V-1a d V-2a 102 ladzijde 138 In werkelijkheid zijn er 3 rien evenwijdig aan rie. In figuur 1 zijn die rien ook evenwijdig getekend. In figuur 2 zijn deze rien zo getekend dat ze elkaar alle vier in hetzelfde punt snijden. In figuur 2 heen alle rien die in werkelijkheid evenwijdig zijn aan rie een andere grootte en een andere rihting. at komt omdat ij figuur 2 alles dat meer naar ahter ligt korter getekend wordt. dat geldt dus ook voor M, in werkelijkheid de helft van. M ligt ahter M en wordt dus korter getekend. e middens van,,,,,, en zijn ook in de tekening het midden omdat deze lijnstukken evenwijdig zijn aan of loodreht staan op de horizon. e middens van de andere rien kun je vinden door in elk zijvlak de diagonalen te tekenen en dan vanuit het snijpunt evenwijdig met,, of naar het midden van de rien te gaan. Zie de tekening hieronder. ladzijde 139 N M e onzihtare rien,, en, zijn evenwijdig aan respetievelijk, en. eken die gestippeld het snijpunt van deze stippellijnen is punt. e middens van alle rien zijn ij een parallelprojetie in de tekening ook het midden. Je maakt ij onderdeel a geruik van de eigenshap dat in werkelijkheid evenwijdige lijnen ook ij parallelprojetie evenwijdig zijn. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1
d Neem het voorvlak over en kies een horizon m. Kies op de horizon een punt V, het verdwijnpunt. eken nu dun de lijnstuk V en kies daarop een punt (niet te ver van ) eken nu. aarna teken je een, dunne, lijn door evenwijdig met en lijnstuk V (dun). et snijpunt is punt. eken nu de rien en. eken een lijn door evenwijdig aan en teken V. et snijpunt is punt. eken de rien en. erhaal deze methode om punt te vinden. N M e middens van,,,,,, en zijn in de tekening ook het midden. e middens van,, en vind je weer door de diagonalen te tekenen. V-3a Zet letters ij de hoekpunten van het prisma en noem het verdwijnpunt V. - teken, dun, V en een lijn door punt K evenwijdig aan. et snijpunt is punt. Stippel K. - teken, dun, V en een lijn door J evenwijdig aan. et snijpunt is punt. Stippel J. - stippel, en. L K J V I V,, en KJ zijn evenwijdig aan de horizon, dus de middens zijn de ehte middens. e rien,, I, J, K en L zijn vertiaal loodreht op de horizon en ook dan zijn de middens de ehte middens. e middens van de andere rien vind je weer door de diagonalen van de vlakken I, IJ, KL en L te tekenen. m Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1 103
104 L K J V I it prisma heeft als grondvlak een regelmatige zeshoek, dan geldt dat loodreht staat op en, en dat de lengte van = 3. ovendien geldt dat = 2. In de tekening hieronder zie je dit. 1 2 1 30 2 120 Nu de parallelprojetie van het prisma: - eken vierkant. - eken onder een hoek van ongeveer 60 met en met een lengte gelijk aan de helft van de werkelijke lengte, dus ongeveer 087,. - eken evenwijdig aan en even lang. - eken door de middens van en de lijn zodat = 2. - eken het grondvlak verder af. - eken I, J, K en L even groot als en evenwijdig aan. - Maak het prisma verder af, stippel de onzihtare lijnstukken. - e middens van de rien zijn ook in de tekening de middens. L K Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1 J I
