Priemgetallen en het Riemannvermoeden
|
|
|
- Heidi Veerle van de Veen
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Priemgetallen en het Riemannvermoeden Frits Beukers Studium Generale Wageningen, 14 november 2007 Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 1 / 28
2 Priemgetallen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 109, 113, 127, 131, 137, 139, , 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227,... Priemgetallen Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 2 / 28
3 Vermoedens Vermoeden van Goldbach Elk even getal 4 kan geschreven worden als som van twee priemgetallen. Priemgetallen Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 3 / 28
4 Vermoedens Vermoeden van Goldbach Elk even getal 4 kan geschreven worden als som van twee priemgetallen. 100 = = = = = = Priemgetallen Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 3 / 28
5 Vermoedens Vermoeden van Goldbach Elk even getal 4 kan geschreven worden als som van twee priemgetallen. 100 = = = = = = Priemgetaltweeling vermoeden Er zijn oneindig veel paren n, n + 2 die beide priem zijn. Priemgetallen Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 3 / 28
6 Vermoedens Vermoeden van Goldbach Elk even getal 4 kan geschreven worden als som van twee priemgetallen. 100 = = = = = = Priemgetaltweeling vermoeden Er zijn oneindig veel paren n, n + 2 die beide priem zijn. (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (71, 73), (101, 103),... Priemgetallen Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 3 / 28
7 Priemgetallen tellen π(x) = aantal priemgetallen kleiner of gelijk x Priemgetallen Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 4 / 28
8 Priemgetallen tellen π(x) = aantal priemgetallen kleiner of gelijk x Priemgetallen Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 4 / 28
9 Benaderingen van π(x) x ln x Priemgetallen Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 5 / 28
10 Benaderingen van π(x) x ln x x ln x 1 Priemgetallen Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 5 / 28
11 Gauss Johann Carl Friedrich Gauss ( ) Priemgetallen Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 6 / 28
12 Gauss benadering Gauss: de dichtheid van de priemgetallen binnen de gehele getallen van de orde van grootte X is gelijk aan 1 ln X. Priemgetallen Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 7 / 28
13 Gauss benadering Gauss: de dichtheid van de priemgetallen binnen de gehele getallen van de orde van grootte X is gelijk aan 1 ln X. Hieruit zou volgen π(x) x 2 dt ln t We geven deze laatste integraal aan met li(x). Priemgetallen Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 7 / 28
14 Gauss benadering Gauss: de dichtheid van de priemgetallen binnen de gehele getallen van de orde van grootte X is gelijk aan 1 ln X. Hieruit zou volgen π(x) x 2 dt ln t We geven deze laatste integraal aan met li(x). De verwachting is dat op de lange duur li(x) de beste benadering geeft. Priemgetallen Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 7 / 28
15 Priemgetalstelling Hadamard, De la Vallée-Poussin, 1899 De verhouding van π(x) en gaat. x ln x gaat naar 1 als x naar oneindig Priemgetallen Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 8 / 28
16 Priemgetalstelling Hadamard, De la Vallée-Poussin, 1899 De verhouding van π(x) en gaat. Opmerkingen: x ln x gaat naar 1 als x naar oneindig Hetzelfde geldt voor de verhouding π(x)/li(x). Het bewijs gebruikt eigenschappen van de Riemann zeta-functie. Priemgetallen Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 8 / 28
17 De Riemann ζ-functie Neem een getal s > 1 en bekijk ζ(s) = 1 1 s s s + De zeta functie Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 9 / 28
18 De Riemann ζ-functie Neem een getal s > 1 en bekijk Bekende waarden: 1 (Euler) ζ(s) = 1 1 s s s + ζ(2) = = π2 6 ζ(4) = = π4 90 De zeta functie Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 9 / 28
19 De Riemann ζ-functie Neem een getal s > 1 en bekijk Bekende waarden: 1 (Euler) ζ(s) = 1 1 s s s + ζ(2) = = π2 6 ζ(4) = = π ζ(2k) = breuk π 2k voor alle positief gehele k (Euler). De zeta functie Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 9 / 28
