Vakgroep Zuivere Wiskunde. De stelling van Bruck-Ryser. Tine De Plekker Promotor: Jan De Beule

Transcriptie

1 Vakgroe Zuivere Wiskunde De stelling van Bruck-Ryser Tine De Plekker Promotor: Jan De Beule 3 e Bachelor wiskunde Academiejaar

2 0

3 Inhoudsogave 1 Inleiding 1.1 Projectieve vlakken De incidentiematrix De -adische getallen 3.1 De -adische getallen De -adische afstand Het veld van de -adische getallen Gehele -adische getallen De -adische ontwikkeling adische vergelijkingen Het Hilbert-symbool Het Hilbert-symbool De roductformule De Stelling van Bruck-Ryser Congruentie van matrices De stelling van Bruck-Ryser Kwadraatsommen De stelling van Lagrange De Stelling van Bruck-Ryser Bronnen 6 1

4 1 Inleiding 1.1 Projectieve vlakken Definitie 1.1. Een rojectieve vlakke meetkunde π is een mathematisch systeem samengesteld uit ongedefinieerde elementen, unten genaamd, en ongedefineerde verzamelingen van unten (minimum twee), rechten genaamd, dat voldoet aan volgende voorwaarden: (i) Twee verschillende unten liggen o een unieke rechte. (ii) Twee verschillende rechten bevatten een uniek gemeenschaelijk unt. (iii) Elke rechte heeft minimum drie unten. Het rojectieve vlak π is eindig als het bestaat uit een eindig aantal unten. Als π eindig is, dan bestaat er een natuurlijk getal N zo dat elke rechte van π exact N + 1 verschillende unten heeft en elk unt bevat is in exact N + 1 verschillende rechten. Bovendien heeft π dan exact N + N + 1 verschillende unten en N + N + 1 verschillende rechten. In alle gekende eindige rojectieve vlakken is N een macht van een riemgetal. Inderdaad, voor elk riemgetal en voor elk ositief geheel getal n zijn er eindige meetkundes geconstrueerd door middel van de Galoisvelden GF( n ). Het is nog altijd een onbeantwoorde vraag of N een macht van een riemgetal moet zijn. Er is wel al bewezen dat er geen eindige meetkunde bestaat voor N = 6 en N = 10. Het doel van deze aer is een grondige studie van de volgende stelling. Stelling 1. (Bruck-Ryser). Als N 1 of (mod 4) en als het kwadraatvrije deel van N ten minste 1 riemfactor van de vorm 4k + 3 bevat, dan bestaat er geen eindige rojectieve vlakke meetkunde met N + 1 unten o een rechte. Deze stelling verklaart in het bijzonder dat er geen meetkunde bestaat voor N = met riem van de vorm 4k De incidentiematrix Een vierkante n n -matrix A waarvan elk element 0 of 1 is, is een incidentiematrix als het voldoet aan de volgende drie voorwaarden: (a) Als r 1 en r twee verschillende rijen zijn van A, dan bestaat er een uniek natuurlijk getal j zodat rijen r 1 en r elk het natuurlijk getal 1 hebben staan in de j-de kolom. (b) Als c 1 en c twee verschillende kolommen zijn van A, dan bestaat er een uniek natuurlijk getal i zodat de kolommen c 1 en c elk het natuurlijk getal 1 hebben staan o de i-de rij. (c) Elke rij van A bevat ten minste drie 1-en. Stelling 1.3. Als π een eindig rojectief vlak met N + 1 unten o een rechte is, dan bestaat er een incidentiematrix A van orde n = N + N + 1. Als A T de getransoneerde is van A, dan geldt dat B = AA T = A T A met B een matrix waarvan de elementen gehele getallen zijn: de diagonaalelementen zijn N + 1 en alle andere elementen zijn 1.

5 Bewijs. We nummeren de N +N +1 unten in gelijk welke volgorde 1,,..., N +N +1 en sommen ze o in een rij. We nummeren de N + N + 1 rechten gelijkaardig en sommen ze o in een kolom. Vervolgens stellen we een tabel o met N +N +1 rijen en N +N +1 kolommen. Het element o rij i en kolom j is gelijk aan 1 als rechte i unt j bevat en anders gelijk aan nul. Door de eigenschaen van het vlak π, gegeven in de vorige sectie, volgt nu dat de tabel een incidentiematrix voortbrengt: (i) Twee verschillende unten liggen o een unieke rechte (b): twee verschillende kolommen hebben o een unieke rij een 1 staan. (ii) Twee verschillende rechten bevatten een uniek unt (a): twee verschillende rijen hebben in een unieke kolom een 1 staan. (iii) Elke rechte heeft minimum drie unten (c): elke rij bevat minstens drie 1-en. Tot slot moeten we nog aantonen dat deze matrix voldoet aan B = AA T = A T A. Als we de bekomen matrix A noemen, weten we dat elke rij van A met elke kolom van A T exact één 1 gemeen heeft, aangezien elke twee rechten in 1 unt snijden. Dit geldt niet voor de diagonaalelementen omdat daar de rij van A en de kolom van A T dezelfde rij voorstellen en dus N + 1 unten gemeen hebben. Stelling 1.4. Als een matrix A met niet-negatieve gehele getallen en van orde n > 1 voldoet aan B = AA T = A T A, met N, dan is A een incidentiematrix en definieert A een eindig rojectief vlak met N + 1 unten o een rechte. Bewijs. De matrix A moet volledig gemaakt worden met 0-en en 1-en. Als a ij immers een element is van A in rij i en kolom j en als a ij groter zou zijn dan 1, dan zou door B = AA T = A T A elk element in kolom j van A buiten a ij nul moeten zijn. Bovendien zou dan elk element in rij i van A buiten a ij nul moeten zijn. Dan zou de matrix AA T echter een nulelement bevatten, en dit is onmogelijk als A moet voldoen aan B = AA T = A T A. Aangezien A dus bestaat uit 0-en en 1-en en voldoet aan B = AA T = A T A met N, volgt dat A een incidentiematrix is en deze kan gebruikt worden om een eindig rojectief vlak te definiëren. De -adische getallen.1 De -adische getallen.1.1 De -adische afstand We hebben in Q onderstaande absolutewaardefunctie en bijhorende afstandsfunctie d(x, y) = x y. { x, als x 0, x = x, als x < 0. De afstandsfunctie voldoet aan de driehoeksongelijkheid d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Men zegt dat een rij (x n ) n N van rationale getallen naar een rationaal getal x convergeert, als er voor elke ɛ > 0 een N N bestaat, zodat x n x < ɛ voor alle n N. Een Cauchy-rij in Q is een rij (x n ) n N van rationale getallen, zodat er voor elke ɛ > 0 een N N bestaat met x n x m < ɛ voor alle n, m N. Door de driehoeksongelijkheid is elke convergente rij een Cauchy-rij ( x n x m x n x + x x m < ɛ + ɛ = ɛ). Er bestaan echter Cauchy-rijen die niet naar een rationaal 3

6 getal convergeren. Zo bekomt men de reële getallen als vervollediging van de rationale getallen met betrekking tot de afstandsfunctie d: waarbij de equivalentierelatie door R = {Cauchy-rijen (x n ) n N in Q}/, (x n ) n N (y n ) n N (x i y i ) i N is een nulrij gegeven is (een nulrij is een rij die naar 0 convergeert). Het veld R van de reële getallen is comleet, i.e. elke Cauchy-rij convergeert naar een reëel getal. We kunnen een reëel getal voorstellen als een unt o de getallenrechte. We gaan nu een gelijkaardig roces o Q uitvoeren, maar met een andere afstandsfunctie. Hierbij is geen intuïtieve interretatie mogelijk zoals bij R. Zij een willekeurig riemgetal. Elk van nul verschillend rationaal getal r heeft een eenduidige voorstelling van de vorm r = a b n met a, b, n Z, b > 0 en (a, b) = (a, ) = (b, ) = 1. Definitie.1. Het in de bovenstaande vergelijking voorkomende gehele getal n =: v (r) heet de -valuatie van r. (Afsraak: v (0) = ) Lemma.. Voor x, y Q geldt 1. v (xy) = v (x) + v (y). v (x + y) min(v (x), v (y)) 3. Als v (x) v (y), dan geldt v (x + y) = min(v (x), v (y)). Bewijs. Neem x, y Q en stel x = a b n en y = c d m met a, b, c, d, n, m zoals in de definitie. 1. xy = a b n c d m = ac bd n+m v (xy) = n + m = v (x) + v (y). x + y = a b n + c d m. Stel z.v.v.a. n < m dus n = min(n, m), dan is x + y = n ( a b + c d m n ). Als n = m dan is x + y = n ( a b + c d ) = n ( ad+bc bd ). bd kan geen macht van bevatten. ad + bc zou echter wel een macht van kunnen bevatten, waardoor v (x + y) min(v (x), v (y)). 3. Als n m dan geldt dat x + y = n ( a b + c d m n ) = n ( ad+bcm n bd ). bd kan onieuw geen macht van bevatten. ad + bc m n kan enkel een macht van bevatten als ad een macht van bevat, wat niet kan. Hierdoor is v (x + y) = min(v (x), v (y)). Definitie.3. Voor een rationaal getal r heet { v(r), als r 0, r = 0, als r = 0. de -waarde van r. (Afsraak: = 0) 4

