Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode M.van der Pijl.

Transcriptie

1 Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode M.van der Pijl Transfer Dataase

2 ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie en Hoger Beroepsonderwijs. Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze leermiddelen: of via onze klantenservice (088) ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 01. Alle rechten voorehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensestand, of openaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16 Auteurswet j o het Besluit van augustus 1985, Stl., dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Pulicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postus 060, 10 KB Hoofddorp ( Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in loemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 191) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het geruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke epalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

3 1 Vierhoeken Vierhoeken 1 1. Oppervlakte en omtrek van rechthoeken en vierkanten 1. Oppervlakte parallellogram, ruit en vlieger Oppervlakte trapezium 6 Veelhoeken 9.1 Regelmatige veelhoeken 9. Het getal pi 10 Cirkel en cirkelsector 15.1 Cirkel 15. Cirkelringen 18. Cirkelsector 0 4 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren Balk en kuus 4 4. Het prisma en de piramide 6 4. De ol De cilinder 4.5 De kegel 4 5 Ruimtelijke lichamen in de praktijk Samengestelde lichamen 9 5. Berekeningen van lijnstukken in lichamen 5

4

5 1 Vierhoeken 1 Vierhoeken D C A B Figuur 1 De hoeken van een vierhoek zijn samen 60. Dit is gemakkelijk te zien als we in de vierhoek een diagonaal trekken: we krijgen dan twee driehoeken. Zie figuur 1. Van een driehoek weten we immers dat de som van de hoeken 180 is. Oefeningen 1 R 1 T S Z 5 P U Figuur Q a Welke vierhoeken evat de gelijkzijdige driehoek PQR in figuur? ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

6 Vierhoeken Bereken van deze vierhoeken ook de grootte van de hoeken. We gaan de volgende vierhoeken ehandelen: 1. rechthoek. vierkant. parallellogram 4. ruit 5. vlieger 6. trapezium Ingewikkelder figuren kunnen we meestal wel samenstellen uit rechthoeken, driehoeken en parallellogrammen. We zullen zien hoe we de omtrek en de oppervlakte kunnen erekenen. Oppervlakte en omtrek van rechthoeken en vierkanten Een rechthoek is een figuur waarij de twee tegenover elkaar liggende zijden even lang en evenwijdig aan elkaar zijn. Alle hoeken zijn 90. Zie figuur a. De oppervlakte kunnen we erekenen met lengte maal reedte. In formulevorm: A = l De omtrek kunnen we erekenen door twee maal de lengte te nemen en twee maal de reedte hierij op te tellen, in formulevorm: O = l + Een ijzonder soort rechthoek is het vierkant: hierij zijn alle zijden even lang. Zie figuur. Voor het erekenen van de oppervlakte geldt zijde maal zijde, of ook wel de zijde in het kwadraat. In formulevorm: A = z De omtrek erekenen we door viermaal de zijde te nemen, in formulevorm: O = 4 z D C D C reedte zijde A lengte B A zijde B Figuur a. Rechthoek. Vierkant ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

7 Vierhoeken V. 1 Gegeven Een rechthoek heeft een lengte van 8cm en een reedte van 6cm. Gevraagd a. Bereken de omtrek.. Bereken de oppervlakte. Oplossing a. O = l + O = 8 cm + 6 cm = 8 cm. A = l A = 8 cm 6 cm = 48 cm Oefeningen Een rechthoek heeft een lengte van 1cm en een reedte van 8cm. a Bereken de omtrek. Bereken de oppervlakte. De oppervlakte van een rechthoek is 49, cm, terwijl de reedte 4, 1cm is. a Bereken de lengte. Bereken de omtrek. 4 De omtrek van een rechthoek is 5, 6cm. De reedte is 6, cm. a Bereken de lengte. Bereken de oppervlakte. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

8 4 Vierhoeken 5 Een vierkant heeft een zijde van 1cm. a Bereken de omtrek. Bereken de oppervlakte. 6 Een vierkant heeft een omtrek van, 8cm. a Bereken de lengte van de zijde. Bereken de oppervlakte. 7 Een vierkant heeft een oppervlakte van 1, 1cm. a Bereken de lengte van de zijde. Bereken de omtrek. Oppervlakte parallellogram, ruit en vlieger Een parallellogram is een vierhoek waarij de zijden die tegenover elkaar liggen, gelijk en evenwijdig zijn. De overstaande hoeken zijn gelijk. Zie figuur 4a en figuur 4. De oppervlakte van een parallellogram erekenen we met asis maal de hoogte. In formulevorm: A = h R M hoogte D C S hoogte A zijde of asis B zijde of asis P Q diagonalen Figuur 4 a. Parallellogram. Parallellogram c. Ruit N K L ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

9 Vierhoeken 5 Een ruit is een ijzondere vorm van een parallellogram. Zie figuur 4c: a. Alle zijden zijn even lang.. De diagonalen staan loodrecht op elkaar en delen elkaar doormidden. De oppervlakte van een ruit kunnen we op twee manieren erekenen: 1. met de formule voor de oppervlakte van een parallellogram; 1. met de formule: A = d1 d Deze formule kan ook worden geruikt voor de erekening van de oppervlakte van een vlieger. Ook hier staan de diagonalen loodrecht op elkaar. V. Gegeven Voor het parallellogram in figuur 4a geldt dat de asis 4 cm en de hoogte 4 cm is. Gevraagd Bereken de oppervlakte. Oplossing A = h A = 4 cm 4 cm = 96cm Oefeningen 8 Voor het parallellogram in figuur 4a geldt dat de asis 1cm en de hoogte 7cm is. Bereken de oppervlakte. 9 Een parallellogram heeft een oppervlakte van 10cm. De hoogte is 1cm. Bereken de asis. 10 Een parallellogram heeft een oppervlakte van 1, 9cm. De asis is 7, 6cm. Bereken de hoogte. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