20 De Riemann ζ-functie Neem een getal s > 1 en bekijk Bekende waarden: 1 (Euler) ζ(s) = 1 1 s s s + ζ(2) = = π2 6 ζ(4) = = π ζ(2k) = breuk π 2k voor alle positief gehele k (Euler). 3 Over ζ(3), ζ(5),... is vrijwel niets bekend. De irrationaliteit van ζ(3) werd pas in 1978 aangetoond ( A proof missed by Euler ). De zeta functie Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 9 / 28
21 Euler Leonhard Paul Euler ( ) De zeta functie Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 10 / 28
22 Verband met priemgetallen Euler product 1 1 s s s + = s s s De zeta functie Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 11 / 28
23 Verband met priemgetallen Euler product 1 1 s s s + = s s s Kort samengevat: ζ(s) = p priem 1 1 p s. De zeta functie Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 11 / 28
24 Bewijs Bewijs : s s s = s s s s s s s s s + De zeta functie Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 12 / 28
25 Bewijs Bewijs : s s s = s s s s s s s s s + = s s s s s + De zeta functie Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 12 / 28
26 Convergentie van de reeks Voor s = 1 hebben we ζ(1) = en deze divergeert, dwz heeft oneindige som. De zeta functie Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 13 / 28
27 Convergentie van de reeks Voor s = 1 hebben we ζ(1) = en deze divergeert, dwz heeft oneindige som. Immers: > = 1 2 De zeta functie Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 13 / 28
28 Convergentie van de reeks Voor s = 1 hebben we ζ(1) = en deze divergeert, dwz heeft oneindige som. Immers: > = > = 1 2 De zeta functie Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 13 / 28
29 Convergentie van de reeks Voor s = 1 hebben we ζ(1) = en deze divergeert, dwz heeft oneindige som. Immers: > = > = > = 1 2 De zeta functie Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 13 / 28
30 Convergentie van de reeks Voor s = 1 hebben we ζ(1) = en deze divergeert, dwz heeft oneindige som. Immers: > = > = > = 1 2 etcetera... De zeta functie Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 13 / 28
31 Oneindig veel priemgetallen Vullen we in het Euler product s = 1 in, dan krijgen we ζ(1) = ( ) 1 1 1/p p priem Als er eindig veel priemgetallen zouden zijn, dan krijgen we rechts een eindig getal als antwoord. Dat kan niet want ζ(1) =. De zeta functie Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 14 / 28
32 Oneindig veel priemgetallen Vullen we in het Euler product s = 1 in, dan krijgen we ζ(1) = ( ) 1 1 1/p p priem Als er eindig veel priemgetallen zouden zijn, dan krijgen we rechts een eindig getal als antwoord. Dat kan niet want ζ(1) =. Een variant: π 2 6 = ζ(2) = p priem ( 1 ) 1 1/p 2 De linkerzijde is irrationaal. Als er eindig veel priemgetallen zouden zijn, dan zou de rechterzijde rationaal (een breuk) zijn. Kan niet. De zeta functie Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 14 / 28
33 Riemann Georg Friedrich Bernhard Riemann ( ) Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (November 1859) Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 15 / 28
34 Riemann s ideeën 1 Bekijk ζ(s) ook voor complexe waarden van s. Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 16 / 28
35 Riemann s ideeën 1 Bekijk ζ(s) ook voor complexe waarden van s. 2 ζ(s) is analytisch voortzetbaar tot het gehele complexe vlak. Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 16 / 28
36 Riemann s ideeën 1 Bekijk ζ(s) ook voor complexe waarden van s. 2 ζ(s) is analytisch voortzetbaar tot het gehele complexe vlak. 3 De waarden van ζ(s) en ζ(1 s) staan in verband met elkaar (functionaalvergelijking). Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 16 / 28
37 Riemann s ideeën 1 Bekijk ζ(s) ook voor complexe waarden van s. 2 ζ(s) is analytisch voortzetbaar tot het gehele complexe vlak. 3 De waarden van ζ(s) en ζ(1 s) staan in verband met elkaar (functionaalvergelijking). 4 Het groeigedrag van de functie π(x) staat in direct verband met de locatie van de nulpunten van ζ(s) in de strook 0 < Re(s) < 1. Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 16 / 28
