Transfer Polytechniek 4. Wiskunde. Docentenhandleiding

Transcriptie

1 Transfer Poltechniek Wiskunde Docentenhandleiding

2 Colofon Auteurs G.J. Flim J. Feringa H. Frericks S.J.H. Frericks ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie en Hoger Beroepsonderwijs. Inhoudelijke redactie J. Ditmar Ontwerp Tiekstramedia, Groningen Illustraties Frans Hessels, Almere Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze leermiddelen: of via onze klantenservice (088) ISBN ThiemeMeulenhoff, Baarn/Utrecht/Zutphen, 009 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 6B Auteurswet 9 j het Besluit van augustus 98, Stbl. 7 en artikel 7 Auteurswet 9, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 060, 0 KB Hoofddorp ( Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 6 Auteurswet 9) dient men zich tot de uitgever te wenden. De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden. II

3 Inhoudsopgave Talstelsels Rekenmachine 9 Voorrangsregels Decimale getallen en breuken Wetenschappelijke en technische notatie 6 Procenten 8 7 Schatten, afronden en significante cijfers 8 Rekenen met machten en lettergetallen 9 Rechtevenredige verbanden 8 0 Lineaire verbanden Interpoleren en etrapoleren Nomogrammen Eerstegraads vergelijkingen oplossen 7 Gebroken functies Tekenen en aflezen van tweedegraads grafieken 6 6 Oplossen van tweedegraads vergelijkingen 78 7 Wortelverbanden 9 8 Hogere machtsverbanden 00 9 Lijnen, hoeken en driehoeken 0 Vierhoeken Cirkel en cirkelsector Veelhoeken 8 Inleiding goniometrische verhoudingen 0 Rekenen met goniometrische eenheden 6 Sinusregel en cosinusregel 6 Grafieken van goniometrische verbanden 7 Formules opstellen bij goniometrische grafieken 6 8 Inleiding logaritmen 9 Logaritmische- en eponentiële verbanden 9 0 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 7 Ruimtelijke lichamen in de praktijk 8 Grafisch samenstellen en ontbinden van vectoren 89 Rekenkundig samenstellen en ontbinden van vectoren 9 Rekenen met complee getallen 97 III

4

5 Talstelsels 0 a = b 9678 = c 678 = d 790 = a b c %0000 = = = %0000 = = = 6 0 %000 = = = d % = = 6 e % = = = 7 f 6 0 %0000 = = = 97 a 800 = 00 rest 0 = 0 00 = 00 rest 0 = 0 00 = 00 rest 0 = 0 00 = 0 rest 0 = 0 0 = rest 0 = 0 =, rest 0, = = 6 rest 0 = 0 6 = rest 0 = 0 =, rest 0, = = 0, rest 0, = De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 800 = % Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

6 b 7 = 77 rest 0 = 0 77 = 88, rest 0, = 88 = rest 0 = 0 9 = 7 rest 0 = 0 7 =, rest 0, = =, rest 0, = =, rest 0, = =, rest 0, = = rest 0 = 0 = 0, rest 0, = De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 7 = % c 7 = 6 rest 0 = 0 6 = 8 rest 0 = 0 8 = 9 rest 0 = 0 9 =, rest 0, = = rest 0 = 0 = rest 0 = 0 = 0, rest 0, = De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 7= % d 8 = 09 rest 0 = 0 09 =, rest 0, = = 7 rest 0 = 0 7 =, rest 0, = = 6, rest 0, = 6 = rest 0 = 0 =, rest 0, = = 0, rest 0, = De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 8 = % 000. Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

7 e 76 = 88 rest 0 = 0 88 = rest 0 = 0 = 7 rest 0 = 0 7 = 6 rest 0 = 0 6 = 8 rest 0 = 0 8 = 9 rest 0 = 0 9 =, rest 0, = = rest 0 = 0 = rest 0 = 0 = 0, rest 0, = De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 76 = % f 777 = 88, rest 0, = 88 = 9 rest 0 = 0 9 = 97 rest 0 = 0 97 = 8, rest 0, = 8 = rest 0 = 0 = rest 0 = 0 = 6 rest 0 = 0 6 = rest 0 = 0 =, rest 0, = = 0, rest 0, = De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 777 = % a 0 0 # 67 = = = b # = = = 8 0 c # 6 = = = 7 0 d # 6 = = = 0 0 e # = = = 0 0 f # 777 = = = Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

8 a 8 8 = 9, rest 0, 8 = 9 8 = 8, 6 rest 0, 6 8 = 8 8 =, rest 0, 8 = 8 = 0, 7 rest 0, 7 8 = De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 8 = #. b 79 8 = 9, 6 rest 0, 6 8 = 9 8 =, 6 rest 0, 6 8 = 8 =, 7 rest 0, 7 8 = 8 = 0, rest 0, 8 = De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 79 = #. c 8 8 = 0, 7 rest 0, 7 8 = =, 7 rest 0, 7 8 = 6 8 =, rest 0, 8 = 8 = 0, rest 0, 8 = De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 8 = # 66. d 8 =, 7 rest 0, 7 8 = 6 8 =, rest 0, 8 = 8 = 6, 87 rest 0, 87 8 = = 0, 7 rest 0, 7 8 = 6 De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: = # 676. e 8 =, 7 rest 0, 7 8 = 8 =, rest 0, 8 = 8 = 0, 6 rest 0, 6 8 = De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: = #. f 9 8 = 68, 6 rest 0, 6 8 = 68 8 = 8, rest 0, 8 = 8 8 = rest 0 8 = 0 8 = 0, rest 0, 8 = De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 9 = # 0. Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

9 6a 0 0 $FC = = = b $BCD = = = 0 c 0 $FC = = = d $CF = = = 7 0 e $8E = = = 76 0 f $AAA = = = 70 7a 8 6 =, 7 rest 0, 7 6 = =, 87 rest 0, 87 6 = 6 = 0, 87 rest 0, = De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 8 = $ 6. b 7 6 = 09, 6 rest 0, 6 6 = 0 A 09 6 = 6, 8 rest 0, 8 6 = D 6 6 = 0, 7 rest 0, 7 6 = 6 6 De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 7 = $ 6DA. c 67 6 = rest 0 6 = =, 6 rest 0, 6 6 = 0 A 6 = 0, rest 0, 6 = De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 67 d 8 6 = 8, 6 rest 0, 6 6 = 0 A 8 6 = 8, 6 rest 0, 6 6 = 0 A 8 6 = 0, rest 0, 6 = 8 8 = $ A0. De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 8 = $ 8AA. e 76 6 =, rest 0, 6 = =, 97 rest 0, 97 6 = F 6 = 0, 8 rest 0, 8 6 = D De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 76 = $DF 8. f 7 6 =, rest 0, 6 = =, 7 rest 0, 7 6 = C 6 = 0, rest 0, 6 = De opeenvolgende resten in omgekeerde volgorde levert: 7 = $ C 8. Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

10 8a $ b $9 c $0F d $A9 e $78 f $79 9a % b %00000 c % d %00000 e %00000 f % a b c d e f Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

11 a Stap : Bepaal de inverse van het tweede getal. 000 = 00 Stap : Stap : Haal de voorste weg en tel deze op bij het restant van de uitkomst = 0 b Stap : Bepaal de inverse van het tweede getal. 00 = 000 Stap : Stap : Haal de voorste weg en tel deze op bij het restant van de uitkomst = 0 c 0 00 Stap : Bepaal de inverse van het tweede getal. 00 = 000 Stap : Stap : Haal de voorste weg en tel deze op bij het restant van de uitkomst = 000 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 7

12 d 000 Stap : Bepaal de inverse van het tweede getal. 000 = 00 Stap : Stap : Haal de voorste weg en tel deze op bij het restant van de uitkomst = 0 e Stap : Bepaal de inverse van het tweede getal. 00 = 000 Stap : Stap : Haal de voorste weg en tel deze op bij het restant van de uitkomst = 0 f Stap : Bepaal de inverse van het tweede getal. 000 = 000 Stap : Stap : Haal de voorste weg en tel deze op bij het restant van de uitkomst = 00 8 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

13 Rekenmachine a, b, c 7, 0 d 7, 0 7 a, b, 0 6 c, 0 9 d, 7 0 e, f, 0, 0, 6 0, , 6 0 7, , 8 0 9a, b, c 6, 8 0 d, e, f, 76 0 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 9

14 0a, 69 b 8, 689 c 69, 9 d, e 9, 68 a 0, 966 b 0, 866 c 0, d 0, e, 7 f, 7 a 0, b c 0 d 0, 6 e f 0, 9 a 0, 89 b 0, 88 c d 0, 89 e f 0 0, , 0 9 6, , 8 8, 9, 80 0 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

15 Voorrangs - regels a 0 b c 7 d Antwoorden a 8 b c 9 d 66 a 0 b c. 6 d e 0 f 0 a 9 b c Geen uitkomst. d 7 e 7 f 6 a b c d e f Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

16 6a b 6 c d 80 e 6 7a 8, b 9, 6 c 7, 96 d 806, e 09, 9 8a 8 b 0 c d 7 9a 8, 8 b 0, c, 7 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

17 Decimale getallen en breuken a 0 6 b 000 c 00 d 0, e 0, 0 f 0, = = = = = = 87 = 7 8 = = 6 8 = 9 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

18 8 7 + = = = 7 7 = = = = 8 0 = = = = = 68 = = = = = = = = = = = = = = 8 0 = Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

19 Weten schappe lijke en technische notatie + a 0 0 = 0 = 0 b = 0 = 0 c = 0 = 0 d = 0 = 0 e = 0 = a 00 0 = 0 0 = 0 = 0 = 0 - b = 0 0 = 0 = 0 = c = 0 0 = 0 = d = 0 0 = 0 = 0 + e = = 0 = a = 0 = 0 = b = = 0 c = 0 = 0 d ( 0 ) 0 = 0 = 0 e ( 0 ) ( 0 ) = = = f ( 0 ) ( 0 ) = = 0 = 0 = a b c d e f 0 = 00 0 = = 0 0 = = = Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

20 a 8, 0 b, c, 0 7 d, 0 9 e 6, 7 0 f, 0 6a 8, 0 b, c, 0 d, 0 e 6, f, 0 7 v =, 0 0 km/s t = jaar = s = 9, seconden 7 s =, 0 0 9, =, 8 0 km 8a 8, 0 b, c 0 6 d, 0 9 e 67 0 f a b, c d, 0 e f 0 0a, 0 7 ;, 0 6 b 8, 0 8 ; c 9, ; d, 0 ; a, b, 0 6 c, 8 0 π V = (, 0 m) =, m 6 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

21 π a V = (, 8 0 m) =, 0 m ;, 0 m 6 b, 0, = 6, 0 0 ; N, 0 m l = 0 N/m m = 0, 0 =, 0 m =, 0 m Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 7

22 6 Procenten 0 ; ; 0 ; 7 ; 9 ; ; 0 ; ; 0 ; 8 7 a 0, 8 = = 00 b 0, 7 = 00 = 0 7 c 0, 7 = 00 d 0, = = e 0, 7 = = 00 f 0, 9 = 00 = 0 a 0, 60 = 60 b 0, = 96, 7 c % =, % 7 d % = % De winst is: , 0 = euro. Het saldo is:. 000, 078 =. 86, 9 euro. 6 Toename: leerlingen; oorspronkelijk aantal: 0 leerlingen, dus toename in %: 0 00% =, 6%. 7 De winst is: , 96 =.. 00 euro. 8 De hoeveelheid stof is: 00 mg 0, 8 6 = mg. 8 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

23 9 Afname: leerlingen; oorspronkelijk aantal leerlingen: 0, dus afname in %: % =, %. 0a - b - c m = 000 mm ; 0 mm + mm = mm ; uit 000 mm komen 7 plaatjes van mm. m = 000 mm ;00 mm + mm = 0 mm ; uit 000 mm komen 9 plaatjes van 0 mm. Aantal plaatjes: 7 9 =,dus totale oppervlakte mm 0 mm =, mm. d Oppervlakte plaat: 000 mm 000 mm =, mm Afval =, mm, mm = 0, mm 0, 07 0 Percentage snijafval =, % =, % a - b A =, m, 9 m =, 6 m ;A =, m, 7m = 9, m ;A =, m, m = 6 m ; A =, m, 0 m =, 66 m ; totale oppervlakte A tot =, 76 m c Oppervlakte vloerbedekking = 0 m m = 0 m d Snijafval = 0 m, 76 m = 7, m 7, e Percentage snijafval = 00% = 8% 0 a - b - c - d Lengte = 9, m 0, 0 m = 9, m ; breedte =, 6 m 0, 0 m =, 6 m ; oppervlakte = 9, m, 6 m =, 9 m, 9 e Oppervlakte in pak = 6, m 0, m =, m, dus aantal pakken = = 0, f Oppervlakte gekochte parket = 0, m =, m g Snijafval =, m, 9 m = 0, m, dus percentage snijafval 0, = = 00 %, 0, 7 % Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 9

24 a Buitendiameter ringen inclusief ponssnede = mm + 0, mm = mm Aantal ringen = = 00 b Oppervlakte staalband =. 000 mm mm = mm Oppervlakte ringen = 00 ( π (, mm) π ( mm) ) = mm Snijafval = mm mm =. mm. Dus percentage snijafval = 00% = % Verlies = W, dus verliespercentage = = %. 7, % Inhoud balk = 70 mm 68 mm 68 mm = mm Inhoud tafelpoot = 700 mm π (, mm) =.. 8 mm Snijafval = mm.. 8 mm =.. 8 mm.. 8 Percentage snijafval = 00% = % Inhoud totale cilinder = π ( 7, mm) 60 mm =. 98 mm Inhoud kleine cilinder = π ( mm) 07 mm = 7. 6 mm Inhoud totale kegel = π ( mm) 8 mm = 8. 9 mm Inhoud kleine kegel = π ( mm) mm = 79 mm Inhoud overblijvende deel = mm + ( 8. 9 mm 79 mm ) = 8. mm Snijafval =. 98 mm 8. mm = mm Percentage = 00% = % Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

25 7 Schatten, afronden en significante cijfers a. 000 ;. 79 b 0 ; c ;, d 000 ; 08 a 0, 9 ; 0, 9 b 0, 00 ; 0, 00 c 0, 7 ; 0, 67 d 6 0 ; 6, 08 0 e 0 ; 0, f ; 706, 9 0 a 000 ; 79 b 80 ; 0, 7 c ;, 6 d 0, ; 0, 608 e 0 ;, 0 f 0 ;, 87 0 a 79 b 0 c, 6 d 0, 6 e, 0 8 f, 9 0 a 8. 7 ; 8, 0 b 9, 7 ; 60 c, 9 ;, d 0, 08 ; 0, 08 e, ;, 0 7 f, 88 0 ; 0, 6 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

26 6a 00 m ; 6, 7m b 0cm ; 6, 06cm c 0 m ;, m 7a 6m ;, 8m b 9m ; 8, 77m 8a m b e 80,- 9 Schatting: 0 0 0, Berekening: 8 =, 0a 8, 0 b., 0 c 0, 0078, 0 d, , e 0, 9 0, 9 a Schatting: 90 00= m Berekening: 89, 9 90= m Afronding:, 7 0 m b Schatting: 8 00= 600 cm Berekening: 7, 8 = 9cm Afronding:, 9 0 cm 6 c Schatting: 0 0 = 0 m Berekening:, 0 0, 0 = 6, 0 m Afronding: 6, 0 6 m 6 a Inhoud = l b h b I = = 00 mm c I = 7 9 = 90 mm 0 mm Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

27 8 Rekenen met machten en lettergetallen a 0 b. 6 c d 79 e 0 f 0 g a = = b = = 7 7 c d d d = d = d = d d = = e = 7 = f = = = a 69 = b 6 = 6 c 8 = d =, 9 e a = a 6 f d = d a p p = ( ) p = p b a + a + a = ( + + ) a = 8a c pq + pq pq = ( + ) pq = 6pq d + ( ) = ( + ) = = e 7ab + ( ab ) = ( 7 + ) ab = ab f a b b a = ( ) a + ( ) b = 6a 8b g + = ( ) + ( + ) = + h a 6ab + a + a ab = a + ( 6 ) ab + ( + ) a = a 9ab a Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

