De Riemann-hypothese
|
|
- Rosalia Peters
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 De Riemann-hypothese Een miljoenenprobleem Jan van de Craats (UvA) Leve de Wiskunde, UvA, april 04
2 De Riemann-hypothese
3 De Riemann-hypothese Alle niettriviale nulpunten van de zètafunctie liggen op de kritieke lijn.
4 De Riemann-hypothese Alle niettriviale nulpunten van de zètafunctie liggen op de kritieke lijn. Bernhard Riemann (86-866) Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (859)
5 De Riemann-hypothese Alle niettriviale nulpunten van de zètafunctie liggen op de kritieke lijn. Bernhard Riemann (86-866) Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (859) Op de vierde bladzijde hiervan staat de Riemann-hypothese vermeld als een stelling die waarschijnlijk waar is, gevolgd door:
6 De Riemann-hypothese Alle niettriviale nulpunten van de zètafunctie liggen op de kritieke lijn. Bernhard Riemann (86-866) Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (859) Op de vierde bladzijde hiervan staat de Riemann-hypothese vermeld als een stelling die waarschijnlijk waar is, gevolgd door: Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da es für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.
7 Priemgetallen Een priemgetal is een geheel getal groter dan dat alleen zonder rest deelbaar is door en door zichzelf.
8 Priemgetallen Een priemgetal is een geheel getal groter dan dat alleen zonder rest deelbaar is door en door zichzelf., 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3, 37, 4, 43, 47, 53,...
9 Priemgetallen Een priemgetal is een geheel getal groter dan dat alleen zonder rest deelbaar is door en door zichzelf., 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3, 37, 4, 43, 47, 53,... Stelling: Aan de rij van de priemgetallen komt geen einde. (Euclides, ca. 300 v.chr.)
10 Wiskunde met Wolfram Alpha
11 Wiskunde met Wolfram Alpha Ga naar
12 Wiskunde met Wolfram Alpha Ga naar Type in de commandoregel, druk op =, en varieer:
13 Wiskunde met Wolfram Alpha Ga naar Type in de commandoregel, druk op =, en varieer: is prime
14 Wiskunde met Wolfram Alpha Ga naar Type in de commandoregel, druk op =, en varieer: is prime next prime
15 Wiskunde met Wolfram Alpha Ga naar Type in de commandoregel, druk op =, en varieer: is prime next prime factor
16 Wiskunde met Wolfram Alpha Ga naar Type in de commandoregel, druk op =, en varieer: is prime next prime factor factor *3*5*7**3*7 +
17 De verdeling van de priemgetallen
18 De verdeling van de priemgetallen Hoe liggen de priemgetallen verdeeld onder de natuurlijke getallen? Wat is het honderdste priemgetal? Wat is het miljoenste priemgetal?
19 De verdeling van de priemgetallen Hoe liggen de priemgetallen verdeeld onder de natuurlijke getallen? Wat is het honderdste priemgetal? Wat is het miljoenste priemgetal? Hoeveel priemgetallen zijn er van 0 cijfers? Van 00 cijfers? Van een miljoen cijfers?
20 De verdeling van de priemgetallen Hoe liggen de priemgetallen verdeeld onder de natuurlijke getallen? Wat is het honderdste priemgetal? Wat is het miljoenste priemgetal? Hoeveel priemgetallen zijn er van 0 cijfers? Van 00 cijfers? Van een miljoen cijfers? Hulpmiddel bij het onderzoek hiernaar: de functie π(x).
21 De verdeling van de priemgetallen Hoe liggen de priemgetallen verdeeld onder de natuurlijke getallen? Wat is het honderdste priemgetal? Wat is het miljoenste priemgetal? Hoeveel priemgetallen zijn er van 0 cijfers? Van 00 cijfers? Van een miljoen cijfers? Hulpmiddel bij het onderzoek hiernaar: de functie π(x). Onder π(x) verstaat men het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan x. Deze functie is voor alle reële x > 0 gedefinieerd. Kennen we π(x), dan kennen we de verdeling van de priemgetallen.
22 De verdeling van de priemgetallen Hoe liggen de priemgetallen verdeeld onder de natuurlijke getallen? Wat is het honderdste priemgetal? Wat is het miljoenste priemgetal? Hoeveel priemgetallen zijn er van 0 cijfers? Van 00 cijfers? Van een miljoen cijfers? Hulpmiddel bij het onderzoek hiernaar: de functie π(x). Onder π(x) verstaat men het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan x. Deze functie is voor alle reële x > 0 gedefinieerd. Kennen we π(x), dan kennen we de verdeling van de priemgetallen. Riemann onderzocht in zijn artikel de functie π(x). Hij leidde een expliciete formule af waarin hij π(x) uitdrukte in een door Leonhard Euler ( ) geïntroduceerde functie, de zètafunctie.
