de Bachelor EIT 2de en de Bachelor Wiskunde Academiejaar 215-216 1ste semester 26 januari 216 Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen 1. Gegeven een homogene lineaire partiële differentiaalvergelijking van eerste orde: a 1 (x 1,, x n x 1 + + a n (x 1,, x n x n =. (1 (a Wat is het geassocieerde differentiaalstelsel aan deze vergelijking? (b Toon dat een eerste integraal van het geassocieerde stelsel aanleiding geeft tot een oplossing van (1. (c Als y = f(x 1,, x n een oplossing is van (1, dan is f(x 1,, x n = c een eerste integraal van het geassocieerde stelsel. Toon aan! 2. Zij [a, b] (, 2π en f : [, 2π] R de trapfunctie die op [a, b] de waarde 1 aanneemt, en daarbuiten. Toon aan dat f in kwadratisch gemiddelde kan benaderd worden door continue functies. eid hieruit af dat elke trapfunctie op [, 2π] in kwadratisch gemiddelde kan benaderd worden door continue functies.. Onderstel dat {p, p 1, } een orthogonale rij veeltermen is over [a, b] ten opzichte van een gewichtsfunctie r. Bewijs dat p n n enkelvoudige nulpunten heeft, allemaal gelegen in het interval (a, b. 4. Bespreek het Sturm-iouville probleem y + λy = met randvoorwaarden y( = en y(1 = y (1. Gebruik de oplossingen om een orthogonaal stel functies te bepalen over het interval [, 1]. Tijd: 1 uur minuten; Vragen 1 e: 15 punten; vragen en 4: 1 punten. Dit examen telt mee voor 5 % van het totaal.
de Bachelor EIT 2de en de Bachelor Wiskunde Academiejaar 215-216 1ste semester 26 januari 216 Oefeningen Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is de partiële differentiaalvergelijking Hierin is p = z x (y zp + (x yq = z x. z en q =. Bepaal het integraaloppervlak dat gaat door de kromme k met y vergelijking { y + z = yz = x 2. 2. Beschouw de periodieke functie f (periode 2π gedefinieerd door (a Bepaal de Fourierreeks van f. f(x = x 2, π < x π. (b Gebruik deze reeks om de som te bepalen van de numerieke reeks ( 1 n+1. Een snaar is bevestigd tussen de punten x = en x =. Op het ogenblik t = wordt de snaar in beweging gebracht door haar een initiële snelheid v(x te geven volgens (figuur 1 v x b < ɛ v(x = 2ɛ elders, met b ergens op de snaar en ɛ klein genoeg zodat ɛ < b < ɛ. Zoek de verplaatsing u(x, t b ɛ b + ɛ x Figuur 1: De snaar krijgt lokaal een snelheid op t =, afgebeeld door het vectorveld. in functie van de tijd t en ruimte x, als je weet dat de golfvergelijking gegeven wordt door 2 u x = 1 2 u 2 c 2 t. 2 Vereenvoudig de oplossing met behulp van de formules van Simpson. heruitvinden met behulp van complexe analyse. (Je mag die zelf Tijd: 2 uur minuten; Vragen 1 e: 8 punten; vraag : 14 punten. Totaal: punten. Dit examen telt mee voor 5 % van het totaal.