10 6 Vierhoeken 11 Van een ruit zijn de diagonalen respectievelijk 8cm en 1, dm lang. Bereken de oppervlakte in cm. 1 Een vlieger heeft een diagonaal van 4 cm en een oppervlakte van 144 cm. Bereken de lengte van de andere diagonaal. 1 Een ruit heeft een oppervlakte van 0, 14 cm. De langste diagonaal is 7, 6cm. Bereken de kortste diagonaal. 4 Oppervlakte trapezium Als laatste vierhoek ekijken we het trapezium. Zie figuur 5. C D F h A B Figuur 5 De oppervlakte van een trapezium kunnen we erekenen met de formule: 1 A = h ( AB + CD) ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

11 Vierhoeken 7 V. Gegeven Voor het trapezium van figuur 5 geldt: AB = 5cm ; CD = cm ; h = 4 cm Gevraagd Bereken de oppervlakte. Oplossing 1 1 A = h ( AB + CD) A = 4 cm ( 5 cm + cm) = 16cm Oefeningen 14 Voor het trapezium van figuur 5 geldt: AB = 6cm ; CD =, 1cm ; h =, 0cm. Bereken de oppervlakte. 15 Het in figuur 5 weergegeven trapezium heeft een oppervlakte van 15, cm. De hoogte is, 8cm en CD =, 9cm. Bereken AB. 16 De oppervlakte van figuur 5 is 74, 75cm. Verder is gegeven dat AB = 14, cm en CD = 8, 8cm. Bereken de hoogte. 17 De oppervlakte van het trapezium in figuur 5 is 00cm. Verder is gegeven dat de hoogte 1cm is en AB =,dm. Bereken de lengte CD in cm. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

12 8 Vierhoeken Antwoorden 1a RTZS ; PTZU ; QSZU P = R = Q = 60 T1 = T = S1 = U1 = S = U = 90 Z1, = Z, 4 = Z5, 6 = 10 a 40 cm 96cm a 1cm,cm 4a 11, 6cm 71, 9cm 5a 5cm 169cm 6a 8, cm 67, 4 cm 7a 11, 1cm 44, 4 cm 8 84 cm 9 8, 5cm 10 4, cm 11 48cm 1 1cm 1 5, cm 14 1, 65cm 15 5, 1cm 16 6, 5cm cm ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

13 Veelhoeken 1 Regelmatige veelhoeken Voor meetkundige figuren met meer dan vier zijden geruiken we vaak de verzamel naam veelhoeken. Als we te maken heen met regelmatige veelhoeken, kunnen we hun omtrek en oppervlakte erekenen door deze te verdelen in ekende drie- of vierhoeken. In figuur 1 zien we een regelmatige achthoek getekend met daarin een gelijkenige driehoek MA 1 A. Hierin geldt MA1 = MA en M = 45. Door de rotatie om punt M over een hoek van 45 gaat MA 1 A over in MA A, waarij A 1 met A samenvalt en A in A komt. Door dezelfde rotatie gaat MA A over in MA A 4. Door deze rotatie herhaald uit te voeren, krijgen we achthoek A A A A A A A A A A 4 A A 5 M 45 o R a 8 A 1 A 6 A 8 A 7 Figuur 1 ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

14 10 Veelhoeken Voor deze achthoek geldt: MA1 = MA = MA =... = MA8 en A1 = A = A =... = A8 MA1 = R is de straal van de omgeschreven cirkel van deze achthoek. A1 A = a8 Van deze regelmatige achthoek weten we nu: Alle zijden zijn even lang. Alle hoeken zijn even groot. Een veelhoek waarvan alle zijden even lang en alle hoeken even groot zijn, noemen we een regelmatige veelhoek. Een regelmatige veelhoek heeft een omgeschreven cirkel. Een regelmatige n-hoek heeft n hoeken en n zijden. In de figuur is een deel van een regelmatige n-hoek met omgeschreven cirkel getekend. Zie figuur. A R A M R 60 o n R 180 o n P A 1 R A n Figuur Geven we de lengte van een zijde van een regelmatige n-hoek aan met a n, dan kunnen we de lengte van a n uitrekenen met de formule: 180 an = R sin n Noemen we A n de oppervlakte van een n-hoek, dan kunnen we deze oppervlakte erekenen met de formule: 1 An = n R sin 60 n ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

15 Veelhoeken 11 V. 1 Gegeven De straal R van de omgeschreven cirkel van een regelmatige driehoek is 10cm. Gevraagd a. Bereken a.. Bereken A. Oplossing a. an = R sin a = 10cm sin = 17, cm n An = n R sin A = ( 10cm) sin = 19, 9cm n Oefeningen 1 Gegeven is een regelmatige tienhoek. De straal van de omgeschreven cirkel is 0cm. a Bereken de zijde a 10. Bereken de oppervlakte A 10. De straal van de omgeschreven cirkel van een regelmatige vijfhoek is 0cm. a Bereken de zijde a 5. Bereken de oppervlakte A 5. Gegeven is een regelmatige zeshoek. De straal van de omgeschreven cirkel is 4 cm. a Bereken de zijde a 6. Bereken de oppervlakte A 6. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