28 a a( 6 + p) = 6a + ap b ap( a p) = a p ap c s ( s s) = 6s s d ( a b)( c d) = a( c d) b( c d) = ac ad bc + bd e ( 6p + w)( 7g + h) = 6p( 7g + h) + w( 7g + h) = pg + 0ph + 8wg + 0wh f ( )( + ) = ( + ) ( + ) = g ( a 7)( a + ) = a( a + ) 7( a + ) = 6a a + a = 6a a h ( )( + ) = ( + ) ( + ) = + + i ( + )( + ) = ( + ) + ( + ) = = j ( )( + ) = ( + ) ( + ) = + = + 8 k ( 6)( 0) = ( 0) 6( 0) = = l ( a + 7)( a ) = a( a ) + 7( a ) = 9a a + a 7 = 9a + 8a 7 m ( + 6)( 9) = ( 9) + 6( 9) = 8 + = n ( + )( ) = ( ) + ( ) = + = 6 o ( ) = ( )( ) = ( ) ( ) = + 9 = p ( + 7) = ( + 7)( + 7) = ( + 7) + 7( + 7) = = + 6a V =, dm =, 0 m = ρ V m, kg = ρ, 0 m, ρ =, 0 b h = 0cm = 0, m Epot = m g h = 8, 9 0 kg/m 7 Nm = m 9, 8 N/kg 0, m 7 m = = 0kg 9, 8 0, + 9 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

29 c M = F r 900 Nm = 00 N r 900 r = = 00 0, 7m d Uk = E I Ri, V = V I, Ω I, =, I, = 0, 0, I = = 0, A, 7a d =, cm = mm σ = F b σ = kn, mm =, kn/mm d ( mm) b σ = F b d 0 = b = 0, 7 b b = =, 6mm 9 0, 7 c b =, 8cm = 8mm en d =, cm = mm σ = F b d F F = 8 mm ( mm) 7 = 0, 0076 F 7 F = =, kn 0, 0076 d σ = F b d 0kN mm, 7 kn/mm = d 600, 7 =, 7 d = 600 d d 600 = =, 8 d =, 8 = 8 mm, 7 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

30 8a L k = mm =, cm F k π = E I L k F = k π, 0 kn/cm, 7cm (, cm) =, 9kN b F k = π k E I L π, 0 I 60 = 60 = 890, 7 I 60 I = = 7, 0 cm 890, 7 c F k = 00 N =, kn F k π = E I, = L k π 6, 0 0, 0 L k,, =, L =, k L k Lk, = = 0, 0886 Lk = 0, 0886 = 0, cm, 9a v = k g h v gem =, 9, 8m/s, m =, 8 m/s gem b vgem = k g h =, 8 9, 8 h 9, 8 h = = 0, 9 9, 8 h = 0, 9 = 9, 6, 8 9, 6 h = = 6m 9, 8 c vgem = k g h = k 9, 8 0 = k k = = 6 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

31 0a P 0kW d = 6, d = 6, = 9, mm n omw/s b d = 0cm = 00 mm en n = 60omw/min = omw/s P P 00 d = 6 00 = 6,, P = =, 6 n 6, P =, 6 =, 8kW c P = 00 W =, kw P,, d = 6, = 6, = = 0, 97 n n n 6,,, = 0, 97 = 0, 89, = n 0, 89 n = =, 9omw/s n 0, 89 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 7

32 9 Rechtevenredige verbanden a Zie tabel. 0 0 Tabel b Zie figuur Figuur Zie tabel. 0 0 Tabel 8 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

33 c Zie figuur Figuur Zie tabel. 0 0 Tabel Zie figuur Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 9

34 d Zie tabel. 0 0 Tabel e Zie figuur Figuur Zie tabel. 0 0 Tabel Zie figuur Figuur 0 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

35 f Zie tabel. 0 0 Tabel 6 Zie figuur Figuur 6 a m kg m =, kg b, m,, =, kg c kg m kg = 0, 8 m dus 7, kg 7, 0, 8 = 6m d 9m 9, =, kg e A =, m m =, 8 m f, 8 m, 8, = 6kg g Zie tabel. Oppervlakte (m ), Lijm,, 7,,, Tabel 7 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

36 h Zie figuur. lijm (kg) A (m ) Figuur 7 6 kg rc = rc = =, kg/m, 8 m i m =, A lijm vloer km a A: rc = rc = = 0, 0 km/s 00 s 8 km B: rc = rc = = 0, 0 km/s 00 s b A: s = 0, 0 t B: s = 0, 0 t a Ongeveer, 7dl. b Met, dl kunnen we ongeveer, m schilderen. 6 m c rc = rc = =, m /dl dus A = V 7, dl d A =, V A =,, m = 8, 7 m verf, verf Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

37 Zie figuur Figuur 8 7, rc = rc = =, =, Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

38 0 Lineaire verbanden a Zie tabel. 0 Tabel Zie figuur Figuur b Zie tabel. 0 Tabel Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

39 Zie figuur Figuur c Zie tabel. 0 0,, Tabel Zie figuur Figuur d Zie tabel. 0 Tabel Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

40 Zie figuur Figuur e Zie tabel. 0, 0, Tabel Zie figuur Figuur f Zie tabel 6. 0 Tabel 6 6 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

41 Zie figuur Figuur 6 a b c rc = = = 0, rc = = = rc = = = a Zie figuur Figuur 7 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 7

42 b Zie figuur Figuur 8 c Zie figuur Figuur 9 d Ze lopen evenwijdig aan elkaar. 8 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

43 a Zie figuur Figuur 0 b Zie figuur Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 9

44 c Zie figuur d rc = Figuur 6 a rc = a = a = = =, dus = + b. Nu gaan we (, ) invullen: = + b, waaruit volgt b =. Dus = +. 7 b rc = a = a = = =, dus = + b. Nu gaan we (, ) invullen: = + b, waaruit volgt b =. Dus = +. c rc = a = a = = =, dus = + b. 6 Nu gaan we (, ) invullen: = + b of = + b, waaruit volgt b = 6. Dus = + 6. d rc = a = a = = =, dus = + b. Nu gaan we (, ) invullen: = + b, waaruit volgt b = 7. Dus = 7. 6 e rc = a = a = = =, dus = + b. Nu gaan we (, ) invullen: = + b, waaruit volgt b =. Dus = +. f rc = a = a = = = 6, dus = + b. Nu gaan we (, ) invullen: = + b of = + b, waaruit volgt b =. Dus =. 0 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

45 Interpoleren en etrapoleren Eerst bepalen we de waarden van a tot en met e : a =, b = 0, c =, 0, d = en e = Invullen in de interpolatieformule: c a = b + e b d a = +, 0 ( ) 0 ( 0) = 0, 0 Eerst bepalen we de waarden van a tot en met e : a =, b = 0, c =,, d = en e = Invullen in de interpolatieformule: c a = b + e b d a = +, ( ) 0 ( 0) = 0, 8 Eerst bepalen we de waarden van a tot en met e : a =, b = 0, c =, 6, d = en e =. Invullen in de interpolatieformule: c a = b + e b d a = +, 6 ( ) 0 ( 0) =, 8 Eerst bepalen we de waarden van a tot en met e : a =, b = 0, c =, 88, d = en e = Invullen in de interpolatieformule: c a = b + e b d a = +, 88 ( ) 0 ( 0) =, 76 Eerst bepalen we de waarden van a t/m e : a =, b =, c =,, d = en e =. Invullen in de interpolatieformule: c a = b + e b d a = +, ( ) ( ) = 6 Eerst bepalen we de waarden van a tot en met e : a =, b =, c =, 6, d = en e =. Invullen in de interpolatieformule: c a = b + e b d a = +, 6 ( ) ( ) = 6, 7 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

46 7 Eerst bepalen we de waarden van a t/m e : a =, b =, c =,, d = en e =. Invullen in de interpolatieformule: c a = b + e b d a = +, ( ) ( ) = 8, 0 8 Eerst bepalen we de waarden van a t/m e : a =, b =, c = 7,, d = en e =. Invullen in de interpolatieformule: c a = b + e b d a = + 7, ( ) ( ) = 0, 0 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

47 Nomogrammen a b Platina/rhodium: U mv rc = rc = = 0, 0067 mv/ C ; U = 0, 0067 t t 0 C Koper/constantaan: U rc = t = mv 0 = 0, 08 mv/ C ; U = 0, 08 t C U = 0, 0 t U = 0, 0 mv/ C 00 C =, mv a Zie figuur. v w Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

48 b c s = 0 km/h ; v = 9 km/h s = km/h ; v = km/h s = 6 km/h ; v = km/h s = km/h ; v = km/h w = 0 km/h Zie figuur Figuur Maak een keuze met de rechtermuisknop Alle lijnen gaan door het punt ( 0, 0 ). Coureur heeft het hardst gereden omdat hij de grootste afstand heeft afgelegd in 79, 0 s. Na 79, 0 s heeft coureur 9. 8 m afgelegd en heeft coureur m + 0 m = 9. 8 m afgelegd. Dus coureur 8 heeft sneller gereden. Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

49 6a Zie figuur. M ,0 0,0 0, 0,0 0, I 0,0 Figuur b F = N ; l = 0 cm F = 0 N; l = 0 cm F = 7 N; l = 7 cm F = 00 N; l = cm c ca. Nm 7a Zie figuur Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

50 b = +, 8 = +, = 8, = 6, 8 = +, 8 8 = +, 8 = 8, 8 = 6, = +, 8 = +, = 8, =, 8 = +, 8 8 = +, 8 = 8, 8 =, 8a 0, 08 mm b 80 mm c. 000 omw/min 9a 0 N/mm b 0 mm c, mm 6 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

51 Eerstegraadsvergelijkingen oplossen, a =, {delen door } = =, Controle:, =,, klopt. b = {delen door } = = 9 Controle: 9 c 0, = 8 {delen door 0, } = 8 = Controle: 0, 0 = 8, klopt. 0, 0 d 0 =, {delen door, } = =, Controle: 0 =,, 6, klopt. 0, 6 a = 8 = 8 + = = b 0, +, =, 0, =,, 0, = = c + = = = 0 = d = 7 = 7 + = 0 = e 8 = 6 6 = 8 6 = = =, 67 f = = = = 9 = Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 7

52 a Zie figuur Figuur b, + = + {eerst naar de linkerkant verplaatsen, dit wordt dan }, + = {nu naar de rechterkant verplaatsen, dit wordt }, = {we kunnen nu gaan rekenen} 0, = { 0, } = = 0, Nu invullen in = + : = + = 7. Snijpunt is (, 7 ). Zie figuur Figuur 8 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

53 + 7 = + {eerst naar de linkerkant verplaatsen, dit wordt dan } + 7 = {nu 7 naar de rechterkant verplaatsen, dit wordt 7 } = 7 {we kunnen nu gaan rekenen} = 6 6 = =, Nu, invullen in = + 7 : =, + 7 =,. Snijpunt is (,,, ). c Zie figuur Figuur + = + 0 {eerst naar de linkerkant verplaatsen, dit wordt dan } + = 0 {nu naar de rechterkant verplaatsen, dit wordt } = 0 {we kunnen nu gaan rekenen} = 8 of 0, = 8 { 0, } 8 = = 0 0, Nu 0 invullen in = + : = 0 + =. Snijpunt is ( 0, ). Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 9

54 d Zie figuur Figuur = + {eerst naar de linkerkant verplaatsen, dit wordt dan } = {nu naar de rechterkant verplaatsen, dit wordt + } = + {we kunnen nu gaan rekenen} = 9 { } 9 = =, Nu, invullen in = : =, = 9,. Snijpunt is (,, 9, ). e Zie figuur Figuur 0 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

55 + = {eerst naar de linkerkant verplaatsen, dit wordt dan } + = {nu naar de rechterkant verplaatsen, dit wordt } = {we kunnen nu gaan rekenen} = { } = = Nu invullen in = + : = + =. Snijpunt is (, ). a 0S + A = 7 S + A =, b 0S + A = 7 S + A =, S = 6, { } S =, 7 { S =,7 invullen in de bovenste vergelijking} 0S + A = 7 7, + A = 7 A = 7 7, = 9, Een schrift kost dus e,7 en een agenda kost e 9,0. a S + P = 8, 0 7S + P = 97, 00 b S + P = 8, 0 7S + P = 97, 00 S + 0 P =, 0 S + 0 P = 9,00 S = 8, 0 { S = 8,0 invullen in de bovenste vergelijking} S + P = 8, 0 8, 0 + P = 8, 0, 0 + P = 8, 0 P = 7,00 = P = =,0 8, 0, 0 7, 00 Een petje kost dus e,0 en een sjaaltje kost e 8,0. Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

56 6a = v0 + a b = v0 + a 8 c = v + a 0 = v + a = a a = =, { a =, invullen in de bovenste vergelijking} = v0 +, = v0 + 0 v0 + 0 = v0 = 0 = Het resultaat is dus v 0 = en a =,. 7 + = 9 = + 0 = 0 = = { = invullen in bovenste vergelijking} + = 9 = 9 =. Dus de oplossing is = en =. 8 + = + = 9 8 = 8 = = 9 { = 9 invullen in bovenste vergelijking} 9 + = = 9 = Dus de oplossing is = 9 en =. 9 a + b = 9 a b = + a = a = = { a = invullen in bovenste vergelijking} + b = 9 b = 9 + = 0 Dus de oplossing is a = en b = 0. Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

57 0 + = 0 + = = = = 0 7 = 7 7 = = { = invullen in bovenste vergelijking} 7 + = 0 + = 0 = = = Dus de oplossing is = en =. a b = a b a + b + = 7a b + a b a + b = + a + b 7a + b = a b = a + 6b = 6 a 6b = 6 a + 6b = + a = a = = = 0, { a = 0, invullen in a b = } 0, 6 0, b = 0, b = b = + 0,= 0,6 b = = 0,6 Dus de oplossing is a = 0, en b = 0, 6. Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

58 Gebroken functies a Zie tabel. 0. 0, 0, ,8 Tabel Zie figuur Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

59 b Zie tabel. 0, 0,, , Tabel Zie figuur Figuur c Zie tabel. 0, 0, 0,,, 0, Tabel Zie figuur Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

60 d Zie tabel. 0, 0, 0, 0 0 0, Tabel Zie figuur Figuur a Zie tabel. p 6 8 V 6, 0, Tabel b Zie figuur. v p Figuur 6 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

61 a V.A.: = 0 = b Als heel groot wordt, wordt bijna 0, dus H.A.: = 0. c Zie figuur d Figuur 6 = {links en rechts vermenigvuldigen met ( ) } = ( ) {haakjes wegwerken} = {termen links en rechts van het = teken verwisselen} = {links en rechts + } = + = a V.A.: = 0 = = = 0, b Als heel groot wordt, wordt bijna 0, dus H.A.: = 0. c Zie figuur Figuur 7 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 7

62 d = 0 {links en rechts vermenigvuldigen met ( ) } = 0( ) {haakjes wegwerken} = 0 0 {termen links en rechts van het = teken verwisselen} 0 0 = {links en rechts + 0 } 0 = + 0 = = = 0 0, 6 a V.A.: = 0 b Als heel groot wordt, wordt c Zie figuur Figuur 8 bijna 0, dus bijna, dus H.A.: =. d = 0 {links en rechts + } = {links en rechts vermenigvuldigen met } = = = 0, 8 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

63 6a V.A.: + = 0 = b Als heel groot wordt, wordt bijna 0, dus H.A.: = 0. c Zie figuur d Figuur 9 6 = {links en rechts vermenigvuldigen met ( ) + + } 6 = ( + ) {haakjes wegwerken} 6 = + {termen links en rechts van het = teken verwisselen} + = 6 {links en rechts } = 6 = 8 = 8 = 7a b = {links en rechts vermenigvuldigen met ( ) } = ( ) {haakjes wegwerken} = 8 (termen links en rechts van het = teken verwisselen} 8 = {links en rechts + } 8 = + = 6 6 = = 8 + = {links en rechts vermenigvuldigen met ( + ) } = ( + ) {haakjes wegwerken} = 6 (termen links en rechts van het = teken verwisselen} 6 = {links en rechts + } 6 = + = 6 6 = = 6 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 9

64 c d e f g + = {links en rechts } = = {links en rechts vermenigvuldigen met } = {termen links en rechts van het = teken verwisselen} = = = 0, + = {links en rechts vermenigvuldigen met } + = {termen links en rechts van het = teken verwisselen} = + {links en rechts } = = = {links en rechts vermenigvuldigen met ( ) } = ( ) {haakjes wegwerken} = {termen links en rechts van het = teken verwisselen} = {links en rechts } = = = = = {links en rechts vermenigvuldigen met (, ) 0, } = ( 0, + ) {haakjes wegwerken} = + {termen links en rechts van het = teken verwisselen} + = {links en rechts - } = = =, {links en rechts vermenigvuldigen met } = (termen links en rechts van het = teken verwisselen} = {links en rechts } = = = = 60 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

65 h = 6 {links en rechts vermenigvuldigen met } = 6 {haakjes wegwerken} = {termen links en rechts van het = teken verwisselen} = {links en rechts } = = = = 0, Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 6

66 Tekenen en aflezen van tweedegraads grafieken a We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van en Tabel Figuur 6 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

67 b We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van en Tabel Figuur c We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van en. 0 Tabel Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 6