7 Men observeert dat de -waarde van een rationaal getal r klein wordt, als de teller van r door een grote -macht deelbaar is. Een geheel getal heeft een -waarde kleiner of gelijk aan 1 en deze wordt steeds kleiner hoe meer het getal deelbaar is door. Gevolg.4. Voor x, y Q geldt 1. xy = x y. x + y max( x, y ) 3. Als x y, dan geldt x + y = max( x, y ). Bewijs. Neem x, y Q en stel x = a b n en y = c d m met a, b, c, d, n, m zoals in de definitie. 1. xy = v(xy) = (v(x)+v(y)) = v(x) v(y) = x y. x + y = v(x+y) min(v(x),v(y)) = max( v(x), v(y) ) = max( x, y ) 3. x y v (x) v (y) x + y = v(x+y) = min(v(x),v(y)) = max( x, y ) Definitie.5. Zij x, y Q. Het getal d (x, y) = x y heet de -adische afstand van x en y. Voorbeeld.6. Aangezien 1 =..3 geldt dat v (1) =, v 3 (1) = 1 en v (1) = 0, > 3. d (4, 16) = 1 = = 1 4 d 3 (4, 16) = 1 3 = 3 1 = 1 3 d 5 (4, 16) = 1 5 = 5 0 = 1 r = 0 enkel voor r = 0, omdat r dan gelijk is aan v(r) = = 0. d (x, y) = 0 x = y. Bovendien geldt dat Hieruit volgt dat d (x, z) = x z = (x y) + (y z) max( x y, y z ) = max(d (x, y), d (y, z)) Deze relatie noemt men de versterkte driehoeksongelijkheid. Wegens max(d (x, y), d (y, z)) d (x, y)+d (y, z) geldt natuurlijk ook de gewone driehoeksongelijkheid. O volledig dezelfde manier als het bewijs met de gewone afstand bewijst men dat een rij (x n ) n N van rationale getallen een -adische Cauchy-rij is, als er voor elke ɛ > 0 een N N bestaat waarvoor d (x n, x m ) < ɛ voor alle n, m N. Door de versterkte driehoeksongelijkheid kan men deze uitdrukking ook in de vorm d (x n, x N ) < ɛ voor alle n N schrijven, wat voor de normale afstand vals is. We hebben immers dat d (x n, x N ) x n x N = (x n x m ) + (x m x N ) max( x n x m, x m x N ) = max(d (x n, x m ), d (x m, x N )) < ɛ 5

8 Maar bij de gewone absolute waarde is (x n x m ) + (x m x N ) x n x m + x m x N < ɛ. Er bestaan -adische Cauchy-rijen die geen limiet in Q hebben. Om een duidelijker onderscheid te hebben, zullen we vanaf nu de gewone absolute waarde x en afstand d(x, y) schrijven als x en d (x, y). Lemma.7. (i) Is (x n ) n N een -adische Cauchy-rij, dan is de rij ( x n ) n N ook een Cauchy-rij m.b.t. de gewone afstand. (ii) De rij (x n ) n N is een -adische nulrij als de rij ( x n ) n N m.b.t. de gewone afstand naar 0 convergeert. (iii) Zij (x n ) n N een -adische Cauchy-rij, maar geen -adische nulrij. Dan bestaat er een N N en een k Z, zo dat x n = k voor alle n N. Bewijs. Voor rationale getallen x en y imliceert de driehoeksongelijkheid voor de -adische afstand de ongelijkheden x y x y x y. (1) Daaruit volgt ( x y ) x y. () Zij nu (x n ) een -adische Cauchy-rij. Dan bestaat er voor elke ɛ > 0 een N N met x n x m < ɛ voor alle n, m N. Uit () volgt dat voor n, m N ( x n x m ) x n x m < ɛ. Daardoor is de rij ( x n ) een Cauchy-rij m.b.t. de gewone afstand, wat (i) bewijst. Een rij (x n ) van rationale getallen is een -adische nulrij als er voor alle ɛ > 0 een N N bestaat waarvoor x n < ɛ voor alle n N. Nu is x n een niet-negatief rationaal getal waardoor de uitdrukking x n < ɛ equivalent is met de uitdrukking x n < ɛ. Hieruit volgt dat (x n ) een -adische nulrij is als ( x n ) een nulrij is m.b.t. de gewone afstand, wat (ii) bewijst. De -adische afstand x neemt slechts de aftelbaar vele waarden k, k Z en 0 aan. Zij nu (x n ) een -adische Cauchy-rij, die geen nulrij is. Dan moet volgens (i) en (ii) de rij ( x n ) statisch worden. Er bestaat m.a.w. een k Z met x n = k voor voldoende grote n N. Dit bewijst (iii)..1. Het veld van de -adische getallen Definitie.8. Het veld van de -adische getallen Q is de vervollediging van Q m.b.t. de -adische afstand d. M.a.w.: De elementen van Q, de zogenaamde -adische getallen, zijn equivalentieklassen van de -adische Cauchy-rijen (x n ) n N in Q m.b.t. de equivalentierelatie (x i ) i N (y i ) i N (x i y i ) i N is een -adische nulrij. Het is makkelijk in te zien dat dit een equivalentierelatie is. Als (x n) een deelrij is van de Cauchy-rij (x n ), dan is (x n) (x n ). Voor een Cauchy-rij die geen nulrij is, willen we stilzwijgend aannemen dat al zijn elementen van nul verschillen. Hiervoor gaan we over o een geschikte deelrij zonder daarbij van equivalentieklasse te veranderen. 6

9 Lemma.9. Zij (x n ), (y n ) en (x n), (y n) Cauchy-rijen met (x n ) (x n) en (y n ) (y ( n), ) dan( geldt ook (x n + y n ) (x n + y n) en (x n y n ) (x ny n). Is (y n ) (y n) geen nulrij, dan geldt xn yn x n y ). n Bewijs. Volgens de definitie is (x n + y n ) (x n + y n) (x n + y n x n y n) een -adische nulrij is, m.a.w. als x n +y n x n y n naar nul convergeert voor n +. Aangezien x n +y n x n y n x n x n + y n y n en (x n ) (x n) en (y n ) (y n), volgt dat dit inderdaad zo is. Om aan te tonen dat (x n y n ) (x ny n) gaan we analoog te werk: x n y n x ny n = 1 ((x n x n)(y n + y n) + (y n y n)(x n + x n)) = 1 ( ((x n x n)(y n + y n) + (y n y n)(x n + x n)) ) ɛ( (x n x n)(y n + y n) + (y n y n)(x n + x n) ) = ɛ( x n x n y n + y n + y n y n x n + x n ) Want als =, dan is 1 =, anders gelijk aan 1. We stellen ɛ = als = en ɛ = 1 anders. Aangezien (x n ) (x n) en (y n ) (y n) gaat dit naar 0. ( xn ( x n ) Tot slot bewijzen we dat yn y ). n Er geldt dat xn y n x n y = n xny n x n yn y ny n = x n y n x ny n (y n y n) 1. Analoog aan het vorige deel zal de eerste factor naar nul gaan, wat het bewijs vervolledigt. Gevolg.10. De oeratoren otelling en vermenigvuldiging Q Q Q en deling Q (Q \ {0}) Q die door otelling, vermenigvuldiging en deling van de reresenterende Cauchy-rijen gegeven zijn, zijn goed gedefinieerd. Door deze oeratoren wordt Q een veld. De -adische absolute waarde zet zich door de regel (x n ) n N = lim n x n o natuurlijke wijze van Q naar Q voort. Lemma. imliceert dat de limiet bestaat en onafhankelijk is van de keuze van de reresentant van de Cauchy-rij. Er geldt dat (x n ) n N = 0 a.s.a. (x n ) n N een -adische nulrij is. Als de Cauchy-rij (x n ) n N geen nulrij is, dan wordt de rij van -valuaties (v (x n )) n N stationair en we noemen zijn limiet, die een geheel getal is, de -valuatie van het door die rij (x n ) n N gereresenteerde -adische getal. Als men de afsraak maakt om een nulrij -valuatie toe te kennen, dan zet ook de -valuatie zich o natuurlijke wijze van Q naar Q voort. Verder zijn de -adische absolute waarde en de -valuatie door volgende regel met elkaar verbonden: Met behul van de -adische afstand (x n ) n N = v((xn) n N) d ((x n ) n N, (y n ) n N ) = (x n y n ) n N bekomen we o natuurlijke wijze begrien zoals een convergente rij van -adische getallen, oen deelverzamelingen van Q, gesloten deelverzamelingen van Q, enz. Stelling.11. De voorgaande eigenschaen in verband met de -adische absolute waarde, de - valuatie en de -adische afstand o Q zetten zich o natuurlijke wijze om naar Q. In het bijzonder blijven lemma., gevolg.4 en lemma.7 waar, als men in de ogaves Q door Q vervangt. 7

