Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode M. van der Pijl.

Transcriptie

1 Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode M. van der Pijl Transfer Database

2 ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie en Hoger Beroepsonderwijs. Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze leermiddelen: of via onze klantenservice (088) ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16 Auteurswet j o het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl., dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp ( Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

3 1 Schatten, afronden en significante cijfers Significante cijfers Het schatten van uitkomsten bij optellen en aftrekken Het afronden bij een optelling of een aftrekking Het schatten van uitkomsten bij vermenigvuldigen en delen Afronden bij vermenigvuldigen en delen 9 2 Lijnen, hoeken en driehoeken Lijnen en hoeken Driehoeken, som van de hoeken Stelling van Pythagoras Gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken De oppervlakte van een driehoek 22 3 Inleiding goniometrische verhoudingen Hellingen Tangens Sinus Cosinus 40

4

5 1 Schatten, afronden en significante cijfers 1 Significante cijfers De uitkomsten van metingen en berekeningen moeten altijd zodanig worden afgerond dat de cijfers een betekenis hebben. We kunnen natuurlijk niet met een geodriehoek de lengte van ons gsm-toestel meten en als antwoord 10, 45672cm geven. 10, 45cm zou wel reëel zijn. We spreken dan van een meting in vier betrouwbare of significante cijfers. Voorbeelden van het aantal significante cijfers in een getal: 67, 423 heeft vijf significante cijfers; 5, 398 heeft vier significante cijfers; 0, 365 heeft drie significante cijfers; 0, 018 heeft twee significante cijfers; 3, heeft drie significante cijfers. Machten van 10 hebben geen invloed op het aantal significante cijfers. Als er een komma in een getal staat, worden de nullen aan het eind van een getal wel meegerekend. De getallen 74, 000 en 74, 420 hebben beide vijf significante cijfers. Als een getal geen komma bevat, dan is het minder duidelijk: 4400 heeft twee significante cijfers; 4000 heeft er één. Als we er een komma achter zetten, verandert de situatie: zowel 4400, als 4000, hebben vier significante cijfers. We spreken af dat we afsluitende nullen niet als significant zien, omdat een getal tussen en kan zijn. Zijn afsluitende nullen wel significant, dan moeten we er een komma achter zetten. Zo is , een getal tussen , 5 en , 5.

6 2 Schatten, afronden en significante cijfers 2 Het schatten van uitkomsten bij optellen en aftrekken Het schatten van uitkomsten bij optellen is van belang als we willen weten wat de uitkomst ongeveer is. Meestal is het bij een optelling van eenheden nauwkeurig genoeg om af te ronden op hele getallen, bij een optelling van tientallen op tientallen, bij honderdtallen op honderdtallen, enzovoort. Uitgangspunt is dat we steeds uitgaan van het grootste getal. Vb , 2 + 2, , 8 + 0, 25 = Schatting: Berekening: 1, 2 + 2, , 8 + 0, 25 = 8, , , 7 = Schatting: Berekening: , , 7 = 111, = Schatting: Berekening: = = Schatting: Berekening: = 6764 We zien dat de schatting redelijk overeenkomt met de uitkomst. Voor het afronden gebruiken we de regels die we al langer kennen: 1. als het eerste cijfer dat weggelaten wordt een 0, 1, 2, 3 of 4 is, verandert het cijfer ervoor niet; 2. als het eerste cijfer dat weggelaten wordt een 5, 6, 7, 8 of 9 is, wordt het cijfer ervoor 1 hoger. Oefeningen 1 Geef eerst een schatting en bereken vervolgens de uitkomst: a = b , , 8 + 9, 7 = c 3, 4 + 5, , , 8 =

7 Schatten, afronden en significante cijfers 3 d = Decimale getallen kleiner dan 1 Ook bij decimale getallen die kleiner zijn dan 1, kun je op deze manier te werk gaan. Als het eerste cijfer, dat geen 0 is: direct achter de komma staat, rond je af op tienden; op de 2 e plaats achter de komma staat, rond je af op honderdsten; op de 3 e plaats staat, rond je af op duizendsten, enzovoort. Vb , , , , 376 = Schatting: 0, 1 + 0, 7 + 0, 1 + 0, 4 1, 3 Berekening: 0, , , , 376 = 1, , , , , 069 = Schatting: 0, , , 07 0, 09 Berekening: 0, , , , 069 = 0, 0931 Bij getallen in de wetenschappelijke of technische notatie gelden dezelfde regels. Voorwaarde is wel dat de 10 -macht van alle getallen gelijk is. Vb , , , 7 10 = De grootste 10 -macht is Alle getallen moeten dus omgerekend worden op 10 5 : , , , 7 10 = Schatting: = ( ) Berekening: , , , 7 10 = ( 0, , , 7) 10 = 5 6, , , , 9 10 = De grootste 10 -macht is Alle getallen moeten dus omgerekend worden op 10 3 : , , , 9 10 = Schatting: Berekening: 2, , ,9 10 = 11, Al deze regels kun je ook toepassen bij het aftrekken van getallen.

