Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is A ij de ((m (n -matrix die uit A ontstaat door de i e rij en de j e kolom te schrappen Zo n matrix die uit A ontstaat door (0 of meer rijen en (0 of meer kolommen te schrappen heet een ondermatrix van A We definiëren nu de determinant van een ( -matrix : a a a Definitie Als A a a a, dan geldt : a a a a a a det A a a a a a a a a a a a a a a a a + a a a a a a det A a det A + a det A Vervolgens generaliseren we dit tot : Definitie Als A (a ij een (n n-matrix is met n, dan geldt : n det A a det A a det A + + ( +n a n det A n ( +j a j det A j heet de determinant van de matrix A Notatie : det A of A j Definitie 5 Als A (a ij een (n n-matrix is met n, dan geldt : heet een cofactor van A C ij : ( i+j det A ij Dit is dus de determinant van de ondermatrix A ij (onderdeterminant voorzien van een (extra plus- of een minteken bepaald door het volgende schaakbordpatroon : + + + + +
Hiermee hebben we nu : Stelling Als A (a ij een (n n-matrix is met n, dan geldt : det A a i C i + a i C i + + a in C in (ontwikkeling naar de i e rij a j C j + a j C j + + a nj C nj (ontwikkeling naar de j e kolom Bewijs Voor een ( -determinant volgt dit onmiddellijk uit definitie Voor een ( - determinant volgt dit uit definitie door alle mogelijkheden uit te schrijven In het algemeen is het bewijs erg lastig en wordt daarom buiten beschouwing gelaten Volgens definitie wordt een determinant berekend door te ontwikkelen naar de eerste rij Stelling zegt nu dat we de determinant kunnen berekenen door te ontwikkelen naar een willekeurige rij of door te ontwikkelen naar een willekeurige kolom Bij de cofactoren dienen we dan rekening te houden met het eerder genoemde schaakbordpatroon We bekijken nu eerst enkele voorbeelden Voorbeeld Door te ontwikkelen naar respectievelijk de e rij, de e kolom en de e rij vinden we : 0 5 0 5 + 0 5 8 + 0 + 5 7 0 + 5 8 0 + 5 7 0 5 5 0 + 6 7 De laatste twee vergen minder rekenwerk vanwege de 0 die optreedt De bij die 0 behorende onderdeterminant hoeft niet uitgerekend te worden Voorbeeld Door handig te ontwikkelen naar een rij of een kolom met veel nullen vinden we dan : 5 7 5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 ( (5 ( 5 + + 5 (0 + 0 0 0 Definitie 6 Een matrix A (a ij met a ij 0 voor alle i > j heet een bovendriehoeksmatrix Een matrix A (a ij met a ij 0 voor alle i < j heet een benedendriehoeksmatrix
Nu is eenvoudig in te zien : Stelling Als A een vierkante (boven- of benedendriehoeksmatrix is, dan is de determinant van A het product van de diagonaalelementen We hebben verder de volgende rekenregels : Stelling Als A een vierkante matrix is, dan geldt : als B de matrix is die uit A ontstaat door een veelvoud van een rij op te tellen bij een andere rij, dan is det B det A twee rijen van plaats te verwisselen, dan is det B det A een rij te vermenigvuldigen met een getal k, dan is det B k det A Deze stelling geeft de mogelijkheid om het berekenen van een determinant te vereenvoudigen door de matrix eerst te vegen tot een driehoeksvorm en vervolgens stelling te gebruiken Bij dat veegproces dient men dan rekening te houden met de rekenregels van stelling Het bewijs van stelling laten we achterwege Enkele voorbeelden : Voorbeeld Door te vegen vinden we nu : 0 5 5 0 5 0 0 5 0 5 0 0 0 7 ( 7 7 Voorbeeld Door te vegen vinden we ook : 0 5 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 ( ( 0 0 0 8 0 0 Voorbeeld 5 Door te vegen vinden we bijvoorbeeld ook : 0 0 0 0 0 05 0 05 09 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 0 0