V4a - - eken M loodreht op, met lengte. - eken de piramide verder af. - et midden van een lijnstuk is in parallelprojetie ook het midden. eken de middens van,, en. M e lijnstukken,, en M heen in de tekening dezelfde lengte als in werkelijkheid. V5a - M ligt verder naar ahter, dus wordt korter getekend dan in werkelijkheid. en manier om M toh goed te tekenen gaat als volgt: - is het midden van. eken N loodreht op met lengte M =. - Verind N met het verdwijnpunt V - eken een lijn door M loodreht op. et snijpunt van deze lijn en NV is de top. - Maak de piramide af. d N M Om de middens van en te vinden moet je geruikmaken van het verdwijnpunt W, dit is het snijpunt van de horizon met. - teken een lijn door loodreht op vlak. W snijdt deze lijn in. - epaal het midden van en noem dit K. - e snijpunten van KW met en zijn de middens van en. - oe hetzelfde ij punt om de middens van en te vinden. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1 105
1a 2 106 ladzijde 140 e vlakken en zijn in hun ware vorm getekend. e rien,, en zijn ongeveer 50% korter getekend. Je moet dan ook nog zeggen in welke rihting de verkorte rien getekend worden. ijvooreeld door te geven. ladzijde 141 3m 7 60 6 Op lano papier wordt met lengte 3 getekend, de helft dus. e hoek tussen en is 60. Op roosterpapier teken je ook 3 m, maar nu zo dat je twee hokjes opzij en één omhoog gaat. 3a Noem het midden van MN punt S. eken de gelijkenige driehoek MN met MN = 5 en S = 6. eken en met grootte 2,5 m. enk aan de stippellijnen M S 5 6 N M S 5 6 N M Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1 S 5 6 N
4a e hoek tussen en is 60 e verkorting is 50%. d Omdat KL loodreht staat op LM wordt LM verkort getekend. 5a 6a 5 K 3 e linker figuur is niet in parallelprojetie getekend want de evenwijdige lijnen en zijn niet evenwijdig getekend, maar lopen naar elkaar toe. In opdraht 3 liep het tekenvlak door en de middens van en en dus evenwijdig aan. ier is het tekenvlak iets gedraaid. ladzijde 142 Uit oven- en vooraanziht lijkt dat het linkerzijaanziht een gelijkenige driehoek is. In dit aanziht vallen en, en en en samen. Noem het midden van punt. eken en, maak de driehoek af. 3 2 2 2 2 2 2 2 = + = 2 + 3 = 13 = 13 Noem het punt in het grondvlak reht onder punt en het midden van punt K. 2 2 2 2 2 2 2 r geldt dan: K = + K K = 3 + 4 K = 25 K = 25 = 5 2 2 2 2 2 2 2 = K + K = 2 + 5 = 29 = 29 en = 29. L Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1 4 R M 107
d e 7a 108 ij een ouwplaat van deze figuur sla je de zijvlakken naar uiten. ijvooreeld ij het ovenaanziht zijn de rien,,, en op ware grootte. ij het vooraanziht zijn de rien en op ware grootte. ij het zijaanziht zijn de rien, en op ware grootte. ij de ouwplaat zijn alle rien op ware grootte. ladzijde 143 In het vooraanziht vallen de punten en, en en en samen. eken ook. Zie de linker tekening hieronder. In het zijaanziht vallen de punten en, en en en samen. eken ook. Zie de rehter tekening hieronder. 2 2 2 2 2 2 2 = + = 2 + 4 = 20 = 20 45, 2 2 2 2 2 2 2 = + = 3 + 2 = 13 = 13 36, 2 2 2 2 2 2 2 = + = 3 + 4 = 25 = 25 = 5 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1
egin de uitslag met de rehthoeken, en te tekenen en vervolgens de driehoeken, en. eken tenslotte met de gegevens van opdraht driehoek. 8 et kunstwerk estaat uit vier gelijkenige driehoeken met asis 1 meter en zijden 2 meter. Op shaal wordt dit dan 2,5 m. en 5 m. 2 m 1 2 2 m 5 m 5 m 5 m 5 m 5 m 1 2 2 m 1 2 1 2 2 m 9a Omdat = = 90 ligt punt oven rie. ovendien is M loodreht op. aarom is M de hoogte. In de uitslag heen het andere lijnstuk en de twee lijnstukken dezelfde lengte. M Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1 109