68 d We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van en. 0 0 Tabel Figuur a We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van en. 0,,,,, Tabel Figuur 6 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

69 b We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van en Tabel Figuur 6 c We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van en Tabel Figuur 7 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 6

70 d We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van en. 0,,,,, Tabel Figuur 8 a = dalparabool; = 0 = minimum ( 0, ) ; smmetrieas: = 0 b = + dalparabool; = 0 + = minimum ( 0, ) ; smmetrieas: = 0 c = dalparabool; = 0 = minimum ( 0, ) ; smmetrieas: = 0 d = bergparabool; = 0 = 0 maimum ( 0, 0 ) ; smmetrieas: = 0 e = +, dalparabool; = 0 +, =, minimum ( 0,, ) ; smmetrieas: = 0 f = dalparabool; = 0 = minimum ( 0, ) ; smmetrieas: = 0 g = + bergparabool; = 0 + = maimum ( 0, ) ; smmetrieas: = 0 h =, bergparabool; = 0, =, maimum ( 0,, ) ; smmetrieas: = 0 66 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

71 a 9 = 0 = = 9 = 9 = of = 9 = Nulpunten: (, 0 ) en (, 0) Dalparabool; = 0 9 = 9 ; minimum ( 0, 9) ; smmetrieas: = Figuur 9 b = 0 = 0 + = = = of = = Nulpunten: (, 0 ) en (, 0) Dalparabool; = 0 = ; minimum ( 0, ); smmetrieas: = Figuur 0 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 67

72 c = 0 = 0 + = = =, of = =, Nulpunten: (,, 0 ) en (,, 0) Dalparabool; = 0 = ; minimum ( 0, ); smmetrieas: = Figuur d + = 0 = 0 = =, geen oplossing dus geen nulpunten. Dalparabool; = 0 + = ; minimum ( 0, ) ; smmetrieas: = Figuur 68 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

73 a = 0 = 0 = 0 = 0 Nulpunt ( 0, 0) Bergparabool; = 0 = 0 ; maimum ( 0, 0 ) ; smmetrieas: = Figuur b + = 0 = = = =, 7of = =, 7 Nulpunten: (, 7, 0 ) en (, 7, 0) Bergparabool; = 0 + = ; maimum ( 0, ) ; smmetrieas: = Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 69

74 c + = 0 = = = =, of = =, Nulpunten: (,, 0 ) en (,, 0) Bergparabool; = 0 + = ; maimum ( 0, ) ; smmetrieas: = Figuur d = 0 = = =, geen oplossing dus geen nulpunten. Bergparabool; = 0 = ; maimum ( 0, ) ; smmetrieas: = Figuur 6 70 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

75 6a Smmetrieas: = 0 Minimum: = 0 = ( 0, ) Nulpunten: = 0 = 0 + = = = = = of = = Dus de nulpunten zijn (, 0) en (, 0) We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van en Tabel Figuur 7 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 7

76 b Smmetrieas: = 0 Minimum: = 0 = ( 0, ) Nulpunten: = 0 = 0 + = = = = = of = = Dus de nulpunten zijn (, 0) en (, 0). We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van en Tabel Figuur 8 7 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

77 c Smmetrieas: = 0 Minimum: = 0 = ( 0, ) Nulpunten: = 0 = 0 + = = = = = of = = Dus de nulpunten zijn (, 0) en (, 0) We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van en Tabel Figuur 9 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 7

78 7a Smmetrieas: = 0 Maimum: = = 8 ( 0, 8 ) Nulpunten: + 8 = 0 = 0 8 = 8 8 = = = = of = = Dus de nulpunten zijn (, 0) en (, 0). We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van en Tabel Figuur 0 7 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

79 b Smmetrie-as: = 0 Maimum: =, = 6 ( 0, 6) Nulpunten:, + 6 = 0, = 0 6, = 6 6 = =, = = of = = Dus de nulpunten zijn (, 0) en (, 0). We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van en Tabel Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 7

80 c Smmetrieas: = 0 Minimum: =, 0 7, = 7, ( 0, 7, ) Nulpunten:, 7, = 0, = 0 + 7,, = 7,, = = 7, = =, 7of = =, 7 Dus de nulpunten zijn (, 7, 0) en (, 7, 0). We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van en.,7 0,7 0 7, 0 Tabel Figuur 76 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

81 d Smmetrieas: = 0 Minimum: = 0, 0, =, ( 0,, ) Nulpunten: 0,, = 0 0, = 0 +, 0, =,, = = 9 0, = 9 = of = 9 = Dus de nulpunten zijn (, 0) en (, 0). We maken een tabel met de bij elkaar horende waarden van en. 0 0, 0 Tabel Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 77

82 6 Oplossen van tweedegraads vergelijkingen b a Smmetrieas: = a = 8 = 8 =, dus t = Het is een dalparabool, dus we hebben een minimum. t = t + 8t + t = ( ) + 8 ( ) + = 6 + = Minimum: (, ) b b Smmetrieas: = a = = =, dus t = Het is een bergparabool, dus we hebben een maimum. t = t + t + 7 t = ( ) + ( ) + 7 = = 8 Maimum: (, 8) b c Smmetrieas: = a = = =, dus t = Het is een dalparabool, dus we hebben een minimum. t = t t + t = ( ) ( ) + = + = Minimum: (, ) b d Smmetrieas: = a = 6 = 6 =, dus t = 6 Het is een bergparabool, dus we hebben een maimum. t = t + 6t + 8 t = ( ) + 6 ( ) + 8 = = Maimum: (, ) 78 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

83 b a Smmetrieas: = a = 7 = 7 =,, dus t =, Het is een dalparabool, dus we hebben een minimum. t = t 7t + 0 t = (, ) 7 (, ) + 0 =,, + 0 =, Minimum: (,,, ) b b Smmetrieas: = a = = =,, dus t =, Het is een bergparabool, dus we hebben een maimum. t = t + t + t = (, ) + (, ) + = 6, +, + = 8, Maimum: (,, 8, ) b c Smmetrieas: = a = 7, = 7, =,, dus t =, 6 Het is een dalparabool, dus we hebben een minimum. t = t 7, t t = (, ) 7, (, ) =, 687 9, 7 = 7,7 Minimum: (,, 7, 7) b d Smmetrieas: = a = 0 = 0 = 0,, dus t = 0, 0 0 Het is een bergparabool, dus we hebben een maimum. t = 0t + 0t + 9 t = 0 ( 0, ) + 0 ( 0, ) + 9 =, =, Maimum: ( 0,,, ) a 6 6 = 0 a =, b = 6 en c = 6,, b ± b ac 6 ( 6) = = ± ± 6 ± 7, 7 = = a 6 7, 7, , 7, 7 = = = 6, 9 of = = = 0, 9 Nulpunten: ( 6, 9, 0 ) en ( 0, 9, 0) b 9 + = 0 a =, b = 9 en c =,, b ± b ac 9 ( 9) 9 9 = = ± = ± ± = a 9 = 9 = = of = + = = 7 Nulpunten: (, 0 ) en ( 7, 0) Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 79

84 c = 0 a =, b = 7 en c = 0 b b ac 7 ( 7) = ± = ± = ± = ± a,, 7 = 7 0 = = of = + = = Nulpunten: (, 0 ) en (, 0) d = 0 a =, b = 0 en c = b ± b ac 0 ± ( 0) 0 ± 6 0 ± = = = = a,, = = = 7 of = = = Nulpunten: ( 7, 0 ) en (, 0) e 7 + = 0 a =,, b = 6 en c = 9 b b ac 7 ( 7) 7 7, = ±, = ± = ± = ± a 7 6 = 7 8 = = of = + = = Nulpunten: (, 0 ) en (, 0) a = 0 a =, b = 6 en c = 9,, b ± b ac 6 (- 6) = = ± = ± ± 0 6 = = = a Omdat de discriminant nul is, hebben we hier één nulpunt: (, ) 0. b = 0 a = 9, b = 6 en c =,, b ± b ac 6 ± ( 6) 9-6 ± 96 = = = a = = =, of = = =, Nulpunten: (,, 0 ) en (, 7, 0) 6 ± 6 = 8 80 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

85 c = 0 a = 0, b = 9 en c = 6 b ± b ac 9 ± ( 9) ± 9 ± = = = = a 0 0 0,, = = = 0, of = = =, Nulpunten: ( 0,, 0 ) en (,, 0) d + 0 = 0 a =,, b = en c = 0 b ± b ac ± ( ) 0 ± 079 = = = a 70,, Omdat de discriminant negatief is, hebben we hier geen nulpunten ( 079 heeft geen uitkomst). e + + = 0 a =, b = en c =,, b ± b ac = a ± ( ) ± = = Omdat de discriminant negatief is, hebben we hier geen nulpunten ( heeft geen uitkomst). a = 0 a =, b = 6 en c = 9,, b ± b ac = a 6 ± ( 6) 9 6 ± 7 = = 6 8, 9, , 9, 9 = = = 7, of = = =, Nulpunten: (,, 0 ) en ( 7,, 0) b + = 0 a =, b = en c = 6 ± 8, 9 = b ± b ac = a,, ± ( ) - ± = = Omdat de discriminant negatief is hebben we hier geen nulpunten ( geen uitkomst). heeft Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 8

86 c = 0 a =, b = 8 en c = 7 b ± b ac = a,, 8 ± ( 8) 7 8 ± 6 8 ± 6 = = = = = = 7 of = = = Nulpunten: (, 0 ) en ( 7, 0) d + = 0 a =, b = en c = b ± b ac ( ) = = ± = ± ± = a,, = = = of = + = = Nulpunten: (, 0 ) en (, 0) e + + = 0 a =,, b = en c = b ± b ac = a,, ± ( ) = ± = ±, 7 =, 7 0, 7 +, 7 0, 7 = = =, 7 of = = = 0, - - Nulpunten: ( 0,, 0 ) en (, 7, 0) 8 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

87 6a = a =, b = en c = b Smmetrieas: = a = = = t = Het is een dalparabool t = t t t = ( ) = = Minimum: (, ) b ± b ac ( ) 6 = = ± = ± = ± a,, = 6 = = of = + = = Nulpunten: (, 0 ) en (, 0) Snijpunt met de -as, dan geldt: = 0 = ( 0) 0 = ( 0 ; ). 0 = 0 0 Tabel Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 8

88 b = + + a =, b = en c = b Smmetrieas: = a = = =, t =, Het is een dalparabool t = t + t + t = (, ) +, + =,, + = 0,. Minimum: (,, 0, ) b ± b ac = a,, ± ± ± = = = + = = = of = = = Nulpunten: (, 0 ) en (, 0) Snijpunt met de -as, dan geldt: = 0 = ( 0) = ( 0, )., 0 = , 0 Tabel Figuur 8 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

89 c = + a =, b = en c = b Smmetrieas: = a = = = t = Het is een dalparabool t = t t + t = ( ) + = 8 + = Minimum: (, ),, b ± b ac ± ( ) ± ±, 6 = = = = a, 6 +, 6 7, 6 = = = 0, of = = =, 7 Nulpunten: ( 0,, 0) en (, 7, 0) Snijpunt met de -as, dan geldt: = 0 = ( 0) 0 + = ( 0, ). 0 0,,7 = Tabel Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 8

90 d = + a =, b = en c = b Smmetrieas: = a = = = t = Het is een bergparabool t = t + t t = () + = +8 = Maimum: (, ) b ± b ac ± ± = = = a,, ±, 6 =, 6 7,6 +, 6 0, = = =, 7 of = = = 0, 7 Nulpunten: (,7, 0 ) en ( 0, 7, 0) Snijpunt met de -as, dan geldt: = 0 = ( 0) + 0 = ( 0 ; ). 0 0,7,7 = Tabel Figuur 86 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

91 7a = 6 a =, b = en c = 6 b Smmetrieas: = a = = = 0, t = 0, Het is een dalparabool t = t t 6 t = ( 0, ) 0, 6 = 0, 0, 6 = 6, Minimum: ( 0,, 6,) b ± b ac ( = = ± ) 6 = ± ± = a,, = = = of = + 6 = = Nulpunten: (, 0) en (, 0) Snijpunt met de -as, dan geldt: = 0 = ( 0) 0 6 = 6 ( 0, 6). 0 0, = , 0 Tabel Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 87

92 b = + + a =, b = en c = b Smmetrieas: = a = = = t = Het is een dalparabool t = t + t + t = ( ) + + = + + = 6 Maimum: (, 6) b ± b ac ± ± 6 = = = a,, ± 8 = = = = of = = = Nulpunten: (, 0 ) en (, 0) Snijpunt met de -as, dan geldt: = 0 = ( 0) = ( 0, ). 0 = Tabel Figuur 6 88 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

93 c = + a =, b = en c = 0 b Smmetrieas: = a = = = 0, 7 t = 0, 7 Het is een dalparabool t = t + t t = ( 0,7) + 0,7 =,, =, Minimum: ( 0, 7,, ) + = 0 We hebben hier te maken met een onvolledige tweedegraads vergelijking (de constante ontbreekt). Een dergelijke vergelijking kunnen we eenvoudig oplossen door ontbinden in factoren: ( + ) = 0 = 0 of + = 0 = 0 of = = 0 of =, Nulpunten: (,, 0 ) en ( 0, 0) Snijpunt met de -as, dan geldt: = 0 = ( 0) 0 = 0 ( 0, 0)., 0,7 0 = + 0, 0 Tabel Figuur 7 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 89

94 d f( ) = + 6 a =, b = 6 en c = b Smmetrieas: = a = 6 = 6 = t = Het is een bergparabool t = t + 6t t = ( ) + 6 = = Maimum: (, ) b ± b ac 6 ± 6 6 ± 6 6 ± = = = = a,, = = = of = = = Nulpunten: (, 0) en (, 0) Snijpunt met de -as, dan geldt: = 0 = ( 0) = ( 0, ). 0 f() = Tabel Figuur 8 90 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

95 7 Wortelverbanden a Zie tabel ,7,9, Tabel Figuur b Zie tabel Tabel Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 9

96 Figuur c Zie tabel Tabel Figuur d Zie tabel ,,,7,9 Tabel 9 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

97 Figuur a Zie tabel. 0, 6,,,9,7 0,7 Tabel Figuur b Zie tabel. 0 Tabel 6 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 9

98 Figuur 6 c Zie tabel Tabel Figuur 7 d Zie tabel. 0 8, 0, Tabel 8 9 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

99 Figuur 8 6 a b Zie figuur Figuur 9 c + 6 = (links en rechts kwadrateren) ( + 6) = ( ) + 6 = = = = Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 9

100 a b 0 (links en rechts +) Zie figuur c Figuur 0 = (links en rechts kwadrateren ) = ( ) = 9 0 = 0 = = 0 a + 0 b Zie figuur Figuur 96 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

101 c + = (links en rechts kwadrateren) 0 ( + ) = ( ) + = = 0 = = 0 6a + 0 b Zie figuur Figuur c + = (links en rechts kwadrateren) ( + ) = ( ) + = 6 = = = 6 8 7a b Let op: bij deling door een negatief getal verandert het ongelijkheidsteken. Zie figuur Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 97

102 c 8 = (links en rechts kwadrateren) ( 8 ) = ( ) 8 = = = = 8a 0, 0 0, b Let op: bij deling door een negatief getal verandert het ongelijkheidsteken. Zie figuur Figuur c 0, = (links en rechts kwadrateren) 0, = 9 (links en rechts ) 0, = 7 (links en rechts delen door 0, ) = 9a = (links en rechts kwadrateren) ( ) = ( ) = = = = b = 8 (links en rechts kwadrateren) ( ) = ( 8) = 6 = 66 c + = (links en rechts kwadrateren) ( + ) = ( ) + = 9 = = = d + 7 = 8 (links en rechts kwadrateren) 7 ( + 7) = ( 8) + 7 = 6 = 7 = = 9 e 8 = (links en rechts kwadrateren) 8 ( 8 ) = ( ) 8 = 6 = 8 = = 98 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

103 0a = (derde macht) = 6 (links en rechts delen door ) = b 7 = (derde macht) 7 = (links en rechts +7 ) = c + = (derde macht) + = 8 (links en rechts ) = d + = (derde macht) + = 6 (links en rechts ) = 66 (links en rechts delen door ) = 66 e, = (derde macht), = 8 (links en rechts + ), = 9 (links en rechts delen door, ) = 6 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 99

104 8 Hogere machtsverbanden a Zie tabel Tabel Figuur 00 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

105 b Zie tabel Tabel Figuur c Zie tabel Tabel Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 0

106 d Zie tabel Tabel Figuur e Zie tabel. 0 0, 0 0, Tabel Figuur 0 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

107 f Zie tabel. 0,,9 0,9, Tabel Figuur 6 g Zie tabel. 0 0, 0 0, Tabel Figuur 7 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 0

