The limits of reason
|
|
|
- Anna de Wilde
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 If arithmetic is consistent then it is incomplete Studium Generale Utrecht, 6 april 2005
2 Wiskunde One of the finest creations of the human mind is mathematics, for not only is it the apotheosis of rational thought, but is also the spine that renders scientific speculation sufficiently to confront experience.
3 Wiskunde One of the finest creations of the human mind is mathematics, for not only is it the apotheosis of rational thought, but is also the spine that renders scientific speculation sufficiently to confront experience. L avancement et la perfection des mathématiques sont intimement liés à la prospérité de l État.
4 Wiskunde Wiskunde is... een voortdurende worsteling met het begrip oneindig
5 Oneindige reeksen Newton en Leibniz ontdekten al dat oneindige reeksen essentieel zijn.
6 Oneindige reeksen Voorbeelden:
7 Oneindige reeksen Voorbeelden: e =
8 Oneindige reeksen Voorbeelden: e = π 4 =
9 Oneindige reeksen Voorbeelden: e = π 4 = π 2 3 =
10 Oneindige reeksen ln 2 =
11 Oneindige reeksen ln 2 = We veranderen de sommatievolgorde:
12 Oneindige reeksen ln 2 = We veranderen de sommatievolgorde: =
13 Oneindige reeksen ln 2 = We veranderen de sommatievolgorde: = =
14 Oneindige reeksen ln 2 = We veranderen de sommatievolgorde: = = 1 2 = ( ) 5.
15 Oneindige reeksen Nog een variatie:
16 Oneindige reeksen Nog een variatie: = 0
17 Fouriertheorie Joseph Fourier ( ) in Théorie analytique de la chaleur: Elke periodieke functie is (oneindige) som van sinussen en cosinussen.
18 Voorbeeld van een Fouriersom
19 Voorbeeld van een Fouriersom 8 π 2 cos x
20 Voorbeeld van een Fouriersom 8 π 2 ( ) cos x + cos 3x 9
21 Voorbeeld van een Fouriersom 8 π 2 ( cos x + cos 3x 9 + ) cos 5x 25
22 Voorbeeld van een Fouriersom 8 ( cos 3x π 2 cos x cos 5x 25 + cos 7x 49 ) +
23 Een exotische Fourier som Weierstrass legde rond 1872 een heel bijzondere Fourier reeks voor: sin x + sin 4x 2 + sin 42 x sin 43 x 2 3 +
24 Een exotische Fourier som Weierstrass legde rond 1872 een heel bijzondere Fourier reeks voor: sin x + sin 4x 2 + sin 42 x sin 43 x 2 3 +
25 Een exotische Fourier som Weierstrass legde rond 1872 een heel bijzondere Fourier reeks voor: sin x + sin 4x 2 + sin 42 x sin 43 x 2 3 +
26 Een exotische Fourier som Weierstrass legde rond 1872 een heel bijzondere Fourier reeks voor: sin x + sin 4x 2 + sin 42 x sin 43 x 2 3 +
27 Een exotische Fourier som Weierstrass legde rond 1872 een heel bijzondere Fourier reeks voor: sin x + sin 4x 2 + sin 42 x sin 43 x 2 3 +
28 Een exotische Fourier som Weierstrass legde rond 1872 een heel bijzondere Fourier reeks voor: sin x + sin 4x 2 + sin 42 x sin 43 x 2 3 +
29 Herbezinning Wat is continuïteit?
30 Herbezinning Wat is continuïteit? Wat is een limiet?
31 Herbezinning Wat is continuïteit? Wat is een limiet? Wat is een reëel getal?
32 Herbezinning Wat is continuïteit? Wat is een limiet? Wat is een reëel getal? Wat is een getal?
33 Herbezinning Wat is continuïteit? Wat is een limiet? Wat is een reëel getal? Wat is een getal? Continuiteit en limiet werden rond geformuleerd door Cauchy en Weierstrass. De eerste axioma s van de reële getallen werden door R.Dedekind geformuleerd in 1879, de axioma s van de gehele getallen in 1889 door G.Peano.