38 Complexe zeta-functie Complexe s-de macht van een positief getal a: a s = e s ln a. Ter herinnering: e x+iy = e x (cos y + i sin y). Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 17 / 28
39 Complexe zeta-functie Complexe s-de macht van een positief getal a: Ter herinnering: a s = e s ln a. e x+iy = e x (cos y + i sin y). De reeks 1 1 s s s s + convergeert voor alle complexe s met Re(s) > 1. Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 17 / 28
40 Voortzetting tot complexe vlak Riemann ontdekte dat ζ(s) op natuurlijke manier voort te zetten is tot het gehele complexe vlak, behalve s = 1. Daar heeft ζ(s) een pool (ihb ζ(1) = ). Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 18 / 28
41 Voortzetting tot complexe vlak Riemann ontdekte dat ζ(s) op natuurlijke manier voort te zetten is tot het gehele complexe vlak, behalve s = 1. Daar heeft ζ(s) een pool (ihb ζ(1) = ). Tevens is er een verband tussen ζ(s) en ζ(1 s), namelijk: π s/2 Γ(s/2)ζ(s) = π (s 1)/2 Γ((1 s)/2)ζ(1 s). Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 18 / 28
42 Voortzetting tot complexe vlak Riemann ontdekte dat ζ(s) op natuurlijke manier voort te zetten is tot het gehele complexe vlak, behalve s = 1. Daar heeft ζ(s) een pool (ihb ζ(1) = ). Tevens is er een verband tussen ζ(s) en ζ(1 s), namelijk: π s/2 Γ(s/2)ζ(s) = π (s 1)/2 Γ((1 s)/2)ζ(1 s). Voor de liefhebbers: Γ(n + 1) = n!. Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 18 / 28
43 De kritieke strook In Re(s) > 1 is ζ(s) bekend vanwege de somdefinitie. Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 19 / 28
44 De kritieke strook In Re(s) > 1 is ζ(s) bekend vanwege de somdefinitie. In Re(s) < 0 is ζ(s) bekend vanwege de functionaal-vergelijking. Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 19 / 28
45 De kritieke strook In Re(s) > 1 is ζ(s) bekend vanwege de somdefinitie. In Re(s) < 0 is ζ(s) bekend vanwege de functionaal-vergelijking. Blijft over: 0 Re(s) 1, de kritieke strook. Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 19 / 28
46 Nulpunten We hebben: ζ( 2) = ζ( 4) = ζ( 6) =... = 0. Dit is een gevolg van de functionaalvergelijking. Men noemt dit de triviale nulpunten. Alle andere nulpunten liggen in de kritieke strook (als ze bestaan). Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 20 / 28
47 Nulpunten We hebben: ζ( 2) = ζ( 4) = ζ( 6) =... = 0. Dit is een gevolg van de functionaalvergelijking. Men noemt dit de triviale nulpunten. Alle andere nulpunten liggen in de kritieke strook (als ze bestaan). Er zijn inderdaad niet-triviale nulpunten! Riemann ontdekte: ζ(1/ i) = 0 ζ(1/ i) = 0 ζ(1/ i) = 0... Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 20 / 28
48 Riemann vermoeden Riemann vermoeden Alle niet-triviale nulpunten van ζ(s) hebben reëel deel 1/2. Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 21 / 28
49 Riemann vermoeden Riemann vermoeden Alle niet-triviale nulpunten van ζ(s) hebben reëel deel 1/2. Riemann: Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien. Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 21 / 28
50 Riemann vermoeden Riemann vermoeden Alle niet-triviale nulpunten van ζ(s) hebben reëel deel 1/2. Riemann: Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien. De lijn van punten s met reëel deel 1/2 noemen we de kritieke lijn. Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 21 / 28
51 Grafieken Grafiek van ζ(1/2 + it) Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 22 / 28
52 Grafieken Grafiek van ζ(1/2 + it) Grafiek van ζ(0.6 + it) Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 22 / 28
53 Als Re(s)=1 Grafiek van ζ(1 + it) Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 23 / 28
54 Als Re(s)=1 Grafiek van ζ(1 + it) Voor het bewijs van de priemgetalstelling x π(x) ln(x) 1 is alleen nodig dat ζ(s) geen nulpunten heeft op de lijn met reële deel 1. Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 23 / 28
55 Als Re(s)=1 Grafiek van ζ(1 + it) Voor het bewijs van de priemgetalstelling x π(x) ln(x) 1 is alleen nodig dat ζ(s) geen nulpunten heeft op de lijn met reële deel 1. En dat is inderdaad het geval. Riemann s memoir Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 23 / 28