10 De velden Q staan volkomen gelijkwaardig naast het veld R van de reële getallen. Er bestaat echter een belangrijk verschil. De ordening, i.e. de -relatie o Q, bestaat niet in Q. Het is niet mogelijk om de elementen van Q o een zinvolle manier te ordenen. In dit ozicht zijn de velden Q vergelijkbaar met het veld van de comlexe getallen C. Volgende stelling is de -adische versie van de Stelling van Bolzano-Weierstrass. We vermelden deze zonder bewijs. Stelling.1. Het veld Q is comleet: elke Cauchy-rij in Q convergeert. Elke in Q begrensde rij heeft een limietunt. Elke gesloten en begrensde deelrij in Q is comact. Van nu af aan zullen we -adische getallen als echte getallen beschouwen en hen ook enkel met een eenvoudige letter benoemen..1.3 Gehele -adische getallen De geldigheid van de versterkte driehoeksongelijkheid heeft een merkwaardig gevolg. Als namelijk x 1 en y 1, dan is ook x + y max( x, y ) 1. Hetzelfde geldt voor het roduct. Bovendien is de verzameling van zo n -adische getallen onder otelling en vermenigvuldiging gesloten en is dus een ring. Definitie.13. De elementen x Q met x 1 heten gehele -adische getallen. Zij vormen een ring die Z genoemd wordt. Equivalent hiermee is: Z = {x Q v (x) 0}. Lemma.14. De ring Z is als deelverzameling van Q begrensd, oen en gesloten. In het bijzonder is Z comact. Lemma.15. De verzameling Z van gehele getallen is dicht in Z. M.a.w. elke geheel -adisch getal kan als limiet van een rij van gehele getallen geschreven worden. Bewijs. Zij a Z willekeurig. Het is voldoende om te bewijzen dat er voor elke n N een A n Z met v (a A n ) n bestaat. De rij (A n ) n N convergeert dan namelijk -adisch naar a. Zij nu n N vast en zij (a i ) i N een rij van rationale getallen, die -adisch naar a convergeren. Aangezien v (a) 0 kunnen we door het weglaten van een eindig aantal elementen in het begin van de rij de geldigheid van de ongelijkheden v (a i ) 0, v (a i a j ) n voor alle i, j N aannemen. Zij nu a i = c i d i, c i Z, d i N, d i en zij A n Z een geheel getal met d 1 A n c 1 (mod n ). A n bestaat aangezien d 1 (Z/ n Z). Zij i N willekeurig. Dan geldt dat a i a 1 = c i d i c 1 d 1 = n c d, c Z, d N, d. Er geldt ook dat d(c i d 1 c 1 d i ) = n cd 1 d i, en doordat d volgt dat n c i d 1 c 1 d i. Door de keuze van A n geldt dat n (c i d 1 d 1 A n d i ). Omdat d d 1 vinden we ook een b Z met n b = c i A n d i. We bekomen a i A n = n b d i en v (a i A n ) n. Omdat i willekeurig was, volgt dat v (a A n ) n. Volgende stelling is een eerste sta in de algebraïsche karakterisering van de gehele -adische getallen. Stelling.16. De natuurlijke inclusie Z Z induceert voor elk natuurlijk getal n een isomorfisme Z/ n Z Z / n Z. 8

11 Gevolg.17. Elke a Z definieert dus een rij (a n Z/ n Z) n N, namelijk de rij van zijn restklassen modulo n. Deze rij voldoet aan de comatibiliteitsvoorwaarde a n+1 a n (mod n ) aangezien a n een lineaire combinatie is van { 1,..., n } en a n+1 van { 1,..., n+1 }. We onderzoeken nu enkele ringtheoretisch eigenschaen van Z. Lemma.18. Een element u Q is een eenheid in Z als v (u) = 0 of dus als u = 1. Bewijs. Stel v (u) = 0, dan is v (u 1 ) = v (u) = 0, waardoor u, u 1 Z. Is omgekeerd u Z, dan is uv = 1 voor een v Z en daarom is v (u) + v (v) = 0 (v (uv) = v (1) = 0 en v (uv) = v (u) + v (v)). Aangezien v (u) 0 en v (v) 0 volgt dat v (u) = 0. Gevolg.19. Een element u Z is een eenheid als zijn restklasse u 1 Z/Z verschillend is van nul. Bewijs. Voor u Z geldt: u Z v (u) = 0 u Z \ Z u 1 0. Lemma.0. Elke a Q heeft een eenduidige voorstelling van de vorm a = n u, n Z, u Z. Bewijs. Stel n = v (a). Dan is v (a n ) = v (a) + v ( n ) = n + ( n) = 0. Hierdoor is u = a n Z, waardoor a = n u zoals in de ogave. Is nu omgekeerd a = n u, u Z, dan volgt dat n = v (a), u = a n, wat de eenduidigheid van de voorstelling bewijst..1.4 De -adische ontwikkeling Elk reëel getal kan als een decimaalgetal geschreven worden, waarbij er oneindig veel cijfers na de komma zijn toegestaan. Een analoge beschrijving bestaat ook voor de -adische getallen. Elk nietnegatief geheel getal N bezit een eenduidige -adische ontwikkeling, namelijk een voorstelling van de vorm N = a 0 + a a n n, met a i {0, 1,..., 1}. Men bekomt deze door N achtereenvolgens met rest door te delen: N = a 0 + N 1 N 1 = a 1 + N. N n 1 = a n 1 + N n N n = a n In een getallensysteem met basis zal men nu N = a n... a 1 a 0 schrijven. Omdat o -adische wijze de machten n bij toenemende n steeds kleiner worden, geven we de voorkeur aan de schrijfwijze N = 0, a 0 a 1... a n. Met deze afsraak krijgen we bijvoorbeeld -adisch: 10 = 0, adisch: 10 = 0, adisch: 10 = 0, 0 9