23 De verdeling van de priemgetallen Hoe liggen de priemgetallen verdeeld onder de natuurlijke getallen? Wat is het honderdste priemgetal? Wat is het miljoenste priemgetal? Hoeveel priemgetallen zijn er van 0 cijfers? Van 00 cijfers? Van een miljoen cijfers? Hulpmiddel bij het onderzoek hiernaar: de functie π(x). Onder π(x) verstaat men het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan x. Deze functie is voor alle reële x > 0 gedefinieerd. Kennen we π(x), dan kennen we de verdeling van de priemgetallen. Riemann onderzocht in zijn artikel de functie π(x). Hij leidde een expliciete formule af waarin hij π(x) uitdrukte in een door Leonhard Euler ( ) geïntroduceerde functie, de zètafunctie. Kennen we de zètafunctie, dan kennen we de functie π(x) en dan kennen we de verdeling van de priemgetallen.
24 De priemgetallen-telfunctie π(x) met Wolfram Alpha Type in en varieer: plot primepi(x) x = to 50
25 De priemgetallen-telfunctie π(x) met Wolfram Alpha Type in en varieer: plot primepi(x) x = to 50 plot{x/ln(x), primepi(x)} x = to 00
26 De priemgetallen-telfunctie π(x) met Wolfram Alpha Type in en varieer: plot primepi(x) x = to 50 plot{x/ln(x), primepi(x)} x = to 00 plot (x/ln(x)) / primepi(x)) x = to 00
27 De priemgetallen-stelling
28 De priemgetallen-stelling Uit onderzoek van o.a. Gauss ( ) bleek dat het wel eens zo zou kunnen zijn dat π(x) x ln x voor x
29 De priemgetallen-stelling Uit onderzoek van o.a. Gauss ( ) bleek dat het wel eens zo zou kunnen zijn dat π(x) x ln x voor x x π(x) (rood) en x ln x (blauw)
30 De priemgetallen-stelling Uit onderzoek van o.a. Gauss ( ) bleek dat het wel eens zo zou kunnen zijn dat π(x) x ln x voor x D.w.z. dat de relatieve fout bij de benadering van π(x) door x naar 0 gaat voor x. ln x x π(x) (rood) en x ln x (blauw)
31 De priemgetallen-stelling Uit onderzoek van o.a. Gauss ( ) bleek dat het wel eens zo zou kunnen zijn dat π(x) x ln x voor x x π(x) (rood) en x ln x (blauw) D.w.z. dat de relatieve fout bij de benadering van π(x) door x naar 0 gaat voor x. ln x oftewel: lim π(x) / x x ln x =
32 De priemgetallen-stelling π(x) x ln x voor x
33 De priemgetallen-stelling π(x) x ln x voor x Dit vermoeden, dat bekend staat als de priemgetallenstelling, is in 896 bewezen door Hadamard en De la Vallée Poussin (onafhankelijk van elkaar). Gevolg: er zijn ontzettend veel grote priemgetallen!
34 De priemgetallen-stelling π(x) x ln x voor x Dit vermoeden, dat bekend staat als de priemgetallenstelling, is in 896 bewezen door Hadamard en De la Vallée Poussin (onafhankelijk van elkaar). Gevolg: er zijn ontzettend veel grote priemgetallen! Zo is het aantal priemgetallen van honderd cijfers vele, vele, vele malen groter dan het aantal elementaire deeltjes in het heelal! Met zulke priemgetallen wordt in de cryptografie gewerkt (RSA).
35 De zètafunctie
36 De zètafunctie De harmonische reeks divergeert:
37 De zètafunctie De harmonische reeks divergeert: _ 4 _ 3 _ 4 _ 4 _ 5 _ 6 _ 7 _ 8 _ 8 _ 8 _ 8 _ 8 _ 9 _ 0 _ 3 _ 4 _ 5 _ 6 De truc van Nicholas Oresme (33-38)
38 De zètafunctie Maar voor elke x > convergeert de reeks + x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 x + 7 x +
39 De zètafunctie Maar voor elke x > convergeert de reeks + x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 x + 7 x + Leonhard Euler ( ) noemde de somfunctie ζ(x). Die heeft dus domein x >.