34 Verzamelingen Georg Cantor ( ): Oneindige verzamelingen bestaan en we moeten ermee zien om te gaan.
35 Verzamelingen Georg Cantor ( ): Oneindige verzamelingen bestaan en we moeten ermee zien om te gaan. Potentieel oneindige: We kunnen nooit een oneindige verzameling aanschouwen, maar we kunnen wel willekeurig grote verzamelingen bekijken. Actueel oneindige: Oneindige verzamelingen bestaan als één geheel en we kunnen er gewoon mee werken.
36 Gelijkmachtigheid We noemen twee verzamelingen gelijkmachtig als er 1-1-verband tussen hun elementen kan worden aangegeven.
37 Gelijkmachtigheid We noemen twee verzamelingen gelijkmachtig als er 1-1-verband tussen hun elementen kan worden aangegeven. De gehele getallen zijn gelijkmachtig met de even getallen als volgt: = = = = 8. Oneindige verzamelingen kunnen gelijkmachtig zijn met een deelverzameling..
38 Verzamelingen getallen Beschouw: 1. De positieve gehele getallen 2. De positieve breuken 3. De positieve reële getallen Zijn deze verzamelingen gelijkmachtig?
39 (Over)aftelbaarheid De breuken zijn aftelbaar: 1 1
40 (Over)aftelbaarheid De breuken zijn aftelbaar:
41 (Over)aftelbaarheid De breuken zijn aftelbaar:
42 (Over)aftelbaarheid De breuken zijn aftelbaar:
43 (Over)aftelbaarheid De breuken zijn aftelbaar: etcetera 4 1
44 (Over)aftelbaarheid De reële getallen zijn niet aftelbaar
45 (Over)aftelbaarheid De reële getallen zijn niet aftelbaar
46 (Over)aftelbaarheid De reële getallen zijn niet aftelbaar Nieuw getal: 0.2
47 (Over)aftelbaarheid De reële getallen zijn niet aftelbaar Nieuw getal:
48 (Over)aftelbaarheid De reële getallen zijn niet aftelbaar Nieuw getal: 0.254
49 (Over)aftelbaarheid De reële getallen zijn niet aftelbaar Nieuw getal:
50 (Over)aftelbaarheid De reële getallen zijn niet aftelbaar Nieuw getal:
51 Lijn en vlak De reële getallen tussen 0 en 1 zijn gelijkmachtig met de punten in het eenheidsvierkant als volgt.
52 Lijn en vlak De reële getallen tussen 0 en 1 zijn gelijkmachtig met de punten in het eenheidsvierkant als volgt
53 Lijn en vlak De reële getallen tussen 0 en 1 zijn gelijkmachtig met de punten in het eenheidsvierkant als volgt
54 Lijn en vlak De reële getallen tussen 0 en 1 zijn gelijkmachtig met de punten in het eenheidsvierkant als volgt ( , )
55 Vlakvullende krommen De toekenning getal punt in vierkant kan zelfs continu gekozen worden. We krijgen een vlakvullende kromme. Voorbeeld, de kromme van Hilbert.
56 Axioma s van Peano In Arithmetices principia, nova methodo exposita (1889) legt Giuseppe Peano ( ) de axioma s van de natuurlijke (=positief gehele) getallen vast.
57 Axioma s van Peano In Arithmetices principia, nova methodo exposita (1889) legt Giuseppe Peano ( ) de axioma s van de natuurlijke (=positief gehele) getallen vast. De natuurlijke getallen N vormen de verzameling waarin ieder element a een opvolger a + heeft met de volgende eigenschappen: 1. Er is een element dat van geen enkel natuurlijk getal de opvolger is. We noemen dit Als a + = b + dan geldt ook a = b. 3. (Principe van volledige inductie) Een verzameling natuurlijke getallen met de eigenschap dat ze 1 bevat en dat ze naast elk element ook zijn opvolger bevat is automatisch N zelf.