d 10 11a 12a 110 et zijaanziht geeft de meeste, maar niet alle, informatie. aar in is te zien dat loodreht oven staat. ladzijde 144 e snijlijn met het voorvlak en die met het ahtervlak zijn niet evenwijdig en dat zijn ze ij doorzagen wel. Je moet of zo vershuiven dat evenwijdig loopt met. In het linker ovenaanziht hieronder is vershoven, in het rehter ovenaanziht is vershoven. eken R evenwijdig aan en teken vervolgens R. Vlak R is de doorsnede van vlak V met het prisma. R Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1
13a 14a 15a ladzijde 145 Vlak V kan zeker niet door gaan want de snijlijn van V met vlak is de lijn en daar ligt niet op. Vlak V kan niet door gaan want de snijlijn van V met vlak moet evenwijdig zijn aan en is dat niet. eken en teken, want omdat en eide het midden zijn van de rie is evenwijdig met. teken vervolgens en. Vlak is de doorsnede van vlak V met de alk. ij een prisma zijn onder en ovenvlak evenwijdig. de snijlijnen van het vlak met het prisma moeten dan ook evenwijdig zijn. SR en zijn niet evenwijdig. eken de lijn door punt evenwijdig SR. Maak de doorsnede af. S R eken de lijn door S evenwijdig. Maak de doorsnede af. S Ook de tweede doorsnede is een gelijkzijdige driehoek. e volgende doorsnede is een gelijkzijdige zeshoek. Vervolgens weer twee gelijkzijdige driehoeken. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1 111
16a 112 et eerste stuk is een piramide met grondvlak een gelijkzijdige driehoek met zijde 8 en drie gelijkenig rehthoekige driehoeken. iguur I. et tweede stuk is een afgeknotte piramide. iguur II. Kim denkt aan de uitspraak: Wanneer twee evenwijdige vlakken gesneden worden door een derde dan zijn de snijlijnen evenwijdig. e fout die zij maakt is dat je deze uitspraak niet mag omdraaien. Wanneer twee snijlijnen evenwijdig zijn volgt hieruit niet dat de twee vlakken die gesneden worden ook evenwijdig zijn. Ja, want nu worden de twee evenwijdige vlakken, V en W, gesneden door vlak en dan zijn de snijlijnen en SR evenwijdig. eken de lijn door S evenwijdig aan. eken de lijn door S evenwijdig en de lijn door R evenwijdig. Maak het vlak af. S Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1
ladzijde 146 17a en doorsnede wordt gevormd door de snijlijnen met het uitenoppervlak. Lijnstuk ligt daar niet op. V snijdt ook het voorvlak en het grondvlak. Vlak V snijdt de rie, daarom ligt punt onder vlak V. d Om dezelfde reden ligt punt oven vlak V. 18 19a K ladzijde 147 e vlakken K en L zijn evenwijdig. eken de lijn door L evenwijdig. L e vlakken en zijn evenwijdig. eken de lijn door evenwijdig aan. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1 113
d e 114 U kan het vlak door KL loodreht op het grondvlak zijn zoals hieronder, maar ook zijn alle vlakken die hier evenwijdig aan zijn rehthoeken. K ijvooreeld: K L L eken de lijnen en door naar oven en teken een lijn door K evenwijdig aan, deze snijdt in punt M en in punt N. M snijdt in punt en N snijdt in punt. e doorsnede is vlak K. M K N Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1 L