40 De zètafunctie Maar voor elke x > convergeert de reeks + x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 x + 7 x + Leonhard Euler ( ) noemde de somfunctie ζ(x). Die heeft dus domein x >. Het is een dalende functie van x, die voor x een verticale asymptoot heeft. Verder geldt ζ(x) > voor alle x >.
41 De zètafunctie Maar voor elke x > convergeert de reeks + x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 x + 7 x + Leonhard Euler ( ) noemde de somfunctie ζ(x). Die heeft dus domein x >. Het is een dalende functie van x, die voor x een verticale asymptoot heeft. Verder geldt ζ(x) > voor alle x >. De convergentie van de reeks kan eenvoudig worden aangetoond met het integraalkenmerk (eerstejaarsstof bij de wiskundestudie), maar het kan ook meer elementair, met een modificatie van de truc van Oresme.
42 De zètafunctie (vervolg) ζ(x) = + x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 x + 7 x +
43 De zètafunctie (vervolg) ζ(x) = + x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 x + 7 x + Voor een grafiek, type in en varieer plot zeta(x) x = to 5 Voor functiewaarden, type in en varieer zeta()
44 De complexe zètafunctie van Riemann (vooruitblik)
45 De complexe zètafunctie van Riemann (vooruitblik) kritische strook y i x + y i triviale nulpunten pool i x kritische lijn
46 Het verband tussen de priemgetallen en de zètafunctie
47 Het verband tussen de priemgetallen en de zètafunctie Eulers productformule: ζ(x) = x Voor iedere x groter dan geldt: 3 x 5 x 7 x x
48 Het verband tussen de priemgetallen en de zètafunctie Eulers productformule: Voor iedere x groter dan geldt: ζ(x) = x 3 x 5 x 7 x Elke factor in dit oneindige product is van de vorm p x x
49 Het verband tussen de priemgetallen en de zètafunctie Eulers productformule: Voor iedere x groter dan geldt: ζ(x) = x 3 x 5 x 7 x Elke factor in dit oneindige product is van de vorm p x x en het product wordt genomen over alle priemgetallen p.
50 Eulers productformule ζ(x) = x 3 x 5 x 7 x x
51 Eulers productformule ζ(x) = x 3 x 5 x 7 x x y x De grafiek van ζ(x) (rode lijn) samen met de grafieken van de eerste tien benaderingen van het Eulerproduct.
52 Eulers bewijs (schets)
53 Eulers bewijs (schets) ζ(x) = + x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 x + 7 x +
54 Eulers bewijs (schets) ζ(x) = + x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 x + 7 x + x ζ(x) = x + 4 x + 6 x + 8 x + 0 x + x +
55 Eulers bewijs (schets) ζ(x) = + x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 x + 7 x + x ζ(x) = x + 4 x + 6 x + 8 x + 0 x + x + ( ) x ζ(x) = + 3 x + 5 x + 7 x + 9 x + x + 3 x +
56 Eulers bewijs (schets) ζ(x) = + x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 x + 7 x + x ζ(x) = x + 4 x + 6 x + 8 x + 0 x + x + ( ) x ζ(x) = + 3 x + 5 x + 7 x + 9 x + x + 3 x + ( 3 x ) x ζ(x) = 3 x + 9 x + 5 x + x + 7 x + 33 x +
57 Eulers bewijs (schets) ζ(x) = + x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 x + 7 x + x ζ(x) = x + 4 x + 6 x + 8 x + 0 x + x + ( ) x ζ(x) = + 3 x + 5 x + 7 x + 9 x + x + 3 x + ( 3 x ) x ζ(x) = 3 x + 9 x + 5 x + x + 7 x + 33 x + ( 3 ) ( x ) x ζ(x) = + 5 x + 7 x + x + 3 x + 7 x + 9 x +
58 Eulers bewijs (schets) ζ(x) = + x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 x + 7 x + x ζ(x) = x + 4 x + 6 x + 8 x + 0 x + x + ( ) x ζ(x) = + 3 x + 5 x + 7 x + 9 x + x + 3 x + ( 3 x ) x ζ(x) = 3 x + 9 x + 5 x + x + 7 x + 33 x + ( 3 ) ( x ) x ζ(x) = + 5 x + 7 x + x + 3 x + 7 x + 9 x + En zo voort!