16 1 Veelhoeken 4 De straal van de omgeschreven cirkel van een regelmatige achthoek is 15cm. a Bereken de zijde a 8. Bereken de oppervlakte A 8. 5 De lengte van een zijde van een regelmatige n-hoek is 1,1cm. De straal van de omgeschreven cirkel is 15 cm. Bereken n. 6 Gegeven is een regelmatige twaalfhoek. De straal van de omgeschreven cirkel is 6 cm. a Bereken de zijde a 1. Bereken de oppervlakte A 1. Het getal pi Voor het erekenen van de omtrek van een cirkel met straal R geruiken we de formule: O = π R. Hierij is π een constante met een waarde van ongeveer, Bij erekeningen geruiken we de π -toets op onze rekenmachine. Oefeningen 7 De straal van de omgeschreven cirkel van een regelmatig zevenhoek is 0,5cm. a Bereken a 7. Bereken de omtrek van deze zevenhoek. c Bereken de omtrek van de omgeschreven cirkel. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

17 Veelhoeken 1 8 De straal van de omgeschreven cirkel van een regelmatige zestienhoek is 0,5m. a Bereken a 16. Bereken de omtrek van deze zestienhoek. c Bereken de omtrek van de omgeschreven cirkel. 9 Gegeven is een regelmatige dertighoek en een omgeschreven cirkel met R = 0, 5dm. a Bereken a 0. Bereken de omtrek van deze dertighoek. c Bereken de omtrek van de omgeschreven cirkel. 10 Gegeven is een regelmatige zestighoek en een omgeschreven cirkel met R = 0, 5cm. a Bereken a 60. Bereken de omtrek van deze zestighoek. c Bereken de omtrek van de omgeschreven cirkel. 11 Als we de omtrek van een zestighoek vergelijken met de omtrek van een cirkel, wat valt dan op? ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

18 14 Veelhoeken Oefeningen 1a 18, 5cm 645cm a, 5 cm 951, 1cm a 4 cm 41, 6 cm 4a 11, 5cm 66, 4 cm 5 4 6a, 1cm 108cm 7a 0, 49cm, 07cm c, 14cm 8a 0, 1951m, 116m c,14 m 9a c 10a c 0,8660 dm 5,98 dm,14dm 0,05cm,18 cm,14cm 11 De omtrek van een zestighoek enadert de omtrek van een cirkel. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

19 middellijn Cirkel en cirkelsector 1 Cirkel In figuur 1 zien we een cirkel. Het middelpunt van de cirkel duiden we meestal aan met de letter M. Verder onderscheiden we de egrippen diameter (middellijn) d en de straal r. Bij het erekenen van de omtrek en de oppervlakte komen we verder het getal pi ( π ) tegen. π =, (afgerond, 14 ). straal Figuur 1 De omtrek van een cirkel De omtrek van een cirkel kunnen we op twee manieren erekenen: a. Met ehulp van de diameter van de cirkel. In woorden: omtrek is pi maal de diameter. In formulevorm: O = π d. Met ehulp van de straal van de cirkel. In woorden: omtrek is tweemaal pi maal de straal. In formulevorm: O = π r De diameter is tweemaal de straal of d = r ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

20 16 Cirkel en cirkelsector De oppervlakte van een cirkel Ook de oppervlakte van een cirkel kunnen we op twee manieren erekenen: a. met de straal r : in woorden: oppervlakte is pi maal de straal in het kwadraat. in formulevorm: A = π r. met de diameter d : in woorden: oppervlakte is een kwart maal pi maal de diameter in het kwadraat. 1 in formulevorm: A = π d 4 V. 1 Gegeven In figuur 1 is de straal 6 cm. Gevraagd a. Bereken de omtrek.. Bereken de oppervlakte. Oplossing a. O = π r O = π 6cm = 7, 70 cm. A = π r A = π ( 6cm) = 11, 10 cm Oefeningen 1 Bereken in decimalen na de komma nauwkeurig de omtrek van de cirkel als: a d = 5 mm r = 4, 7 mm c d = 81, 4 mm ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

21 Cirkel en cirkelsector 17 Bereken in decimalen achter de komma nauwkeurig de oppervlakte van de cirkel als: a r = 67 mm d = 1, 7 mm c r = 481 mm De omtrek van een cirkel is 106, 8 mm. a Bereken de straal. Bereken de middellijn. c Bereken de oppervlakte. 4 Van een cirkel is de oppervlakte 0 cm. a Bereken de straal. Bereken de middellijn. c Bereken de omtrek. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

22 18 Cirkel en cirkelsector Cirkelringen In figuur is een cirkelring weergegeven. We zien een middelpunt M, de straal van de uitencirkel r en de straal van de innencirkel r 1. De oppervlakte van de ring kunnen we erekenen met de formule: oppervlakte = π r π r 1 r M r 1 Figuur Oefeningen 5 In figuur zijn r 1 = cm en r = cm. Bereken de oppervlakte van de cirkelring. 6 Bereken in 1 decimaal na de komma nauwkeurig de oppervlakte van de cirkelringen waarvan: a r = mm en r = 7 mm 1 r = 10, 5 cm en r = 0, 8 cm 1 c r = 5, 7 mm en r = 64, 8 mm 1 ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

23 Cirkel en cirkelsector 19 7 De kogels in een kogellager evinden zich tussen een ewegende en een stilstaande ring. Zie figuur. De uitenste, stilstaande ring heeft een diameter van 47, 0 mm. De diameter van het gat is 0, 0 mm. Bereken de oppervlakte van het kogellager. Figuur 0,0 mm 47,0 mm 8 De oppervlakte van een ring is 154, 8 cm. De straal van de innencirkel is 61 mm. Bereken de straal van de uitencirkel. 9 De oppervlakte van een ring is 51, 9 mm, terwijl de uitendiameter 51, mm is. Bereken de innendiameter. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