Elke matrix kan geveegd worden tot een echelonmatrix Een vierkante matrix is inverteerbaar dan en slechts dan als er in elke rij en in elke kolom een pivotpositie bestaat In de echelonvorm verschijnen de pivots dan op de hoofddiagonaal Er geldt dus : Stelling Als A een vierkante matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Dit hadden we al gezien voor ( -matrices, maar geldt dus algemeen voor elke vierkante matrix Met behulp van stelling kan men bewijzen dat : Stelling 5 Als A een vierkante matrix is, dan geldt : det A T det A Dit betekent dat de rekenregels van stelling ook gelden voor kolommen in plaats van rijen Voorbeeld 6 We kunnen de determinant uit voorbeeld 5 nu bijvoorbeeld ook zo bepalen : 0 0 0 0 0 05 0 05 09 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + Om een determinant handig te berekenen kunnen we dus het vegen met rijen, het vegen met kolommen en het ontwikkelen naar een rij of naar een kolom combineren Voorbeeld 7 Zo vinden we bijvoorbeeld : 0 0 5 0 0 5 5 0 5 0 0 0 5 5 (6 + 5 Een andere belangrijke eigenschap van determinanten, die we niet zullen bewijzen, is : Stelling 6 Als A en B twee (n n-matrices zijn, dan geldt : det AB (det A(det B Deze stelling heeft veel belangrijke gevolgen Enkele voorbeelden : Gevolg Als A en B twee (n n-matrices zijn, dan geldt in het algemeen dat AB BA Toch geldt wel dat det AB det BA, immers : det AB (det A(det B (det B(det A det BA
Gevolg Als A inverteerbaar is, dan geldt : det A det A, immers : AA I det I det AA (det A(det A det A det A Gevolg Als A een (n n-matrix is, dan geldt : det(λa λ n det A, immers : λa (λia det(λa (det(λi(det A λ n det A Tenslotte gaan we nog even in op de meetkundige betekenis van de determinant van een ( -matrix en een ( -matrix Stelling 7 Er geldt : Als A een ( -matrix is, dan is det A de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door de kolommen van A Als A een ( -matrix is, dan is det A de inhoud of het volume van het parallellepipedum opgespannen door de kolommen van A Bewijs Zie ook pag 00 en 0 van Lay ( a 0 Als A een diagonaalmatrix is, zeg A, dan is det A ad en dat is de 0 d ( ( a 0 oppervlakte van de rechthoek opgespannen door de vectoren en 0 d Stel nu dat A a a, dan geldt : det A det a a det a a + λa voor iedere λ R We kunnen vervolgens λ zo bepalen dat a en a +λa een rechthoek opspannen De determinant is dus gelijk aan de oppervlakte van deze rechthoek en die is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door a en a zoals blijkt uit figuur op pag 00 van Lay Het bewijs voor een ( -matrix gaat op dezelfde manier De inhoud of het volume van een parallellepipedum is gelijk aan de oppervlakte van het grondvlak maal de hoogte Door op dezelfde manier te schuiven kunnen we zo n parallellepipedum transformeren tot een rechthoekig blok waarvan de inhoud gelijk is aan de lengte maal de breedte maal de hoogte Zie figuur en figuur op pag 00 en pag 0 van Lay 5
Deze stelling geeft ons de mogelijkheid om allerlei oppervlakte- en inhoudsberekeningen uit te voeren in R en R die anders veel lastiger zijn We bekijken enkele voorbeelden : Voorbeeld 8 Stel P (,, Q (, 5 en R (, Vraag : Wat is dan de oppervlakte van driehoek P QR? Eerst verschuiven we de driehoek zodat het punt P in de oorsprong O terechtkomt Dan geldt dat de oppervlakte van driehoek P QR gelijk is aan de helft van de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door de vectoren a ( 5 ( ( 7 en b ( ( ( Dus : opp(p QR ( det 7 + 9 Voorbeeld 9 Stel A (,, B (,, C (,, D (, 5 en E (0, Vraag : Wat is de oppervlakte van vijfhoek ABCDE? Merk eerst op dat de oppervlakte van vijfhoek ABCDE gelijk is aan de som van de oppervlaktes van de driehoeken ABC, ACD en ADE Om die te berekenen verschuiven we de vijfhoek ABCDE zodanig dat hoekpunt A in de oorsprong O terechtkomt Voor de oppervlaktes van de drie driehoeken gebruiken we de vectoren b a d a ( ( 5 ( ( ( (, c a en e a ( ( 0 ( ( We vinden dus : opp(abcde ( ( ( ( 5 det + 5 det + det 7 (8 + + 5 ( 5 (, Voorbeeld 0 De inhoud van het parallellepipedum in R opgespannen door de vectoren a, b en c 0 is gelijk aan det 0 We vinden : 0 0 0 Dus : de inhoud van het parallellepipedum is gelijk aan 6