Opgaven hoofdstuk 3. I Basistechnieken

Transcriptie

1 Opgaven hoofdstuk 3 I Basistechnieken 3.1 De uitkomstenruimte van een experiment bevat vijf uitkomsten met kansen zoals in de tabel staan gegeven. Bereken de kans op elk van de volgende gebeurtenissen: Uitkomsten Kansen 1 0,05 2 0,20 3 0,30 4 0,30 5 0,15 A: {1, 2 of 3 treedt op} B: {1, 3 of 5 treedt op} C: {4 treedt niet op} 3.2 Er wordt een paar eerlijke dobbelstenen geworpen. Definieer de volgende gebeurtenissen: A: {je gooit een zeven} (d.w.z. de som van het aantal stippen op de bovenliggende vlakken van de beide dobbelstenen is gelijk aan zeven) B: {ten minste één van beide dobbelstenen laat een vier zien} a. Noteer de uitkomsten in de gebeurtenissen A, B, A B, A B, en A c. b. Bepaal P(A), P(B),P(A B), P(A B), en P(A c ) door de kansen op de bijbehorende uitkomsten bij elkaar op te tellen. c. Bepaal P(A B) door de somregel te gebruiken. Vergelijk je antwoord met dat voor dezelfde gebeurtenis in b. d. Zijn A en B disjunct? Waarom? 3.3 De uitkomsten van twee variabelen zijn (laag, midden, hoog), respectievelijk (aan, uit). Er wordt een experiment uitgevoerd waarin de uitkomsten van elk van beide variabelen worden waargenomen. De kansen die bij elk van de zes mogelijke uitkomstparen horen worden in de tabel gegeven. Laag Midden Hoog Aan 0,50 0,10 0,05 Uit 0,25 0,07 0,03 Beschouw de volgende gebeurtenissen: a. Bepaal P(A)

2 b. Bepaal P(B) c. Bepaal P(C) d. Bepaal P(D) e. Bepaal P(A c ) f. Bepaal P(A B) g. Bepaal P(A C) h. Beschouw de paren gebeurtenissen (A en B, A en C, A en D, B en C, B en D, C en D). Geef aan welke paren gebeurtenissen disjunct zijn, en waarom. 3.4 Er worden drie eerlijke munten geworpen en de volgende gebeurtenissen worden gedefinieerd: A: {ten minste éénmaal kruis} B: {precies tweemaal kruis} C: {precies tweemaal munt} D: {hoogstens éénmaal kruis} a. Tel de kansen van de desbetreffende uitkomsten bij elkaar op om de volgende kansen te bepalen: P(A), P(B), P(C), P(D), P(A B), P(A D), P(B C), en P(B D). b. Gebruik de antwoorden in a om P(B A), P(A D), en P(C B) te berekenen. 3.5 Een uitkomstenruimte bevat zes uitkomsten en de gebeurtenissen A, B en C zoals in het Venndiagram is aangegeven. De kansen op de uitkomsten zijn P(1) = 0,20, P(2) = 0,05, P(3) = 0,30, P(4) = 0,10, P(5) = 0,10, P(6) = 0,25. a. Zijn er disjuncte paren gebeurtenissen, en zo ja welke zijn dit? Waarom? b. Zijn er onafhankelijke paren gebeurtenissen, en zo ja welke zijn dit? Waarom?

3 c. Bepaal P(A B) door de kansen op de uitkomsten bij elkaar op te tellen en vervolgens door de somregel te gebruiken. Ga na dat de antwoorden met elkaar overeenkomen. Doe hetzelfde voor P(A C). 3.6 Stel dat je een steekproef van n = 3 elementen wilt nemen uit een totaal van N = 600 elementen a. Tel het mogelijke aantal verschillende steekproeven met behulp van combinatieregels (zie paragraaf 3.1). b. Als de steekproeven aselect worden genomen, wat is dan de kans dat een bepaalde steekproef wordt gekozen? c. Laat zien hoe je met Tabel I in Appendix B een aselecte steekproef van 3 elementen uit een populatie van 600 elementen kunt nemen. Voer de steekproefprocedure 20 maal uit. Vind je hierbij twee steekproeven die dezelfde drie elementen bevatten? Verwachtte je zo n herhaling van steekproeven, gezien je antwoord in b? 3.7 Stel dat een populatie N = elementen bevat. Gebruik een computer of Tabel I in Appendix B om een aselecte steekproef van n = 10 elementen uit deze populatie te nemen. Leg uit hoe je je steekproef hebt gekozen. 3.8 Twee gebeurtenissen, A en B zijn onafhankelijk, met P(A) = 0,3 en P(B) = 0,1. a. Zijn A en B disjunct? Waarom? b. Bepaal P(A B) en P(B A). c. Bepaal P(A B). 3.9 Er moet een aselecte steekproef van vijf studenten worden genomen uit een groep van 50 MBA-studenten om aan een wedstrijd mee te doen. a. Op hoeveel verschillende manieren kan de steekproef worden genomen? b. Laat zien hoe Tabel I in Appendix B gebruikt kan worden om de steekproef van studenten te kiezen. II Toepassingen 3.10 Van de zes auto s die afgelopen maandag tussen 8 10 uur s morgens in een bepaalde fabriek zijn geproduceerd, blijken er bij testen drie een kneus te zijn. Niettemin werden drie van deze auto s naar dealer A gestuurd en de andere drie naar dealer B. Dealer A kreeg alle kneuzen. Hoe groot is de kans dat dit gebeurt als de drie auto s die naar A zijn gestuurd aselect uit de zes geproduceerde auto s zijn gekozen?