24 0 Cirkel en cirkelsector Cirkelsector In figuur 4 is een cirkelsector getekend met een middelpunthoek α. Ook het ontrekende stuk van de cirkel is een cirkelsector. α Figuur 4 De oppervlakte van een cirkelsector erekenen we als volgt: oppervlakte is cirkelhoek gedeeld door 60 maal pi maal de straal in het kwadraat. α In formulevorm: A = π r 60 De lengte van een cirkeloog Een cirkeloog is het geogen deel van de omtrek van een cirkelsector. Zie figuur 5. α cirkeloog Figuur 5 α De lengte van een cirkeloog l C is gelijk aan maal de omtrek van de hele cirkel. 60 α In formulevorm: lc = π r 60 ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

25 Cirkel en cirkelsector 1 V. Gegeven In figuur 5 is de straal 8 cm en α = 45. Gevraagd a. Bereken de oppervlakte van de cirkelsector.. Bereken de lengte van de cirkeloog. Oplossing α 45 a. A = π r A = π ( 8cm) = 5, 1cm α 45. lc = π r lc = π 8 cm = 6, cm Oefeningen 10 Bereken de lengte van de cirkelogen als gegeven is: a r = 5 cm, α = 60 r = 16, 8 cm, α = 15 c r = 7, 5 mm, α = Op een cirkel met een straal r = 15 cm ligt een oog met een lengte van 0 cm. Bereken de ijehorende middelpunthoek α in 1 decimaal nauwkeurig. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

26 Cirkel en cirkelsector 1 Bereken de oppervlakte van de cirkelsectoren als gegeven is: a r = 14 cm, α = 7 r = 19, 5 cm, α = 150 c r =, 4 mm, α = 15 1 De oppervlakte van een cirkelsector is 5, 5 cm. De straal van de cirkel is 7, 5 cm. a Bereken de middelpunthoek α van deze sector. Bereken de lengte van de oog van deze sector. 14 In figuur 6 zien we het lad getekend van een ureau. 150 cm 80 cm Figuur 6 a Bereken de oppervlakte van het lad. De randen van het lad moet eplakt worden met een kunststof rand. Bereken de lengte van deze rand van kunststof. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

27 Cirkel en cirkelsector Antwoorden 1a 78, 54 mm 9, 5mm c 55, 7mm a , 61mm, 7mm c , 0mm a 17, 0 mm 4, 0 mm c 907, 9mm 4a 10, 1cm 0, cm c 6, 5cm 5 15, 7cm 6a 15, 7mm 101, 8cm c 41, mm 7 108, 1mm 8 9, cm 9 46, 6mm 10a 6, cm 9, 6cm c 58, 9mm 11 76, 4 1a 1, cm 497, 7cm c 71, 7mm 1a 51, 9 6, 8cm 14a 4, 15m 11, 97m ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

28 4 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 1 Balk en kuus hoogte Figuur 1 lengte reedte In figuur 1 is een alk getekend. Bij een alk zijn steeds de twee tegenover elkaar liggende vlakken gelijk. Alle vlakken zijn rechthoekig. De oppervlakte van een alk kunnen we erekenen door de oppervlakten van de afzonderlijke vlakken ij elkaar te tellen. Dus. oppervlakte = lengte reedte + reedte hoogte + lengte hoogte. Of in formulevorm: A = l + h + l h De inhoud of het volume erekenen we als volgt: Volume = lengte reedte hoogte. Of in formulevorm: V = l h zijde zijde zijde Figuur ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

29 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 5 In figuur zien we een kuus getekend, hierij zijn alle zijden gelijk, dus lengte = reedte = hoogte. Zo n zijde noemen we meestal rie. De oppervlakte van een kuus kunnen we weer erekenen door de oppervlakten van de afzonderlijke vlakken ij elkaar te tellen. Omdat deze vlakken gelijke vierkanten zijn, geldt voor de oppervlakte van een kuus: Oppervlakte = 6 zijde zijde Of in formulevorm: A = 6 z z = 6 z Voor de inhoud van een kuus geldt: Volume = zijde zijde zijde Of in formulevorm: V = z z z = z V. 1 Gegeven Voor een alk geldt: lengte = m ; reedte = m en hoogte = 5 dm. Gevraagd Oppervlakte en inhoud Oplossing Hoogte = 5 dm =, 5 m A = l + h + l h A = m m + m, 5m + m, 5m = 7m V = l h V = m m, 5m = 15m Oefeningen 1 Bereken de oppervlakte en de inhoud van een alk met de volgende afmetingen: l = m, = dm en h = 15 cm. Bereken de oppervlakte en het volume van een kuus met een rie van 1 cm. Van een alk is de oppervlakte 1090 cm. De lengte is 1 cm en de hoogte is, 1 dm. Bereken de reedte en het volume van de alk. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

30 6 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 4 De inhoud van een alk is 5, 5cm. De reedte is 1, dm, terwijl de hoogte 5, 7cm is. Bereken de lengte en de totale oppervlakte van deze alk. 5 Een kuus heeft een inhoud van 178 cm. Bereken de lengte van de zijde en de totale oppervlakte. 6 De totale oppervlakte van een kuus is A = 76 cm. Bereken de lengte van een zijde en de inhoud. Het prisma en de piramide In figuur is een driezijdig prisma getekend. Bij een prisma is de dwarsdoorsnede overal gelijk. Een prisma kan ook meer zijden heen. Deze zijden kunnen rechthoekig zijn, maar kunnen ook de vorm van een parallellogram heen. hoogte Figuur dwarsdoorsnede De oppervlakte van een prisma kunnen we erekenen door de oppervlakte van alle zijden ij elkaar op te tellen. Of in formulevorm: A = Σ A zijde De inhoud of het volume van een prisma erekenen we met: volume = oppervlakte dwarsdoorsnede hoogte ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

