ) + + ( + ) + +,, q: ( + ) +.. Het vermenigvuldigen is ssoitief in q.,, q: ( ) ( ).. 9 9 97 99 98 99 99.. Het vermenigvuldigen is distriutief t.o.v. het optellen in q.,, q: ( ).... 8 Zijn deze uitsprken wr of niet wr? Als de uitsprk niet wr is, geef je een tegenvooreeld. 00 d De som vn twee negtieve rtionle getllen is steeds een negtief rtionl getl. wr niet wr... Het produt vn een even en een oneven ntuurlijk wr getl is steeds een even ntuurlijk getl. niet wr... De som vn twee opeenvolgende gehele getllen wr is steeds een even getl. niet wr... + 7, 7 is niet even Het kwdrt vn een oneven getl is steeds een wr oneven getl. niet wr... Wt moet je kunnen? τ de eigenshppen in woorden formuleren τ de eigenshppen herkennen in erekeningen τ de eigenshppen geruiken om hndig te rekenen τ de eigenshppen volledig in symolen formuleren τ de eigenshppen in symolen kunnen vertlen in woorden 1

G9 Vergelijkingen vn de vorm x oplossen Op verkenning Lees het vrgstuk ndhtig en onderstreep de ekende gegevens. Brt en Simon dlen f in de Grnd Cnyon. Op een epld ogenlik evinden ze zih 00 meter lger dn het vertrekpunt. Ze heen dn een kwrt vn hun toht fgelegd. Hoeveel meter moeten ze in totl fdlen? N drie uur heen Brt en Simon drie kwrt vn hun fdling fgelegd. Als ze n hetzelfde tempo doorgn, hoelng duurt dn de volledige fdling? Wt is de onekende in het vrgstuk? De onekende stel je voor door de letter x. x... is het totl tl meter.... x is de totle duur vn de fdling. Shrijf het vernd tussen de onekende en de ekende gegevens ls een vergelijking. 1...................................... : 1 : 1 : :...... x 00 x 00 : 1 x 00 0... x x : x... Los de vergelijking op (met ehulp vn een pijlenshem). Welke ewerking moet je uitvoeren (in het linker- en het rehterlid) om de x f te zonderen? Shrijf deze ewerking nst de pijlen. Bereken de wrde vn x. Controleer de oplossing door het getl in te vullen in de vergelijking op de plts vn de x. 1 0 00...... Formuleer een ntwoordzin. Ze dlen in totl 0 m. De fdling duurt uur....... Stppenpln vergelijkingen vn de vorm x oplossen Noteer elke stp op een nieuwe regel en shrijf de gelijkheidstekens netjes onder elkr. Zonder de x f door in eide leden dezelfde ewerking uit te voeren: het linker- en het rehterlid delen door dezelfde ftor het linker- en het rehterlid vermenigvuldigen met dezelfde ftor. Bereken de wrde vn x. Controleer de oplossing door het getl in te vullen in de vergelijking op de plts vn x. : en zijn rtionle getllen x x : : of x 1 x 1 x 18 ontrole: ( 18 ) 18 1 1 : of 1 RATIONALE GETALLEN: VERMENIGVULDIGING, DELING en MACHTSVERHEFFING

Oefeningen 9 Los de vergelijkingen op. 01 x 1 x e x 7 8 0...... 8x x 1 x 7 x 1 8 x... 8......... d x... 7 x 8 x 8 x 8 7 x 1 x......... f x 9 x x 9 1 x 0 x...... 0 Los de vergelijkingen op. 0 x 17 7 x 0 x 17 1 x 0 7 1 x 17 x 1 8 9 x 1 8 9 x 18 7 d x 0 x x x 1 Shrijf ls een vergelijking. Los de vergelijking op. Met een weekendiljet vn de NMBS etl je slehts de helft vn de prijs in de week. Voor een rit heen en terug vn Mehelen nr Gent etl je in het weekend 7,0 euro. Hoeveel etl je in de week voor dtzelfde trjet? De onekende: de prijs in de week De vergelijking: x 7, x 7, x 1 Antwoord: In de week etl je voor dtzelfde trjet 1 euro.......... 0 0 0 Thoms koht een elektrishe gitr en moest drvoor ij zijn ouders geld lenen. N het fetlen vn twee derde vn het totle edrg heeft hij nog een shuld vn 70 euro. Hoeveel heeft hij geleend? De onekende: het geleende edrg De vergelijking: 1 x 70 x 70 x...... Antwoord: Thoms hd euro geleend.... Shrijf een vergelijking vn de vorm x zodt... 08 een oplossing is. x 7 x 0 (meerdere oplossingen mogelijk) x 1 (meerdere oplossingen mogelijk)...... Wt moet je kunnen? τ vergelijkingen vn de vorm x oplossen τ vrgstukken oplossen met ehulp vn een vergelijking vn de vorm x 1