20a d e f 21a S het diagonaalvlak snijdt de zijvlakken van het regel;matig viervlak volgens, S en S. an is S de doorsnede. e doorsnede is een gelijkenige driehoek. Ja, deze heen allemaal dezelfde vorm en afmetingen. e doorsnede van V met de tetraëder is een vierkant. eken in het ovenvlak evenwijdig aan. Vlak is dan een gelijkenige driehoek. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1 115
116 Ook een vijfhoekige of een zeshoekige doorsnede is mogelijk. ladzijde 148 22a is op ware grootte getekend. riehoek is gelijkzijdig. 2 2 2 2 2 2 2 = + = 4 + 4 = 32 = 32 566,. = = = 32 d Vanuit de rihting zie je de driehoek op ware grootte, want dan kijk je er loodreht op. e ladzijde 149 2 2 2 2 2 2 2 23 = + = 3 + 3 = 18 = 18 424, 2 2 2 2 2 2 2 = + = 3 + ( 7 2) = 34 = 34 5, 83 2 2 2 2 2 2 2 = + = 3 + 5 = 34 = 34 583, 18 34 34 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1
24a eken R evenwijdig aan. 2 R 3 3 1 3 3 4 Omdat R evenwijdig is met en evenwijdig is met R is R een parallellogram. Verder geldt: 2 2 2 2 2 2 2 = + = 1 + 3 = 10 = 10 2 2 2 2 = ( 2 1) + 3 = 10 = 10. an is R een ruit. 2 2 2 = 3 + 3 = 18 424, en = 18 4, 24 e diagonalen van de ruit zijn en R. 2 2 2 R d = 2 + ( 18) = 22 = 22 4, 69 R = = 18 424, Omdat de diagonalen van een ruit elkaar loodreht middendoor delen, kun je de ruit nu op ware grootte tekenen. R Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1 117
118 25 erst de zijden van de doorsnede uitrekenen dan de tekening maken. 2 2 2 = 6 + 3 = 45 = 45 671, 2 2 2 = 4 + 3 = 25 = 5 2 2 2 = 6 + 4 = 52 = 52 721, 5 45 2 2 2 26a e hoek = 6 + 6 = 72 = 72 849, punten van de otaëder zijn de snijpunten van de diagonalen van de vlakken van de kuus. R S R S Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1
27a d e 28ad e doorsnede wordt gevormd door de middens van en, en de snijpunten van en met de kuotaëder. RSU is de gevraagde doorsnede U S e kuotaëder estaat uit aht gelijkzijdige driehoeken en zes vierkanten. U S Wanneer je de doorsneden in driehoeken verdeeld estaat de doorsnede van opdraht 26 uit vier driehoeken en die van opdraht 27d uit twaalf driehoeken. e doorsnede van 27d is dan drie keer zo groot. ladzijde 150 U R Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1 119
29a 120,, et lihaam heeft aht gelijkenige driehoeken als zijvlakken. Vier heen dezelfde afmetingen en de andere vier ook. d e doorsnede is een gelijkenig trapezium. e = 4 2 566, en de ovenzijde van het trapezium is 2 2 283,,, en liggen in twee vershillende horizontale vlakken. wanneer deze lijnstukken op één lijn zouden liggen moeten de vlakken samenvallen en dat is niet het geval. eken door de lijn evenwijdig aan en daarna in het ovenste vlak een lijn evenwijdig. eken door de lijn evenwijdig aan en daarna in het onderste vlak een lijn evenwijdig. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1
30a ladzijde 151 M' M R M'' M ' = 45 ( gelijkenigrehthoekig) R = 90 M' + R+ M'' R = 180 M '' R = 45 ( gelijkenigrehthoekig) M, en M liggen op één lijn. en M M snijden elkaar in. door twee snijdende lijnen gaat één vlak, vlak M M. e afstand van M tot de vier hoekpunten van het ovenvlak en de afstand van M tot de vier hoekpunten van het rehterzijvlak, zijn gelijk aan de afstand van M tot de hoekpunten van de kuus. us geldt M = M = M = M en dan is M M een ruit. d e ruit M M ligt op rie. oor M te spiegelen in alle vlakken ontstaan op alle rien zulke ruiten. In totaal zijn er dan dus 12 ruiten. e f I-1a - - M M' R M'' e oorspronkelijke kuus estaat uit zes piramides met M als top en een zijvlak als grondvlak. eze piramides worden gespiegeld en aan de figuur toegevoegd. e inhoud van de nieuwe figuur is dan twee keer zo groot geworden. ladzijde 152 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1 121