58 De rekenkunde Nu we de axioma s hebben kunnen we verdere begrippen definiëren. Bijvoorbeeld optelling en vermenigvuldiging. Optelling: aan elk paar natuurlijke getallen a, b kennen we een getal a + b (= b + a) toe zó dat 1. Voor elke a geldt a + 1 = a + 2. Voor alle a, b geldt a + b + = (a + b) +. Vermenigvuldiging: aan elk paar natuurlijke getallen a, b kennen we een getal a b (=b a) toe zó dat 1. Voor elke a geldt a 1 = a 2. Voor alle a, b geldt a b + = a b + a
59 De rekenkunde We kunnen nu eigenschappen van optelling en vermenigvuldiging afleiden, zoals de associatieve eigenschap. Kies a, b. Te bewijzen: voor elk natuurlijk getal c geldt a + (b + c) = (a + b) + c.
60 De rekenkunde We kunnen nu eigenschappen van optelling en vermenigvuldiging afleiden, zoals de associatieve eigenschap. Kies a, b. Te bewijzen: voor elk natuurlijk getal c geldt a + (b + c) = (a + b) + c. Bewijs: We gebruiken volledige inductie. a + (b + 1) = a + b + = (a + b) + = (a + b) + 1.
61 De rekenkunde We kunnen nu eigenschappen van optelling en vermenigvuldiging afleiden, zoals de associatieve eigenschap. Kies a, b. Te bewijzen: voor elk natuurlijk getal c geldt a + (b + c) = (a + b) + c. Bewijs: We gebruiken volledige inductie. a + (b + 1) = a + b + = (a + b) + = (a + b) + 1. Stel dat we een getal c hebben die aan onze bewering voldoet (inductie hypothese). Dan voldoet c + er ook aan (inductiestap). Immers, a + (b + c + ) = a + (b + c) + = (a + (b + c)) + = ((a + b) + c) + = (a + b) + c +
62 Getaltheorie We kunnen verdergaan met het invoeren van begrippen. Zoals deelbaarheid en priemgetal. Definitie: Een getal 1 dat alleen zichzelf en 1 als deler heeft, heet een priemgetal.
63 Getaltheorie We kunnen verdergaan met het invoeren van begrippen. Zoals deelbaarheid en priemgetal. Definitie: Een getal 1 dat alleen zichzelf en 1 als deler heeft, heet een priemgetal. Stelling: Elk natuurlijk getal is, op volgorde van factoren na, op precies één manier te schrijven als product van priemgetallen.
64 Getaltheorie We kunnen verdergaan met het invoeren van begrippen. Zoals deelbaarheid en priemgetal. Definitie: Een getal 1 dat alleen zichzelf en 1 als deler heeft, heet een priemgetal. Stelling: Elk natuurlijk getal is, op volgorde van factoren na, op precies één manier te schrijven als product van priemgetallen. Stelling: Er zijn oneindig veel priemgetallen.
65 Getaltheorie We kunnen verdergaan met het invoeren van begrippen. Zoals deelbaarheid en priemgetal. Definitie: Een getal 1 dat alleen zichzelf en 1 als deler heeft, heet een priemgetal. Stelling: Elk natuurlijk getal is, op volgorde van factoren na, op precies één manier te schrijven als product van priemgetallen. Stelling: Er zijn oneindig veel priemgetallen. Vraag: Zijn er oneindig veel priemtweelingen (zoals 11, 13, 17, 19, 41, 43, 71, 73 etc)?
