Paragraaf 14.0 : Eenheidscirkel

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 1 van 12 Paragraaf 14.0 : Eenheidscirkel De eenheidscirkel met graden Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ) = x coordinaat 1 x = cos(θ) sin(θ) = y coordinaat 1 y = sin(θ) Ieder punt P op de cirkel geldt : (x, y) = ( cos(θ), sin(θ) ) Voorbeeld 1 : Graden en coördinaten Kijk naar de eenheidscirkel. Bereken de coördinaten als a. t = 90 b. t = 22 a. Dit mag gewoon op de GR : (x, y) = ( cos(90), sin(90) ) = (0,1) b. Dit mag gewoon op de GR : (x, y) = ( cos(22), sin(22) ) = (0,93 ; 0,37)

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 2 van 12 De eenheidscirkel met radialen Definities Radialen Radiaal = { Afstand (in cm) die iemand heeft afgelegd als hij over de rand van de cirkel loopt } De omtrek van de cirkel = 2π r = 2π 1 = 2π 2π rad = 360 graden π rad = 180 graden Ieder punt P op de cirkel geldt : (x, y) = ( cos(θ), sin(θ) ) Je wisselt op de GR tussen graden en radialen via de knop MODE. Voorbeeld 1 : Radialen Kijk naar de eenheidscirkel. Bereken de coördinaten als a. b. t 1 1 2 t 1 1 3 c. t 5 ( rad) a. Dit mag gewoon op de GR : (x, y) = ( cos (1 1 π), sin (1 1 π) ) = (0, 1) 2 2 b. Dit mag gewoon op de GR : (x, y) = ( cos (1 1 π), sin (1 1 π) ) = ( 0,5 ; 0,87) 3 3 c. Dit betekent dat je 5 cm over de cirkel gelopen hebt!!! Realiseer je dat dat een waarde is tussen π = 3,14 en 2π = 6,28 Op de GR : (x, y) = ( cos(5), sin(5) ) = (0,28 ; 0,96)

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 3 van 12 De grafieken van y=sin(x) en y=cos(x) De grafieken van y=sin(x) en y=cos(x) kun je uit de eenheidscirkel halen : (1) y=sin (x) (de y-coördinaat in de eenheidscirkel) (2) y=cos (x) (de x-coördinaat in de eenheidscirkel)

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 4 van 12 Paragraaf 14.1 : Sinusoïden Les 1 : Tekenen van een gonioformule Definitie Gegeven is gonio-formule y = a + b sin c (x - d) of y = a + b cos c (x - d). Hierin is: (1) a = evenwichtsstand (2) b = amplitude (3) c = 2π / periode of periode = 2π / c (4) d = verschuiving met +d = verschuiving d naar links -d = verschuiving d naar rechts Stappenplan tekenen gonio-formule y = a + b sin c (x - d) (1) Teken eerst de formule y = a + b sin cx (dus zonder verschuiving d) (2) Verschuif de eerste grafiek d naar links / rechts Voorbeeld 1 Teken op domein [0, 2π] de formule f x ) 2 3sin (3 x 1 ) ( 3

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 5 van 12 a. (1) a = evenwichtsstand = -2 b = amplitude = 3 periode = 2π = π 2 (2) + 1 π = verschuiving 1 π naar links 3 3

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 6 van 12 Paragraaf 14.2 : Formules van sinusoïden opstellen Les 1 Bepalen van een gonioformule Voorbeeld 1 Bepaal de formule van de grafiek a. Als het een sinusgrafiek is b. Als het een cosinusgrafiek is. We kijken nu naar de sinusformule. c. Bereken zonder de GR het maximum en het minimum. d. Bereken de helling in x = 3. e. Bereken de maximale helling. f. Bereken de minimale helling. a. (1) a = evenwichtsstand = 7+ 1 2 = 6 2 = 3 (2) b = amplitude = 7 3 = 4 (3) periode = 4 1 = 3 (Van top tot top) dus c = 2π = 2 π 3 3 (4) Bij de sinusgrafiek start in de evenwichtsstand en dat doet deze grafiek ook dus d=0 Dus : y = 3+4 sin(2x) b. De stappen 1 t/m 3 zijn gelijk (4) De cosinusgrafiek start in het maximum en dat is bij t=1, dus is de grafiek 1 naar rechts verschoven Dus : y = 3+4 cos(2(x-1))

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 7 van 12 We rekenen vanaf nu met y = 3+4 sin(2x) c. Maximum = evenwichtsstand + amplitude = a + b = 3 + 4 = 7 Minimum = evenwichtsstand amplitude = a b = 3 4 = 1. d. Y1 = 3+4 sin(2x) calc > dy/dx > x=3 > helling = 7,68 e. De helling is maximaal als de grafiek door de evenwichtsstand gaat!! (1) Bereken het snijpunt van de formule met de evenwichtsstand (y=3) waar de grafiek OMHOOG gaat Y1 = 3+4 sin(2x) en Y2 = 3 calc > intersect > x=0 (in dit geval wist je dit misschien al!!) (2) Bereken de helling in dit punt (In dit geval x=0) Y1 = 3+4 sin(2x) calc > dy/dx > x=0 > helling =7,99999 = 8 f. De helling is maximaal als de grafiek door de evenwichtsstand gaat!! (1) Bereken het snijpunt van de formule met de evenwichtsstand (y=3) waar de grafiek OMLAAG gaat Y1 = 3+4 sin(2x) en Y2 = 3 calc > intersect > x=1,5707963 (2) Bereken de helling in dit punt (In dit geval x=1,5707963) Y1 = 3+4 sin(2x) calc > dy/dx > x=1,5707963 > helling =-7,99999 = -8