8 4 Schatten, afronden en significante cijfers Oefeningen 2 Geef eerst een schatting en vervolgens de berekening. a 0, , , , 176 = b 0, , 007 0, , 0009 = c 0, 75 0, , , 037 = d 4, , , 7 10 = e 2, , , 9 10 = f , 9 10 = 3 Geef eerst een schatting en bereken vervolgens de uitkomst. a = b , 7 + 7, 8 28, 75 = c 2, 7 + 1, 53 3, , 3 = d 0, , , =

9 Schatten, afronden en significante cijfers e 8, , , 2 10 = f 2, , , = 3 Het afronden bij een optelling of een aftrekking Er zijn twee afspraken voor het afronden bij optellen en aftrekken. Afspraak 1 a. We bepalen wat het minste aantal cijfers achter de komma is bij de getallen die opgeteld of afgetrokken moeten worden. b. We ronden de uitkomst van een optelling of aftrekking af op het aantal cijfers dat we bij punt a. hebben gevonden. Afspraak 2 Getallen die groter zijn dan 1000 of kleiner dan 0,001 geven we altijd in de wetenschappelijke of technische notatie. Hierbij gelden dezelfde regels als bij afspraak 1. Oefeningen 4 Rond de volgende getallen op de juiste manier af: a 5000; 5739 b 80 ; 101, 75 c 12 ; 11, 64

10 6 Schatten, afronden en significante cijfers d 0, 4 ; 0, e 3 10 ; 3, f 4 10 ; 3, Bereken eerst de uitkomst en rond daarna de uitkomst op de juiste wijze af. a = b 92, , 2 82, 25 = c 16, 8 + 2, 34 7, , 36 = d 0, , , = e 6, , , 9 10 = f 1, , , =

11 Schatten, afronden en significante cijfers 7 4 Het schatten van uitkomsten bij vermenigvuldigen en delen Bij vermenigvuldigingen en delingen kunnen we de uitkomsten ook schatten. Het gaat dan om de orde van grootte van de uitkomst: Is dat een getal met 2, 3 of 6 cijfers voor de komma? Of gaat het om een getal < 1 waarbij het eerste cijfer ( 0 ) achter op de eerste of op de derde plaats achter de komma staat? Deze manier van schatten is goed als het alleen gaat om de orde van grootte van de uitkomst. Als we een schatting maken voor een bestelling, kunnen we beter niet omlaag afronden, anders bestellen we te weinig. We maken de volgende afspraak: Voor het schatten van vermenigvuldigingen en delingen ronden we elk getal zo af dat er nog één cijfer is dat ongelijk is aan nul. Vb. 4 Vb. 5 Vb. 6 Vb. 7 Vb , 16 = Schatting: , Berekening: , 16 = , , 6 = Schatting: 20 0, Berekening: 17 0, , 6 = , 078 0, 98 2, 39 0, 13 = Schatting: 0, , 1 0, 004 Berekening: 0, 078 0, 98 2, 39 0, 13 = 0, , , , 4 10 = Schatting: = Berekening: 3, , , 4 10 = 2, , , , 8 10 = Schatting: = 0, 8 Berekening: 7, , , = 0, 59

12 8 Schatten, afronden en significante cijfers Oefeningen 6 Geef een schatting van de oppervlakte van rechthoeken met onderstaande afmetingen. Doe dit eerst volgens de voorgaande voorbeelden. Bereken daarna de uitkomst. a 25, 3m bij 12, 89m b 2, 31cm bij 1, 56dm c 0, 78dm bij 285m 7 In een huis moet in twee kamers met onderstaande afmetingen nieuwe vloerbedekking gelegd worden. Geef een schatting van het benodigde aantal m 2. Bereken daarna de uitkomst. a 3, 5m bij 3, 95m b 2, 67m bij 3, 10 m 8 De familie Huisman heeft een nieuw huis gekocht. Er moet vloerbedekking gekocht worden voor de bovenverdieping. Er zijn drie kamers die respectievelijk 3, 5m bij 3,9 m, 3, 5 bij 2, 7m en 2, 5m bij 2, 4 m groot zijn. De overloop is 1, 2m bij 3 m. De vloerbedekking is 4 m breed. Meneer en mevrouw Huisman willen bij benadering weten hoe duur de vloerbedekking per meter mag kosten voor ze naar de winkel gaan. a Maak een schatting van het aantal meters vloerbedekking dat de familie nodig heeft. Motiveer het antwoord. b Voor deze vloerbedekking is e 800,- begroot. Schat hoeveel één strekkende meter maximaal mag kosten.