66 Getaltheorie We kunnen verdergaan met het invoeren van begrippen. Zoals deelbaarheid en priemgetal. Definitie: Een getal 1 dat alleen zichzelf en 1 als deler heeft, heet een priemgetal. Stelling: Elk natuurlijk getal is, op volgorde van factoren na, op precies één manier te schrijven als product van priemgetallen. Stelling: Er zijn oneindig veel priemgetallen. Vraag: Zijn er oneindig veel priemtweelingen (zoals 11, 13, 17, 19, 41, 43, 71, 73 etc)? Vraag (Goldbach vermoeden): Is elk even getal > 4 te schrijven als som van twee priemgetallen?
67 Getaltheorie We kunnen verdergaan met het invoeren van begrippen. Zoals deelbaarheid en priemgetal. Definitie: Een getal 1 dat alleen zichzelf en 1 als deler heeft, heet een priemgetal. Stelling: Elk natuurlijk getal is, op volgorde van factoren na, op precies één manier te schrijven als product van priemgetallen. Stelling: Er zijn oneindig veel priemgetallen. Vraag: Zijn er oneindig veel priemtweelingen (zoals 11, 13, 17, 19, 41, 43, 71, 73 etc)? Vraag (Goldbach vermoeden): Is elk even getal > 4 te schrijven als som van twee priemgetallen? Vraag: Zijn de Peano axioma s consistent?
68 Bijna Goldbach Chen, Jing-run (1966): Elk even getal > 4 is te schrijven als som van een priemgetal en een getal dat uit hooguit twee priemfactoren bestaat.
69 Bijna Goldbach Chen, Jing-run (1966): Elk even getal > 4 is te schrijven als som van een priemgetal en een getal dat uit hooguit twee priemfactoren bestaat. Ivan Vinogradov (1939): Elk voldoende groot oneven getal is te schrijven als som van drie priemgetallen.
70 Hilbert problemen In 1900, tijdens het Internationale Mathematisch Congres in Parijs, formuleerde David Hilbert ( ) 23 wiskundige problemen die de 20e eeuwse wiskunde zouden kunnen bezighouden. We citeren twee van deze problemen.
71 Hilbert problemen In 1900, tijdens het Internationale Mathematisch Congres in Parijs, formuleerde David Hilbert ( ) 23 wiskundige problemen die de 20e eeuwse wiskunde zouden kunnen bezighouden. We citeren twee van deze problemen. 1. Bewijs de Continuum Hypothese. Dat wil zeggen, elke deelverzameling van de reële getallen is ofwel aftelbaar, ofwel gelijkmachtig met de reële getallen zelf.
72 Hilbert problemen In 1900, tijdens het Internationale Mathematisch Congres in Parijs, formuleerde David Hilbert ( ) 23 wiskundige problemen die de 20e eeuwse wiskunde zouden kunnen bezighouden. We citeren twee van deze problemen. 1. Bewijs de Continuum Hypothese. Dat wil zeggen, elke deelverzameling van de reële getallen is ofwel aftelbaar, ofwel gelijkmachtig met de reële getallen zelf. 2. Bewijs dat de rekenkunde consistent is.
73 Hilbert s motto Uit Naturerkennen und Logik, Für den Mathematiker gibt es kein Ignorabimus, und meiner Meinung nach auch für die Naturwissenschaft überhaupt nicht. Einst sagte der Philosoph Comte - in der Absicht, ein gewiss unlösbares Problem zu nennen-, dass es der Wissenschaft nie gelingen würde das Geheimniss der chemischen Zusammensetzung der Himmelskörper zu ergründen. Wenige Jahre später wurde durch die Spectralanalyse von Kirchhoff und Bunsen dieses Problem gelöst, [...] Der wahre Grund, warum es Comte nicht gelang, ein unlösbares Problem zu finden, besteht meiner Meinung nach darin, dass es ein unlösbares Problem überhaupt nicht gibt. Statt des törichten Ignorabimus heisse im Gegenteil unsere Losung: Wir müssen wissen, Wir werden wissen.