59 Eulers bewijs (schets) eindresultaat:
60 Eulers bewijs (schets) eindresultaat: ( 7 ) ( x 5 ) ( x 3 ) ( x ) x ζ(x) =
61 Eulers bewijs (schets) eindresultaat: ( 7 ) ( x 5 ) ( x 3 ) ( x ) x ζ(x) = oftewel
62 Eulers bewijs (schets) eindresultaat: ( 7 ) ( x 5 ) ( x 3 ) ( x ) x ζ(x) = oftewel ζ(x) = x 3 x 5 x 7 x x
63 Riemanns onderzoek
64 Riemanns onderzoek Riemann ging bij zijn onderzoek uit van Eulers productformule.
65 Riemanns onderzoek Riemann ging bij zijn onderzoek uit van Eulers productformule. Hij breidde daarna Eulers zètafunctie ζ(x) (die Euler alleen maar gedefinieerd had voor reële x > ) uit tot een complexe functie ζ(z) die gedefinieerd en analytisch is voor alle complexe getallen z =.
66 Riemanns onderzoek Riemann ging bij zijn onderzoek uit van Eulers productformule. Hij breidde daarna Eulers zètafunctie ζ(x) (die Euler alleen maar gedefinieerd had voor reële x > ) uit tot een complexe functie ζ(z) die gedefinieerd en analytisch is voor alle complexe getallen z =. Daartoe leidde hij de volgende formidabele formule af: ζ( z) = z! ( πz ) (π) z+ sin ζ(z + )
67 Riemanns onderzoek Riemann ging bij zijn onderzoek uit van Eulers productformule. Hij breidde daarna Eulers zètafunctie ζ(x) (die Euler alleen maar gedefinieerd had voor reële x > ) uit tot een complexe functie ζ(z) die gedefinieerd en analytisch is voor alle complexe getallen z =. Daartoe leidde hij de volgende formidabele formule af: ζ( z) = z! ( πz ) (π) z+ sin ζ(z + ) Vervolgens vond hij een formule waarin de priemgetallen-telfunctie π(x) uitgedrukt wordt in de complexe nulpunten van deze zètafunctie.
68 De nulpunten van de zètafunctie
69 De nulpunten van de zètafunctie kritische strook y i x + y i triviale nulpunten pool i x kritische lijn
70 Een plot van ζ( + t i) Hoe is het gedrag van (de absolute waarde van) ζ(z) op de kritische lijn voor reële waarden van t? z = + t i
71 Een plot van ζ( + t i) Hoe is het gedrag van (de absolute waarde van) ζ(z) op de kritische lijn voor reële waarden van t? z = + t i Type in en varieer de grenzen van t: plot abs(zeta(.5 + t*i)), t = 0 to 40
72 De niettriviale nulpunten
73 De niettriviale nulpunten ± 4, 3475 i ±, 0040 i ± 5, i ± 30, i ± 3, i ± 37, i ± 40, 9870 i ± 43, i ± 48, i ± 49, i Links staan de eerste twee maal tien niettriviale nulpunten van de zètafunctie, waarbij het imaginaire deel is afgerond op 6 decimalen.
74 De niettriviale nulpunten ± 4, 3475 i ±, 0040 i ± 5, i ± 30, i ± 3, i ± 37, i ± 40, 9870 i ± 43, i ± 48, i ± 49, i Links staan de eerste twee maal tien niettriviale nulpunten van de zètafunctie, waarbij het imaginaire deel is afgerond op 6 decimalen. Ze liggen allemaal op de kritische lijn R(z) =.
75 De niettriviale nulpunten ± 4, 3475 i ±, 0040 i ± 5, i ± 30, i ± 3, i ± 37, i ± 40, 9870 i ± 43, i ± 48, i ± 49, i Links staan de eerste twee maal tien niettriviale nulpunten van de zètafunctie, waarbij het imaginaire deel is afgerond op 6 decimalen. Ze liggen allemaal op de kritische lijn R(z) =. Inmiddels is geverifieerd dat de eerste honderd miljard niettriviale nulpunten ook allemaal op de kritische lijn liggen.
76 De niettriviale nulpunten ± 4, 3475 i ±, 0040 i ± 5, i ± 30, i ± 3, i ± 37, i ± 40, 9870 i ± 43, i ± 48, i ± 49, i Links staan de eerste twee maal tien niettriviale nulpunten van de zètafunctie, waarbij het imaginaire deel is afgerond op 6 decimalen. Ze liggen allemaal op de kritische lijn R(z) =. Inmiddels is geverifieerd dat de eerste honderd miljard niettriviale nulpunten ook allemaal op de kritische lijn liggen. Maar er zijn oneindig veel niettriviale nulpunten, en de Riemann-hypothese is nog steeds niet bewezen.