13 Schatten, afronden en significante cijfers 9 9 Voor een feest zijn 18 kratten met 24 flesjes bier gekocht. Er komen 32 bierdrinkende gasten. Geef een schatting van het aantal flesjes bier dat ieder kan drinken. Bereken daarna het aantal. 5 Afronden bij vermenigvuldigen en delen Bij berekende uitkomsten zien we soms 2 of 3 cijfers achter de komma, terwijl de getallen waarmee gerekend wordt hooguit 1 of 2 cijfers achter de komma hebben. De uitkomsten zijn veel nauwkeuriger dan ze in werkelijkheid zijn. We zullen daarom afspraken moeten maken over het afronden: Afspraken over afronden bij vermenigvuldigen en delen 1. Bij vermenigvuldigen en delen bevat de uitkomst niet meer significante cijfers dan het getal met het minste aantal significante cijfers. Hierbij tellen nullen na het laatste cijfer of vóór het eerste cijfer niet mee. 2. Getallen die groter zijn dan 1000 of kleiner dan 0,001 geven we altijd in de wetenschappelijke of technische notatie. Hierbij gelden dezelfde regels als bij punt We ronden pas aan het eind van de berekening af. Vb. 9 We nemen een fietstocht als voorbeeld. 1 We fietsen met een snelheid van 19 km/h, dit komt neer op een snelheid van 316, 7 m/min. We kunnen berekenen dat dan in 10 minuten een afstand van 3167 m wordt afgelegd. v heeft 2 significante cijfers, t maar één, want de nul telt niet mee. Het antwoord heeft dus één significant cijfer: 3167 m wordt dan 3000 m. In de wetenschappelijke notatie: m. 2 We fietsen met een snelheid v = 19km/h. In 10, 5 minuten wordt een bepaalde afstand afgelegd. We berekenen de afgelegde afstand. v heeft 2 significante cijfers, t heeft er 3. Het antwoord heeft dus 2 significante cijfers: 3325m wordt dan 3300 m. In de wetenschappelijke notatie schrijven we dit als 3, m. 3 v = 19km/h en t = 9, 5 minuten. Zowel v als t hebben 2 significante cijfers. Het antwoord heeft dus 2 significante cijfers: 3008 m wordt dan 3000 m. In de wetenschappelijke notatie noteren we: 3, m.

14 10 Schatten, afronden en significante cijfers Oefeningen 10 Bereken de volgende opgaven. Rond de uitkomsten op de juiste manier af. Gebruik zo nodig de wetenschappelijke notatie. a , 16= b 17 0, , 6= c 0, 078 0, 98 2, 39 0, 13= d 3, , , 4 10 = e 7, , , 8 10 = 11 Geef een schatting en een berekening van de volgende oppervlakten. Rond de berekende uitkomst op de juiste wijze af. a 89, 9m bij 190 m b 7, 8cm bij 24, 5dm 3 3 c 5, 0 10 m 1, m

15 Schatten, afronden en significante cijfers In de figuur is een U-vormig blok getekend. Zie figuur 1. Alle maten zijn in cm. Van dit blok moet de inhoud berekend worden in mm 3. 0,6 0,6 0,5 2,7 2,7 0,6 3,1 Figuur 1 a Hoe kunnen we de inhoud berekenen? Schrijf de aanpak en de formule(s) op. b Geef een schatting voor de inhoud van het blok. c Bereken de inhoud. Rond de uitkomst op de juiste manier af.

16 12 Schatten, afronden en significante cijfers Antwoorden 1a ; b 150 ; 145 c 12 ; 11, 41 d 2000 ; a 0, 9 ; 0, 9 b 0, 002 ; 0, 0013 c 0, 7 ; 0, 637 d ; 6, e ; 10, f ; 706, a 5000 ; 5739 b 80 ; 101, 75 c 12 ; 11, 64 d 0, 4 ; 0, e 3 10 ; 3, f 4 10 ; 3, a 5739 b 102 c 11, 6 d 0, 36 e 3, f 3, a ; 8, b 59, 75 ; 60 c 13, 19 ; 13, 2 d 0, ; 0, 084 e 2, ; 2, f 15, ; 0, 16 6a 300 m 2 ; 326, 117m 2 b 40cm 2 ; 36, 036cm 2 c 30 m 2 ; 22, 23m 2 7a 16m 2 ; 13, 825m 2 b 9m 2 ; 8, 277m 2 8a 12m b e 80,- 9 13, 3 ; 13, 5

17 Schatten, afronden en significante cijfers 13 10a 250 b 4, m c 4, m d 2, m e 0, a m ; 1, m b cm ; 1, cm 2 c 5 10 m 2 ; 6, 3 10 m 2 12a Inhoud = l b h 3 b I = 2500 mm c I = mm 3

18 2 Lijnen, hoeken en driehoeken 1 Lijnen en hoeken Bij de eerste drie tekeningen vormen twee lijnen samen een hoek. Zie figuur 1. Een scherpe hoek ( A ) heeft een grootte die tussen 0 en 90 ligt. Een rechte hoek ( B ) is precies 90 en een stompe hoek ( C ) heeft een grootte tussen 90 en 180. D is een gestrekte hoek, deze is precies 180. De grootte van een hoek kunnen we opmeten met een geodriehoek of gradenboog. A Figuur 1 A B C D B C D Oefeningen 1a Bepaal met de geodriehoek de grootte van A en C. Zie figuur 1. b Bepaal met de geodriehoek de grootte van A 1, B 1, B 2, C 1, D 1 en D 3. Zie figuur 2. Schrijf ook op wat voor soort hoek het is A B C D Figuur 2 A B C D 3