31 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 7 De dwarsdoorsnede loopt evenwijdig aan het grondvlak, de oppervlakte van de dwarsdoorsnede kunnen we vervangen door de oppervlakte van het grondvlak, dus ook geldt: volume = oppervlakte grondvlak hoogte Of in formulevorm: V = Agv h In figuur 4 is een piramide getekend. Ook nu kunnen we een dwarsdoorsnede tekenen. Merk op dat deze naar oven toe steeds kleiner wordt. T T dwarsdoorsnede hoogte A E D C T 1 F E T 1 B F Figuur 4 De oppervlakte van een piramide erekenen we door de oppervlakten van de grensvlakken ij elkaar op te tellen. Voor de piramide in figuur 4 geldt dan: oppervlakte piramide = 4 oppervlakte driehoek ABT + oppervlakte grondvlak 1 Of in formulevorm: A = 4 z hz + z = z hz + z waarij z = zijde grondvlak en h z = hoogte zijvlak. Tip: om de hoogte van driehoek ABT te erekenen, geruiken we de stelling van Pythagoras. De inhoud of het volume van een piramide erekenen we met: 1 volume = oppervlakte hoogte 1 Of in formulevorm: V = z h ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

32 8 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren V. Gegeven Van de piramide uit figuur 4 is het grondvlak een vierkant met een zijde van 6 cm. De hoogte van de piramide is 7 cm. Gevraagd a. Bereken het volume.. Bereken de totale oppervlakte. Oplossing 1 1 a. V = z h A = ( 6cm) 7cm = 84 cm. We erekenen eerst de hoogte h z van ABT met de stelling van Pythagoras. = + 7 = 58 h z = 58 = 7, 6cm A = z h + z h z z A = 6 cm 7, 6 cm + ( 6 cm) = 17, cm V. Gegeven Het prisma van figuur heeft als grondvlak een driehoek met een asis van 8 cm en een hoogte van 6 cm. De hoogte van het prisma is 18 cm. Gevraagd Bereken het volume van het prisma. Oplossing 1 V = Agv h V = 8cm 6cm 18cm = 4cm Oefeningen 7 De dwarsdoorsnede van figuur is een gelijkenige driehoek met gelijke rechthoekzijden van 6 cm. De zijvlakken zijn rechthoeken met een hoogte van 10 cm. a Bereken de schuine zijde s van de dwarsdoorsnede. Bereken de oppervlakte van het prisma. c Bereken het volume van het prisma. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

33 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 9 8 Het grondvlak van de piramide is een vierkant met zijden van 5 cm. De hoogte TT 1 = 15 cm. a Bereken de oppervlakte van de piramide. Bereken de inhoud van de piramide. 9 Een zijde van het grondvlak van een piramide is 5 cm. De hoogte edraagt 0 cm. a Bereken de oppervlakte van de piramide. Bereken de inhoud van de piramide. 10 Een zijde van het grondvlak van een piramide is 5 cm. De inhoud edraagt 000 cm. a Bereken de hoogte van de piramide. Bereken de oppervlakte van de piramide. 11 Het grondvlak van een prisma is een rechthoekige driehoek met rechthoekzijden van 6 cm en 7 cm. De inhoud is 16 cm. a Bereken de hoogte van het prisma. Bereken de oppervlakte van het prisma. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

34 0 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 1 Het grondvlak van een recht regelmatig prisma heeft 6 zijden van elk 8 cm. De hoogte edraagt 15 cm. a Bereken de omtrek van het grondvlak. Bepaal de oppervlakte van het grondvlak. c Bereken de totale oppervlakte van het prisma. d Bereken het volume van het prisma. De ol De oppervlakte van een ol erekenen we met: oppervlakte ol = 4 π straal Of in formulevorm: A = 4 π r 4 Voor de inhoud of het volume van een geldt: volume ol = π straal 4 Of in formulevorm: V = π r V. 4 Gegeven Een ol heeft een straal van 1, 5 m. Gevraagd Bereken de oppervlakte en de inhoud. Oplossing A = 4 π r A = 4 π ( 1, 5m) = 8, m 4 4 V = π r V = π ( 1, 5m) = 14, 1m ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

35 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 1 Oefeningen 1 Bereken de oppervlakte en de inhoud van een ol met een straal van m. 14 Bereken de oppervlakte en de inhoud van een ol met een middellijn van 6 cm. 15 Een ol heeft een oppervlakte van 100 cm. a Bereken de straal van de ol. Bepaal de inhoud van de ol. 16 Een ol heeft een inhoud van 50 cm. a Bereken de straal van de ol. Bereken de oppervlakte van deze ol. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

36 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 4 De cilinder Bij een cilinder zijn het grond- en ovenvlak cirkels. Zie figuur 5. De uitslag van de mantel is een rechthoek. Zie figuur 6. h r dwarsdoorsnede Figuur 5 π r h Figuur 5 mantel Voor de oppervlakte van een cilinder geldt dan ook: oppervlakte cilinder = oppervlakte cirkel + oppervlakte mantel In formulevorm: A = π r + π r h De inhoud of het volume van een cilinder erekenen we als volgt: volume cilinder = oppervlakte grondvlak hoogte In formulevorm: V = π r h ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

37 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren V. 5 Gegeven Een cilinder heeft een diameter van 18 cm en een hoogte van cm. Gevraagd Bereken de oppervlakte. Bereken de inhoud. Oplossing 1 1 r = d r = 18cm = 9cm A = π r + π r h A = π ( 9cm) + π 9cm cm = 175cm V = π r h V = π ( 9cm) cm = 5598, cm Oefeningen 17 Een conservenlik heeft een diameter van 10 cm en is 1, 7 cm hoog. a Bereken de oppervlakte van het lik. Bereken de inhoud van het lik. 18 Een ander lik heeft dezelfde inhoud van 750 cm en is 15 cm hoog. a Bereken de straal van de odem. Bereken de oppervlakte. 19 Een cilinder heeft een inhoud van 80 cm en een diameter van 8 cm. a Bereken de hoogte. Bereken de totale oppervlakte. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