77 Tot slot... Verder lezen:
78 Tot slot... Verder lezen: Roland van der Veen en Jan van de Craats, De Riemann-hypothese Een miljoenenprobleem, Epsilon Uitgaven 69, 0
79 Tot slot... Verder lezen: Roland van der Veen en Jan van de Craats, De Riemann-hypothese Een miljoenenprobleem, Epsilon Uitgaven 69, 0 John Derbyshire, Prime Obsession, Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, London, 003, ISBN
80 Tot slot... Verder lezen: Roland van der Veen en Jan van de Craats, De Riemann-hypothese Een miljoenenprobleem, Epsilon Uitgaven 69, 0 John Derbyshire, Prime Obsession, Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, London, 003, ISBN Marcus du Sautoy, The Music of the Primes, why an unsolved problem in mathematics matters, London, 003, ISBN
81 Tot slot... Verder lezen: Roland van der Veen en Jan van de Craats, De Riemann-hypothese Een miljoenenprobleem, Epsilon Uitgaven 69, 0 John Derbyshire, Prime Obsession, Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, London, 003, ISBN Marcus du Sautoy, The Music of the Primes, why an unsolved problem in mathematics matters, London, 003, ISBN
De Riemann-hypothese
De Riemann-hypothese Een miljoenenprobleem Jan van de Craats (UvA) NWD, 6 februari 200 De Riemann-hypothese De Riemann-hypothese Alle niettriviale nulpunten van de zètafunctie liggen op de kritieke lijn.
Nadere informatiePriemgetallen en het Riemannvermoeden
Priemgetallen en het Riemannvermoeden Frits Beukers Studium Generale Wageningen, 14 november 2007 Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 1 / 28 Priemgetallen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
Nadere informatieNulpunten op een lijn?
Nulpunten op een lijn? Jan van de Craats leadtekst Het belangrijkste open probleem in de wiskunde is het vermoeden van Riemann. Het is één van de millennium problems waarmee je een miljoen dollar kunt
Nadere informatieDe Riemann-hypothese
De Riemann-hypothese Lars van den Berg 3 september 202 Laat ik je gelijk enthousiast maken om dit stukje te lezen: wie de Riemannhypothese oplost wint een miljoen. Wel zijn er waarschijnlijk eenvoudigere
Nadere informatieOpen priemproblemen. Jan van de Craats
Open priemproblemen Jan van de Craats Misschien denk je dat over priemgetallen, de bouwstenen van het rekenen, wel zo ongeveer alles bekend is. Dat er op dat terrein geen onopgeloste vraagstukken meer
Nadere informatieCryptologie en de Riemann-hypothese
Cryptologie en de Riemann-hypothese Fragmenten uit de getaltheorie, met een belangrijke toepassing, plus een hypothese die ondanks 150 jaar zoekwerk (nog) niet bewezen is. Hovo-college Seniorenacademie
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen
Nadere informatieBestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatie4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1
Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-0 Reesen en Machtreesen Inhoud. Rijen 2. Reesen Definities en enmeren Reesen met niet-negatieve termen Reesen met positieve en negatieve termen 3. Machtreesen
Nadere informatieCover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20310 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Jansen, Bas Title: Mersenne primes and class field theory Date: 2012-12-18 Samenvatting
Nadere informatieHet wezen van de wiskunde
Het wezen van de wiskunde Adhemar Bultheel Dept. Computer Science, KU Leuven Gent, November 2016 http://nalag.cs.kuleuven.be/papers/ade/gent16 Adhemar Bultheel (KU leuven) het wezen van de wiskunde Gent
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 16 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline III.7 Applications of the Residue Theorem
Nadere informatieOpmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen
Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,
Nadere informatieHoofdstuk 20. Priemgetallen. 20.1 Het aantal priemgetallen < X
Hoofdstuk 20 Priemgetallen 20. Het aantal riemgetallen < X In Hoofdstuk 3 hebben we kennis gemaakt met de echt elementaire zaken rond riemgetallen zoals unieke riemontbinding en de oneindigheid van de
Nadere informatiePolynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Nadere informatieReflecties bij de invoering van TI-Nspire CAS op de Europese Scholen L.A.A. Blomme
Reflecties bij de invoering van TI-Nspire CAS op de Europese Scholen L.A.A. Blomme In 2010 is op de Europese Scholen het nieuwe wiskunde programma gestart. Een van de grote innovaties betreft het invoeren