19 Lijnen, hoeken en driehoeken 15 c Bereken de grootte van de hoeken A 2, B 3, C 2, en D 2. Schrijf de berekening op en zeg ook wat voor soort hoek het is. A 1 en A 2 zijn samen 180. Zie figuur 2. Hetzelfde geldt voor B + B + B C1 + C2 en D1 + D2 + D3. Als we daar de gestrekte hoek aan de onderkant van de lijn bijtellen, komen we op = 360. Dit geldt voor alle hoeken rondom één punt. Zo n hoek noemen we ook wel een volle hoek. De hoeken 1 tot en met 4 zijn samen 360. Zie figuur , * * 4 Figuur 3 Figuur 4 Bij snijdende lijnen zijn de overstaande hoeken gelijk als ze een X vormen. de hoeken met een sterretje zijn even groot. Zie figuur 4. Ook bij evenwijdige lijnen die gesneden worden door een derde lijn komen we gelijke hoeken tegen. Dit kunnen Z-hoeken of F-hoeken zijn. De Z-hoeken met sterretjes en de F-hoeken zijn met rondjes aangegeven. Zie figuur 5. Evenwijdige lijnen kunnen we herkennen aan de pijlen. * * * * Figuur 5 A B C D 2a Controleer door ze op te meten, of de aangegeven Z- en F-hoeken inderdaad gelijk zijn. Zie figuur 5.

20 16 Lijnen, hoeken en driehoeken b Controleer door ze op te meten, of alle overstaande of X-hoeken gelijk zijn. Zie figuur 5a t/m 5d. 2 Driehoeken, som van de hoeken De som van de hoeken in een driehoek is altijd 180. In een willekeurige ABC geldt dus: A + B + C = 180. Als we twee hoeken kennen, kunnen we de derde hoek berekenen. Vb. 1 Gegeven In ABC geldt A = 103 en B = 34. Zie figuur 6. C A? Figuur 6 Gevraagd C 103 o 34 o B Oplossing C = 180 A B C = C = 43 3 In de rechthoekige driehoek geldt dat K = 64 en M = 90. Zie figuur 7. Bereken L.

21 Lijnen, hoeken en driehoeken 17 3 Stelling van Pythagoras De rechthoekige driehoek KLM is getekend. Hierin geldt M = 90. Zie figuur 7. De schuine zijde KL is de langste zijde. De andere twee zijden noemen we rechthoekszijden. M rechthoekszijde rechthoekszijde Figuur 7 K schuine zijde L Als twee zijden bekend zijn, kunnen we met de stelling van Pythagoras de derde zijde berekenen: In woorden: rechthoekszijde1 2 + rechthoekszijde2 2 = schuine zijde In formulevorm: KM + LM = KL Let op: De stelling van Pythagoras mogen we alleen in rechthoekige driehoeken gebruiken. Vb. 2 Gegeven In dezelfde driehoek geldt KM = 17cm en LM = 35cm. Zie figuur 7. Gevraagd KL Oplossing De zijde KL is de schuine zijde die we kunnen berekenen met de stelling van Pythagoras: KL = KM + LM KL = ( 17 cm) + ( 35 cm) KL = = 1514 KL = 1514 = 38, 9cm Conclusie Die laatste lengte kunnen we ook sneller met onze rekenmachine berekenen. Elke wetenschappelijke rekenmachine bevat namelijk een ingebouwde Pythagoras: Casio fx-82: POL( [17], [35] ) (let op de komma tussen 17 en 35! TI-30: 2nd kies R Pr [17], [35] ) (let op de komma tussen 17 en 35! Let op: op deze manier kunnen we alleen de schuine zijde van een rechthoekige driehoek berekenen.

22 18 Lijnen, hoeken en driehoeken 4 In een rechthoekige driehoek ABC is A = 90, AB = 12cm en BC = 13cm. Zie figuur 8. C? 13 A Figuur 8 12 B a Bereken de zijde AC. b Controleer het antwoord in de tekening. 5 In een rechthoekige driehoek ABC is B = 90 en C = 62. AB = 15cm en BC = 8cm. a Maak een tekening op schaal. b Bereken A. c Bereken de zijde AC. d Controleer de antwoorden in de tekening.

23 Lijnen, hoeken en driehoeken 19 6 In een rechthoekige driehoek ABC is C = 90 en A = 13. AB = 25cm en BC = 7cm. a Maak een tekening op schaal. b Bereken B. c Bereken de zijde AC. d Controleer de antwoorden in de tekening. 4 Gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken In een gelijkbenige driehoek zijn twee zijden even lang en zijn de basishoeken even groot. Er is één symmetrieas. Zie figuur 9. Deze symmetrieas verdeelt de gelijkbenige driehoek in twee gelijke rechthoekige driehoeken. De symmetrieas is de deellijn van de tophoek (hier B ) en deelt de basis loodrecht middendoor. In een gelijkbenige driehoek is de symmetrieas dus tegelijkertijd: 1. deellijn van de tophoek; 2. zwaartelijn vanuit de tophoek; 3. hoogtelijn vanuit de tophoek; 4. middelloodlijn van de basis.