122 Nee dat lukt niet. d Wanneer je de kuus doorzaagt langs J en dan wordt de zaagsnede met vlak een lijn evenwijdig aan en niet JI. e unt J moet dan zo liggen dat J = 1 4. ladzijde 153 I-2a - IK is evenwijdig met J, waarij K op ligt zodat K = eken vervolgens KJ. IKJ is de doorsnede. - I-3a e I-4a I-5a 1 4. e snijlijn van vlak V met zijvlak is de lijn en daar ligt punt niet op. e vlakken en zijn evenwijdig. e snijlijnen van V met deze vlakken zijn dan ook evenwijdig. is niet evenwijdig met. unt ligt dan niet in vlak V. Kies de alk ij figuren en verdeel de rien in tweeën. Kies teken vlak en geef de drie punten, en aan. Je ziet dat het vlak inderdaad niet door punt en punt gaat. et vlak gaat wel door punt omdat evenwijdig is met. Kies de kuus en teken lijn. Verdeel de rien in twee delen. eken vervolgens de vijf doorsneden zoals hieronder. ie doorsnede heeft de vorm van een gelijkzijdige driehoek. e andere doorsneden zijn ahtereenvolgens: een gelijkzijdige driehoek, een gelijkzijdige zeshoek, een gelijkzijdige driehoek en weer een gelijkzijdige driehoek. d - e - f e uitslag van opdraht e estaat uit een gelijkzijdige driehoek met zijden van 50 71, m. en drie rehthoekig gelijkenige driehoeken met zijden van 5 m. Kim denkt aan de uitspraak: Wanneer twee evenwijdige vlakken gesneden worden door een derde dan zijn de snijlijnen evenwijdig. e fout die zij maakt is dat je deze uitspraak niet mag omdraaien. Wanneer twee snijlijnen evenwijdig zijn volgt hieruit niet dat de twee vlakken die gesneden worden ook evenwijdig zijn. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1
Ja, want nu worden de twee evenwijdige vlakken, V en W, gesneden door vlak en dan zijn de snijlijnen en SR evenwijdig. - d Ja. ladzijde 156-1 - eken het grondvlak met = 8 en = 4 (de helft van de werkelijke lengte) onder een hoek van 150 met. Maak het grondvlak af. - eken de diagonalen en, deze snijden in punt S. - eken S loodreht op en S = 6. - eken,, en. enk om het stippelen van de onzihtare lijnen. S -2a unt ligt op het verlengde van in de uitslag dat etekent dat punt ergens oven zijde moet liggen. Omdat = 90 volgt daaruit dat punt reht oven punt ligt. - eken = 3 op zijde met = 90 en maak driehoek af. - irkel vanuit punt om en vanuit punt. e irkelogen snijden in punt. Maak driehoek af. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1 123
-3a -4a 124 ligt voor het midden van. In het vooraanziht vallen punt en punt samen. vooraanziht zijaanziht ovenaanziht et wateroppervlak kun je opvatten als een vlak dat twee evenwijdige vlakken snijdt, voor- en ahtervlak, dan zijn de snijlijnen evenwijdig. Om dezelfde reden zijn de snijlijnen met de eide zijvlakken evenwijdig. r zijn dus twee paar evenwijdige zijden. e snijlijnen met voor- en ahtervlak en met de zijvlakken lijven evenwijdig. Omdat het vlak hoger ligt is het nu een vierhoek een parallellogram, geworden e vorm verandert wanneer je doorgaat met water erin gieten inderdaad. erst zal er een vijhoek ontstaan, vervolgens weer een vierhoek en wanneer het wateroppervlak door gaat ontstaat een driehoek U Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1