38 4 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 0 De oppervlakte van de mantel van een cilinder is 0 cm. De straal is 4 cm. a Bereken de hoogte van de cilinder. Bereken de inhoud van de cilinder. 5 De kegel De kegel heeft als grondvlak een cirkel. De hoogte h is de afstand tussen de top T en het middelpunt van het grondvlak, r g is de lengte van de straal van het grondvlak. Zie figuur 7. T h r g A B Figuur 7 De uitslag van de mantel is een cirkelsector. Zie figuur 8. De straal van de cirkelsector is rm = TA. α T A r m B Figuur 8 ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

39 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 5 Voor de oppervlakte van een kegel geldt: oppervlakte kegel = oppervlakte grondvlak + oppervlakte cirkelsector α Of in formulevorm: A = π rg + π rm. Dit is te herleiden tot: 60 A = π r + π r r g g m De inhoud of het volume van een cilinder erekenen we als volgt: 1 inhoud kegel = oppervlakte grondvlak hoogte 1 In formulevorm: V = π rg h V. 6 Gegeven Het grondvlak van de kegel van figuur 8 heeft een straal van 5 cm. De hoogte van de kegel is 8 cm. Gevraagd Bereken de oppervlakte. Bereken de inhoud. Oplossing Om r m uit te rekenen, geruiken we de stelling van Pythagoras. m g r = h + r r m = = 89 r m = 89 = 9, 4cm A = π r + π r r A = π ( 5cm) + π 5cm 9, 4cm = 6, 4 cm g g m 1 1 V = π rg h V = π ( 5cm) 8cm = 09, 4 cm Oefeningen 1 Een kerktoren heeft een diameter van 7 m. De spits is 5 m hoog. a Bereken de oppervlakte van de spits. Bereken de inhoud van de spits. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

40 6 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren Het grondvlak van een kegel heeft een straal van 8 cm. De hoogte is 10 cm. a Bereken de oppervlakte van deze kegel. Bereken de inhoud van deze kegel. Een kegel heeft een inhoud van 1000 cm. De hoogte is 1 cm. a Bereken de straal van het grondvlak van deze kegel. Bereken het oppervlak van deze kegel. 4 Een kegel heeft een inhoud van 480 cm. De straal van het grondvlak is 7 cm. a Bereken de hoogte van deze kegel. Bereken het oppervlak van deze kegel. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

41 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 7 Antwoorden 1 A = 79 dm ; V = 15 A = 864 dm cm ; V = 178 cm = 8 cm ; V = 184 cm 4 l = 7, 8cm ; A = 41, 9cm 5 z = 1 cm ; A = z = 11 cm ; V = 11 7a 8, 5 cm 41 cm c 180 cm 8a 177 cm 15 cm 9a 50 cm 650 cm 10a 9, 6 cm 1415 cm 11a 6 cm 175, cm 1a 48 cm 165, 6 cm c 1051, cm d 484 cm 1 50, m ; 5, 5 m 14 11, 1 cm ; 11, 1 cm 15a, 8 cm 9, 0 cm 16a, 9 cm 191, 1 cm 17a 556, 1 cm 997, 5 cm cm cm ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

42 8 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 18a 4, 0 cm 477, 5 cm 19a 1, 6 cm 140, 7 cm 0a 4, 0 cm 01, 1 cm 1a 105, 6 m 61, 4 m a 5, 0 cm 670, 0 cm a 8, 9 cm 665, 4 cm 4a 9, 4 cm 411, 4 cm ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

43 5 Ruimtelijke lichamen in de praktijk 1 Samengestelde lichamen In de praktijk komen we vaak samengestelde lichamen tegen. Deze lichamen zijn ijvooreeld samengesteld uit een alk en een cilinder. Ook kunnen we afgeknotte piramides of afgeknotte kegels tegenkomen. We heen al kennisgemaakt met de formules voor het erekenen van de oppervlakte en de inhoud van deze lichamen. We zullen eerst een overzicht geven van de formules die we kunnen geruiken. De alk: hoogte lengte Figuur 1 reedte oppervlakte: A = l + h + l h. Zie figuur 1. volume: V = l h Het prisma: hoogte dwarsdoorsnede Figuur De oppervlakte van een prisma erekenen we door de oppervlakte van alle zijden te erekenen en daarna op te tellen. Zie figuur. inhoud: I = A h gv ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

44 40 Ruimtelijke lichamen in de praktijk De piramide: T T dwarsdoorsnede hoogte A E Figuur D C T 1 F E T 1 B F oppervlakte: A = 4 AABT + Agv. Zie figuur. 1 volume: V = Agv h De ol: oppervlakte: A = 4 π 4 volume: V = π r r De cilinder: r dwarsdoorsnede h Figuur 4 oppervlakte: A = π r + π r h. Zie figuur 4. volume: V = π r h ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

45 Ruimtelijke lichamen in de praktijk 41 De kegel: T h r g A B Figuur 5 g oppervlakte: A = π r + π r a, waarij a de mantelhoogte voorstelt: a = h + r g 1 volume: V = π rg h g V. 1 We heen een afgeknotte kegel. Zie figuur 6. 6 m Figuur 6 8 m Gegeven Helling van de zijden is :. De hoogte edraagt 8 meter. De straal van het grondvlak is 6 meter. Gevraagd Bereken de inhoud van deze afgeknotte kegel. Oplossing We ouwen de afgeknotte kegel uit tot een volledige kegel door er een topkegel op te zetten. Zie figuur 6. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