74 Gödel onvolledigheid Rond 1930 toonde Kurt Gödel ( ) de volgende twee spectaculaire stellingen aan.
75 Gödel onvolledigheid Rond 1930 toonde Kurt Gödel ( ) de volgende twee spectaculaire stellingen aan. 1. Binnen ieder consistent wiskundig systeem dat de Peano axioma s omvat zijn er uitspraken die binnen dit systeem noch bewijsbaar noch weerlegbaar zijn.
76 Gödel onvolledigheid Rond 1930 toonde Kurt Gödel ( ) de volgende twee spectaculaire stellingen aan. 1. Binnen ieder consistent wiskundig systeem dat de Peano axioma s omvat zijn er uitspraken die binnen dit systeem noch bewijsbaar noch weerlegbaar zijn. 2. Van een consistent wiskundig systeem dat de Peano axioma s omvat is de consistentie binnen dit systeem niet aan te tonen.
77 Continuum hypothese Paul Cohen ( ) bewees in 1963 dat, uitgaande van de axioma s van de verzamelingenleer en de consistentie daarvan, de Continuum Hypothese noch bewezen, noch weerlegd kan worden.
78 De hydra
79 De hydra
80 De hydra
81 De hydra
82 De hydra
83 De hydra
84 De hydra
85 De hydra Deze hydra sterft pas na slagen.
86 De hydra Deze hydra sterft pas na slagen. Stelling: Elke hydra sterft uiteindelijk.
87 De hydra Deze hydra sterft pas na slagen. Stelling: Elke hydra sterft uiteindelijk. Stelling (Paris-Kirby, 1982). De vorige stelling is niet bewijsbaar binnen de Peano arithmetiek.
Het probleem van Hilbert
René Pannekoek Imperial College (Londen) 31 januari 2014 Motto Leopold Kronecker (1823-1891) Motto Leopold Kronecker (1823-1891): Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
Hoe Gödel de wiskunde liet schrikken
p. 1/1 Hoe Gödel de wiskunde liet schrikken Stefaan Vaes CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE K.U.Leuven C.N.R.S. Paris p. 2/1 De leugenaarsparadox Ik ben aan het liegen p. 2/1 De leugenaarsparadox
Gödels Onvolledigheidsstellingen
Gödels Onvolledigheidsstellingen Jaap van Oosten Department Wiskunde, Universiteit Utrecht Symposium A-eskwadraat, 11 december 2014 De Onvolledigheidsstellingen van Gödel zijn verreweg de beroemdste resultaten
Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.
Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Priemgetallen en het Riemannvermoeden
Priemgetallen en het Riemannvermoeden Frits Beukers Studium Generale Wageningen, 14 november 2007 Priemgetallen en het Riemannvermoeden Studium Generale 1 / 28 Priemgetallen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π
OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn
Oneindig in Wiskunde & Informatica. Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft. Tom Verhoeff
Oneindig in Wiskunde & Informatica Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft Tom Verhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica http://www.win.tue.nl/~wstomv/
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Prof. dr. H.W. Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Faculteit der Wiskunde en Natuurwetenschappen met dank aan Jan van Maanen en Pauline Vos
Werken met getallen (en verzamelingen en oneindigheid) Prof. dr. H.W. Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Faculteit der Wiskunde en Natuurwetenschappen met dank aan Jan van Maanen en Pauline Vos
Ter Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Diophantische vergelijkingen
Diophantische vergelijkingen een onmogelijke uitdaging Frits Beukers Vakantiecursus 2010 Diophantische vergelijkingen Vakantiecursus 2010 1 / 34 Eerste voorbeeld Bedenk twee gehele getallen x en y zó dat
Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen
Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3
Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3 Koen Rutten, Aris van Dijk 30 mei 2007 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 2 1.1 Definitie................................ 2 1.2 Eigenschappen............................