24 20 Lijnen, hoeken en driehoeken C symmetrieas A Figuur 9 * * B In een gelijkzijdige driehoek zijn alle zijden even lang en de drie hoeken even groot: P = Q = R = 60. Er zijn drie symmetrieassen. Zie figuur 10. Deze symmetrieassen hebben dezelfde eigenschappen als de symmetrieas van de gelijkbenige driehoek. R 2 1 P T 2 2 S Z U Q Figuur 10 7a Neem de tekening van figuur 10 over. De symmetrieassen vanuit P, Q en R zijn respectievelijk PS, QT en RU. Zet bij het snijpunt van de symmetrieassen de letter Z. b Welke gelijkbenige driehoeken bevat PQR?

25 Lijnen, hoeken en driehoeken 21 c Welke rechthoekige driehoeken kun je vinden? d Bereken de grootte van alle hoeken. 8 Tegelpatronen komen in allerlei variaties voor. Een stukje van het duale tegelpatroon van Caïro is getekend. Zie figuur 11. Duaal betekent in dit verband dat het patroon niet helemaal regelmatig is. Figuur 11 a Hoeveel gelijkzijdige driehoeken zijn er getekend? b Hoeveel zijn er van elke grootte? c Hoe groot zijn de hoeken?

26 22 Lijnen, hoeken en driehoeken 5 De oppervlakte van een driehoek In een willekeurige driehoek kunnen we de oppervlakte als volgt berekenen: oppervlakte driehoek is halve basis maal hoogte. In formulevorm: 1 A = b h 2 C M R hoogte zijde of basis hoogte hoogte A B K L Q zijde of basis P zijde of basis Figuur 12 Met de hoogte bedoelen we de afstand van het hoekpunt tegenover de zijde die we gebruiken als basis, tot die basis. Zie figuur 12. We spreken ook wel van de hoogtelijn. Bij een rechthoekige driehoek kiezen we één van de rechthoekszijden als hoogtelijn. Bij een stomphoekige driehoek valt de hoogtelijn buiten de driehoek als we hem tekenen vanuit één van de scherpe hoeken. Vb. 1 In figuur 12 zijn in PQR de basis en de hoogte bekend. Basis PQ = 10cm en de hoogte 12 cm. Bereken de oppervlakte van de driehoek. Gegeven b = 10cm, h = 12cm Gevraagd A Oplossing 1 1 A = b h A = = cm cm cm 9 Zie figuur 12. ABC heeft een basis van 13cm, terwijl de hoogte 9cm is. Bereken de oppervlakte.

27 Lijnen, hoeken en driehoeken De oppervlakte van KLM is 72cm, terwijl de basis een lengte heeft van 18cm. Bereken de hoogte. 11 Van PQR is bekend dat de basis 7cm is, terwijl de hoogte 6cm is. Bereken de oppervlakte. 12 Van een driehoek is gegeven dat de oppervlakte 18, 4 cm is, terwijl de hoogte 6, 4 cm is. Bereken de basis Een gelijkbenige driehoek ABC heeft een tophoek van 22. De hoogte van deze driehoek is 10, 4 cm. De oppervlakte is 17, 68cm 2. a Bereken de grootte van de basishoeken. b Bereken de basis. c Bereken de lengte van de overige zijden van de driehoek.

28 24 Lijnen, hoeken en driehoeken Antwoorden 1a 40 ; 120 b 110, stomp ; 35, scherp 90, recht ; 45, scherp 30, scherp ; 90, recht c 70, scherp ; 55, scherp 135, stomp ; 60, scherp 2a Zie figuur 5a: hoek 4 = hoek 6 Zie figuur 5b: hoek 4 = hoek 6 Zie figuur 5c: hoek 3 = hoek 8 = hoek 12 Zie figuur 5d: hoek 4 = hoek 8 b Zie figuur 5a: hoek 1 = hoek 3; hoek 2 = hoek 4; hoek 5 = hoek 7 en hoek 6 = hoek 8 Zie figuur 5b: hoek 1 = hoek 3 ; hoek 2 = hoek 4 ; hoek 5 = hoek 7 en hoek 6 =hoek 8 Zie figuur 5c: hoek 1 = hoek 4 ; hoek 2 = hoek 3 ; hoek 5 = hoek 7 ; hoek 6 = hoek 8 ; hoek 9 = hoek 11 en hoek 10 = hoek 12 Zie figuur 5d: hoek 1 = hoek 3 ; hoek 2 = hoek 4 ; hoek 5 = hoek 7 en hoek 6 = hoek 8 3 L = 26 4a AC = 5 b Zie figuur 7. 5a Tekening b A = 28 c AC = 17cm d - 6a Tekening b B = 77 c AC = 24 cm d - 7a Zie tekening. R 2 1 P T 2 2 S Z U Q Figuur 13

29 Lijnen, hoeken en driehoeken 25 b PQZ, QRZ, PRZ c PTZ, PUZ, QSZ, QUZ, RSZ, RTZ d P = P = Q = Q = R = R = U1 = U2 = S1 = S2 = T1 = T2 = 90 Z1 = Z2 = Z3 = Z4 = Z5 = Z6 = 60 8a 20 b 18 kleine en 2 grote c 60 9 A = 58, 5 cm 10 h = 8cm 11 A = 21cm 2 12 b = 5, 75 cm 13a basishoek = 79 b b = 3, 4 cm c schuine zijde = 10, 5cm 2

30 3 Inleiding goniometrische verhoudingen 1 Hellingen We lopen een steile trap op. Zie figuur 1. toename verticaal (hoogte) α Figuur 1 toename horizontaal (afstand) De steilheid of het hellingsgetal van deze trap kunnen we berekenen met: overstaande rechthoekzijde o hellingsgetal = of in formulevorm: S = aanliggende rechthoekzijde a De uitkomst van deze deling wordt soms ook wel helling genoemd. Wij zullen de term hellingsgetal gebruiken, omdat deze term aangeeft dat het om een verhoudingsgetal gaat.