108 h Zie tabel. 0 7 Tabel Figuur 8 Zie tabel. 0 = 6, 7, 7 0, 0 0,, 7, 7 Tabel Figuur 9 0 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

109 a Zie tabel. 0 = 8 0, 0 0, 8 = 0, 7, 0, 7 0 0, 7, 0, 7 6 Tabel Figuur 0 b = = 0 ( buiten haakjes halen) 6 6 ( ) = 0 = 0 of = 0 = 0 of = = 0 of = = 0 = 0 = 0 dus snijpunt (0, 0) = = =, dus snijpunt (,,) Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 0

110 a V bol = π r =, 9 r en Vkegel = π r = 9, r r 0 V V bol = kegel =, 9 r 0, 9,, 68, 6, 7 9, r 0 9, 7, 68 8, 78 0, 7, Tabel V kegel V bol Figuur b π r = π r π r π r = 0 ( π r buiten haakjes halen) π r r = 0 π r = 0 of r = 0 r = 0 of r = r =, ( r = 0 is natuurlijk geen zinvolle oplossing) 06 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

111 a Zie tabel. 0 = = Tabel Figuur b = = 0 ( buiten haakjes brengen) ( ) = 0 = 0 of = 0 = 0 of = 0 of = = 0 of = of = = 0 = 0 = 0 dus snijpunt : ( 0, 0) = = ( ) = 6 dus snijpunt : (, 6) = = = 6 dus snijpunt : (, 6) = Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 07

112 6a Zie tabel. 0 = 0,, 6, 6 0, 0 0,, 6, 6 = 0,, 8, 6 0, 0 0,, 6, 8 Tabel 0, , Figuur b 0, = 0, 0, 0, = 0 ( buiten haakjes halen) ( 0, 0, ) = 0 = 0 of 0, 0, = 0 = 0 of 0, = 0, = 0 of = = 0 = 0, 0 = 0 dus snijpunt : ( 0, 0) = = 0, =, 6 dus snijpunt : (,, 6) 7a 6 = 79 = 79 = 6 b 7 7 = = = = = c + = = = 8 = 8 = d = 0 = 0 + = = = 8 = 8 =, 6 e 8 = 8 = = = = 0 = 0 = 08 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

113 f = 7 = 7 + = = = 8 = 8 = g 0, b + =, 0, b =, 0, b =, b =, = b = = 0, h 0, a 8 = 0, 6 0, a = 0, , a = 8, 6 a 8, 6 = = 97, a = 97, =, 6 0, 8a = = 0 ( buiten haakjes halen) = 0 = 0 of = 0 = 0 of b 6 6 = = 0 ( buiten haakjes halen) = = 0 of = = 0 = 0 = 0 of = 0 of = 9 = 0 of = of = = 0 = 0 of = 6 6 c 0 = = 0 ( 0 buiten haakjes halen) 0 ( ) = 0 0 = 0 of = 0 = 0 of = = 0 of =, (wortel nemen) = 0 of =, 8 of =, 8 d = + = 0 ( buiten haakjes halen) + = 0 = 0 of + = 0 (links en rechts vermenigvuldigen met ) = 0 of + 8 = 0 = 0 of = 8 (derdemachtswortel nemen) = 0 of = Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 09

114 e =,, = 0 ( buiten haakjes halen) f 6, = 0 = 0 of = 0 of = 9 = 0 of = of =, = 0 = 0 of = = 0 ( buiten haakjes halen) =, = 0 = 0 of = 0 = 0 of = = 0 of = 8 = g 0, = 7, 0, 7, = 0 ( 7 buiten haakjes halen) 7 7 ( 0,, ) = 0 = 0 of 0,, = 0 = 0 of 0, =,, = 0 of = = 0, h 0, = + 6 0, 7 = 0, 7 = 0 ( buiten haakjes halen) ( 0, 7 ) = 0 = 0 of 0, 7 = 0 = 0 of 0, 7 = = 0 of = =, 0, Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

115 9 Lijnen, hoeken en driehoeken a 0 ; 0 b 0, stomp ;, scherp 90, recht ;, scherp 0, scherp ; 90, recht c 70, scherp ;, scherp, stomp ; 60, scherp a Zie figuur a: hoek = hoek 6 Zie figuur b: hoek = hoek 6 Zie figuur c: hoek = hoek 8 = hoek Zie figuur d: hoek = hoek 8 b Zie figuur a: hoek = hoek ; hoek = hoek ; hoek = hoek 7 en hoek 6 = hoek 8 Zie figuur b: hoek = hoek ; hoek = hoek ; hoek = hoek 7 en hoek 6 =hoek 8 Zie figuur c: hoek = hoek ; hoek = hoek ; hoek = hoek 7 ; hoek 6 = hoek 8 ; hoek 9 = hoek en hoek 0 = hoek Zie figuur d: hoek = hoek ; hoek = hoek ; hoek = hoek 7 en hoek 6 = hoek 8 L = 80 K M = = 6 a BC = AB + AC ( cm) = ( cm) + AC 69 = + AC AC b Zie figuur 7. = 69 = AC = = a Tekening b A = 80 B C A = = 8 c AC = AB + BC AC = ( cm) + ( 8cm) = + 6 = 89 AC = 89 = 7cm d - 6a Tekening b B = 80 A C = = 77 c AB = AC + BC ( cm) = ( 7cm) + AC 6 = 9 + AC d - AC = 6 9 = 76 AC = 76 = cm Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

116 7a Zie tekening. R P T S 6 Z U Q Figuur b PQZ, QRZ, PRZ c PTZ, PUZ, QSZ, QUZ, RSZ, RTZ d P = P = Q = Q = R = R = 0 U = U = S = S = T = T = 90 Z = Z = Z = Z = Z = Z6 = 60 8a 0 b 8 kleine en grote c 60 9 A = b h A = = 9 8 cm cm, cm 0 A = b h 7 = h = h h = = cm cm 8cm 9 A = b h A = = 7 6 cm cm cm 8, A = b h 8, cm = b 6, cm 8, = b, b = =, 7cm, a tophoek + basishoek = 80 basishoek = 80 tophoek = 80 = 8 basishoek = 79 7, 68 b A = b h 7, 68cm = b 0, cm 7, 68 = b, b = =, cm, c Beide schuine zijden zijn even lang en kunnen berekenen we met de stelling van Pthagoras. De beide rechthoekzijden zijn respectievelijk de helft van de basis en de hoogte, dus: schuine zijde = (, 7 cm) + ( 0, cm) =, 89cm + 08, 6cm =, 0cm schuine zijde =, 0 = 0, cm Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

117 0 Vierhoeken a RTZS ; PTZU ; QSZU b P = R = Q = 60 T = T = S = U = S = U = 90 Z, = Z, = Z, 6 = 0 a O = l + b = cm + 8cm = 0cm b A = l b A = cm 8cm = 96cm a A = l b 9, cm 9, = l, cm l = = cm, b O = l + b O = cm +, cm =, cm a O = l + b, 6cm = l + 6, cm, 6 = l +,, l =, 6, =, l = =, 6 cm b A = l b A =, 6cm 6, cm = 7, 9cm a O = z O = cm = cm b A = z A = ( cm) = 69cm, 8 6a O = z, 8cm = z z = = b A = z A = ( 8, cm) = 67, cm 8, cm 7a A = z, cm = z z =, =, cm b O = z O =, cm =, cm 8 A = b h A = cm 7cm = 8 cm 0 9 A = b h 0cm = b cm b = = 8, cm 0 A = b h 9, 9, cm = 7, 6cm h h = =, cm 7, 6 A = d d A = 8cm cm = 8cm A = d d cm = cm d = d d = = cm Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

118 A = d d 0, cm = 7, 6 cm d 0, =, 8 d 0, d = =, cm, 8 A = h ( AB + CD) A = cm ( 6 cm +, cm) =, 6 cm A = h ( AB + CD), cm =, 8 cm ( AB +, 9 cm),, =, 9 ( AB +, 9) ( AB +, 9) = = 8 AB = 8, 9 =, cm, 9 6 A = h ( AB + CD) 7, 7 cm = h (, cm + 8, 8 cm) 7, 7 7, 7 = h, h = = 6, cm, 7 A = h ( AB + CD) 00 cm = cm ( cm + CD ) 00 = 6 ( + CD) 00 ( + CD ) = = 0 CD = 0 = 8 cm 6 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

119 Cirkel en cirkelsector a O = π d O = π mm = 78, mm b O = π r O = π, 7mm = 9, mm c O = π d O = π 8, mm =, 7mm a A = π r A = π ( 67mm) =. 0, 6mm b r = d r =, 7mm = 0, 8mm A = π r A = π ( 0, 8mm) =, 7mm c A = π r A = π ( 8mm) = 76. 8, 0mm a O = π r 06, 8 mm = π r r = b d = r d = 7, 0 mm =, 0 mm c A = π r A = π ( 7, 0 mm) = 907, 9mm 06, 8 = 7, 0 mm π a A = π r 0cm = π r r 0 = = 0, 86cm r = π 0, 86 = 0, cm b d = r d = 0, = 0, cm c O = π d O = π 0, cm = 6, cm A = π r π r A = π ( cm) π ( cm) =, 7cm 6a A = π r π r A = π ( 7mm) π ( mm) =, 7mm b A = π r π r A = π ( 0, 8cm) π ( 0, cm) = 0, 8cm c A = π r π r A = π ( 6, 8 mm) π (, 7mm) =, mm 7 A = π r π r A = π (, mm) π ( mm) = 08, mm Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

120 8 A = π r π r, 8cm = π r π ( 6, cm), 8cm = π r 6, 9 π =, 8 + 6, 9 = 7, 7 r 7, 7 = = 86, π r r = 86, = 9, cm 9 r = d r =, mm =, 6mm A = π r π r, 9mm = π (, 6mm) π r, 9mm = 08, 9 π r π r = 08, 9, 9 = 707 r 707 = =, π r =, =, mm d = r d =, mm = 6, 6 mm α 60 0a lc = π r lc = π cm = 6, cm α b lc = π r lc = π 6, 8cm = 9, 6cm α 90 c lc = π r lc = π 7, mm = 8, 9m α α lc = π r 0cm = π cm α 0 = = 0, α = 0, 60 = 76, 60 π α 7 a A = π r A = π ( cm) =, cm α 0 b A = π r A = π ( 9, cm) = 97, 7cm α c A = π r A = π (, mm) = 7, 7mm Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

121 α α a A = π r, cm = π ( 7, cm) α α,, = 76, 7 = = 0, α = 0, 60 =, , 7 α, 9 b lc = π r lc = π 7, cm = 6, 8 cm a Aring = π r π r A = π (, 0 m) π ( 0, 70 m) =, m Aring sec tor = Aring Aring sec tor =, m =, m α 70 b lc (buiten) = π r lc (buiten) = π, 0 m = 7, 07 m α 70 lc (binnen) = π r lc (binnen) = π 0, 70 m =, 0 m l rand = 7, 07m + 0, 80 m +, 0 m + 0, 80 m =, 97m Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 7

122 Veelhoeken a an = R sin a0 = 0cm sin = 8, cm n b An = n R sin A0 = 0 ( 0cm) sin = 6cm n a an = R sin a = 0cm sin =, cm n b An = n R sin A = ( 0cm) sin = 9, cm n a an = R sin a6 = cm sin = cm n b An = n R sin A6 = 6 ( cm) sin =, 6cm n a an = R sin a8 = cm sin =, cm n b An = n R sin A8 = 8 ( cm) sin = 66, cm n a n = R sin, cm = cm sin n n, = sin 0, 707 = sin n n (CASIO f-8: SHIFT sin [ 0, 707 ] =, TI-0: nd sin [ 0, 707 ] = ) 80 = n = 80 n 80 n = = We hebben dus te maken met een regelmatige vierhoek. 8 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

123 a an = R sin a = 6cm sin =, cm n b An = n R sin A = ( 6cm) sin = 08cm n c,cm 7a an = R sin a7 = 0, cm sin = 0, 9cm n 7 b O = n a O = 7 0, 9cm =, 07cm c O = π R O = π 0, cm =, cm 8a an = R sin a6 = 0, m sin = 0, 9m n 6 b O = n a O = 6 0, 9m =, 6m c O = π r O = π 0, m =, m 9a an = R sin a0 = 0, dm sin = 0, 8660dm n 0 b O = n a O = 0 0, 8660dm =, 98dm c O = π R O = π 0, dm =, dm 0a an = R sin a60 = 0, cm sin = 0, 0cm n 60 b O = n a O = 60 0, 0cm =, 8cm c O = π R O = π 0, cm =, cm De omtrek van een zestighoek benadert de omtrek van een cirkel. Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 9

124 Inleiding goniometrische verhoudingen o, 6 Figuur : tan α = = = 0, 60 a, o, 9 Figuur : tan β = = =, 000 a, 9 o, 0 Figuur : tan γ = = =, 66 a, o, Figuur 6: tan δ = = = 0, 9 a, tan α = 0, 60 α =, tan β =, 000 β = tan γ =, 66 γ = 7, 6 tan δ = 0, 9 δ = 6, tan α = 0, α =, 7 a % betekent: als we horizontaal 00 meter afleggen, gaan we meter omhoog. o m tan α = tan α = = 0, α = 6, 8 a 00 m b Als we 0 meter horizontaal afleggen, gaan we 8 meter omhoog. s = a + o s = ( 0 m) + ( 8 m) =, m o 0 m c tan α = 0, = a = 8, m a a s = a + o s = ( 8, m) + ( 0 m) = 8, 9 m 0 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

125 a S = tan α S = tan, 79 = 0, 08 = 8% b We gaan 8% van 0 m = 0, 08 0 = 0 m omhoog. Afgelegde weg = = 0, 8 m m c m % m % % = 87, m 8 8 s = a + o s = ( 87, m) + ( m) = 88, m 6 S = tan α S = tan 0 =, 9 Dit komt neer op een hellingspercentage van 9, %. 7a A : BC is de overstaande rechthoekzijde en AB is de aanliggende rechthoekzijde C : AB is de overstaande rechthoekzijde en BC is de aanliggende rechthoekzijde. o 7 b tan A = tan A = = 0, 79 A = 8, a o tan C = tan C = =, 9 C =, 6 a 7 c P : QR is de overstaande rechthoekzijde en PR is de aanliggende rechthoekzijde. Q : PR is de overstaande rechthoekzijde en QR is de aanliggende rechthoekzijde. o tan P = tan P = =, 870 P = 6, 9 a o tan Q = tan Q = = 0, Q = 8, a 8a De helft van de zijgevel =, 6 m tan α = o tan = o a, 6m o =, 6 tan =, m hoogte h =, m b Lengte van de daklijn l =, +, 6 =, 6 m c Hoek van de nok = 80 = 0 o o 9 tan 8 = = o = 7, 6 tan8 = m hoogte is m a 7, 6 m Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

126 o, 8 m 0a tan α = tan α = = 0, 76 α =, 6 a m b C = 80 A B C = 80, 6 0 = 9, h, 8 m, 8 c tan B = tan 0 = BD tan 0 =, 8 BD = =, 00 m BD BD tan 0 o, 8 m, 8 sin β = sin 0 = sin 0 s =, 8 m s = =, 0 m s s tan 0 a Tekening b B = 80 A C = = 0 o BC BC c sin A = = sin 0 = BC = 7, 8 sin 0 =, 0 cm s AB 7, 8 cm o AC AC d sin B = = sin 0 = AC = 7, 8 sin 0 = 6, 0 cm s AB 7, 8 cm o AC AC a sin B = = sin 6 = AC =, 0 sin 6 =, 6 m s BC, 0 m b C = 80 A B = = 7 o AB AB sin C = = sin 7 = AB =, 0 sin 7 =, 8 m s BC, 0 m Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

127 α = 80 β γ = = o AB cm sin γ = = sin 7 = sin 7 AC = AC = = 0, cm s AC AC sin 7 o BC BC sin α = = sin = BC = 0, sin =, 0 cm s AC 0, cm γ = 80 α β = = o BC BC sin α = = sin 7 = BC = 0 sin 7 = 6, 8 cm s AC 0 cm o AB AB sin γ = = sin = AB = 0 sin = 0, 9 cm s AC 0 cm 6 γ = 80 α β = = 0 o AB cm sin γ = = sin 0 = BC = =, 6 cm s BC BC sin 0 o AC AC sin β = = sin 0 = AC =, 6 sin 0 =, 0 cm s BC, 6 cm a AD, cm, 7a cos A = = cos69 = cos 69 AC =, AC = =, cm s AC AC cos69 b AB = AD AB =, cm =, 6 cm c BD = AB AD BD =, 6 cm, cm =, cm a BD, cm cos B = = cos B = = 0, 6 s BC, 0 cm B =, d C = 80 A B C = 80 69, = 7, 9 e CD = AC AD CD = (, cm) + (, cm) =, cm Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