Bewijs door inductie
Bewijs door inductie 1 Bewijs door inductie Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Als je wilt weten of iets waar is voor alle natuurlijke
1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen
46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Irrationaliteit en transcendentie
Hoofdstuk 9 Irrationaliteit en transcendentie 9. Irrationale getallen In dit hoofdstuk zullen we aannemen dat de lezer weet wat reële getallen zijn, hoewel dat misschien niet helemaal gerechtvaardigd is.
Enkele valkuilen om te vermijden
Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige
III.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Hilberts panoramisch uitzicht op de wiskunde: verscheidenheid en unificatie. Karim Zahidi
Hilberts panoramisch uitzicht op de wiskunde: verscheidenheid en unificatie Overzicht Inleiding 1 Inleiding 2 3 4 5 Biografische schets 1862: geboorte te Köningsberg 1880-1885: studeert aan de universiteit
Analyse met infinitesimalen
Analyse met infinitesimalen Hans Vernaeve Universiteit Gent (Hans Vernaeve) 1 / 15 Infinitesimalen in de 17de en 18de eeuw Infinitesimalen = oneindig kleine getallen. Fysisch hulpmiddel om eigenschappen
Rekenen en Redeneren met Oneindig
Rekenen en Redeneren met Oneindig Jeroen Spandaw Faculteit EWI, Technische Wiskunde 12 februari 2016 1 Wat is oneindig en wat kun je ermee? 2 Logica: Bewijzen over bewijzen Als je iets wiskundigs bewijst,
Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige
VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN
I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend
Wiskundige Structuren
wi1607 Wiskundige Structuren Cursus 2009/2010 Eva Coplakova en Bas Edixhoven i Inhoudsopgave I Verzamelingen en afbeeldingen..... 2 I.1 Notatie........3 I.2 Operaties op verzamelingen...7 I.3 Functies.......10
NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN
II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN Iedereen ent getallen: de natuurlije getallen, N = {0,1,2,3,...}, gebruien we om te tellen, om getallen van elaar af te unnen treen hebben we de gehele getallen,
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
III.3 Supremum en infimum
III.3 Supremum en infimum Zowel de reële getallen als de rationale getallen vormen geordende lichamen. Deze geordende lichamen zijn echter principieel verschillend. De verzameling R is bijvoorbeeld aanzienlijk
Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.
Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als
Universiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Opgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20310 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Jansen, Bas Title: Mersenne primes and class field theory Date: 2012-12-18 Samenvatting
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Aanbevolen opgaven. Wat is oneindigheid? College 5
Vorig college College 5 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Opsommers vs. Herkenners Church-Turing These Codering van problemen 23 april 2009 1 2 Aanbevolen opgaven Wat is oneindigheid? Sipser p. 163
Oefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar?
Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.
Fundamenten. Lerarenprogramma Mastermath, versie 2015/12/02. Theo van den Bogaart Bas Edixhoven
Fundamenten Lerarenprogramma Mastermath, versie 2015/12/02 Theo van den Bogaart Bas Edixhoven i Inhoudsopgave I Verzamelingen en afbeeldingen............................................... 3 I.1 Notatie.........................................................................
Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste
Katernen. regionale training. tweede ronde. Nederlandse Wiskunde Olympiade
Katernen voor de regionale training ten behoeve van de tweede ronde van de Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE WISKUNDE OLYMPIADE Birgit van Dalen Julian Lyczak Quintijn Puite Inhoudsopgave Katern
De onvolledigheidsstelling van Gödel
De onvolledigheidsstelling van Gödel Wouter Zomervrucht, s0713317 26 maart 2009 Artikel voor het vak LPC Onderwerp: de eerste onvolledigheidsstelling van Gödel Inleiding In het begin van de twintigste
2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
De Dekpuntstelling van Brouwer
De Dekpuntstelling van Brouwer Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Twente, 19 oktober 2009: 18:00 20:00 Outline 1 2 3 4 De formulering Dekpuntstelling van Brouwer Zij n een
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen
BEWIJZEN EN REDENEREN
BEWIJZEN EN REDENEREN voor Bachelor of Science in Fysica en Wiskunde Academiejaar 2012/2013 Arno KUIJLAARS Departement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 200 B, 3001 Heverlee Inhoudsopgave
Hoeveel elementen? Non impeditus ab ulla scientia. K. P. Hart. Faculteit EWI TU Delft. Leiden, 18 november 2009: 13:15 14:15
Hoeveel elementen? Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Leiden, 18 november 2009: 13:15 14:15 De vragen van vandaag Hoeveel provincies heeft Nederland? Hoeveel natuurlijke getallen
Historisch overzicht van de Analyse
Historisch overzicht van de Analyse Klaas Landsman Radboud Universiteit Nijmegen landsman@math.ru.nl College Analyse 1 6 februari 2007 Analyse tot de 20e eeuw: van concreet naar abstract Tot 4e eeuw v.chr.
Dossier 3 PRIEMGETALLEN
Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,
Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica
Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien
In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:
Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel
1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Notatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren
Overzicht TI1300: Redeneren en Logica College 10: Verzamelingenleer Tomas Klos Algoritmiek Groep Colleges 1 2: Bewijstechnieken Colleges 3 9: Propositielogica Vandaag en morgen: Verzamelingenleer Colleges
Supplement Verzamelingenleer. A.J.M. van Engelen en K. P. Hart
Supplement Verzamelingenleer A.J.M. van Engelen en K. P. Hart 1 Hoofdstuk 1 Het Keuzeaxioma Het fundament van de hedendaagse verzamelingenleer werd in de vorige eeuw gelegd door Georg Cantor. Cantor gebruikte
Het proefschrift waarop Cantor in 1867 promoveerde, ging over kwadratische vergelijkingen.
Liggen er meer punten op een lijn dan op een vlak? Lang gold dit als een onzinnige vraag, totdat Cantor ontdekte dat er meer dan één soort oneindigheid is ontelbaar veel zelfs. In het begin waren er wiskundigen
FILOSOFIE VAN DE WISKUNDE. Filosofische stromingen in de wiskunde. De genetische methode. Voorbeeld van de gen. meth.
Filosofische stromingen in de wiskunde FILOSOFIE VAN DE WISKUNDE n logicisme (Frege, Russell) "wiskunde is een tak van de logica" n formalisme (Hilbert) "wiskunde is de wetenschap van formele systemen"
1 Kettingbreuken van rationale getallen
Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen
Combinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in
PARADOXEN 2 Dr. Luc Gheysens
PARADOXEN Dr. Luc Gheysens SPELEN MET ONEINDIG Historische nota De Griekse filosoof Zeno (ca. 90-0 v. Chr.) bedacht een aantal paradoen om aan te tonen dat beweging eigenlijk een illusie is. De meest bekende
Oneindig en Wiskunde
Oneindig en Wiskunde Tá scéiĺın agam K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Amsterdam, 20 september 2016 K. P. Hart Oneindig en Wiskunde 1 / 16 Wat zegt Van Dale? De allereerste editie (1864): eindig: bn. en
V.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Oneindige spelen. Dion Coumans. Begeleider: dr. W. Veldman
Oneindige spelen ion Coumans Begeleider: dr. W. Veldman Inhoudsopgave 1 Voorwoord 3 2 efinities 4 3 A is aftelbaar 6 4 Gale-Stewart-stelling 7 5 Stelling van Wolfe 11 2 1 Voorwoord Banach, Mazur en Ulam
Wat is wiskunde? college door Jan Hogendijk, 12 september 2016