31 Inleiding goniometrische verhoudingen 27 2 Tangens Voor het verband tussen hellingsgetal en hellingshoek kunnen we de goniometrische functie tangens gebruiken. tanα is het hellingsgetal dat hoort bij de hellingshoek α. Vb. 1 Het onderstaande verkeersbord geeft aan dat het hellingspercentage van de weg 10% is. Zie figuur 2. Dat betekent dat, als we horizontaal 100 meter afleggen, we dan 10 meter omhoog gaan. Bereken het hellingsgetal S. 10% Figuur 2 Oplossing Het hellingsgetal S is de verhouding van de overstaande rechthoekszijde (o) tot de aanliggende rechthoekszijde (a). In het geval hiervoor geldt dus: o 10 m S = S = = 0, 1. a 100 m Vb. 2 In figuur 1 is de verticale toename 7, 0 m en de horizontale toename 5, 2 m. Bereken de tangens van de hellingshoek, ofwel tanα. o 7, 0 m Oplossing: tan α = S = tan α = = 1, 346 a 5, 2 m We spreken af dat we het hellingsgetal S steeds afronden met een nauwkeurigheid van 3 cijfers achter de komma.

32 28 Inleiding goniometrische verhoudingen Oefeningen 1 Bereken de tangens van de aangegeven hoek in de volgende figuren. C 2,6 A Figuur 3 4,3 α B 2,9 β 2,9 Figuur 4 4,0 γ 1,1 Figuur 5

33 Inleiding goniometrische verhoudingen 29 1,5 Figuur 6 5,1 δ Met onze rekenmachine kunnen we nu de bijbehorende hoek uitrekenen. We willen de hoek in graden uitdrukken. We moeten er daarom op letten dat onze rekenmachine daarop ingesteld staat. We kunnen bij de CASIO fx-82-serie de juiste instelling verkrijgen door MODE MODE 1 in te tikken. Boven in het display zien we dan de aanduiding D. Bij de TI-30 serie vinden we de juiste instelling met DGR. Kies DRG =. Onder in het display wordt dit weergegeven door DEG. Vb. 2 In figuur 1 hebben we gevonden: tan α = 1, 346. Bereken de hellingshoek α. Gegeven tan α = 1, 346 Gevraagd α Oplossing Met onze rekenmachine kunnen we de bijbehorende hoek als volgt uitrekenen: CASIO fx-82: SHIFT tan [ ] = TI-30: 2nd tan [ ] = met als resultaat 53, 4 dus: tan α = 1, 346 α = 53, 4

34 30 Inleiding goniometrische verhoudingen Oefeningen 2 Bereken de aangegeven hoeken in de volgende figuren. C 2,6 A Figuur 7 4,3 α B 2,9 β 2,9 Figuur 8 4,0 γ 1,1 Figuur 9

35 Inleiding goniometrische verhoudingen 31 1,5 Figuur 10 5,1 δ 3 10% Figuur 11 Bereken de hoek van de helling in figuur 11. Het verkeersbord van figuur 11 geeft aan dat het hellingspercentage van de weg 10% is. Dat betekent het volgende: als we horizontaal 100 meter afleggen, gaan we 10 meter omhoog.

36 32 Inleiding goniometrische verhoudingen Vb. 3 Een helling heeft een hellingspercentage van 7%. Bereken: a. Hoeveel meter moeten we rijden om 100 meter horizontaal af te leggen? b. Hoe groot is de hellingshoek in graden? Gegeven S = 7% Gevraagd a. De afgelegde weg s. b. α Oplossing a. Als de hellingspercentage 7% is betekent dat: als we horizontaal 100 meter afleggen, gaan we 7 meter omhoog. Met de stelling van Pythagoras kunnen we als volgt uitrekenen hoeveel meter we hebben afgelegd: s = a + o s = ( 100 m) + ( 7 m) = 100, 24 m o 7 b. tan α = = = 0, 07 α = 4, 0 a 100 Deze berekening kan nog sneller op onze rekenmachine met de POL(-toets. Uitgaande van 100 m naar rechts en 7 m omhoog typen we op de CASIO fx-82: POL( [100], [7] ) met als resultaat 100, 24. Let op de komma tussen 100 en 7. Vervolgens levert RCL [F] de bijbehorende hoek van 4, 0. Op de TI-30X typen we 2nd kies R Pr [100], [7] ) met als resultaat 100, 24. Vervolgens 2nd kies R P Θ [100], [7] ) met als antwoord 4, 0. Oefeningen 4 Een helling heeft een hellingspercentage van 12%. a Hoe groot is de hellingshoek in graden? b Hoeveel meter moeten we rijden als we 150 meter horizontaal afleggen?