128 a BC BC 8a cos C = = cos = BC = 600 cos = 6 m s AC 600 m a AB b A = 80 B C A = = 7 cos A = = s AC AB cos7 = AB = 600 cos7 = 79 m 600 m 9 γ = 80 α β = = a AB 9, cm 9, cosα = = cos7 = cos 7 AC = 9, AC = =, 9 cm s AC AC cos7 a BC BC cos γ = = cos = BC =, 9 cos = 7, cm s AC, 9 cm 0 BS = DS BS = 0 cm = 0 cm ABS : B = B = 80 S A = = B = B + B = + = 66 a BS 0cm cos B = = cos7 = cos7 AB = 0 s AB AB 0 AB = =, cm cos7 AB = BC =, cm a AS AS cos A = = cos7 = AS =, cos7 = 0 cm s AB, cm AD = AS + AD AD = ( 0 cm) + ( 0 cm) =, 6 cm DC = AD =, 6 cm a DS 0 cm cos D = = cos D = = 0, 6 s AD, 6 cm D = 7, 6 D = D = 7, 6 ; D = D + D = 7, 6 + 7, 6 =, ABD : A = 80 B D = 80 7, 6 = 7, C = A = 7, Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

129 0 0 a cos0 = a cos0 = mm cos0 s = 0 s = s s cos0 = 0, mm o o b sin 0 = sin0 = o = 0, sin 0 =, mm s 0, mm diameter top = 0, 0 mm, mm =, 0 mm a AD AD a cos A = = cos60 = AD = 6 cos60 = cm s AC 6 cm b CD = AC AD CD = ( 6 cm) ( cm) =, cm c BD = AB AD BD = cm cm = 9 cm d BC = BD + CD BC = ( 9 cm) + (, cm) = 0, cm Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

130 Rekenen met goniometrische eenheden a sin 0 = 0 b sin 0 = 0, c sin = 0, 7 d sin 60 = 0, 87 e sin90 = f cos 0 = g cos 0 = 0, 87 h cos = 0, 7 i cos 60 = 0, j cos 90 = 0 a sin 0 = cos90 b sin 0 = cos60 c sin = cos d sin 60 = cos0 e sin 90 = cos0 a cos( 90 α) = 0, 906 sin α = 0, 906 α = 7, b sin( 90 α) = 0, 88 cos α = 0, 88 α = 60, 0 c cos( 90 α) = 0, 9 sin α = 0, 9 α = 6, 7 d sin( 90 α) = 0, 7 cos α = 0, 7 α = 7, 8 e cos( 90 α) = 0, 966 sin α = 0, 966 α = 8, Kwadrant Kwadrant Kwadrant Kwadrant Sinus verticaal verticaal verticaal verticaal horizontaal horizontaal horizontaal horizontaal positief positief positief positief negatief negatief negatief negatief Cosinus verticaal verticaal verticaal verticaal horizontaal horizontaal horizontaal horizontaal positief positief positief positief negatief negatief negatief negatief Tabel 6 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

131 a sin 0 = 0, 6 b sin( 0 ) = 0, c sin 0 = 0, 9 d sin 0 = 0, e sin 7 = 0, 96 f sin60 = 0 g cos 0 = 0, 77 h cos( 0 ) = 0, i cos 70 = 0 j cos 0 = 0, 6 k cos 0 = 0, 87 l cos = 0, 7 6a kwadrant b kwadrant c kwadrant d kwadrant e kwadrant f kwadrant g kwadrant h kwadrant i kwadrant j kwadrant k kwadrant l kwadrant 7 kwadrant kwadrant kwadrant kwadrant Sinus positief positief negatief negatief Cosinus positief negatief negatief positief Tangens positief negatief positief negatief Tabel 8a AB = α r AB = rad m = m b booglengte AB = α r = = m c booglengte AB = α r = = m d booglengte AB = α r = π = 6, 8 m 9a 8 α = 8 π rad 60 = 0, 7π rad = 0, 8 rad b α = π rad 60 = 0, 69π rad =, 6rad c 70 α = 70 π rad 60 =, π rad =, 7rad Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 7

132 d 90 α = 90 π rad 60 = 0, π rad =, 7rad e α = π rad 60 =, π rad =, 9rad f 0 α = 0 π rad 60 =, 8π rad =, 76rad 0a b 0, 78 α π π π 0, π = 0, 78 rad = rad = 0, rad 60 = π 0, α π π π 0, 6π = 0, rad = rad = 0, 6 rad 60 = 8, 8 π 0, π c α = 0, π rad 60 = 90 π 0, π d α = 0, π rad 60 = 9, π e f α π π π, 9π = rad = rad =, 9 rad 60 = 86, π, α π π π, π =, rad = rad =, rad 60 =, 8 π a sin, = 0, 78 b sin( π ) = 0, 707 c cos 8 = 0, d cos 8 = 0, 66 e tan( 0, π ) = f tan, 0 =, 7 g sin = 0, h sin = 0, 707 i cos, 67 = 0, 88 j cos(, π ) = 0, 707 k tan 60 =, 7 l tan 0 = 0, 77 8 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

133 a sin α = 0, 8, α = 0, 97rad of α = π 0, 97 =, 7rad b sin α = 0,, α = 0, rad of α = π 0, =, 66rad c sin α = 0, 866, α =, 0rad of α = π, 0 =, 9rad d sin α = 0,, α = 0, 6rad of α = π 0, 6 =, 8 rad e cos α = 0,, α =, 6rad of α = π, 6 =, rad f cos α = 0, 866, α =, 6rad of α = π, 6 =, 66rad g cos α = 0, 0, α =, rad of α = π, =, 7rad h cos α = 0,, α =, 09rad of α = π, 09 =, 9rad i tan α =, 8, α = 0, 8rad j tan α =, 8, α = 0, 8rad k tanα =, α = 0, 79rad 00 a = 00gon 60 b 00gon = 8, 9gon 60 c d e f gon = 0, 6gon gon = 66, 7gon gon = 8, gon 60 00gon = 6, gon a 80gon 80 = 00 6gon b 6gon 60 = 8, 00gon c d e f 0 gon 0gon 60 = 6 00 gon 0gon 0gon 60 = 00gon 00gon 00gon 60 = 80 00gon 80gon 80gon 60 = 7 00gon Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 9

134 a sin 0 = 0, b cos = 0, 7 c tan 7 =, 7 d sin 60gon = 0, 809 e cos 0gon = 0, 88 f tan 0gon =, 96 g sin 0, π = 0, 809 h cos π = i tan = 0, 6a sin α = 0, 6 α = 8, gon of α = 00gon 8, gon = 6, 9gon b cos α = 0, 7 α =, gon of α = 00gon, gon = 7, 7gon c tan α = 0, α = 7, 0gon d sin α = 0, 7 α =, gon of α = 00gon, gon =, 9gon e cos α = 0, 89 α = 9, 7gon of α = 00gon 9, 7gon = 70, gon f tan α = 0, 7 α = 6, 0gon 0 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

135 Sinusregel en cosinusregel b a b sin α = sin β 0 cm 6 cm sin α = sin 0 sin 0 sin 0 α = = 0, 8 6 α = 6, γ = , = 9, 6 b c sin β = sin γ 6 cm sin 0 = c sin 9, 6 6 c = sin 9, 6 =, 0cm sin 0 b a b sin α = sin β 0 cm b = sin 0 sin 70 0 sin 70 b = =, cm sin 0 γ = = 60 a c sin α = sin γ 0 cm c = sin 0 sin 60 0 sin 60 c = =, 6cm sin 0 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

136 AB BC sin C = sin A 0 m 60 m = sin sin A 60 sin sin A = = 0, 8 0 A = 7, B = 80 7, = 67, 6 AB AC sin C = sin B 0 m sin = AC sin 67, 6 0 sin 67, 6 AC = = 9m sin b a b sin α = sin β cm cm = sin 0 sin β sin sin β = 0 = 0, 98 β = 7, γ = , = 6, 8 a c sin α = sin γ cm sin 0 = c sin 6, 8 c = sin 6, 8 =, cm sin 0 a = b + c b c cos α ( cm) = ( cm) + ( 7 cm) cm 7 cm cosα 6 = cosα 8 = 70 cos α 8 cos α = = 0, 89 α = 70 De tweede hoek berekenen we weer met de sinusregel: a b sin α = sin β cm cm = sin sin β sin sin β = = 0, 699 β =,, γ = 80, = 0, 7 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

137 6 a = b + c b c cosα ( cm) = ( 6 cm) + ( 0 cm) 6 cm 0 cm cosα = cosα = 0 cos α cos α = = 0, 9 α =, 0 De tweede hoek gaan we met de sinusregel berekenen: a b sin α = sin β cm 6 cm = sin, sin β 6 sin, sin β = = 0, 69 β =,, γ = 80,, = 0, 7 a = b + c b c cosα a = ( 9 cm) + ( 6 cm) 9 cm 6 cm cos a = 6, 7 a = 6, 7 =, 0cm a b sin α = sin β, 0 cm 9 cm = sin sin β 9 sin sin β = = 0, 806 β =, 7, 0 γ = 80, 7 = 0, 8 c = a + b a b cos γ c = 8 cm + 9 cm 8 cm 9 cm cos0 c =, c =, = 6, 0cm a c sin α = sin γ 8 cm 6, 0 cm sin α = sin0 8 sin0 sin α = = 0, α = 8, 7 6, 0 β = , 7 =, Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

138 6 Grafieken van goniometrische verbanden a =, 0 of = π, 0 =,, 0 =, 09 =, 0rad + k π en =, 09rad + k π b = 0, 0 of = π 0, 0 =, 0, 0 =, 9 = 0, 0 rad + k π en =, 9 rad + k π c =, 7 =, 7rad + k π d = 0, of = π 0, =, 0, =, 66 = 0, rad + k π en =, 66rad + k π e = 0 of = π 0 =, =, = 0 rad + k π f = 0, 0 of = π 0, 0 =, 0, 0 =, = 0, 0 rad + k π en =, rad + k π g = 0,7 of = π 0, 7 =, 0, 7 =, 8 = 0, 7rad + k π en =, 8rad + k π a = 0, 9 en = π 0, 9 = 6, 8 0, 9 =, = 0, 9rad + k π en =, rad + k π b =, 7 en = π, 7 = 6, 8, 7 =, 0 =, 7rad + k π en =, 0rad + k π c =, 7 en = π, 7 = 6, 8, 7 =, 7 =, 7rad + k π en =, 7 rad + k π d =, en = π, = 6, 8, =, = =, rad + k π e =, 6 en = π, 6 = 6, 8, 6 =, 66 =, 6rad + k π en =, 66rad + k π f =, en = π, = 6, 8, =, 07 =, rad + k π en =, 07rad + k π g =, 8 en = π, 8 = 6, 8, 8 =, 6 =, 8rad + k π en =, 6rad + k Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

139 a = 0, 9rad + k π b =, 7rad + k π c = 0, 79rad + k π d = 0, 79rad + k π e = 0, 7rad + k π f =,0rad + k π g = 0, 0 rad + k π a Zie figuur Figuur b Zie figuur Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

140 c Zie figuur Figuur d Zie figuur Figuur e Zie figuur Figuur 6 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

141 f Zie figuur Figuur 6 g Zie figuur Figuur h Zie figuur Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 7

142 i Zie figuur Figuur 9 j Zie figuur Figuur 0 a = 0, 9rad + k π (delen door ) = π 0, 9 = 6, 8 0, 9 =, rad + k π (delen door ) = 0, rad + k 0, 67π en =, 78 + k 0, 67π b = 0, 79 + k π (vermenigvuldigen met ) =, 8 + k π c =, 0rad + k π (vermenigvuldigen met ) = π, 0 =,, 0 =, 09rad + k π (vermenigvuldigen met ) =, rad + k 6π en = 6, 7 + k 6π d, =, 09rad + k π (delen door, ), = π, 09 = 6, 8, 09 =, 9rad + k π (delen door, ) = 0, 8 rad + k 0, 8π en =, 68 + k 0, 8π 8 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

143 e =, 0 rad + k π (delen door ) = π, 0 =,, 0 =, 8 rad + k π (delen door ) = 0, rad + k 0, 67π en =, 9 + k 0, 67π f =, 0 + k π (delen door ) =, 0 + k 0, π g 0, =, 7rad + k π (vermenigvuldigen met ) =, rad + k π h 0, =, rad + k π (vermenigvuldigen met ) =, 6rad + k 8π 6a, sin = (delen door, ) sin = 0, 667 = 0, 7 en = π 0, 7 =, 0, 7 =, = 0, 7rad + k π of =, rad + k π b cos =, (delen door ) cos = 0, 7 = 0, 7 en = π 0, 7 = 6, 8 0, 7 =, 6 = 0, 7rad + k π en =, 6rad + k π c 0, tan = (vermenigvuldigen met ) tan = =, rad + k π 7a Zie figuur Figuur + π = 0, 9 en + π = π 0, 9 =, 0, 9 =, π = 0, 9 (links en rechts 6 6 π ) + π =, (links en rechts 6 6 π ) = 0, 9 π = 0, 9 0, = 0, en =, π =, 0, =, = 0, rad + k π en =, 69rad + k π Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 9

144 b Zie figuur Figuur 0, =, 77 en 0, = π, 77 = 6, 8, 77 =, 0, =, 77 (links en rechts + 0, ) 0, =, (links en rechts + 0, ) =, , =, 7 en =, + 0, =, 0 =, 7rad + k π en =, 0rad + k π c Zie figuur Figuur π =, 6 en π = π, 6 = 6, 8, 6 =, 6 6 π =, 6 (links en rechts π ) π =, (links en rechts π ) =, 6 + π =, 6 + 0, =, 68 en =, + π =, + 0, =, =, 68 rad + k π en =, 6 rad + k π 0 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

145 d Zie figuur Figuur + = 0, 8 en + = π 0, 8 =, 0, 8 =, 99 + = 0, 8 (links en rechts ) + =, 99 (links en rechts ) = 0, 8 = 0, 8 =, 8 en =, 99 =, 9 =, 99 =, 8rad + k π en =, 99rad + k π e Zie figuur Figuur π =, (links en rechts π ) =, + π =, + 0, =, 6 6 =, 6rad + k π Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

146 f Zie figuur Figuur 6 + π = 0, 6 (links en rechts 6 6 π ) = 0,6 π = 0, 6 0, = 0, 98 6 = -0, 98 rad + k π g Zie figuur Figuur 7 sin( ) =, (delen door ) sin( π) = 0, 7 π π = 0, 8 en π = π 0, 8 =, 0, 8 =, 9 π = 0, 8 (links en rechts + π ) Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

147 π =, 9 (links en rechts + π ) = 0, 8 + π = 0, 8 +, 0 =, 90 en =, 9 + π =, 9 +, 0 =, =, 90 rad + k π en =, rad + k π h Zie figuur Figuur 8 cos( + π ) = (delen door ) cos( + π) = 0, π = 0, 8 en + π = π 0, 8 = 6, 8 0, 8 =, π = 0, 8 (links en rechts 6 6 π ) + π =, (links en rechts 6 6 π ) = 0, 8 π = 0, 8 0, = 0, en =, π =, 0, =, = 0, rad + k π en =, 9rad + k π Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

148 i Zie figuur Figuur 9 tan( π ) = (delen door ) tan( π) =, π = 0, 98 (links en rechts + π ) = 0, 98 + π = 0, 98 +, 0 =, 0 =, 0rad + k π 8a Zie figuur Figuur 0 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

149 b Zie figuur Figuur c Zie figuur Figuur d Zie figuur Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

150 7 Formules opstellen bij goniometrische grafieken a Stappenplan Stap De grafiek is te herleiden tot een sinusvorm. Stap De amplitude is, dus c =. Stap Verschuiving 0, naar links, dus ( + 0, ). Stap Er is geen verschuiving op de -as, dus d = 0. Stap De periode is π, dus b = π. Functievoorschrift: π f( ) = d + c sin ( ± a) f( ) sin ( b = 0 + π π + 0, ) f( ) = sin( + 0, ) b Stappenplan Stap De grafiek is te herleiden tot een sinusvorm. Stap De amplitude is, dus c =. Stap Geen verschuiving naar rechts of links, dus a = 0. Stap Er is een verschuiving van op de -as, dus d =. Stap De periode is π, dus b = π. Functievoorschrift: π f( ) = d + c sin ( ± a) f( ) sin ( b = + π π + 0) f( ) = + sin 6 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