G0 Vergelijkingen vn de vorm x + oplossen Op verkenning Bij een wedstrijdje verspringen hlt Lies een reord vn,8 meter. Dt is 0 m minder dn het duel vn de fstnd vn Joris. Hoe ver springt Joris? Lees het vrgstuk ndhtig en onderstreep de ekende gegevens. Wt is de onekende in het vrgstuk? De onekende stel je voor met de letter x. x is de fstnd die Joris springt.... Vul dit shem verder n. x x : 0 + 0 8 1........ 8........ 8........ Shrijf het vernd tussen de onekende en de ekende gegevens ls een vergelijking. +0 : x 0 8 x 8 x 8 : x 1.... +0 : Formuleer een ntwoordzin. Joris sprong 1 m ver.. Los de vergelijking op (met ehulp vn een pijlenshem). Welke ewerkingen moet je uitvoeren (in het linker- en het rehterlid) om x f te zonderen? Shrijf deze ewerkingen nst de pijlen. Bereken de wrde vn x. Controleer de oplossing door het getl in te vullen in de vergelijking op de plts vn x. 1 0 8 0 8...... Stppenpln vergelijkingen vn de vorm x + oplossen Noteer elke stp op een nieuwe regel en shrijf de gelijkheidstekens netjes onder elkr. Zonder x f door in eide leden dezelfde ewerking uit te voeren door: eerst in het linker- en het, en zijn gehele getllen rehterlid dezelfde term op te tellen of f x + te trekken dn het linker- en het x : rehterlid te delen door x : of te vermenigvuldigen met dezelfde ftor Bereken de wrde vn x. Controleer de oplossing door het getl in te vullen in de vergelijking op de plts vn x. x 7 1 +7 +7 x 1 + 7 : : x of 1 of 1 x 1 x 1 ontrole: 7 7 1 1 1 RAtionle getllen: vermenigvuldiging, deling en mhtsverheffing

Oefeningen Los de vergelijkingen op. x 1 1x 09 x + 1 x + 1 9 d x x 1 1 x 1 x 1 Los de vergelijkingen op. 1 x 18 1 x 11 d 1 x + 0 Shrijf ls een vergelijking. Los de vergelijking op. 1 1 Voor de sponsorloop verzmelden Tine en hr roer Hns smen 1,0 euro. Hns heeft,0 euro meer opgehld dn Tine. Voor hoeveel euro werd Tine gesponsord? Een emmer is voor gevuld en evt 8 l. Hoeveel liter kn de emmer mximl evtten? Als ik een kwrt vn mijn stikers thuislt, he ik er nog ltijd vijf meer ij dn ls ik één derde vn mijn stikers thuislt. Hoeveel stikers he ik? Wt moet je kunnen? x 1 + 1x + x 9 1x 8 x 9 1 x 8 x x 1 x 1 x 1 1 x 18 1 x 1 x 1 ( ) x x 1 9 x 8 18 18 x 18 x 18 x 1 τ vergelijkingen vn de vorm x + oplossen τ vrgstukken oplossen met ehulp vn een vergelijking vn de vorm x + x x + 1 x 1 + 1 1 x 17 1 x 17 1 x 17 18 1 x 1 x 8 1 x 11 x 11 ( ) x 11 1 1 x x 1 1 17

Prolemsolving Ron vouwt de hoekpunten A, B en C nr de stip in het midden. Wt voor figuur krijgt Ron dn? B A C A driehoek B vierknt C zeshoek D zeshoekige ster e twlfhoek 7 Hoeveel uren gn er in de helft vn een derde vn een vierde vn twlf uur? A 1 B 1 C 1 D e Een vierde vn twlf uur is drie uur. Een derde vn drie uur is één uur. De helft vn één uur is 1 uur....... 8 Een rehthoekige strook vn m ij 1 m wordt in zeven rehthoeken geknipt, lleml met reedte 1 m. Vier vn de rehthoeken heen een lengte vn m, twee heen een lengte vn m en één heeft een lengte vn m. Vn deze zeven rehthoeken kun je vershillende nieuwe rehthoeken leggen. Wt is de kleinst mogelijke omtrek vn zo n nieuwe rehthoek? A 1 m B 0 m C m D m e 8 m Als je deze rehthoeken effetief uitknipt en nst elkr legt, kun je de vershillende mogelijkheden ngn en de kleinst mogelijke omtrek eplen. ( m + m) 0 m m............ m 9 In een vt zit liter wijn. We vervngen 1 liter uit het vt door 1 liter wter en mengen het geheel goed. Nu vervngen we 1 liter vn het mengsel door 1 liter wter en mengen het geheel goed. Dt doen we drn nog een keer. Hoeveel liter wijn evt het mengsel dt we dn heen? A 1 B C 7 D 0 e 8 Als je 1 liter wijn vervngt door wter krijg je een mengsel met verhouding 8. Vn de volgende 1 liter die geshept wordt is 1 liter wijn. (wnt vn 1 1). Er zit nu nog 8 1 liter wijn in het mengsel. Het mengsel krijgt hierdoor een verhouding vn 9 1. In de volgende zestien liter zit ijgevolg 9 vn 1 9 liter wijn. Er zit nu nog 1 9 7 liter wijn in het vt................ 18 Prolemsolving