56 Resultaten Levinson Minstens 1/3 deel van de niet-triviale nulpunten ligt op de kritieke lijn. Motivatie/resultaten Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 24 / 28
57 Resultaten Levinson Minstens 1/3 deel van de niet-triviale nulpunten ligt op de kritieke lijn. Gourdon, DeMichel, 2004 De eerste nulpunten liggen op de kritieke lijn. Motivatie/resultaten Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 24 / 28
58 Resultaten Levinson Minstens 1/3 deel van de niet-triviale nulpunten ligt op de kritieke lijn. Gourdon, DeMichel, 2004 De eerste nulpunten liggen op de kritieke lijn. In 2000 werd het Riemannvermoeden één van de zeven Milennium Prize Problems. De beloning van 1 miljoen dollar voor een correcte oplossing werd uitgeloofd door het Clay Mathematics Institute. Motivatie/resultaten Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 24 / 28
59 Verschil tussen π(x) en li(x) x π(x) li(x) li(x) π(x) Motivatie/resultaten Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 25 / 28
60 Verschil tussen π(x) en li(x) x π(x) li(x) li(x) π(x) Als het Riemannvermoeden waar is, dan π(x) = li(x) + O( x ln x) Motivatie/resultaten Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 25 / 28
61 Verschil tussen π(x) en li(x) x π(x) li(x) li(x) π(x) Als het Riemannvermoeden waar is, dan π(x) = li(x) + O( x ln x) Omgekeerd, als de voorgaande gelijkheid waar is, dan is het Riemannvermoeden ook waar! Motivatie/resultaten Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 25 / 28
62 Liouville functie Nog merkwaardiger: Definieer de Liouville-functie λ(n) = 1 als n een even aantal priemfactoren heeft en λ(n) = 1 anders. Motivatie/resultaten Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 26 / 28
63 Liouville functie Nog merkwaardiger: Definieer de Liouville-functie λ(n) = 1 als n een even aantal priemfactoren heeft en λ(n) = 1 anders. n λ(n) Motivatie/resultaten Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 26 / 28
64 De som van Liouville-waarden Bekijk L(n) = λ(1) + λ(2) + λ(3) + + λ(n) Grafieken van L(n), Dan is het Riemannvermoeden equivalent met: λ(1) + λ(2) + λ(3) + + λ(n) = O( N). Motivatie/resultaten Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 27 / 28
65 Toch convergentie voor 0 < s < 1 De gewone reeks voor ζ(s) divergeert als s < 1. Motivatie/resultaten Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 28 / 28
66 Toch convergentie voor 0 < s < 1 De gewone reeks voor ζ(s) divergeert als s < 1. Door een trucje kunnen we toch convergentie voor 0 < s < 1 krijgen! ζ(s) = 1 1 s s s s + Motivatie/resultaten Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 28 / 28
67 Toch convergentie voor 0 < s < 1 De gewone reeks voor ζ(s) divergeert als s < 1. Door een trucje kunnen we toch convergentie voor 0 < s < 1 krijgen! ζ(s) = 1 1 s s s s s ζ(s) = 2 2 s s s + Motivatie/resultaten Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 28 / 28
68 Toch convergentie voor 0 < s < 1 De gewone reeks voor ζ(s) divergeert als s < 1. Door een trucje kunnen we toch convergentie voor 0 < s < 1 krijgen! ζ(s) = 1 1 s s s s + Verschil nemen: 2 2 s ζ(s) = 2 2 s s s + (1 2 1 s )ζ(s) = 1 1 s 1 2 s s 1 4 s + Motivatie/resultaten Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 28 / 28
69 Toch convergentie voor 0 < s < 1 De gewone reeks voor ζ(s) divergeert als s < 1. Door een trucje kunnen we toch convergentie voor 0 < s < 1 krijgen! ζ(s) = 1 1 s s s s + Verschil nemen: 2 2 s ζ(s) = 2 2 s s s + (1 2 1 s )ζ(s) = 1 1 s 1 2 s s 1 4 s + Deze alternerende reeks convergeert voor alle 0 < s < 1 en zelfs in de strook 0 < Re(s) 1. We krijgen ( 1 1 ζ(s) = s 1 s 1 2 s s 1 ) 4 s +. Motivatie/resultaten Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 28 / 28
De Riemann-hypothese
De Riemann-hypothese Een miljoenenprobleem Jan van de Craats (UvA) Leve de Wiskunde, UvA, april 04 De Riemann-hypothese De Riemann-hypothese Alle niettriviale nulpunten van de zètafunctie liggen op de
De Riemann-hypothese
De Riemann-hypothese Een miljoenenprobleem Jan van de Craats (UvA) NWD, 6 februari 200 De Riemann-hypothese De Riemann-hypothese Alle niettriviale nulpunten van de zètafunctie liggen op de kritieke lijn.