151 c Stappenplan Stap De grafiek is te herleiden tot een cosinusvorm. Stap De amplitude is, dus c =. Stap Er is geen verschuiving op de -as, dus a = 0. Stap Er is een verschuiving op de -as van 0,, dus d = 0,. Stap De periode is π, dus b = π. Functievoorschrift: π f( ) = d + c cos ( ± a) f( ), cos b = 0 + π π + ( 0) f( ) = 0, + cos d Stappenplan Stap De grafiek is te herleiden tot een cosinusvorm. Stap De amplitude is, dus c =. Stap Verschuiving naar rechts, dus ( ). Stap Er is geen verschuiving op de -as, dus d = 0. Stap De periode is π, dus b = π. Functievoorschrift: π f( ) = d + c cos ( ± a) f( ) cos ( b = 0 + π π ) f( ) = cos( ) Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 7

152 e Stappenplan Stap De grafiek is te herleiden tot een tangensvorm. Stap Bij een tangensfunctie is geen sprake van amplitude. Stap Geen verschuiving op de -as, dus a = 0. Stap Verschuiving op de -as van, dus d =. Stap De periode is π, dus b = π. Functievoorschrift: π f( ) = d + c tan ( ± a) b π f( ) = + c tan ( + 0) π Ten slotte de waarde van c bepalen. De grafiek gaat door (,, 0 ) dus volgt 0 = + c tan(, ) c = =, 0 tan, f( ) = +, 0 tan = + tan f Stappenplan Stap De grafiek is te herleiden tot een tangensvorm. Stap Bij een tangensfunctie is geen sprake van amplitude. Stap Verschuiving 0, naar rechts, dus ( 0, ). Stap Verschuiving op de -as van, dus d =. Stap De periode is π, dus b = π. Functievoorschrift: π f( ) = d + c tan ( ± a) b π f( ) = + c tan ( 0, ) f( ) = + c tan( 0, ) π Ten slotte de waarde van c bepalen. De grafiek gaat door (,, 0 ) 0 = + c tan(, 0, ) c = =, tan 0, 7 f( ) = +, tan( 0, ) 8 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

153 g Stappenplan Stap De grafiek is te herleiden tot een sinusvorm. Stap De amplitude is 0,, dus c = 0,. Stap Geen verschuiving op de -as, dus a = 0. Stap Verschuiving op de -as is, dus d =. Stap De periode is π, dus b = π. Functievoorschrift: π f( ) = d + c sin ( ± a) f( ), sin b = + 0 π π ( ) + 0 f( ) = + 0, sin h Stappenplan Stap De grafiek is te herleiden tot een cosinusvorm. Stap De amplitude is, dus c =. Stap Verschuiving 0, naar links, dus ( + 0, ). Stap Verschuiving op de -as is, dus d =. Stap De periode is π, dus b = π. Functievoorschrift: π f( ) = d + c cos ( ± a) f( ) cos ( b = + π π + 0, ) f( ) = + cos( + 0, ) Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 9

154 a Stappenplan Stap De grafiek is te herleiden tot een sinusvorm. Stap De amplitude is, dus c =. Stap Verschuiving 0, naar rechts, dus ( 0, ). Stap Geen verschuiving op de -as, dus d = 0. Stap De periode is π, dus b = π. Functievoorschrift: π f( ) = d + c sin ( ± a) f( ) sin ( b = 0 + π π 0, ) ( ) f( ) = sin 0, ( 0, ) b Stappenplan Stap De grafiek is te herleiden tot een cosinusvorm. Stap De amplitude is, dus c =. Stap Verschuiving naar links, dus ( + ). Stap Verschuiving op de -as is, dus d =. Stap De periode is π, dus b = π. Functievoorschrift: π f( ) = d + c cos ( ± a) f( ) cos ( b = + π π + ) f( ) = + cos ( + ) ( ) 0 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

155 c Stappenplan Stap De grafiek is te herleiden tot een sinusvorm. Stap De amplitude is, dus c =. Stap Verschuiving naar rechts, dus ( ). Stap Verschuiving op de -as is, dus d =. Stap De periode is 0, π, dus b = 0, π. Functievoorschrift: π f( ) = d + c sin ( ± a) f( ) sin b = + π 0, π ( ) f( ) = + sin ( ) ( ) d Stappenplan Stap De grafiek is te herleiden tot een cosinusvorm. Stap De amplitude is, dus c =. Stap Verschuiving 0, naar rechts, dus ( 0, ). Stap Verschuiving op de -as is 0, dus d = 0. Stap De periode is π /, dus b = π /. Functievoorschrift: π f( ) = d + c cos ( ± a) f( ) cos ( b = 0 + π 0, ) π f( ) = cos ( 0, ) ( ) Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

156 8 Inleiding logaritmen a log9 = log = b log7 = log = c log6 = log = d log = log = e 7 log7 = 7 log7 = f 8 log6 = 8 log8 = g log6 = log = h log = log 0 = 0 i 0 log000 = 0 log0 = j log = log = a log b log c log d log 0 e log, f log, a log log = =, 6 log b log log = =, log c log8 log8 = =, 0 log d log0 log0 = =, 66 log e 0, log log = =, log 0, Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

157 f, log, 8 log, 8 = = 8, 60 log, g log8 log8 = =, 8 log h log8 log8 = =, 89 log a We zoeken op de horizontale as 70 C op, daarna volgen we de lijn naar boven en komen uit bij 00Ω. b 0, kω = 00Ω ; we zoeken de waarde op de verticale as, volgen de lijn naar rechts en komen uit bij 60 C. a Ongeveer db ; ongeveer 0dB ; ongeveer 8dB. b 60 foon ca. Hz ; 80 foon ca. 0 Hz ; 00 foon ca. 7, 000,. 000 en 8000 Hz ; 0 foon ca en. 000 Hz 6a b 7a b c We zoeken op de verticale as 00 C op, volgen de lijn naar rechts en vinden de waarde ca. 8 m/min. We zoeken op de horizontale as 0 m/min op, volgen de lijn naar boven en vinden de waarde ca. 7 C. We zoeken op de verticale as de waarde 0kW op, volgen de lijn naar rechts en vinden de volgende waarden: 0 V ca. A ; 0 V ca. 90 A ; 0 V ca. 80 A ; V ca. 80 A ; V ca. 80 A. We zoeken op de verticale as de waarde 00kW op, volgen de lijn naar rechts en vinden geen waarden voor V en V. We zoeken op de horizontale as de waarde 70 A op, volgen de lijn naar boven en vinden de volgende waarden: V ca., 7kW ; V ca. kw ; 0 V ca. 7, 7kW ; 0 V ca. 7kW ; 0 V ca. kw. 8a O = en B = 0 Afstand van O naar het snijpunt =, mm en OB = 0 mm., mm B a = = f = O f 0, 7 ( ) O ( 0) = 0 mm 0 =, 0 b O = 0 en B = 00 Afstand van O naar het snijpunt = mm en OB = 0 mm a 0, 7 mm B a = = f = O f 00 0, ( ) O ( ) = 0 0 mm 0 = c O = 0 en B = 00 Afstand van O naar het snijpunt = 0 mm en OB = 0 mm a 0, 0 mm B a = = f = O f 00 0, ( ) O ( ) = 0 0 mm 0 = a 0, Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

158 d O = 0 en B = 00 Afstand van O naar het snijpunt = mm en OB = 0 mm mm B a = = f = O f 00 0, 7 ( ) O ( ) = mm 0 = e Deze kunnen we aflezen: f( ) = 00. f O = 00 en B = 000 Afstand van O naar het snijpunt = mm en OB = 0 mm a 0, 7 mm B a = = f = O f 000 0, ( ) O ( 6) = mm 00 = g O = 00 en B = 000 Afstand van O naar het snijpunt = 7, mm en OB = 0 mm a 7, mm B a = = f = O f 0, 7 ( ) O ( 7) = 00 0 mm 000 = 7 00 h O = 00 en B = 000 Afstand van O naar het snijpunt = 0 mm en OB = 0 mm a 0, 0, 7 0 mm B a = = f = O f 000 0, ( ) O ( 7) = mm 00 = 9a O = 0,, B = en = 0, 8 0, 8 log log O 0, a = a = = 0, 9 B log log O 0, O = 0 en B = 00 Afstand van O naar het snijpunt = 0 mm en OB = 0 mm 0 mm a = = 0, 0 mm a B f( ) = O f(, ) O = = 0 a 0, 0, Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

159 b O =, B = 0 en = 6 6 log log O a = = B 0 log log O = 0, 78 O = 00 en B = 000 Afstand van O naar het snijpunt = mm en OB = 0 mm mm a = = 0, 0 mm a 0, B 000 f( 6) = O f( 6) 00 O = 00 = 8 c O = 0, B = 00 en = log log O 0 a = = B 00 log log O 0 = 0, 8 O = 00 en B = 000 Afstand van O naar het snijpunt = 7, mm en OB = 0 mm 7, mm a = = 0, 7 0 mm a B f( ) = O f( ) O = d O = 0, B = 00 en = 7 7 log log O 0 a = = B 00 log log O 0 = 0, 87 0, 7 = 7 O = 00 en B = 000 Afstand van O naar het snijpunt = mm en OB = 0 mm mm a = = 0, 6 0 mm a B f( ) = O f( ) O = , 6 = 7 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

160 0a Direct af te lezen: h ie = 9kΩ b O = 0 = 0,, B = 0, en = 0, 0, log log O 0, a = = = 0, 8 B 0, log log O 0, Direct af te lezen: h ie = 0kΩ c Direct af te lezen: h ie = kω d O = en B = Afstand van O naar het snijpunt = 9, mm en OB = mm 9, mm a = = 0, 8 mm a 0, 8 B f( ) = O f( ), O = = 7 kω 6 a log = log log 0, + log6 log = log log 0, = log60 = b log = log8 + log6 log log = log log = log6 = 6 7 c log = log7 log log log = log log = log = d log6 = log9 + log log = log6 log9 log = log7 = 7 e log = log96 + log log log = log96 + log log 96 log = log log = log = 8 a log = log + log8 log9 log = log log = log8 = b log = log log7 + log9 log = log log = log = 7 c = log log log0 = log log log000 = log log log = log log000 log = log log = log 0, 0 = 0, d log = log log + log6 log = log log = log8 = Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

161 0, 8 e log = log 0, log + log8 log = log log = log = a log = log + log0 log = log + log0 log0 log = log + log0 log0 log = log6 + log00 log log = log log = log80 = 80 0 b log = log + log 7 log log = log + log log log = log9 + log6 log8 log = log log = log, =, 8 c = log + log ( log0 + log ) log0 = log + log ( log0 + log ) log = log0 log + ( log0 + log ) log = log0 log + (log0 + log ) log = log 0, 0 log + (log000 + log ) log = log 0, 0 log + log000 + log 0, log = log log = log = d log0 = log + log log0 log = log0 log + log0 log = log0 log + log0 log = log0 log + log0 0 0 log = log log = log8 = 8 a log = log + log6 log = log log0 + log6 log = log log0 + log6 log = log6 log00 + log6 6 6 log = log log = log 0, 96 = 0, b = log ( log log ) + log log0 = log ( log log ) + log log = log0 log + ( log log ) log = log0 log + (log log ) log = log0 log + log log log = log000 log6 + log8 log log = log log = log, 89 =, Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 7

162 c log = log log + log log = log log + log 6 log = log log9 + log6 log = log 9 log = log 8, = 8, d log = log + log8 + log00 log = log log0 + log8 + log 00 log = log + log0 log8 log00 log = log + log0 log8 log 00 log = log6 + log00 log log log = log log = log, =, a ln =, 76 b ln, 67 =, 0 c ln e = d ln e = 6 6a ln = ln 6 + ln ln 9 ln = ln ln = ln = 9 b ln = ln 8 ln + ln8 ln = ln 8 ln + ln8 ln = ln 8 ln + ln8 8 8 ln = ln ln ln = 6 = 6 8 e e c ln = ln e + ln e 8 ln e ln = ln e + ln e ln e ln = ln 8 e ln = ln e = e = 0, 0 d ln e = ln e ln e ln ln = ln e ln e + ln e e e ln = ln e ln e + ln e ln = ln ln ln e = e = e = 8, 8 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

163 9 Logaritmische en eponentiële verbanden a Zie tabel. 0 0,0 0,0 0, 0, Tabel Zie figuur Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 9

164 b Zie tabel , 0, 0, 0,06 Tabel Zie figuur Figuur c Zie tabel , 0, 0, 0,06 Tabel Zie figuur Figuur 60 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

165 d Zie tabel. 0 0, Tabel Zie figuur Figuur e Zie tabel. 0 0,0 0,0 0,06 0, 0, 0, 0 Tabel Zie figuur Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 6

166 f Zie tabel. 0,9,87,7, Tabel 6 Zie figuur Figuur 6 g Zie tabel. 0,06,,, Tabel 7 Zie figuur Figuur 7 6 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

167 h Zie tabel. 0 0, 0, 0,7 0,6,6,7, 7, Tabel 8 Zie figuur Figuur i Zie tabel. 0,98,9,86,6 0,8, 7,,6 Tabel 9 Zie figuur Figuur 9 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 6

168 a 0 0,0 0,0 0, 0, Tabel 0 Zie figuur Figuur 0 b = 9 (links en rechts de logaritme nemen) c - log log = log log = log = = log a , 0, 0, 0,06 Tabel Zie figuur Figuur 6 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

169 b c - = 6 (links en rechts de logaritme nemen) log log log log = = = log = log log = a Zie tabel. 0 0,0 0,0 0, 0, Tabel Zie figuur Figuur b = 6 = (want 6 = ) = = = c - a Zie tabel. 0 f() 0, 0 0, 7 0, 0, 6, 8,, 8 0, g() 0,, 8,, 8 0, 6 0, 0, 7 0, 0 Tabel Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 6

170 Zie figuur. 8 7,8-6, Figuur b, 8 =, 8 = = 0; = = ; dus punt ( 0, ) c = 0 0 6a = 7 = (want 7 = ) = (links en rechts + ) = + = b + + = 9 = = = (want 9 = ) + = (links en rechts ) c = 8 = (want 8 = ) = (links en rechts + ) = =, (delen door ) =, d = 9 = (want 9 = ) = (links en rechts + ) = + =, (delen door ) = 0, 7 e = = (want = ) = (links en rechts ) 7 7 = = 6 (delen door ) = 6 66 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

171 7a = log herschrijven we als =. Zie tabel. 0 0,06 0, 0, 0, 8 6 Tabel Zie figuur Figuur b = log( ) herschrijven we als = of = + Zie tabel. 0,06,,, 9 7 Tabel Zie figuur Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 67

172 c = log( + ) herschrijven we als + = of = Zie tabel. 0,9,88,7, Tabel 6 Zie figuur Figuur 6 d = log( ) herschrijven we als = of = + Zie tabel ,,,,06 Tabel 7 Zie figuur Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

173 e = log herschrijven we als Zie tabel. = , 0, 0,0 0,0 Tabel 8 Zie figuur Figuur 8 f = log( ) herschrijven we als = of = + Zie tabel. 0,0,0,, 9 8 Tabel 9 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 69

174 Zie figuur Figuur g = log( ) herschrijven we als = of = + Zie tabel. 0,06,,, Tabel 0 Zie figuur Figuur 0 70 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

175 h f( ) = ln herschrijven we als = e Zie tabel. 0 0,0 0,0 0, 0,7,7 7,9 0,,6 Tabel Zie figuur Figuur i = ln( ) herschrijven we als = e + Zie tabel. 0,0,0,,7,7 0,9, 7,6 Tabel Zie figuur Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 7

176 8a f( ) = log herschrijven we als =. 0 0,0 0,0 0, 0, Tabel g( ) = log herschrijven we als = , 0, 0,0 0,0. Tabel Figuur log log b = log = log = ( ) = = 0; = dus (, 0) c d log = = = 7 log = = 7 = 9a f( ) = log herschrijven we als =. Zie tabel. 0 0,0 0,0 0, 0, Tabel g( ) = log( ) herschrijven we als = of = + 7 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

177 Zie tabel. 0,0,0,, 7 8 Tabel 6 Zie figuur log log ( - ) Figuur b c 0 log = 0 = = log( ) = = = 9 = 9 + = 0a = log( + ) herschrijven we als + = of = 0 0,99 0,9 0,89 0, Tabel Figuur Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 7

178 b c 0 log( + ) = 0 + = = = = 0 8 log( + ) = + = = = = = 0, a = log( ) herschrijven we als = of = + Zie tabel. 0,06,,, 7 9 Tabel 8 Zie figuur Figuur 6 b c 7 log( ) = 7 = = 8 = 8 + = log( ) = = = = + = 7 7 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

179 0 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren A = l b + b h + l h A = 0dm dm + dm, dm + 0dm, dm = 79dm V = l b h V = 0dm dm, dm = dm A = 6 z A = 6 ( cm) = 86 cm V = z V = ( cm) = 78cm A = l b + b h + l h 090cm = cm b + b cm + cm cm 090 = 6 b + b = 68 b b = = b = = 8cm 68 V = l b h V = cm cm 8cm = 8 cm V = l b h, cm = l cm, 7cm, = l 68,, l = = 7, 8cm 68, A = l b + b h + l h A = 7, 8 cm cm + cm, 7cm + 7, 8cm, 7cm =, 9cm V = z 78cm = z z = 78 cm z = cm A = 6 z A = 6 ( cm) = 86 cm 6 A = 6 z 76cm = 6 z z 76 = = z = = cm 6 V = z V = ( cm) = cm Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 7