46 4 Ruimtelijke lichamen in de praktijk De verhouding tussen de hoogte en de straal is :, dus de hoogte van de volledige kegel is 8 = 1m. De straal van de topkegel is ook met de verhouding : te erekenen. De hoogte van de topkegel is 1 6 = 6m. Dan is de straal van de topkegel 6 = 4 m. De inhoud van de afgeknotte kegel is de inhoud van de volledige kegel min de inhoud van de topkegel: 1 1 Vknot = Vvolledig Vtop Vknot = π r htot π rtop htop 1 Vknot = π π 4 6 = 70, 7m Oefeningen 1 We heen een afgeknotte kegel. Zie figuur 7. Figuur 7 De hoogte edraagt 10 meter. De straal van het ovenvlak is 4 meter. De straal van het ondervlak is 10 meter. 1a Bereken de helling van de zijden. Bereken de inhoud van deze afgeknotte kegel. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

47 Ruimtelijke lichamen in de praktijk 4 We heen een afgeknotte kegel. Zie figuur 8. Alle maten zijn in mm aan gegeven Figuur 8 Wat is het volume van deze afgeknotte kegel? Een afgeknotte kegel heeft een hoogte h = 0cm. Zie figuur 9. De diameter d van het grondvlak is 18cm. De diameter d 1 van het ovenvlak edraagt 9cm. d 1 h s Figuur 9 d a Bereken het oppervlak van het grondvlak. Bereken het oppervlak van het ovenvlak. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

48 Ruimtelijke lichamen in de praktijk c Bereken het oppervlak van de zijmantel. d Bepaal het totale oppervlak. e Bereken het volume van deze kegel. f Bepaal de mantelhoogte S. 4 We heen een afgeknotte piramide. Zie figuur 10. Alle maten zijn in mm aangegeven. Gv 1 = grondvlak 1 is 160 mm 160 mm en h 1 is de hoogte van het afgeknotte deel. Gv = grondvlak is 400 mm 400 mm en h = 600 mm Gv 1 60 Gv 400 Figuur 10 Bereken het volume van de afgeknotte piramide. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

49 Ruimtelijke lichamen in de praktijk 45 5 Een storttrechter heeft de vorm van een omgekeerde afgeknotte piramide. Zie figuur 11. Gv 1 = grondvlak 1 is 160 mm 160 mm en h 1 is de hoogte van het afgeknotte deel. Gv = grondvlak is 4, 00 m 4, 00 m en h is de hoogte van de totale piramide. Bereken de inhoud van deze trechter. 4,00 m 4,00 m Gv 1,00 m Gv 1,00 m 1,00 m Figuur 11 ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

50 46 Ruimtelijke lichamen in de praktijk V. Gegeven Een alkvormig lichaam met opening. Zie figuur 1. Alle maten zijn aangegeven in mm Figuur 1 Gevraagd Bereken het volume van dit lichaam. Oplossing l1 = 40 mm, 1 = 154 mm, h1 = 165mm, l = 40 mm, = 50 mm, h = 165mm V = l1 1 h1 l h V = 40 mm 154 mm 165 mm 40 mm 50 mm 165 mm = 5, mm ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

51 ø15 Ruimtelijke lichamen in de praktijk 47 Oefeningen 6 We heen een samengesteld lichaam. Zie figuur 1. Alle maten zijn aangegeven in mm. Bereken het volume van het lichaam Figuur 1 7 We heen een samengesteld lichaam. Zie figuur 14. Alle maten zijn aangegeven in mm. Bereken het volume van dit lichaam Figuur 14 ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

52 48 Ruimtelijke lichamen in de praktijk 8 We heen een alk met cilindervormige opening. Zie figuur 15. Alle maten zijn aangegeven in mm. Bereken het volume van dit lichaam. 480 ø Figuur 15 ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

53 Ruimtelijke lichamen in de praktijk 49 9 We heen een zolderverdieping van een huis. Zie figuur 16. De lengte van de verdieping is 8 m. 1,50 m 4,50 m Figuur 16 8,00 m 9,40 m a Bereken de inhoud van de zolderverdieping. Bereken de totale oppervlakte van het dak. 10 We heen een samengesteld lichaam. Zie figuur 17. Alle maten zijn aangegeven in m. Bereken de inhoud van dit lichaam.,5 m 4,80 m 6,80 m 6,90 m 4,60 m 8,00 m Figuur 17 ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

54 50 Ruimtelijke lichamen in de praktijk 11 In figuur 18 zien we het ontwerp van een ungalow. Deze estaat uit een eneden verdieping en een zolderverdieping. De enedenverdieping heeft een reedte van 8 m, een diepte van 15m en een hoogte van m. De helling van het dak edraagt 40º Figuur 18 a Bereken de inhoud van de ungalow. Bereken het oppervlak van het dak. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

55 Ruimtelijke lichamen in de praktijk 51 1 Een graansilo heeft een diameter van 1, 60 m. Het conische deel is 60cm hoog en heeft een opening met een diameter van 40cm. De totale inhoud van de silo is 10 m. Zie figuur 19. ø 1,60 m 0,60 m ø 0,40 m Figuur 19 a Bereken de inhoud van het conische gedeelte van de silo. Bereken de hoogte van het ovenste deel van de silo. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