12 Nu kan men ook cijfers voor de komma toelaten. We stellen a m a m+1... a 1, a 0 a 1... = n i= m a i i Q. Doordat n voor n -adisch naar 0 convergeert, kunnen we ook oneindig veel cijfers na de komma toelaten. We stellen a m a m+1... a 1, a 0 a 1... = a i i Q. Wegens de versterkte driehoeksongelijkheid is de rij van artieelsommen n i= m a i i een -adische Cauchy-rij. We moeten hiervoor aantonen dat er voor elke ɛ > 0 een N N bestaat zodat n i= m a i i n i= m a i i < ɛ, n, n N. Stel nu zonder verlies van algemeenheid dan n > n. Dan is n n a i i a i i n = a i i max a i i = (n +1) i= m i= m i=n i {n +1 +1,...,n} i= m Daarom definieert die rij een goed- Kies dus N groot genoeg zodat (n +1) kleiner is dan ɛ. gedefinieerd -adisch getal. Stelling.1. Elk -adisch getal x Q heeft een eenduidig beaalde voorstelling x = i>> a i i = a m a m+1... a 1, a 0 a 1... met a i {0, 1,..., 1}. Zijn -adische valuatie v (x) is het kleinste getal i Z met a i 0. In het bijzonder ligt x in Z als alle cijfers voor de komma nul zijn, dus als a i = 0 voor i < 0. Bewijs. Zij x = i=r a i i, a r 0. Door lemma. geldt voor elke artieelsom dat ( n ) ) ( ) n n v a i i = v (a r r + a i i = min a r r, a i i = r i=r i=r+1 i=r+1 en dus ook v (x) = r. In het bijzonder ligt x in Z als alle cijfers voor de komma nul zijn, aangezien x Z x 1 v(x) 1 v (x) 0. Als we x met een vaste -macht vermenigvuldigen, verschuift enkel de komma. Daardoor kunnen we ons zowel bij het bewijs van het bestaan als bij het bewijs van de eenduidigheid beerken tot het geval x Z. Zij nu x = a 0 + a 1 + a Dan geldt dat x (a 0 + a 1 + a a n 1 n 1 ) n Z en N = a 0 + a 1 + a a n 1 n 1 is de -adische ontwikkeling van het volgens stelling.16 eenduidig beaalde gehele getal N n met 0 N n < n en x N n (mod n ). Dit bewijst de eenduidigheid van de rijenvoorstelling. Zij nu 10

13 omgekeerd, voor n N, N n het eenduidig beaalde gehele getal met 0 N n < n en x N n (mod n ). Doordat N n+1 N n (mod ), stemmen de eerste n laatsen van de -adische ontwikkeling van N n+1 overeen met die van N n. Er bestaat dus een rij a 0, a 1,... van gehele getallen, a i {0, 1,..., 1}, met N n = a 0 + a a n 1 n 1 voor alle n. We verkrijgen x = lim n N n = Dit bewijst het bestaan van de -adische ontwikkeling adische vergelijkingen a i i We beschouwen een systeem van diohantische vergelijkingen i=0 f 1 (X 1,..., X r ) = 0. f n (X 1,..., X r ) = 0 met -adische gehele olynomen f i Z [X 1,..., X r ], en we zoeken naar olossingen in Z r. Volgende stelling hebben we nodig voor het volgende deel, maar we laten het toologische bewijs achterwege. Stelling.. Bovenstaand systeem heeft een olossing in Z r a.s.a. er een olossing modulo m bestaat voor elke m N.. Het Hilbert-symbool..1 Het Hilbert-symbool Zij K gelijk aan R of aan een van de lichamen Q voor een riemgetal. Definitie.3. Voor a, b K stellen we het symbool (a, b) gelijk aan 1 als de vergelijking ax + by = Z een van (0, 0, 0) verschillende olossing in K 3 bezit. Anders stellen we (a, b) = 1. Het zo gedefinieerde symbool (a, b) {±1} heet het Hilbert-symbool van a en b. Het Hilbert-symbool verandert niet als je a of b met een kwadraat vermenigvuldigt. In de vergelijking ac X + by = Z kan je c X gelijkstellen aan X waardoor de vergelijking waarvoor je een nietnulolossing moet vinden, hetzelfde blijft. Het geval waarbij je b vermenigvuldigt met een kwadraat is analoog. M.a.w. voor a, b, c K geldt dat (a, bc ) = (a, b) = (ac, b). Daardoor induceert het Hilbert-symbool een afbeelding K /K K /K {±1}... Volgende stelling levert ons de belangrijkste eigenschaen van het Hilbert-symbool. enkele van deze verdero bewijzen. We zullen Stelling.4. Voor het Hilbert-symbool gelden de volgende eigenschaen: 11

14 (i) (a, b) = (b, a), (ii) (a, a) = 1 en (a, 1 a) = 1, (iii) (aa, b) = (a, b)(a, b) en (a, bb ) = (a, b)(a, b ), (iv) uit (a, b) = 1, b volgt dat a K, (v) als a b 0 (mod ), dan is (a, ) = (b, ). Hierbij zijn a, a, b, b K en a 1 in de tweede uitsraak van (ii). Wegens zijn multilicativiteit en symmetrie wordt het Hilbert-symbool door de volgende stelling volledig beschreven. Daar gebruiken we voor a Z de notatie: ( 1) a = ( 1) a (mod ). Stelling.5. Het Hilbert-symbool wordt als volgt berekend: (i) Als K = R, dan geldt dat (a, b) = 1 als a of b ositief is. Voor a < 0 en b < 0 geldt dat (a, b) = 1. (ii) Als k = Q en u, v Z, dan geldt dat ( ) (, ) = ( 1) 1 u, (, u) =, (u, v) = 1, als, (, ) = 1, (, u) = ( 1) u 1 8, (u, v) = ( 1) u 1 v 1, als =. Om voorgaande stellingen te bewijzen, moeten we het Hilbert-symbool voor alle mogelijke waarden uit (K /K ) (K /K ) berekenen. Het aantal symbolen dat hiervoor berekend moet worden is groot, wat niet elegant, maar wel doenbaar is. Voor we een deel van de eigenschaen van stelling.4 bewijzen, stellen we eerst een verbinding tussen het Hilbert-symbool en normgroeen voor. Voor een willekeurige d K verkrijgen we de deelverzameling N d := {x K a, b K met x = a db } die wegens (a db )(a db ) = (aa + bb d) d(ab + a b) en ( ) 1 a db = a ( b a db d a db zelfs een deelgroe van K is. Als d = c, c K, dan geldt voor elke x K dat ( ) x + 1 ( ) x 1 x = d. c Aangezien N d een deelgroe is van K en we zo aangetoond hebben dat K ook een deelgroe is van N d, geldt dan dat N d = K als d een kwadraat is. Stelling.6. Zij a, b K. Dan geldt dat In het bijzonder geldt dat a N b b N a. (a, b) = 1 a N b. ) 1

15 Bewijs. Is b = c, c K, dan is (0, 1, c) een niet-triviale olossing van ax + by = Z, dus (a, b) = 1. In dit geval is ook N b = K. Zij nu b geen kwadraat. Is a = z by, dan is (1, y, z) een niet-triviale olossing van de vergelijking, dus (a, b) = 1. Is omgekeerd (a, b) = 1 en (x, y, z) (0, 0, 0) een olossing van de vergelijking, dan geldt x = 0 aangezien b anders een kwadraat is. We bekomen x = z x b y x en hierdoor volgt dat a N b. De tweede bewering volgt nu uit de eerste en uit de symmetrie van het Hilbert-symbool. We bewijzen nu volgend nuttig lemma dat een aantal eigenschaen van stelling.4 bevat. Lemma.7. Voor a, a, b K gelden de volgende uitsraken: (i) (a, b) = (b, a), (ii) (a, a) = 1 en (a, 1 a) = 1 als a 1, (iii) (a, b) = 1 (aa, b) = (a, b), (iv) (a, 1) = 1, (v) (a, a) = ( 1, a). Bewijs. Uitsraak (i) volgt direct uit de definitie van het Hilbert-symbool. Als ax + by = Z een niet-triviale olossing (x, y, z) heeft, zal bx + ay = Z een niet-triviale olossing (y, x, z) hebben. Als de eerste vergelijking geen niet-triviale olossing heeft, zal de andere dat ook niet hebben. (1, 1, 0) is een niet-triviale olossing van ax ay = Z en (1, 1, 1) is een niet-triviale olossing van ax + (1 a)y = Z, wat (ii) bewijst. Als nu geldt dat (a, b) = 1, dan is door stelling.6 a N b, en omdat N b K een deelgroe is, geldt dat a N b aa N b. Als we stelling.6 hier onieuw o toeassen, bewijzen we uitsraak (iii). Aangezien N 1 = K, geldt dat (a, 1) = 1 voor alle a door stelling.6. Dit bewijst uitsraak (iv). Uit (ii) volgt dat ( a, a) = 1, waaruit door (iii) en (iv) de gelijkheden (a, a) = ( a, a) = ( 1, a) volgen. Dit bewijst (v)... De roductformule Het veld Q van de rationale getallen ligt als deelveld in R en in elke Q. Om eenduidigheid in notatie te bekomen, voeren we de benaming R = Q in en duiden de standaard absolute waarde van R aan met. Stel P gelijk aan de verzameling van riemgetallen samen met het symbool. Men noemt P de verzameling van de laatsen van Q. Omerking: Zij K een veld. Een functie : K R met eigenschaen (i) x 0 en x = 0 x = 0, (ii) xy = x y, (iii) x + y x + y 13