180 7a s = ( 6 cm) + ( 6 cm) s = 7 s = 7 = 8, cm b A = Azijde A = oppervlakte driehoek + oppervlakte rechthoeken A = 6cm 6cm + 6cm 0cm + 8, cm 0cm = cm c V = Agr h V = 6cm 6cm 0cm = 80cm 8a We berekenen eerst de hoogte h z van ABT met de stelling van Pthagoras: h z z = (, cm) + ( cm) h =, h z =, =, cm A = z h + z A = cm, cm + ( cm) = 77cm z b V = z h V = ( cm) cm = cm 9a We berekenen eerst de hoogte h z van ABT met de stelling van Pthagoras. h z z = (, cm) + ( 0 cm) h = 06, h z = 06, =, cm A = z h + z A = cm, cm + ( cm) = 0cm z b V = z h V = ( cm) 0cm = 60cm 0a V = z h 000cm = ( cm) h 000 = 08, h 000 h = = 9, 6cm 08, b We berekenen eerst de hoogte h z van ABT met de stelling van Pthagoras. h z z = (, cm) + ( 9, 6 cm) h = 8, h z = 8, =, 8cm A = z h + z A = cm, 8cm + ( cm) = cm z 76 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

181 a V = Agr h b 6cm = 6cm 7cm h 6 = h 6 h = = 6cm We gaan eerst de schuine zijde s van de driehoek berekenen met de stelling van Pthagoras. s = ( 6 cm) + ( 7 cm) s = 8 s = 8 = 9, cm A = Azijde A = oppervlakte driehoek + oppervlakte rechthoeken A = 6cm 7cm + 6cm 6cm + 7cm 6cm + 9, cm 6cm = 7, cm a O = 6 z O = 6 8cm = 8cm b Het grondvlak bestaat uit 6 gelijkzijdige driehoeken met zijden van 8 cm. De hoogte h van zo n gelijkzijdige driehoek berekenen we met de stelling van Pthagoras. ( 8 cm) = ( cm) + h 6 = 6 + h h = 6 6 = 8 h = 8 = 6, 9cm A gr = 6 8 6, 9 = 6, 6cm c A = Σ A A = oppervlakte zeshoek + 6 oppervlakte rechthoek zijde A = 6, cm cm = 0, cm d V = Agr h V = 6, 6cm cm = 8 cm A = π r A = π (m) = 0, m V = π r V = π ( m) =, m r = d r = 6 cm = cm A = π r A = π ( cm) =, cm V = π r V = π ( cm) =, cm Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 77

182 a A = π r 00cm = π r 00 =, 7 r r 00 = = 7, 96 r = 7, 96cm =, 8cm, 7 b V = π r V = π (, 8cm) = 9, 0cm 6a V = π r 0cm = π r 0 =, 9 r r 0 = = 9, 7 r = 9, 7cm =, 9cm, 9 b A = π r A = π (, 9cm) = 9, cm 7a r = d r = 0cm = cm A = π r + π r h A = π ( cm) + π cm, 7cm = 6, cm b V = π r h V = π ( cm), 7cm = 997, cm 8a V = π r h 70cm = π r cm 70 = r 7, r 70 = =, 9 r =, 9cm =, 0cm 7, b A = π r + π r h A = π ( cm) + π cm cm = 77, cm 78 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

183 9a r = d r = 8cm = cm V = π r h 80cm = π ( cm) h 80 = 0, 7 h 80 h = =, 6cm 0, 7 b A = π r + π r h A = π ( cm) + π cm, 6cm = 0,7cm 0a A = π r + π r h 00cm = π ( cm) + π cm h 00 = 00, +, h, h = 00 00, = 99, 99, h = =, 0cm, b V = π r h V = π ( cm), 0cm = 0, cm a r = d r = 7m =, m Om r m uit te rekenen, gebruiken we de stelling van Pthagoras. m g r = h + r r m = +, = 7, r m = 7, = 6, 0 m A = π r + π r r A = π (, m) + π, m 6, 0 m = 0, 6m g g m b V = π rg h V = π (, m) m = 6, m a Om r m uit te rekenen, gebruiken we de stelling van Pthagoras. r = h + r r m = = 6 r m = 6 =, 8cm m g A = π r + π r r A = π ( 8cm) + π 8cm, 8cm =, 0cm g g m b V = π rg h V = π ( 8cm) 0cm = 670, cm Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 79

184 a V = π rg h 000cm = π rg cm 000 =, 7 rg 000 r g = = 79, 8cm, 7 r g = 79, 8cm = 8, 9cm b Om r m uit te rekenen, gebruiken we de stelling van Pthagoras. m g r = h + r r m = + 8, 9 =, TA =, =, 9cm g g m A = π r + π r r A = π ( 8, 9cm) + π 8, 9cm, 9cm = 66, cm a V = π rg h 80cm = π ( 7cm) h 80 =, h 80 h = = 9, cm, b Om r m uit te rekenen, gebruiken we de stelling van Pthagoras. m g r = h + r r m = 9, + 7 = 7, 6 TA = 7, 6 =, 7cm A = π r + π r r A = π ( 7cm) + π 7cm, 7cm =, cm g g m 80 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

185 Ruimtelijke lichamen in de praktijk a De onderste straal bovenste straal = 0 m m = 6m. De helling is 0 : 6 = : Dan is de totale hoogte 0 = 6, 67m. b Vknot = Vvolledig Vtop Vknot = π r htot π rtop htop V knot = π, π ( 6, 67 0) = 6, 9m Vafgeknot = Vvolledig Vtop Vafgeknot = π r h tot π r top h top Vafgeknot = π π 0 ( 90 9) =, mm a A = π r A = π ( 9cm) =, 7cm b A = π r A = π (, cm) = 6, 6cm c helling = ( r r ) : h = ( 9, ) : 0 =, : 0 Ook geldt: helling = r : htot = 9 : htot Zodat volgt: 9 : h tot =, : 0 of anders geschreven: 9, 9 =, htot = 9 0 h tot = 0 = 0cm htot 0, Hoogte topkegel is 0cm 0cm = 0cm Gehele kegel r g = 9cm h = 0cm ; a = h + rg a = ( 0cm) + ( 9cm) = cm Amantel,geheel = π rg a Amantel,geheel = π 9 cm cm = 9, cm Topkegel r g =, cm h = 0cm ; a = h + rg a = (, cm) + ( 0cm) = 0, cm Amantel,top = π rg a Amantel,top = π, cm 0, cm = 89, 8cm A = A A A mantel,afgeknot mantel,geheel mantel,top mantel,afgeknot = 9, 89, 8 = 869, cm d A = 869, +, 7 + 6, 6 = 87, cm e Vafgeknot = Vgeheel Vtop Vafgeknot = π rgeheel hgeheel π rtop htop V afgeknot = π 9 0 π, 0 = 968, 8cm Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 8

186 f S kunnen we berekenen door de stelling van Pthagoras toe te passen. De rechthoekzijden zijn, cm en 0cm. S =, + 0 = 0, cm V = AGv h AGv h V = ( ) =, mm De onderste halve diameter bovenste halve diameter = m 0, m =, m. De helling is :, = :. Totale hoogte is = m V = AGv h AGv h V = ( ) = m 6 Dit lichaam is samengesteld uit een balk en twee prisma s. Volume = volume linker prisma + volume balk + volume rechter prisma Dus: V = ( A h) + ( l b h) + ( A h) gv prisma,links balk gv prisma,rechts 9 mm mm V = 9 mm + ( 6 mm 6 mm 9 mm) 6 mm mm mm 9 mm + 9 mm =, 0 mm 7 Volume lichaam = volume balk + volume cilinder Dus: V = l b h + π r h V = 0 mm 60 mm 80 mm + π ( 6, mm) 0 mm =, 0 6 mm 8 Volume lichaam = volume balk volume cilinder Dus: V = l b h π r h V = 0 mm 0 mm 80 mm π ( mm) 0 mm =, mm 9a V = Vprisma links en rechts + Vbalk + Vbovenste kap l b h l b h V = + l b h + 0, 7 m 8 m, m 8 m 8 m m V = + 8 m 8 m, m + = 00, m 8 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

187 b korte schuine zijde = (, m) + ( 0, 7 m) =, 6m A = l b A =, 6 m 8 m = 6, m lange schuine zijde = ( m) + ( m) = m A = l b A = m 8 m = 80 m A tot = 6, m + 80 m = 06, m 0 V = volume grote balk + volume kleine balk + volume kap l b h V = l b h + l b h + V = 6, 90 m 8, 00 m, 80 m +, 60 m 6, 90 m 8, 00 m, 00 m 8, 00 m, m + = 0, 96m hoogte dak a tan 0 = hoogte dak = tan 0 =, 6m m V = volume benedenverdieping + volume bovenverdieping l b h 8 m m, 6m V = l b h + V = 8 m m m + = 6, 6m m b cos 0 = schuine zijde = =, m schuine zijde cos 0 A = ldak bdak A = m, m = 6, 6m a helling = ( r r ) : h = ( 80 0) : 60 = 60 : 60 = : helling = r : htot : = 80 : htot h tot = 80cm V = π r htot π r h V = π ( 0, 8 m) 0, 8 m π ( 0, m) ( 0, 8 m 0, 6m) = 0, 8 m b Vbovenste deel = Vtotaal Vconus Vbovenste deel = 0 m 0, 8 m = 9, 7m V = π r h 9, 7 m = π ( 0, 8 m) h 9, 7 = 0, 670 h 9, 7 h = =, m 0, 670 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 8

188 a schuine zijde = ene rechthoekzijde + andere rechthoekzijde ( 7, 0 m) = ( 6, 00 m) + andere rechthoekzijde andere rechthoekzijde = 7, 0 6, 00 =, 0 m b A = l b + l b A = 6, 00 m 0, 00 m +, 0 m 0, 00 m = 0m c V l b h = V =, 0 m 0, 00 m 6, 00 m = m a BH = ( 6 cm) + ( 6 cm) + ( 6 cm ) BH = 08 BH = 08 = 0, 9cm b AF = ( 6cm) + ( 6cm) AF = 7 AF = 7 = 8, 9cm c BG = ( 6cm) + ( 6cm) BG = 7 BG = 7 = 8, 9cm d DF = ( 6cm) + DB DF = ( 6cm) + ( 6cm) + ( 6cm) DF = 08 DF = 08 = 0, 9cm a CP = ( mm) + ( mm) CP = CP = =, 7mm b QF = ( 8 mm) + ( mm) QF = 08 QF = 08 =, mm c AP = ( mm) + ( mm) + ( 9mm) AP = 69 AP = 69 = 9, mm d HQ = ( mm) + ( mm) + ( mm) HQ = 0 HQ = 0 = 7, mm e PQ = ( mm) + ( mm) + ( mm) PQ = PQ = = 7, 69mm 8 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

189 6a AF = ( 0cm) + ( 7cm) AF = 9 AF = 9 =, 9cm b BG = ( cm) + ( 7cm) BG = 9 BG = 9 =, 89cm c EG = ( 0cm) + ( cm) EG = EG = =, cm d DF = ( cm) + ( 0cm) + ( 7cm) DF = 9 DF = 9 =, cm e AG = ( 0cm) + ( cm) + ( 7cm) AG = 9 AG = 9 =, cm 7a CS = ( 0cm) + ( cm) CS = 09 CS = 09 = 0, cm b DS = ( 0cm) + ( cm) DS = DS = = 8, 0cm c ES = ( 6cm) + ( cm) ES = 6 ES = 6 = 6, 6cm d RB = ( cm) + ( 6cm) + ( 0cm) RB = RB = = 8, cm e RS = ( 6cm) + ( 0cm) + ( cm) RS = 7 RS = 7 = 6, 0cm 8 AC = ( 8cm) + ( 8cm) =, cm AM = AC AM =, cm =, 66cm AT = (, 66cm) + ( 0cm) =, 0cm AP = AT AP =, 0cm =, 7 cm hoogte 0 tan MAT = tan MAT = =, 767 AM, 66 MAT = 60, PM = AP + AM AP AM cos MAT PM PM = (, 7 cm) + (, 66cm), 7 cm, 66cm cos 60, =, 98 PM =, 98 =, 7 cm Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 8

190 9 BQ : QT = : BD = ( cm) + ( cm) =, 6cm BM = BD BM =, 6cm = 7, 78cm BT = ( 7, 78cm) + ( cm) = 6, 0cm BQ = BT BQ = 6, 0cm =, 0cm hoogte tan MBT = tan MBT = =, 799 BM 7, 78 MBT = 60, 9 QM = BQ + BM BQ BM cos MBT QM QM = (, 0cm) + ( 7, 78 cm), 0 cm 7, 78cm cos60, 9 =, 0 QM =, 0 = 0, 68cm 0 CR : RT = : AC = ( 7cm) + ( 7cm) = 9, 90cm CM = AC CM = 9, 90 cm =, 9 cm CT = (, 9cm) + ( 9cm) = 0, 7cm CR = CT CR = 0, 7cm =, 0cm hoogte 9 tan MCT = tan MCT = =, 88 CM, 9 MCT = 6, RM = CR + CM CR CM cos MCT RM RM = (, 0 cm) + (, 9 cm), 0 cm, 9 cm cos6, = 8, 9 RM = 8, 9 =, cm 86 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

191 a AC = ( 0cm) + ( 0cm) = 8, 8cm AM = AC AM = 8, 8cm =, cm AT = (, cm) + ( cm) = 8, 7cm AP = AT AP = 8, 7cm =, 6cm hoogte tan MAT = tan MAT = =, 768 MAT = 60, AM, PM = AP + AM AP AM cos MAT PM PM = (, 6cm) + (, cm), 6cm, cm cos60, = 06, 8 PM = 06, 8 =, 6cm b BD = ( 0cm) + ( 0cm) = 8, 8cm BM = BD BM = 8, 8cm =, cm BT = (, cm) + ( cm) = 8, 7cm BQ = BT BQ = 8, 7cm =, 7 cm hoogte tan MBT = tan MBT = =, 768 MBT = 60, BM, QM = BQ + BM BQ BM cos MBT QM QM = (, 7cm) + (, cm), 7 cm, cm cos60, = 96, 9 QM = 96, 9 =, 0cm c AC = ( 0cm) + ( 0cm) = 8, 8cm CM = AC CM = 8, 8cm =, cm CT = (, cm) + ( cm) = 8, 7cm CR = CT CR = 8, 7cm =, cm hoogte tan MCT = tan MCT = =, 768 MAT = 60, CM, RM = CR + CM CR CM cos MCT RM RM = (, cm) + (, cm), cm, cm cos60, = 6, 9 RM = 6, 9 = 9, 08cm Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 87

192 a RS = ( 8cm) + ( 6cm) + ( 6cm) =, 66cm b ST = ( cm) + ( cm) =, cm c RT = ( 8cm) + ( 9cm) + ( cm) =, cm d RT = RS + ST RS ST cos RST (, cm) = (, 66cm) + (, cm), 66cm, cm cos RST, 0 =, 9 98, 88 cos RST 98, 88 cos RST =, 9, 0 = 0, 08 0, 08 cos RST = = 0, 0008 RST = 90, 0 98, 88 e ST sin SRT RT = sin RST, cm, cm = sin SRT sin 90, 0 sin SRT =, sin 90, 0 = 0, 7, SRT = 9, 98 f RS sin RTS RT = sin RST, 66cm, cm = sin RTS sin 90, 0, 66 sin 90, 0 sin RTS = = 0, 996 RTS = 69, 98, Controle: RST + SRT + RTS = 90, 0 + 9, , 98 = 80, 0 ; klopt. 88 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

193 Grafisch samenstellen en ontbinden van vectoren a b c d e f Stappenplan Stap Teken de vectoren. Stap Teken vector b Stap Teken met a en b een parallellogram. Stap Teken de resultante v in het parallellogram. a Zie figuur. b 0 v c 8 a Figuur b c v = 7mm Bij de kop-aan-staartmethode worden de vectoren verschoven over de zijden van het parallellogram. Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 89

194 a b c 7, d, e 0, Zie figuur. b a c Figuur b 6 Zie figuur. b c a 0 Figuur b 7 Teken een verticale lijn vanaf de pijlpunt naar de horizontale stippellijn. Teken een horizontale lijn vanaf de pijlpunt naar de verticale stippellijn. Meet de vectoren a en b op. 90 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

195 8a Zie figuur. b c a Figuur a = 0 b = b Zie figuur. a b c Figuur a = 8 b = -0 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 9