De Riemann-hypothese
De Riemann-hypothese Lars van den Berg 3 september 202 Laat ik je gelijk enthousiast maken om dit stukje te lezen: wie de Riemannhypothese oplost wint een miljoen. Wel zijn er waarschijnlijk eenvoudigere
Open priemproblemen. Jan van de Craats
Open priemproblemen Jan van de Craats Misschien denk je dat over priemgetallen, de bouwstenen van het rekenen, wel zo ongeveer alles bekend is. Dat er op dat terrein geen onopgeloste vraagstukken meer
Cryptologie en de Riemann-hypothese
Cryptologie en de Riemann-hypothese Fragmenten uit de getaltheorie, met een belangrijke toepassing, plus een hypothese die ondanks 150 jaar zoekwerk (nog) niet bewezen is. Hovo-college Seniorenacademie
Nulpunten op een lijn?
Nulpunten op een lijn? Jan van de Craats leadtekst Het belangrijkste open probleem in de wiskunde is het vermoeden van Riemann. Het is één van de millennium problems waarmee je een miljoen dollar kunt
Diophantische vergelijkingen
Diophantische vergelijkingen een onmogelijke uitdaging Frits Beukers Vakantiecursus 2010 Diophantische vergelijkingen Vakantiecursus 2010 1 / 34 Eerste voorbeeld Bedenk twee gehele getallen x en y zó dat
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 16 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline III.7 Applications of the Residue Theorem
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen
Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Het Bazel probleem: n=1. n 2 = π2
Het Bazel probleem: n 2 = π2 6 André Ran Het probleem Bepaal + 4 + 9 + 6 + 25 +. In moderne notatie n 2. Het probleem staat bekend onder de naam: Het Bazel probleem. De titel van de lezing geeft het antwoord,
Hoofdstuk 20. Priemgetallen. 20.1 Het aantal priemgetallen < X
Hoofdstuk 20 Priemgetallen 20. Het aantal riemgetallen < X In Hoofdstuk 3 hebben we kennis gemaakt met de echt elementaire zaken rond riemgetallen zoals unieke riemontbinding en de oneindigheid van de
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 38 Outline 1 Rekenregels 2 K. P. Hart TW2040: Complexe
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
7.1 Het aantal inverteerbare restklassen
Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo
Irrationaliteit en transcendentie
Hoofdstuk 9 Irrationaliteit en transcendentie 9. Irrationale getallen In dit hoofdstuk zullen we aannemen dat de lezer weet wat reële getallen zijn, hoewel dat misschien niet helemaal gerechtvaardigd is.
Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen
Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,
Examen Complexe Analyse (September 2008)
Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst
Bestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Overzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3
HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische
De nulpunten van Riemann
82 NAW 5/6 nr. 1 maart 2005 De nulpunten van Riemann Pieter Moree Pieter Moree Max-Planck-Institut für Mathematik Vivatsgasse 7 D-53111 Bonn, Duitsland [email protected] Boekbespreking De nulpunten
1 Kettingbreuken van rationale getallen
Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen
Utrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics.
Utrecht, 25 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ [a, b] R, : [a, b] R Benader f door eenvoudige functies Voorbeelden eenvoudige
Getaltheorie door de eeuwen heen. Jaap Top
Getaltheorie door de eeuwen heen Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT [email protected] 7 april 2009 (HOVO, Groningen) 1 In de biografie Gauss zum Gedächtnis (1862, door de Duitse geoloog Wolfgang Sartorius von Waltershausen)
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste
Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
Tentamen Analyse 4 (wi2602) 17 juni 2011, uur. ) (1 gratis)) Deel 2: opgaven 2b, 4ab, 5, 6 (normering: 2 + (
TU Delft Mekelweg 4 Faculteit EWI, DIAM 68 CD Delft Tentamen Analyse 4 (wi6) 7 juni, 4-7 uur Het tentamen bestaat uit twee delen: Deel : opgaven, a, 3ab, 4c (normering: + + ( + ) + + ( gratis)) Deel :
OEFENOPGAVEN OVER REEKSEN
OEFENOPGAVEN OVER REEKSEN Opgave. Bereen n=0 ( 3 n + 6n 7 n ) (antwoord 0). Opgave. Ga voor de volgende reesen na of ze convergent of divergent zijn: a) (convergent); (ln ) b) c) d) e) f) g) h) 5 5 3 +
7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1
WIS7 1 7 Deelbaarheid 7.1 Deelbaarheid Deelbaarheid Voor geheeltallige d en n met d > 0 zeggen we dat d een deler is van n, en ook dat n deelbaar is door d, als n d een geheel getal is. Notatie: d\n k
TW2040: Complexe Functietheorie
week 4.8, maandag Faculteit EWI TU Delft Delft, 6 juni, 2016 1 / 33 Outline 1 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz 2 2 / 33 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz Maximum-modulusprincipe Stelling
1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk
Spookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel
Spookgetallen Jan van de Craats en Janina Müttel leadtekst In de serie Open Problemen deze keer drie beroemde onopgeloste raadsels. Je kunt er geen miljoen dollar mee winnen, maar wel onsterfelijke roem.