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 8 van 12 Paragraaf 14.3 : Rijen bij figuren Definitie Er zijn twee soorten rijen die vaak terugkomen 1. Rekenkundige rij = { Iedere keer een getal erbij tellen } 2. Meetkundige rij = { Iedere keer met een getal vermenigvuldigen } Rekenkundige rij (1) De recursievergelijking : u(n) = u(n-1) + v, waarbij v een getal is. (2) De directe formule : u(n) = u0 + n v. Meetkundige rij (1) De recursievergelijking : u(n) = r u(n-1), waarbij r een getal is. (2) De directe formule : u(n) = u0 r n. Voorbeeld 1 Gegeven is de rij u = { 3,6,12,.} a. Stel een recursievergelijking op en bereken u4. b. Stel de directe formule op en bereken u10. a. u(n) = 2 u(n-1) en u(0) = 3 De GR (1) nmin = 0 u(n) = 2 u(n-1) u(nmin) = 3 (2) Table : u(4) = 48 b. u(n) = u0 r n = 3 2 n u(10) = 3 2 10 = 3072

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 9 van 12 Somrij S n = { Som van de eerste (n + 1) termen van de rij u } = u 0 + u 1 + u 2 +... +u n Voorbeeld 1 Gegeven is de recursievergelijking u(n) = u(n-1) + 4 en u(0) = 9 3 a. Bereken i=0 u i b. Bepaal de som van de eerste 12 termen. n a. i=0 u i = u 0 + u 1 + u 2 + u 3 = 9 + 13 + 17 + 21 = 60 b. (1) De eerste 12 getallen is u(0) t/m u(11)!! Dus we moeten S 11 berekenen. (2) De GR gebruiken. Je hebt twee recursievergelijkingen nodig : nmin = 0 u(n) = u(n-1) + 4 u(nmin) = 9 v(n) = v(n-1) + u(n-1) + 4 { v(n-1) + de recursievgl van u(n) } v(nmin) = 9 { v(0) = u(0) = 9 } Table : v(11) = 372

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 10 van 12 Paragraaf 14.4 : Variabelen vrijmaken Les 3 Gebroken formules omwerken Formules omwerken kruiselings vermenigvuldigen of 2 = 6 3 Voorbeeld 1 a. Gegeven is y = b. Gegeven is A = 2 5x 1 T T+2. Druk x uit in y.. Schrijf T als functie van A. a. 5x 1 = 2 y 5x = 2 y + 1 x = 2 5y + 1 5 b. A(T + 2) = T AT + 2A = T AT T = 2A T(A 1) = 2A T = 2A A 1 Voorbeeld 2 Gegeven zijn y = 10p + 2 en p = -5x + 4. a. Druk y uit in x. Gegeven is ook de formule Q = y p. b. Schrijf Q als functie van p. c. Druk Q uit in x. Oplossing 2 a. y = 10p + 2 = 10 (-5x + 4) + 2 = -50x + 40 + 2 = -50x + 42 b. Q = (10p + 2) p = 10p 2 + 2p c. Q = y p = (-50x + 42)(-5x + 4) = 250x 2 210x -200x + 168 = 250x 2 410x + 168

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 11 van 12 Les 2 : Van macht naar log en omgekeerd Definitie Bij deze vragen maak je veel gebruik van de regel : y = g t log(y) = log(g t ) = t log(g) Denk aan alle logaritme regels (1) g log a + g log b = g log ab (2) g log a g log b = g log (a/b) (3) g log a k = k g log a (4) g log a = (log a) / (log g) (5) g log (1) = 0 (6) g log g t = t (7) log a = 10 log a Voorbeeld 1 Gegeven y = 5 2 3t+8 a. Schrijf de formule als log(y) = at + b. b. Schrijf de formule als t = d+ c ln(y). Gegeven y = 10 x 2,3 c. Schrijf de volgende formules als log(y) = p + q log(x) a. y = 5 2 3t 2 8 of log(y) = log( 5 2 3t+8 ) y = 5 256 (2 3 ) t log(y) = log( 5) + log(2 3t+8 ) y = 1280 8 t log(y) = log( 5) + (3t + 8) log(2) log(y) = log(1280 8 t ) log(y) = 0,69897 +(3t + 8) 0,30103 log(y) = log(1280) + log(8 t ) log(y) = 0,70 + 0,90t + 2,41 log(y) = log(1280) + t log(8) log(y) = 0,90t + 3,11 log(y) = 3,11 + t 0,90 log(y) = 0,90t + 3,11 b. y = 5 2 3t 2 8 y = 5 256 (2 3 ) t y = 1280 8 t ln(y) = ln (1280 8 t ) ln (y) = ln (1280) + ln (8 t )

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 12 van 12 ln (y) = ln (1280) + t ln (8) ln (y) - ln (1280) = t ln (8) t = ln (y) ln(1280) ln (8) ln(8) t = 0,48ln (y) 3,44 c. y = 10 x 2,3 log (y) = log(10 x 2,3 ) log (y) = log(10) + log(x 2,3 ) log (y) = log(10) + 2,3 log(x) log (y) = 1 + 2,3 log(x) Voorbeeld 2 Schrijf de volgende formules om in y = b g t of y = a x n a. t = 4 log(y) 10 b. log(y) = 2 + 5 log(x) Oplossing 2 Maak gebruik van de regel : g log (g t ) = t a. t = 4 log(y) 10 4 log(y) = t + 10 log(y) = 1 4 t + 2,5 0,25t + 2,5 y = 10 y = 10 2,5 10 0,25t y = 316,23 (10 0,25 ) t y = 316,23 1,78 t b. log(y) = 2 + 5 log(x) log(y) = log(10 2 ) + log(x 5 ) log(y) = log(10 2 x 5 ) y = 10 2 x 5 y = 100 x 5