Hoofdstuk 20. Priemgetallen Het aantal priemgetallen < X

Transcriptie

1 Hoofdstuk 20 Priemgetallen 20. Het aantal riemgetallen < X In Hoofdstuk 3 hebben we kennis gemaakt met de echt elementaire zaken rond riemgetallen zoals unieke riemontbinding en de oneindigheid van de verzameling riemgetallen. Hier gaan we iets dieer in o de vraag hoeveel riemgetallen er nu eigenlijk zijn. Een eerste indicatie wordt gegeven door een omerkelijk bewijs van Euler over de oneindigheid van de verzameling riemgetallen. Stelling 20.. (Euler) De som, genomen over alle riemgetallen, divergeert. In iets uitgebreidere taal betekent dit dat de som N riem naar oneindig gaat als N. In het bijzonder betekent dit dat er oneindig veel riemgetallen zijn. Het bewijs van Euler beschouwt het roduct ( ) N over alle riemgetallen N. Gebruiken we de meetkundige reeksontwikkeling ( /) = + / + / 2 + dan vinden we ( ) = ( + + ) + 2 N N Om dit laatste roduct te berekenen moeten we haakjes wegwerken en we krijgen een som van termen van de vorm /n waarin n bestaat uit riemfactoren N. 9

2 92 HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN Bovendien komt, vanwege éénduidige riemontbinding, voor elke n die bestaat uit riemgetallen N de term /n in de sommatie voor. In het bijzonder komt elke term /n met n N voor in onze sommatie. Dus ( + + ) + 2 N Omdat de reeks n= divergeert concluderen we dat het roduct n N ( /) naar oneindig gaat als N. Nu komt de finishing touch. Uit elementaire analyse weten we dat x > log 2 x als 0 < x /2. Hieruit volgt, met x = /, N n= ( > log 2 = 2 log N N N n ( ) ) Omdat het laatste roduct naar gaat als N volgt uit deze ongelijkheid dat de reeks divergeert. Het is niet moeilijk, maar wel technisch, om bovenstaande analyse wat recieser uit te voeren. Het blijkt dat <X in ongeveer hetzelfde temo groeit als log log X. Preciezer, Stelling (Mertens) Het verschil <X log log X gaat naar een limiet A als X. Bovendien geldt A = γ + ( log( ) + ) waarin γ Euler s constante is. riem Hoewel de functie <X naar oneindig gaat als X, gaat dit in een ongelofelijk langzaam temo. Bijvoorbeeld bij X = 0 4 is de som bij X = 0 5 is het Bij X = 0 6, 0 7 vinden we resectievelijk en We beschouwen nu de functie π(x) die het aantal riemgetallen x telt. Dus π(x) = #{ x riem}. Het gedrag van deze funktie is altijd een bron van insiratie geweest voor wiskundigen. De rij riemgetallen heeft een onvoorselbaar gedrag in die zin, als we een riemgetal hebben dan is het onmogelijk te voorsellen wanneer het volgende

3 20.. HET AANTAL PRIEMGETALLEN < X 93 riemgetal zal voorkomen. Bekijken we de funktie π(x) daarentegen dan zien we, mits o grote schaal bekeken, een vloeiend verloo. Ter illustratie volgt hier de grafiek van π(x) voor x 00, Nemen we nu een grotere schaal, dan zien we de srongen niet meer en nemen we een vloeiend verloo van de grafiek waar. Hier is bijvoorbeeld de grafiek voor x 0 5, De grote vraag is of we deze grafiek kunnen identificeren met een ons bekende funktie uit de analyse. Het dichtst bij de werkelijkheid kwam C.F.Gauss. Hij telde het aantal riemgetallen in korte intervallen, maar met grote waarden, en kwam tot de conclusie dat de lokale dichtheid van riemgetallen van de grootte X er uit ziet als / log(x). Wat we hiermee bedoelen illustreren we met de tabel aan het eind van deze aragraaf. Daarin is het aantal riemgetallen s(x) in het interval [x, x ] geteld voor diverse grote waarden van x. Ter vergelijking staat in de laatste kolom 0 5 / log(x), de lengte van ons interval gedeeld door log(x). Uit dit soort gegevens kwam Gauss tot het vermoeden dat π(x) li(x) := x 2 dt log t.