16 heet de absolute waarde van K en definieert door d(x, y) = x y een afstandsbegri. O elk veld bestaat de triviale absolute waarde, die door 0 = 0 en x = 1 voor alle x 0 gegeven is. Twee absolute waarden zijn equivalent als de door hen gedefinieerde verzamelingen van Cauchy-rijen in K gelijk zijn. Elke laats v P definieert een absolute waarde v o Q. Volgende omkering geldt: O Q is elke niet-triviale absolute waarde equivalent met een van de absolute waarden v, v P. Voor a, b Q en een laats v P is (a, b) v het Hilbert-symbool van a en b in Q v. Voor we de roducformule bewijzen, tonen we eerst een lemma aan dat we verdero nodig hebben. Lemma.8. Voor een oneven riemgetal en voor elk ositief geheel getal n geldt dat (i) (n, n + 1) = ( 1, n + 1), (ii) (n, n + n + 1) = 1, (iii) n (i, i + 1) = ((n + 1)!, 1). Bewijs. (i) Om deze gelijkheid te bewijzen, bekijken we de mogelijke gevallen aart. Stel dat n en n + 1, dan volgt hieruit door stelling.5 dat (n, n + 1) = 1 en ( 1, n + 1) = 1. Als n, dan geldt dat n (mod ), dus (n, n + 1) = 1 = ( 1, n + 1) want 1 en n + 1. Stel tot slot dat n + 1, dan is n 1 (mod ) waardoor (n, n + 1) = ( 1, n + 1). De laatste gevallen volgen uit de definitie van het Hilbert-symbool. (ii) Ook voor deze ongelijkheid maken we een gevallenonderscheid. Het geval waarbij zowel n als n + n + 1 niet deelbaar zijn door is triviaal. Stel dat n. Hieruit volgt dat n + n (mod ) waardoor nx + (n + n + 1)y y (mod ) en dus (n, n + n + 1) = 1. Stel vervolgens dat n + n + 1. Hierdoor is n n + n + 1 (n + 1) (mod ) waardoor (n, n + n + 1) = (n, (n + 1) ). We weten dat we kwadraten uit het Hilbert-symbool kunnen schraen waardoor dit gelijk is aan (n, 1) = 1. (iii) Deze gelijkheid kunnen we a.d.h.v. de vorige untjes en stelling.4 (i) en (iii) uitrekenen. n (i, i + 1) = n n ( 1, i + 1) = ( 1, (i + 1)) = ( 1, (n + 1)) = ( 1, (n + 1)!) = ((n + 1)!, 1) Volgende roductformule geldt voor de Hilbert-symbolen (a, b) v, a, b Q, v P. Stelling.9 (Productformule voor het Hilbert-symbool). Voor a, b Q geldt dat (a, b) v = 1 voor bijna alle v P en (a, b) v = 1. v P Bewijs. We kunnen, zonder het Hilbert-symbool te veranderen, a en b met kwadraten vermenigvuldigen en daarom aannemen dat a en b geheel en kwadraatvrij zijn. Omdat een geheel getal maar eindig veel riemdelers heeft, geldt a, b Z voor bijna alle en door stelling.5 (ii) volgt dat (a, b) v = 1 voor bijna alle v P. Om nu de roductformule te bewijzen, kunnen we ons door de multilicativiteit en de symmetrie van het Hilbert-symbool beerken tot de gevallen (a, b) = ( 1, 1), (a, b) = ( 1, ), riem, en (a, b) = (, q),, q riem. 14

17 (a, b) = ( 1, 1): er geldt dat ( 1, 1) = 1 voor, ( 1, 1) = 1 en ( 1, 1) = ( 1) = ( 1) 1 = 1. De twee minnen heffen elkaar o waardoor we de roductformule krijgen. (a, b) = ( 1, ), riem: er geldt dat ( 1, ) = 1, ( 1, ) q = 1 voor q, ( 1, ) = ( 1) 1 en ( 1, ) = ( 1) 1. Net zoals bij het vorige untje heffen de eventuele minnen elkaar o. (a, b) = ( 1, ): doordat ( 1) = 1 geldt dat ( 1, ) v = 1 voor alle v P en de roductformule is triviaal. (a, b) = (, ( q) met, q oneven ( ) riemgetallen: Er geldt dat (, q) = 1, (, q) r = 1 voor r q, (, q) = q ), (, q) q = q en (, q) = ( 1) 1 q 1. Uit de kwadratische recirociteitsstelling ( ) ( q = ( 1) 1 q 1 q ) volgt de roductformule. (a, b) = (, ) met een oneven riemgetal: er geldt dat (, ) = 1, (, ) r = 1 voor r, ( (, ) = ), (, ) = ( 1) 1 8. Een vervollediging van de kwadratische recirociteitsstelling zegt dat ( ) = ( 1) 1 8 waaruit de rofuctformule volgt. (a, b) = (, ): er geldt dat (, ) = 1 voor alle P waarmee ook hier de roductformule bewezen is..3 De Stelling van Bruck-Ryser.3.1 Congruentie van matrices Met de theorie van de -adische getallen en het Hilbert-symbool zijn we al een sta verder richting het bewijs van de stelling van Bruck-Ryser. Deze maakt gebruik van invarianten en hiervoor hebben we congruentie van matrices nodig. Definitie.30. Stel A en B twee symmetrische matrices van orde n met rationale elementen. Deze matrices zijn congruent, genoteerd als A B, als er een niet-singuliere matrix C bestaat met rationale elementen zodat A = C T BC. Congruentie van matrices is een equivalentierelatie: Reflexiviteit: A A want A = I T AI met I de eenheidsmatrix van orde n. Symmetrie: A B A = C T BC (C T ) 1 A(C) 1 = B (C 1 ) T A(C 1 ) = B B A. Transitiviteit: stel dat A B en B C, m.a.w. A = D T BD en B = E T CE. Dan geldt dat A = D T E T CED = (ED) T C(ED) en dus A C. Stel nu dat A een symmetrische matrix van gehele getallen is van orde en rang n. Dan kan men een diagonaalmatrix D = [d 1, d,..., d n ] van gehele getallen construeren met d i 0 voor i = 1,,..., n zodat D A. Het aantal negatieve termen ι in deze diagonaal wordt de index van A genoemd. De traagheidswet van Sylvester stelt dat ι een invariant is van A. 15

18 Stel d = ( 1) ι δ, waarbij δ het kwadraatvrije ositieve deel is van de determinant A van de matrix A. Het kwadraatvrije deel van een geheel getal is het deel van dit getal dat overblijft wanneer alle kwadratische factoren uitgedeeld zijn. Bijvoorbeeld, het kwadraatvrije deel van 4 = 3.3 is.3 = 6. Uit de matrixvergelijking B = C T AC volgt dat B = C A. Aangezien δ het kwadraatvrije deel is van de determinant van B, zal de determinant van C bij deze berekening wegvallen, waardoor de δ s van A en B gelijk zijn. Hieruit volg dat d een tweede invariant is van A. Minkowski en Hasse hebben een derde invariant c geintroduceerd, die met de vorige twee het systeem vervolledigt. Om deze c te definiëren hebben we het Hilbert-symbool (m, n) nodig dat we in de vorige sectie hebben besroken. Stel A een niet-singuliere, symmetrische matrix van gehele getalen van orde n, stel D r de hoofdminor van orde r en neem aan dat D r 0 voor r = 1,,..., n. De invariant c is dan gedefinieerd voor elk oneven riemgetal door de vergelijking n 1 c = c (A) = ( 1, D n ) (D i, D i+1 ). Aangezien een natuurlijk getal slechts door een eindig aantal riemgetallen deelbaar is, is c = 1 voor alleen een eindig aantal riemgetallen. Het laatste wat we nog nodig hebben om de stelling van Bruck-Ryser te bewijzen is de fundamentele Minkowski-Hasse stelling. Stelling.31. Stel A en B twee symmetrische matrices van gehele getallen van orde en rang n. Stel verder dat de hoofdminoren van A en B verschillend van nul zijn. Dan is A B a.s.a. A en B dezelfde invarianten ι, d en c hebben voor elk riemgetal..3. De stelling van Bruck-Ryser Bewijs. Stel N een natuurlijk getal en stel B n de matrix van gehele getallen van orde n waarvan de elementen o de diagonaal N +1 zijn en de elementen o andere laatsen 1 zijn. Om de determinant van deze matrix te berekenen voeren we er eerst enkele rij- en kolomoeraties o uit. We trekken kolom 1 van deze matrix af van de andere kolommen en vervolgens tellen we bij rij 1 alle andere rijen o. N N + 1 N... N N + n N N N N N N Hierdoor is B n = (N + n)n n 1. In het bijzonder als n = N + N + 1, dan is B n de matrix B in de vergelijking B = AA T = A T A van stelling 1.3 en dan is B is het kwadraat van een geheel getal, namelijk van de determinant van de matrix A in de vergelijking B = AA T = A T A. Als rij n van B n wordt afgetrokken van alle andere rijen van B n en als kolom n daarna wordt afgetrokken van alle andere kolommen, dan krijgen we dat: N N 0... N N N... N 1 N N... N N N... N N N + 1 N N... N