37 Inleiding goniometrische verhoudingen 33 c Hoeveel meter moeten we rijden om 10 meter te stijgen? 5 Een helling heeft een hellingshoek van 4, a Bereken het hellingspercentage. b Hoeveel meter moeten we rijden als we 250 meter horizontaal afleggen? c Hoeveel meter moeten we rijden om 15 meter te stijgen? 6 Een zeer steile helling heeft een hellingshoek van 50. Bereken het hellingspercentage. 7 C 27 B A 34 Figuur 12

38 34 Inleiding goniometrische verhoudingen R P Q Figuur 13 a Wat zijn in de figuur de overstaande en de aanliggende zijden van A en C in ABC? Zie figuur 12. b Bereken de tangens en de grootte van beide hoeken. c Beantwoord dezelfde vragen voor P en Q in PQR. Zie figuur De zijgevel van een huis is 9, 2 m lang. Het dak heeft een hellingshoek van 35. Zie figuur 14. Figuur o 35 o 9,2 m a Bereken de grootste hoogte van de zolderverdieping.

39 Inleiding goniometrische verhoudingen 35 b Bereken de lengte van de daklijn (dit is de lengte van de schuine zijde in de figuur) c Bereken de hoek van de nok. 9 Een zendmast van de brandweer heeft vier tuidraden die aan de top bevestigd zijn. Henk meet met zijn geodriehoek de hoek die deze tuidraden met de grond maken. Deze hoek blijkt 38 te zijn. De afstand van het bevestigingspunt van de draad op de grond tot de voet van de zendmast is 57, 6 m. Bereken de hoogte van de zendmast. 10 In figuur 15 is schematisch de vorm van het dak van een gebouw getekend. C h = 3,58 m B 50 o D 5,00 m α A Figuur 15 Bereken: a De grootte van hoek α. b De grootte van C. c De lengte BD.

40 36 Inleiding goniometrische verhoudingen 3 Sinus B β α C Figuur 16 A In een rechthoekige driehoek geldt: sinus A = overstaande rechthoekzijde schuine zijde In formulevorm: sinα = o s In figuur 16 kunnen we dit als volgt uitwerken: o sinα = = s BC AB en sinβ = o s = AC AB In een rechthoekige driehoek kunnen we met behulp van de sinus de grootte van alle hoeken en de lengte van alle zijden berekenen als bekend zijn: één hoek en de overstaande rechthoekzijde; of één hoek en de schuine zijde; of de overstaande rechthoekzijde plus de schuine zijde. Let op dat de rekenmachine ook hier weer op DEG staat.

41 Inleiding goniometrische verhoudingen 37 Vb. 4 In figuur 16 geldt α = 70 en AB = 12 cm. Bereken: a. de overstaande rechthoekzijde; b. hoek β. Gegeven α = 70 ; AB =12 cm Gevraagd a. BC b. β Oplossing o BC a. sin α = sin 70 = BC = 12 sin 70 = 11, 3 cm s 12 cm b. β = = 20 Vb. 5 In ABC van figuur 16 zijn gegeven: BC = 18 cm en AB = 21 cm. Bereken de hoeken van deze driehoek. Gegeven BC = 18 cm ; AB = 21 cm Gevraagd a. x b. β Oplossing o 19 cm a. sin α = sin α = = 0, 905 s 21 cm Op de CASIO fx-82 typen we SHIFT sin [ ] = Op de TI-30 typen we 2nd sin [ ] = α = 64, 8 b. β = , 8 = 25, 2

42 38 Inleiding goniometrische verhoudingen Oefeningen 11 Bereken de lengte van BC in figuur 15 door gebruik te maken van de sinus. 12 ABC is een rechthoekige driehoek. A = 40, C = 90 en AB = 7, 8 cm. a Maak een tekening. b Bereken B. c Bereken de lengte van BC door gebruik te maken van sin A. d Bereken ook de lengte van AC.

43 Inleiding goniometrische verhoudingen C Figuur 17 A B In figuur 17 staat een brandweerladder tegen een muur. De ladder is 4, 0 m uitgeschoven en maakt een hoek van 63 met de grond. a Bereken de hoogte als de ladder de muur raakt in punt C. b Hoe ver staat de ladder onder van de muur af? 14 In driehoek ABC geldt β = 90, γ = 47 en zijde AB = 15 cm. Bereken de andere hoek en zijden. 15 In driehoek ABC geldt β = 90, α = 57 en zijde AC = 20 cm. Bereken de andere hoek en zijden. 16 In driehoek ABC geldt α = 90, β = 40 en zijde AB = 25 cm. Bereken de overige hoek en zijden.

44 40 Inleiding goniometrische verhoudingen 4 Cosinus B β α C A Figuur 18 In een rechthoekige driehoek geldt: cosinus A = aanliggende rechthoekzijde schuine zijde In formulevorm: cosα = a s In figuur 18 kunnen we dit als volgt uitwerken: a cosα = = s AC AB en cosβ = a s = BC AB In een rechthoekige driehoek kunnen we met behulp van de cosinus de grootte van alle hoeken en de lengte van alle zijden berekenen als bekend zijn: één hoek en de aanliggende rechthoekzijde; of één hoek en de schuine zijde; of de aanliggende rechthoekzijde en de schuine zijde. Let op dat de rekenmachine ook hier weer op DEG staat.