4 94 HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN Het teken geeft een zogenaamde asymtotische gelijkheid aan. In het algemeen, als we schrijven f(x) g(x) dan bedoelen we daarmee dat f(x)/g(x) als x. Het is trouwens niet moeilijk om aan te tonen dat li(x) x/ log(x) zodat uit het vermoeden van Gauss zou volgen, π(x) x log x Het eerste resultaat in deze richting werd bereikt door Chebyshev in 852. Hij liet zien dat 0.92 x < π(x) <. x log x log x als x voldoende groot is. De methoden van Chebyshev zijn elementair maar zeer ingenieus en we zullen er in een latere aragraaf iets van laten zien. Hier is trouwens de beloofde tabel. x s(x) 0 5 / log(x) De belangrijkste sta in de studie van π(x) werd in 860 gezet door de beroemde wiskundige Riemann. We besteden hier de volgende aragraaf aan De Riemann zeta-functie In zijn studie van π(x) gebruikte Riemann de functie ζ(s) = waarin s een comlex getal is met reëel deel groter dan, odat de reeks convergeert. Tussen haakjes, in deze aragraaf zal het gedrag van ζ(s) voor comlexe s van cruciaal belang zijn. Enige vertrouwdheid met comlexe getallen is hier dus wel gewenst. Hoewel Euler de functie ζ(s) al eerder bekeken had in verband met riemgetallen, is hij toch naar Riemann vernoemd. De relatie met riemgetallen, zoals Euler reeds omerkte, wordt gegeven door de zogenaamde Euler factorisatie. n= n s

5 20.2. DE RIEMANN ZETA-FUNCTIE 95 Stelling (Euler) Zij s een comlex getal met reëel deel groter dan. Dan geldt, ζ(s) = ( ) s waarin het roduct genomen wordt over alle riemgetallen. We zullen ons bewijs beerken tot reële getallen s groter dan > om het iets eenvoudiger te maken. Beschouw eerst het roduct ζ(s)( 2 s ) = n= n s (2n). s Rechts staat de som van alle /n s minus de som van /m s over alle even m(= 2n). Het verschil is dus de som van /n s over alle oneven getallen n. Evenzo is ζ(s)( /2 s )( /3 s ) gelijk aan de som van /n s over alle n die noch deelbaar door 2, noch deelbaar door 3 zijn. Kies nu N willekeurig en zij = 2, 2 = 3,..., r de verzameling riemgetallen N. Dan is ζ(s)( / s ) ( / s r) gelijk aan de som van /n s over alle n die niet deelbaar zijn door een riemgetal N. In het bijzonder imliceert dit dat ofwel n = ofwel n > N. Dus n= < ζ(s)( ) ( ) < + s s r n>n n s (20.) We weten door middel van de afschattingen uit de Aendix dat n>n /ns < N s /(s ). Omdat s > volgt hieruit dat n>n /ns 0 als N. Laat nu N in (9.) en we vinden dat ζ(s) ( /s ) =. Hieruit volgt ons Euler roduct. Eén van Riemann s ontdekkingen was dat ζ(s) analytisch kan worden voortgezet tot het comlexe vlak met uitzondering van s =, waar de functie een ool van eerste orde heeft. Het zou te ver voeren om dit hier allemaal uit te leggen. Wat we wel kunnen laten zien is dat, hoewel we ζ(s) alleen definieerden voor s met Res >, deze functie o natuurlijke wijze uit te breiden is tot een functie o het gebied Res > 0, s. Dit gaat als volgt. Voor Res > geldt, ζ(s) s = n s = = n= dx x s dx [x] s ( [x] s x s dx x s ) dx Nu komt de belangrijke omerking. Het verschil /[x] s /x s kunnen we schrijven als [x] x s x = s dt s t s+ [x]