Nadere informatie1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3
HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische
Nadere informatieDe betatocht naar roem en rijkdom
Charles Mathy Vincent van der Noort De betatocht naar roem en rijkdom Charles en Vincent zijn hun hele leven op zoek naar roem en rijkdom. Dit heeft ze beide geleid naar de studie wiskunde. Ze laten hier
Nadere informatieBijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica
Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien
Nadere informatieWorteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen
Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:
Nadere informatieTentamen Analyse 4. Maandag 16 juni 2008, uur
Tentamen Analyse 4 Maandag 16 juni 2008, 14-17 uur Vermeld uw naam (met voornaam en voorletters) en uw studentnummer. Er zijn geen hulpmiddelen toegestaan. Dit tentamen bestaat uit zes opgaven. Vergeet
Nadere informatieHet Bazel probleem: n=1. n 2 = π2
Het Bazel probleem: n 2 = π2 6 André Ran Het probleem Bepaal + 4 + 9 + 6 + 25 +. In moderne notatie n 2. Het probleem staat bekend onder de naam: Het Bazel probleem. De titel van de lezing geeft het antwoord,
Nadere informatie1. Toon aan dat de rij (e n := (1 + 1 n )n ) monotoon stijgend en naar boven begrensd is. Conclusie i.v.m. convergentie? 13. Toon aan dat er voor elk
Rijen en reeksen Oefeningen Wiskundige Analyse I 1. Toon aan dat de limiet van een convergente rij uniek is.. Toon aan dat elke deelrij van een convergente rij, convergeert naar dezelfde limiet als de
Nadere informatieOpgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste
Nadere informatie1. (a) Formuleer het Cauchy criterium voor de convergentie van een reeks
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 7 augustus 2015, 16:30 19:30 (20:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieCover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/887/25833 holds various files of this Leiden University dissertation Author: Palenstijn, Willem Jan Title: Radicals in Arithmetic Issue Date: 204-05-22 Samenvatting
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.
Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag
Nadere informatie10 ALGEMENE SINUSFUNCTIE
Algemene sinusfunctie Afstandsleren - verbetersleutel 61 10 ALGEMENE SINUSFUNCTIE 10.1 Astronomische daglengte Onder astronomische daglengte verstaan we de tijd die verloopt tussen zonsopgang en zonsondergang.
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
week 4.8, maandag Faculteit EWI TU Delft Delft, 6 juni, 2016 1 / 33 Outline 1 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz 2 2 / 33 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz Maximum-modulusprincipe Stelling
Nadere informatieDe nulpunten van Riemann
82 NAW 5/6 nr. 1 maart 2005 De nulpunten van Riemann Pieter Moree Pieter Moree Max-Planck-Institut für Mathematik Vivatsgasse 7 D-53111 Bonn, Duitsland moree@mpim-bonn.mpg.de Boekbespreking De nulpunten
Nadere informatieBewijs door inductie
Bewijs door inductie 1 Bewijs door inductie Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Als je wilt weten of iets waar is voor alle natuurlijke
Nadere informatieOntwikkeling van het functiebegrip in: Wiskunde als Wetenschap
Ontwikkeling van het functiebegrip in: Wiskunde als Wetenschap Tom Koornwinder thk@science.uva.nl Korteweg-de Vries Instituut, UvA Ontwikkeling van het functiebegrip p.1/13 Moderne definitie van een functie
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatie7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1
WIS7 1 7 Deelbaarheid 7.1 Deelbaarheid Deelbaarheid Voor geheeltallige d en n met d > 0 zeggen we dat d een deler is van n, en ook dat n deelbaar is door d, als n d een geheel getal is. Notatie: d\n k
Nadere informatieSpookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel
Spookgetallen Jan van de Craats en Janina Müttel leadtekst In de serie Open Problemen deze keer drie beroemde onopgeloste raadsels. Je kunt er geen miljoen dollar mee winnen, maar wel onsterfelijke roem.
Nadere informatieExamen Complexe Analyse (September 2008)
Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst
Nadere informatieOp weg naar de Riemann Hypothese
R.C. Pollé Op weg naar de Riemann Hypothese Doctoraalscriptie, verdedigd op 7 april 2006 Scriptiebegeleider: Dr. H. Finkelnberg Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 5
Nadere informatieUtrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics.