19 De bekomen matrix noemen we Q n en deze is congruent met B n. Er geldt immers dat Q n = C T B n C, waarbij C = We hebben dus dat voor elk oneven riemgetal, c (B n ) = c (Q n ). Bovendien, als E i de determinant is van orde i met als diagonaalelementen N en als overige elementen N, dan is E i = N i (i+1). Daardoor, als n = N + N + 1 en als een oneven riemgetal is, wordt de invariant c (B) = c (Q n ) van de matrix B uit de vergelijking B = AA T = A T A gegeven door We tonen dit aan als volgt: n c (B) = (E n 1, 1) (E i, E i+1 ). n 1 n c (B) = c (Q n ) = ( 1, D n ) (D i, D i+1 ) = ( 1, D n ) (E i, E i+1 ) (E n 1, D n ), waarbij D i de hoofdminor van orde i is zoals in de definitie van c. Omdat D n een kwadraat is (D n = Q n en deze determinant is gelijk aan die van B), mogen we D n uit het Hilbert-symbool schraen. We krijgen dan dat ( 1, D n ) = ( 1, 1) = 1. Hieruit volgt ook nog dat (E n 1, D n ) = ( 1, E n 1 ), waaruit de formule volgt. In volgende berekeningen bewijzen we dat c (B) = ( 1, N) N(N+1). Door de stellingen en lemma s van het Hilbert-symbool toe te assen, krijgen we dat n n (E i, E i+1 ) = (N i (i + 1), N i+1 (i + )) n [ = (N i, N i+1 (i + )).(i + 1, N i+1 ] (i + )) n [ = (N i, N i+1 ).(N i, i + ).(i + 1, N i+1 ] ).(i + 1, (i + )) n n n = (N i, N i+1 [ ) (i + 1, (i + )) (N i, i + ).(i + 1, N i+1 ] ) We berekenen alle stukken van bovenstaande uitdrukking aart. n (N i, N i+1 ) = = n n [ (N i, N i ).(N i ], N) = (N n i, N (N ) = (n )(n 1), N ) 1.(N i, N) = (N, N)(n )(n 1) = (N, 1) (n )(n 1) 17

20 n n (i + 1, (i + )) = (i + 1, 1) (i + 1, i + ) n n n 1 = (i + 1, i) (i, i + 1).1 i= n 1 n 1 = ((n 1)!, 1) (i, i + 1).(1, ) = ((n 1)!, 1) (i, i + 1) i= = ((n 1)!, 1). (n!, 1) = (1, 1). (, 1)..... (n 1, 1). (n, 1) = (n, 1) n n [ (N i, i + ).(i + 1, N i+1 ] n 3 ) = (N i, i + ) (N i+, i + ) Uit deze berekeningen volgt nu dat: n i=0 n 3 = (N i, i + ) (N i, i + ).(N, i + ) i=0 = (N 0, 0 + ). (N n, n + ) = (1, ). (N n, n) = (N, n) n = (n + n + 1, n) n = 1 n = 1 n c (B) = (E n 1, 1) (E i, E i+1 ) = (N n 1 n, 1).(N, 1) (n )(n 1).(n, 1).1 = (N n 1, 1).(n, 1).(N, 1) (n )(n 1).(n, 1) = (N n 1, 1).(N, 1) (n )(n 1) = (N, 1) n 1.(N, 1) (n )(n 1) Om nu nog aan te tonen dat dit gelijk is aan ( 1, N) N(N+1) maken we een gevallenonderscheid. We weten dat n = N + N + 1 en dat we N kunnen schrijven als 4k, 4k + 1, 4k + of 4k + 3 met k N. We tonen nu aan dat in allevier deze gevallen, (n 1) + (n 1)(n ) en N(N+1) van dezelfde vorm zijn. In (N, 1) n 1.(N, 1) (n )(n 1) is het symbool (N, 1) gelijk aan 1 of 1, we stellen dit gelijk aan ɛ waardoor we de vorm ɛ n 1.ɛ (n )(n 1) krijgen. N = 4k: N + N + 1 = 16k + 4k + 1 = 4(4k + k) + 1 = 4l + 1, l N n 1 = 4l: hierdoor kunnen we ɛ n 1 schraen. (n 1) = l en n = 4l 1 = 4l + 3 = l + 1 : (n 1)(n ) = l(l + 1). N(N+1) = 4k(4k+1) = k(k + 1). (n 1)(n ) en N(N+1) zijn dus van dezelfde vorm. 18

21 N = 4k + 1: N + N + 1 = 16k + 8k k = 4(4k + 3k) + 3 = 4l + 3, l N n 1 = 4l + : hierdoor kunnen we ɛ n 1 schraen. (n 1) = l + 1 en n = 4l + 1 : (n 1)(n ) = (l + 1)(4l + 1). N(N+1) = (4k+1)(4k+) = (4k + 1)(k + 1). (n 1)(n ) en N(N+1) zijn dus van dezelfde vorm. N = 4k + : N + N + 1 = 16k + 16k k = 4(4k + 5k + 1) + 3 = 4l + 3, l N n 1 = 4l + : hierdoor kunnen we ɛ n 1 schraen. (n 1) = l + 1 en n = 4l + 1 = l + 1 : (n 1)(n ) = (l + 1)(l + 1). N(N+1) = (4k+)(4k+3) = (k + 1)(k + 1). (n 1)(n ) en N(N+1) zijn dus van dezelfde vorm. N = 4k + 3: N + N + 1 = 16k + 4k k = 4(4k + 7k + 3) + 1 = 4l + 1, l N n 1 = 4l: hierdoor kunnen we ɛ n 1 schraen. (n 1) = l en n = 4l 1 = 4l + 3 : (n 1)(n ) = l(4l + 3). N(N+1) = (4k+3)(4k+4) = (4k + 3)k (n 1)(n ) en N(N+1) zijn dus van dezelfde vorm. Stel nu dat π een eindig rojectief vlak is met N + 1 unten o een rechte. Dan is door vergelijking B = AA T = A T A de matrix B congruent met de eenheidsmatrix I (want B = A T IA). Aangezien c (I) = 1 voor elk oneven riemgetal, volgt dat als π bestaat, dat dan voor elk oneven riemgetal c (B) = ( 1, N) N(N+1) = 1. Als nu N 1 of (mod 4), dan is de exonent N(N+1) oneven zoals we bij het gevallenonderscheid ( ) omerkten. Als een riemgetal het kwadraatvrije deel van N deelt, dan is ( 1, N) = 1. ) Als van de vorm 4k + 3 is, dan is 1 geen kwadraat (mod ), dus is = 1. Dit is een contradictie aangezien c (B) gelijk aan 1 moet zijn. Er bestaat dus niet zo een π. 3 Kwadraatsommen 3.1 De stelling van Lagrange We willen de stelling van Bruck-Ryser nu o een andere manier bewijzen. Dit bewijs gebruikt de stelling van Lagrange. Stelling 3.1 (Lagrange). Elk natuurlijk getal is de som van vier kwadraten. Voor we dit bewijzen, kijken we eerst naar een lemma dat ons kan helen bij dit bewijs. ( 1 19