6 96 HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN Neem nu aan beide zijden de absolute waarde en schat de integraal af, [x] s x s s = s s x [x] x dt t s+ dt [x] t Res+ [x] Res+ Omdat dx/[x] Res+ convergeert voor alle Res > 0, volgt hieruit dat ook de integraal (/[x]s /x s )dx convergeert voor alle Res > 0. Deze integraal definieert dus een functie o, die kan worden gezien als een natuurlijke voortzetting van ζ(s) tot het gebied Res > 0. Het gebied 0 < Res < wordt wel de kritieke strook genoemd. Het gedrag van ζ(s) in de kritieke strook is van cruciaal belang voor de theorie van de riemgetallen en dit was de schitterende ontdekking van Riemann. Eén van de vragen die Riemann over ζ(s) stelde is zo hardnekkig onbeantwoord gebleven, dat het nu te boek staat als het volgende vermoeden, Vermoeden (Riemann hyothese) Alle nulunten van ζ(s) in de kritieke strook liggen o de lijn Res = /2. Talloze wiskundigen na Riemann hebben hun tanden stukgebeten o dit robleem en tot nu is het nog steeds onogelost. Naast het, inmiddels ogeloste, vermoeden van Fermat is dit één van de bekendste roblemen in de wiskunde. Uit Riemann s nalatenscha blijkt dat hij zelf, met de hand, exliciet nulunten berekend had tot vele decimalen nauwkeurig. Dit alleen al mag een restatie van formaat worden genoemd. Omdat de nulunten symmetrisch rond de x-as liggen, kunnen we ons beerken tot nulunten met ositief imaginair deel. Tevens ordenen we deze unten naar stijgend imaginair deel. Recente comuterberekeningen door Brent, v.d.lune, te Riele en Winter hebben aangetoond dat de eerste nulunten inderdaad o de lijn Res = /2 liggen. Verder toonde Levinson in 974 aan dat minstens een derde van de nulunten o deze lijn ligt. Uit het nagelaten werk van Riemann leidde C.L.Siegel af dat Riemann zijn numerieke berekeningen baseerde o een verwante, reële, functie Z(t) die de eigenscha heeft dat Z(t) = ζ( + it) voor alle t R. Voor de aardigheid volgt hier 2 een grafiek van Z(t) gemaakt met het wiskundige akket Mathematica,

7 20.2. DE RIEMANN ZETA-FUNCTIE Wat is het belang van de nulunten van ζ(s)? Het blijkt dat als de Riemann hyothese waar is, dan geldt dat π(x) li(x) x log x naar nul gaat als x. Grof gezegd, het verschil tussen π(x) en li(x) is van de orde van grootte x log x, een stuk kleiner dus dan de grootte van li(x) zelf. Hieronder volgt een grafiek van de functie li(x) π(x) voor x < 0000, Men zou misschien kunnen denken dat het verschil li(x) π(x) altijd ositief is. Het blijkt in ieder geval voor alle x < 0 6 zo te zijn. Dat exerimentele resultaten soms bedriegelijk kunnen zijn werd duidelijk toen Littlewood (94) aantoonde dat li(x) π(x) oneindig vaak van teken verandert. Echter het unt waar li(x) π(x) voor het eerst negatief wordt, heeft men nog nooit gezien. Onder aanname van de Riemann hyothese bewees Skewes in 933 dat dit unt kleiner dan is. Getallen van dit formaat werden al snel Skewes getallen genoemd. Tegenwoordig is deze grens verbeterd en weet men, zonder de Riemann hyothese aan te nemen, dat li(x) π(x) negatief is voor een x kleiner dan Gelukkig hebben we niet de volle Riemann-hyothese nodig om iets over riemgetallen te kunnen concluderen. Met wat minder informatie ook wat te doen. Het

8 98 HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN is namelijk niet heel moeilijk om aan te tonen dat ζ(s) geen nulunten o de lijn Res = heeft. Met deze informatie slaagden Hadamard en De la Vallée-Poussin er, onafhankelijk van elkaar, in de volgende stelling te bewijzen. Stelling (Priemgetalstelling, 899) Er geldt, π(x) x log(x). In 949 gaven Selberg en Erdös, min of meer onafhankelijk van elkaar, een elementair bewijs van deze stelling. Elementair wil zeggen dat er geen gebruik wordt gemaakt van eigenschaen van de comlexe ζ-functie. Het wil echter niet zeggen dat het een eenvoudig bewijs is! 20.3 Lokale verdeling In de vorige aragraaf hebben we het gehad over de groei van de functie π(x). Deze functie geeft de globale groei van het aantal riemgetallen weer. Het is ook interessant om eens naar het lokale gedrag te kijken. Een vraag is bijvoorbeeld, gegeven een riemgetal, hoe groot is het volgende riemgetal? Anders gezegd, hoe groot of klein kan de afstand tussen twee oeenvolgend riemgetallen zijn. We kunnen gemakkelijk laten zien dat deze afstand willekeurig groot kan zijn. Kies namelijk N N willekeurig en beschouw de rij getallen N!+2, N!+3,..., N!+N. Omdat N!+k deelbaar is door k is geen van de getallen in onze rij riem. Door N willekeurig groot te kiezen kunnen we o deze wijze het bestaan van willekeurig lange gaten in de rij riemgetallen aantonen. Chebyshev bewees met elementaire methoden dat elk interval van de vorm [n, 2n] een riemgetal bevat. Hiermee werd het zogenaamde ostulaat van Bertrand bewezen. Met behul van de riemgetalstelling is het niet moeilijk om aan te tonen dat voor elke θ > en voldoend grote n elk interval [n, θn] een riemgetal bevat. Met geavanceerde methoden uit de analytische getaltheorie weet men nu dat er een C > 0 bestaat zodat elk interval [n, n + Cn θ ] een riemgetal bevat, waarin θ = /2 /384 (Iwaniec, Pintz, Mozzochi). Indien de Riemann-hyothese waar is kan men θ = /2 aantonen. Grofweg zou dit betekenen dat er tussen elk tweetal gehele kwadraten en riemgetal ligt. Echter, men vermoedt dat er nog iets veel sterkers waar is. Een vermoeden van Cramér zegt dat er een C > 0 is zo dat elk interval [n, n + C(log n) 2 ] een riemgetal bevat. Niemand heeft echter enig idee hoe een dergelijk robleem aangeakt moet worden. Aan de andere kant gebeurt het ovallend vaak dat twee oeenvolgende oneven getallen riem zijn. We noemen dergelijke aren riemtweelingen. Voorbeelden: (7, 73), (997, 999), (2077, 20773), enzovoort. Het blijkt dat ze relatief vaak voorkomen. Het grootst bekende aar in 993 was ± maar