196 c Zie figuur. c = a Figuur 6 a = 0 9 a = 7, A ; b = 7, A 0a b c d Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

197 Rekenkundig samenstellen en ontbinden van vectoren Lengte horizontale component: a = c cosα a = 0 cos = 68, 6 N Lengte verticale component: b = c sin α b = 0 sin = 8, N Horizontale component REC(, Verticale component F c = ( 0 70 ) N = ( 88, ; 6, 8) N Horizontale component REC(, - Verticale component F c = ( 00 ) N = ( 8, 8 ; 8, 8) N Horizontale component REC(, Verticale component F c = ( 0 ) N = ( 0, ; 0, ) N Horizontale component REC(, Verticale component F c = ( ) N = ( 9, 6 ; 00) N 6 Horizontale component REC(, - Verticale component F c = ( 00 0 ) N = ( ; 0) N Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 9

198 7 Horizontale component REC(, Verticale component F c = ( 00 0 ) N = ( ; 0) N 8 Reken c = ( 00 ; 00) N om in poolcoördinaten. Met de CASIO f- 8 MS: Grootte Pol(, Hoek: F Resultaat: c = ( 00 ; 00) N = ( 00 )N 9 Reken c = ( 00 ; 600) N om in poolcoördinaten. Met de CASIO f- 8 MS: Grootte Pol(, Hoek: F Resultaat: c = ( 00 ; 600) N = ( 6, 08, )N 0 c Horizontale component: a : Rec(, 9, 9 N Verticale componenten: b : F 96, 7 N c Horizontale component: a : Rec(,, N Verticale componenten: b : F 9, 8 N at = a + a = 9, 9 +, = N bt = b + b = 96, 7 + 9, 8 = 88, N Reken c = ( ; 88, ) N om in poolcoördinaten. Met de CASIO f- 8 MS: Grootte: Pol(,, Hoek: F Resultaat: c = ( ; 88, ) N = ( 6, 7 ) N 9 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

199 Voor c geldt: Horizontale component: a : Rec(, 7 N Verticale componenten: b : Voor c geldt: F Horizontale component: a : Rec(,, N Verticale componenten: b : F, N at = a + a = 7 +, = 66, N bt = b + b = 9, 9 +, = 7, N Reken c = ( 66, ; 7, ) N om in poolcoördinaten. Met de CASIO f- 8 MS: Grootte: Pol(,,, Hoek: F Resultaat: c = ( 66, ; 7, ) N = ( 79, 76, )N c Horizontale component: a : Rec(, 0 N Verticale componenten: b : c F N Horizontale component: a : Rec(, 0, N Verticale componenten: b : F 90, 9 N at = a + a = 0 + 0, =, N bt = b + b = + 90, 9 = 0, 9 N c = (, ; 0, 9) N Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 9

200 c Horizontale component: a : Rec(, 6, N Verticale componenten: b : c F N Horizontale component: a : Rec(,, 9 N Verticale componenten: b : F, 9 N at = a + a = 6, +, 9 = 69, N bt = b + b = +, 9 = 78, 9 N Reken c = ( 66, ; 7, ) N om in poolcoördinaten. Met de CASIO f- 8 MS: Grootte: Pol(,,, Hoek: F Resultaat: c = ( 69, ; 78, 9) N = ( 697, 6, 8 ) N c Horizontale component: a : Rec(, 6, 6 N Verticale componenten: b : F 6, 6 N c Horizontale component: a : Rec(, N Verticale componenten: b : F 0 N at = a + a = 6, 6 + = 08, 6 N bt = b + b = 6, = 86, 6 N Reken c = ( 08, 6 ; 86, 6) N om in poolcoördinaten. Met de CASIO f- 8 MS: Grootte: Pol(,,, Hoek: F Resultaat: c = ( 08, 6 ; 86, 6) N = ( 8, 9 8, 6 )N 96 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

201 Rekenen met complee getallen In deze leereenheid stellen we een comple getal voor als vector om er bepaalde bewerkingen mee te kunnen uitvoeren. Omdat deze voorstelling geen reële vector betreft, zoals een kracht, is gekozen voor een afwijkende notatie dus z = a + j b in plaats van z = a + j b. a v = ( ) + = = tan ϕ = =, ϕ =, of ϕ =, + 80 = 6, 9 Met een tekening volgt ϕ = 6, 9. b v = + ( ) = = tan ϕ = =, ϕ =, c v = j = 0 + j v = 0 + = = Uit een tekening volgt ϕ = 90. d v = 8 + ( ) = 89 = 9, tan ϕ = = 0, 6 ϕ = 8 e v = 6 Uit een tekening volgt ϕ = 90. f v = 6 + = = 9 tan ϕ = = 0, 7 ϕ =, 6 6 g v = + = 69 = tan ϕ = =, ϕ = 67, Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 97

202 a z = 9 + j b z = 9 + = = Ω c X tan ϕ = = =, R 9 d ϕ =, a z = 6 j 8 b z = 6 + ( 8) = 00 = 0 Ω c X 8 tan ϕ = = =, R 6 d ϕ =, a b R = 7 Ω X L = Ω c z = 7 + = 6 = Ω X d tan ϕ = = =, R 7 e ϕ = 7, 7 a b R = 6 Ω X L = 8 Ω c z = = 0 = 7, 9 Ω X 8 d tan ϕ = = = 0, R 6 e ϕ = 6, 6 6a Imaginair deel: b = v sin ϕ = 0 sin 6, 6 = Reële deel: a = v cos ϕ = 0 cos 6, 6 = 8 b v = 8 + j 7a Imaginair deel: b = v sin ϕ = 0 sin, = 6 Reële deel: a = v cos ϕ = 0 cos, = b v = + j 6 98 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

203 8a z t 60 + j 0 8 j 6 b z t = 8 + j 6 8 j 6 c z = 6 + j 9a R = z cos ϕ = cos 9, 6 = 0 Ω b X = z sin ϕ = sin 9, 6 =, Ω L c z = 0 + j, 0a R = Z cos ϕ = 8 cos7 = 0 Ω b X L = Z sin ϕ = 8 sin 70 = 8 Ω c z = j 8 Bij het optellen van complee getallen tellen we eerst de reële componenten bij elkaar op en daarna de imaginaire componenten. Het aftrekken van complee getallen gaat op dezelfde manier. a b c d j + j dus z + z = j + j j j dus z + z = + j + j 0 + j + j 0 dus z + z = + j + + j j 7 j dus z + z = j + j 8 8 a b + j j dus z z = + j + j j j dus z z = + j + j Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 99

204 c + j j dus z z = j j d + j j dus z z = j 0 + j a z = 0 b z = 6 + j 8 c z t = z + z = ( 0) + ( 6 + j 8) = 6 + j 8 d z t = = 0 = 7, 9 Ω Xt 8 e tan ϕt = = = 0, ϕ = 6, 6 R 6 a z = j 7 b z = c z t = z + z = j 7 t t d z t = + ( 7) = 70 = Ω e tan ϕ t Xt 7 = = = 0, 66 ϕ =, R t t a z = 0 + j 0, z = j 0 z = z + z = ( 0 + j 0) + ( j 0) = 0 + j 0 t b z t = = 00 =, Ω Xt 0 c tan ϕt = = = 0, ϕ = 6, 6 R 0 t t 6a z = j 8, z = j z = z + z = j 8 + j = j t b z t = Ω c Uit een tekening volgt ϕ t = Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

205 7a z = 0 R = z cos ϕ = 0 0, 8 = 0 Ω cos ϕ = 0, 8 ϕ = 6, 87 XL = z sin ϕ XL = 0 sin 6, 87 = 0 z = 0 + j 0 zt = z + z = ( 0) + ( 0 + j 0) = 90 + j 0 b z t = = 9000 = 9, 9 Ω c cos ϕ t R 90 = = = 0, 99 ϕ = 8, Z 9, 9 t t 8a z t = z + z + z = ( 8 + j ) + ( 0) + ( j 8) = 8 j b z t = 8 + = 809 = 8, Ω c cos ϕ t R 8 = = = 0, 98 ϕ = 0, Z 8, t t 9a maal j Tabel j j j j 9 Omdat j 9 = ( j 9) = ( 9) = 9 volgt: Reële delen: + 9 = Imaginaire delen: j j = j Dus: ( + j )( j ) = + j b maal 7 j j j j j 6 Tabel Omdat j 6 = ( j 6) = ( 6) = 6 volgt: Reële delen: + 6 = 0 Imaginaire delen: j j = j Dus: ( 7 j )( j ) = 0 j Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 0

206 c maal j j 0 j j 0 j Tabel Omdat j = ( j ) = ( ) = volgt: Reële delen: + = 9 Imaginaire delen: j 0 + j 0 = 0 Dus: ( + j )( j ) = 9 d maal j j j j j Tabel Omdat j = ( j ) = ( ) = volgt: Reële delen: + = Imaginaire delen: j j = j Dus: ( j)( + j ) = + j e maal j j j j 0 j 0 Tabel Omdat j 0 = ( j 0) = ( 0) = 0 volgt: Reële delen: + 0 = Imaginaire delen: j 0 j = j 6 Dus: ( j )( + j ) = j 6 f maal j j j j j Tabel 6 Omdat j = ( j ) = ( ) = volgt: Reële delen: + = Imaginaire delen: j j = 0 Dus: ( j)( + j) = 0 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

207 g maal j j j j j Tabel 7 Omdat j = volgt: Reële delen: = Imaginaire delen: j j = j Dus: ( j )( j ) = j h maal j 6 8 j j j j 6 Tabel 8 Omdat j 6 = ( j 6) = ( 6) = 6 volgt: Reële delen: = Imaginaire delen: j + j = j 6 Dus: ( j 6)( + j) = + j 6 i maal j 8 9 j j 8 j j 6 Tabel 9 Omdat j 6 = ( j 6) = ( 6) = 6 volgt: Reële delen: = 7 Imaginaire delen: j j = 0 Dus: ( + j 8)( j 8) = 7 j maal j j 0 j j 0 j Tabel 0 Omdat j = ( j ) = ( ) = volgt: Reële delen: + = 9 Imaginaire delen: j 0 j 0 = 0 Dus: ( j )( + j ) = 9 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 0

208 0a j + j j We werken eerst de teller uit: maal j j Tabel Dus: ( j ) = j Daarna werken we de noemer uit: ( + j )( j ) = + = + 9 = 0 Dus = j j = = 0, j, + j b + j j + j We werken eerst de teller uit: maal j j Tabel Dus: ( + j) = + j Daarna werken we de noemer uit: ( + j)( j) = + = + = Dus 0 0 = + j j = + =, + j, j c 0 + j j + j We werken eerst de teller uit: maal j 0 0 j 0 Tabel Dus: 0 ( + j) = 0 + j 0 Daarna werken we de noemer uit: ( j)( + j) = + = + = Dus = + j j = + = + j j 0 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

209 d j + j j We werken eerst de teller uit: maal j j 6 Tabel Dus: ( j ) = j 6 Daarna werken we de noemer uit: ( + j )( j ) = + = + = 6 6 Dus = j j = = 0, 6 j, + j e j + j j + j We werken eerst de teller uit: maal j j j j Tabel Dus: j ( + j) = j + j = j + ( j ) = j = + j Daarna werken we de noemer uit: ( j )( + j ) = + = = j + j j Dus = = + = 0, 6 + j 0, j Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 0

210 f j j 6 + j 6 j 6 We werken eerst de teller uit: maal j 0 j 6 j 6 j 0 j Tabel 6 Uit j = ( j ) = volgt: ( j ) ( j 6) = j 6 Daarna werken we de noemer uit: ( + j 6)( j 6) = + 6 = = j j 6 j 6 Dus = = = 0, 08 j 0, 88 + j 6 g j + j j j We werken eerst de teller uit: maal -j j j j j Tabel 7 Uit j = volgt: ( j) ( j) = j Daarna werken we de noemer uit: ( + j)( j) = + = + = j Dus = j j = =, j, j 06 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

211 h + j + j j + j We werken eerst de teller uit: maal j j j j j Tabel 8 Uit j = ( j ) = volgt: ( + j ) ( + j ) = + j Daarna werken we de noemer uit: ( j )( + j ) = + = + = + j + j j Dus = = + = 0, 6 + j 0, 8 j i + j j + j We werken eerst de teller uit: maal j j 8 Tabel 9 Dus: ( + j ) = + j 8 Daarna werken we de noemer uit: ( j )( + j ) = + = + = 8 8 Dus = + j j = + = 0, 8 + j, 6 j Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 07

212 j + j j j We werken eerst de teller uit: maal j j Tabel 0 Dus: ( j) = j Daarna werken we de noemer uit: ( + j)( j) = + = + = Dus = j j = =, j, j a z z = z z 8 j j j = j 6 z = z = 8 + j j j 6 8 j 6 t t t + z We werken eerst de teller uit: maal 8 j 6 j 8 j 8 j 88 Tabel Uit j 88 = ( j 88) = ( 88) = 88 volgt: j 8 ( 8 j 6) = j = 88 + j 8 Daarna werken we de noemer uit: ( 8 + j 6)( 8 j 6) = = = 00 j j 8 88 j Dus = = + 8 =, 88 + j,8 8 + j z t =, 88 + j, 8 b z t =, 88 +, 8 =, 8 Ω c, 88 cos ϕ t = = 0, 6, dus ϕ t =,, 8 08 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

213 a z z = z z 9 j j j = j z = z = 9 + j 9 + j 9 + j 9 j t t t + z We werken eerst de teller uit: maal 9 j j 08 j 97 j 96 Tabel Uit j 96 = ( j 96) = ( 96) = 96 volgt: j 08 ( 9 j ) = j = 96 + j 97 Daarna werken we de noemer uit: ( 9 j )( 9 + j ) = 9 + = 8 + = j j j Dus = = + 97 = 9 + j z t =, 76 + j,, 76 + j, b z t =, 76 +, = 7, Ω c, 76 cos ϕ t = = 0, 8, dus ϕ t = 6, 9 7, a z = 0 en z = 8 + j 6 z t z = z z + z 0 ( 8 + j 6) 60 + j j 0 8 j 6 = zt = z t = 8 + j j j 6 8 j 6 We werken eerst de teller uit: maal 8 j j 960 j 0 j 60 j 70 Tabel Uit j 70 = ( j 70) = ( 70) = 70 volgt: 60 + j ( 8 j 6) = 00 + j 00 Daarna werken we de noemer uit: ( 8 j 6)( 8 + j 6) = = = Dus j 00 + j j 00 = = + =, 68 + j, j z t =, 68 + j, 9 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde 09

214 b z t =, 68 +, 9 =, 97 Ω c, 68 cos ϕ t = = 0, 67, dus ϕ t = 7, 6, 97 a z = + j en z = + j z t z = z z + z ( + j ) ( + j ) = 9 + j 7 We werken eerst de teller uit: maal j 0 j 6 j j j Tabel Uit j = volgt: ( + j ) ( + j ) = 8 + j Tussenresultaat: z We werken eerst de teller uit: maal 9 j j 6 j j 79 j 7 Tabel t 8 j j j = + 8 zt = j j 7 9 j 7 Uit j 7 = ( j 7) = ( 7) = 7 volgt: 8 + j ( 9 j 7) = 89 + j Daarna werken we de noemer uit: ( 9 + j 7)( 9 j 7) = = = j 89 + j 89 j Dus = = + =, + j, j zt =, + j, 7 b z t =, +, 7 =, 8 Ω c, cos ϕ t = = 0, 79, dus ϕ t = 7, 8, 8 0 Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

215 a z = j en z = j 0 z z z t = z + z j j j j = 0 0 ( 0) ( 0) 0 zt = = = = zt = j j j j j 0 j j 0 = j j j Uit j j 0 = volgt z t = = j 60, dus z t = j 60 b z t = 60 Ω 0 c cos ϕ t = = 60 0 Uit de tekening volgt: ϕ t = 70 6a z = 6 en z = j z t z = z z + z 6 j j 9 j j = zt = z t = 6 j 6 j 6 j 6 + j We werken eerst de teller uit: maal 6 j j 9 j 07 j 0 Tabel 6 Uit j 0 = ( j 0) = ( 0) = 0 volgt: j 9 ( 6 + j ) = 0 j 07 Daarna werken we de noemer uit: ( 6 j )( 6 + j ) = 6 + = 6 + = 00 j 9 0 j 07 0 j Dus = = 07 =, 76 j 7, 68 6 j z t =, 76 j 7, 68 b z t =, , 68 = 9, 6 Ω c, 76 cos ϕ t = = 0, 6 9, 6 cos ϕt = 0, 6 ϕt =, of ϕt =, Met een tekening zien we dat ϕ t =,. Docentenhandleiding Transfer Poltechniek Wiskunde

216