VI.2 Reeksen met positieve termen
VI.2 Reeksen met positieve termen In deze paragraaf kiken we naar reeksen =0 a met a 0 voor alle N. Merk op dat in dit geval voor de ri van partiële sommen s n = n =0 a met n 0, geldt dat s 0 s s 2...
Universiteit Leiden, 2015 Wiskundewedstrijdtraining, week 14
Universiteit Leiden, 0 Wisundewedstrijdtraining, wee Wee : reesen Een rees is een speciaal soort rij, dus: den altijd eerst na over convergentie! bijzonder: monotone, begrensde rijen convergeren In het
Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen
Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk
Uitwerkingen van de opgaven uit Pi
Uitwerkingen van de opgaven uit Pi Frits Beukers January 3, 2006 Opgave 2.3. Bedoeling van deze opgave is dat we alleen een schatting geven op grond van de gevonden tabel. Er worden geen bewijzen of precieze
Ontwikkeling van het functiebegrip in: Wiskunde als Wetenschap
Ontwikkeling van het functiebegrip in: Wiskunde als Wetenschap Tom Koornwinder [email protected] Korteweg-de Vries Instituut, UvA Ontwikkeling van het functiebegrip p.1/13 Moderne definitie van een functie
4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1
Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-0 Reesen en Machtreesen Inhoud. Rijen 2. Reesen Definities en enmeren Reesen met niet-negatieve termen Reesen met positieve en negatieve termen 3. Machtreesen
2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
![8.1 Rekenen met complexe getallen [1]](/thumbs/57/40136599.jpg "8.1 Rekenen met complexe getallen [1]")
8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn
1. Toon aan dat de rij (e n := (1 + 1 n )n ) monotoon stijgend en naar boven begrensd is. Conclusie i.v.m. convergentie? 13. Toon aan dat er voor elk
Rijen en reeksen Oefeningen Wiskundige Analyse I 1. Toon aan dat de limiet van een convergente rij uniek is.. Toon aan dat elke deelrij van een convergente rij, convergeert naar dezelfde limiet als de
Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden
![10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden](/thumbs/91/105289633.jpg "10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden")
10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn
Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 10 januari 2008
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 007-008 ste semester 0 januari 008 Analyse I. Bewijs de stelling van Bolzano-Weierstrass: elke oneindige begrensde deelverzameling van R heeft minstens
Complexe functies 2019
Complexe functies 019 Extra opgaves Opgave A Laat zien dat R voorzien van de bewerkingen a + b := (a 1 +b 1,a +b ) a b := (a 1 b 1 a b,a 1 b +a b 1 ) isomorf is met C. Wat is i in deze representatie? Opgave
Proefexemplaar. Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas. Dirk Vandamme. bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door. Cartoons.
bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas Cartoons Dirk Vandamme Leerboek Getallen ISBN: 78 0 4860 48 8 Kon. Bib.: D/00/047/4 Bestelnr.: 4 0 000
Kettingbreuken Frits Beukers. Masterclass Kettingbreuken Utrecht, 14 en 15 oktober 2011
Kettingbreuken Frits Beukers Masterclass Kettingbreuken Utrecht, 4 en 5 oktober 20 INHOUDSOPGAVE Inhoudsopgave Inleiding 2 Wat is een kettingbreuk? 3 Eerste eigenschappen 3 4 Kettingbreuken van rationale
PARADOXEN 4 Dr. Luc Gheysens
PARADOXEN 4 Dr Luc Gheysens DE COMPLEXE WERELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN Hstorsche nota Omstreeks 500 werden n Italë wedstrjden georganseerd voor het oplossen van derdegraadsvergeljkngen Nccolo Fontana
Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter [email protected]. 9 februari 2009 BEWIJZEN
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter [email protected] 9 februari 2009 BEWIJZEN Discrete Structuren Week1 : Bewijzen Onderwerpen Puzzels
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op ,
1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op 25-11-1998, 9.00-12.00 uur Opgave 1 1. Formuleer de Cauchy-Riemann-vergelijkingen.
Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)
Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen
Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.
Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag
Complexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur
Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Groep (omcirkel): (Leids) studentnummer: A (Keijzer)
Oefeningen Wiskundige Analyse I
Oneigenlijke integralen Oefeningen Wiskundige Analyse I. Voor welke waarden van de reële parameters α en β is de oneigenlijke integraal x α ( + x β ) dx convergent? divergent? 2. Voor welke waarden van
6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm
5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm x y + xy + (x ν )y = met ν R (1) heet een Bessel (differentiaal)vergelijking. De waarde van ν noemt men ook wel de orde
Afdeling Wiskunde. Onderwijs. Onderzoek
Wiskunde nu Afdeling Wiskunde Onderwijs Onderzoek Afdeling Wiskunde In recente jaren aanzienlijk uitgebreid en verjongd Nu ± 25 vaste medewerkers en postdocs, ook aanzienlijk aantal deeltijd hoogleraren
1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen
46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:
Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4501CALC1Y donderdag 20 oktober 2016; 13:30-15:30 uur
Toets 3 Calculus voor MST, 450CALCY donderdag 20 oktober 206; 3:30-5:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Volgt de lessen bij: (Leids) studentnummer: A (Keijzer)
(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1
Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Complexe functies. 2.1 Benadering door veeltermen
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, Les Complexe functies Nadat we de complexe getallen hebben leren kennen, is het een voor de hand liggende vraag of hiervoor net als voor de reële getallen ook functies
Oneindig in Wiskunde & Informatica. Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft. Tom Verhoeff
Oneindig in Wiskunde & Informatica Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft Tom Verhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica http://www.win.tue.nl/~wstomv/
1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Hoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie
Hoofdstuk : Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie.. Tweepunts randwaardeproblemen. Bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van scheiden van variabelen
Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd)
Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bekijk ook de bespreking van het examen van de eerste zittijd (op Toledo). Het valt hier op dat de scores op sommige vragen wel heel slecht zijn.
Het getal π. Frits Beukers. Kaleidoscoop, 19 Okt Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt / 36
Het getal π Frits Beukers Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 1 / 36 π-koe Inleiding Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 2 / 36 π-cologne Inleiding Het getal π Kaleidoscoop,
OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π
OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn
Wiskunde: Voortgezette Analyse
de Bach. IR Wet.: Architectuur Academiejaar 0-04 ste zittijd, januari 04 Wiskunde: Voortgezette Analyse. Gegeven is de reeks n x (x + ) n+ Toon aan dat de reeks puntsgewijs convergeert over R. Toon aan
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.
Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk
2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica
de Bachelor IR de Bachelor Fysica 6 augustus 05 Er worden 4 vragen gesteld. Vul op ieder blad je naam in. Motiveer of bewijs iedere uitspraak. Los alle vragen op, op een apart blad! Het examen duurt u30.
ax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NPB 8 januari 3, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
12. Uitwerkingen van de opgaven
12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);
Primair- & Voortgezet. Onderwijs. Spelend & onderzoekend de schoonheid van getallen ontdekken
Primair- & Voortgezet Onderwijs Spelend & onderzoekend de schoonheid van getallen ontdekken Copyright 09 Introductie Achtergrond & visie (reken- en wiskunde onderwijs) Het spel RESOLF is geboren vanuit
Signalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: [email protected] 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex
(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1
Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Combinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in
. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom
8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer
Combinatoriek groep 2
Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een
priemgetallen en verzamelingen Jaap Top
priemgetallen en verzamelingen Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT [email protected] 21 april 2009 (Collegecaroussel, Groningen) 1 In de biografie Gauss zum Gedächtnis (1862, door de Duitse geoloog Wolfgang Sartorius