4 3.11 De American Journal of Public Health heeft een onderzoek gepubliceerd naar koolmonoxide (CO) vergiftiging van inwoners van Colorado. Over een periode van zes jaar werden in totaal 981 gevallen van CO-vergiftiging gemeld. Elk geval werd geclassificeerd als fataal of niet fataal, en naar de bron van de vergiftiging. In de tabel staat het aantal gevallen voor elke categorie. Veronderstel dat één van de 981 gevallen van CO-vergiftiging aselect wordt gekozen. a. Noem alle uitkomsten voor dit experiment. b. Hoe wordt de verzameling van alle uitkomsten genoemd? c. Noem A de gebeurtenis dat CO-vergiftiging wordt veroorzaakt door brand. Bepaal P(A). d. Noem B de gebeurtenis dat de CO-vergiftiging fataal is. Bepaal P(B). e. Noem C de gebeurtenis dat de CO-vergiftiging door een auto-uitlaat is veroorzaakt. Bepaal P(C). f. Noem D de gebeurtenis dat de CO-vergiftiging door een auto-uitlaat is veroorzaakt en fataal is. Bepaal P(D). g. Noem E de gebeurtenis dat de CO-vergiftiging door brand is veroorzaakt, maar niet fataal is. Bepaal P(E). Bron Fataal Niet-fataal Totaal Brand Auto-uitlaat Oven Kachel Apparaat Andere soort motor Open haard Anders Onbekend Totaal Schaalverkleining bij bedrijven in Japan heeft een toename veroorzaakt in de vraag naar tijdelijk en parttime werk. In de tabel wordt de verdeling (in procenten) gegeven van nietreguliere medewerkers in Japan (naar leeftijd). De definitie van de kolomkoppen wordt onder de tabel gegeven. Stel dat een niet-reguliere medewerker aselect uit deze populatie moet worden gekozen. Definieer de volgende gebeurtenissen: A: {de medewerker is 40 jaar of ouder} B: {de medewerker is teenager en part-time}

5 C: {de medewerker is jonger dan 40 en arubaito of uitzendkracht} D: {de medewerker is part-time} a. Bepaal de kans op elk van bovenstaande gebeurtenissen b. Bepaal P(A D) en P(A D). c. Beschrijf in woorden de volgende gebeurtenissen: A c, B c en D c. d. Bepaal de kans op elk van de gebeurtenissen in c. Leeftijd Parttime Arubatio Temporary Dispatched Totalen en day ,3 3,7 2,3 0,2 6, ,4 7,8 6,1 4,7 22, ,4 1,6 4,5 2,7 17, ,6 1,6 7,3 1,4 25, ,4 1,1 5,8 0,6 16, ,3 1,8 4,8 0,6 11,5 Totalen 41,4 17,6 30,8 10,2 100,0 Parttime: werkt minder uren per dag of dagen per week dan reguliere medewerkers; arubaito: iemand met een nevenbetrekking die op school zit of ergens anders een vaste baan heeft; temporary: in dienst met een contract met een duur langer dan een maand maar korter dan een jaar; day: in dienst met een contract met een duur korter dan een maand, dispatched: via een uitzendbureau Automotive News geeft maandelijks een overzicht van voorraden van binnenlandse en buitenlandse autofabrikanten. In de tabel worden de voorraden voor de Grote Drie Amerikaanse autofabrikanten gegeven voor november van het afgelopen jaar. Fabrikant Auto s Vrachtauto s Totaal DaimlerChrysler Ford General Motors Totaal Stel dat aselect een voertuig uit deze populatie moet worden gekozen en de fabrikant en het soort voertuig wordt waargenomen. a. Geef de mogelijke uitkomsten voor dit experiment. b. Bepaal de kans dat het voertuig een personenauto is; bepaal de kans op een vrachtauto; bepaald de kans op een Ford. c. Bepaal de kans dat het voertuig een Daimler-Chrysler of een Ford is; bepaal de kans op een Daimler-Chrysler en een Ford.