56 5 Ruimtelijke lichamen in de praktijk 1 De tophoek van een dak is 90. Zie figuur 0. 6,00 m te erekenen 7,50 m 10,00 m Figuur 0 a Bereken de ontrekende zijde. Bereken de oppervlakte van het dak. c Bereken de inhoud van het dak. Berekeningen van lijnstukken in lichamen In lichamen kunnen we diverse lijnen en vlakken tekenen. De lengte van deze lijnstukken kunnen vaak erekend worden met de stelling van Pythagoras. De stelling van Pythagoras is alleen toe te passen in rechthoekige driehoeken. Als we de stelling van Pythagoras niet kunnen toepassen, kunnen we geruikmaken van de sinusregel of de cosinusregel. a a c Sinusregels: = sin α sin β sin α = sin γ ; c = sin β sin γ Cosinusregels: a = + c c cosα = a + c a c cosβ; c = a + a cos γ ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

57 Ruimtelijke lichamen in de praktijk 5 V. Gegeven De lengte van een zijde van een kuus is 0 cm. Zie figuur 1. H P G E F D C A Figuur 1 Q B Gevraagd Bereken de lengte van lichaamsdiagonaal AG. Oplossing AG = AB + BC + CG AG = ( 0 cm) + ( 0 cm) + ( 0 cm) AG = 100 AG = 100 = 4, 64 cm Oefeningen 14 De lengte van de zijde van een kuus is 6cm. Zie figuur 1. Bereken de volgende lijnstukken: a BH AF c BG d DF ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

58 54 Ruimtelijke lichamen in de praktijk 15 De lengte van de zijde van een kuus is 1mm. AQ = 4 mm en PG = mm. Zie figuur 1. Bereken de volgende lijnstukken: a CP QF c AP d HQ e PQ 16 We heen een alk met AB = 0cm, BC = 1cm en AE = 7cm. Zie figuur. H R G E D F C A S B Figuur a Bereken de volgende lijnstukken: AF BG c EG ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

59 Ruimtelijke lichamen in de praktijk 55 d DF e AG 17 We heen een alk met AB = 18cm, BC = 10cm, AE = 6cm, AS = 15cm en GR = 14 cm. Zie figuur. Bereken de volgende lijnstukken: a CS DS c ES d RB e RS ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

60 56 Ruimtelijke lichamen in de praktijk V. Gegeven We heen een piramide met DE = ET, AB = cm, BC = 14 cm en de hoogte = 16cm. M is het snijpunt van AC en BD. Zie figuur. T E C D M B Figuur A Gevraagd Bereken EM. Oplossing BD = AB + AD BD = ( cm) + ( 14 cm) BD = 680 BD = 680 = 6, 08cm 1 1 DM = BD DM = 6, 08cm = 1, 04 cm DT = DM + MT DT = ( 1, 04 cm) + ( 16cm) DT = 46, 04 DT = 46, 04 = 0, 64 cm 1 1 DE = DT DE = 0, 64 cm = 10, cm MT 16 tan MDT = tan MDT = = 1, 7 DM 1, 04 MDT = 50, 8 EM = DE + DM DE DM cos MDT EM EM = ( 10, cm) + ( 1, 04 cm) 10, cm 1, 04cm cos50, 8 = 106, 51 EM = 106, 51 = 10, cm ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

61 Ruimtelijke lichamen in de praktijk 57 Oefeningen 18 We heen een piramide met AB = BC = 8cm en hoogte = 10cm. M is het snijpunt van AC en BD. P ligt op het midden van AT. Zie figuur 4. T Q P D R C A Figuur 4 Bereken PM. M B 19 We heen een piramide met AB = BC = 11cm en de hoogte = 14 cm. M is het snijpunt van AC en BD. BQ : QT = : 1. Zie figuur 4. Bereken QM. 0 We heen een piramide met AB = BC = 7cm en de hoogte = 9cm. M is het snijpunt van AC en BD. CR : RT = 1 : 4. Zie figuur 4. Bereken RM. ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

62 58 Ruimtelijke lichamen in de praktijk 1 We heen een piramide met AB = BC = 0 cm en de hoogte = 5cm. M is het snijpunt van AC en BD CR : RT = 1: 4, BQ : QT = : 1 en P ligt op het midden van AT. Zie figuur 4. Bereken de volgende lijnstukken: a PM QM c RM Een prisma met AB = 1cm, BC = 9cm, AD = 6cm, AR = 4 cm, ES = 6cm. T ligt op het midden van CF. Zie figuur 5. D E S F T C A R B Figuur 5 a Bereken de volgende lijnstukken en hoeken: RS ST c RT ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

63 Ruimtelijke lichamen in de praktijk 59 d RST e STR (tip: geruik hierij de sinusregel) f RTS ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

64 60 Ruimtelijke lichamen in de praktijk Antwoorden 1a 16, 67m 16, 9m 1, mm a 54, 47cm 6, 6cm c 869, 4 cm d 1187, 5cm e 968, 8cm f 0, 5cm 4, mm 5 1 m 6 4, 10 5 mm 7 4, mm 8, mm 9a 00, 4 m 106, 5m 10 40, 96m 11a 561, 6m 156, 6m 1a 0, 58 m 14, 1m 1a 4, 50 m 105m c 15m 14a 10, 9cm 8, 49cm c 8, 49cm d 10, 9cm ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

65 Ruimtelijke lichamen in de praktijk 61 15a 1, 7mm 14, 4mm c 19, 1mm d 17, 44 mm e 17, 69mm 16a 1, 19cm 1, 89cm c, cm d 4, 5cm e 4, 5cm 17a 10, 44 cm 18, 0cm c 16, 16cm d 18, cm e 16, 0cm 18 5, 74 cm 19 10, 68cm 0 4, 5cm 1a 14, 6cm 14, 01cm c 19, 08cm a 11, 66cm 4, 4 cm c 1, 41cm d 90, 05 e 19, 98 f 69, 98 ThiemeMeulenhoff 11 septemer 01

66