Utrecht, 25 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ [a, b] R, : [a, b] R Benader f door eenvoudige functies Voorbeelden eenvoudige
Nadere informatieOefeningen Wiskundige Analyse I
Oneigenlijke integralen Oefeningen Wiskundige Analyse I. Voor welke waarden van de reële parameters α en β is de oneigenlijke integraal x α ( + x β ) dx convergent? divergent? 2. Voor welke waarden van
Nadere informatie2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica
de Bachelor IR de Bachelor Fysica 6 augustus 05 Er worden 4 vragen gesteld. Vul op ieder blad je naam in. Motiveer of bewijs iedere uitspraak. Los alle vragen op, op een apart blad! Het examen duurt u30.
Nadere informatie16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i
16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =
Nadere informatieDefinitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)
Nadere informatieEen eenvoudig bewijs van
284 NAW 5/5 nr. 4 december 2004 Een eenvoudig bewijs van de priemgetalstelling Jaap Korevaar Jaap Korevaar KdV Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Plantage Muidergracht 24 08 V Amsterdam
Nadere informatie2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Nadere informatieHoeveel is oneindig minus oneindig?
Hoeveel is oneindig minus oneindig? Just because something is infinite, doesn t mean it s zero! (Pauli) Vakantiecursus 2012: De exacte benadering Jeroen Spandaw (e-mail: j.g.spandaw@tudelft.nl) September
Nadere informatieDoe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.
De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 3 oktober 2007.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Algemeen deel. Bij het vermenigvuldigen met van de ongelijkheid moet u rekening houden met twee gevallen, te weten > 0 en < 0 en u moet
Nadere informatie2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?
Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 38 Outline 1 Rekenregels 2 K. P. Hart TW2040: Complexe
Nadere informatieBespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd)
Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bekijk ook de bespreking van het examen van de eerste zittijd (op Toledo). Het valt hier op dat de scores op sommige vragen wel heel slecht zijn.
Nadere informatieWISKUNDE 5 PERIODEN DEEL B
EUROPEES BACCALAUREAAT 2012 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 3 september 2012, ochtend DUUR VAN HET EXAMEN : 3 uur (180 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Examen met technologisch hulpmiddel 1/5 NL VRAAG B1
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx
Nadere informatieGetallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Nadere informatieOneindig in Wiskunde & Informatica. Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft. Tom Verhoeff
Oneindig in Wiskunde & Informatica Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft Tom Verhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica http://www.win.tue.nl/~wstomv/
Nadere informatieANALYSEQUIZ Ga naar new.shakeq.com en log in met de code uvaanalyse2a
ANALYSEQUIZ 2016 Ga naar new.shakeq.com en log in met de code uvaanalyse2a WAAR OF ONWAAR: EEN SOM CONVERGEERT ALS DE TERMEN NAAR NUL GAAN. A. Waar B. Onwaar De vraag gaat open zodra u een sessie en diavoorstelling
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Nadere informatieComplexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010
Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010 Hier volgt een bespreking van het examen van Complexe Analyse op 18 juni. De bedoeling is je de mogelijkheid te geven na te kijken wat je goed en wat je minder
Nadere informatie2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Inleverdatum maandag 8 oktober 2017 voor het college Niet losse velletjes aan elkaar vast. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven.