6 d. Bepaal de kans dat het voertuig een personenauto is en door General Motors is gemaakt; bepaal de kans dat het voertuig een vrachtauto is en door General Motors is gemaakt Niveau zwart Niveau tegenstander Aantal gewonnen partijen Aantal partijen C A C B C C B A B B B C A A A B A C 5 39 Totaal Go is een van de oudste en populairste strategische bordspelen ter wereld, vooral in Japan en Korea. Dit spel voor twee spelers wordt gespeeld op een vlak oppervlak met 19 verticale en 19 horizontale lijnen. Het doel is terrein te beheersen door stukken, die stenen worden genoemd, op lege plekken op het bord te plaatsen. De spelers plaatsen om beurten een steen. De speler met de zwarte stenen begint voor de speler met de witte stenen. Chance (zomer 1995) publiceerde een artikel waarin werd onderzocht wat het voordeel was van het als eerste spelen (d.w.z. van het spelen met de zwarte stenen) in Go. De resultaten van 577 recente spellen die door professionele Go-spelers werden gespeeld werden geanalyseerd. a. In de 577 spellen won de speler met de zwarte stenen 319 keer en de speler met de witte stenen 258 keer. Gebruik deze informatie om te bepalen hoe groot de winstkans is als je bij Go als eerste speelt. b. Professionele spelers worden in niveaus geclassificeerd. Groep C omvat spelers van topniveau, gevolgd door groep B (spelers van middelniveau) en groep A (spelers van laag niveau). In de tabel staat het aantal spellen dat door de speler met de zwarte stenen is gewonnen, met het niveau van de zwarte speler en dat van zijn tegenstander. Bepaal de kans om te winnen als je als eerste speelt, voor elke combinatie van spelerniveaus. c. Hoe groot is de kans dat zwart wint als de speler met de zwarte stenen van een hoger niveau is dan de speler met de witte stenen? d. Hoe groot is de kans dat zwart wint als beide spelers van hetzelfde niveau zijn? 3.15 Channel One is een educatieve televisiezender die beschikbaar is voor alle middelbare scholen in de Verenigde Staten. Scholen die deelnemen hebben tv-toestellen in elke klas om de uitzendingen van Channel One te kunnen ontvangen. Volgens Educational Technology is 40% van alle middelbare scholen in Amerika geabonneerd op het Channel One Communication Network (CCN). Van deze scholen gebruikt slechts 5% nooit de CCNuitzendingen, terwijl 20% vaker dan vijf keer per week de CNN uitzendingen gebruikt.

7 a. Bepaal de kans dat een willekeurig gekozen middelbare school in Amerika geabonneerd is op CCN maar nooit gebruik maakt van de CCN-uitzendingen. b. Bepaal de kans dat een willekeurig gekozen middelbare school in Amerika geabonneerd is op CCN en vaker dan vijf keer per week gebruik maakt van de CCN uitzendingen Om de effectiviteit van hun reclamecampagnes te testen, maken bedrijven vaak gebruik van telefonische interviews met klanten, waarbij een toevalsgenerator automatisch een steekproef samenstelt van telefoonnummers die gebeld moeten worden. a. Leg uit hoe Tabel 1 van appendix B, of een computer gebruikt kan worden om een steekproef van telefoonnummers van 10 cijfers te genereren b. Gebruik de procedure die je in a hebt beschreven om een steekproef van 10 telefoonnummers van 10 cijfers te genereren. c. Gebruik de procedure die je in a hebt beschreven om vijf telefoonnummers van 7 cijfers te genereren waarvan de eerste drie cijfers 020 zijn In het Midden-Westen van de Verenigde Staten werd onderzoek gedaan naar het profiel van een duurzame boer. Het bleek dat boeren kunnen worden ingedeeld op een duurzaamheidsschaal. De plaats op de schaal hangt ervan af of ze zich waarschijnlijk wel (W) of niet (N) zich aan de volgende richtlijnen houden: (1) teel een breed scala aan gewassen; (2) houd ook dieren (3) gebruik terughoudend chemische middelen en (4) gebruik technieken om de bodem te regenereren, bijvoorbeeld door wisselbouw. a. Schrijf de verschillende mogelijkheden voor een boer op (bijvoorbeeld WNNW). b. Stel dat je boeren wilt ondervragen om de frequentieverdeling te bepalen van de indelingen uit a. Omdat er nog geen nadere informatie beschikbaar is, nemenwe voorlopig aan dat alle mogelijke uitkomsten gelijke kansen hebben. Wat is nu de kans dat een boer behoort tot de categorie N (niet waarschijnlijk) voor alle vier criteria? c. Hoe groot is de kans dat de boer op tenminste drie van de vier categorieën als W zal worden geclassificeerd (uitgaande van dezelfde veronderstellingen als in b) Een bepaald sprinklersysteem voor flatgebouwen, kantoren en hotels heeft twee verschillende activeringsmodules voor elke sprinklerkop. De ene heeft een betrouwbaarheid van 0,91 (d.w.z. de kans dat deze de sprinkler activeert als dat nodig is, is gelijk aan 0,91). Het andere type, dat onafhankelijk van het eerste type werkt, heeft een betrouwbaarheid van 0,87. Stel dat er brand ontstaat bij een bepaalde sprinklerkop. a. Hoe groot is de kans dat de sprinklerkop geactiveerd wordt? b. Hoe groot is de kans dat de sprinklerkop niet wordt geactiveerd?