22 Lemma 3. (Euler-Identiteit). Voor x 1, x, x 3, x 4, y 1, y, y 3, y 4 Z geldt de identiteit: (x 1 + x + x 3 + x 4)(y1 + y + y3 + y4) = (x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 + x 4 y 4 ) + (x 1 y x y 1 + x 3 y 4 x 4 y 3 ) + (x 1 y 3 x y 4 x 3 y 1 + x 4 y ) + (x 1 y 4 + x y 3 x 3 y x 4 y 1 ) Bewijs. Om deze identiteit te bewijzen, rekenen we beide leden uit. LL = x 1y1 + x 1y + x 1y3 + x 1y4 + x y1 + x y + x y3 + x y4 + x 3y1 + x 3y + x 3y3 + x 3y4 + x 4y1 + x 4y + x 4y3 + x 4y4 RL = x 1y1 + x y + x 3y3 + x 4y4 + x 1 x y 1 y + x 1 x 3 y 1 y 3 + x 1 x 4 y 1 y 4 + x x 3 y y 3 + x x 4 y y 4 + x 3 x 4 y 3 y 4 + x 1y + x y1 + x 3y4 + x 4y3 x 1 x y 1 y + x 1 x 3 y y 4 x 1 x 4 y y 3 x x 3 y 1 y 4 + x x 4 y 1 y 3 x 3 x 4 y 3 y 4 + x 1y3 + x y4 + x 3y1 + x 4y x 1 x y 3 y 4 x 1 x 3 y 1 y 3 + x 1 x 4 y y 3 + x x 3 y 1 y 4 x x 4 y y 4 x 3 x 4 y 1 y + x 1y4 + x y3 + x 3y + x 4y1 + x 1 x y 3 y 4 x 1 x 3 y y 4 x 1 x 4 y 1 y 4 x x 3 y y 3 x x 4 y 1 y 3 + x 3 x 4 y 1 y Dit lemma zegt dus dat het roduct van twee sommen van vier kwadraten onieuw een som van vier kwadraten is. Deze identiteit vindt zijn oorsrong in de quaternionen. Definitie 3.3. Een quaternion of hyercomlex getal is een uitdrukking van de vorm z = x 1 + x i + x 3 j + x 4 k waarbij x 1, x, x 3, x 4 R en i, j, k symbolen zijn die voldoen aan volgende regels: 1 = i = j = k ij = ji = k, jk = kj = i, ki = ik = j Definitie 3.4. Enkele belangrijke uitdrukkingen van een quaternion zijn: De quaternionennorm: N(z) = x 1 + x + x 3 + x 4. De vermenigvuldigingswet voor de quaternionennorm: N(z)N(z ) = N(zz ) Stel z = x 1 + x i + x 3 j + x 4 k en z = y 1 + y i + y 3 j + y 4 k. De uitwerking van het linkerlid (res. rechterlid) van de vermenigvuldigingswet levert ons het linkerlid (res. rechterlid) van de Euler-Identiteit. 0

23 N(z)N(z ) = (x 1 + x + x 3 + x 4)(y 1 + y + y 3 + y 4) = LL N(zz ) = N((x 1 + x i + x 3 j + x 4 k)(y 1 + y i + y 3 j + y 4 k)) = N(x 1 y 1 + x 1 y i + x 1 y 3 j + x 1 y 4 k + x y 1 i + x y i + x y 3 ij + x y 4 ik + x 3 y 1 j + x 3 y ji + x 3 y 3 j + x 3 y 4 jk + x 4 y 1 k + x 4 y ki + x 4 y 3 kj + x 4 y 4 k ) = N((x 1 y 1 x y x 3 y 3 x 4 y 4 ) + (x 1 y + x y 1 + x 3 y 4 x 4 y 3 )i + (x 1 y 3 x y 4 + x 3 y 1 + x 4 y )j + (x 1 y 4 + x y 3 x 3 y + x 4 y 1 )k) = (x 1 y 1 x y x 3 y 3 x 4 y 4 ) + (x 1 y + x y 1 + x 3 y 4 x 4 y 3 ) + (x 1 y 3 x y 4 + x 3 y 1 + x 4 y ) + (x 1 y 4 + x y 3 x 3 y + x 4 y 1 ) = x 1y 1 + x 1y + x 1y 3 + x 1y 4 + x y 1 + x y + x y 3 + x y 4 + x 3y 1 + x 3y + x 3y 3 + x 3y 4 = RL + x 4y 1 + x 4y + x 4y 3 + x 4y 4 x 1 x y 1 y x 1 x 3 y 1 y 3 x 1 x 4 y 1 y 4 + x x 3 y y 3 + x x 4 y y 4 + x 3 x 4 y 3 y 4 + x 1 x y 1 y + x 1 x 3 y y 4 x 1 x 4 y y 3 + x x 3 y 1 y 4 x x 4 y 1 y 3 x 3 x 4 y 3 y 4 x 1 x y 3 y 4 + x 1 x 3 y 1 y 3 + x 1 x 4 y y 3 x x 3 y 1 y 4 x x 4 y y 4 + x 3 x 4 y 1 y + x 1 x y 3 y 4 x 1 x 3 y y 4 + x 1 x 4 y 1 y 4 x x 3 y y 3 + x x 4 y 1 y 3 x 3 x 4 y 1 y We kunnen nu de Stelling van Lagrange bewijzen. Bewijs. Door de Euler-Identiteit volstaat het om te bewijzen dat elk riemgetal de som van vier kwadraten is. Elk natuurlijk getal kan immers o een unieke manier ontbonden worden als het roduct van riemgetallen. Aangezien het roduct van twee sommen van vier kwadraten ook een som van vier kwadraten is volgens de Euler-Identiteit, zal de ontbinding in riemgetallen dan een som van vier kwadraten geven. Zij een riemgetal. Dan kunnen we zonder beerking aannemen dat oneven is. Voor = geldt immers: = In Z/Z zijn er 1 kwadratische resten en dit zijn dus kwadraten modulo. Ook 0 = 0 is een kwadraat modulo en we krijgen +1 kwadraten modulo (en dus 1 niet-kwadraten modulo ). Er zijn dus ook +1 restklassen van de vorm 1 x : de vergelijking 1 x y (mod ) heeft +1 verschillende olossingen y omdat er +1 verschillende kwadraten x zijn. Er zijn in totaal verschillende restklassen (a b a b (mod ) en a = 0, 1,..., 1). Omdat er +1 restklassen van de vorm 1 x zijn en er 1 niet-kwadraten zijn, moet minstens +1 1 = 1 restklasse een kwadraat zijn. M.a.w. de vergelijking x + y + 1 = 0 heeft een olossing modulo. Kiezen we de reresentanten x, y met < x, y <, dan volgt dat ( ) 0 < x + y + 1 < 3 <. Door het interval waar x en y in liggen, is x < ( ( ) en y <. ) Aangezien een oneven riemgetal is, is 3 waardoor 3 > 1 en dus ( ( ) 3 ) > 1. Er bestaat dus een n N, n <, zodat n de som is van drie kwadraten en dus in het bijzonder ook van vier kwadraten als je er nog 0 bij otelt. Zij m het kleinste natuurlijk getal zo dat m de som van vier kwadraten is. Het is duidelijk dat m < aangezien we al hebben aangetoond dat er 1