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
5 bladzijde 9 ab f g h i j functie nr 5 Domein [ 0, 0, Bereik [ 0, [ 0, 0, c D k B k, 0 0, d Spiegelen in de -as geeft het tegengestelde bereik, dus, 0]. e u ( ) en yu ( ) u f D q, 0 0, ; B q 0, a [, b
Nadere informatie8. Differentiaal- en integraalrekening
Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,
Nadere informatieWiskundige beweringen en hun bewijzen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend
Nadere informatieUniversiteit Leiden, 2015 Wiskundewedstrijdtraining, week 14
Universiteit Leiden, 0 Wisundewedstrijdtraining, wee Wee : reesen Een rees is een speciaal soort rij, dus: den altijd eerst na over convergentie! bijzonder: monotone, begrensde rijen convergeren In het
Nadere informatieOpgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman
Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording, Augustus 2013. 1
Nadere informatieKettingbreuken Frits Beukers. Masterclass Kettingbreuken Utrecht, 14 en 15 oktober 2011
Kettingbreuken Frits Beukers Masterclass Kettingbreuken Utrecht, 4 en 5 oktober 20 INHOUDSOPGAVE Inhoudsopgave Inleiding 2 Wat is een kettingbreuk? 3 Eerste eigenschappen 3 4 Kettingbreuken van rationale
Nadere informatieVoorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan
Nadere informatieToegepaste Wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Correcties en aanvullingen (mei 2009) HBuitgevers, Baarn
Drs. J.H. Blankespoor Drs. C. de Joode ir. A. Sluijter Toegepaste Wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Correcties en aanvullingen (mei 009) HBuitgevers, Baarn TOEGEPASTE WISKUNDE DEEL Correcties
Nadere informatieUitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman
Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording,
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The
Nadere informatieThe limits of reason
If arithmetic is consistent then it is incomplete Studium Generale Utrecht, 6 april 2005 Wiskunde One of the finest creations of the human mind is mathematics, for not only is it the apotheosis of rational
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieGetaltheorie door de eeuwen heen. Jaap Top
Getaltheorie door de eeuwen heen Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 7 april 2009 (HOVO, Groningen) 1 In de biografie Gauss zum Gedächtnis (1862, door de Duitse geoloog Wolfgang Sartorius von Waltershausen)
Nadere informatie8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn
Nadere informatieJe moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Nadere informatieKettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
Nadere informatieComplexe functies. 2.1 Benadering door veeltermen
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, Les Complexe functies Nadat we de complexe getallen hebben leren kennen, is het een voor de hand liggende vraag of hiervoor net als voor de reële getallen ook functies
Nadere informatieHet is niet toegestaan om een formulekaart of rekenmachine te gebruiken. f(x) = 9x(x 1) en g(x) = 9x 5. Figuur 1: De grafieken van de functies f en g.
UNIVERSITEIT VAN AMSTERDAM FNWI Voorbeeld Toets Wiskunde A Het is niet toegestaan om een formulekaart of rekenmachine te gebruiken. 1. De twee functies f en g worden gegeven door f(x) = 9x(x 1) en g(x)
Nadere informatieeerste en laatste cijfers Jaap Top
eerste en laatste cijfers Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 3-10 april 2013 (Collegecarrousel, Groningen) 1 laatste, eerste?! over getallen 2,..., 101,..., 2014,...... laatste cijfers hiervan: 2,...,
Nadere informatieVoorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatie. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom
8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer
Nadere informatiepriemrecords? Jaap Top
priemrecords? Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 18-23 april 2013 (Collegecaroussel, Groningen) 1 priemrecords?! over priemgetallen 2, 3, 5, 7,..., 101,..., 2017,...... p priem: niet deelbaar door
Nadere informatieDe wortel uit min één. Jaap Top
De wortel uit min één Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 19 april 2011 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen
Nadere informatieAnalyse 1 Handout limieten en continuïteit
Analyse Handout ieten en continuïteit Rogier Bos Inhoudsopgave Limieten 2. Intuïtief ieten bepalen........................ 2.2 Rekenen aan ieten........................... 4.3 Limieten als spel.............................
Nadere informatie(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen!
Examen Wiskundige Basistechniek, reeks A 12 oktober 2013, 13:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven;
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde
1ste semester 23 januari 2007 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven zijn twee normen 1 en 2 op een vectorruimte V. Wanneer zegt men dat de 1 fijner is dan 2? Wat is dan het verband tussen convergentie
Nadere informatieDiophantische vergelijkingen
Diophantische vergelijkingen een onmogelijke uitdaging Frits Beukers Vakantiecursus 2010 Diophantische vergelijkingen Vakantiecursus 2010 1 / 34 Eerste voorbeeld Bedenk twee gehele getallen x en y zó dat
Nadere informatieDe wortel uit min één. Jaap Top
De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen
Nadere informatieRESERVE VRAGEN WISKUNDE 5 PERIODEN DEEL B
EUROPEES BACCALAUREAAT 2012 RESERVE VRAGEN WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 21 juni 2012, ochtend DUUR VAN HET EXAMEN : 3 uur (180 minute TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Examen met technologisch hulpmiddel 1/5 NL
Nadere informatieLeve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Leve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam W I N G O = W I S K U N D E - B I N G O W I N G O 17 15 π
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2
Nadere informatieVideoles Discrete dynamische modellen
Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatie== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u
== Hertentamen Analyse == Dinsdag 5 maart 8, 4-7u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille, O van Gaans) en je studierichting Geef niet alleen antwoorden, leg elke
Nadere informatie