Wat is wiskunde? college door Jan Hogendijk, 12 september 2016 Wiskunde is een wetenschap waarin precies geredeneerd wordt over getallen, figuren in de ruimte, of formele structuren in het algemeen. In
Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade
NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade Met uitwerkingen Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite Dit trainingsmateriaal is deels gebaseerd op materiaal
7.1 Het aantal inverteerbare restklassen
Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo
De vragen van vandaag. Hoeveel elementen? Hoeveel provincies? Hoeveel natuurlijke getallen? Non impeditus ab ulla scientia
De vragen van vandaag Hoeveel elementen? Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Hoeveel provincies heeft Nederland? Hoeveel natuurlijke getallen zijn er? Hoeveel reële getallen
AXIOMATIEK VAN GETALLEN, vergezichten vanuit mijn ivoren toren
AXIOMATIEK VAN GETALLEN, vergezichten vanuit mijn ivoren toren Bas Edixhoven Universiteit Leiden KNAW symposium Rekenen, 30 juni 2014 Wat volgt is slechts mijn eigen mening. Deze aantekeningen zal ik op
boek Getallen 2009, errata (8 oktober 2011)
boek Getallen 009, errata (8 oktober 0) De toren van Hanoi 6 0 van a naar b } van a naar b }. 8 6 en x / B } en x / B }. - zonodig zo nodig De natuurlijke getallen 3 - vermenigvuldigeing vermenigvuldiging
Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die
priemgetallen en verzamelingen Jaap Top
priemgetallen en verzamelingen Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 21 april 2009 (Collegecaroussel, Groningen) 1 In de biografie Gauss zum Gedächtnis (1862, door de Duitse geoloog Wolfgang Sartorius
1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3
HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische
Ontwikkeling van het functiebegrip in: Wiskunde als Wetenschap
Ontwikkeling van het functiebegrip in: Wiskunde als Wetenschap Tom Koornwinder thk@science.uva.nl Korteweg-de Vries Instituut, UvA Ontwikkeling van het functiebegrip p.1/13 Moderne definitie van een functie
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
Vectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
De Riemann-hypothese
De Riemann-hypothese Een miljoenenprobleem Jan van de Craats (UvA) Leve de Wiskunde, UvA, april 04 De Riemann-hypothese De Riemann-hypothese Alle niettriviale nulpunten van de zètafunctie liggen op de
Getallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)
Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen
Inleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002
RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Overzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen
Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk
De mens. Een machine?
De mens. Een machine? Het argument van J.R. Lucas tegen het mechanisme G.J.E. Rutten De verhouding tussen mens en machine Mechanisme (materialisme, sciëntisme) De mens is niets meer dan een complexe machine
PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5
2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene
De Riemann-hypothese
De Riemann-hypothese Een miljoenenprobleem Jan van de Craats (UvA) NWD, 6 februari 200 De Riemann-hypothese De Riemann-hypothese Alle niettriviale nulpunten van de zètafunctie liggen op de kritieke lijn.
Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal
Fibonacci op de universiteit
Fibonacci op de universiteit Bart Zevenhek January 16, 2008 De rij van Fibonacci: een manier om mijlen om te rekenen naar kilometers. De rij van Fibonacci: een manier om mijlen om te rekenen naar kilometers.
Wat kan er (niet) zonder ε-δ?
Oneindig klein. Wat kan er (niet) zonder ε-δ? Michel Roelens University Colleges Leuven Limburg Maria-Boodschaplyceum Brussel Hilde Eggermont Sint-Pieterscollege Leuven Redactie Uitwiskeling Afgeleide
Oneindig? Hoeveel is dat?
Oneindig? Hoeveel is dat? Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Leiden, 21 oktober 2009: 20:45 21:30 Wat zegt Van Dale? De allereerste editie (1864): eindig: bn. en bijw. een
Op weg naar de Riemann Hypothese
R.C. Pollé Op weg naar de Riemann Hypothese Doctoraalscriptie, verdedigd op 7 april 2006 Scriptiebegeleider: Dr. H. Finkelnberg Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 5
Uitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)