24 een n N, n < bestaat, waarvoor n de som van vier kwadraten is. We tonen aan dat m = 1. Stel dat m strikt groter is dan 1 en m = x 1 + x + x 3 + x 4. (3) Zij nu x i y i (mod m) met m < y i m voor i = 1,, 3, 4. Dan geldt dat y 1 + y + y 3 + y 4 x 1 + x + x 3 + x 4 (mod m) m (mod m) 0 (mod m). Er bestaat dus een r Z, r 0, met rm = y 1 + y + y 3 + y 4. (4) Aangezien y1 + y + y 3 + y 4 m 4 + m 4 + m 4 + m 4 = m, geldt dat r m. Als we (3) en (4) vermenigvuldigen, dan bekomen we rm = (x 1 + x + x 3 + x 4 )(y 1 + y + y 3 + y 4 ). We krijgen dus een voorstelling van rm als de som van vier kwadraten wegens de Euler-Identiteit. rm = A + B + C + D (5) Hierbij zijn A, B, C en D de termen uit het rechterlid van de Euler-Identiteit. y i (mod m), zijn B, C en D deelbaar door m: Door dat x i B = x 1 y x y 1 + x 3 y 4 x 4 y 3 y 1 y y y 1 + y 3 y 4 y 4 y 3 0 (mod m) C = x 1 y 3 x y 4 x 3 y 1 + x 4 y y 1 y 3 y y 4 y 3 y 1 + y 4 y 0 (mod m) D = x 1 y 4 + x y 3 x 3 y x 4 y 1 y 1 y 4 + y y 3 y 3 y y 4 y 1 0 (mod m) Ook A is deelbaar door m: A = x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 + x 4 y 4 x 1 + x + x 3 + x 4 = m 0 (mod m) Hieruit volgt dat r = ( A ( m) + B ( m) + C ( m) + D m) ook een som van vier kwadraten is. We bewijzen nu dat r niet kan gelijk zijn aan 0 noch aan m. Uit r = 0 volgt dat y 1 = y = y 3 = y 4 = 0 en dus x 1, x, x 3, x 4 deelbaar zijn door m. Omdat x i voor i = 1,, 3, 4 dan deelbaar is door m, volgt uit (3) dat m m en dus m. Uit r = m volgt dat y i = m voor i = 1,, 3, 4 aangezien y i niet groter kan zijn dan dit. In het bijzonder is m even omdat elke x i en dus elke y i een geheel getal is. Er geldt dat x i = m + c im met c i Z, i = 1,, 3, 4. We bekomen dat x i = m 4 + c im + c i m m 4 (mod m ). Door otelling van deze volgt dat m = x 1 + x + x 3 + x 4 m (mod m ), waardoor m m en dus m. In beide gevallen bekomen we dat m, wat in tegensraak is met 1 < m <, doordat riem is. Hieruit volgt dat 1 r m 1. r is dus een som van vier kwadraten met r strikt kleiner dan m, wat in tegensraak is met de minimaliteit van m. Uit deze strijdigheid volgt dat m gelijk moet zijn aan 1, wat bewijst dat elke riemgetal kan geschreven worden als de som van vier kwadraten. 3. De Stelling van Bruck-Ryser Voor dit bewijs wordt de stelling anders geformuleerd, namelijk als volgt. Stelling 3.5 (Bruck-Ryser). Als n 1, (mod 4), dan is een nodige voorwaarde voor het bestaan van een eindig rojectief vlak van orde n dat er gehele getallen x, y bestaan die voldoen aan de vergelijking n = x + y.

25 We tonen eerst aan dat de twee versies van de stelling o hetzelfde neerkomen. Hiervoor gebruiken we onder andere de identiteit van Fibonacci. Lemma 3.6 (Identiteit van Fibonacci). (a + b )(c + d ) = (ac bd) + (ad + bc) De volgende stelling wordt toegeschreven aan Fermat. = (ac + bd) + (ad bc) Stelling 3.7 (Fermat). Veronderstel dat > een riemgetal is, dan is de som van twee kwadraten als en slechts als 1 (mod 4). Veronderstel nu dat N een natuurlijk getal is en beschouw de factorisatie van N: N = k e i i, met alle i riem en 1 e i. Noem het kwadraatvrije gedeelte van N in dit geval het roduct M van de riemgetallen i waarvoor geldt dat de exonent e i oneven is in de riemfactorisatie van N. Uit deze definitie van M volgt onmiddellijk dat N M een kwadraat is. Dus uit de identiteit van Fibonacci volgt dat N de som van twee kwadraten is als en slechts als M de som van twee kwadraten is. (Om dit in te zien in één richting volstaat het a = N M, b = 0, en M = c + d te veronderstellen, de andere richting vergt ook een bewijs). We noemen een getal x kwadraatvrij als voor elk riemgetal waarvoor x, geldt dat x. Voor een gegeven getal N voldoet het kwadraatvrije gedeelte, zoals hierboven gedefinieerd, dus aan deze definitie. Nu geldt de volgende stelling die we ook zonder bewijs vermelden, maar waarvan het bewijs in één richting onmiddellijk volgt uit de identiteit van Fibonacci. Stelling 3.8. Een kwadraatvrij getal N is de som van twee kwadraten als en slechts als elke riemfactor de som is van twee kwadraten. Samen met Stelling 3.7 kunnen we dus besluiten dat een natuurlijk getal N de som is van twee kwadraten als en slechts als het kwadraatvrij gedeelte van N geen riemfactor bevat met 3 (mod 4). n = 10 voldoet aan de voorwaarde van de nieuwe stelling aangezien 10 = Zoals reeds in de inleiding vermeld, is echter bewezen dat er geen eindig rojectief vlak van orde 10 bestaat, waardoor duidelijk is dat deze stelling enkel een nodige voorwaarde levert en zeker geen voldoende. Het bewijs van de stelling gebruikt vier eigenschaen uit de getaltheorie, waaronder de Euler-Identiteit en de Stelling van Lagrange. De andere zijn als volgt: 1. Als een oneven riemgetal is en er bestaan gehele getallen x 1, x niet beide deelbaar door, zodat x 1 + x 0 (mod ), dan is de som van twee gehele kwadraten. Het analoge resultaat geldt voor vier kwadraten.. Voor elk geheel getal n geldt, als de vergelijking x + y = nz een gehele olossing heeft met x, y, z niet allemaal nul, dat n dan de som van twee gehele kwadraten is. M.a.w. de vergelijking heeft een olossing als z = 1. We kunnen nu de Stelling van Bruck-Ryser bewijzen. 3

26 Bewijs. Beschouw een eindig rojectief vlak van orde n, met n 1, (mod 4). Het aantal unten van een rojectief vlak van orde n is N = n + n + 1. Hieruit volgt dat N 3 (mod 4): n 1 (mod 4) : n + n + 1 n.n + n (mod 4) n (mod 4) : n + n + 1 n.n + n (mod 4) Zij I, J, A NxN- matrices waarbij I de identiteitsmatrix is, J de matrix met j ik = 1, i, k {1,,..., N} en A de incidentiematrix van het rojectieve vlak. Dan geldt: AA T = ni + J Immers, als we het inroduct nemen van willekeurige rijen, dan zal dit gelijk zijn aan 1 als ze verschillend zijn en gelijk zijn aan n + 1 als ze gelijk zijn. Dit volgt uit de definitie van de orde van een rojectief vlak omdat rechten incident zijn met 1 unt en elke rechte incident is met n + 1 unten. Zij x 1,..., x N variabelen en zij x = (x 1,..., x N ). Zij xa = z = (z 1,..., z N ), dan zijn z 1,..., z N lineaire combinaties van x 1,..., x N met gehele coëfficiënten. We hebben dat: zz T = xaa T x T = x(ni + J)x T = nxx T + xjx T wat betekent dat: z zn = n(x x N) + ( x 1 ) x 1... x N = n(x x N) + x 1 + x 1 x x 1 x N x N x 1 + x N x x N = n(x x N) + (x x N )(x x N ) = n(x x N) + w waarbij w = x x N. We nemen een nieuwe variabele x N+1, voegen nx N+1 toe aan beide kanten van bovenstaande vergelijking en bekomen z z N + nx N+1 = n(x x N + x N+1 ) + w. Uit onze voorgaande conclusie dat N 3 (mod 4), volgt dat N + 1 deelbaar is door vier. We hebben onze n zo herverdeeld dat elke som van vier termen een n heeft, wat ons de mogelijkheid geeft om de Stelling van Lagrange te gebruiken. We kunnen n schrijven als n = a 1 + a + a 3 + a 4 en we gaan vervolgens de termen van de vergelijking als volgt hergroeeren: We beginnen met n(x x N + x N+1 ). Deze hergroeeren we in sommen van telkens vier termen: n(x 11 + x 1 + x 13 + x 14 ) n(x g1 + x g + x g3 + x g4 ), waarbij 4.g = N + 1. Aangezien n een som van vier kwadraten is, kunnen we de Euler-Identiteit toeassen: x N n(x i1 + x i + x i3 + x i4) = y i1 + y i + y i3 + y i4 met y ij een lineaire combinatie van de x ij met i vast en j = 1,, 3, 4. Als we dit in de oorsronkelijke vergelijking stoen, bekomen we volgende uitdrukking waarbij we de y ij een andere index hebben gegeven overeenkomstig met de oorsronkelijke index van de x i. z z N + nx N+1 = y y N+1 + w Zowel de z i als de y i zijn lineaire combinaties van de x i. Voor elke z i en y j nemen we een unieke x k die een niet-nul coëfficiënt heeft in zowel de uitdrukking van z i als in die van y j. Als de coëfficiënten 4