45 Inleiding goniometrische verhoudingen 41 Vb. 6 In figuur 19 is hoek α = 70 en AB = 12 cm. a. Bereken de overstaande rechthoekzijde. b. Bereken hoek β. B β α C A Figuur 19 Gegeven α = 70, AB = 12 cm Gevraagd a. AC b. β Oplossing a AC AC a. cosα = = cos70 = AC = 12 cos 70 = 4, 1 cm s AB 12 cm b. β = = 20 Vb. 7 In ABC van figuur 19 zijn gegeven: AC = 2, 6 cm en AB = 20, 4 cm. Bereken de hoeken van deze driehoek. Gegeven AC = 2, 6 cm, AB = 20, 4 cm Gevraagd α ; β

46 42 Inleiding goniometrische verhoudingen Oplossing a AC 2, 6 cm cosα = = cosα = = 0, 127 s AB 20, 4 cm Op de CASIO fx-82 typen we SHIFT cos [ ] =. Op de TI-30 typen we 2nd cos [ ] =. Resultaat: α = 82, 7 en vervolgens: β = , 7 = 7, 3 Oefeningen 17 C 4,0 cm 69 o A 1,2 cm D Figuur 20 B In figuur 20 is een scherphoekige driehoek ABC getekend. CD is de hoogtelijn. AD = 1, 2 cm, BC = 4, 0 cm, AB = 3 AD. a Bereken de zijde AC. b Bereken AB. c Bereken de grootte van B met behulp van cos B. d Bereken C. e Bereken CD.

47 Inleiding goniometrische verhoudingen A C Figuur o B De afstand tussen Peter en toren A is 600 m. Peter staat in punt C recht tegenover toren B. Zie figuur 21. a Hoe groot is de afstand tussen Peter en toren B als hij toren A ziet onder een hoek van 53? b Bereken ook de afstand tussen toren A en toren B. 19 In driehoek ABC geldt β = 90, α = 37 en zijde AB = 9, 5 cm. Bereken de andere hoek en zijden. 20 D A 57 o S C B Figuur 22

48 44 Inleiding goniometrische verhoudingen 1 In figuur 22 zien we een vlieger getekend. DS = BS = 10 cm. 3 Bereken alle hoeken en zijden van deze vlieger. 21 We moeten aan de as van een betonmolen een conische punt draaien waar een tandwiel op geplaatst moet worden. Zie figuur o 30,0 mm Figuur 23 20,0 mm Bij de oplossing van deze opgave maken we gebruik van goniometrische verhoudingen. a Bereken de lengte van het schuine zijde van het conische gedeelte. b Bereken de diameter van de top van het conische gedeelte.

49 Inleiding goniometrische verhoudingen C A Figuur 24 D B a In driehoek ABC geldt A = 60, AB = 12 cm en AC = 6 cm. CD is de hoogtelijn uit C. Zie figuur 24. Bereken: AD b CD c BD d BC

50 46 Inleiding goniometrische verhoudingen Antwoorden 1 Figuur 3: tan α = 0, 605 Figuur 4: tan β = 1, 000 Figuur 5: tan γ = 3, 636 Figuur 6: tan δ = 0, α = 31, 2 β = 45 γ = 74, 6 δ = 16, 4 3 α = 5, 7 4a α = 6, 8 b s = 151, 1 m c s = 83, 9 m 5a S = 8% b s = 250, 8 m c s = 188, 1 m 6 S = 119, 2% 7a A : BC is de overstaande rechthoekzijde en AB is de aanliggende rechthoekzijde. C : AB is de overstaande rechthoekzijde en BC is de aanliggende rechthoekzijde. b tan A = 0, 794 A = 38, 4 tan C = 1, 259 C = 51, 6 c tan P = 1, 870 P = 61, 9 tan Q = 0, 535 Q = 28, 1 8a h = 3, 2 m b l = 5, 6 m c tophoek = h = 45 m 10a α = 35 b C = 94, 4 c BD = 3, 00 m 11 BC = 3, 0 m 12a Tekening b B = 50 c BC = 5, 0 cm d AC = 6, 0 cm

51 Inleiding goniometrische verhoudingen 47 13a AC = 3, 6 m b AB = 1, 8 m 14 α = 43 AC = 20, 5 cm BC = 14, 0 cm 15 γ = 33, BC = 16, 8 cm, AB = 10, 9 cm 16 γ = 50, BC = 32, 6 cm, AC = 21, 0 cm 17a AC = 3, 3 cm b AB = 3, 6 cm c B = 53, 1 d C = 57, 9 e CD = 3, 1 cm 18a b BC = 361 m AB = 479 m 19 γ = 53, AC = 11, 9 cm, BC = 7, 2 cm 20 AB = BC = 55, 1 cm, DC = AD = 31, 6 cm, A = C = 75, 4, B = 66, D = 143, 2 21a s = 20, 3 mm b d top = 23, 0 mm 22a AD = 3 cm b CD = 5, 2 cm c BD = 9 cm d BC = 10, 4 cm

52