Noem het snijpunt van en punt S. 2 2 2 2 = + = 16 + 16 = 32 = 32 566, S 2, 83 2 2 2 2 2 = S + S 16 = 8+ S S = 16 8= 8 S = 8 283, unt ligt 8 2, 83 oven vlak., U, unt M ligt in het vlak U. et vlak zal de rie U ook in het midden, punt N, snijden. e doorsnede is dan vlak NM. d M N e doorsnede is een ruit want alle zijden zijn even lang. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1 125
-5a 126 ladzijde 157 2,5 M 2,5 S' S R en alk van soort I is ijvooreeld. e lengte daarvan is: 2 2 2 = 2, 5 + 6 = 6, 25 + 36 = 42, 25 = 42, 25 = 6, 5meter. r zijn aht van deze alken. en alk van soort II is ijvooreeld R. eze is 5 meter. r zijn twee van deze alken. en alk van soort III is ijvooreeld S. = 50 S' = 1 2 50 S 2 = SS ' 2 + S ' 2 S 2 = 6 2 + ( 1 50) 2 = 36+ 125, = 48, 5 S 696, meter. 2 r zijn vier van deze alken. e totale lengte van de alken die zijn geruikt wordt dan: 8 6, 25 + 2 5+ 4 6, 96 87, 84 meter. ijvooreeld vlak S. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1
e doorsnede is een gelijkenige driehoek met een asis van 50 707, meter en opstaande zijden van 6,96 meter. d -6a III III Op 3 meter hoogte, halverwege, is de vorm van de vloer een kruisvormig.. 2,5 m 1,25 m Omdat de dakvlakken ruiten zijn is het ovenaanziht een vierkant 6 m ovenaanziht 6 m vooraanziht e diagonaal van het vierkant grondvlak heeft een lengte van 36 + 36 = 72. e korte diagonaal van het ruitvormige dakvlak verindt twee middens van de zijde van het vierkant en is dan 1 72 424, meter lang. 2 Omdat het ruitvormige gedeelte een plat vlak is is de hoogte KL = 1 2 S = 5 meter. eken eerst het vierkant grondvlak van 6 ij 6 meter in parallelprojetie, daarna KL=5 meter en de andere linstukken naar de toppen van de driehoeken. teken S = 10 meter. Maak de figuur af. 5 m Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1 127
d -7a d 128 K L S Op 5 meter van de top, dat is op een hoogte van 2,5 meter van het grondvlak, dus halverwege KL. e vloer heeft de vorm van een ahthoek, met om en om een zijde van 1 2 6 = 3 meter en een zijde van 1 2 4,24 = 2,12 meter (de helft van de korte diagonaal van de ruit.) en voordeel van een uitslag is dat alle rien en hoeken op ware grootte getekend zijn. en nadeel is dat je er meestal niet zo n goed eeld van kan vormen. en voordeel van aanzihten is dat je de hoogte, reedte en diepte van een lihaam goed kunt aflezen. en nadeel van aanzihten is dat je niet weet hoe de punten en lijnstukken ten opzihte van elkaar liggen, omdat punten in een aanziht vaak samenvallen. en ander nadeel van een aanziht is dat evenwijdigheid en afmeting van lijnstukken en hoeken meestal niet te epalen is. Volgens de regels uit het hoofdstuk moet je door een lijn tekenen evenwijdig aan R, maar daarna kun je niet de doorsnede met het grondvlak tekenen omdat R het grondvlak niet tussen en snijdt. ls en op dezelfde hoogte liggen dan kan het wel, want dan is evenwijdig met. - eken een lijn door evenwijdig R deze snijdt in punt S. - eken een lijn door S evenwijdig, deze snijdt in het punt. - eken en een lijn door evenwijdig aan, deze snijdt in punt U. - SRU is de gevraagde doorsnede. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 1