9 20.4. ELEMENTAIRE BESCHOUWINGEN 99 intussen zal dit record wel weer gebroken zijn. Net als bij de riemgetallen kunnen we een telfunctie π 2 (x) invoeren die het aantal riemtweelingen kleiner dan x aangeeft. Om een idee van de groei van π 2 (x) te krijgen treden we in de voetsoren van Gauss en tellen het aantal riemtweelingen s 2 (x) in het interval [x, x+00000] voor diverse x. Ter vergelijking geven we ook het aantal riemgetallen s(x). Hier zijn de resultaten, x s(x) s 2 (x) (.32) 0 5 /(log x) De getallen in de laatste kolom vormen de verwachting van het aantal riemgetaltweelingen o grond van heuristische beschouwingen die we hier niet zullen uitvoeren (zie [HW] hoofdstuk XXII).Het getal.32 bovenin de laatste kolom is een afronding van het oneindige roduct ( /( )2 ) genomen over alle oneven riemgetallen. Als de verwachtingen kloen, dan zou het aantal riemgetaltweelingen kleiner dan x asymtotisch gelijk zijn aan π 2 (x) Cx/(log x) 2 met C = ( /( ) 2 ). Helaas is er nog niets van dit alles bewezen. Het is zelfs niet bekend of er oneindig veel riemgetaltweelingen zijn en de vraag naar de (on)eindigheid van deze verzameling behoort tot de bekendste roblemen in de getaltheorie. Eén van de weinige bewezen resultaten o dit gebied vormt de stelling van Brun (99), die zegt dat de reeks, genomen over alle behorend tot een riemgetaltweeling, convergent is. Dit in tegenstelling tot de som over alle riemgetallen die divergeert, zoals we gezien hebben. Om zijn stelling te bewijzen introduceerde Brun een nieuwe techniek in de getaltheorie, namelijk die van de zeefmethoden. Tegenwoordig is dit één van de standaardtechnieken in wat men noemt de analytische getaltheorie Elementaire beschouwingen Na alle vermoedens en seculaties uit de vorige aragrafen willen we nu ook echt iets gaan bewijzen. Doel van deze aragraaf is het bewijs van de volgende stelling. Stelling Voor elke n 3 geldt, n 2 log n < π(n) < 2 n log n.