8 c. Hoe groot is de kans dat beide activeringsmodules naar behoren werken? d. Hoe groot is de kans dat alleen de module met betrouwbaarheid 0,91 naar behoren werkt? 3.19 Het dobbelsteenspelletje craps wordt op de volgende manier gespeeld. Een speler begint met het gooien van twee eerlijke dobbelstenen. Als het totale aantal punten bij die worp 7 of 11 bedraagt, wint hij. Als het totale aantal punten 2 of 3 bedraagt (dit noemt men craps ), verliest hij. Bij alle andere uitkomsten moet de speler doorgaan met gooien totdat hij opnieuw het eerst gegooide aantal gooit (dan wint hij) of totdat hij 7 gooit (dan verliest hij). a. Hoe groot is de kans dat een speler bij de eerste worp het spel wint? b. Hoe groot is de kans dat een speler bij de eerste worp het spel verliest? c. Als een speler bij de eerste worp 4 punten gooit, hoe groot is dan de kans dat het spel bij de volgende worp eindigt (met winst of verlies voor deze speler)? 3.20 De afbeelding hieronder is een schematische voorstelling van een systeem dat uit drie onderdelen bestaat. Het systeem werkt alleen goed als alle drie de onderdelen goed werken. We zeggen dat de drie onderdelen in serie werken. De onderdelen kunnen mechanisch of elektrisch zijn; het kunnen werkstations in een montageproces zijn; of het kunnen de functies van drie verschillende afdelingen in een organisatie zijn. De kans op mislukken van elk onderdeel wordt in de tabel gegeven. Veronderstel dat de onderdelen onafhankelijk van elkaar werken. Invoer Uitvoer Onderdeel Kans op falen 1 0,12 2 0,09 3 0,11 Een systeem bestaande uit drie componenten in serie a. Bereken de kans dat het systeem naar behoren werkt. b. Wat is de kans dat ten minste één van de onderdelen niet zal werken en daardoor het systeem niet zal werken? 3.21 De afbeelding hieronder is een schema van een systeem dat uit twee deelsystemen bestaat, waarvan men zegt dat ze parallel werken. Elk deelsysteem bevat twee onderdelen die in serie werken (zie opgave 3.83). Het systeem functioneert naar behoren zolang ten minste één van de deelsystemen naar behoren werkt. De kans op falen voor elk onderdeel in het systeem is gelijk aan 0,1. Veronderstel dat de onderdelen onafhankelijk van elkaar werken.

9 a. Bepaal de kans dat het systeem naar behoren werkt. b. Bepaal de kans dat er precies één deelsysteem niet werkt. c. Bepaal de kans dat het systeem niet werkt. d. Hoeveel deelsystemen zoals de twee die hier worden getoond zijn er nodig om te garanderen dat het systeem ten minste 99% van de tijd naar behoren werkt? Invoer Uitvoer Een systeem bestaande uit twee parallelle deelsystemen 3.22 Een kleine brouwerij heeft twee flessenvulmachines. Machine A produceert 75% van de flessen en machine B 25%. Eén op elke 20 flessen die door A zijn gevuld wordt om een of andere reden afgekeurd, terwijl één op elke 30 flessen van B wordt afgekeurd. Welk percentage flessen wordt afgekeurd? Hoe groot is de kans dat een willekeurig gekozen fles door machine A is gevuld, als gegeven is dat deze fles is goedgekeurd?