Oplossingen 1. Differentiaalvergelijking: (y zp + (x yq = z x. Homogene vergelijking: Geassocieerd stelsel: (y z Ψ x + (x y Ψ y dx y z = Eerste integralen (methode der multiplicatoren: α = 1, β = 1, γ = 1 dy x y = + (z x Ψ z =. dz z x. 1. α(y z + β(x y + γ(z x = y z + x y + z x = 2. α dx + β dy + γ dz = dx + dy + dz = d(x + y + z x + y + z = c 1. α = x, β = z, γ = y 1. α(y z + β(x y + γ(z x = x(y z + z(x y + y(z x = 2. α dx + β dy + γ dz = x dx + z dy + y dz = 1 2 d(x2 + 2yz x 2 + 2yz = c 2. Verband tussen c 1 en c 2 : (1, ( x = c 1 (5 (2, (4 x 2 = c 2 (6 (5, (6 c 2 = (c 1 2. x + y + z = c 1 (1 x 2 + 2yz = c 2 (2 y + z = ( yz = x 2 (4 De oplossing is dus x 2 + 2yz = (x + y + z 2
2. a We berekenen eerst de Fourierreeks van f. Omdat f een even functie is, is deze van de vorm f(x = a 2 + a n cos nx. Dus a = 2 π f(x dx = 2 π x 2 dx = 2 π a n = 2 f(x cos nx dx = 2 π π = 2 [[ 2 sin nx ] π sin nx x 2x π n }{{} n = = 2 [[ cos nx ] π cos nx 2x 2 π = 2 [ 4π cos nπ [ 2 sin nx ] π ] π n = b Voor x = hebben we dan 4 cos nπ = 4( 1n } {{ } = [ x ] π x 2 cos nx dx ] dx ] dx = 2π2 f(x = a 2 + a n cos nx = π2 + 4( 1 n cos nx. en dus = π2 + 4( 1 1 2 cos 1 2 2 cos + 1 2 cos 1 4 2 cos + π 2 12 = 1 1 2 1 2 2 + 1 2 1 4 2 + 2
. a Rand- en beginvoorwaardeprobleem: modelvergelijking met 2 u x = 1 2 u x, t 2 c 2 t 2 u(, t = u(, t = t u(x, = x (x, = v(x x t b Scheiden van veranderlijken. we zoeken oplossingen van de vorm u(x, t = X(xT (t die voldoen aan de randvoorwaarden: X (xt (t = 1 c 2 X(xT (t x, t met X(T (t = X(T (t =, t. Hieruit volgt dat X( = X( =. Anders is X(t =, voor elke t, en dan is u de nuloplossing. We kunnen de partiële differentiaalvergelijking nu herschrijven als X (x X(x = 1 c 2 T (t T (t = λ. De linker- en rechtertermen kunnen alleen aan elkaar gelijk zijn voor alle x en t als ze gelijk zijn aan een constante λ. We krijgen zo twee deelproblemen: X (x = λx(x en T (t = c 2 λt (t. c Het plaatsafhankelijk probleem. X (x = λx(t, met X( = X( =. Dit is een Sturm-iouville probleem, en we bepalen de eigenwaarden en bijhorende eigenfuncties. Als λ =, dan is X (x =, en dus X(x = Ax + B. Invullen van de randvoorwaarden X( = X( = geeft A = B =, en we vinden dus enkel de nuloplossing. Als λ >, dan vinden we X(x = A cosh( λx + B sinh( λx. Invullen van de randvoorwaarden X( = X( = geeft A = B =, en we vinden dus enkel de nuloplossing. Stel λ = k 2 <. We vinden nu X(x = A cos(kx + B sin(kx.
De randvoorwaarde X( = levert A =. Uit de randvoorwaarde X( = volgt dat B sin(k =. Hieruit volgt dat B = en dan is de oplossing de nuloplossing, tenzij dat sin(k =, of k = nπ. We vinden als eigenwaarden met bijhorende eigenfuncties λ n = n2 π 2, ( nπx X n (x = sin. d Het tijdsafhankelijk probleem. De gevonden eigenwaarden λ n vullen we in in de differentiaalvergelijking voor T. Hieruit halen we e De totale oplossing. u(x, t = X n (xt n (t = T (t = n2 π 2 c2 T (t ( nπc ( nπc T n (t = A cos t + B sin t. ( nπx ( nπc ( nπc ( nπc A n sin sin t + B n sin t sin t is een oplossing die voldoet aan de randvoorwaarden. Als we B n = nemen, dan voldoet die ook aan de randvoorwaarden. De coëfficiënten A n bepalen we via de overblijvende beginvoorwaarde (x, = v(x, en de orthogonaliteit van de eigenfuncties over [, ]: t t (x, t = nπc ( nπx ( nπc A n sin cos t t (x, = nπc ( nπx A n sin nπc A n = v(x sin ( nπx dx sin ( nπx 2 dθ A n = nπc = = b+ɛ v sin ( nπx b ɛ 2ɛ dx sin ( nπx 2 dθ [ ( ( ] v nπ(b ɛ nπ(b + ɛ cos cos π 2 cɛ ( v nπb ( nπɛ π 2 cɛ sin sin waarbij we gebruik maakten een van de formules van Simpson: cos(α β cos(α + β = 2 sin(α sin(β. De eindoplossing is dus u(x, t = v ( 1 nπb ( nπɛ ( nπx ( nπc π 2 cɛ n sin sin sin sin 2 t 4