10 200 HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN Allereerst gebruiken we voor de afleiding van de bovengrens voor π(x) de binomiaalcoëfficient (zie eventueel de Aendix) ( ) 2m 2m(2m ) (m + ) = m m(m ) 2 en het feit dat dit een geheel getal is. De cruciale omerking is dat in de teller alle riemgetallen met m < 2m otreden en dat ze niet door de factoren uit de noemer worden weggedeeld. Dus m< 2m deelt ( ) 2m m en is dus kleiner of gelijk ( ) ( 2m m. We gaan nu de grootte van 2m ) m afschatten. Lemma Voor alle m N geldt, ( ) 2m < 4 m. m Voor m = controleren we dat ( 2 ) = 2 en 4 = 4 en het Lemma is dus juist. Stel nu m > en merk o dat ( 2m m ) = 2m(2m ) m m Ons Lemma volgt nu door inductie naar m. ( ) 2(m ) < 4 m ( ) 2(m ) m Een iets eleganter manier om dit Lemma aan te tonen is de omerking dat uit de binomiaalformule van Newton, 2., volgt dat 2 n = n ( n k=0 k) door x = in te vullen. Hieruit volgt dat ( n ) k) < 2 n voor elke k, n N. In het bijzonder, < 2 2m = 4 m. ( 2m m Hoe dan ook, we concluderen dat voor alle m N geldt, < 4 m. riem m< 2m Het aantal factoren in het roduct is gelijk aan π(2m) π(m). Al deze factoren zijn groter dan m. Dus volgt, m π(2m) π(m) < 4 m. Na het nemen van logaritmen aan beide zijden en deling door log m concluderen we dat π(2m) π(m) < m log 4/ log m. We kunnen nu onze bovengrens door inductie naar n afleiden. Omdat, behalve 2, alle riemgetallen oneven zijn, geldt π(n) (n + )/2. Elementaire analyse laat zien dat (n + )/2 kleiner is dan 2n/ log n voor alle n 400 en dus is onze bovengrens waar voor alle n 50. Stel nu n > 400 en dat de bovengrens in de Stelling geldt voor alle π(k) met k < n. Stel n = 2m als n even is en n = 2m +

11 20.4. ELEMENTAIRE BESCHOUWINGEN 20 als n oneven is. In de volgende berekening maken we gebruik van onze bovengrens voor π(2m) π(m) en de inductiehyothese, π(n) π(2m) + = π(2m) π(m) + π(m) + < m log 4/ log m + 2m/ log m + = (2 + log 4)m/ log m + ( + log 2)n/ log(n/2) + Elementaire analyse laat zien dat deze laatste bovengrens kleiner is dan 2n/ log n voor alle n 50 en daarmee is onze inductiesta afgerond. Voor de afleiding van de ondergrens gebruiken we een iets ander idee. Beschouw de integraal I m = 0 t m ( t) m dt. Omdat de integrand ositief is in het oen interval geldt I m > 0. Verder geldt t m ( t) m (/4) m voor alle t [0, ]. Dus, I m < (/4) m. Anderzijds is I m een rationaal getal. Dit kunnen we zien door de haakjes in t m ( t) m weg te werken en term voor term te integreren. Haakjes wegwerken levert een lineaire combinatie met gehele coëfficienten van t k met k = m, m +,..., 2m. Integratie van t k levert /(k + ). Met andere woorden I m is een gehele lineaire combinatie van de getallen /(k + ) met k = m,..., 2m. Gevolg, I m is een rationaal getal waarvan de noemer een deler is van kgv(m+, m+2,..., 2m+). Omdat I m niet nul is, is het groter of gelijk /kgv(m +,..., 2m + ). Combineren we dit met de bovengrens voor I m dan vinden we kgv(m +,..., 2m + ) > 4 m en, omdat kgv(, 2,..., 2m + ) kgv(m +,..., 2m + ) Nu volgt een belangrijk Lemma. Lemma Voor elke N N geldt, kgv(, 2,..., 2m + ) > 4 m kgv(, 2,..., N) < N π(n). We kunnen dit zien door o te merken dat het kgv van de getallen, 2,..., N als volgt tot stand komt. Van elk riemgetal bealen we de grootste k zó dat k N en vervolgens vermenigvuldigen we de machten k met elkaar. Dit roduct gaan we nu afschatten, kgv(, 2,..., N) = < = [log N/ log ] (log N/ log ) N = N π(n)

12 202 HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN In ons geval volgt door toeassing van dit Lemma dat 4 m < (2m + ) π(2m+). Na het nemen van logaritmen en deling door log(2m + ), geeft dit π(2m + ) > m log 4/ log(2m + ) Kies nu n N willekeurig. Stel n = 2m + als n oneven is en n = 2m + 2 als n even is. Merk nu o dat π(n) = π(2m + ) > m log 4/ log(2m + )) (log 4)(n/2 )/ log(n ) Elementaire analyse laat zien dat de laatste ondergrens groter is dan 0.5n/ log(n) als n 0. En zo vinden we de gewenste ondergrens als n 0. Voor n = 3, 4,..., 9 controleren we de ondergrens numeriek. Tenslotte volgt hier nog een heel amusante ogave van H.W.Lenstra. Bewijs dat er oneindig veel waarden van n zijn zó dat π(n) een deler is van n. Het aardige is dat het bewijs helemaal niet diezinnig is, maar wel veel te leuk om hier te verklaen. Als hint kan ik de lezer meegeven dat we alleen maar lim n π(n)/n = 0 hoeven te gebruiken.